მატერიალური წერტილისთვის, დინამიკის ძირითადი კანონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

მარცხნივ ამ მიმართების ორივე გვერდის ვექტორულად გამრავლებით რადიუსის ვექტორზე (ნახ. 3.9), მივიღებთ

(3.32)

ამ ფორმულის მარჯვენა მხარეს გვაქვს ძალის მომენტი O წერტილთან მიმართებაში. ჩვენ ვცვლით მარცხენა მხარეს ვექტორული ნამრავლის წარმოებულის ფორმულის გამოყენებით.

მაგრამ როგორც პარალელური ვექტორების ვექტორული ნამრავლი. ამის შემდეგ ვიღებთ

(3.33)

ნებისმიერი ცენტრის მიმართ წერტილის იმპულსის მომენტის დროის მიმართ პირველი წარმოებული ტოლია იმავე ცენტრთან მიმართებაში ძალის მომენტის.

სისტემის კუთხური იმპულსის გამოთვლის მაგალითი. გამოთვალეთ სისტემის კინეტიკური მომენტი O წერტილის მიმართ, რომელიც შედგება M = 20 კგ მასის ცილინდრული ლილვისგან და R = 0,5 მ რადიუსის და m = 60 კგ მასის დაღმავალი დატვირთვისგან (სურათი 3.12). ლილვი ბრუნავს Oz ღერძის გარშემო კუთხური სიჩქარით ω = 10 s -1.

სურათი 3.12

; ;

მოცემული შეყვანის მონაცემებისთვის, სისტემის კუთხური იმპულსი

თეორემა სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ.ჩვენ გამოვიყენებთ გარე და შიდა ძალებს სისტემის თითოეულ წერტილზე. სისტემის თითოეული წერტილისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ თეორემა კუთხური იმპულსის ცვლილებაზე, მაგალითად ფორმაში (3.33)

სისტემის ყველა წერტილის შეჯამებით და იმის გათვალისწინებით, რომ წარმოებულთა ჯამი უდრის ჯამის წარმოებულს, მივიღებთ

სისტემის კინეტიკური მომენტისა და გარე და შინაგანი ძალების თვისებების განსაზღვრით

აქედან გამომდინარე, შედეგად მიღებული ურთიერთობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

სისტემის კუთხური იმპულსის პირველი წარმოებული ნებისმიერი წერტილის მიმართ უდრის სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების ძირითად მომენტს იმავე წერტილის მიმართ.

3.3.5. ძალის მუშაობა

1) ძალის ელემენტარული მუშაობა ტოლია ძალის სკალარული ნამრავლისა და ძალის გამოყენების წერტილის ვექტორის დიფერენციალური რადიუსის (ნახ. 3.13)

სურათი 3.13

გამონათქვამი (3.36) ასევე შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ექვივალენტური ფორმებით

სადაც არის ძალის პროექცია ძალის გამოყენების წერტილის სიჩქარის მიმართულებაზე.

2) ძალის მუშაობა საბოლოო გადაადგილებაზე

ძალის ელემენტარული მუშაობის ინტეგრირებით, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამებს ძალის მუშაობისთვის საბოლოო გადაადგილებაზე A წერტილიდან B წერტილამდე.

3) მუდმივი ძალის მუშაობა

თუ ძალა მუდმივია, მაშინ ის (3.38)-დან მოდის

მუდმივი ძალის მუშაობა არ არის დამოკიდებული ტრაექტორიის ფორმაზე, არამედ დამოკიდებულია მხოლოდ ძალის გამოყენების წერტილის გადაადგილების ვექტორზე.

4) წონის ძალის მუშაობა

წონის ძალისთვის (ნახ. 3.14) და (3.39) ვიღებთ

სურათი 3.14

თუ მოძრაობა ხდება B წერტილიდან A წერტილამდე, მაშინ

Ზოგადად

"+" ნიშანი შეესაბამება ძალის გამოყენების წერტილის ქვევით მოძრაობას, "-" ნიშანს - ზემოთ.

4) დრეკადობის ძალის მუშაობა

ზამბარის ღერძი მიმართული იყოს x ღერძის გასწვრივ (ნახ. 3.15) და ზამბარის ბოლო გადავა 1 წერტილიდან 2 წერტილამდე, შემდეგ (3.38) მივიღებთ

თუ ზამბარის სიმტკიცე არის თან, ასე შემდეგ

ა (3.41)

თუ ზამბარის ბოლო გადადის 0 წერტილიდან 1 წერტილამდე, მაშინ ამ გამოსახულებაში ჩვენ ვცვლით , , მაშინ დრეკადობის ძალის მუშაობა მიიღებს ფორმას.

