ამ გვერდზე თქვენ ნახავთ:

1. რეალურად, ანტიდერივატივების ცხრილი - მისი ჩამოტვირთვა შესაძლებელია PDF ფორმატში და დაბეჭდვა;

2. ვიდეო ამ ცხრილის გამოყენების შესახებ;

3. ანტიწარმოებულის გამოთვლის მაგალითების თაიგული სხვადასხვა სახელმძღვანელოებიდან და ტესტებიდან.

თავად ვიდეოში ჩვენ გავაანალიზებთ ბევრ პრობლემას, სადაც უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციების ანტიდერივატივები, ხშირად საკმაოდ რთული, მაგრამ რაც მთავარია, ისინი არ არიან დენის ფუნქციები. ზემოთ შემოთავაზებულ ცხრილში შეჯამებული ყველა ფუნქცია ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი, როგორც წარმოებულები. მათ გარეშე ინტეგრალების შემდგომი შესწავლა და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად შეუძლებელია.

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ პრიმიტივების შესწავლას და გადავდივართ ოდნავ უფრო რთულ თემაზე. თუ ბოლო დროს ჩვენ შევხედეთ მხოლოდ სიმძლავრის ფუნქციების ანტიდერივატივებს და ოდნავ უფრო რთულ კონსტრუქციებს, დღეს განვიხილავთ ტრიგონომეტრიას და ბევრად უფრო მეტს.

როგორც წინა გაკვეთილზე ვთქვი, ანტიდერივატივები, წარმოებულებისგან განსხვავებით, არასოდეს წყდება „მყისიერად“ რაიმე სტანდარტული წესების გამოყენებით. უფრო მეტიც, ცუდი ამბავი ის არის, რომ წარმოებულისგან განსხვავებით, ანტიდერივატი შეიძლება საერთოდ არ განიხილებოდეს. თუ დავწერთ სრულიად შემთხვევით ფუნქციას და ვცდილობთ ვიპოვოთ მისი წარმოებული, მაშინ ძალიან დიდი ალბათობით მივაღწევთ წარმატებას, მაგრამ ანტიდერივატი ამ შემთხვევაში თითქმის არასოდეს გამოითვლება. მაგრამ არის კარგი ამბავი: არსებობს ფუნქციების საკმაოდ დიდი კლასი, რომელსაც ეწოდება ელემენტარული ფუნქციები, რომელთა ანტიდერივატივები ძალიან ადვილი გამოსათვლელია. და ყველა სხვა უფრო რთული სტრუქტურა, რომელიც მოცემულია ყველა სახის ტესტზე, დამოუკიდებელ ტესტებსა და გამოცდებზე, ფაქტობრივად, შედგება ამ ელემენტარული ფუნქციებისგან შეკრების, გამოკლების და სხვა მარტივი მოქმედებების საშუალებით. ასეთი ფუნქციების პროტოტიპები დიდი ხანია გამოითვლება და შედგენილია სპეციალურ ცხრილებში. სწორედ ამ ფუნქციებითა და ცხრილებით ვიმუშავებთ დღეს.

მაგრამ ჩვენ დავიწყებთ, როგორც ყოველთვის, გამეორებით: გავიხსენოთ რა არის ანტიდერივატი, რატომ არის უსასრულოდ ბევრი მათგანი და როგორ განვსაზღვროთ მათი ზოგადი გარეგნობა. ამისათვის მე ავირჩიე ორი მარტივი პრობლემა.

მარტივი მაგალითების ამოხსნა

მაგალითი #1

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ და ზოგადად $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ მაშინვე მიგვანიშნებს, რომ ფუნქციის საჭირო ანტიდერივატი დაკავშირებულია ტრიგონომეტრიასთან. და, მართლაც, თუ გადავხედავთ ცხრილს, აღმოვაჩენთ, რომ $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ სხვა არაფერია თუ არა $\text(arctg)x$. მაშ ასე, დავწეროთ:

იმისათვის, რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა დაწეროთ შემდეგი:

\[\frac(\pi)(6)=\ტექსტი(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

მაგალითი No2

აქ ასევე საუბარია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე. თუ გადავხედავთ ცხრილს, მაშინ, მართლაც, ასე ხდება:

ანტიდერივატების მთელ კომპლექტს შორის უნდა ვიპოვოთ ის, რომელიც გადის მითითებულ წერტილში:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

მოდი ბოლოს ჩავწეროთ:

ეს ასე მარტივია. ერთადერთი პრობლემა ის არის, რომ მარტივი ფუნქციების ანტიწარმოებულების გამოსათვლელად, თქვენ უნდა ისწავლოთ ანტიდერივატიული ცხრილი. თუმცა, შენთვის წარმოებული ცხრილის შესწავლის შემდეგ, ვფიქრობ, რომ ეს პრობლემა არ იქნება.

ექსპონენციალური ფუნქციის შემცველი ამოცანების ამოხსნა

დასაწყისისთვის, მოდით დავწეროთ შემდეგი ფორმულები:

\[((e)^(x))\ to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი პრაქტიკაში.

მაგალითი #1

თუ გადავხედავთ ფრჩხილების შიგთავსს, შევამჩნევთ, რომ ანტიწარმოებულების ცხრილში არ არის ასეთი გამოხატულება $((e)^(x))$ რომ იყოს კვადრატში, ამიტომ ეს კვადრატი უნდა გაფართოვდეს. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ გამრავლების შემოკლებულ ფორმულებს:

მოდით ვიპოვოთ ანტიწარმოებული თითოეული ტერმინისთვის:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \მარჯვნივ))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \მარჯვნივ))^(x))\to \frac(((\left((e) )^(-2)) \მარჯვნივ))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

ახლა მოდით შევკრიბოთ ყველა ტერმინი ერთ გამონათქვამში და მივიღოთ ზოგადი ანტიდერივატი:

მაგალითი No2

ამჯერად ხარისხი უფრო დიდია, ამიტომ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა საკმაოდ რთული იქნება. მოდით გავხსნათ ფრჩხილები:

ახლა შევეცადოთ ავიღოთ ჩვენი ფორმულის ანტიდერივატი ამ კონსტრუქციიდან:

როგორც ხედავთ, ექსპონენციალური ფუნქციის ანტიდერივატებში არაფერია რთული ან ზებუნებრივი. ყველა მათგანი გამოითვლება ცხრილებით, მაგრამ ყურადღებიანი სტუდენტები ალბათ შეამჩნევენ, რომ ანტიწარმოებული $((e)^(2x))$ ბევრად უფრო ახლოს არის უბრალოდ $((e)^(x))$-თან, ვიდრე $((a-სთან) )^(x))$. მაშ, იქნებ არსებობს უფრო სპეციალური წესი, რომელიც საშუალებას იძლევა, რომ იცოდეთ ანტიდერივატი $((e)^(x))$, იპოვოთ $((e)^(2x))$? დიახ, ასეთი წესი არსებობს. და, უფრო მეტიც, ეს არის ანტიდერივატების ცხრილთან მუშაობის განუყოფელი ნაწილი. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ მას იგივე გამონათქვამების გამოყენებით, რომლებთანაც ახლახან ვიმუშავეთ, როგორც მაგალითი.

ანტიდერივატების ცხრილთან მუშაობის წესები

მოდით ისევ დავწეროთ ჩვენი ფუნქცია:

წინა შემთხვევაში, ჩვენ გამოვიყენეთ შემდეგი ფორმულა ამოსახსნელად:

\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\ოპერატორის სახელი(lna))\]

მაგრამ ახლა ცოტა სხვანაირად მოვიქცეთ: გავიხსენოთ რის საფუძველზე $((e)^(x))\ to ((e)^(x))$-მდე. როგორც უკვე ვთქვი, რადგან წარმოებული $((e)^(x))$ სხვა არაფერია, თუ არა $((e)^(x))$, ამიტომ მისი ანტიწარმოებული იქნება იგივე $((e) ^. (x))$. მაგრამ პრობლემა ისაა, რომ ჩვენ გვაქვს $((e)^(2x))$ და $((e)^(-2x))$. ახლა ვცადოთ ვიპოვოთ $((e)^(2x))$-ის წარმოებული:

\[((\ left(((e)^(2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\ left(2x \მარჯვნივ))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

მოდით ხელახლა გადავწეროთ ჩვენი კონსტრუქცია:

\[((\left(((e)^(2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

ეს ნიშნავს, რომ როდესაც ვიპოვით $((e)^(2x))$ ანტიწარმოებულს, მივიღებთ შემდეგს:

\[((e)^(2x))\frac(((e)^(2x)))(2)\]

როგორც ხედავთ, ჩვენ მივიღეთ იგივე შედეგი, როგორც ადრე, მაგრამ არ გამოვიყენეთ ფორმულა $((a)^(x))$-ის საპოვნელად. ახლა ეს შეიძლება სულელურად ჩანდეს: რატომ ართულებს გამოთვლებს, როდესაც არსებობს სტანდარტული ფორმულა? თუმცა, ოდნავ უფრო რთულ გამონათქვამებში ნახავთ, რომ ეს ტექნიკა ძალიან ეფექტურია, ე.ი. წარმოებულების გამოყენებით ანტიწარმოებულების საპოვნელად.

როგორც გახურება, მოდით ვიპოვოთ $((e)^(2x))$-ის ანტიწარმოებული ანალოგიურად:

\[((\left(((e)^(-2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

გაანგარიშებისას ჩვენი კონსტრუქცია ჩაიწერება შემდეგნაირად:

\[((e)^(-2x))\ to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\ to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

ზუსტად იგივე შედეგი მივიღეთ, მაგრამ სხვა გზა ავიღეთ. სწორედ ეს გზა, რომელიც ახლა ცოტა უფრო რთულად გვეჩვენება, მომავალში უფრო ეფექტური აღმოჩნდება უფრო რთული ანტიდერივატების გამოსათვლელად და ცხრილების გამოსაყენებლად.

Შენიშვნა! ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი: ანტიდერივატივები, ისევე როგორც წარმოებულები, შეიძლება დაითვალოს სხვადასხვა გზით. თუმცა, თუ ყველა გამოთვლა და გამოთვლა თანაბარია, მაშინ პასუხი იგივე იქნება. ჩვენ ახლახან ვნახეთ ეს $((e)^(-2x))$-ის მაგალითით - ერთის მხრივ, ჩვენ გამოვთვალეთ ეს ანტიწარმოებული "სწორად", განმარტების გამოყენებით და მისი გამოთვლა ტრანსფორმაციების გამოყენებით, მეორეს მხრივ, ჩვენ გვახსოვდა, რომ $ ((e)^(-2x))$ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $((\left(((e)^(-2)) \მარჯვნივ))^(x))$ და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოვიყენეთ ანტიწარმოებული $((a)^(x))$ ფუნქციისთვის. თუმცა, ყველა გარდაქმნის შემდეგ შედეგი ისეთივე იყო, როგორც მოსალოდნელი იყო.

და ახლა, როდესაც ჩვენ გვესმის ეს ყველაფერი, დროა გადავიდეთ უფრო მნიშვნელოვანზე. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ორ მარტივ კონსტრუქციას, მაგრამ ტექნიკა, რომელიც გამოყენებული იქნება მათი ამოხსნისას, უფრო მძლავრი და სასარგებლო ინსტრუმენტია, ვიდრე უბრალოდ „გაშვება“ მეზობელ ანტიდერივატებს შორის ცხრილიდან.

პრობლემის გადაჭრა: ფუნქციის ანტიწარმოებულის პოვნა

მაგალითი #1

მოდით დავყოთ მრიცხველებში არსებული რაოდენობა სამ ცალკეულ წილადად:

ეს საკმაოდ ბუნებრივი და გასაგები გადასვლაა - სტუდენტების უმეტესობას მასთან პრობლემები არ აქვს. მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა შემდეგნაირად:

ახლა გავიხსენოთ ეს ფორმულა:

ჩვენს შემთხვევაში მივიღებთ შემდეგს:

ყველა ამ სამსართულიანი წილადისგან თავის დასაღწევად, მე გთავაზობთ შემდეგის გაკეთებას:

მაგალითი No2

წინა წილადისგან განსხვავებით, მნიშვნელი არის არა ნამრავლი, არამედ ჯამი. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვეღარ გავყოფთ ჩვენს წილადს რამდენიმე მარტივი წილადის ჯამად, მაგრამ როგორმე უნდა ვეცადოთ დავრწმუნდეთ, რომ მრიცხველი შეიცავს დაახლოებით იგივე გამონათქვამს, რაც მნიშვნელს. ამ შემთხვევაში, ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია:

ეს აღნიშვნა, რომელსაც მათემატიკური ენაზე ეწოდება "ნულის დამატება", მოგვცემს საშუალებას კვლავ გავყოთ წილადი ორ ნაწილად:

ახლა მოდი ვიპოვოთ რასაც ვეძებდით:

სულ ეს არის გათვლები. მიუხედავად წინა პრობლემის აშკარად დიდი სირთულისა, გამოთვლების რაოდენობა კიდევ უფრო მცირე აღმოჩნდა.

ხსნარის ნიუანსი

და სწორედ აქ მდგომარეობს ტაბულურ ანტიდერივატებთან მუშაობის მთავარი სირთულე, ეს განსაკუთრებით შესამჩნევია მეორე ამოცანაში. ფაქტია, რომ იმისთვის, რომ შევარჩიოთ რამდენიმე ელემენტი, რომლებიც ადვილად გამოითვლება ცხრილის საშუალებით, უნდა ვიცოდეთ, რას ვეძებთ ზუსტად და სწორედ ამ ელემენტების ძიებაში შედგება ანტიდერივატების მთელი გაანგარიშება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საკმარისი არ არის მხოლოდ ანტიწარმოებულების ცხრილის დამახსოვრება - თქვენ უნდა შეგეძლოთ დაინახოთ ის, რაც ჯერ არ არსებობს, მაგრამ რას გულისხმობდა ამ პრობლემის ავტორი და შემდგენელი. ამიტომ ბევრი მათემატიკოსი, მასწავლებელი და პროფესორი გამუდმებით კამათობს: „რა არის ანტიწარმოებულების მიღება ან ინტეგრაცია - ეს მხოლოდ ინსტრუმენტია თუ ნამდვილი ხელოვნება? სინამდვილეში, ჩემი პირადი აზრით, ინტეგრაცია სულაც არ არის ხელოვნება - მასში არაფერია ამაღლებული, უბრალოდ პრაქტიკაა და მეტი პრაქტიკა. და პრაქტიკისთვის, მოდით გადავჭრათ კიდევ სამი სერიოზული მაგალითი.

ჩვენ ვვარჯიშობთ ინტეგრაციაში პრაქტიკაში

დავალება No1

მოდით დავწეროთ შემდეგი ფორმულები:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\\ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\text(arctg)x\]

მოდით დავწეროთ შემდეგი:

პრობლემა No2

გადავიწეროთ შემდეგნაირად:

მთლიანი ანტიდერივატი ტოლი იქნება:

პრობლემა No3

ამ ამოცანის სირთულე ისაა, რომ წინა ფუნქციებისგან განსხვავებით, საერთოდ არ არსებობს $x$ ცვლადი, ე.ი. ჩვენთვის გაუგებარია რა დავამატოთ ან გამოვაკლოთ, რომ მივიღოთ მინიმუმ რაღაც მსგავსი, რაც ქვემოთ არის. თუმცა, ფაქტობრივად, ეს გამოთქმა უფრო მარტივად ითვლება, ვიდრე რომელიმე წინა გამონათქვამი, რადგან ეს ფუნქცია შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ახლა შეიძლება იკითხოთ: რატომ არის ეს ფუნქციები თანაბარი? მოდით შევამოწმოთ:

მოდი ისევ გადავწეროთ:

მოდით ცოტათი შევცვალოთ ჩვენი გამოთქმა:

და როცა ამ ყველაფერს ჩემს სტუდენტებს ავუხსნი, თითქმის ყოველთვის ერთი და იგივე პრობლემა ჩნდება: პირველი ფუნქციით ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია, მეორეშიც იღბლით ან პრაქტიკით შეგიძლია გაარკვიო, მაგრამ როგორი ალტერნატიული ცნობიერება გაქვს. უნდა ჰქონდეს მესამე მაგალითის გადასაჭრელად? სინამდვილეში, ნუ გეშინია. ტექნიკას, რომელიც ჩვენ გამოვიყენეთ ბოლო ანტიწარმოებულის გამოთვლისას, ეწოდება "ფუნქციის დაშლა უმარტივესად" და ეს ძალიან სერიოზული ტექნიკაა და მას ცალკე ვიდეო გაკვეთილი დაეთმობა.

იმავდროულად, მე ვთავაზობ დავუბრუნდეთ იმას, რაც ახლახან შევისწავლეთ, კერძოდ, ექსპონენციალურ ფუნქციებს და გარკვეულწილად გაართულოთ პრობლემები მათი შინაარსით.

უფრო რთული ამოცანები ანტიდერივატიული ექსპონენციალური ფუნქციების ამოხსნისთვის

დავალება No1

აღვნიშნოთ შემდეგი:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\მარცხნივ(2\cdot 5 \მარჯვნივ))^(x))=((10)^(x) )\]

ამ გამოხატვის ანტიდერივატივის საპოვნელად უბრალოდ გამოიყენეთ სტანდარტული ფორმულა - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

ჩვენს შემთხვევაში, ანტიდერივატი იქნება ასეთი:

რა თქმა უნდა, დიზაინთან შედარებით, რომელიც ახლახან გადავწყვიტეთ, ეს უფრო მარტივად გამოიყურება.

პრობლემა No2

კიდევ ერთხელ, ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ფუნქცია ადვილად შეიძლება დაიყოს ორ ცალკეულ ტერმინად - ორ ცალკეულ წილადად. გადავიწეროთ:

რჩება თითოეული ამ ტერმინის ანტიდერივატივის პოვნა ზემოთ აღწერილი ფორმულის გამოყენებით:

მიუხედავად ექსპონენციალური ფუნქციების აშკარა უფრო დიდი სირთულისა, სიმძლავრის ფუნქციებთან შედარებით, გამოთვლებისა და გამოთვლების საერთო მოცულობა გაცილებით მარტივი აღმოჩნდა.

რა თქმა უნდა, მცოდნე სტუდენტებისთვის ის, რაც ახლა განვიხილეთ (განსაკუთრებით იმის ფონზე, რაც ადრე განვიხილეთ) შეიძლება ელემენტარულ გამონათქვამებად ჩანდეს. თუმცა, დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილისთვის ამ ორი პრობლემის არჩევისას, მე არ დამისახავს მიზანს, მეთქვა სხვა რთული და დახვეწილი ტექნიკა - რაც მინდოდა გაჩვენოთ, არის ის, რომ არ უნდა შეგეშინდეთ სტანდარტული ალგებრის ტექნიკის გამოყენება ორიგინალური ფუნქციების გარდაქმნისთვის. .

"საიდუმლო" ტექნიკის გამოყენება

დასასრულს, მინდა შევხედო კიდევ ერთ საინტერესო ტექნიკას, რომელიც, ერთის მხრივ, სცილდება იმას, რასაც დღეს ძირითადად განვიხილეთ, მაგრამ, მეორე მხრივ, ის, პირველ რიგში, სულაც არ არის რთული, ე.ი. დამწყებ მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ მისი ათვისება და მეორეც, საკმაოდ ხშირად გვხვდება ყველა სახის ტესტსა და დამოუკიდებელ სამუშაოში, ე.ი. ამის ცოდნა ძალიან სასარგებლო იქნება ანტიწარმოებულების ცხრილის ცოდნის გარდა.

დავალება No1

ცხადია, ჩვენ გვაქვს რაღაც ძალიან მსგავსი დენის ფუნქციასთან. რა უნდა გავაკეთოთ ამ შემთხვევაში? მოდით დავფიქრდეთ: $x-5$ არც ისე განსხვავდება $x$-ისგან - მათ უბრალოდ დაამატეს $5$. მოდით დავწეროთ ასე:

\[((x)^(4))\ to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

შევეცადოთ ვიპოვოთ $((\left(x-5 \right))^(5))$-ის წარმოებული:

\[((\ მარცხნივ ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(5)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=5\cdot ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ)) ^(4))\cdot ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(\prime ))=5\cdot ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(4))\]

ეს გულისხმობს:

\[((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \მარჯვნივ))^(5)))(5) \ მარჯვენა))^(\prime ))\]

ცხრილში ასეთი მნიშვნელობა არ არის, ამიტომ ჩვენ ახლა გამოვიყვანეთ ეს ფორმულა, სტანდარტული ანტიდერივატიული ფორმულის გამოყენებით სიმძლავრის ფუნქციისთვის. მოდით დავწეროთ პასუხი ასე:

პრობლემა No2

ბევრ სტუდენტს, ვინც პირველ გამოსავალს უყურებს, შეიძლება იფიქროს, რომ ყველაფერი ძალიან მარტივია: უბრალოდ შეცვალეთ $x$ სიმძლავრის ფუნქციაში წრფივი გამოსახულებით და ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება. სამწუხაროდ, ყველაფერი არც ისე მარტივია და ახლა ამას დავინახავთ.

პირველი გამონათქვამის ანალოგიით, ჩვენ ვწერთ შემდეგს:

\[((x)^(9))\ to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\ მარცხნივ ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(10)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=10\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ)) ^(9))\cdot ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(9)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)=-30\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ)) ^ (9))\]

ჩვენს წარმოებულს რომ დავუბრუნდეთ, შეგვიძლია დავწეროთ:

\[((\ მარცხნივ ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(10)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=-30\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ) )^(9))\]

\[((\მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \მარჯვნივ))^(10)))(-30) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

ეს დაუყოვნებლივ შემდეგნაირად ხდება:

ხსნარის ნიუანსი

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ ბოლო დროს არსებითად არაფერი შეცვლილა, მაშინ მეორე შემთხვევაში -10$-ის ნაცვლად გამოჩნდა -30$. რა განსხვავებაა -10$-სა და $30$-ს შორის? ცხადია, $-3$-ის ფაქტორით. კითხვა: საიდან გაჩნდა? თუ კარგად დააკვირდებით, ხედავთ, რომ იგი აღებულია რთული ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლის შედეგად - კოეფიციენტი, რომელიც $x$-ზე იყო, ჩნდება ქვემოთ მოცემულ ანტიწარმოებულში. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი წესი, რომლის განხილვას თავიდან საერთოდ არ ვგეგმავდი დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილზე, მაგრამ ამის გარეშე ტაბულური ანტიდერივატიების პრეზენტაცია არასრული იქნებოდა.

ასე რომ, მოდი ისევ გავაკეთოთ. მოდით იყოს ჩვენი მთავარი დენის ფუნქცია:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ახლა $x$-ის ნაცვლად ჩავანაცვლოთ გამოთქმა $kx+b$. რა მოხდება მერე? ჩვენ უნდა ვიპოვოთ შემდეგი:

\[((\ მარცხნივ(kx+b \მარჯვნივ))^(n))\\frac(((\left(kx+b \მარჯვნივ))^(n+1)))(\ left(n+ 1 \მარჯვნივ)\cdot k)\]

რის საფუძველზე ვამტკიცებთ ამას? Ძალიან მარტივი. ვიპოვოთ ზემოთ დაწერილი კონსტრუქციის წარმოებული:

\[((\left(\frac((\left(kx+b \მარჯვნივ))^(n+1)))(\left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot k) \მარჯვნივ))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot k)\cdot \left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot ((\left(kx+b \მარჯვნივ))^ (n))\cdot k=((\მარცხნივ(kx+b \მარჯვნივ))^(n))\]

ეს არის იგივე გამოთქმა, რომელიც თავდაპირველად არსებობდა. ამრიგად, ეს ფორმულა ასევე სწორია და ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ანტიდერივატების ცხრილის შესავსებად, ან უმჯობესია, უბრალოდ დაიმახსოვროთ მთელი ცხრილი.

დასკვნები "საიდუმლო: ტექნიკიდან:

• ორივე ფუნქცია, რომელიც ახლა ვნახეთ, შეიძლება, ფაქტობრივად, შემცირდეს ცხრილში მითითებულ ანტიწარმოებულებამდე, გრადუსების გაფართოებით, მაგრამ თუ ჩვენ მეტ-ნაკლებად შევძლებთ როგორმე გავუმკლავდეთ მეოთხე ხარისხს, მაშინ მე არ გავაკეთებდი მეცხრე ხარისხს. ყველამ გაბედა გამჟღავნება.
• ხარისხების გაფართოების შემთხვევაში, გამოთვლების ისეთი მოცულობით მივიღებდით, რომ უბრალო ამოცანის შესრულებას შეუფერებლად დიდი დრო წაგვიყვანს.
• ამიტომ ასეთ პრობლემებს, რომლებიც შეიცავს წრფივ გამონათქვამებს, არ საჭიროებს „თავხედ“ გადაჭრას. როგორც კი წააწყდებით ანტიწარმოებულს, რომელიც განსხვავდება ცხრილისგან მხოლოდ გამოთქმის $kx+b$ არსებობით შიგნით, მაშინვე დაიმახსოვრეთ ზემოთ დაწერილი ფორმულა, ჩაანაცვლეთ იგი თქვენი ცხრილის ანტიწარმოებულში და ყველაფერი ბევრად გამოვა. უფრო სწრაფად და მარტივად.

ბუნებრივია, ამ ტექნიკის სირთულისა და სერიოზულობის გამო, ჩვენ ბევრჯერ დავუბრუნდებით მის განხილვას მომავალ ვიდეო გაკვეთილებში, მაგრამ ეს ყველაფერი დღეისთვის. ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი ნამდვილად დაეხმარება იმ სტუდენტებს, რომლებსაც სურთ გაიგონ ანტიდერივატივები და ინტეგრაცია.

ინტეგრაცია მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი მთავარი ოპერაციაა. ცნობილი ანტიწარმოებულების ცხრილები შეიძლება სასარგებლო იყოს, მაგრამ ახლა, კომპიუტერული ალგებრის სისტემების გამოჩენის შემდეგ, ისინი კარგავენ მნიშვნელობას. ქვემოთ მოცემულია ყველაზე გავრცელებული პრიმიტივების სია.

ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი

კიდევ ერთი, კომპაქტური ვარიანტი

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალების ცხრილი

რაციონალური ფუნქციებიდან

ირაციონალური ფუნქციებიდან

ტრანსცენდენტული ფუნქციების ინტეგრალები

"C" არის თვითნებური ინტეგრაციის მუდმივი, რომელიც განისაზღვრება, თუ ცნობილია ინტეგრალის მნიშვნელობა ნებისმიერ წერტილში. თითოეულ ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებულების უსასრულო რაოდენობა.

სკოლის მოსწავლეებისა და სტუდენტების უმეტესობას ინტეგრალების გამოთვლის პრობლემა აქვს. ეს გვერდი შეიცავს ინტეგრალური ცხრილებიტრიგონომეტრიული, რაციონალური, ირაციონალური და ტრანსცენდენტული ფუნქციებიდან, რომლებიც დაგეხმარებათ ამოხსნაში. წარმოებულების ცხრილი ასევე დაგეხმარებათ.

ვიდეო - როგორ მოვძებნოთ ინტეგრალები

თუ ეს თემა კარგად არ გესმით, ნახეთ ვიდეო, სადაც ყველაფერი დეტალურად არის ახსნილი.

ანტიდერივატების ცხრილი („ინტეგრალები“). ინტეგრალების ცხრილი. ტაბულური განუსაზღვრელი ინტეგრალები. (უმარტივესი ინტეგრალები და ინტეგრალები პარამეტრით). ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულები. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.

ანტიდერივატების ცხრილი („ინტეგრალები“). ტაბულური განუსაზღვრელი ინტეგრალები. (უმარტივესი ინტეგრალები და ინტეგრალები პარამეტრით).
დენის ფუნქციის ინტეგრალი.	დენის ფუნქციის ინტეგრალი.
ინტეგრალი, რომელიც მცირდება სიმძლავრის ფუნქციის ინტეგრალამდე, თუ x ამოძრავებს დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.
	ექსპონენციის ინტეგრალი, სადაც a არის მუდმივი რიცხვი.
რთული ექსპონენციალური ფუნქციის ინტეგრალი.	ექსპონენციალური ფუნქციის ინტეგრალი.
ბუნებრივი ლოგარითმის ტოლი ინტეგრალი.	ინტეგრალი: "გრძელი ლოგარითმი".
	ინტეგრალი: "გრძელი ლოგარითმი".
ინტეგრალი: „მაღალი ლოგარითმი“.	ინტეგრალი, სადაც x მრიცხველში მოთავსებულია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ (ნიშნის ქვეშ არსებული მუდმივი შეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს), საბოლოოდ მსგავსია ბუნებრივი ლოგარითმის ტოლი ინტეგრალისა.
ინტეგრალი: „მაღალი ლოგარითმი“.
კოსინუსური ინტეგრალი.	სინუსური ინტეგრალი.
ტანგენტის ტოლი ინტეგრალი.	კოტანგენსის ტოლი ინტეგრალი.
ინტეგრალი ტოლია როგორც არქსინის, ასევე არკოზინის
ინტეგრალი, რომელიც ტოლია როგორც არქსინის, ასევე არკოზინის.	ინტეგრალი, რომელიც ტოლია როგორც არქტანგენტს, ასევე არკოტანგენტს.
ინტეგრალი ტოლია კოსეკანტის.	სეკანტის ტოლი ინტეგრალი.
ინტეგრალი ტოლია რკალისებური.	ინტეგრალი ტოლია არქოსეკანტის.
ინტეგრალი ტოლია რკალისებური.	ინტეგრალი ტოლია რკალისებური.
ინტეგრალი ჰიპერბოლური სინუსის ტოლია.	ინტეგრალი ჰიპერბოლური კოსინუსის ტოლია.
ინტეგრალი ჰიპერბოლური სინუსის ტოლია, სადაც sinhx არის ჰიპერბოლური სინუსი ინგლისურ ვერსიაში.	ინტეგრალი ჰიპერბოლური კოსინუსის ტოლია, სადაც sinhx არის ჰიპერბოლური სინუსი ინგლისურ ვერსიაში.
ინტეგრალი ჰიპერბოლური ტანგენსის ტოლია.	ინტეგრალი ჰიპერბოლური კოტანგენსის ტოლია.
ინტეგრალი ჰიპერბოლური სეკანტის ტოლია.	ინტეგრალი ჰიპერბოლური კოსეკანტის ტოლია.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულები. ინტეგრაციის წესები.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულები. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ინტეგრაციის წესები.
პროდუქტის (ფუნქციის) ინტეგრირება მუდმივით:
ფუნქციების ჯამის ინტეგრირება:
განუსაზღვრელი ინტეგრალები:
ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა განსაზღვრული ინტეგრალები:
ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა განსაზღვრული ინტეგრალები:	სადაც F(a), F(b) არის ანტიწარმოებულების მნიშვნელობები b და a წერტილებში, შესაბამისად.

წარმოებულების ცხრილი. ტაბულური წარმოებულები. პროდუქტის წარმოებული. კოეფიციენტის წარმოებული. რთული ფუნქციის წარმოებული.

თუ x დამოუკიდებელი ცვლადია, მაშინ:

წარმოებულების ცხრილი. ცხრილის წარმოებულები "მაგიდის წარმოებული" - დიახ, სამწუხაროდ, ზუსტად ასე ეძებენ მათ ინტერნეტში
	სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული
	მაჩვენებლის წარმოებული
რთული ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული	ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული
ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული	ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული
	ფუნქციის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული
სინუსის წარმოებული	კოსინუსის წარმოებული
კოსეკანტის წარმოებული	სეკანტის წარმოებული
არქსინის წარმოებული	რკალის კოსინუსის წარმოებული
არქსინის წარმოებული	რკალის კოსინუსის წარმოებული
ტანგენტის წარმოებული	კოტანგენტის წარმოებული
არქტანგენტის წარმოებული	რკალის კოტანგენტის წარმოებული
არქტანგენტის წარმოებული	რკალის კოტანგენტის წარმოებული
რკალის წარმოებული	არქოსეკანტის წარმოებული
რკალის წარმოებული	არქოსეკანტის წარმოებული
ჰიპერბოლური სინუსის წარმოებული ჰიპერბოლური სინუსის წარმოებული ინგლისურ ვერსიაში	ჰიპერბოლური კოსინუსის წარმოებული ჰიპერბოლური კოსინუსის წარმოებული ინგლისურ ვერსიაში
ჰიპერბოლური ტანგენტის წარმოებული	ჰიპერბოლური კოტანგენტის წარმოებული
ჰიპერბოლური სეკანტის წარმოებული	ჰიპერბოლური კოსეკანტის წარმოებული

დიფერენცირების წესები. პროდუქტის წარმოებული. კოეფიციენტის წარმოებული. რთული ფუნქციის წარმოებული.
პროდუქტის (ფუნქციის) წარმოებული მუდმივით:
ჯამის წარმოებული (ფუნქციები):
პროდუქტის წარმოებული (ფუნქციები):
კოეფიციენტის (ფუნქციების) წარმოებული:
რთული ფუნქციის წარმოებული:

ლოგარითმების თვისებები. ლოგარითმების ძირითადი ფორმულები. ათწილადი (lg) და ბუნებრივი ლოგარითმები (ln).

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
ვნახოთ, როგორ შეიძლება a b ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია ექსპონენციალური იყოს. ვინაიდან e x ფორმის ფუნქციას ექსპონენციალური ეწოდება, მაშინ
a b ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათის ხარისხად

ბუნებრივი ლოგარითმი ln (ლოგარითმი ფუძემდე e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

ტეილორის სერია. ტეილორის სერიის ფუნქციის გაფართოება.

გამოდის, რომ უმრავლესობა პრაქტიკულად შეექმნამათემატიკური ფუნქციები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერი სიზუსტით გარკვეული წერტილის სიახლოვეს ცვლადის სიმძლავრეების შემცველი სიმძლავრის სერიის სახით მზარდი თანმიმდევრობით. მაგალითად, x=1 წერტილის სიახლოვეს:

სერიის გამოყენებისას ე.წ ტეილორის რიგებიშერეული ფუნქციები, რომლებიც შეიცავს, ვთქვათ, ალგებრულ, ტრიგონომეტრიულ და ექსპონენციალურ ფუნქციებს შეიძლება გამოიხატოს წმინდა ალგებრულ ფუნქციებად. სერიის გამოყენებით, ხშირად შეგიძლიათ სწრაფად განახორციელოთ დიფერენციაცია და ინტეგრაცია.

ტეილორის სერიას a წერტილის სიახლოვეს აქვს ფორმა:

1) , სადაც f(x) არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს ყველა რიგის წარმოებული x = a. R n - დარჩენილი ტერმინი ტეილორის სერიაში განისაზღვრება გამოხატვით

2)

სერიის k-ე კოეფიციენტი (x k) განისაზღვრება ფორმულით

3) ტეილორის სერიის განსაკუთრებული შემთხვევაა მაკლარინის (= მაკლარენის) სერია (გაფართოება ხდება a=0 წერტილის გარშემო)

a=0-ზე

სერიის წევრები განისაზღვრება ფორმულით

ტეილორის სერიის გამოყენების პირობები.

1. იმისთვის, რომ ფუნქცია f(x) გაფართოვდეს ტეილორის სერიად (-R;R) ინტერვალზე, აუცილებელია და საკმარისია დარჩენილი ტერმინი ტეილორის (Maclaurin (=McLaren)) ფორმულაში. ფუნქცია ნულისკენ მიისწრაფვის, როგორც k →∞ მითითებულ ინტერვალზე (-R;R).

2. აუცილებელია არსებობდეს წარმოებულები მოცემული ფუნქციისთვის იმ წერტილში, რომლის მიდამოებშიც ვაპირებთ ტეილორის სერიის აგებას.

ტეილორის სერიის თვისებები.

თუ f არის ანალიტიკური ფუნქცია, მაშინ მისი ტეილორის სერია a ნებისმიერ წერტილში, f-ის განსაზღვრის დომენში, უახლოვდება f-ს a-ს ზოგიერთ სამეზობლოში.

არსებობს უსაზღვროდ დიფერენცირებადი ფუნქციები, რომელთა ტეილორის სერიები იყრის თავს, მაგრამ ამავე დროს განსხვავდება a-ს ნებისმიერი უბნის ფუნქციისგან. Მაგალითად:

ტეილორის სერიები გამოიყენება მიახლოებით (დაახლოება არის მეცნიერული მეთოდი, რომელიც მოიცავს ზოგიერთი ობიექტის სხვებით შეცვლას, ამა თუ იმ გაგებით, ორიგინალთან ახლოს, მაგრამ უფრო მარტივი) ფუნქციის მრავალწევრებით. კერძოდ, ხაზოვანიზაცია ((linearis-დან - წრფივი), დახურული არაწრფივი სისტემების მიახლოებითი წარმოდგენის ერთ-ერთი მეთოდი, რომელშიც არაწრფივი სისტემის შესწავლა იცვლება წრფივი სისტემის ანალიზით, გარკვეული გაგებით თავდაპირველის ეკვივალენტური. .) განტოლებები წარმოიქმნება ტეილორის სერიაში გაფართოებით და პირველი რიგის ყველა ტერმინის მოწყვეტით.

ამრიგად, თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პოლინომის სახით მოცემული სიზუსტით.

სიმძლავრის ფუნქციების ზოგიერთი საერთო გაფართოების მაგალითები მაკლარინის სერიებში (=მაკლარენი, ტეილორი 0 წერტილის სიახლოვეს) და ტეილორი 1 წერტილის სიახლოვეს. ძირითადი ფუნქციების გაფართოების პირველი ტერმინები ტეილორისა და მაკლარენის სერიებში.

სიმძლავრის ფუნქციების ზოგიერთი საერთო გაფართოების მაგალითები მაკლარინის სერიებში (=McLaren, Taylor 0 წერტილის სიახლოვეს)

ტეილორის სერიის ზოგიერთი გავრცელებული გაფართოების მაგალითები 1 წერტილის სიახლოვეს

მოდით ჩამოვთვალოთ ელემენტარული ფუნქციების ინტეგრალები, რომლებსაც ზოგჯერ ტაბულურს უწოდებენ:

ნებისმიერი ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება დადასტურდეს მარჯვენა მხარის წარმოებულის აღებით (შედეგი იქნება ინტეგრანი).

ინტეგრაციის მეთოდები

მოდით შევხედოთ რამდენიმე ძირითადი ინტეგრაციის მეთოდს. Ესენი მოიცავს:

1. დაშლის მეთოდი(პირდაპირი ინტეგრაცია).

ეს მეთოდი ეფუძნება ტაბულური ინტეგრალების პირდაპირ გამოყენებას, ასევე განუსაზღვრელი ინტეგრალის 4 და 5 თვისებების გამოყენებას (ანუ მუდმივი ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება და/ან ინტეგრადის წარმოდგენა ფუნქციების ჯამად - დაშლა. ინტეგრანტის ტერმინებში).

მაგალითი 1.მაგალითად, საპოვნელად(dx/x 4) შეგიძლიათ პირდაპირ გამოიყენოთ ცხრილის ინტეგრალიx n dx-ისთვის. სინამდვილეში,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

მაგალითი 2.მის საპოვნელად ვიყენებთ იგივე ინტეგრალს:

მაგალითი 3.მის მოსაძებნად უნდა აიღოთ

მაგალითი 4.საპოვნელად, ჩვენ წარმოვადგენთ ინტეგრანდულ ფუნქციას ფორმაში და გამოიყენეთ ცხრილის ინტეგრალი ექსპონენციალური ფუნქციისთვის:

განვიხილოთ ბრეკეტინგის გამოყენება მუდმივ ფაქტორად.

მაგალითი 5.მოდი ვიპოვოთ, მაგალითად . ამის გათვალისწინებით მივიღებთ

მაგალითი 6.ჩვენ ვიპოვით. Იმიტომ რომ , გამოვიყენოთ ცხრილის ინტეგრალი ვიღებთ

შემდეგ ორ მაგალითში ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ბრეკეტინგი და ცხრილის ინტეგრალები:

მაგალითი 7.

(ჩვენ ვიყენებთ და );

მაგალითი 8.

(ჩვენ ვიყენებთ და ).

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითებს, რომლებიც იყენებენ ჯამის ინტეგრალს.

მაგალითი 9.მაგალითად, ვიპოვოთ
. მრიცხველში გაფართოების მეთოდის გამოსაყენებლად ვიყენებთ ჯამის კუბის ფორმულას , შემდეგ კი მიღებულ მრავალწევრს ვყოფთ მნიშვნელზე, ტერმინით.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

უნდა აღინიშნოს, რომ ამოხსნის ბოლოს იწერება ერთი საერთო მუდმივი C (და არა ცალკეული ყოველი წევრის ინტეგრირებისას). სამომავლოდ, ასევე შემოთავაზებულია მუდმივების გამოტოვება ცალკეული ტერმინების ინტეგრაციისას ამოხსნის პროცესში, სანამ გამონათქვამი შეიცავს მინიმუმ ერთ განუსაზღვრელ ინტეგრალს (ჩვენ დავწერთ ერთ მუდმივას ამოხსნის ბოლოს).

მაგალითი 10.ჩვენ ვიპოვით . ამ პრობლემის გადასაჭრელად, მრიცხველის ფაქტორიზირება (ამის შემდეგ შეგვიძლია შევამციროთ მნიშვნელი).

მაგალითი 11.ჩვენ ვიპოვით. აქ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტრიგონომეტრიული იდენტობები.

ზოგჯერ გამონათქვამის ტერმინებად დასაშლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ უფრო რთული ტექნიკა.

მაგალითი 12.ჩვენ ვიპოვით . ინტეგრანდში ვირჩევთ წილადის მთელ ნაწილს . მერე

მაგალითი 13.ჩვენ ვიპოვით

2. ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი (ჩანაცვლების მეთოდი)

მეთოდი ეფუძნება შემდეგ ფორმულას: f(x)dx=f((t))`(t)dt, სადაც x =(t) არის განსახილველ ინტერვალზე დიფერენცირებადი ფუნქცია.

მტკიცებულება. ვიპოვოთ წარმოებულები t ცვლადის მიმართ ფორმულის მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან.

გაითვალისწინეთ, რომ მარცხენა მხარეს არის რთული ფუნქცია, რომლის შუალედური არგუმენტია x = (t). მაშასადამე, t-ის მიმართ მისი დიფერენცირებისთვის ჯერ განვასხვავებთ ინტეგრალს x-ის მიმართ, შემდეგ კი ვიღებთ შუალედური არგუმენტის წარმოებულს t-ის მიმართ.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

წარმოებული მარჯვენა მხრიდან:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

ვინაიდან ეს წარმოებულები ტოლია, ლაგრანჟის თეორემის შედეგად, დადასტურებული ფორმულის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები განსხვავდება გარკვეული მუდმივით. ვინაიდან განუსაზღვრელი ინტეგრალები თავად განსაზღვრულია განუსაზღვრელი მუდმივი ვადით, ეს მუდმივი შეიძლება გამოტოვოთ საბოლოო აღნიშვნიდან. დადასტურებული.

ცვლადის წარმატებული ცვლილება საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ ორიგინალური ინტეგრალი და უმარტივეს შემთხვევებში შეამციროთ იგი ცხრილამდე. ამ მეთოდის გამოყენებისას განასხვავებენ წრფივ და არაწრფივ ჩანაცვლების მეთოდებს.

ა) ხაზოვანი ჩანაცვლების მეთოდიმოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 1.
. მოდით t= 1 – 2x, მაშინ

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

უნდა აღინიშნოს, რომ ახალი ცვლადი არ საჭიროებს ცალსახად ჩამოწერას. ასეთ შემთხვევებში ისინი საუბრობენ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის გარდაქმნაზე ან დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მუდმივებისა და ცვლადების შემოღებაზე, ე.ი. ო იმპლიციტური ცვლადის ჩანაცვლება.

მაგალითი 2.მაგალითად, ვიპოვოთcos(3x + 2)dx. დიფერენციალური თვისებებით dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), შემდეგcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

ორივე განხილულ მაგალითში ინტეგრალების საპოვნელად გამოყენებული იყო წრფივი ჩანაცვლება t=kx+b(k0).

ზოგად შემთხვევაში, შემდეგი თეორემა მოქმედებს.

წრფივი ჩანაცვლების თეორემა. მოდით F(x) იყოს f(x) ფუნქციის ანტიდერივატი. მაშინf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, სადაც k და b არის გარკვეული მუდმივები,k0.

მტკიცებულება.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C ინტეგრალის განმარტებით. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. ამოვიღოთ k მუდმივი ფაქტორი ინტეგრალური ნიშნიდან: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები ორად და მივიღოთ დასამტკიცებელი განცხადება მუდმივი წევრის აღნიშვნამდე.

ამ თეორემაში ნათქვამია, რომ თუ ინტეგრალის განმარტებაში f(x)dx= F(x) + C არგუმენტის x ნაცვლად ჩავანაცვლებთ გამოსახულებას (kx+b), ეს გამოიწვევს დამატებით გამოჩენას. ფაქტორი 1/k ანტიდერივატივის წინ.

დადასტურებული თეორემის გამოყენებით ვხსნით შემდეგ მაგალითებს.

მაგალითი 3.

ჩვენ ვიპოვით . აქ kx+b= 3 –x, ანუ k= -1,b= 3. მაშინ

მაგალითი 4.

ჩვენ ვიპოვით. Herekx+b= 4x+ 3, ანუ k= 4,b= 3. მაშინ

მაგალითი 5.

ჩვენ ვიპოვით . აქ kx+b= -2x+ 7, ანუ k= -2,b= 7. მაშინ

.

მაგალითი 6.ჩვენ ვიპოვით
. აქ kx+b= 2x+ 0, ანუ k= 2,b= 0.

.

შევადაროთ მიღებული შედეგი მე-8 მაგალითს, რომელიც ამოხსნილია დაშლის მეთოდით. ერთი და იგივე პრობლემის გადაჭრა სხვა მეთოდით, მივიღეთ პასუხი
. შევადაროთ შედეგები: ამრიგად, ეს გამონათქვამები განსხვავდება ერთმანეთისგან მუდმივი ვადით , ე.ი. მიღებული პასუხები არ ეწინააღმდეგება ერთმანეთს.

მაგალითი 7.ჩვენ ვიპოვით
. მნიშვნელში ავირჩიოთ სრულყოფილი კვადრატი.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ცვლადის შეცვლა არ ამცირებს ინტეგრალს პირდაპირ ცხრილამდე, მაგრამ შეუძლია გაამარტივოს ამოხსნა, რაც შესაძლებელს გახდის გაფართოების მეთოდის გამოყენებას შემდგომ ეტაპზე.

მაგალითი 8.მაგალითად, ვიპოვოთ . ჩაანაცვლეთ t=x+ 2, შემდეგ dt=d(x+ 2) =dx. მერე

,

სადაც C = C 1 – 6 (პირველი ორი წევრის ნაცვლად გამოხატვის (x+ 2) ჩანაცვლებისას მივიღებთ ½x 2 -2x– 6).

მაგალითი 9.ჩვენ ვიპოვით
. მოდით t= 2x+ 1, შემდეგ dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

ჩავანაცვლოთ გამოთქმა (2x+ 1) t-ით, გავხსნათ ფრჩხილები და მივცეთ მსგავსი.

გაითვალისწინეთ, რომ გარდაქმნების პროცესში ჩვენ გადავედით სხვა მუდმივ ტერმინზე, რადგან მუდმივი ტერმინების ჯგუფი შეიძლება გამოტოვდეს ტრანსფორმაციის პროცესში.

ბ) არაწრფივი ჩანაცვლების მეთოდიმოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 1.
. Lett= -x 2. შემდეგ, შეიძლება x გამოვხატოთ t-ით, შემდეგ ვიპოვოთ გამოხატვა dx-ისთვის და განვახორციელოთ ცვლადის ცვლილება სასურველ ინტეგრალში. მაგრამ ამ შემთხვევაში უფრო ადვილია საქმის განსხვავებულად გაკეთება. ვიპოვოთ dt=d(-x 2) = -2xdx. გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება xdx არის სასურველი ინტეგრალის ინტეგრატის ფაქტორი. მოდით გამოვხატოთ მიღებული თანასწორობიდან xdx= - ½dt. მერე

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2.ჩვენ ვიპოვით . მოდით t= 1 -x 2 . მერე

მაგალითი 3.ჩვენ ვიპოვით . Lett=. მერე

;

მაგალითი 4.არაწრფივი ჩანაცვლების შემთხვევაში ასევე მოსახერხებელია იმპლიციტური ცვლადის ჩანაცვლების გამოყენება.

მაგალითად, ვიპოვოთ
. დავწეროთ xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (იმპლიციტურად ჩანაცვლებულია t= 3 - 2x 2 ცვლადით). მერე

მაგალითი 5.ჩვენ ვიპოვით . აქ ასევე შემოგვაქვს ცვლადი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: (იმპლიციტური ჩანაცვლება = 3 + 5x 3). მერე

მაგალითი 6.ჩვენ ვიპოვით . Იმიტომ რომ ,

მაგალითი 7.ჩვენ ვიპოვით. Მას შემდეგ

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს, რომლებშიც საჭირო ხდება სხვადასხვა ჩანაცვლების გაერთიანება.

მაგალითი 8.ჩვენ ვიპოვით
. მოდით t= 2x+ 1, შემდეგ x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

მაგალითი 9.ჩვენ ვიპოვით
. Lett=x- 2, thenx=t+ 2;dx=dt.

პირდაპირი ინტეგრაცია ანტიწარმოებულების ცხრილის გამოყენებით (განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი)

ანტიდერივატების ცხრილი

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ანტიწარმოებული ფუნქციის ცნობილი დიფერენციალიდან, თუ გამოვიყენებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების ცხრილიდან, ტოლობების გამოყენებით ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C და ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x შეგვიძლია შევქმნათ ანტიწარმოებულების ცხრილი.

წარმოებულთა ცხრილი დავწეროთ დიფერენციალური სახით.

მუდმივი y = C C" = 0 სიმძლავრის ფუნქცია y = x p. (x p) " = p x p - 1	მუდმივი y = C d (C) = 0 d x სიმძლავრის ფუნქცია y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	ექსპონენციალური ფუნქცია y = a x. d (a x) = a x ln α d x კერძოდ, a = e-სთვის გვაქვს y = e x d (e x) = e x d x
log a x" = 1 x ln a	ლოგარითმული ფუნქციები y = log a x. d (log a x) = d x x ln a კერძოდ, a = e-სთვის გვაქვს y = ln x d (ln x) = d x x
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

მოდით ავხსნათ ზემოთ აღნიშნული მაგალითით. ვიპოვოთ ძალაუფლების ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი f (x) = x p.

დიფერენციალთა ცხრილის მიხედვით d (x p) = p · x p - 1 · d x. განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებით გვაქვს ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . ამიტომ, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. ჩანაწერის მეორე ვერსია ასეთია: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

ავიღოთ - 1-ის ტოლი და ვიპოვოთ f (x) = x p სიმძლავრის ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x.

ახლა ჩვენ გვჭირდება დიფერენციალთა ცხრილი ბუნებრივი ლოგარითმისთვის d (ln x) = d x x, x > 0, შესაბამისად ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. ამიტომ ∫ d x x = ln x , x > 0 .

ანტიწარმოებულების ცხრილი (განუსაზღვრელი ინტეგრალები)

ცხრილის მარცხენა სვეტი შეიცავს ფორმულებს, რომლებსაც ძირითადი ანტიდერივატივები ეწოდება. მარჯვენა სვეტის ფორმულები არ არის ძირითადი, მაგრამ მათი გამოყენება შესაძლებელია განუსაზღვრელი ინტეგრალების მოსაძებნად. მათი შემოწმება შესაძლებელია დიფერენციაციის გზით.

პირდაპირი ინტეგრაცია

პირდაპირი ინტეგრაციის შესასრულებლად გამოვიყენებთ ანტიწარმოებულების ცხრილებს, ინტეგრაციის წესებს ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, ასევე განუსაზღვრელი ინტეგრალების თვისებებს ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი და ინტეგრალების თვისებები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ ინტეგრადის მარტივი ტრანსფორმაციის შემდეგ.

მაგალითი 1

ვიპოვოთ ინტეგრალი ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

გამოსავალი

ჩვენ ამოიღეთ კოეფიციენტი 3 ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნის ინტეგრანდულ ფუნქციას:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + ცოდვა x d x

ვინაიდან ჯამის ინტეგრალი ინტეგრალების ჯამის ტოლია, მაშინ
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

ჩვენ ვიყენებთ მონაცემებს ანტიწარმოებულების ცხრილიდან: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = ცარიელი 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

პასუხი:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

მაგალითი 2

აუცილებელია ვიპოვოთ f (x) = 2 3 4 x - 7 ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე.

გამოსავალი

ექსპონენციალური ფუნქციისთვის ვიყენებთ ანტიწარმოებულთა ცხრილს: ∫ a x · d x = a x ln a + C . ეს ნიშნავს, რომ ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის წესს ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

ვიღებთ ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

პასუხი: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

ანტიწარმოებულების ცხრილის, თვისებების და ინტეგრაციის წესის გამოყენებით, შეგვიძლია ვიპოვოთ ბევრი განუსაზღვრელი ინტეგრალი. ეს შესაძლებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც შესაძლებელია ინტეგრანის გარდაქმნა.

ლოგარითმის ფუნქციის ინტეგრალის, ტანგენტისა და კოტანგენტური ფუნქციების და რიგი სხვათა ინტეგრალის საპოვნელად გამოიყენება სპეციალური მეთოდები, რომლებსაც განვიხილავთ სექციაში „ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები“.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter