ინტეგრალური (საბოლოო) ფორმა. თეორემა მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ: მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება მისი ზოგიერთი გადაადგილებისას უდრის ამ წერტილზე მოქმედი ყველა ძალის მუშაობის ალგებრულ ჯამს იმავე გადაადგილებით..

მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების თეორემა ჩამოყალიბებულია: მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება, როდესაც ის ერთი პოზიციიდან მეორეზე გადადის, უდრის ამ მოძრაობის დროს სისტემაზე გამოყენებული ყველა გარე და შინაგანი ძალების მუშაობის ჯამს:

უცვლელი სისტემის შემთხვევაში, შინაგანი ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს ჯამი ნებისმიერ გადაადგილებაზე უდრის ნულს (), მაშინ

მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი.როდესაც მექანიკური სისტემა მოძრაობს პოტენციალის მქონე ძალების გავლენის ქვეშ, სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილებები განისაზღვრება დამოკიდებულებებით:

სად,

სისტემის კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის ჯამი ეწოდება მთლიანი მექანიკური ენერგიასისტემები.

ამგვარად, როდესაც მექანიკური სისტემა მოძრაობს სტაციონარულ პოტენციურ ველში, სისტემის მთლიანი მექანიკური ენერგია მოძრაობის დროს უცვლელი რჩება..

დავალება.მექანიკური სისტემა, გრავიტაციის გავლენის ქვეშ, მოძრაობაში მოდის დასვენების მდგომარეობიდან. სხეულის 3 სრიალის ხახუნის გათვალისწინებით, სხვა წინააღმდეგობის ძალებისა და ძაფების მასების უგულებელყოფით, რომლებიც ვარაუდობენ, რომ არ არის გაფართოებული, განსაზღვრეთ სხეულის სიჩქარე და აჩქარება 1 იმ მომენტში, როდესაც მის მიერ გავლილი გზა თანაბარი ხდება. ს(სურ. 3.70).

დავალებაში მიიღეთ:

გამოსავალი.მექანიკურ სისტემაზე მოქმედებს აქტიური ძალები , , . სისტემის შეზღუდვებისგან გათავისუფლების პრინციპის გამოყენებით, ჩვენ ვაჩვენებთ დაკიდებულ-ფიქსირებული საყრდენი 2 და უხეში დახრილი ზედაპირის რეაქციებს. ჩვენ გამოვსახავთ სისტემის სხეულების სიჩქარის მიმართულებებს იმის გათვალისწინებით, რომ სხეული 1 დაღმავალია.

მოვაგვაროთ პრობლემა მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ თეორემის გამოყენებით:

სად თდა არის სისტემის კინეტიკური ენერგია საწყის და საბოლოო პოზიციებში; - სისტემაზე მიმართული გარე ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს ალგებრული ჯამი სისტემის საწყისი პოზიციიდან საბოლოო პოზიციაზე გადასატანად; - სისტემის შიდა ძალების მიერ იმავე გადაადგილებისას შესრულებული სამუშაოს ჯამი.

განსახილველი სისტემისთვის, რომელიც შედგება აბსოლუტურად ხისტი სხეულებისგან, რომლებიც დაკავშირებულია გაუწელავი ძაფებით:

ვინაიდან სისტემა ისვენებდა საწყის მდგომარეობაში, მაშინ . აქედან გამომდინარე:

სისტემის კინეტიკური ენერგია არის 1, 2, 3 სხეულების კინეტიკური ენერგიის ჯამი:

დატვირთვის 1 კინეტიკური ენერგია, რომელიც წინ მიიწევს, უდრის:

მე-2 ბლოკის კინეტიკური ენერგია, რომელიც ბრუნავს ღერძის გარშემო ოზიპერპენდიკულარული ნახაზის სიბრტყეზე:

სხეულის კინეტიკური ენერგია 3 მის წინ მოძრაობაში:

ამრიგად,

კინეტიკური ენერგიის გამოხატულება შეიცავს სისტემის ყველა სხეულის უცნობ სიჩქარეს. განმარტება უნდა დაიწყოს. მოდით, თავი დავაღწიოთ არასაჭირო უცნობებს კავშირების განტოლებების შექმნით.

შეზღუდვის განტოლებები სხვა არაფერია, თუ არა კინემატიკური ურთიერთობები სისტემის წერტილების სიჩქარეებსა და მოძრაობას შორის. შეზღუდვის განტოლებების შედგენისას ჩვენ გამოვხატავთ სისტემის სხეულების ყველა უცნობ სიჩქარეს და მოძრაობას დატვირთვის სიჩქარისა და მოძრაობის მეშვეობით 1.

მცირე რადიუსის რგოლზე ნებისმიერი წერტილის სიჩქარე უდრის სხეულის 1-ის სიჩქარეს, ასევე 2-ის სხეულის კუთხური სიჩქარისა და ბრუნვის რადიუსს r:

აქედან გამოვხატავთ სხეულის 2-ის კუთხურ სიჩქარეს:

ნებისმიერი წერტილის ბრუნვის სიჩქარე დიდი რადიუსის ბლოკის რგოლზე, ერთი მხრივ, უდრის ბლოკის კუთხური სიჩქარისა და ბრუნვის რადიუსის ნამრავლს, ხოლო მეორეს მხრივ, სხეულის სიჩქარეს 3. :

კუთხური სიჩქარის მნიშვნელობის ჩანაცვლებით მივიღებთ:

საწყის პირობებში ინტეგრირებული გამონათქვამები (a) და (b) ჩვენ ვწერთ სისტემის წერტილების გადაადგილების თანაფარდობას:

ვიცით სისტემის წერტილების სიჩქარის ძირითადი დამოკიდებულებები, ჩვენ ვუბრუნდებით კინეტიკური ენერგიის გამოხატვას და ჩავანაცვლებთ მასში (a) და (b) განტოლებებს:

სხეულის 2 ინერციის მომენტი უდრის:

სხეულის მასების მნიშვნელობების და სხეულის 2 ინერციის მომენტის ჩანაცვლებით, ჩვენ ვწერთ:

სისტემის ყველა გარე ძალების მუშაობის ჯამის განსაზღვრა მოცემულ გადაადგილებაზე.

ახლა, მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ თეორემის მიხედვით, ვაიგივებთ მნიშვნელობებს თდა

სხეულის 1 სიჩქარე მიღებულია გამოსახულებიდან (g)

სხეულის 1-ის აჩქარება შეიძლება განისაზღვროს ტოლობის (g) დროის მიმართ დიფერენცირებით.

შემოვიღოთ მოძრაობის კიდევ ერთი ძირითადი დინამიური მახასიათებლის - კინეტიკური ენერგიის კონცეფცია. მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგია არის სკალარული სიდიდე, რომელიც უდრის წერტილის მასის ნამრავლის ნახევარს და მისი სიჩქარის კვადრატს.

კინეტიკური ენერგიის საზომი ერთეული იგივეა, რაც სამუშაო (SI-ში - 1 J). მოდი ვიპოვოთ ურთიერთობა, რომელიც აკავშირებს ამ ორ რაოდენობას.

განვიხილოთ მატერიალური წერტილი, რომლის მასა მოძრაობს პოზიციიდან, სადაც მას აქვს სიჩქარე იმ პოზიციაზე, სადაც მისი სიჩქარეა

სასურველი დამოკიდებულების მისაღებად მივმართოთ დინამიკის ძირითადი კანონის გამომხატველ განტოლებას, რომლის ორივე ნაწილის დაპროექტება მოძრაობის მიმართულებით მიმართულ M წერტილის ტრაექტორიაზე ტანგენსზე ვიღებთ.

მოდით წარმოვადგინოთ აქ შეტანილი წერტილის ტანგენციალური აჩქარება ფორმაში

შედეგად, ჩვენ ვხვდებით ამას

გავამრავლოთ ამ ტოლობის ორივე მხარე და შევიტანოთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ. შემდეგ, აღვნიშნავთ, რომ სად არის ძალის ელემენტარული მუშაობა, მივიღებთ თეორემის გამოხატვას წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილებაზე დიფერენციალური ფორმით:

ამ თანასწორობის ორივე მხარის ინტეგრირების შემდეგ წერტილებში ცვლადების მნიშვნელობების შესაბამისი საზღვრებში, ჩვენ საბოლოოდ ვიპოვით

განტოლება (52) გამოხატავს თეორემას წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ საბოლოო სახით: წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება გარკვეული გადაადგილების დროს უდრის წერტილზე მოქმედი ყველა ძალის მუშაობის ალგებრულ ჯამს. იგივე გადაადგილება.

არათავისუფალი გადაადგილების საქმე. როდესაც წერტილი მოძრაობს არათავისუფლად, ტოლობის მარჯვენა მხარე (52) მოიცავს მოცემული (აქტიური) ძალების მუშაობას და დაწყვილების რეაქციის მუშაობას. მოდით შემოვიფარგლოთ სტაციონარული გლუვი (ხახუნის გარეშე) ზედაპირის ან მრუდის გასწვრივ წერტილის მოძრაობის გათვალისწინებით. ამ შემთხვევაში რეაქცია N (იხ. სურ. 233) მიმართული იქნება ნორმალური წერტილის ტრაექტორიაზე და. შემდეგ, ფორმულის (44) მიხედვით, სტაციონარული გლუვი ზედაპირის (ან მრუდის) რეაქცია წერტილის ნებისმიერი მოძრაობისთვის იქნება ნულის ტოლი და (52) განტოლებიდან ვიღებთ

შესაბამისად, სტაციონარული გლუვი ზედაპირის (ან მრუდის) გასწვრივ მოძრაობისას, წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება უდრის წერტილზე გამოყენებული აქტიური ძალების ამ მოძრაობაზე შესრულებული სამუშაოს ჯამს.

თუ ზედაპირი (მრუდი) არ არის გლუვი, მაშინ ხახუნის ძალის მუშაობა დაემატება აქტიური ძალების მუშაობას (იხ. § 88). თუ ზედაპირი (მრუდი) მოძრაობს, მაშინ M წერტილის აბსოლუტური გადაადგილება შეიძლება არ იყოს N-ზე პერპენდიკულარული და მაშინ რეაქციის სამუშაო N არ იქნება ნულის ტოლი (მაგალითად, ლიფტის პლატფორმის რეაქციის სამუშაო).

Პრობლემის გადაჭრა. კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ თეორემა [ფორმულა (52)] საშუალებას გაძლევთ იცოდეთ როგორ იცვლება წერტილის სიჩქარე წერტილის გადაადგილებისას, განსაზღვროთ მოქმედი ძალების მოქმედება (დინამიკის პირველი პრობლემა) ან იცოდეთ მოქმედი ძალები, რათა დადგინდეს, თუ როგორ იცვლება წერტილის სიჩქარე მოძრაობისას (დინამიკის მეორე პრობლემა). მეორე ამოცანის ამოხსნისას, როცა ძალები მოცემულია, აუცილებელია მათი მუშაობის გამოთვლა. როგორც ჩანს ფორმულებიდან (44), (44), ეს შეიძლება გაკეთდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც ძალები მუდმივია ან დამოკიდებულია მხოლოდ მოძრავი წერტილის პოზიციაზე (კოორდინატებზე), როგორიცაა ელასტიურობის ან სიმძიმის ძალა (იხ. § 88). ).

ამრიგად, ფორმულა (52) შეიძლება პირდაპირ გამოვიყენოთ დინამიკის მეორე პრობლემის გადასაჭრელად, როდესაც ამოცანის მონაცემები და საჭირო სიდიდეები მოიცავს: მოქმედ ძალებს, წერტილის გადაადგილებას და მის საწყის და საბოლოო სიჩქარეებს (ანუ რაოდენობებს) და ძალები უნდა იყოს მუდმივი ან დამოკიდებულია მხოლოდ წერტილის პოზიციაზე (კოორდინატებზე).

თეორემა დიფერენციალური ფორმით [ფორმულა (51)], რა თქმა უნდა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი მოქმედი ძალისთვის.

ამოცანა 98. A წერტილიდან სიჩქარით აგდებულ ტვირთს კგ წონით, რომელიც მდებარეობს სიმაღლეზე (სურ. 235), აქვს სიჩქარე დაცემის C წერტილში. დაადგინეთ, რა სამუშაოს ასრულებს დატვირთვაზე მოქმედი ჰაერის წინააღმდეგობის ძალა. მისი მოძრაობის დროს

გამოსავალი. ტვირთის მოძრაობისას დატვირთვაზე მოქმედებს მიზიდულობის ძალა P და ჰაერის წინააღმდეგობის ძალა R. კინეტიკური ენერგიის ცვლილების თეორემის მიხედვით დატვირთვის მატერიალურ წერტილად მიჩნევა გვაქვს.

ამ თანასწორობიდან, ვინაიდან ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ

ამოცანა 99. 96-ე ამოცანის პირობებში (იხ. [§ 84), განსაზღვრეთ, თუ რომელ გზას გაივლის დატვირთვა გაჩერებამდე (იხ. სურ. 223, სადაც არის დატვირთვის საწყისი პოზიცია და არის საბოლოო პოზიცია).

