2 ცვლადის ფუნქციის გრაფიკი z = f(x,y) არის ზედაპირი, რომელიც დაპროექტებულია XOY სიბრტყეზე D ფუნქციის განსაზღვრის დომენში.
განიხილეთ ზედაპირი σ , მოცემული განტოლებით z = f(x,y), სადაც f(x,y) დიფერენცირებადი ფუნქციაა და M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) იყოს ფიქსირებული წერტილი σ ზედაპირზე, ე.ი. z 0 = f(x 0,y 0). მიზანი. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია საპოვნელად ტანგენტური სიბრტყისა და ზედაპირის ნორმალური განტოლებები. გამოსავალი შედგენილია Word ფორმატში. თუ თქვენ გჭირდებათ მრუდის ტანგენტის განტოლების პოვნა (y = f(x)), მაშინ უნდა გამოიყენოთ ეს სერვისი.

ფუნქციების შეყვანის წესები:

ფუნქციების შეყვანის წესები:

ზედაპირის ტანგენტი σ მის წერტილში მ 0 არის სიბრტყე, რომელშიც დევს ზედაპირზე დახატული ყველა მრუდის ტანგენტები σ წერტილის მეშვეობით მ 0 .
ზედაპირთან ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) წერტილში განტოლებით z = f(x,y) აქვს ფორმა:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

ვექტორს ეწოდება ზედაპირული ნორმალური ვექტორი σ M 0 წერტილში. ნორმალური ვექტორი პერპენდიკულარულია ტანგენტის სიბრტყეზე.
ნორმალური ზედაპირზე σ წერტილში მ 0 არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის ამ წერტილში და აქვს N ვექტორის მიმართულება.
ზედაპირის ნორმალური განტოლებები, რომლებიც განისაზღვრება განტოლებით z = f(x,y) M 0 წერტილში (x 0 ,y 0 ,z 0), სადაც z 0 = f(x 0 ,y 0), აქვს ფორმა:

მაგალითი No1. ზედაპირი მოცემულია განტოლებით x 3 +5y. იპოვეთ ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლება M 0 წერტილში (0;1).
გამოსავალი. დავწეროთ ტანგენტების განტოლებები ზოგადი ფორმით: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
ამოცანის პირობების მიხედვით, x 0 = 0, y 0 = 1, შემდეგ z 0 = 5
ვიპოვოთ z = x^3+5*y ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0,1) წერტილში ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობებია:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ M 0 წერტილში ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ან -5 y+z = 0

მაგალითი No2. ზედაპირი განსაზღვრულია ირიბად y 2 -1/2*x 3 -8z. იპოვეთ ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლება M 0 (1;0;1) წერტილში.
გამოსავალი. ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების პოვნა. ვინაიდან ფუნქცია მითითებულია იმპლიციტურად, ჩვენ ვეძებთ წარმოებულებს ფორმულის გამოყენებით:

ჩვენი ფუნქციისთვის:

შემდეგ:

M წერტილში 0 (1,0,1) ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ M 0 წერტილში ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) ან 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

მაგალითი. ზედაპირი σ მოცემული განტოლებით ზ= y/x + xy – 5x 3. იპოვეთ ტანგენტის სიბრტყის და ზედაპირის ნორმალური განტოლება σ წერტილში მ 0 (x 0 ,წ 0 ,ზ 0), მისი კუთვნილი, თუ x 0 = –1, წ 0 = 2.
ვიპოვოთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ზ= ვ(x,წ) = y/x + xy – 5x 3:
f x'( x,წ) = (y/x + xy – 5x 3)' x = – y/x 2 + წ – 15x 2 ;
ვ) ( x,წ) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Წერტილი მ 0 (x 0 ,წ 0 ,ზ 0) ეკუთვნის ზედაპირს σ , ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ზ 0, მოცემულის ჩანაცვლება x 0 = –1 და წ 0 = 2 ზედაპირის განტოლებაში:

ზ= y/x + xy – 5x 3

ზ 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
წერტილში მ 0 (–1, 2, 1) ნაწილობრივი წარმოებული მნიშვნელობები:
f x'( მ 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; ვ) ( მ 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
ფორმულის გამოყენებით (5) ვიღებთ ზედაპირზე ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას σ წერტილში მ 0:
ზ – 1= –15(x + 1) – 2(წ – 2) ზ – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2წ + ზ + 10 = 0.
ფორმულის გამოყენებით (6) ვიღებთ ზედაპირის ნორმალურის კანონიკურ განტოლებებს σ წერტილში მ 0: .
პასუხები: ტანგენტის სიბრტყის განტოლება: 15 x + 2წ + ზ+ 10 = 0; ნორმალური განტოლებები: .

მაგალითი No1. მოცემულია z=f(x,y) ფუნქცია და ორი წერტილი A(x 0, y 0) და B(x 1, y 1). საჭიროა: 1) გამოთვალეთ ფუნქციის z 1 მნიშვნელობა B წერტილში; 2) გამოთვალეთ B წერტილში ფუნქციის z 1-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა A წერტილის ფუნქციის z 0 მნიშვნელობის საფუძველზე, A წერტილიდან B წერტილში გადაადგილებისას ფუნქციის ნამატის შეცვლა დიფერენციალურით; 3) შექმენით განტოლება ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყისთვის z = f(x,y) C(x 0 ,y 0 ,z 0) წერტილში.
გამოსავალი.
მოდით დავწეროთ ტანგენტების განტოლებები ზოგადი ფორმით:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
ამოცანის პირობების მიხედვით, x 0 = 1, y 0 = 2, შემდეგ z 0 = 25
ვიპოვოთ z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
M 0 (1,2) წერტილში ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობებია:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ M 0 წერტილში ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
ან
-26 x-36 y+z+73 = 0

მაგალითი No2. ჩაწერეთ ტანგენტის სიბრტყის და ნორმალური ტოლობები ელიფსური პარაბოლოიდის z = 2x 2 + y 2 წერტილში (1;-1;3).

მოდით გვქონდეს ზედაპირი, რომელიც განისაზღვრება ფორმის განტოლებით

მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი განმარტება.

განმარტება 1. სწორ ხაზს უწოდებენ ზედაპირს ტანგენტს რაღაც მომენტში, თუ ის არის

ტანგენსი ნებისმიერი მრუდის ზედაპირზე, რომელიც მდებარეობს ზედაპირზე და გადის წერტილში.

მას შემდეგ, რაც ზედაპირზე დევს სხვადასხვა მრუდის უსასრულო რაოდენობა გადის P წერტილში, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, იქნება უსასრულო რაოდენობის ტანგენტები ზედაპირზე, რომელიც გადის ამ წერტილში.

მოდით წარმოვიდგინოთ ზედაპირის სინგულარული და ჩვეულებრივი წერტილების კონცეფცია

თუ სამივე წარმოებული ერთ წერტილში ნულის ტოლია ან ამ წარმოებულებიდან ერთი მაინც არ არსებობს, მაშინ M წერტილს ზედაპირის სინგულარული წერტილი ეწოდება. თუ ერთ წერტილში სამივე წარმოებული არსებობს და უწყვეტია და ერთი მათგანი მაინც განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ M წერტილს ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი ეწოდება.

ახლა შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი თეორემა.

თეორემა. ყველა ტანგენტი მოცემულ ზედაპირზე (1) მის ჩვეულებრივ P წერტილში დევს იმავე სიბრტყეში.

მტკიცებულება. განვიხილოთ ზედაპირის გარკვეული ხაზი L (სურ. 206), რომელიც გადის ზედაპირის მოცემულ P წერტილში. მოდით, განსახილველი მრუდი მოცემული იყოს პარამეტრული განტოლებებით

მრუდის ტანგენსი იქნება ზედაპირის ტანგენსი. ამ ტანგენტის განტოლებებს აქვთ ფორმა

თუ გამონათქვამები (2) ჩანაცვლებულია განტოლებაში (1), მაშინ ეს განტოლება გადაიქცევა იდენტურობაში t-ის მიმართ, რადგან მრუდი (2) დევს ზედაპირზე (1). მისი დიფერენცირება ვიღებთ

ამ ვექტორის პროგნოზები დამოკიდებულია - P წერტილის კოორდინატებზე; გაითვალისწინეთ, რომ რადგან წერტილი P ჩვეულებრივია, P წერტილში ეს პროგნოზები ერთდროულად არ ქრება და ამიტომ

მრუდის ტანგენსი, რომელიც გადის P წერტილში და დევს ზედაპირზე. ამ ვექტორის პროგნოზები გამოითვლება (2) განტოლებების საფუძველზე, t პარამეტრის მნიშვნელობაზე, რომელიც შეესაბამება P წერტილს.

გამოვთვალოთ N ვექტორების სკალარული ნამრავლი და რომელიც უდრის ამავე სახელწოდების პროგნოზების ნამრავლების ჯამს:

ტოლობის (3) საფუძველზე მარჯვენა მხარეს გამოსახულება ნულის ტოლია, შესაბამისად,

ბოლო ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ვექტორი LG და მრუდის ტანგენსი (2) P წერტილში პერპენდიკულარულია. ზემოაღნიშნული მსჯელობა მართებულია ნებისმიერი მრუდისთვის (2), რომელიც გადის P წერტილში და დევს ზედაპირზე. შესაბამისად, P წერტილში ზედაპირის თითოეული ტანგენტი პერპენდიკულარულია იმავე N ვექტორზე და, შესაბამისად, ყველა ეს ტანგენსი მდებარეობს იმავე სიბრტყეში, პერპენდიკულარულად LG ვექტორზე. თეორემა დადასტურდა.

განმარტება 2. სიბრტყეს, რომელშიც განლაგებულია მის მოცემულ P წერტილში გამავალი ზედაპირის ხაზების ყველა ტანგენსი, ეწოდება ზედაპირის ტანგენსი P წერტილში (სურ. 207).

გაითვალისწინეთ, რომ ზედაპირის ცალკეულ წერტილებზე შეიძლება არ იყოს ტანგენტური სიბრტყე. ასეთ წერტილებში ზედაპირის ტანგენსი შეიძლება არ იყოს იმავე სიბრტყეში. მაგალითად, კონუსური ზედაპირის წვერო არის სინგულარული წერტილი.

კონუსური ზედაპირის ტანგენტები ამ დროს არ დევს ერთ სიბრტყეში (ისინი თავად ქმნიან კონუსურ ზედაპირს).

დავწეროთ ტანგენსი სიბრტყის განტოლება ზედაპირზე (1) ჩვეულებრივ წერტილში. ვინაიდან ეს სიბრტყე პერპენდიკულარულია ვექტორზე (4), შესაბამისად, მის განტოლებას აქვს ფორმა

თუ ზედაპირის განტოლება მოცემულია სახით ან ტანგენტის სიბრტყის განტოლება ამ შემთხვევაში იღებს ფორმას

კომენტარი. თუ ჩავსვამთ ფორმულას (6), მაშინ ეს ფორმულა მიიღებს ფორმას

მისი მარჯვენა მხარე არის ფუნქციის სრული დიფერენციალი. აქედან გამომდინარე,. ამრიგად, ორი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი წერტილში, რომელიც შეესაბამება x და y დამოუკიდებელი ცვლადების ნამატებს, უდრის ზედაპირზე ტანგენტის სიბრტყის აპლიკაციის შესაბამის ზრდას, რაც არის ამ ფუნქციის გრაფიკი.

განმარტება 3. სწორ ხაზს, რომელიც გავლებულია ზედაპირის (1) წერტილის მეშვეობით ტანგენტის სიბრტყეზე პერპენდიკულარულად, ეწოდება ზედაპირის ნორმალური (სურ. 207).

დავწეროთ ნორმალური განტოლებები. ვინაიდან მისი მიმართულება ემთხვევა ვექტორის N მიმართულებას, მის განტოლებებს ექნება ფორმა

განმარტება 1 : ზედაპირის ტანგენსი მოცემულ P წერტილში (x 0, y 0, z 0) არის სიბრტყე, რომელიც გადის P წერტილში და შეიცავს P წერტილში აგებულ ყველა ტანგენტს ამ ზედაპირის ყველა შესაძლო მრუდის მიმართ, რომელიც გადის P წერტილს.

მოდით, ზედაპირი s იყოს მოცემული განტოლებით ფ (X, ზე, ზ) = 0 და წერტილი პ (x 0 , y 0 , ზ 0) ეკუთვნის ამ ზედაპირს. მოდით ავირჩიოთ რამდენიმე მრუდი ზედაპირზე ლ, წერტილის გავლით რ.

დაე X = X(ტ), ზე = ზე(ტ), ზ = ზ(ტ) - წრფის პარამეტრული განტოლებები ლ.

დავუშვათ, რომ: 1) ფუნქცია ფ(X, ზე, ზ) არის დიფერენცირებადი წერტილში რდა მისი ყველა ნაწილობრივი წარმოებული ამ ეტაპზე ნულის ტოლი არ არის; 2) ფუნქციები X(ტ), ზე(ტ), ზ(ტ) ასევე დიფერენცირებადია.

ვინაიდან მრუდი ეკუთვნის s ზედაპირს, ამ მრუდის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, რომლებიც შეიცვლება ზედაპირის განტოლებაში, გადააქცევს მას იდენტურად. ამრიგად, იდენტური თანასწორობა მართალია: ფ [x(ტ), ზე(ტ), ზ (ტ)]= 0.

ამ იდენტობის დიფერენცირება ცვლადთან მიმართებაში ტჯაჭვის წესის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ახალ იდენტურ თანასწორობას, რომელიც მოქმედებს მრუდის ყველა წერტილზე, მათ შორის წერტილში პ (x 0 , y 0 , ზ 0):

დაე, წერტილი P შეესაბამებოდეს პარამეტრის მნიშვნელობას ტ 0, ანუ x 0 = x (ტ 0), წ 0 = წ (ტ 0), ზ 0 = ზ (ტ 0). შემდეგ ბოლო კავშირი გამოითვლება წერტილში რ, მიიღებს ფორმას

ეს ფორმულა არის ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი. პირველი არის მუდმივი ვექტორი

ზედაპირზე მრუდის არჩევისგან დამოუკიდებელი.

მეორე ვექტორი არის ტანგენტი წერტილში რხაზამდე ლ, რაც ნიშნავს, რომ ეს დამოკიდებულია ზედაპირზე ხაზის არჩევანზე, ანუ ეს არის ცვლადი ვექტორი.

შემოღებული აღნიშვნით, თანასწორობა არის:

გადავიწეროთ როგორ.

მისი მნიშვნელობა ასეთია: სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია, შესაბამისად, ვექტორები პერპენდიკულარულია. წერტილის გავლით ყველა შესაძლო მოსახვევის შერჩევა რზედაპირზე s, ჩვენ გვექნება სხვადასხვა ტანგენტის ვექტორები აგებული წერტილში რამ ხაზებისკენ; ვექტორი არ არის დამოკიდებული ამ არჩევანზე და იქნება რომელიმე მათგანზე პერპენდიკულარული, ანუ ყველა ტანგენტის ვექტორი განლაგებულია იმავე სიბრტყეში, რომელიც, განსაზღვრებით, ტანგენსია ზედაპირზე s და წერტილი რამ შემთხვევაში მას ტანგენტის წერტილი ეწოდება. ვექტორი არის ზედაპირის ნორმალური მიმართულების ვექტორი.

განმარტება 2: ზედაპირის s ნორმალური P წერტილში არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის P წერტილზე და პერპენდიკულარულია ამ წერტილში აგებულ ტანგენსზე.

ჩვენ დავამტკიცეთ ტანგენტური სიბრტყის არსებობა და, შესაბამისად, ზედაპირის ნორმალური. დავწეროთ მათი განტოლებები:

P (x0, y0, z0) წერტილში აგებული tangent სიბრტყის განტოლება s ზედაპირზე მოცემული განტოლებით F(x, y, z) = 0;

ნორმის განტოლება აგებულია წერტილში რზედაპირზე ს.

მაგალითი:იპოვეთ პარაბოლის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ზედაპირის განტოლება:

ზ 2 = 2p (y +2)

y ღერძის გარშემო, გამოთვალეთ იმ პირობით, რომ წერტილი M(3, 1, - 3)ზედაპირს ეკუთვნის. იპოვეთ ნორმალური და ტანგენსი სიბრტყის განტოლებები ზედაპირზე M წერტილში.

გამოსავალი.ბრუნვის ზედაპირის დაწერის წესის გამოყენებით ვიღებთ:

ზ 2 + x 2 = 2p (y +2) .

ამ განტოლებაში M წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით, ჩვენ გამოვთვლით p პარამეტრის მნიშვნელობას: 9 + 9 = 2r(1 + 2) . ჩვენ ჩავწერთ წერტილის გავლით რევოლუციის ზედაპირის საბოლოო ხედს M:

ზ 2 + x 2 = 6 (წ +2).

ახლა ჩვენ ვიპოვით ნორმალური და ტანგენტური სიბრტყის განტოლებებს ფორმულების გამოყენებით, რისთვისაც ჯერ გამოვთვალოთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:

F(x, y) = ზ 2 + x 2- 6 (წ +2):

შემდეგ ფორმას იღებს ტანგენტის სიბრტყის განტოლება 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 ან x - y - z - 5 = 0;

1°

1°. ტანგენტის სიბრტყის და ნორმალურის განტოლებები ზედაპირის მკაფიო განსაზღვრის შემთხვევისთვის.

განვიხილოთ ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების ერთ-ერთი გეომეტრიული გამოყენება. დაუშვით ფუნქცია ზ = ვ (x ;y)დიფერენცირებადი წერტილში (x 0; y 0)რაღაც ტერიტორია დÎ R 2. დავჭრათ ზედაპირი S,ფუნქციას წარმოადგენს z,თვითმფრინავები x = x 0და y = y 0(სურ. 11).

თვითმფრინავი X = x 0კვეთს ზედაპირს სრაღაც ხაზის გასწვრივ z 0 (y),რომლის განტოლება მიიღება ორიგინალური ფუნქციის გამოხატულებაში ჩანაცვლებით z ==ვ (x ;y)იმის მაგივრად Xნომრები x 0 .Წერტილი M 0 (x 0 ;y 0,ვ (x 0 ;y 0))მრუდს ეკუთვნის z 0 (y).დიფერენცირებადი ფუნქციის გამო ზწერტილში M 0ფუნქცია z 0 (y)ასევე დიფერენცირებადია წერტილში y =y 0.ამიტომ, თვითმფრინავის ამ ეტაპზე x = x 0მოსახვევამდე z 0 (y)ტანგენტის დახატვა შეიძლება ლ 1.

განყოფილების მსგავსი მსჯელობის განხორციელება ზე = y 0,ავაშენოთ ტანგენსი ლ 2მოსახვევამდე z 0 (x)წერტილში X = x 0 -პირდაპირი 1 1 და 1 2 განსაზღვრეთ თვითმფრინავი ე.წ ტანგენტური სიბრტყეზედაპირზე სწერტილში M 0.

შევქმნათ მისი განტოლება. ვინაიდან თვითმფრინავი გადის წერტილში მო(x 0 ;y 0 ;z 0),მაშინ მისი განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

რომელიც შეიძლება გადაიწეროს ასე:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(განტოლების გაყოფა -C-ზე და აღნიშვნა ).

ჩვენ ვიპოვით A 1და B 1.

ტანგენტების განტოლებები 1 1 და 1 2 გამოიყურება როგორც

შესაბამისად.

ტანგენტი ლ 1წევს თვითმფრინავში ა , შესაბამისად, ყველა წერტილის კოორდინატები ლ 1დააკმაყოფილეთ განტოლება (1). ეს ფაქტი შეიძლება დაიწეროს სისტემის სახით

B 1-ის მიმართ ამ სისტემის ამოხსნით მივიღებთ იმას.. ტანგენტის მსგავსი მსჯელობით ლ 3ამის დადგენა ადვილია.

მნიშვნელობების ჩანაცვლება A 1და B 1 განტოლებაში (1), ვიღებთ სასურველ ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას:

ხაზი, რომელიც გადის წერტილს M 0და ზედაპირის ამ წერტილში აგებულ ტანგენტს სიბრტყის პერპენდიკულარულს მისი ეწოდება ნორმალური.

წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის პირობის გამოყენებით მარტივია ნორმალური ნორმალური განტოლებების მიღება:

კომენტარი.ტანგენტური სიბრტყის და ზედაპირის ნორმალური სიბრტყის ფორმულები მიიღება ზედაპირის ჩვეულებრივი, ანუ არასპეციალური წერტილებისთვის. Წერტილი M 0ზედაპირი ე.წ განსაკუთრებული,თუ ამ მომენტში ყველა ნაწილობრივი წარმოებული ტოლია ნულის ან ერთი მათგანი მაინც არ არსებობს. ჩვენ არ განვიხილავთ ასეთ პუნქტებს.

მაგალითი. დაწერეთ განტოლებები ტანგენტის სიბრტყისთვის და ნორმალური ზედაპირისთვის მის წერტილში M(2; -1; 1).

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და მათი მნიშვნელობები M წერტილში

აქედან, (2) და (3) ფორმულების გამოყენებით, გვექნება: z-1=2(x-2)+2(y+1)ან 2х+2у-z-1=0- ტანგენტური სიბრტყის განტოლება და - ნორმალური განტოლებები.

2°. ტანგენტის სიბრტყისა და ნორმალურის განტოლებები ზედაპირის იმპლიციტური განსაზღვრის შემთხვევისთვის.

თუ ზედაპირი სმოცემული განტოლებით F (x ; y;ზ)= 0, შემდეგ განტოლებები (2) და (3), იმის გათვალისწინებით, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები შეიძლება მოიძებნოს, როგორც იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებულები.

ნორმალური სიბრტყის განტოლება

1.

4.

ტანგენტის სიბრტყე და ზედაპირი ნორმალურია

მიეცით გარკვეული ზედაპირი, A არის ზედაპირის ფიქსირებული წერტილი და B არის ზედაპირის ცვლადი წერტილი,

(ნახ. 1).

არანულოვანი ვექტორი

→

ნ

დაურეკა ნორმალური ვექტორიზედაპირზე A წერტილში, თუ

ლიმი B → A j = π 2 .

ზედაპირის წერტილს F (x, y, z) = 0 ეწოდება ჩვეულებრივი თუ ამ წერტილში

1. ნაწილობრივი წარმოებულები F " x , F " y , F " z უწყვეტია;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

თუ ამ პირობებიდან ერთი მაინც დაირღვა, ზედაპირის წერტილი ეწოდება ზედაპირის სპეციალური წერტილი .

თეორემა 1.თუ M(x 0 , y 0 , z 0 ) არის ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი F (x , y , z) = 0 , შემდეგ ვექტორი

→ ნ = გრადი F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → მე + F "y (x 0, y 0, z 0) → ჯ + F" z (x 0, y 0, z 0) → კ

(1)

ნორმალურია ამ ზედაპირისთვის M წერტილში (x 0 , y 0 , z 0 ) .

მტკიცებულებაწიგნში მოცემული ი.მ. პეტრუშკო, ლ.ა. კუზნეცოვა, ვ.ი. პროხორენკო, ვ.ფ. საფონოვა `` უმაღლესი მათემატიკის კურსი: ინტეგრალური გაანგარიშება. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციები. დიფერენციალური განტოლებები. მ.: გამომცემლობა MPEI, 2002 (გვ. 128).

ნორმალური ზედაპირზერაღაც მომენტში არის სწორი ხაზი, რომლის მიმართულების ვექტორი ნორმალურია ზედაპირის მიმართ ამ წერტილში და რომელიც გადის ამ წერტილში.

კანონიკური ნორმალური განტოლებებიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით

x − x 0 F" x (x 0, y 0, z 0) = y − y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z − z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

ტანგენტური თვითმფრინავიზედაპირზე გარკვეულ წერტილში არის სიბრტყე, რომელიც გადის ამ წერტილში პერპენდიკულარულად ამ წერტილის ზედაპირის ნორმალურზე.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ტანგენტური სიბრტყის განტოლებააქვს ფორმა:

(3)

თუ წერტილი ზედაპირზე არის სინგულარული, მაშინ ამ დროს ზედაპირზე ნორმალური ვექტორი შეიძლება არ არსებობდეს და, შესაბამისად, ზედაპირს არ ჰქონდეს ნორმალური და ტანგენტური სიბრტყე.

ორი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალური მნიშვნელობა

დაე, ფუნქცია z = f (x, y) იყოს დიფერენცირებადი a წერტილში (x 0, y 0). მისი გრაფიკი არის ზედაპირი

f (x, y) − z = 0.

დავდოთ z 0 = f (x 0 , y 0 ) . მაშინ წერტილი A (x 0 , y 0 , z 0 ) ეკუთვნის ზედაპირს.

F (x, y, z) = f (x, y) − z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები არის

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

და A წერტილში (x 0 , y 0 , z 0 )

1. ისინი უწყვეტია;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

მაშასადამე, A არის F ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი (x, y, z) და ამ წერტილში არის ზედაპირზე ტანგენტური სიბრტყე. (3) მიხედვით, ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

ტანგენტის სიბრტყეზე წერტილის ვერტიკალური გადაადგილება a (x 0, y 0) წერტილიდან p (x, y) თვითნებურ წერტილამდე გადაადგილებისას არის B Q (ნახ. 2). განაცხადების შესაბამისი მატება არის

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

აქ, მარჯვენა მხარეს არის დიფერენციალი დ z ფუნქცია z = f (x, y) a წერტილში (x 0, x 0). აქედან გამომდინარე,
დ f (x 0 , y 0 ). არის ტანგენტური სიბრტყის წერტილის აპლიკაციის ნამატი f (x, y) ფუნქციის გრაფიკზე (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

დიფერენციალური განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მანძილი ფუნქციის გრაფიკზე P წერტილსა და ტანგენტის სიბრტყეზე Q წერტილს შორის არის უფრო მაღალი რიგის უსასრულოდ მცირე მანძილი, ვიდრე მანძილი p წერტილიდან a წერტილამდე.