(3.42)

სად არის გაზაფხულის დრეკადობა.

სურათი 3.15

5) მბრუნავ სხეულზე მიმართული ძალის მოქმედება. მომენტის ნამუშევარი.

ნახ. ნახაზი 3.16 გვიჩვენებს მბრუნავ სხეულს, რომელზედაც მოქმედებს თვითნებური ძალა. ბრუნვის დროს ამ ძალის გამოყენების წერტილი წრეში მოძრაობს.

ზოგიერთ პრობლემაში, იმპულსის ნაცვლად, მისი მომენტი რომელიმე ცენტრთან ან ღერძთან მიმართებაში განიხილება, როგორც მოძრავი წერტილის დინამიური მახასიათებელი. ეს მომენტები განისაზღვრება ისევე, როგორც ძალის მომენტები.

მოძრაობის იმპულსის რაოდენობა მატერიალურ წერტილს O ცენტრთან მიმართებაში ეწოდება ვექტორი, რომელიც განისაზღვრება ტოლობით

წერტილის კუთხური იმპულსი ასევე ეწოდება კინეტიკური მომენტი .

იმპულსი ნებისმიერი ღერძის მიმართ, რომელიც გადის O ცენტრში, უდრის იმპულსის ვექტორის პროექციას ამ ღერძზე.

თუ იმპულსი მოცემულია მისი პროექციებით კოორდინატთა ღერძებზე და მოცემულია სივრცეში წერტილის კოორდინატები, მაშინ საწყისთან მიმართებაში კუთხური იმპულსი გამოითვლება შემდეგნაირად:

კუთხური იმპულსის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე ტოლია:

იმპულსის SI ერთეული არის – .

სამუშაოს დასასრული -

ეს თემა ეკუთვნის განყოფილებას:

დინამიკა

ლექცია.. შემაჯამებელი შესავალი დინამიკაში, კლასიკური მექანიკის აქსიომები.. შესავალი..

თუ გჭირდებათ დამატებითი მასალა ამ თემაზე, ან ვერ იპოვნეთ ის, რასაც ეძებდით, გირჩევთ გამოიყენოთ ძიება ჩვენს სამუშაოთა მონაცემთა ბაზაში:

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

თუ ეს მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო, შეგიძლიათ შეინახოთ იგი თქვენს გვერდზე სოციალურ ქსელებში:

ტვიტი

ყველა თემა ამ განყოფილებაში:

ერთეული სისტემები
SGS Si ტექნიკური [L] სმ მ მ [M]

წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები
დინამიკის ძირითადი განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად

დინამიკის ძირითადი ამოცანები
პირველი ან პირდაპირი ამოცანა: ცნობილია წერტილის მასა და მისი მოძრაობის კანონი, აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილზე მოქმედი ძალა. მ

ყველაზე მნიშვნელოვანი შემთხვევები
1. ძალა მუდმივია.

წერტილის მოძრაობის რაოდენობა
მატერიალური წერტილის მოძრაობის რაოდენობა არის m ნამრავლის ტოლი ვექტორი

ელემენტარული და სრული ძალის იმპულსი
ძალის მოქმედება მატერიალურ წერტილზე დროთა განმავლობაში

თეორემა წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ
თეორემა. წერტილის იმპულსის დროითი წარმოებული უდრის წერტილზე მოქმედ ძალას. ჩამოვწეროთ დინამიკის ძირითადი კანონი

თეორემა წერტილის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ
თეორემა. ამა თუ იმ ცენტრთან მიმართებით აღებული წერტილის იმპულსის მომენტის დროითი წარმოებული უდრის იმავე წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს.

ძალის მუშაობა. Ძალა
ძალის ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელი, რომელიც აფასებს ძალის გავლენას სხეულზე გარკვეული მოძრაობის დროს.

თეორემა წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ
თეორემა. წერტილის კინეტიკური ენერგიის დიფერენციალი უდრის წერტილზე მოქმედი ძალის ელემენტარულ მუშაობას.

დ'ალბერტის პრინციპი მატერიალური წერტილისთვის
მატერიალური წერტილის მოძრაობის განტოლებას ინერციულ საცნობარო სისტემასთან მიმართებაში გამოყენებული აქტიური ძალების და დაწყვილების რეაქციის ძალების მოქმედებით აქვს ფორმა:

არათავისუფალი მატერიალური წერტილის დინამიკა
არათავისუფალი მატერიალური წერტილი არის წერტილი, რომლის გადაადგილების თავისუფლება შეზღუდულია. სხეულებს, რომლებიც ზღუდავენ წერტილის გადაადგილების თავისუფლებას, კავშირები ეწოდება

მატერიალური წერტილის შედარებითი მოძრაობა
დინამიკის ბევრ პრობლემაში, მატერიალური წერტილის მოძრაობა განიხილება ინერციული საცნობარო ჩარჩოს მიმართ მოძრავი საცნობარო ჩარჩოს მიმართ.

ფარდობითი მოძრაობის განსაკუთრებული შემთხვევები
1. ფარდობითი მოძრაობა ინერციით თუ მატერიალური წერტილი მოძრავი საცნობარო ჩარჩოს მიმართ სწორხაზოვნად და თანაბრად მოძრაობს, მაშინ ასეთ მოძრაობას ეწოდება ფარდობითი.

მასების გეომეტრია
განვიხილოთ მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება მასის მქონე მატერიალური წერტილების სასრული რაოდენობისგან

ინერციის მომენტები
ბრუნვითი მოძრაობების განხილვისას სხეულებში მასების განაწილების დასახასიათებლად აუცილებელია ინერციის მომენტების ცნებების გაცნობა. ინერციის მომენტი წერტილის შესახებ

უმარტივესი სხეულების ინერციის მომენტები
1. ერთიანი ღერო 2. მართკუთხა ფირფიტა 3. ერთიანი მრგვალი დისკი

სისტემის მოძრაობის რაოდენობა
მატერიალური წერტილების სისტემის მოძრაობის რაოდენობა არის რაოდენობათა ვექტორული ჯამი

თეორემა სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ
ეს თეორემა მოდის სამი განსხვავებული ფორმით. თეორემა. სისტემის იმპულსის დროითი წარმოებული უდრის ყველა გარე ძალების ვექტორულ ჯამს, რომელიც მოქმედებს მასზე

იმპულსის შენარჩუნების კანონები
1. თუ სისტემის ყველა გარე ძალის მთავარი ვექტორი არის ნული (), მაშინ სისტემის მოძრაობის რაოდენობა მუდმივია.

თეორემა მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებ
თეორემა სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს ისევე, როგორც მატერიალური წერტილი, რომლის მასა უდრის მთელი სისტემის მასას, თუ წერტილის მიმართ გამოყენებული ყველა გარე ძალა მოქმედებს წერტილზე.

სისტემის იმპულსი
მატერიალური წერტილების სისტემის კუთხური იმპულსი ზოგიერთთან შედარებით

ხისტი სხეულის იმპულსის მომენტი ბრუნვის ღერძთან შედარებით ხისტი სხეულის ბრუნვითი მოძრაობის დროს
მოდით გამოვთვალოთ ხისტი სხეულის კუთხური იმპულსი ბრუნვის ღერძის მიმართ.

თეორემა სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ
თეორემა. სისტემის იმპულსის მომენტის დროითი წარმოებული, აღებული რომელიმე ცენტრთან მიმართებაში, უდრის გარე ძალების მომენტების ვექტორულ ჯამს, რომლებიც მოქმედებენ მასზე.

კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონები
1. თუ წერტილის მიმართ სისტემის გარე ძალების ძირითადი მომენტი ნულის ტოლია (

სისტემის კინეტიკური ენერგია
სისტემის კინეტიკური ენერგია არის სისტემის ყველა წერტილის კინეტიკური ენერგიის ჯამი.

მყარის კინეტიკური ენერგია
1. სხეულის წინ მოძრაობა. ხისტი სხეულის კინეტიკური ენერგია მთარგმნელობითი მოძრაობის დროს გამოითვლება ისევე, როგორც ერთი წერტილისთვის, რომლის მასა უდრის ამ სხეულის მასას.

თეორემა სისტემის კინეტიკური ენერგიის ცვლილების შესახებ
ეს თეორემა ორი ფორმით მოდის. თეორემა. სისტემის კინეტიკური ენერგიის დიფერენციალი უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე და შინაგანი ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამს.

პირველ რიგში, განვიხილოთ ერთი მატერიალური წერტილის შემთხვევა. მოდით იყოს M მატერიალური წერტილის მასა, იყოს მისი სიჩქარე და იყოს მოძრაობის რაოდენობა.

ავირჩიოთ O წერტილი მიმდებარე სივრცეში და ავაშენოთ ვექტორის მომენტი ამ წერტილის მიმართ იმავე წესების მიხედვით, რომლითაც ძალის მომენტი გამოითვლება სტატიკაში. ვიღებთ ვექტორულ რაოდენობას

რომელსაც ეწოდება მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსი O ცენტრთან მიმართებაში (სურ. 31).

მოდით ავაშენოთ დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxyz, რომლის საწყისი O ცენტრშია და ამ ღერძებზე დავაპროექტოთ ვექტორი ko. მის პროგნოზებს ამ ღერძებზე, ვექტორის მომენტების ტოლი შესაბამის კოორდინატულ ღერძებთან მიმართებაში, ეწოდება მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტები კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში:

ახლა გვაქვს მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება N მატერიალური წერტილისგან. ამ შემთხვევაში, კუთხის იმპულსი შეიძლება განისაზღვროს სისტემის თითოეული წერტილისთვის:

ყველა მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის გეომეტრიულ ჯამს, რომლებიც ქმნიან სისტემას, ეწოდება სისტემის ძირითადი კუთხური იმპულსი ან კინეტიკური მომენტი.

სისტემის მოძრაობის სიდიდე, როგორც ვექტორული სიდიდე, განისაზღვრება ფორმულებით (4.12) და (4.13).

თეორემა. სისტემის იმპულსის წარმოებული დროის მიმართ უდრის მასზე მოქმედი ყველა გარე ძალების გეომეტრიულ ჯამს.

დეკარტის ღერძების პროგნოზებში ვიღებთ სკალარული განტოლებებს.

შეგიძლიათ დაწეროთ ვექტორი

(4.28)

და სკალარული განტოლებები

რომლებიც გამოხატავს თეორემას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური ფორმით: სისტემის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის იმპულსების ჯამს დროის იმავე მონაკვეთში. ამოცანების ამოხსნისას უფრო ხშირად გამოიყენება განტოლებები (4.27).

იმპულსის შენარჩუნების კანონი

თეორემა კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

თეორემა ცენტრთან მიმართებაში წერტილის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ: წერტილის კუთხური იმპულსის დროითი წარმოებული ფიქსირებულ ცენტრთან მიმართებაში უდრის იმავე ცენტრთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის ვექტორულ მომენტს.

ან (4.30)

(4.23) და (4.30) შევადარებთ, ვხედავთ, რომ და ვექტორების მომენტები დაკავშირებულია იმავე დამოკიდებულებით, როგორც ვექტორები და თავად ისინი დაკავშირებულია (ნახ. 4.1). თუ ტოლობას გავაპროექტებთ O ცენტრის გამავალ ღერძზე, მივიღებთ

(4.31)

ეს ტოლობა გამოხატავს ღერძის მიმართ წერტილის კუთხური იმპულსის თეორემას.

ბრინჯი. 4.1.

თეორემა მექანიკური სისტემის ძირითადი კუთხური იმპულსის ან კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ ცენტრთან მიმართებაში: სისტემის კინეტიკური კუთხური იმპულსის დროის წარმოებული რომელიმე ფიქსირებულ ცენტრთან მიმართებაში უდრის ყველა გარე ძალების მომენტების ჯამს. იმავე ცენტრთან შედარებით.

(4.32)

თუ გამოვხატავთ გამოხატულებას (4.32) O ცენტრის გამავალ ღერძზე, მივიღებთ ტოლობას, რომელიც ახასიათებს თეორემას ღერძთან მიმართებაში კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ.

(4.33)

(4.10) ტოლობით (4.33) ჩანაცვლებით, შეგვიძლია დავწეროთ მბრუნავი ხისტი სხეულის (ბორბლები, ღერძები, ლილვები, როტორები და ა.შ.) დიფერენციალური განტოლება სამი სახით.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

ამგვარად, მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ თეორემა კინეტიკური მომენტის ცვლილების შესახებ ხისტი სხეულის მოძრაობის შესასწავლად, რაც ძალიან გავრცელებულია ტექნოლოგიაში, მისი ბრუნვა ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

სისტემის კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი

1. გამოვხატოთ (4.32) .

შემდეგ (4.32) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ე.ი. თუ სისტემაზე მიმართული ყველა გარე ძალების მომენტების ჯამი მოცემულ ცენტრთან მიმართებაში ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის კინეტიკური მომენტი ამ ცენტრთან მიმართებაში იქნება რიცხვითი და მიმართულების მუდმივი.

2. თუ , მაშინ . ამრიგად, თუ სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების მომენტების ჯამი გარკვეულ ღერძთან მიმართებაში ნულია, მაშინ სისტემის კინეტიკური მომენტი ამ ღერძის მიმართ იქნება მუდმივი მნიშვნელობა.

ეს შედეგები გამოხატავს კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონს.

მბრუნავი ხისტი სხეულის შემთხვევაში, ტოლობიდან (4.34) გამომდინარეობს, რომ თუ , მაშინ . აქედან მივდივართ შემდეგ დასკვნამდე:

თუ სისტემა უცვლელია (აბსოლუტურად ხისტი სხეული), მაშინ, შესაბამისად, ხისტი სხეული მუდმივი კუთხოვანი სიჩქარით ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

თუ სისტემა ცვალებადია, მაშინ . ზრდასთან ერთად (შემდეგ სისტემის ცალკეული ელემენტები შორდებიან ბრუნვის ღერძს), კუთხური სიჩქარე მცირდება, რადგან , ხოლო კლებისას იზრდება, ამდენად, ცვლადი სისტემის შემთხვევაში, შინაგანი ძალების დახმარებით შესაძლებელია კუთხური სიჩქარის შეცვლა.

ტესტის მეორე ამოცანა D2 ეთმობა თეორემას სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილების ღერძთან მიმართებაში.

პრობლემა D2

ერთგვაროვანი ჰორიზონტალური პლატფორმა (მრგვალი R რადიუსით ან მართკუთხა R და 2R გვერდებით, სადაც R = 1,2 მ) კგ მასით ბრუნავს კუთხური სიჩქარით ვერტიკალური ღერძის გარშემო z, დაშორებული პლატფორმის C მასის ცენტრიდან მანძილი OC = b (ნახ. E2.0 – D2.9, ცხრილი D2); ყველა მართკუთხა პლატფორმის ზომები ნაჩვენებია ნახ. D2.0a (ზედა ხედი).

დროის მომენტში, კგ მასის მქონე დატვირთვა D იწყებს მოძრაობას პლატფორმის ჭალის გასწვრივ (შიდა ძალების გავლენით) კანონის მიხედვით, სადაც s გამოიხატება მეტრებში, t - წამებში. ამავდროულად, ძალების წყვილი M მომენტით (მითითებულია ნიუტონომეტრებში; M-ზე< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

განსაზღვრეთ ლილვის მასის უგულებელყოფით, დამოკიდებულების ე.ი. პლატფორმის კუთხური სიჩქარე დროის მიხედვით.

ყველა ფიგურაში, დატვირთვა D ნაჩვენებია ისეთ მდგომარეობაში, რომელშიც s > 0 (როდესაც s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

მიმართულებები.ამოცანა D2 – თეორემის გამოყენება სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილებაზე. თეორემის გამოყენებისას სისტემაზე, რომელიც შედგება პლატფორმისა და დატვირთვისგან, სისტემის კუთხური იმპულსი z ღერძთან მიმართებაში განისაზღვრება, როგორც პლატფორმისა და დატვირთვის მომენტების ჯამი. გასათვალისწინებელია, რომ დატვირთვის აბსოლუტური სიჩქარე არის ფარდობითი და გადასატანი სიჩქარის ჯამი, ე.ი. . აქედან გამომდინარე, ამ დატვირთვის გადაადგილების რაოდენობა . შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ვარინიონის თეორემა (სტატიკა), რომლის მიხედვითაც; ეს მომენტები გამოითვლება ისევე, როგორც ძალების მომენტები. გამოსავალი უფრო დეტალურად არის ახსნილი მაგალითში D2.

პრობლემის გადაჭრისას სასარგებლოა დამხმარე ნახატში პლატფორმის ხედის გამოსახვა ზემოდან (z ბოლოდან), როგორც ეს კეთდება ნახ. D2.0, a – D2.9, a.

m მასის მქონე ფირფიტის ინერციის მომენტი Cz ღერძთან მიმართებაში, ფირფიტაზე პერპენდიკულარული და გადის მის მასის ცენტრში, ტოლია: მართკუთხა ფირფიტისთვის გვერდებით და

;

R რადიუსის მრგვალი ფირფიტისთვის

მდგომარეობის ნომერი	ბ	s = F(t)	მ
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	ბრინჯი. D2.0		ბრინჯი. D2.0a

	ბრინჯი. D2.1		ბრინჯი. D2.1a

	ბრინჯი. D2.2		ბრინჯი. D2.2a

	ბრინჯი. D2.3		ბრინჯი. D2.3a

	ბრინჯი. D2.4
		ბრინჯი. D2.4a

		ბრინჯი. D2.5a
	ბრინჯი. D2.5

	ბრინჯი. D2.6		ბრინჯი. D2.6a

	ბრინჯი. D2.7		ბრინჯი. D2.7a

	ბრინჯი. D2.8		ბრინჯი. D2.8a

	ბრინჯი. D2.9		ბრინჯი. D2.9a

	ბრინჯი. D 2

მაგალითი D2. ერთგვაროვანი ჰორიზონტალური პლატფორმა (მართკუთხა გვერდებით 2ლ და ლ), რომელსაც აქვს მასა, მტკიცედ არის მიმაგრებული ვერტიკალურ ლილვზე და მასთან ერთად ბრუნავს ღერძის გარშემო. ზკუთხური სიჩქარით (ნახ. E2a ). დროის მომენტში, ბრუნი M იწყებს მოქმედებას ლილვზე, საპირისპიროდ მიმართული ; ერთდროულად ტვირთი დთხრილში მდებარე მასა ABწერტილში თან,იწყებს მოძრაობას ჭურვის გასწვრივ (შინაგანი ძალების გავლენის ქვეშ) კანონის მიხედვით s = CD = F(t).

მოცემული: მ 1 = 16 კგ, t 2= 10 კგ, ლ= 0.5 მ, = 2, s = 0.4t 2 (s - მეტრებში, t - წამებში), მ= kt,სად კ=6 ნმ/წმ. განსაზღვრეთ: - პლატფორმის კუთხური სიჩქარის ცვლილების კანონი.

გამოსავალი.განვიხილოთ მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება პლატფორმისა და დატვირთვისგან დ. w-ის დასადგენად გამოვიყენებთ თეორემას სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილებაზე ღერძთან მიმართებაში. z:

(1)

გამოვსახოთ სისტემაზე მოქმედი გარე ძალები: რეაქციის გრავიტაციული ძალა და ბრუნი M. ვინაიდან ძალები და პარალელურია z ღერძისა და რეაქციები კვეთენ ამ ღერძს, მათი მომენტები z ღერძთან შედარებით ტოლია. ნული. შემდეგ, იმ მომენტისთვის დადებითი მიმართულების გათვალისწინებით (ე.ი. საათის ისრის საწინააღმდეგოდ), ვიღებთ და განტოლება (1) მიიღებს ამ ფორმას.

იმპულსის მომენტის მიმართულება და სიდიდე განისაზღვრება ზუსტად ისევე, როგორც ძალის მომენტის შეფასებისას (ნაწილი 1.2.2).

ამავე დროს ჩვენ განვსაზღვრავთ ( მთავარი) კუთხოვანი იმპულსი როგორც განსახილველი სისტემის წერტილების მოძრაობის მომენტების ვექტორული ჯამი. მას ასევე აქვს მეორე სახელი - კინეტიკური მომენტი :

ვიპოვოთ გამოხატვის დროის წარმოებული (3.40), ორი ფუნქციის ნამრავლის დიფერენცირების წესების გამოყენებით და ასევე ის ფაქტი, რომ ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს (ე.ი. ჯამის ნიშანი შეიძლება იყოს კოეფიციენტის სახით მოძრაობს დიფერენცირებისას):

.

გავითვალისწინოთ აშკარა კინემატიკური თანასწორობები: . შემდეგ: . ჩვენ ვიყენებთ საშუალო განტოლებას ფორმულებიდან (3.26) და ასევე ის ფაქტი, რომ ორი კოლინარული ვექტორის ( და ) ვექტორული ნამრავლი ნულის ტოლია, მივიღებთ:

შინაგანი ძალების თვისების (3.36) მე-2 წევრზე გამოყენებით, ვიღებთ გამონათქვამს მექანიკური სისტემის იმპულსის ძირითადი მომენტის ცვლილების შესახებ თეორემისთვის:

.

(3.42)

კინეტიკური მომენტის დროითი წარმოებული ტოლია სისტემაში მოქმედი ყველა გარე ძალების მომენტების ჯამისა.

ამ ფორმულირებას ხშირად უწოდებენ მოკლედ: მომენტის თეორემა .

უნდა აღინიშნოს, რომ მომენტების თეორემა ჩამოყალიბებულია ფიქსირებულ ათვლის სისტემაში გარკვეულ ფიქსირებულ ცენტრთან O. თუ ხისტი სხეული განიხილება როგორც მექანიკური სისტემა, მაშინ მოსახერხებელია O ცენტრის არჩევა ბრუნვის ღერძზე. სხეულის.

უნდა აღინიშნოს მომენტის თეორემის ერთი მნიშვნელოვანი თვისება (წარმოგიდგენთ მას დერივაციის გარეშე). მომენტების თეორემა ასევე მართალია მთარგმნელობით მოძრავ საცნობარო სისტემაში, თუ მის ცენტრად არჩეულია სხეულის მასის ცენტრი (პუნქტი C) (მექანიკური სისტემა):

თეორემის ფორმულირება ამ შემთხვევაში პრაქტიკულად იგივე რჩება.

დასკვნა 1

გამოსახვის მარჯვენა მხარე (3.42) იყოს ნულის =0, - სისტემა იზოლირებულია. შემდეგ (3.42) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ .

იზოლირებული მექანიკური სისტემისთვის, სისტემის კინეტიკური მომენტის ვექტორი არ იცვლება არც მიმართულებით და არც სიდიდეში დროთა განმავლობაში.

დასკვნა 2

თუ რომელიმე გამონათქვამის (3.44) მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია, მაგალითად, Oz ღერძისთვის: =0 (ნაწილობრივ იზოლირებული სისტემა), მაშინ (3.44) განტოლებიდან გამოდის: =კონსტ.

შესაბამისად, თუ რომელიმე ღერძთან მიმართებაში გარე ძალების მომენტების ჯამი ნულია, მაშინ ამ ღერძის გასწვრივ სისტემის ღერძული კინეტიკური მომენტი დროთა განმავლობაში არ იცვლება.

ზემოთ მოყვანილი ფორმულირებები დასკვნაში არის გამონათქვამები იზოლირებულ სისტემებში კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი .

ხისტი სხეულის იმპულსი

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა - ხისტი სხეულის ბრუნვა ოზის ღერძის გარშემო (სურ. 3.4).

ნახ.3.4

წერტილი სხეულზე, რომელიც გამოყოფილია ბრუნვის ღერძისგან მანძილით თ k, ბრუნავს ოქსის პარალელურ სიბრტყეში სიჩქარით . ღერძული მომენტის განმარტების შესაბამისად, ჩვენ ვიყენებთ გამოხატვას (1.19), რომელიც ანაცვლებს პროექციას. ფ XY ძალა ამ სიბრტყეზე წერტილის მოძრაობის სიდიდის მიხედვით . მოდით შევაფასოთ სხეულის ღერძული კინეტიკური მომენტი:

პითაგორას თეორემის მიხედვით , შესაბამისად (3.46) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

(3.47)

შემდეგ გამოხატულება (3.45) მიიღებს ფორმას:

(3.48)

თუ გამოვიყენებთ კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონს ნაწილობრივ იზოლირებული სისტემისთვის (დასკვნა 2) მყარ სხეულთან მიმართებაში (3.48), მივიღებთ . ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ განიხილოთ ორი ვარიანტი:

კითხვები თვითკონტროლისთვის

1. როგორ განისაზღვრება მბრუნავი ხისტი სხეულის კუთხური იმპულსი?

2. რით განსხვავდება ინერციის ღერძული მომენტი ღერძული კინეტიკური მომენტისგან?

3. როგორ იცვლება ხისტი სხეულის ბრუნვის სიჩქარე დროთა განმავლობაში გარე ძალების არარსებობის შემთხვევაში?

ხისტი სხეულის ინერციის ღერძული მომენტი

როგორც მოგვიანებით დავინახავთ, სხეულის ინერციის ღერძულ მომენტს სხეულის ბრუნვისთვის ისეთივე მნიშვნელობა აქვს, როგორც სხეულის მასას მისი გადამყვანი მოძრაობის დროს. ეს არის სხეულის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, რომელიც განსაზღვრავს სხეულის ინერციას მისი ბრუნვის დროს. როგორც განმარტებიდან ჩანს (3.45), ეს არის დადებითი სკალარული სიდიდე, რომელიც დამოკიდებულია სისტემის წერტილების მასებზე, მაგრამ უფრო მეტად წერტილების დაშორებაზე ბრუნვის ღერძიდან.

მარტივი ფორმის მყარი ჰომოგენური სხეულებისთვის ინერციის ღერძული მომენტის მნიშვნელობა, როგორც მასის ცენტრის პოზიციის შეფასებისას (3.8), გამოითვლება ინტეგრაციის მეთოდით, ელემენტარული მოცულობის მასის ნაცვლად. დისკრეტული მასა dm=ρdV:

(3.49)

ცნობისთვის, წარმოგიდგენთ ინერციის მომენტების მნიშვნელობებს რამდენიმე მარტივი სხეულისთვის:

მდა სიგრძე ლღერძის მიმართ, რომელიც გადის ღეროზე პერპენდიკულარულად მის შუაში (ნახ. 3.5).

სურ.3.5

მასის მქონე თხელი ერთგვაროვანი ღეროს ინერციის მომენტი მდა სიგრძე ლღერძის მიმართ, რომელიც გადის ღეროზე პერპენდიკულარულად მის ბოლოში (ნახ. 3.6).

სურ.3.6

მასის თხელი ერთგვაროვანი რგოლის ინერციის მომენტი მდა რადიუსი რღერძის მიმართ, რომელიც გადის მის ცენტრში რგოლის სიბრტყის პერპენდიკულარულად (ნახ. 3.7).

სურ.3.7

მასის მქონე თხელი ერთგვაროვანი დისკის ინერციის მომენტი მდა რადიუსი რმის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ დისკის სიბრტყის პერპენდიკულარულად (ნახ. 3.7).

სურ.3.8

· თვითნებური ფორმის სხეულის ინერციის მომენტი.

თვითნებური ფორმის სხეულებისთვის ინერციის მომენტი იწერება შემდეგი ფორმით:

სად ρ - ე. წ გირაციის რადიუსი სხეული, ან გარკვეული ჩვეულებრივი რგოლის რადიუსი მასით მ, რომლის ინერციის ღერძული მომენტი უდრის მოცემული სხეულის ინერციის მომენტს.

ჰიუგენს-შტაინერის თეორემა

სურ.3.9

მოდით დავაკავშიროთ ორი პარალელური კოორდინატული სისტემა სხეულთან. პირველ Cx"y"z", რომლის საწყისი მასის ცენტრშია, ეწოდება ცენტრალური, ხოლო მეორე Oxyz, ცენტრით O, რომელიც მდებარეობს Cx" ღერძზე დაშორებით CO = დ(ნახ. 3.9). ამ სისტემებში სხეულის წერტილების კოორდინატებს შორის კავშირის დამყარება მარტივია:

ფორმულის შესაბამისად (3.47), სხეულის ინერციის მომენტი ოზის ღერძთან მიმართებაში:

აქ ფაქტორები 2 მუდმივია მარჯვენა მხარის მე-2 და მე-3 ჯამების ყველა წევრისთვის დდა დამოღებულია შესაბამისი თანხებიდან. მესამე ნაწილში მასების ჯამი არის სხეულის მასა. მეორე ჯამი, (3.7) შესაბამისად, განსაზღვრავს C მასის ცენტრის კოორდინატს Cx ღერძზე" () და ტოლობა აშკარაა: იმის გათვალისწინებით, რომ 1 წევრი, განსაზღვრებით, არის მომენტი. სხეულის ინერცია ცენტრალურ ღერძთან Cz" (ან Z C) მიმართ ვიღებთ ჰაიგენს-შტაინერის თეორემის ფორმულირებას:

(3.50)

სხეულის ინერციის მომენტი გარკვეულ ღერძთან მიმართებაში უდრის სხეულის ინერციის მომენტის ჯამს პარალელურ ცენტრალურ ღერძთან და სხეულის მასის ნამრავლს ამ ღერძებს შორის მანძილის კვადრატით.

კითხვები თვითკონტროლისთვის

1. მიეცით ფორმულები ღეროს, რგოლის, დისკის ინერციის ღერძულ მომენტებზე.

2. იპოვეთ მრგვალი მყარი ცილინდრის ბრუნვის რადიუსი მის ცენტრალურ ღერძთან მიმართებაში.