გამოსავალი. დატვირთვაზე, როგორც 96-ე ამოცანაში, მოქმედებს ძალები P, N, F. დამუხრუჭების მანძილის დასადგენად, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ პრობლემის პირობები ასევე შეიცავს მუდმივ F ძალას, გამოვიყენებთ თეორემას ცვლილების შესახებ. კინეტიკური ენერგია

განსახილველ შემთხვევაში – დატვირთვის სიჩქარე გაჩერების მომენტში). გარდა ამისა, რადგან ძალები P და N პერპენდიკულარულია გადაადგილებაზე, შედეგად, ჩვენ ვიღებთ საიდანაც ვიპოვით

96-ე ამოცანის შედეგების მიხედვით, დამუხრუჭების დრო იზრდება საწყისი სიჩქარის პროპორციულად, ხოლო დამუხრუჭების მანძილი, როგორც აღმოვაჩინეთ, არის საწყისი სიჩქარის კვადრატის პროპორციული. როდესაც გამოიყენება სახმელეთო ტრანსპორტზე, ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ იზრდება საფრთხე სიჩქარის მატებასთან ერთად.

ამოცანა 100. P წონის დატვირთვა დაკიდებულია l სიგრძის ძაფზე. ძაფი დატვირთვასთან ერთად გადახრილია ვერტიკალურიდან კუთხით (სურ. 236, ა) და იხსნება საწყისი სიჩქარის გარეშე. გადაადგილებისას დატვირთვაზე მოქმედებს წინააღმდეგობის ძალა R, რომელსაც დაახლოებით ვცვლით მისი საშუალო მნიშვნელობით. იპოვეთ დატვირთვის სიჩქარე იმ მომენტში, როდესაც ძაფი ქმნის კუთხეს ვერტიკალურთან.

გამოსავალი. პრობლემის პირობების გათვალისწინებით, ჩვენ კვლავ ვიყენებთ თეორემას (52):

დატვირთვაზე მოქმედებს P მიზიდულობის ძალა, წინააღმდეგობის ძაფის რეაქცია, რომელიც წარმოდგენილია მისი საშუალო მნიშვნელობით R. ძალისთვის P, ფორმულის მიხედვით (47) N ძალისთვის, რადგან საბოლოოდ მივიღებთ ძალას. ვინაიდან, ფორმულის მიხედვით (45) ეს იქნება (რკალის სიგრძე s უდრის ნამრავლის რადიუსს l ცენტრალური კუთხით). გარდა ამისა, პრობლემის პირობების მიხედვით, შედეგად, ტოლობა (a) იძლევა:

წინააღმდეგობის არარსებობის შემთხვევაში, აქედან ვიღებთ გალილეოს ცნობილ ფორმულას, რომელიც ცხადია ასევე მოქმედებს თავისუფლად ჩამოვარდნილი ტვირთის სიჩქარეზე (სურ. 236, ბ).

განსახილველ პრობლემაში შემდეგ, კიდევ ერთი აღნიშვნის შემოღებით - საშუალო წინააღმდეგობის ძალა ტვირთის წონის ერთეულზე), საბოლოოდ მივიღებთ

ამოცანა 101. არადეფორმირებულ მდგომარეობაში სარქველის ზამბარას აქვს სიგრძე სმ, როდესაც სარქველი სრულად არის გახსნილი მისი სიგრძეა სმ, სარქველის ამწევის სიმაღლე კი სმ (სურ. 237). ზამბარის სიმყარის სარქველი წონა კგ. სიმძიმის და წინააღმდეგობის ძალების ზემოქმედების უგულებელყოფით, განსაზღვრეთ სარქვლის სიჩქარე მისი დახურვის მომენტში.

გამოსავალი, გამოვიყენოთ განტოლება

პრობლემის პირობების მიხედვით, სამუშაო ხორციელდება მხოლოდ ზამბარის დრეკადობის ძალით. შემდეგ, ფორმულის მიხედვით (48) იქნება

Ამ შემთხვევაში

გარდა ამისა, ყველა ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლებით განტოლებაში (a), ჩვენ საბოლოოდ ვიღებთ

ამოცანა 102. დრეკადი სხივის შუაში მოქცეული დატვირთვა (ნახ. 238) ახვევს მას ოდენობით (სხივის სტატისტიკური გადახრა) სხივის წონის უგულებელყოფით, დაადგინეთ, რისი ტოლი იქნება მისი მაქსიმალური გადახრობა, თუ დატვირთვა. ეცემა სხივზე H სიმაღლიდან.

გამოსავალი. როგორც წინა ამოცანაში, ჩვენ გამოვიყენებთ განტოლებას (52) ამოსახსნელად. ამ შემთხვევაში, დატვირთვის საწყისი სიჩქარე და მისი საბოლოო სიჩქარე (სხივის მაქსიმალური გადახრის მომენტში) ნულის ტოლია და განტოლება (52) იღებს ფორმას.

აქ მუშაობას ასრულებს გრავიტაციული ძალა P გადაადგილებაზე და F სხივის ელასტიური ძალა გადაადგილებაზე. უფრო მეტიც, რადგან სხივისთვის ამ სიდიდეების (a) ტოლობით ჩანაცვლებით ვიღებთ.

მაგრამ როდესაც დატვირთვა წონასწორობაშია სხივზე, სიმძიმის ძალა დაბალანსებულია ელასტიურობის ძალით, შესაბამისად, წინა თანასწორობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით

ამ კვადრატული განტოლების ამოხსნა და იმის გათვალისწინებით, რომ ამოცანის პირობების მიხედვით უნდა ვიპოვოთ

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ როდესაც აღმოჩნდება ამიტომ, თუ დატვირთვა მოთავსებულია ჰორიზონტალური სხივის შუაში, მაშინ მისი მაქსიმალური გადახრა დატვირთვის დაწევისას სტატიკურის ორჯერ ტოლი იქნება. შემდგომში დატვირთვა დაიწყებს რხევას სხივთან ერთად წონასწორული პოზიციის გარშემო. წინააღმდეგობის გავლენის ქვეშ, ეს რხევები დატენიანდება და სისტემა დაბალანსდება ისეთ მდგომარეობაში, რომელშიც სხივის გადახრა ტოლია

ამოცანა 103. განსაზღვრეთ მინიმალური ვერტიკალურად მიმართული საწყისი სიჩქარე, რომელიც უნდა მიეცეს სხეულს ისე, რომ იგი აწიოს დედამიწის ზედაპირიდან მოცემულ სიმაღლემდე H (ნახ. 239). მიზიდულობის ძალა ჩაითვლება, რომ იცვლება კვადრატის უკუპირებით. მანძილი დედამიწის ცენტრიდან. ჰაერის წინააღმდეგობის უგულებელყოფა.

გამოსავალი. განვიხილავთ სხეულს, როგორც მასის მატერიალურ წერტილს, ვიყენებთ განტოლებას

სამუშაოს აქ ასრულებს გრავიტაციული ძალა F. შემდეგ, ფორმულის გამოყენებით (50), იმის გათვალისწინებით, რომ ამ შემთხვევაში, სადაც R არის დედამიწის რადიუსი, მივიღებთ

ვინაიდან უმაღლეს წერტილში, ნაწარმოების ნაპოვნი მნიშვნელობით, განტოლება (a) იძლევა

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევები:

ა) მოდით, H იყოს ძალიან მცირე R-თან შედარებით. მაშინ - მნიშვნელობა ნულთან ახლოს. მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფით მივიღებთ

ამრიგად, მცირე H-სთვის მივდივართ გალილეოს ფორმულამდე;

ბ) ვიპოვოთ რა საწყისი სიჩქარით წავა დაყრილი სხეული უსასრულობამდე.მრიცხველისა და მნიშვნელის A-ზე გაყოფა მივიღებთ

ნახვა:ეს სტატია წაკითხულია 49915 ჯერ

Pdf აირჩიეთ ენა... რუსული უკრაინული ინგლისური

მოკლე მიმოხილვა

მთელი მასალა გადმოწერილია ზემოთ, ენის შერჩევის შემდეგ

მატერიალური წერტილის ან წერტილთა სისტემის მექანიკური მოძრაობის გარდაქმნის ორი შემთხვევა:

1. მექანიკური მოძრაობა გადადის ერთი მექანიკური სისტემიდან მეორეზე, როგორც მექანიკური მოძრაობა;
2. მექანიკური მოძრაობა იქცევა მატერიის მოძრაობის სხვა ფორმად (პოტენციური ენერგიის, სითბოს, ელექტროენერგიის და ა.შ. სახით).

როდესაც განიხილება მექანიკური მოძრაობის გარდაქმნა მისი გადასვლის გარეშე მოძრაობის სხვა ფორმაზე, მექანიკური მოძრაობის საზომი არის მატერიალური წერტილის ან მექანიკური სისტემის იმპულსის ვექტორი. ძალის საზომი ამ შემთხვევაში არის ძალის იმპულსის ვექტორი.

როდესაც მექანიკური მოძრაობა მატერიის მოძრაობის სხვა ფორმად იქცევა, მატერიალური წერტილის ან მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგია მოქმედებს მექანიკური მოძრაობის საზომად. ძალის მოქმედების საზომი მექანიკური მოძრაობის სხვა ფორმად გადაქცევისას არის ძალის მუშაობა

Კინეტიკური ენერგია

კინეტიკური ენერგია არის სხეულის უნარი გადალახოს დაბრკოლება მოძრაობისას.

მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგია

მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგია არის სკალარული სიდიდე, რომელიც უდრის წერტილის მასისა და მისი სიჩქარის კვადრატის ნამრავლის ნახევარს.

Კინეტიკური ენერგია:

• ახასიათებს როგორც მთარგმნელობით, ისე ბრუნვით მოძრაობებს;
• არ არის დამოკიდებული სისტემის წერტილების მოძრაობის მიმართულებაზე და არ ახასიათებს ამ მიმართულებების ცვლილებებს;
• ახასიათებს როგორც შინაგანი, ისე გარეგანი ძალების მოქმედებას.

მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგია

სისტემის კინეტიკური ენერგია უდრის სისტემის სხეულების კინეტიკური ენერგიების ჯამს. კინეტიკური ენერგია დამოკიდებულია სისტემის სხეულების მოძრაობის ტიპზე.

მყარი სხეულის კინეტიკური ენერგიის განსაზღვრა სხვადასხვა ტიპის მოძრაობისთვის.

მთარგმნელობითი მოძრაობის კინეტიკური ენერგია
მთარგმნელობითი მოძრაობის დროს სხეულის კინეტიკური ენერგია ტოლია თ=მ V 2/2.

სხეულის ინერციის საზომი მთარგმნელობითი მოძრაობის დროს არის მასა.

სხეულის ბრუნვის მოძრაობის კინეტიკური ენერგია

სხეულის ბრუნვის დროს კინეტიკური ენერგია უდრის სხეულის ინერციის მომენტის ნამრავლის ნახევარს ბრუნვის ღერძთან და მისი კუთხური სიჩქარის კვადრატთან მიმართებაში.

ბრუნვითი მოძრაობის დროს სხეულის ინერციის საზომია ინერციის მომენტი.

სხეულის კინეტიკური ენერგია არ არის დამოკიდებული სხეულის ბრუნვის მიმართულებაზე.

სხეულის სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის კინეტიკური ენერგია

სხეულის სიბრტყე-პარალელური მოძრაობით კინეტიკური ენერგია უდრის

ძალის მუშაობა

ძალის მოქმედება ახასიათებს სხეულზე ძალის მოქმედებას გარკვეული მოძრაობის დროს და განსაზღვრავს მოძრავი წერტილის სიჩქარის მოდულის ცვლილებას.

ძალის ელემენტარული მუშაობა

ძალის ელემენტარული მუშაობა განისაზღვრება, როგორც სკალარული სიდიდე, რომელიც ტოლია ტრაექტორიაზე ტანგენსზე ძალის პროექციის ნამრავლის, მიმართული წერტილის მოძრაობის მიმართულებით და წერტილის უსასრულოდ მცირე გადაადგილებაზე მიმართული. ტანგენსი.

ძალის გამოყენებით შესრულებული სამუშაო საბოლოო გადაადგილებაზე

საბოლოო გადაადგილებაზე ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო უდრის ელემენტარულ მონაკვეთებზე მისი მუშაობის ჯამს.

ძალის მუშაობა საბოლოო გადაადგილებაზე M 1 M 0 უდრის ამ გადაადგილების გასწვრივ ელემენტარული სამუშაოს ინტეგრალს.

ძალის მოქმედება გადაადგილებაზე M 1 M 2 გამოსახულია ფიგურის ფართობით, რომელიც შემოიფარგლება აბსცისის ღერძით, მრუდით და M 1 და M 0 წერტილების შესაბამისი ორდინატებით.

SI სისტემაში ძალისა და კინეტიკური ენერგიის მუშაობის საზომი ერთეულია 1 (J).

თეორემები ძალის მუშაობის შესახებ

თეორემა 1. გარკვეული გადაადგილების შედეგად მიღებული ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო ტოლია იმავე გადაადგილებაზე შემადგენელი ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს ალგებრული ჯამის.

თეორემა 2.მიღებულ გადაადგილებაზე მუდმივი ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო უდრის ამ ძალის მიერ შემადგენელ გადაადგილებაზე შესრულებული სამუშაოს ალგებრულ ჯამს.

Ძალა

სიმძლავრე არის სიდიდე, რომელიც განსაზღვრავს ძალის მიერ შესრულებულ სამუშაოს დროის ერთეულზე.

სიმძლავრის საზომი ერთეულია 1W = 1 J/s.

ძალების მუშაობის განსაზღვრის შემთხვევები

შინაგანი ძალების მუშაობა

ნებისმიერი მოძრაობისას ხისტი სხეულის შინაგანი ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს ჯამი ნულია.

სიმძიმის სამუშაო

ელასტიური ძალის მუშაობა

ხახუნის ძალის მუშაობა

მბრუნავ სხეულზე მიმართული ძალების მუშაობა

ფიქსირებული ღერძის ირგვლივ მბრუნავ ხისტ სხეულზე გამოყენებული ძალების ელემენტარული მუშაობა უდრის გარე ძალების ძირითადი მომენტის ნამრავლს ბრუნვის ღერძთან და ბრუნვის კუთხის ნამატის მიმართ.

მოძრავი წინააღმდეგობა

სტაციონარული ცილინდრისა და სიბრტყის საკონტაქტო ზონაში ხდება კონტაქტის შეკუმშვის ლოკალური დეფორმაცია, ძაბვა ნაწილდება ელიფსური კანონის მიხედვით და ამ დაძაბულობის შედეგი N-ის მოქმედების ხაზი ემთხვევა დატვირთვის მოქმედების ხაზს. ძალა ცილინდრზე Q. როდესაც ცილინდრი ბრუნავს, დატვირთვის განაწილება ხდება ასიმეტრიული, მაქსიმალური გადაადგილებით მოძრაობისკენ. შედეგად მიღებული N გადაადგილდება k ოდენობით - მოძრავი ხახუნის ძალის მკლავი, რომელსაც ასევე უწოდებენ მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტს და აქვს სიგრძის განზომილება (სმ)

თეორემა მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ

გარკვეული გადაადგილებისას მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება უდრის იმავე გადაადგილების წერტილზე მოქმედი ყველა ძალის ალგებრულ ჯამს.

თეორემა მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ

გარკვეული გადაადგილებისას მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება უდრის იმავე გადაადგილებისას სისტემის მატერიალურ წერტილებზე მოქმედი შიდა და გარე ძალების ალგებრულ ჯამს.

თეორემა მყარი სხეულის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ

ხისტი სხეულის (უცვლელი სისტემის) კინეტიკური ენერგიის ცვლილება გარკვეული გადაადგილებისას უდრის იმავე გადაადგილების სისტემის წერტილებზე მოქმედი გარე ძალების ჯამს.

ეფექტურობა

მექანიზმებში მოქმედი ძალები

ძალები და ძალების წყვილი (მომენტები), რომლებიც გამოიყენება მექანიზმზე ან მანქანაზე, შეიძლება დაიყოს ჯგუფებად:

1. მამოძრავებელი ძალები და მომენტები, რომლებიც ასრულებენ დადებით სამუშაოს (მიმართულია მამოძრავებელ ბმულებზე, მაგალითად, გაზის წნევა დგუშზე შიდა წვის ძრავში).

2. წინააღმდეგობის ძალები და მომენტები, რომლებიც ასრულებენ უარყოფით სამუშაოს:

• სასარგებლო წინააღმდეგობა (ისინი ასრულებენ მანქანიდან მოთხოვნილ სამუშაოს და მიმართავენ ამოძრავებულ ბმულებს, მაგალითად, მანქანით აწეული დატვირთვის წინააღმდეგობას),
• წინააღმდეგობის ძალები (მაგალითად, ხახუნის ძალები, ჰაერის წინააღმდეგობა და ა.შ.).

3. ზამბარების მიზიდულობის ძალები და დრეკადობის ძალები (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მუშაობა, ხოლო სამუშაო სრული ციკლისთვის არის ნული).

4. სხეულზე ან დგომაზე გარედან მიმართული ძალები და მომენტები (ძირის რეაქცია და ა.შ.), რომლებიც არ მოქმედებს.

5. კინემატიკურ წყვილებში მოქმედ კავშირებს შორის ურთიერთქმედების ძალები.

6. რგოლების ინერციულ ძალებს, რომლებიც გამოწვეულია კავშირების მასით და აჩქარებით მოძრაობით, შეუძლიათ შეასრულონ დადებითი, უარყოფითი სამუშაო და არ შეასრულონ სამუშაო.

ძალების მუშაობა მექანიზმებში

როდესაც მანქანა მუშაობს მდგრად მდგომარეობაში, მისი კინეტიკური ენერგია არ იცვლება და მასზე გამოყენებული მამოძრავებელი ძალებისა და წინააღმდეგობის ძალების მუშაობის ჯამი ნულის ტოლია.

მანქანის მოძრაობაში დაყენებაზე დახარჯული სამუშაო იხარჯება სასარგებლო და მავნე წინააღმდეგობების გადალახვაზე.

მექანიზმის ეფექტურობა

სტაბილური მოძრაობის დროს მექანიკური ეფექტურობა უდრის დანადგარის სასარგებლო სამუშაოს თანაფარდობას მანქანის მოძრაობაში დაყენებაზე დახარჯულ სამუშაოსთან:

მანქანის ელემენტები შეიძლება იყოს დაკავშირებული სერიულად, პარალელურად და შერეული.

ეფექტურობა სერიულ კავშირში

როდესაც მექანიზმები სერიულად არის დაკავშირებული, საერთო ეფექტურობა ნაკლებია, ვიდრე ინდივიდუალური მექანიზმის ყველაზე დაბალი ეფექტურობა.

ეფექტურობა პარალელურ კავშირში

მექანიზმების პარალელურად დაკავშირებისას, საერთო ეფექტურობა უფრო მაღალია, ვიდრე ყველაზე დაბალი და ნაკლები, ვიდრე უმაღლესი ეფექტურობა ინდივიდუალური მექანიზმის.

ფორმატი: pdf

ენა: რუსული, უკრაინული

აურზაური მექანიზმის გაანგარიშების მაგალითი
სტიმულატორის გაანგარიშების მაგალითი. განხორციელდა მასალის არჩევა, დასაშვები ძაბვის გამოთვლა, შეხებისა და მოღუნვის სიძლიერის გამოთვლა.

სხივის მოღუნვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
მაგალითში აშენდა განივი ძალებისა და მოღუნვის მომენტების დიაგრამები, აღმოჩნდა საშიში მონაკვეთი და შეირჩა I-სხივი. პრობლემამ გააანალიზა დიაგრამების აგება დიფერენციალური დამოკიდებულებების გამოყენებით და ჩაატარა სხივის სხვადასხვა ჯვრის მონაკვეთების შედარებითი ანალიზი.

ლილვის ბრუნვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
ამოცანაა შეამოწმოთ ფოლადის ლილვის სიმტკიცე მოცემულ დიამეტრზე, მასალასა და დასაშვებ სტრესზე. ამოხსნის დროს აგებულია ბრუნვის, ათვლის ძაბვისა და გადახვევის კუთხეების დიაგრამები. ლილვის საკუთარი წონა არ არის გათვალისწინებული

ღეროს დაძაბულობა-შეკუმშვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
ამოცანაა შეამოწმოთ ფოლადის ზოლის სიმტკიცე მითითებულ დასაშვებ სტრესებზე. ამოხსნის დროს აგებულია გრძივი ძალების, ნორმალური ძაბვისა და გადაადგილების დიაგრამები. ჯოხის საკუთარი წონა არ არის გათვალისწინებული

კინეტიკური ენერგიის შენარჩუნების თეორემის გამოყენება
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის კონსერვაციის თეორემის გამოყენებით

ამოცანის ამოხსნის მაგალითი ხისტი სხეულებით, ბლოკებით, საბურავებითა და ზამბარით სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების თეორემის გამოყენებით.

შინაარსი

Ამოცანა

მექანიკური სისტემა შედგება წონებისგან 1 და 2, საფეხურიანი ღვეზელი 3 საფეხურის რადიუსებით R 3 = 0,3 მ, r 3 = 0,1 მდა ბრუნვის რადიუსის მიმართ ბრუნვის ღერძთან ρ 3 = 0,2 მ, ბლოკი 4 რადიუსის R 4 = 0,2 მხოლო მოძრავი ბლოკი 5. ბლოკი 5 ითვლება მყარ ერთგვაროვან ცილინდრად. დატვირთვის ხახუნის კოეფიციენტი 2 სიბრტყეზე f = 0,1 . სისტემის სხეულები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ბლოკებზე გადაყრილი ძაფებით და ხვეული 3-ზე. ძაფების მონაკვეთები არის შესაბამისი სიბრტყის პარალელურად. ზამბარა სიხისტის კოეფიციენტით c = მიმაგრებულია მოძრავ ბლოკზე 5 280 ნ/მ.

ძალის გავლენით F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, მისი გამოყენების წერტილის გადაადგილებიდან გამომდინარე, სისტემა იწყებს მოძრაობას დასვენების მდგომარეობიდან. ზამბარის დეფორმაცია მოძრაობის დაწყების მომენტში ნულია. გადაადგილებისას 3-ზე მოქმედებს მუდმივი მომენტი M = 1.6 ნმწინააღმდეგობის ძალები (საკისრებში ხახუნისგან). სხეულის მასები: მ 1 = 0 , მ 2 = 5 კგ, მ 3 = 6 კგ, მ 4 = 0 , მ 5 = 4 კგ.

განსაზღვრეთ სხეულის მასის ცენტრის მნიშვნელობა 5 V C 5 იმ მომენტში, როდესაც 1-ის დატვირთვის s გადაადგილება ხდება s-ის ტოლი 1 = 0,2 მ.

შენიშვნა. პრობლემის გადაჭრისას გამოიყენეთ კინეტიკური ენერგიის ცვლილების თეორემა.

პრობლემის გადაწყვეტა

მოცემული:რ 3 = 0,3 მ, r 3 = 0,1 მ, ρ 3 = 0,2 მ, რ 4 = 0,2 მ, f = 0,1 , s = 280 ნ/მ, მ 1 = 0 , მ 2 = 5 კგ, მ 3 = 6 კგ, მ 4 = 0 , მ 5 = 4 კგ, F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, ს 1 = 0,2 მ.

იპოვე: V C 5 .

ცვლადი აღნიშვნები

რ 3, r 3- საბურავის საფეხურების რადიუსი 3;
ρ 3 - ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში ღერძის 3 ინერციის რადიუსი;
რ 5 - ბლოკის რადიუსი 5;
ვ 1 , ვ 2 - 1 და 2 სხეულების სიჩქარეები;
ω 3 - 3 ბრუნვის კუთხოვანი სიჩქარე;
V C 5 - მასის ცენტრის სიჩქარე C 5 ბლოკი 5;
ω 5 - მე-5 ბლოკის ბრუნვის კუთხური სიჩქარე;
ს 1 , ს 2 - 1 და 2 სხეულების მოძრაობა;
φ 3 - ბორბლის ბრუნვის კუთხე 3;
s C 5 - მასის ცენტრის მოძრაობა C 5 ბლოკი 5;
s A, s B - მოძრავი წერტილები A და B.

კინემატიკური ურთიერთობების დამყარება

დავამყაროთ კინემატიკური ურთიერთობები. ვინაიდან 1 და 2 დატვირთვები დაკავშირებულია ერთი ძაფით, მათი სიჩქარე ტოლია:
ვ 2 = V 1.
ვინაიდან 1 და 2 დატვირთვის დამაკავშირებელი ძაფი ხვეულია 3-ის გარე საფეხურზე, 3-ის გარე საფეხურის წერტილები მოძრაობს V სიჩქარით. 2 = V 1. მაშინ ბორბლის ბრუნვის კუთხური სიჩქარეა:
.
მასის ცენტრის სიჩქარე V C 5 ბლოკი 5 უდრის 3 საბურავის შიდა საფეხურის წერტილების სიჩქარეს:
.
K წერტილის სიჩქარე ნულია. მაშასადამე, ეს არის მე-5 ბლოკის მყისიერი სიჩქარის ცენტრი. მე-5 ბლოკის ბრუნვის კუთხური სიჩქარე:
.
B წერტილის სიჩქარე - ზამბარის თავისუფალი ბოლო - უდრის A წერტილის სიჩქარეს:
.

გამოვხატოთ სიჩქარეები V C-ით 5 .
;
;
.

ახლა მოდით დავაყენოთ კავშირი სხეულის მოძრაობასა და ბრუნვის კუთხეებს შორისბორბალი და ბლოკი. ვინაიდან სიჩქარეები და კუთხური სიჩქარეები არის გადაადგილებისა და ბრუნვის კუთხეების დროითი წარმოებულები
,
მაშინ იგივე კავშირები იქნება გადაადგილებებსა და ბრუნვის კუთხეებს შორის:
ს 2 = s 1;
;
;
.

სისტემის კინეტიკური ენერგიის განსაზღვრა

მოდი ვიპოვოთ სისტემის კინეტიკური ენერგია. დატვირთვა 2 ახორციელებს მთარგმნელობით მოძრაობას V სიჩქარით 2 . საბურველი 3 ასრულებს ბრუნვის მოძრაობას კუთხური ბრუნვის სიჩქარით ω 3 . ბლოკი 5 ასრულებს სიბრტყე პარალელურ მოძრაობას. ის ბრუნავს ω კუთხური სიჩქარით 5 და მისი მასის ცენტრი მოძრაობს V C სიჩქარით 5 . სისტემის კინეტიკური ენერგია:
.

მას შემდეგ, რაც მოცემულია ბორბლის ინერციის რადიუსი ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში, ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში ბორბლის ინერციის მომენტი განისაზღვრება ფორმულით:
ჯ 3 = მ 3 ρ 2 3.
ვინაიდან ბლოკი 5 არის მყარი ერთგვაროვანი ცილინდრი, მისი ინერციის მომენტი მასის ცენტრთან მიმართებაში უდრის
.

კინემატიკური მიმართებების გამოყენებით გამოვხატავთ ყველა სიჩქარეს V C-ით 5 და ჩაანაცვლეთ გამონათქვამები ინერციის მომენტებით კინეტიკური ენერგიის ფორმულაში.
,
სადაც შევედით მუდმივში
კგ.

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვნეთ სისტემის კინეტიკური ენერგიის დამოკიდებულება V C მასის ცენტრის სიჩქარეზე. 5 მოძრავი ბლოკი:
, სადაც m = 75 კგ.

გარე ძალების მუშაობის მოცულობის განსაზღვრა

განვიხილოთ გარე ძალები, მოქმედებს სისტემაზე.
ამავდროულად, ჩვენ არ განვიხილავთ ძაფების დაძაბულობის ძალებს, რადგან ძაფები განუყრელია და, შესაბამისად, ისინი არ წარმოქმნიან სამუშაოს. ამ მიზეზით, ჩვენ არ განვიხილავთ სხეულებში მოქმედ შინაგან სტრესებს, რადგან ისინი აბსოლუტურად მყარია.
სხეულზე 1 (ნულოვანი მასით) მოქმედებს მოცემული F ძალით.
დატვირთვა 2 მოქმედებს გრავიტაციით P 2 = მ 2 გ 2 და ხახუნის ძალა F T.
ღობე 3 მოქმედებს გრავიტაციით P 3 = მ 3 გ, N ღერძის წნევის ძალა 3 და ხახუნის ძალების მომენტი M.
4 ღერძი (ნულოვანი მასით) გავლენას ახდენს N ღერძის წნევის ძალით 4 .
მოძრავ ბლოკზე 5 მოქმედებს გრავიტაციით P 5 = მ 5 გ, ზამბარის დრეკადობის ძალა F y და ძაფის T K დაჭიმვის ძალა K წერტილში.

მუშაობა, რომელსაც ძალა აკეთებს მისი გამოყენების წერტილის მცირე გადაადგილებით გადაადგილებისას, ტოლია ვექტორების სკალარული ნამრავლის, ანუ F და ds ვექტორების აბსოლუტური მნიშვნელობების ნამრავლს შორის კუთხის კოსინუსით. მათ. მოცემული ძალა, რომელიც გამოიყენება სხეულზე 1, არის სხეულის 1-ის მოძრაობის პარალელურად. ამიტომ, ძალით შესრულებული სამუშაო, როდესაც სხეული 1 მოძრაობს s მანძილზე. 1 უდრის:


ჯ.

განვიხილოთ დატვირთვა 2. მასზე მოქმედებს მიზიდულობის ძალა P 2 , ზედაპირული წნევის ძალა N 2 , ძაფის დაჭიმვის ძალა T 23 , თ 24 და ხახუნის ძალა F T. ვინაიდან დატვირთვა არ მოძრაობს ვერტიკალური მიმართულებით, მისი აჩქარების პროექცია ვერტიკალურ ღერძზე ნულის ტოლია. ამრიგად, ვერტიკალურ ღერძზე ძალების პროგნოზების ჯამი ნულის ტოლია:
ნ 2 - P 2 = 0;
ნ 2 = P 2 = მ 2 გ.
ხახუნის ძალა:
F T = f N 2 = f m 2 გ.
ძალები პ 2 და ნ 2 გადაადგილების პერპენდიკულარული s 2 , ასე რომ ისინი არ აწარმოებენ სამუშაოს.
ხახუნის ძალის მუშაობა:
ჯ.

თუ დატვირთვა 2 განვიხილავთ, როგორც იზოლირებულ სისტემას, მაშინ უნდა გავითვალისწინოთ ძაფების დაძაბულობის ძალების მიერ წარმოებული სამუშაო T. 23 და თ 24 . თუმცა ჩვენ გვაინტერესებს მთელი სისტემა, რომელიც შედგება 1, 2, 3, 4 და 5 სხეულებისგან. ასეთი სისტემისთვის ძაფების დაძაბულობის ძალები შიდა ძალებია. და რადგან ძაფები განუყოფელია, მათი მუშაობის ჯამი ნულია. დატვირთვის 2-ის შემთხვევაში, თქვენ ასევე უნდა გაითვალისწინოთ ძაფების დაჭიმვის ძალები, რომლებიც მოქმედებენ 3-ზე და 4 ბლოკზე. ისინი ტოლია სიდიდით და მიმართულებით საპირისპირო ძალების T. 23 და თ 24 . მაშასადამე, ძაფების 23 და 24 დაძაბულობის ძალების მიერ დატვირთვა 2-ზე შესრულებული სამუშაო სიდიდით ტოლია და ნიშნით საპირისპიროა ამ ძაფების დაძაბულობის ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს 3-ზე და 4 ბლოკზე. შედეგად, რაოდენობა ძაფების დაძაბულობის ძალების მიერ წარმოებული სამუშაო ნულის ტოლია.

განვიხილოთ ბორბალი 3. ვინაიდან მისი მასის ცენტრი არ მოძრაობს, სიმძიმის P-ს მიერ შესრულებული სამუშაო 3 ნულის ტოლი.
რადგან C ღერძი 3 არის უმოძრაო, მაშინ N ღერძის წნევის ძალა 3 არ აწარმოებს სამუშაოს.
ბრუნვის მიერ შესრულებული სამუშაო გამოითვლება ძალის მიერ შესრულებული სამუშაოს მსგავსად:
.
ჩვენს შემთხვევაში, ხახუნის ძალების მომენტის ვექტორები და საყრდენის ბრუნვის კუთხე მიმართულია ღერძის ბრუნვის ღერძის გასწვრივ, მაგრამ მიმართულების საწინააღმდეგოდ. ამრიგად, ხახუნის ძალების მომენტის მუშაობა:
ჯ.

მოდით გადავხედოთ მე-5 ბლოკს.
ვინაიდან K წერტილის სიჩქარე ნულის ტოლია, T K ძალა არ წარმოქმნის მუშაობას.
C ბლოკის მასის ცენტრი 5 გადავიდა მანძილი s C 5 ზევით. ამრიგად, ბლოკის სიმძიმის მიერ შესრულებული სამუშაო არის:
ჯ.
ზამბარის დრეკადობის ძალით შესრულებული სამუშაო უდრის ზამბარის პოტენციური ენერგიის ცვლილებას მინუს ნიშნით. ვინაიდან ზამბარა ჯერ არ დეფორმირდება, მერე
ჯ.

ყველა ძალის მუშაობის ჯამი:

ჯ.

სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ თეორემის გამოყენება

გამოვიყენოთ თეორემა სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური სახით.
.
ვინაიდან სისტემა დასაწყისში ისვენებდა, მისი კინეტიკური ენერგია მისი მოძრაობის დასაწყისში არის
თ 0 = 0 .
მერე
.
აქედან
ქალბატონი.

მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგია შედგება მისი ყველა წერტილის კინეტიკური ენერგიისგან:

ამ თანასწორობის თითოეული ნაწილის დიფერენცირება დროის მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ

დინამიკის ძირითადი კანონის გამოყენებით რომსისტემის პუნქტი m k 2i k= Fj., მივდივართ თანასწორობამდე

F ძალისა და v სიჩქარის სკალარული ნამრავლი მისი გამოყენების ადგილას ეწოდება ძალის ძალადა აღვნიშნავთ რ:

ამ ახალი აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ წარმოვადგენთ (11.6) შემდეგი ფორმით:

შედეგად მიღებული თანასწორობა გამოხატავს თეორემის დიფერენციალურ ფორმას კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ: მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების სიჩქარე უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა სმ-ის jძალების ჯამს.

წარმოებულის წარმოდგენა ვ(8.5) წილადის სახით -- და შესრულება

შემდეგ ცვლადების გამოყოფით მივიღებთ:

სად dT-კინეტიკური ენერგიის დიფერენციალური, ე.ი. მისი ცვლილება დროის უსასრულოდ მცირე პერიოდში dr, dr k = k dt -ელემენტარული მოძრაობა -სისტემის ე პუნქტები, ე.ი. მოძრაობა დროში dt.

ძალის F და ელემენტარული გადაადგილების სკალარული ნამრავლი Drმისი გამოყენების წერტილები ეწოდება ძირითადი სამუშაოძალები და აღნიშნავენ dA:

სკალარული პროდუქტის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ძალის ელემენტარული მუშაობა ფორმაშიც

Აქ ds = dr -ძალის გამოყენების წერტილის ტრაექტორიის რკალის სიგრძე, მისი ელემენტარული გადაადგილების ს/გ შესაბამისი; A -კუთხე ძალის ვექტორის F და ელემენტარული გადაადგილების ვექტორის c/r მიმართულებებს შორის; F„F y, F,- ძალის ვექტორის F პროგნოზები დეკარტის ღერძებზე; dx, dy, dz -პროგნოზები ელემენტარული გადაადგილების ვექტორის დეკარტის ღერძებზე s/g.

აღნიშვნის (11.9) გათვალისწინებით, თანასწორობა (11.8) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმით:

იმათ. სისტემის კინეტიკური ენერგიის დიფერენციალი უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა ძალის ელემენტარული სამუშაოების ჯამს.ეს თანასწორობა, ისევე როგორც (11.7), გამოხატავს თეორემის დიფერენციალურ ფორმას კინეტიკური ენერგიის ცვლილებაზე, მაგრამ განსხვავდება (11.7)-ისგან იმით, რომ იგი იყენებს არა წარმოებულებს, არამედ უსასრულოდ მცირე ზრდას - დიფერენციალებს.

თანასწორობის (11.12) ტერმინალური ინტეგრაციის შესრულებით, ვიღებთ

სადაც ინტეგრაციის ლიმიტებად გამოიყენება შემდეგი: 7 0 - სისტემის კინეტიკური ენერგია დროის მომენტში? 0 ; 7) - სისტემის კინეტიკური ენერგია დროის მომენტში tx.

განსაზღვრული ინტეგრალები დროთა განმავლობაში ან A(F):

შენიშვნა 1. სამუშაოს გამოსათვლელად, ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია ტრაექტორიის არარკალური პარამეტრიზაციის გამოყენება. Ქალბატონი),და კოორდინაცია M(x(t), y(/), z(f)). ამ შემთხვევაში, ელემენტარული სამუშაოსთვის ბუნებრივია ავიღოთ წარმოდგენა (11.11) და წარმოვადგინოთ მრუდი ინტეგრალი სახით:

სასრულ გადაადგილებაზე სამუშაოს აღნიშვნის (11.14) გათვალისწინებით, ტოლობა (11.13) იღებს ფორმას.

და წარმოადგენს მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ თეორემის საბოლოო ფორმას.

თეორემა 3. მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება საწყისი პოზიციიდან საბოლოო პოზიციაზე გადასვლისას უდრის ამ მოძრაობისას სისტემის წერტილებზე მოქმედი ყველა ძალების მუშაობის ჯამს.

კომენტარი 2. ტოლობის მარჯვენა მხარე (11.16) ითვალისწინებს სამუშაოს მთელი ძალით, მოქმედებს სისტემაზე, როგორც გარე, ასევე შიდა. მიუხედავად ამისა, არსებობს მექანიკური სისტემები, რომლებისთვისაც ყველა შინაგანი ძალის მიერ შესრულებული მთლიანი სამუშაო ნულის ტოლია. ეგოები ე.წ უცვლელი სისტემები, რომელშიც მატერიალურ წერტილებს შორის მანძილი არ იცვლება. მაგალითად, მყარი სხეულების სისტემა, რომლებიც დაკავშირებულია ხახუნის გარეშე საკინძებით ან მოქნილი გაუწველი ძაფებით. ასეთი სისტემებისთვის თანასწორობაში (11.16) საკმარისია მხოლოდ გარეგანი ძალების მუშაობის გათვალისწინება, ე.ი. თეორემა (11.16) იღებს ფორმას: