გენერალიზებული ძალები
გენერალიზებული ძალები
სიდიდეები, რომლებიც ასრულებენ ჩვეულებრივი ძალების როლს წონასწორობის ან მექანიკური მოძრაობის შესწავლისას. სისტემა, მისი პოზიცია განისაზღვრება განზოგადებული კოორდინატებით. ო.ს. უდრის სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობას; ამ შემთხვევაში, თითოეული განზოგადებული კოორდინატი qi შეესაბამება საკუთარ კოორდინატულ სისტემას. Qi. ღირებულება O.s. Q1 კოორდინატის q1 შესაბამისი შეიძლება მოიძებნოს ელემენტის გამოთვლით. ყველა ძალის მუშაობა dA1 სისტემის შესაძლო მოძრაობაზე, რომლის დროსაც იცვლება მხოლოდ კოორდინატი q1: ნამატის მიღება dq1. მაშინ dA1=Q1dq1т. ე) dqi-სთვის კოეფიციენტი dA1 გამოსახულებაში იქნება O. s. Q1. Q2, Q3, გამოითვლება ანალოგიურად. . ., Qs.
განზომილება O. s. დამოკიდებულია განზოგადებული კოორდინატის განზომილებაზე. თუ qi-ს აქვს სიგრძეები, მაშინ Qi არის ჩვეულებრივი ძალის განზომილება; თუ qi არის კუთხე, მაშინ Qi აქვს ძალის მომენტის განზომილება და ა.შ. მექანიკური მოძრაობის შესწავლისას O. სისტემების სისტემები ჩვეულებრივი ძალების ნაცვლად შედიან მექანიკის ლაგრანგის განტოლებებში და წონასწორობაში ყველა O. სისტემა. ნულის ტოლია.
ფიზიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. მთავარი რედაქტორი A.M. პროხოროვი. 1983 .
ნახეთ, რა არის „გენერალიზებული ძალები“ სხვა ლექსიკონებში:
სიდიდეები, რომლებიც ასრულებენ ჩვეულებრივი ძალების როლს, როდესაც მექანიკური სისტემის წონასწორობის ან მოძრაობის შესწავლისას, მისი პოზიცია განისაზღვრება განზოგადებული კოორდინატებით (იხ. განზოგადებული კოორდინატები). ო.ს. უდრის სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობას; ზე……
მექანიკაში Qi სიდიდეები, Qi რაოდენობების ნამრავლი და განზოგადებული კოორდინატების dqi ელემენტარული ამონახსნები მექანიკური. სისტემები იძლევა ელემენტარული სამუშაოს bA გამოხატულებას, სადაც იგი წარმოიქმნება ბოჭკოვანი მასალების გროვისგან (ბამბა, ვისკოზა). სტიკერებისთვის O. ჩვეულებრივ... ... დიდი ენციკლოპედიური პოლიტექნიკური ლექსიკონი
- (აშშ) (ამერიკის შეერთებული შტატები, აშშ). I. ზოგადი ინფორმაცია აშშ არის სახელმწიფო ჩრდილოეთ ამერიკაში. ფართობი 9,4 მლნ კმ2. მოსახლეობა 216 მილიონი ადამიანი. (1976, შეფასება). დედაქალაქია ვაშინგტონი. ადმინისტრაციულად, შეერთებული შტატების ტერიტორია... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია
- (სსრკ საჰაერო ძალები) საბჭოთა საჰაერო ძალების დროშა არსებობის წლები ... ვიკიპედია
- الإمارات العربية المتحدة al Emarat al Arabiya al Muttahida ... ვიკიპედია
ძალის ველი მითითებულია კონფიგურაციის სივრცის Q რეგიონში, როგორც სკალარული ფუნქციის გრადიენტი: სადაც (განზოგადებული) კოორდინატები, U(q) პოტენციური ენერგია. პ.ს ნამუშევარი. ნებისმიერი დახურული კონტურის გასწვრივ Q-ში, რომელიც იკუმშება წერტილამდე, ნულის ტოლია. Ნიშანი... ... ფიზიკური ენციკლოპედია
- (საჰაერო ძალები) სახელმწიფოს შეიარაღებული ძალების სახეობა, რომელიც განკუთვნილია დამოუკიდებელი მოქმედებებისთვის ოპერატიული სტრატეგიული ამოცანების გადასაჭრელად და სხვა ტიპის შეიარაღებულ ძალებთან ერთობლივი მოქმედებებისთვის. თავისი საბრძოლო შესაძლებლობების თვალსაზრისით, თანამედროვე საჰაერო ძალები... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია
ძალა, ძალის მოქმედების საზომი, რაც დამოკიდებულია ძალის რიცხვითი სიდიდისა და მიმართულებისა და მისი გამოყენების წერტილის მოძრაობაზე. თუ ძალა F მუდმივია რიცხვით და მიმართულებით, ხოლო გადაადგილება M0M1 არის მართკუთხა (ნახ. 1), მაშინ P. A = F․s․cosα, სადაც s = M0M1… დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია
ძალა, ძალის მოქმედების საზომი, რაც დამოკიდებულია ძალის რიცხვითი სიდიდისა და მიმართულებისა და მისი გამოყენების წერტილის მოძრაობაზე. თუ ძალა F მუდმივია რიცხობრივად და მიმართულებით, ხოლო გადაადგილება M0M1 არის მართკუთხა (ნახ. 1), მაშინ P. A = F s cosa, სადაც s = M0M1 და კუთხე... ... ფიზიკური ენციკლოპედია
მექანიკა. 1) 1-ლი სახის ლაგრანჟის განტოლებები, მექანიკური მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები. სისტემები, რომლებიც მოცემულია პროექციებში მართკუთხა კოორდინატულ ღერძებზე და შეიცავს ე.წ. ლაგრანგის მულტიპლიკატორები. მიღებული ჯ. ლაგრანჟის მიერ 1788 წელს. ჰოლონომიური სისტემისთვის, ... ... ფიზიკური ენციკლოპედია
რა თქმა უნდა, ამ განზოგადებული ძალის გამოთვლისას პოტენციური ენერგია უნდა განისაზღვროს განზოგადებული კოორდინატების ფუნქციით.
P = P ( ქ 1 , ქ 2 , ქ 3 ,…,qs).
შენიშვნები.
Პირველი. განზოგადებული რეაქციის ძალების გაანგარიშებისას იდეალური კავშირები არ არის გათვალისწინებული.
მეორე. განზოგადებული ძალის განზომილება დამოკიდებულია განზოგადებული კოორდინატის განზომილებაზე. ასე რომ, თუ განზომილება [ ქ] – მეტრი, შემდეგ განზომილება
[Q]= Nm/m = ნიუტონი, თუ [ ქ] – რადიანი, შემდეგ [Q] = Nm; თუ [ ქ] = m 2, შემდეგ [Q] = H/m და ა.შ.
მაგალითი 4.ვერტიკალურ სიბრტყეში მოძრავი ღეროს გასწვრივ ბეჭედი სრიალებს. მწონა რ(ნახ. 10). ჩვენ მიგვაჩნია, რომ ჯოხი უწონად. განვსაზღვროთ განზოგადებული ძალები.
სურ.10
გამოსავალი.სისტემას აქვს თავისუფლების ორი ხარისხი. ჩვენ ვანიჭებთ ორ განზოგადებულ კოორდინატს სდა .
ვიპოვოთ განზოგადებული ძალა, რომელიც შეესაბამება კოორდინატს ს.ჩვენ ვაძლევთ ამ კოორდინატს ნამატს, ვტოვებთ კოორდინატს უცვლელად და ვიანგარიშებთ ერთადერთი აქტიური ძალის მუშაობას. რ, ვიღებთ განზოგადებულ ძალას
შემდეგ ჩვენ ვამატებთ კოორდინატს, ვარაუდით ს= კონსტ. როდესაც ღერო ბრუნავს კუთხით, ძალის გამოყენების წერტილი რ, ბეჭედი მ, გადავა . განზოგადებული ძალა იქნება
ვინაიდან სისტემა კონსერვატიულია, განზოგადებული ძალები ასევე შეიძლება მოიძებნოს პოტენციური ენერგიის გამოყენებით. ვიღებთ 
და 
. გაცილებით მარტივი გამოდის.
ლაგრანჟის წონასწორობის განტოლებები
განმარტებით (7) განზოგადებული ძალები 
, კ = 1,2,3,…,ს, სად ს- თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა.
თუ სისტემა წონასწორობაშია, მაშინ შესაძლო გადაადგილების პრინციპის მიხედვით (1) 
. აქ არის კავშირებით დაშვებული მოძრაობები, შესაძლო მოძრაობები. ამიტომ, როდესაც მატერიალური სისტემა წონასწორობაშია, მისი ყველა განზოგადებული ძალა ნულის ტოლია:
ქ კ= 0, (კ=1,2,3,…, ს). (10)
ეს განტოლებები წონასწორობის განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებშიან ლაგრანჟის წონასწორობის განტოლებები , დაუშვით კიდევ ერთი მეთოდი სტატიკური პრობლემების გადასაჭრელად.
თუ სისტემა კონსერვატიულია, მაშინ. ეს ნიშნავს, რომ ის წონასწორობის მდგომარეობაშია. ანუ ასეთი მატერიალური სისტემის წონასწორობის მდგომარეობაში მისი პოტენციური ენერგია არის ან მაქსიმალური ან მინიმალური, ე.ი. ფუნქცია П(q) აქვს უკიდურესი.
ეს აშკარაა უმარტივესი მაგალითის ანალიზიდან (სურ. 11). ბურთის პოტენციური ენერგია პოზიციაში მ 1-ს აქვს მინიმუმი, პოზიციაზე მ 2 - მაქსიმუმ. შეიძლება შეინიშნოს, რომ პოზიციაზე მ 1 წონასწორობა იქნება სტაბილური; ორსული მ 2 - არასტაბილური.
სურ.11
წონასწორობა ითვლება სტაბილურად, თუ ამ მდგომარეობაში მყოფ სხეულს მიეცემა დაბალი სიჩქარე ან გადაადგილდება მცირე მანძილზე და ეს გადახრები არ გაიზრდება მომავალში.
შეიძლება დადასტურდეს (ლაგრანჟ-დირიხლეს თეორემა), რომ თუ კონსერვატიული სისტემის წონასწორობის მდგომარეობაში მის პოტენციურ ენერგიას აქვს მინიმალური, მაშინ ეს წონასწორობა სტაბილურია.
ერთი ხარისხის თავისუფლების მქონე კონსერვატიული სისტემისთვის, მინიმალური პოტენციური ენერგიის პირობა და, შესაბამისად, წონასწორული პოზიციის სტაბილურობა განისაზღვრება მეორე წარმოებულით, მისი მნიშვნელობა წონასწორობის პოზიციაში,
მაგალითი 5.ბირთვი OAწონა რშეუძლია ვერტიკალურ სიბრტყეში ბრუნვა ღერძის გარშემო შესახებ(სურ. 12). ვიპოვოთ და შევისწავლოთ წონასწორობის პოზიციების სტაბილურობა.
სურ.12
გამოსავალი.ჯოხს აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. განზოგადებული კოორდინატი – კუთხე.
ქვედა, ნულოვანი პოზიციის მიმართ, პოტენციური ენერგია P = Phან
წონასწორობის მდგომარეობაში უნდა იყოს 
. აქედან გამომდინარე, გვაქვს ორი წონასწორული პოზიცია, რომლებიც შეესაბამება კუთხეებს და (პოზიციებს OA 1 და OA 2). მოდით გამოვიკვლიოთ მათი სტაბილურობა. მეორე წარმოებულის პოვნა. რა თქმა უნდა, ერთად,. წონასწორობის პოზიცია სტაბილურია. ზე, 
. მეორე წონასწორობის პოზიცია არასტაბილურია. შედეგები აშკარაა.
განზოგადებული ინერციული ძალები.
იგივე მეთოდის გამოყენებით (8), რომლითაც გამოითვალეს განზოგადებული ძალები ქ კმოქმედი, განსაზღვრული, ძალების შესაბამისი, განზოგადებული ძალებიც განისაზღვრება ს კსისტემის წერტილების ინერციის ძალების შესაბამისი:
და მას შემდეგ 
რომ
რამდენიმე მათემატიკური ტრანსფორმაცია.
ცხადია,
ვინაიდან qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), მაშინ
ეს ნიშნავს, რომ სიჩქარის ნაწილობრივი წარმოებული მიმართებით
გარდა ამისა, ბოლო ტერმინში (14) შეგიძლიათ შეცვალოთ დიფერენციაციის რიგი:
(15) და (16) ჩანაცვლებით (14) და შემდეგ (14) (13)-ში, მივიღებთ
ბოლო ჯამის ორზე გაყოფა და იმის გათვალისწინებით, რომ წარმოებულთა ჯამი ტოლია ჯამის წარმოებულის, მივიღებთ
სად არის სისტემის კინეტიკური ენერგია და არის განზოგადებული სიჩქარე.
ლაგრანგის განტოლებები.
განმარტებით (7) და (12) განზოგადებული ძალები
მაგრამ ზოგადი დინამიკის განტოლების საფუძველზე (3), ტოლობის მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. და რადგან ყველაფერი ( კ = 1,2,3,…,ს) განსხვავდება ნულიდან, მაშინ . განზოგადებული ინერციის ძალის (17) მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ვიღებთ განტოლებას
ეს განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებში მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს უწოდებენ, მეორე სახის ლაგრანგის განტოლებებს ან უბრალოდ – ლაგრანგის განტოლებები.
ამ განტოლებათა რაოდენობა უდრის მატერიალური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობას.
თუ სისტემა კონსერვატიულია და მოძრაობს პოტენციური ველის ძალების გავლენის ქვეშ, როდესაც განზოგადებული ძალებია, ლაგრანგის განტოლებები შეიძლება შედგეს სახით
სად ლ = თ– პ ეძახიან ლაგრანგის ფუნქცია (ვარაუდობენ, რომ პოტენციური ენერგია P არ არის დამოკიდებული განზოგადებულ სიჩქარეებზე).
ხშირად, მატერიალური სისტემების მოძრაობის შესწავლისას, აღმოჩნდება, რომ ზოგიერთი განზოგადებული კოორდინატები q jპირდაპირ არ შედის ლაგრანგის ფუნქციაში (ან თდა P). ასეთ კოორდინატებს ე.წ ციკლური. ამ კოორდინატების შესაბამისი ლაგრანგის განტოლებები უფრო მარტივად მიიღება.
ასეთი განტოლების პირველი ინტეგრალი შეიძლება მოიძებნოს დაუყოვნებლივ. მას ციკლური ინტეგრალი ეწოდება:
ლაგრანჟის განტოლებების შემდგომი კვლევები და გარდაქმნები წარმოადგენს თეორიული მექანიკის სპეციალური განყოფილების საგანს - „ანალიტიკური მექანიკა“.
ლაგრანჟის განტოლებებს არაერთი უპირატესობა აქვს სისტემების მოძრაობის შესწავლის სხვა მეთოდებთან შედარებით. ძირითადი უპირატესობები: განტოლებების შედგენის მეთოდი ყველა ამოცანებში ერთნაირია, იდეალური კავშირების რეაქციები არ არის გათვალისწინებული ამოცანების ამოხსნისას.
და კიდევ ერთი - ამ განტოლებების გამოყენება შესაძლებელია არა მხოლოდ მექანიკური, არამედ სხვა ფიზიკური სისტემების (ელექტრული, ელექტრომაგნიტური, ოპტიკური და ა.შ.) შესასწავლად.
მაგალითი 6.გავაგრძელოთ ბეჭდის მოძრაობის შესწავლა მსაქანელ ჯოხზე (მაგალითი 4).
გენერალიზებული კოორდინატები ენიჭება – და s (ნახ. 13). განზოგადებული ძალები განისაზღვრება: და 
.
სურ.13
გამოსავალი.ბეჭდის კინეტიკური ენერგია სადაც a და .
ჩვენ ვადგენთ ლაგრანგის ორ განტოლებას
მაშინ განტოლებები ასე გამოიყურება:
ჩვენ მივიღეთ ორი არაწრფივი მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება, რომელთა ამოხსნა მოითხოვს სპეციალურ მეთოდებს.
მაგალითი 7.შევქმნათ სხივის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლება AB, რომელიც გორავს ცილინდრული ზედაპირის გასწვრივ სრიალის გარეშე (სურ. 14). სხივის სიგრძე AB = ლწონა - რ.
წონასწორობის მდგომარეობაში, სხივი იყო ჰორიზონტალური და სიმძიმის ცენტრი თანიგი მდებარეობდა ცილინდრის ზედა წერტილში. სხივს აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. მისი პოზიცია განისაზღვრება განზოგადებული კოორდინატით - კუთხით (სურ. 76).
სურ.14
გამოსავალი.სისტემა კონსერვატიულია. მაშასადამე, ჩვენ შევადგენთ ლაგრანჟის განტოლებას პოტენციური ენერგიის P=mgh გამოყენებით, რომელიც გამოითვლება ჰორიზონტალურ მდგომარეობასთან მიმართებაში. შეხების ადგილას არის სიჩქარის მყისიერი ცენტრი და (უდრის წრიული რკალის სიგრძეს კუთხით).
ამიტომ (იხ. სურ. 76) და.
კინეტიკური ენერგია (სხივი ექვემდებარება სიბრტყის პარალელურ მოძრაობას)
ვპოულობთ განტოლებისთვის საჭირო წარმოებულებს და 
მოდით გავაკეთოთ განტოლება
ან, ბოლოს და ბოლოს,
თვითტესტის კითხვები
რა ჰქვია შეზღუდული მექანიკური სისტემის შესაძლო მოძრაობას?
როგორ არის დაკავშირებული სისტემის შესაძლო და რეალური მოძრაობები?
რა კავშირებს უწოდებენ: ა) სტაციონარული; ბ) იდეალური?
ჩამოაყალიბეთ შესაძლო მოძრაობის პრინციპი. დაწერეთ მისი ფორმულის გამოხატულება.
შესაძლებელია თუ არა ვირტუალური მოძრაობების პრინციპის გამოყენება არაიდეალური კავშირების მქონე სისტემებზე?
რა არის მექანიკური სისტემის განზოგადებული კოორდინატები?
რა არის მექანიკური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა?
რა შემთხვევაშია სისტემაში არსებული წერტილების დეკარტის კოორდინატები დამოკიდებული არა მხოლოდ განზოგადებულ კოორდინატებზე, არამედ დროზეც?
რა ჰქვია მექანიკური სისტემის შესაძლო მოძრაობებს?
დამოკიდებულია თუ არა შესაძლო მოძრაობები სისტემაზე მოქმედ ძალებზე?
მექანიკური სისტემის რომელ კავშირებს ეწოდება იდეალური?
რატომ არ არის ხახუნით შექმნილი ბმა იდეალური კავშირი?
როგორ არის ჩამოყალიბებული შესაძლო მოძრაობების პრინციპი?
რა ტიპები შეიძლება ჰქონდეს სამუშაო განტოლებას?
რატომ ამარტივებს შესაძლო გადაადგილების პრინციპი წონასწორობის პირობების წარმოქმნას ძალებისთვის, რომლებიც გამოიყენება შეზღუდულ სისტემებზე, რომლებიც შედგება დიდი რაოდენობით სხეულებისგან?
როგორ აგებულია სამუშაო განტოლებები მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ძალებისთვის თავისუფლების რამდენიმე ხარისხით?
რა კავშირია მამოძრავებელ ძალასა და წინააღმდეგობის ძალას შორის მარტივ მანქანებში?
როგორ არის ჩამოყალიბებული მექანიკის ოქროს წესი?
როგორ განისაზღვრება კავშირების რეაქციები შესაძლო მოძრაობის პრინციპის გამოყენებით?
რა კავშირებს ჰქვია ჰოლონომიური?
რა არის მექანიკური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა?
როგორია სისტემის განზოგადებული კოორდინატები?
რამდენი განზოგადებული კოორდინატი აქვს არათავისუფალ მექანიკურ სისტემას?
რამდენი გრადუსი თავისუფლება აქვს მანქანის საჭეს?
რა არის განზოგადებული ძალა?
ჩამოწერეთ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს სისტემაზე გამოყენებული ყველა ძალის მთლიან ელემენტარულ მუშაობას განზოგადებული კოორდინატებით.
როგორ განისაზღვრება განზოგადებული ძალის განზომილება?
როგორ გამოითვლება გენერალიზებული ძალები კონსერვატიულ სისტემებში?
ჩამოწერეთ იდეალური კავშირების მქონე სისტემის დინამიკის ზოგადი განტოლების გამომხატველი ერთ-ერთი ფორმულა. რა არის ამ განტოლების ფიზიკური მნიშვნელობა?
რა არის სისტემაზე გამოყენებული აქტიური ძალების განზოგადებული ძალა?
რა არის განზოგადებული ინერციული ძალა?
ჩამოაყალიბეთ დ'ალმბერის პრინციპი განზოგადებულ ძალებში.
რა არის დინამიკის ზოგადი განტოლება?
რა ჰქვია განზოგადებულ ძალას, რომელიც შეესაბამება სისტემის ზოგიერთ განზოგადებულ კოორდინატს და რა განზომილება აქვს მას?
როგორია იდეალური ბმების განზოგადებული რეაქციები?
გამოიტანეთ დინამიკის ზოგადი განტოლება განზოგადებულ ძალებში.
როგორია წონასწორობის პირობები განზოგადებული ძალების დინამიკის ზოგადი განტოლებიდან მიღებული მექანიკური სისტემის მიმართ გამოყენებული ძალებისთვის?
რა ფორმულები გამოხატავს განზოგადებულ ძალებს დეკარტის კოორდინატების ფიქსირებულ ღერძებზე ძალების პროექციით?
როგორ განისაზღვრება განზოგადებული ძალები კონსერვატიული და არაკონსერვატიული ძალების შემთხვევაში?
რა კავშირებს უწოდებენ გეომეტრიულს?
მიეცით შესაძლო გადაადგილების პრინციპის ვექტორული წარმოდგენა.
დაასახელეთ იდეალური სტაციონარული გეომეტრიული კავშირების მქონე მექანიკური სისტემის წონასწორობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა.
რა თვისება აქვს კონსერვატიული სისტემის ძალის ფუნქციას წონასწორობის მდგომარეობაში?
ჩამოწერეთ ლაგრანგის მეორე სახის დიფერენციალური განტოლებების სისტემა.
რამდენი ლაგრანგის მეორე ტიპის განტოლება შეიძლება აშენდეს შეზღუდული მექანიკური სისტემისთვის?
დამოკიდებულია თუ არა მექანიკური სისტემის ლაგრანგის განტოლებათა რაოდენობა სისტემაში შემავალი სხეულების რაოდენობაზე?
რა არის სისტემის კინეტიკური პოტენციალი?
რომელი მექანიკური სისტემებისთვის არსებობს ლაგრანჟის ფუნქცია?
რა არგუმენტებით არის მექანიკური სისტემის კუთვნილი წერტილის სიჩქარის ვექტორის ფუნქცია სთავისუფლების ხარისხები?
რა არის სისტემის წერტილის სიჩქარის ვექტორის ნაწილობრივი წარმოებული ზოგიერთი განზოგადებული სიჩქარის მიმართ?
რომელი არგუმენტების ფუნქციაა სისტემის კინეტიკური ენერგია ექვემდებარება ჰოლონომიურ არასტაციონარულ შეზღუდვებს?
რა ფორმა აქვს ლაგრანგის მეორე სახის განტოლებებს? რა არის ამ განტოლებების რაოდენობა თითოეული მექანიკური სისტემისთვის?
რა ფორმას იღებს მეორე სახის ლაგრანჟის განტოლებები იმ შემთხვევაში, როდესაც სისტემაზე ერთდროულად მოქმედებს კონსერვატიული და არაკონსერვატიული ძალები?
რა არის ლაგრანგის ფუნქცია, ანუ კინეტიკური პოტენციალი?
რა ფორმა აქვს მეორე ტიპის ლაგრანგის განტოლებებს კონსერვატიული სისტემისთვის?
რა ცვლადებზეა დამოკიდებული მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგია ლაგრანჟის განტოლებების შედგენისას?
როგორ განისაზღვრება მექანიკური სისტემის პოტენციური ენერგია დრეკადობის ძალების გავლენის ქვეშ?
დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები
დავალება 1.შესაძლო გადაადგილების პრინციპის გამოყენებით განსაზღვრეთ კომპოზიციური სტრუქტურების შეერთების რეაქციები. სტრუქტურული დიაგრამები ნაჩვენებია ნახ. 15, ხოლო ამოხსნისთვის საჭირო მონაცემები მოცემულია ცხრილში. 1. სურათებზე ყველა ზომა არის მეტრებში.
ცხრილი 1
ვარიანტი 1 ვარიანტი 2
ვარიანტი 3 ვარიანტი 4
ვარიანტი 5 ვარიანტი 6
ვარიანტი 7 ვარიანტი 8
სურ.16 სურ.17
გამოსავალი.ადვილი დასადასტურებელია, რომ ამ პრობლემაში დაკმაყოფილებულია ლაგრანგის პრინციპის გამოყენების ყველა პირობა (სისტემა წონასწორობაშია, კავშირები სტაციონარული, ჰოლონომიური, შეზღუდული და იდეალურია).
გავთავისუფლდეთ რეაქციის შესაბამისი კავშირისგან X A (სურ. 17). ამისათვის, A წერტილში, ფიქსირებული ანჯა უნდა შეიცვალოს, მაგალითად, ღეროს საყრდენით, ამ შემთხვევაში სისტემა იღებს თავისუფლების ერთ ხარისხს. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, სისტემის შესაძლო მოძრაობა განისაზღვრება მასზე დაწესებული შეზღუდვებით და არ არის დამოკიდებული გამოყენებული ძალებზე. აქედან გამომდინარე, შესაძლო გადაადგილების განსაზღვრა კინემატიკური პრობლემაა. ვინაიდან ამ მაგალითში ჩარჩოს გადაადგილება შეუძლია მხოლოდ სურათის სიბრტყეში, მისი შესაძლო მოძრაობები ასევე პლანშეტურია. სიბრტყეზე მოძრაობისას სხეულის მოძრაობა შეიძლება ჩაითვალოს ბრუნად სიჩქარის მყისიერი ცენტრის გარშემო. თუ სიჩქარის მყისიერი ცენტრი დევს უსასრულობაში, მაშინ ეს შეესაბამება მყისიერი მთარგმნელობითი მოძრაობის შემთხვევას, როდესაც სხეულის ყველა წერტილის გადაადგილება ერთნაირია.
სიჩქარის მყისიერი ცენტრის საპოვნელად საჭიროა ვიცოდეთ სხეულის ნებისმიერი ორი წერტილის სიჩქარის მიმართულებები. ამიტომ, კომპოზიტური სტრუქტურის შესაძლო გადაადგილების განსაზღვრა უნდა დაიწყოს იმ ელემენტის შესაძლო გადაადგილების მოძიებით, რომლისთვისაც ცნობილია ასეთი სიჩქარე. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაიწყოთ ჩარჩო CDB, რადგან მისი წერტილი INარის უმოძრაო და, მაშასადამე, ამ ჩარჩოს შესაძლო მოძრაობა არის მისი ბრუნვა ღერძის გარშემო კუთხით, რომელიც გადის საკინძით B. ახლა, ვიცით წერტილის შესაძლო მოძრაობა თან(იგი ერთდროულად მიეკუთვნება სისტემის ორივე ჩარჩოს) და წერტილის შესაძლო მოძრაობას ა(A წერტილის შესაძლო მოძრაობა არის მისი მოძრაობა ღერძის გასწვრივ X), იპოვეთ ჩარჩოს მყისიერი სიჩქარის ცენტრი C 1 AES. ამრიგად, ჩარჩოს შესაძლო მოძრაობა AESარის მისი ბრუნვა C 1 წერტილის გარშემო კუთხით. კუთხეებს შორის კავშირი განისაზღვრება C წერტილის მოძრაობით (იხ. სურ. 17)
სამკუთხედების EC 1 C და BCD მსგავსებიდან გვაქვს
შედეგად, ჩვენ ვიღებთ დამოკიდებულებებს:
შესაძლო მოძრაობების პრინციპის მიხედვით
მოდით თანმიმდევრულად გამოვთვალოთ აქ შეტანილი შესაძლო სამუშაოები:
Q=2q – განაწილებული დატვირთვის შედეგი, რომლის გამოყენების წერტილი ნაჩვენებია ნახ. 79; მის მიერ შესრულებული შესაძლო სამუშაო თანაბარია.
განვიხილოთ მატერიალური წერტილებისაგან შემდგარი მექანიკური სისტემა, რომლებზეც ძალები მოქმედებენ, სისტემას ჰქონდეს თავისუფლების ხარისხი და მისი პოზიცია განზოგადებული კოორდინატებით განისაზღვროს (104). შევატყობინოთ სისტემას ისეთი დამოუკიდებელი შესაძლო მოძრაობის შესახებ, რომლის დროსაც კოორდინატი იღებს ზრდას და დარჩენილი კოორდინატები არ იცვლება. შემდეგ სისტემის წერტილების თითოეული რადიუსის ვექტორი მიიღებს ელემენტარულ ზრდას. ვინაიდან, თანასწორობის მიხედვით (106), , და განხილული მოძრაობის დროს იცვლება მხოლოდ კოორდინატები (დანარჩენი ინარჩუნებს მუდმივ მნიშვნელობებს), ის გამოითვლება როგორც ნაწილობრივი დიფერენციალი და, შესაბამისად,
ამ თანასწორობისა და ფორმულის (42) გამოყენებით § 87-დან, ჩვენ გამოვთვლით ყველა მოქმედი ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამს განხილულ გადაადგილებაზე, რომელსაც აღვნიშნავთ ჩვენ ვიღებთ
საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებით, საბოლოოდ ვიპოვით
სადაც მითითებულია
F ძალის ელემენტარული მუშაობის განმსაზღვრელი ტოლობის ანალოგიით, რაოდენობას ეწოდება განზოგადებული ძალა, რომელიც შეესაბამება კოორდინატს.
სისტემის სხვა დამოუკიდებელი შესაძლო მოძრაობის ინფორმირებით, რომლის დროსაც იცვლება მხოლოდ კოორდინატი, ჩვენ ვიღებთ გამოხატულებას ამ მოძრაობაზე ყველა მოქმედი ძალის ელემენტარული მუშაობისთვის.
რაოდენობა წარმოადგენს განზოგადებულ ძალას, რომელიც შეესაბამება კოორდინატს და ა.შ.
ცხადია, თუ სისტემას მიეცემა ისეთი შესაძლო მოძრაობა, რომელიც ერთდროულად ცვლის მის ყველა განზოგადებულ კოორდინატს, მაშინ ამ მოძრაობაზე გამოყენებული ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი განისაზღვრება თანასწორობით.
ფორმულა (112) იძლევა გამოხატულებას სისტემაზე მოქმედი ყველა ძალის მთლიან ელემენტარულ მუშაობაზე განზოგადებულ კოორდინატებში. ამ თანასწორობიდან ირკვევა, რომ განზოგადებული ძალები არის სიდიდეები, რომლებიც უდრის კოეფიციენტებს განზოგადებული კოორდინატების ზრდისთვის სისტემაზე მოქმედი ძალების მთლიანი ელემენტარული მუშაობის გამოხატულებაში.
თუ სისტემაზე დაწესებული ყველა კავშირი იდეალურია, მაშინ შესაძლო მოძრაობების დროს მუშაობა ხორციელდება მხოლოდ აქტიური ძალებით და რაოდენობები წარმოადგენენ სისტემის განზოგადებულ აქტიურ ძალებს.
განზოგადებული ძალის განზომილება დამოკიდებულია შესაბამისი განზოგადებული კოორდინატის განზომილებაზე. ვინაიდან პროდუქტს და შესაბამისად აქვს სამუშაოს განზომილება, მაშინ
ანუ განზოგადებული ძალის განზომილება უდრის სამუშაოს განზომილებას გაყოფილი შესაბამისი განზოგადებული კოორდინატის განზომილებაზე. აქედან ირკვევა, რომ თუ q არის წრფივი სიდიდე, მაშინ Q-ს აქვს ჩვეულებრივი ძალის განზომილება (SI-ში ის იზომება ნიუტონებში), თუ q არის კუთხე (განუზომავი სიდიდე), მაშინ Q იქნება გაზომილი და აქვს მომენტის განზომილება; თუ q არის მოცულობა (მაგალითად, დგუშის პოზიცია ცილინდრში შეიძლება განისაზღვროს დგუშის სივრცის მოცულობით), მაშინ Q იქნება გაზომილი და აქვს წნევის განზომილება და ა.შ.
როგორც ვხედავთ, განზოგადებული სიჩქარის ანალოგიით, განზოგადებული ძალის ცნება მოიცავს ყველა იმ რაოდენობას, რომელიც ადრე იყო მატერიალური სხეულების მექანიკური ურთიერთქმედების საზომები (ძალა, ძალის მომენტი, წნევა).
ჩვენ გამოვთვლით განზოგადებულ ძალებს (108), (110) ფორმის ფორმულების გამოყენებით, რაც ამცირებს შესაძლო ელემენტარული სამუშაოს გამოთვლას (იხ. § 140). პირველ რიგში, თქვენ უნდა დაადგინოთ რა არის სისტემის თავისუფლების ხარისხი, აირჩიოთ განზოგადებული კოორდინატები და ნახატზე ასახოთ სისტემაზე გამოყენებული ყველა აქტიური ძალა და ხახუნის ძალა (თუ ისინი მუშაობენ). შემდეგ, რათა დადგინდეს, აუცილებელია სისტემის ინფორმირება ისეთი შესაძლო მოძრაობის შესახებ, რომლის დროსაც იცვლება მხოლოდ კოორდინატი, მიიღება დადებითი ნამატი, გამოვთვალოთ ამ მოძრაობაზე ყველა მოქმედი ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი ფორმულების მიხედვით (101) და წარმოადგინეთ მიღებული გამოხატულება ფორმაში (108). შემდეგ კოეფიციენტი for და იძლევა სასურველ მნიშვნელობას. გამოთვალეთ ანალოგიურად
მაგალითი 1. გამოვთვალოთ განზოგადებული ძალა ნახ. 366, სადაც წონა A იკვეთება გლუვი დახრილი სიბრტყის გასწვრივ, ხოლო წონა B გადაკვეთილია უხეში ჰორიზონტალური სიბრტყის გასწვრივ, რომლის ხახუნის კოეფიციენტი უდრის
წონები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული O ბლოკზე გადაყრილი ძაფით. უგულებელყოფთ ძაფის მასას და ბლოკს. სისტემას აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი; პოზიცია განისაზღვრება კოორდინატით (მიმართვის დადებითი მიმართულება ნაჩვენებია ისრით). იმის დასადგენად, ჩვენ ვაცნობებთ სისტემას შესაძლო გადაადგილების შესახებ და ვიანგარიშებთ ძალების ელემენტარულ მუშაობას ამ გადაადგილებაზე; დარჩენილი ძალები არ მუშაობენ. Მას შემდეგ
აქედან გამომდინარე,
მაგალითი 2. ხახუნის უგულებელყოფით, ჩვენ ვპოულობთ განზოგადებულ ძალებს სისტემისთვის, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 367. ერთგვაროვან ღეროს A B აქვს სიგრძე l და წონა P და შეუძლია A ღერძის გარშემო ბრუნვა ვერტიკალურ სიბრტყეში. მასზე დამაგრებულ M ბურთს აქვს წონა. ზამბარის სიგრძე AM ტოლია დაუძაბულ მდგომარეობაში და სიხისტე არის c.
სისტემას აქვს თავისუფლების ორი ხარისხი (ბურთის მოძრაობა ღეროს გასწვრივ და ღეროს ბრუნვა A ღერძის გარშემო დამოუკიდებელია). განზოგადებულ კოორდინატებად ვირჩევთ ბურთის კუთხეს და მანძილს დაუძაბული ზამბარის ბოლოდან; კოორდინატების დადებითი მიმართულებები ნაჩვენებია ისრებით.
ჩვენ პირველ რიგში ვაცნობთ სისტემას შესაძლო მოძრაობის შესახებ, რომლითაც კუთხე იღებს ზრდას. ამ მოძრაობაზე მუშაობას ასრულებენ ძალები. ფორმულის მეორის გამოყენებით (101) ვპოულობთ (აქ მინუს ნიშანი, რადგან მომენტის მიმართულება მიმართულების საპირისპიროა)
აქედან გამომდინარე,
ახლა ჩვენ ვაცნობთ სისტემას შესაძლო მოძრაობის შესახებ, რომლის დროსაც იცვლება მხოლოდ კოორდინატი, მიიღება ნამატი და კუთხე. ამ გადაადგილებაზე მუშაობას ასრულებს გრავიტაცია და ელასტიური ძალა, რომლის მოდული არის შემდეგ
მოდით განვიხილოთ მექანიკური სისტემა იდეალური კავშირებით. მოდით იყოს სისტემის აქტიური ძალები. მოდით მივცეთ მექანიკურ სისტემას ვირტუალური გადაადგილება და გამოვთვალოთ სისტემის ძალების ელემენტარული მუშაობა ამ გადაადგილებაზე:
.
ტოლობის (17.2) გამოყენებით გამოვხატავთ ვარიაციას 
რადიუსის ვექტორი 
ქულები მ კვარიაციების მეშვეობით 
განზოგადებული კოორდინატები:
აქედან გამომდინარე,
. (17.6)
მოდით შევცვალოთ შეკრების თანმიმდევრობა ტოლობაში (17.6):
. (17.7)
გამოთქმაში აღვნიშნოთ (17.7)
. (17.8)
.
განზოგადებული ძალებით ქ ჯ დაასახელეთ კოეფიციენტები განზოგადებული კოორდინატების ვარიაციებისთვის სისტემური ძალების ელემენტარული მუშაობის გამოხატულებაში.
განზოგადებული კოორდინატების ვარიაციების განზომილებიდან გამომდინარე 
განზოგადებული ძალები ქ ჯშეიძლება ჰქონდეს ძალის ზომები, მომენტი და ა.შ.
განზოგადებული ძალების გამოთვლის მეთოდები
განვიხილოთ განზოგადებული ძალების გამოთვლის სამი გზა.
1. განზოგადებული ძალების განსაზღვრა ძირითადი ფორმულის გამოყენებით(17.8)
. (17.9)
ფორმულა (17.9) პრაქტიკაში იშვიათად გამოიყენება. პრობლემების გადაჭრისას ყველაზე ხშირად გამოიყენება მეორე მეთოდი.
2. განზოგადებული კოორდინატების "გაყინვის" მეთოდი.
მოდით მივცეთ მექანიკურ სისტემას ვირტუალური გადაადგილება ისეთი, რომ განზოგადებული კოორდინატების ყველა ცვლილება გარდა 
ნულის ტოლია:
მოდით გამოვთვალოთ სამუშაო ამ მოძრაობისთვის 
სისტემაში გამოყენებული ყველა აქტიური ძალა
.
განმარტებით, ვარიაციის მულტიპლიკატორი 
პირველი განზოგადებული ძალის ტოლი ქ 1 .
და განვსაზღვროთ მეორე განზოგადებული ძალა ქ 2, გამოითვალა სისტემის ყველა ძალის ვირტუალური მუშაობა
.
ანალოგიურად გამოვთვალოთ სისტემის ყველა სხვა განზოგადებული ძალა.
3. პოტენციური ძალის ველის შემთხვევა.
ვთქვათ, ცნობილია მექანიკური სისტემის პოტენციური ენერგია
მერე 
და ფორმულის მიხედვით (32.8)
სტატიკის ვირტუალური მოძრაობის პრინციპი განზოგადებულ კოორდინატებში
სტატიკის ვირტუალური გადაადგილების პრინციპის მიხედვით, ჰოლონომიური, სტაციონარული კავშირების იდეალური ტარების მქონე სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისი პირობა:
ნულოვანი საწყისი სიჩქარით.
განზოგადებულ კოორდინატებზე გადასვლისას ვიღებთ
. (17.11)
ვინაიდან განზოგადებული კოორდინატების ვარიაციები დამოუკიდებელია, გამოხატვის ნულის ტოლობა (17.11) შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც განზოგადებული კოორდინატების ვარიაციების ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია:
ამრიგად, იმისათვის, რომ იდეალური, ჰოლონომიური, სტაციონარული და შემაკავებელი კავშირების მქონე მექანიკური სისტემა იყოს წონასწორობაში, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის ყველა განზოგადებული ძალა იყოს ნულის ტოლი (სისტემის ნულოვანი საწყისი სიჩქარით).
ლაგრანგის განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებში (ლაგრანგის განტოლებები მეორე ტიპის)
ლაგრანჟის განტოლებები მიღებულია დინამიკის ზოგადი განტოლებიდან ვირტუალური გადაადგილების ჩანაცვლებით მათი გამოსახულებებით განზოგადებული კოორდინატების ვარიაციით. ისინი წარმოადგენენ მექანიკური სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების სისტემას განზოგადებულ კოორდინატებში:
. (17.13)
სად 
- განზოგადებული სიჩქარეები,
თ სისტემის კინეტიკური ენერგია, წარმოდგენილი განზოგადებული კოორდინატების და განზოგადებული სიჩქარის ფუნქციის სახით
ქ ჯ- განზოგადებული ძალები.
სისტემის განტოლებათა რაოდენობა (17.13) განისაზღვრება თავისუფლების ხარისხების რაოდენობით და არ არის დამოკიდებული სისტემაში შემავალი სხეულების რაოდენობაზე. იდეალური კავშირებით, მხოლოდ აქტიური ძალები შედიან განტოლებების მარჯვენა მხარეს. თუ კავშირები არ არის იდეალური, მაშინ მათი რეაქციები უნდა იყოს კლასიფიცირებული, როგორც აქტიური ძალები.
მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი პოტენციური ძალების შემთხვევაში, განტოლებები (17.13) იღებს ფორმას.
.
თუ შემოვიყვანთ ლაგრანგის ფუნქციას ლ = თ პ, შემდეგ იმის გათვალისწინებით, რომ პოტენციური ენერგია არ არის დამოკიდებული განზოგადებულ სიჩქარეებზე, ვიღებთ ლაგრანგის მეორე სახის განტოლებებს პოტენციური ძალების შემთხვევისთვის შემდეგი ფორმით.
.
მეორე ტიპის ლაგრანგის განტოლებების შედგენისას თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები:
დააყენეთ მექანიკური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა და შეარჩიეთ მისი განზოგადებული კოორდინატები.
შეადგინეთ სისტემის კინეტიკური ენერგიის გამოხატულება და წარმოადგინეთ იგი განზოგადებული კოორდინატების და განზოგადებული სიჩქარის ფუნქციის სახით.
ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდების გამოყენებით იპოვნეთ სისტემის განზოგადებული აქტიური ძალები.
შეასრულეთ ყველა დიფერენციაციის ოპერაცია, რომელიც აუცილებელია ლაგრანგის განტოლებებში.
მაგალითი.
სად ჯ ზ სხეულის ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ ზ,
- სხეულის კუთხური სიჩქარე.
3. განვსაზღვროთ განზოგადებული ძალა. მოდით მივცეთ სხეულს ვირტუალური გადაადგილება და გამოვთვალოთ სისტემის ყველა აქტიური ძალის ვირტუალური მუშაობა:
აქედან გამომდინარე, ქ = მ ზ სისტემის აქტიური ძალების ძირითადი მომენტი სხეულის ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში.
4. შევასრულოთ დიფერენციაციის მოქმედებები ლაგრანგის განტოლებაში
:
(17.14)
.
(17.15)
ტოლობების (17.15) ჩანაცვლება განტოლებაში (173
14) ვიღებთ სხეულის ბრუნვის მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებას
.
განზოგადებული ძალების განმარტება
ერთი ხარისხის თავისუფლების სისტემისთვის განზოგადებული ძალა, რომელიც შეესაბამება განზოგადებულ კოორდინატს ქ, ეწოდება ფორმულით განსაზღვრულ რაოდენობას
სადაც დ ქ– განზოგადებული კოორდინატის მცირე მატება; – სისტემის ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი მის შესაძლო მოძრაობაზე.
შეგახსენებთ, რომ სისტემის შესაძლო მოძრაობა განისაზღვრება, როგორც სისტემის მოძრაობა დროის მოცემულ მომენტში კავშირებით დაშვებულ უსასრულოდ ახლო პოზიციამდე (დაწვრილებით იხილეთ დანართი 1).
ცნობილია, რომ სისტემის ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე იდეალური ბმის რეაქციის ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს ჯამი ნულის ტოლია. ამიტომ იდეალური კავშირების მქონე სისტემისთვის გამონათქვამში მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული მხოლოდ სისტემის აქტიური ძალების მუშაობა. თუ შეერთებები იდეალური არ არის, მაშინ მათი რეაქციის ძალები, მაგალითად, ხახუნის ძალები, პირობითად განიხილება აქტიურ ძალებად (იხ. ქვემოთ მოცემული ინსტრუქციები დიაგრამაზე ნახ. 1.5). ეს მოიცავს აქტიური ძალების ელემენტარულ მუშაობას და ძალების აქტიური წყვილების მომენტების ელემენტარულ მუშაობას. ჩამოვწეროთ ფორმულები ამ სამუშაოების დასადგენად. ვთქვათ ძალა ( F kx,F ky,F kz) გამოიყენება წერტილში TO, რომლის რადიუსის ვექტორი არის ( x k,y k,z k) და შესაძლო გადაადგილება – (დ xk,დ y k,დ z k). ძალის ელემენტარული მუშაობა შესაძლო გადაადგილებაზე ტოლია სკალარული პროდუქტის, რომელიც ანალიტიკური ფორმით შეესაბამება გამოხატვას
დ A( ) = F-მდედ r to cos(), (1.3a)
ხოლო კოორდინატულ ფორმაში – გამოთქმა
დ A( ) = F kxდ x k + F kyდ y k + F kzდ z k. (1.3b)
თუ ორიოდე ძალა მომენტით მმიმართულია მბრუნავ სხეულზე, რომლის კუთხური კოორდინატი არის j, ხოლო შესაძლო გადაადგილება არის dj, შემდეგ მომენტის ელემენტარული სამუშაო. მშესაძლო გადაადგილების შესახებ dj განისაზღვრება ფორმულით
დ ᲕᲐᲠ) = ± მდ ჯ. (1.3 ვ)
აქ ნიშანი (+) შეესაბამება შემთხვევას, როდესაც მომენტი მდა შესაძლო მოძრაობა dj ემთხვევა მიმართულებით; ნიშანი (–), როდესაც ისინი საპირისპირო მიმართულებით არიან.
იმისთვის, რომ განზოგადებული ძალის განსაზღვრა (1.3) ფორმულით შევძლოთ, აუცილებელია სხეულებისა და წერტილების შესაძლო მოძრაობების გამოხატვა განზოგადებული კოორდინატის d მცირე ნამატით. ქ, დამოკიდებულებების გამოყენებით (1)…(7) ადგ. 1.
განზოგადებული ძალის განმარტება ქშერჩეული განზოგადებული კოორდინატის შესაბამისი ქ, რეკომენდებულია ამის გაკეთება შემდეგი თანმიმდევრობით.
· საპროექტო დიაგრამაზე დახაზეთ სისტემის ყველა აქტიური ძალა.
· მიეცით მცირე ნამატი განზოგადებულ კოორდინატს d q> 0; გამოთვლების დიაგრამაზე აჩვენეთ ყველა წერტილის შესაბამისი შესაძლო გადაადგილება, რომელზედაც მოქმედებენ ძალები, და ყველა სხეულის შესაძლო კუთხური გადაადგილებები, რომლებზეც გამოიყენება ძალთა წყვილის მომენტები.
· შეადგინეთ გამოთქმა სისტემის ყველა აქტიური ძალის ელემენტარული მუშაობისთვის ამ მოძრაობებზე, გამოხატეთ შესაძლო მოძრაობები დ ქ.
· განზოგადებული ძალის განსაზღვრა (1.3) ფორმულით.
მაგალითი 1.4 (იხ. პირობა ნახ. 1.1).
განვსაზღვროთ განზოგადებული ძალა, რომელიც შეესაბამება განზოგადებულ კოორდინატს ს(ნახ. 1.4).
სისტემაზე მოქმედებს აქტიური ძალები: პ- ტვირთის წონა; გ- ბარაბნის წონა და ბრუნვის მომენტი მ.
უხეში დახრილი სიბრტყე განკუთვნილია დატვირთვისთვის აარასრულყოფილი კავშირი. მოცურების ხახუნის ძალა F tr, მოქმედებს დატვირთვაზე აამ კავშირიდან უდრის F tr = f N.
სიძლიერის დასადგენად ნსიბრტყეზე დატვირთვის ნორმალურ წნევას მოძრაობის დროს, გამოვიყენებთ დ'ალმბერის პრინციპს: თუ სისტემის თითოეულ წერტილზე გამოიყენება პირობითი ინერციული ძალა, გარდა აქტიური აქტიური ძალებისა და შეერთებების რეაქციის ძალებისა, მაშინ მიღებული ნაკრები ძალები დაბალანსდება და დინამიკის განტოლებებს შეიძლება მივცეთ სტატიკური წონასწორობის განტოლებების ფორმა. ამ პრინციპის გამოყენების ცნობილი მეთოდის მიხედვით, ჩვენ გამოვსახავთ დატვირთვაზე მოქმედ ყველა ძალას ა(ნახ. 1.5), – და , სად არის კაბელის დაჭიმვის ძალა.
ბრინჯი. 1.4 ნახ. 1.5
დავამატოთ ინერციის ძალა, სად არის დატვირთვის აჩქარება. დ'ალმბერის პრინციპის განტოლება ღერძზე პროექციისას წროგორც ჩანს N–Pcosა = 0.
აქედან N = Pcosა. მოცურების ხახუნის ძალა ახლა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით F tr = f P cosა.
მოდით მივცეთ განზოგადებული კოორდინატი სმცირე ნამატი დ s> 0. ამ შემთხვევაში დატვირთვა (ნახ. 1.4) გადაინაცვლებს დახრილ სიბრტყეზე d მანძილზე. ს, და ბარაბანი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ კუთხით dj.
ისეთი ფორმულების გამოყენებით, როგორიცაა (1.3a) და (1.3c), მოდით შევადგინოთ გამოხატულება ელემენტარული ბრუნვის სამუშაოების ჯამისთვის. მ, ძალა პდა F tr:
გამოვსახოთ dj ამ განტოლებაში d-ით ს: , მაშინ
ჩვენ განვსაზღვრავთ განზოგადებულ ძალას ფორმულის გამოყენებით (1.3)
გავითვალისწინოთ ადრე დაწერილი ფორმულა F trდა ბოლოს მივიღებთ
თუ იმავე მაგალითში განზოგადებულ კოორდინატად ავიღებთ j კუთხეს, მაშინ განზოგადებულ ძალას ქჯგამოხატული ფორმულით
1.4.2. განზოგადებული სისტემის ძალების განსაზღვრა
თავისუფლების ორი ხარისხით
თუ სისტემას აქვს ნთავისუფლების ხარისხი, მისი პოზიცია განისაზღვრება ნგანზოგადებული კოორდინატები. თითოეული კოორდინატი qi(მე = 1,2,…,ნ) შეესაბამება მის განზოგადებულ ძალას Qi, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით
სადაც არის აქტიური ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი მე-სისტემის შესაძლო მოძრაობა, როდესაც დ q i > 0, ხოლო დარჩენილი განზოგადებული კოორდინატები უცვლელია.
განსაზღვრისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ განზოგადებული ძალების განსაზღვრის ინსტრუქცია (1.3) ფორმულის მიხედვით.
რეკომენდებულია ორი ხარისხის თავისუფლების სისტემის განზოგადებული ძალების განსაზღვრა შემდეგი თანმიმდევრობით.
· საპროექტო დიაგრამაზე აჩვენეთ სისტემის ყველა აქტიური ძალა.
· პირველი განზოგადებული ძალის განსაზღვრა Q 1. ამისათვის მიეცით სისტემას პირველი შესაძლო მოძრაობა, როდესაც d q 1 > 0 და დ q 2 =q 1სისტემის ყველა სხეულისა და წერტილის შესაძლო მოძრაობა; შედგენა - სისტემის ძალების ელემენტარული მუშაობის გამოხატულება პირველ შესაძლო გადაადგილებაზე; შესაძლო მოძრაობები გამოხატული დ q 1; იპოვე Q 1ფორმულის მიხედვით (1.4), აღება მე = 1.
· მეორე განზოგადებული ძალის განსაზღვრა Q 2. ამისათვის მიეცით სისტემას მეორე შესაძლო მოძრაობა, როდესაც d q 2 > 0 და დ q 1 = 0; აჩვენეთ შესაბამისი d დიზაინის დიაგრამაზე q 2სისტემის ყველა სხეულისა და წერტილის შესაძლო მოძრაობა; შედგენა - სისტემური ძალების ელემენტარული მუშაობის გამოხატულება მეორე შესაძლო გადაადგილებაზე; შესაძლო მოძრაობები გამოხატული დ q 2; იპოვე Q 2ფორმულის მიხედვით (1.4), აღება მე = 2.
მაგალითი 1.5 (იხ. მდგომარეობა ნახ. 1.2)
განვსაზღვროთ Q 1და Q 2განზოგადებული კოორდინატების შესაბამისი xDდა xA(ნახ. 1.6, ა).
სისტემაზე მოქმედებს სამი აქტიური ძალა: P A = 2P, P B = P D = P.
განმარტება Q 1. მოდით მივცეთ სისტემას პირველი შესაძლო მოძრაობა, როდესაც d xD> 0, დ x A = 0 (ნახ. 1.6, ა). ამავე დროს, დატვირთვა დ xD, ბლოკი ბბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ კუთხით dj ბ, ცილინდრის ღერძი ადარჩება უმოძრაო, ცილინდრი აბრუნავს ღერძის გარშემო აკუთხით dj ასაათის ისრის მიმართულებით. მოდით შევადგინოთ სამუშაოს ჯამი მითითებულ მოძრაობებზე:
განვსაზღვროთ
განვსაზღვროთ Q 2. მოდით მივცეთ სისტემას მეორე შესაძლო მოძრაობა, როდესაც d x D = 0, დ xA> 0 (ნახ. 1.6, ბ). ამ შემთხვევაში ცილინდრის ღერძი აგადავა ვერტიკალურად ქვემოთ მანძილით დ xA, ცილინდრი აბრუნავს ღერძის გარშემო ასაათის ისრის მიმართულებით კუთხით dj ა, ბლოკი ბდა ტვირთი დუმოძრაოდ დარჩება. მოდით შევადგინოთ სამუშაოს ჯამი მითითებულ მოძრაობებზე:
განვსაზღვროთ
მაგალითი 1.6 (იხ. მდგომარეობა ნახ. 1.3)
განვსაზღვროთ Q 1და Q 2 j, განზოგადებული კოორდინატების შესაბამისი, ს(ნახ. 1.7, ა). სისტემაზე მოქმედებს ოთხი აქტიური ძალა: ღეროს წონა პ, ბურთის წონა, ზამბარის დრეკადობის ძალა და .
გავითვალისწინოთ რომ. დრეკადობის ძალების მოდული განისაზღვრება (a) ფორმულით.
გაითვალისწინეთ, რომ ძალის გამოყენების წერტილი F 2არის უმოძრაო, ამიტომ ამ ძალის მოქმედება სისტემის ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე ნულია, განზოგადებული ძალების გამოხატვისას ძალა F 2არ შევა.
განმარტება Q 1. მოდით მივცეთ სისტემას პირველი შესაძლო მოძრაობა, როდესაც dj > 0, დ s = 0 (ნახ. 1.7, ა). ამ შემთხვევაში, როდ ABბრუნავს ღერძის გარშემო ზსაათის ისრის საწინააღმდეგოდ კუთხით dj, ბურთის შესაძლო მოძრაობები დდა ცენტრი ეწნელები მიმართულია სეგმენტის პერპენდიკულარულად ახ.წ, ზამბარის სიგრძე არ შეიცვლება. დავსვათ კოორდინატულ ფორმაში [იხ. ფორმულა (1.3b)]:
(გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ, შესაბამისად, ამ ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო პირველ შესაძლო გადაადგილებაზე არის ნული).
გამოვხატოთ გადაადგილებები დ x Eდა დ xDდიჯეის მეშვეობით. ამისათვის ჩვენ ჯერ ვწერთ
შემდეგ, ფორმულის შესაბამისად (7) adj. 1 ჩვენ ვიპოვით
ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ვიღებთ
ფორმულის გამოყენებით (1.4), იმის გათვალისწინებით, რომ , ჩვენ განვსაზღვრავთ
განმარტება Q 2. მოდით მივცეთ სისტემას მეორე შესაძლო მოძრაობა, როდესაც dj = 0, დ s> 0 (ნახ. 1.7, ბ). ამ შემთხვევაში, როდ ABდარჩება უმოძრაოდ და ბურთი მგადაადგილდება ღეროს გასწვრივ დ მანძილით ს. მოდით შევადგინოთ სამუშაოს ჯამი მითითებულ მოძრაობებზე:
განვსაზღვროთ
ძალის მნიშვნელობის ჩანაცვლება F 1ფორმულიდან (ა), ვიღებთ
1.5. სისტემის კინეტიკური ენერგიის გამოხატვა
განზოგადებულ კოორდინატებში
სისტემის კინეტიკური ენერგია უდრის მისი სხეულებისა და წერტილების კინეტიკური ენერგიების ჯამს (დანართი 2). მისაღებად ამისთვის თგამონათქვამმა (1.2) უნდა გამოხატოს სისტემის ყველა სხეულისა და წერტილის სიჩქარე განზოგადებული სიჩქარით კინემატიკის მეთოდების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში სისტემა განიხილება თვითნებურ მდგომარეობაში, მისი ყველა განზოგადებული სიჩქარე ითვლება დადებითად, ანუ მიმართულია განზოგადებული კოორდინატების გაზრდისკენ.
მაგალითი 1. 7 (იხ. მდგომარეობა ნახ. 1.1)
მოდით განვსაზღვროთ სისტემის კინეტიკური ენერგია (ნახ. 1.8), ავიღოთ მანძილი განზოგადებული კოორდინატად. ს,
T = T A + T B.
ფორმულების მიხედვით (2) და (3) adj. 2 გვაქვს: .
ამ მონაცემების ჩანაცვლება თდა ამის გათვალისწინებით მივიღებთ
მაგალითი 1.8(იხ. პირობა ნახ. 1.2-ში)
მოდით განვსაზღვროთ სისტემის კინეტიკური ენერგია ნახ. 1.9, რაოდენობების განზოგადებულ კოორდინატებად აღება xDდა xA,
T = T A + T B + T D.
ფორმულების მიხედვით (2), (3), (4) adj. 2 ჩვენ ჩამოვწერთ
გამოვხატოთ V A, V D, w Bდა ვ ამეშვეობით:
W-ის განსაზღვრისას ამხედველობაში მიიღება, რომ პუნქტი ო(ნახ. 1.9) – ცილინდრის სიჩქარის მყისიერი ცენტრი ადა V k = V D(იხილეთ შესაბამისი განმარტებები, მაგალითად 2 დანართი 2).
მიღებული შედეგების ჩანაცვლება თდა იმის გათვალისწინებით, რომ
განვსაზღვროთ
მაგალითი 1.9(იხ. პირობა ნახ. 1.3-ზე)
მოდით განვსაზღვროთ სისტემის კინეტიკური ენერგია ნახ. 1.10, აღებული j და როგორც განზოგადებული კოორდინატები ს,
T = T AB + T D.
(1) და (3) ფორმულების მიხედვით adj. 2 გვაქვს
მოდით გამოვხატოთ w ABდა ვ დმეშვეობით და:
სად არის ბურთის გადაცემის სიჩქარე დ, მისი მოდული განისაზღვრება ფორმულით
მიმართულია სეგმენტის პერპენდიკულარულად ახ.წ j კუთხის გაზრდის მიმართულებით; - ბურთის ფარდობითი სიჩქარე, მისი მოდული განისაზღვრება ფორმულით, რომელიც მიმართულია კოორდინატების გაზრდისკენ ს. გაითვალისწინეთ, რომ პერპენდიკულარულია, ამიტომ
ამ შედეგების ჩანაცვლება თდა იმის გათვალისწინებით, რომ
1.6. დიფერენციალური განტოლებების შედგენა
მექანიკური სისტემების მოძრაობა
საჭირო განტოლებების მისაღებად აუცილებელია ლაგრანგის განტოლებებში (1.1) ჩანაცვლება სისტემის კინეტიკური ენერგიის ადრე ნაპოვნი გამოხატულება განზოგადებულ კოორდინატებში და განზოგადებულ ძალებში. ქ 1 , ქ 2 , … , Q n.
ნაწილობრივი წარმოებულების პოვნისას თგანზოგადებული კოორდინატების და განზოგადებული სიჩქარის გამოყენებით მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული, რომ ცვლადები ქ 1 , ქ 2 , … , q n; განიხილება ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. ეს ნიშნავს, რომ ნაწილობრივი წარმოებულის განსაზღვრისას თერთ-ერთი ამ ცვლადისთვის, ყველა სხვა ცვლადი გამოსახულებაში for თმუდმივებად უნდა ჩაითვალოს.
ოპერაციის შესრულებისას ცვლადში შემავალი ყველა ცვლადი დროულად უნდა იყოს დიფერენცირებული.
ხაზს ვუსვამთ, რომ ლაგრანგის განტოლებები იწერება თითოეული განზოგადებული კოორდინატისთვის qi (მე = 1, 2,…n) სისტემები.
