ამ სტატიაში ჩვენ ვიპოვით პასუხებს კითხვებზე, თუ როგორ შევქმნათ წერტილის პროექცია სიბრტყეზე და როგორ განვსაზღვროთ ამ პროექციის კოორდინატები. თეორიულ ნაწილში დავეყრდნობით პროექციის კონცეფციას. ჩვენ განვსაზღვრავთ პირობებს და მოგაწვდით ინფორმაციას ილუსტრაციებით. გავაერთიანოთ მიღებული ცოდნა მაგალითების ამოხსნით.

პროექცია, პროექციის სახეები

სივრცითი ფიგურების ნახვის მოხერხებულობისთვის გამოიყენება ამ ფიგურების ამსახველი ნახატები.

განმარტება 1

ფიგურის პროექცია სიბრტყეზე– სივრცითი ფიგურის ნახატი.

ცხადია, არსებობს მთელი რიგი წესები, რომლებიც გამოიყენება პროექციის ასაგებად.

განმარტება 2

Პროექტირება– სივრცითი ფიგურის ნახატის აგების პროცესი სიბრტყეზე სამშენებლო წესების გამოყენებით.

პროექციის თვითმფრინავი- ეს არის თვითმფრინავი, რომელშიც გამოსახულებაა აგებული.

გარკვეული წესების გამოყენება განსაზღვრავს პროექციის ტიპს: მთავარიან პარალელურად.

პარალელური პროექციის განსაკუთრებული შემთხვევაა პერპენდიკულარული პროექცია ან ორთოგონალური: გეომეტრიაში იგი ძირითადად გამოიყენება. ამ მიზეზით, თავად ზედსართავი სახელი „პერპენდიკულარული“ ხშირად გამოტოვებულია მეტყველებაში: გეომეტრიაში ისინი უბრალოდ ამბობენ „ფიგურის პროექცია“ და ამით გულისხმობენ პროექციის აგებას პერპენდიკულარული პროექციის მეთოდით. განსაკუთრებულ შემთხვევებში, რა თქმა უნდა, შეიძლება სხვა რამეზე შეთანხმდნენ.

მოდით აღვნიშნოთ ის ფაქტი, რომ ფიგურის პროექცია სიბრტყეზე არსებითად არის ამ ფიგურის ყველა წერტილის პროექცია. მაშასადამე, იმისათვის, რომ შევძლოთ ნახატზე სივრცითი ფიგურის შესწავლა, საჭიროა შეიძინო სიბრტყეზე წერტილის პროექციის ძირითადი უნარი. რაზეც ქვემოთ ვისაუბრებთ.

შეგახსენებთ, რომ გეომეტრიაში ყველაზე ხშირად სიბრტყეზე პროექციაზე საუბრისას იგულისხმება პერპენდიკულარული პროექციის გამოყენება.

მოდით გავაკეთოთ კონსტრუქციები, რომლებიც მოგვცემს შესაძლებლობას მივიღოთ წერტილის პროექციის განმარტება სიბრტყეზე.

ვთქვათ, მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცე და მასში არის α სიბრტყე და წერტილი M 1, რომელიც არ ეკუთვნის α სიბრტყეს. დახაზეთ სწორი ხაზი მოცემულ M წერტილში ამოცემული α სიბრტყის პერპენდიკულარული. სწორი ხაზისა და α სიბრტყის გადაკვეთის წერტილს აღვნიშნავთ, როგორც H 1; აგებულებით, ის იქნება M 1 წერტილიდან α სიბრტყეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი.

თუ მოცემულია M 2 წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება მოცემულ α სიბრტყეს, მაშინ M 2 იქნება მისი პროექცია α სიბრტყეზე.

განმარტება 3

- ეს არის ან თავად წერტილი (თუ იგი ეკუთვნის მოცემულ სიბრტყეს), ან მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყეში ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის ფუძე.

სიბრტყეზე წერტილის პროექციის კოორდინატების პოვნა, მაგალითები

სამგანზომილებიან სივრცეში მოცემულია შემდეგი: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z, სიბრტყე α, წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1). აუცილებელია M 1 წერტილის პროექციის კოორდინატების პოვნა მოცემულ სიბრტყეზე.

ამოხსნა აშკარად გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული განმარტებიდან სიბრტყეზე წერტილის პროექციის შესახებ.

M 1 წერტილის პროექცია α სიბრტყეზე ავღნიშნოთ როგორც H 1 . განმარტების მიხედვით, H 1 არის მოცემული სიბრტყის α და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი M 1 წერტილის გავლით (სიბრტყის პერპენდიკულარული). იმათ. M1 წერტილის პროექციის კოორდინატები, რომლებიც გვჭირდება არის a სწორი წრფის გადაკვეთის წერტილის და α სიბრტყის კოორდინატები.

ამრიგად, სიბრტყეზე წერტილის პროექციის კოორდინატების საპოვნელად საჭიროა:

მიიღეთ α სიბრტყის განტოლება (თუ არ არის მითითებული). აქ დაგეხმარებათ სტატია სიბრტყის განტოლებების ტიპების შესახებ;

განსაზღვრეთ M 1 წერტილში გამავალი a წრფის განტოლება α სიბრტყეზე პერპენდიკულარული (შეისწავლეთ თემა მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლების შესახებ);

იპოვეთ a სწორი წრფის და α სიბრტყის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები (სტატია - სიბრტყისა და წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების პოვნა). მიღებული მონაცემები იქნება კოორდინატები, რომლებიც გვჭირდება M 1 წერტილის α სიბრტყეზე პროექციისთვის.

მოდით შევხედოთ თეორიას პრაქტიკული მაგალითებით.

მაგალითი 1

განსაზღვრეთ M 1 (- 2, 4, 4) წერტილის პროექციის კოორდინატები 2 x – 3 y + z - 2 = 0 სიბრტყეზე.

გამოსავალი

როგორც ვხედავთ, სიბრტყის განტოლება მოგვცეს, ე.ი. არ არის საჭირო მისი შედგენა.

ჩამოვწეროთ M 1 წერტილში გამავალი a სწორი წრფის კანონიკური განტოლებები მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული. ამ მიზნებისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ a სწორი წრფის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს. ვინაიდან a წრფე პერპენდიკულარულია მოცემულ სიბრტყეზე, a წრფის მიმართულების ვექტორი არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი 2 x - 3 y + z - 2 = 0. ამრიგად, a → = (2, - 3, 1) – სწორი წრფის მიმართულების ვექტორი a.

ახლა შევადგინოთ წრფის კანონიკური განტოლებები სივრცეში, რომელიც გადის M 1 (- 2, 4, 4) წერტილში და აქვს მიმართულების ვექტორი. a → = (2, - 3, 1):

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

საჭირო კოორდინატების მოსაძებნად, შემდეგი ნაბიჯი არის სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 და სიბრტყე. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . ამ მიზნებისათვის, ჩვენ გადავდივართ კანონიკური განტოლებიდან ორი გადამკვეთი სიბრტყის განტოლებამდე:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

შევქმნათ განტოლებათა სისტემა:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

და მოდით მოვაგვაროთ ის კრამერის მეთოდით:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

ამრიგად, მოცემულ სიბრტყეზე α მოცემული M 1 წერტილის საჭირო კოორდინატები იქნება: (0, 1, 5).

პასუხი: (0 , 1 , 5) .

მაგალითი 2

სამგანზომილებიანი სივრცის O x y z მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია A (0, 0, 2) წერტილები; B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) და M 1 (-1, -2, 5). აუცილებელია M 1 პროექციის კოორდინატების პოვნა A B C სიბრტყეზე

გამოსავალი

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვწერთ სიბრტყის განტოლებას, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილში:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

დავწეროთ a წრფის პარამეტრული განტოლებები, რომელიც გაივლის A B C სიბრტყის პერპენდიკულარულ M 1 წერტილს. სიბრტყეს x – 2 y + 2 z – 4 = 0 აქვს ნორმალური ვექტორი კოორდინატებით (1, - 2, 2), ე.ი. ვექტორი a → = (1, - 2, 2) – სწორი წრფის მიმართულების ვექტორი a.

ახლა, როდესაც გვაქვს M 1 წრფის წერტილის კოორდინატები და ამ ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები, ჩვენ ვწერთ წრფის პარამეტრულ განტოლებებს სივრცეში:

შემდეგ განვსაზღვრავთ x – 2 y + 2 z – 4 = 0 სიბრტყის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს და სწორ ხაზს.

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

ამისათვის ჩვენ ვანაცვლებთ სიბრტყის განტოლებას:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

ახლა, x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ პარამეტრული განტოლებების გამოყენებით, ვპოულობთ x, y და z ცვლადების მნიშვნელობებს λ = - 1-ისთვის: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

ამრიგად, M 1 წერტილის პროექციას A B C სიბრტყეზე ექნება კოორდინატები (- 2, 0, 3).

პასუხი: (- 2 , 0 , 3) .

მოდით ცალკე ვისაუბროთ წერტილის პროექციის კოორდინატების პოვნის საკითხზე კოორდინატულ სიბრტყეებზე და სიბრტყეებზე, რომლებიც პარალელურია კოორდინატულ სიბრტყეებზე.

მიეცით M 1 (x 1, y 1, z 1) წერტილები და კოორდინატთა სიბრტყეები O x y, O x z და O y z. ამ წერტილის ამ სიბრტყეებზე პროექციის კოორდინატები იქნება, შესაბამისად: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) და (0, y 1, z 1). განვიხილოთ აგრეთვე მოცემული კოორდინატთა სიბრტყეების პარალელური სიბრტყეები:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

და მოცემული M 1 წერტილის პროგნოზები ამ სიბრტყეებზე იქნება წერტილები x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 და - D A, y 1, z 1 კოორდინატებით.

მოდით ვაჩვენოთ, როგორ მიიღეს ეს შედეგი.

მაგალითად, განვსაზღვროთ M 1 წერტილის პროექცია (x 1, y 1, z 1) A x + D = 0 სიბრტყეზე. დანარჩენი შემთხვევები მსგავსია.

მოცემული სიბრტყე პარალელურია კოორდინატთა სიბრტყის O y z და i → = (1, 0, 0) მისი ნორმალური ვექტორია. იგივე ვექტორი ემსახურება O y z სიბრტყის პერპენდიკულარული წრფის მიმართულების ვექტორს. მაშინ M 1 წერტილის გავლით და მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს ექნება ფორმა:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

ვიპოვოთ ამ წრფის გადაკვეთის წერტილისა და მოცემული სიბრტყის კოორდინატები. ჯერ შევცვალოთ ტოლობები განტოლებაში A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 და მივიღოთ: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

შემდეგ ვიანგარიშებთ საჭირო კოორდინატებს სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების გამოყენებით λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

ანუ, M 1 წერტილის პროექცია (x 1, y 1, z 1) სიბრტყეზე იქნება წერტილი კოორდინატებით - D A, y 1, z 1.

მაგალითი 2

აუცილებელია M 1 (- 6, 0, 1 2) წერტილის პროექციის კოორდინატების განსაზღვრა კოორდინატულ სიბრტყეზე O x y და სიბრტყეზე 2 y - 3 = 0.

გამოსავალი

კოორდინატთა სიბრტყე O x y შეესაბამება z = 0 სიბრტყის არასრულ ზოგად განტოლებას. M 1 წერტილის პროექციას z = 0 სიბრტყეზე ექნება კოორდინატები (- 6, 0, 0).

სიბრტყის განტოლება 2 y - 3 = 0 შეიძლება დაიწეროს როგორც y = 3 2 2. ახლა უბრალოდ ჩაწერეთ M 1 (- 6, 0, 1 2) წერტილის პროექციის კოორდინატები y = 3 2 2 სიბრტყეზე:

6 , 3 2 2 , 1 2

პასუხი:(- 6 , 0 , 0) და - 6 , 3 2 2 , 1 2

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

იპოვეთ მახვილი კუთხე ვექტორების გამოყენებით აგებული პარალელოგრამის დიაგონალებს შორის

5) დაადგინეთ c ვექტორის კოორდინატები, მიმართული a და b ვექტორებს შორის კუთხის ბისექტრის გასწვრივ, თუ ვექტორი c = 42-ის 3 ფესვი. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

ვიპოვოთ ერთეული ვექტორი e_a თანამიმართულებით a:

ანალოგიურად e_b = b/|b|,

მაშინ სასურველი ვექტორი იქნება მიმართული ისევე, როგორც ვექტორული ჯამი e_a+e_b, რადგან (e_a+e_b) არის რომბის დიაგონალი, რომელიც არის მისი კუთხის ბისექტორი.

ავღნიშნოთ (e_a+e_b)=d,

ვიპოვოთ ერთეული ვექტორი, რომელიც მიმართულია ბისექტრის გასწვრივ: e_c = d/|d|

თუ |გ| = 3*sqrt(42), შემდეგ c = |c|*e_c. Სულ ეს არის.

იპოვეთ წრფივი მიმართება ამ ოთხ არათანაბარ ვექტორს შორის: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

პირველი სამი ტოლობიდან სცადეთ `a,b,c` გამოხატოთ `p,q,r`-ით (დაიწყეთ მეორე და მესამე განტოლებების მიმატებით). შემდეგ შეცვალეთ `b` და `c` ბოლო განტოლებაში იმ გამონათქვამებით, რომლებიც იპოვეთ `p,q,r`-ში.

13) იპოვეთ A(2, -1, 4) და B(3, 2, -1) წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება x + y + 2z – 3 = 0.სიბრტყის საჭირო განტოლებას აქვს ფორმა: Ax + By + Cz + D = 0, ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი (A, B, C). ვექტორი (1, 3, -5) ეკუთვნის სიბრტყეს. ჩვენთვის მოცემულ სიბრტყეს, სასურველზე პერპენდიკულარულად, აქვს ნორმალური ვექტორი (1, 1, 2). იმიტომ რომ წერტილები A და B ეკუთვნის ორივე სიბრტყეს და სიბრტყეები ერთმანეთის პერპენდიკულურია, მაშინ ნორმალური ვექტორი არის (11, -7, -2). იმიტომ რომ წერტილი A ეკუთვნის სასურველ სიბრტყეს, მაშინ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს ამ სიბრტყის განტოლებას, ე.ი. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. საერთო ჯამში ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პარალელურ წრფეზე.

სასურველმა სიბრტყემ გაიაროს სწორი ხაზი (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 სწორი ხაზის პარალელურად (x-x2)/a2 = (y-y2) /b2 = (z -z2)/c2.

მაშინ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი არის ამ ხაზების მიმართულების ვექტორების ვექტორული ნამრავლი:

ვექტორული ნამრავლის კოორდინატები იყოს (A;B;C). სასურველი სიბრტყე გადის წერტილში (x1;y1;z1). ნორმალური ვექტორი და წერტილი, რომლითაც სიბრტყე გადის ცალსახად განსაზღვრავს სასურველი სიბრტყის განტოლებას:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) იპოვეთ 3x - 7y + 14 = 0 წრფის პერპენდიკულარულ A(5, -1) წერტილში გამავალი წრფის განტოლება.

18) დაწერეთ განტოლება სწორი ხაზისთვის, რომელიც გადის M წერტილზე მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - თქვენი წერტილი M(4,3,1)

(n, m, p) - წრფის მიმართული ვექტორი, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც ნორმალური ვექტორი მოცემული ზედაპირისთვის (1, 3, 5) (კოეფიციენტები x, y, z ცვლადების სიბრტყის განტოლებაში)

იპოვნეთ წერტილის პროექცია სიბრტყეზე

წერტილი M(1,-3,2), სიბრტყე 2x+5y-3z-19=0

სივრცეში და სიბრტყეზე ფიგურების თვისებების შესწავლა შეუძლებელია წერტილსა და ისეთ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის მანძილების ცოდნის გარეშე, როგორიცაა სწორი ხაზი და სიბრტყე. ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ეს მანძილი წერტილის პროექციის გათვალისწინებით სიბრტყეზე და სწორ ხაზზე.

სწორი ხაზის განტოლება ორგანზომილებიანი და სამგანზომილებიანი სივრცეებისთვის

წერტილის სწორ ხაზამდე და სიბრტყემდე მანძილების გაანგარიშება ხორციელდება ამ ობიექტებზე მისი პროექციის გამოყენებით. იმისათვის, რომ შეძლოთ ამ პროგნოზების პოვნა, თქვენ უნდა იცოდეთ რა ფორმით არის მოცემული ხაზებისა და სიბრტყეების განტოლებები. დავიწყოთ პირველით.

სწორი ხაზი არის წერტილების ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეული შეიძლება მიღებულ იქნეს წინადან მისი ერთმანეთის პარალელურ ვექტორებზე გადატანით. მაგალითად, არის წერტილები M და N. მათ დამაკავშირებელი ვექტორი MN¯ იღებს M-ს N-მდე. ასევე არის მესამე წერტილი P. თუ ვექტორი MP¯ ან NP¯ არის MN¯-ის პარალელურად, მაშინ სამივე წერტილი დევს. იგივე ხაზი და ჩამოაყალიბეთ იგი.

სივრცის განზომილებიდან გამომდინარე, ხაზის განმსაზღვრელ განტოლებას შეუძლია შეცვალოს მისი ფორმა. ამრიგად, y კოორდინატის კარგად ცნობილი წრფივი დამოკიდებულება x-ზე სივრცეში აღწერს სიბრტყეს, რომელიც პარალელურია მესამე ღერძის z. ამასთან დაკავშირებით, ამ სტატიაში განვიხილავთ მხოლოდ წრფის ვექტორულ განტოლებას. მას აქვს იგივე გარეგნობა თვითმფრინავისთვის და სამგანზომილებიანი სივრცისთვის.

სივრცეში სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი გამონათქვამით:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α*(a; b; c)

აქ კოორდინატთა მნიშვნელობები ნულოვანი ინდექსებით შეესაბამება წრფეს მიკუთვნებულ გარკვეულ წერტილს, u¯(a; b; c) არის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები, რომელიც დევს ამ ხაზზე, α არის თვითნებური რეალური რიცხვი, რომლის შეცვლაც შეგიძლიათ მიიღოთ ხაზის ყველა წერტილი. ამ განტოლებას ვექტორული განტოლება ეწოდება.

ზემოაღნიშნული განტოლება ხშირად იწერება გაფართოებული ფორმით:

ანალოგიურად, შეგიძლიათ დაწეროთ განტოლება წრფეზე, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეში, ანუ ორგანზომილებიან სივრცეში:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

სიბრტყის განტოლება

იმისათვის, რომ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან საპროექციო სიბრტყემდე, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ არის განსაზღვრული სიბრტყე. სწორი ხაზის მსგავსად, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რამდენიმე გზით. აქ განვიხილავთ მხოლოდ ერთს: ზოგად განტოლებას.

დავუშვათ, რომ წერტილი M(x 0 ; y 0 ; z 0) მიეკუთვნება სიბრტყეს და ვექტორი n¯(A; B; C) არის მასზე პერპენდიკულარული, მაშინ ყველა წერტილისთვის (x; y; z) სიბრტყეზე თანასწორობა ძალაში იქნება:

A*x + B*y + C*z + D = 0, სადაც D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ ზოგადი სიბრტყის განტოლებაში, კოეფიციენტები A, B და C არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

მანძილების გამოთვლა კოორდინატებით

სანამ წერტილის სიბრტყეზე და სწორ ხაზზე პროგნოზების განხილვაზე გადავიდოდეთ, ღირს გავიხსენოთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ მანძილი ორ ცნობილ წერტილს შორის.

იყოს ორი სივრცითი წერტილი:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) და A 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2)

შემდეგ მათ შორის მანძილი გამოითვლება ფორმულით:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

ამ გამოთქმის გამოყენებით ასევე განისაზღვრება A 1 A 2 ¯ ვექტორის სიგრძე.

სიბრტყეზე შემთხვევისთვის, როდესაც ორი წერტილი განისაზღვრება მხოლოდ კოორდინატთა წყვილით, შეგვიძლია დავწეროთ მსგავსი ტოლობა მასში z ტერმინის არსებობის გარეშე:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

ახლა განვიხილოთ პროექციის სხვადასხვა შემთხვევები წერტილის სიბრტყეზე სწორ ხაზზე და სიბრტყეზე სივრცეში.

წერტილი, ხაზი და მანძილი მათ შორის

დავუშვათ, არის წერტილი და ხაზი:

P2 (x1; y1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

ამ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის მანძილი შეესაბამება ვექტორის სიგრძეს, რომლის დასაწყისი მდგომარეობს P 2 წერტილში, ხოლო დასასრული არის P წერტილში მითითებული ხაზის, რომლის ვექტორი P 2 P ¯ არის ამის პერპენდიკულარული. ხაზი. P წერტილს ეწოდება P 2 წერტილის პროექცია განსახილველ ხაზზე.

ქვემოთ მოცემულია ფიგურა, რომელიც გვიჩვენებს P 2 წერტილს, მის დაშორებას d წრფემდე, ასევე მიმართულების ვექტორს v 1 ¯. ასევე, ხაზზე არჩეულია თვითნებური წერტილი P 1 და მისგან ვექტორი დგება P 2-მდე. წერტილი P აქ ემთხვევა იმ ადგილს, სადაც პერპენდიკულარი კვეთს წრფეს.

ჩანს, რომ ნარინჯისფერი და წითელი ისრები ქმნიან პარალელოგრამს, რომლის გვერდები არის ვექტორები P 1 P 2 ¯ და v 1 ¯, ხოლო სიმაღლე არის d. გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ პარალელოგრამის სიმაღლის საპოვნელად, მისი ფართობი უნდა გაიყოს ფუძის სიგრძეზე, რომელზეც პერპენდიკულარია დაბლა. ვინაიდან პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება, როგორც მისი გვერდების ვექტორული ნამრავლი, ვიღებთ ფორმულას d-ის გამოსათვლელად:

d = ||/|v 1 ¯|

ამ გამოსახულებაში ყველა ვექტორი და წერტილების კოორდინატი ცნობილია, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი ყოველგვარი ტრანსფორმაციის გარეშე.

ამ პრობლემის გადაჭრა სხვაგვარად შეიძლებოდა. ამისათვის დაწერეთ ორი განტოლება:

• P 2 P ¯-ის სკალარული ნამრავლი v 1 ¯-ით უნდა იყოს ნულის ტოლი, რადგან ეს ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულურია;
• P წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს წრფის განტოლებას.

ეს განტოლებები საკმარისია P კოორდინატების მოსაძებნად, შემდეგ კი d სიგრძის წინა აბზაცში მოცემული ფორმულის გამოყენებით.

წრფესა და წერტილს შორის მანძილის პოვნის ამოცანა

ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს თეორიული ინფორმაცია კონკრეტული პრობლემის გადასაჭრელად. დავუშვათ, ცნობილია შემდეგი წერტილი და ხაზი:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

აუცილებელია ვიპოვოთ პროექციის წერტილები სიბრტყეზე სწორ ხაზზე, ისევე როგორც მანძილი M-დან სწორ ხაზამდე.

ავღნიშნოთ მოსაძებნი პროექცია M 1 წერტილით (x 1 ; y 1). მოდით გადავჭრათ ეს პრობლემა წინა აბზაცში აღწერილი ორი გზით.

მეთოდი 1. მიმართულების ვექტორს v 1 ¯ აქვს კოორდინატები (0; 2). პარალელოგრამის ასაგებად ვირჩევთ წრფეს კუთვნილ წერტილს. მაგალითად, წერტილი კოორდინატებით (3; 1). მაშინ პარალელოგრამის მეორე მხარის ვექტორს ექნება კოორდინატები:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

ახლა თქვენ უნდა გამოთვალოთ პარალელოგრამის გვერდების განმსაზღვრელი ვექტორების ნამრავლი:

ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობას ფორმულაში და ვიღებთ d მანძილს M-დან სწორ ხაზამდე:

მეთოდი 2. ახლა სხვა გზით ვიპოვოთ არა მხოლოდ მანძილი, არამედ პროექციის M პროექციის კოორდინატები სწორ ხაზზე, როგორც ამას მოითხოვს პრობლემის მდგომარეობა. როგორც ზემოთ აღინიშნა, პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია განტოლებათა სისტემის შექმნა. ეს ასე გამოიყურება:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

მოდით გადავჭრათ ეს სისტემა:

საწყისი კოორდინატთა წერტილის პროექციას აქვს M 1 (3; -3). მაშინ საჭირო მანძილი არის:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

როგორც ხედავთ, ამოხსნის ორივე მეთოდმა ერთი და იგივე შედეგი მისცა, რაც მიუთითებს შესრულებული მათემატიკური მოქმედებების სისწორეზე.

წერტილის პროექცია სიბრტყეზე

ახლა განვიხილოთ რა არის სივრცეში მოცემული წერტილის პროექცია გარკვეულ სიბრტყეზე. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს პროექცია ასევე არის წერტილი, რომელიც თავდაპირველთან ერთად სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ ვექტორს ქმნის.

დავუშვათ, რომ M წერტილის სიბრტყეზე პროექციას აქვს შემდეგი კოორდინატები:

თავად თვითმფრინავი აღწერილია განტოლებით:

A*x + B*y + C*z + D = 0

ამ მონაცემებზე დაყრდნობით, ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ განტოლება წრფეზე, რომელიც კვეთს სიბრტყეს მართი კუთხით და გადის M და M 1-ზე:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α*(A; B; C)

აქ ნულოვანი ინდექსის მქონე ცვლადები არის M წერტილის კოორდინატები. M 1 წერტილის სიბრტყეზე მდებარეობა შეიძლება გამოითვალოს იმის საფუძველზე, რომ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს ორივე დაწერილ განტოლებას. თუ ეს განტოლებები არ არის საკმარისი პრობლემის გადასაჭრელად, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ პარალელიზმის პირობა MM 1 ¯-სა და სახელმძღვანელო ვექტორს შორის მოცემული სიბრტყისთვის.

ცხადია, სიბრტყის კუთვნილი წერტილის პროექცია ემთხვევა თავის თავს და შესაბამისი მანძილი არის ნული.

წერტილისა და თვითმფრინავის პრობლემა

მიეცით წერტილი M(1; -1; 3) და სიბრტყე, რომელიც აღწერილია შემდეგი ზოგადი განტოლებით:

აუცილებელია გამოვთვალოთ პროექციის კოორდინატები წერტილის სიბრტყეზე და გამოვთვალოთ მანძილი ამ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის.

პირველ რიგში, ავაშენოთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის M-ზე და პერპენდიკულარულია მითითებულ სიბრტყეზე. Ეს ჰგავს:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

წერტილი, სადაც ეს წრფე კვეთს სიბრტყეს, ავღნიშნოთ როგორც M 1 . სიბრტყისა და წრფის ტოლობები უნდა დაკმაყოფილდეს, თუ მათში ჩანაცვლებულია M 1 კოორდინატები. წრფის განტოლების ცალსახად დაწერისას მივიღებთ შემდეგ ოთხ ტოლობას:

X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3*α;

ბოლო ტოლობიდან ვიღებთ α პარამეტრს, შემდეგ ვანაცვლებთ მას ბოლო და მეორე გამონათქვამებში, ვიღებთ:

y 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3.5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

ჩვენ ვცვლით y 1 და x 1 გამოსახულებას სიბრტყის განტოლებაში, გვაქვს:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3.5) -2*z 1 + 4 = 0

საიდან მივიღოთ:

y 1 = -3/2*15/7 + 3.5 = 2/7;

x 1 = 1/2 * 15/7 - 1/2 = 4/7

ჩვენ დავადგინეთ, რომ M წერტილის პროექცია მოცემულ სიბრტყეზე შეესაბამება კოორდინატებს (4/7; 2/7; 15/7).

ახლა გამოვთვალოთ მანძილი |MM 1 ¯|. შესაბამისი ვექტორის კოორდინატებია:

მმ 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

საჭირო მანძილი არის:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1.6

სამპუნქტიანი პროექცია

ნახატების წარმოებისას ხშირად საჭიროა სექციების პროგნოზების მოპოვება ორმხრივ პერპენდიკულარულ სამ სიბრტყეზე. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა იმის გათვალისწინება, თუ რის ტოლი იქნება M წერტილის პროგნოზები კოორდინატებით (x 0 ; y 0 ; z 0) სამ კოორდინატულ სიბრტყეზე.

ძნელი არ არის იმის ჩვენება, რომ xy სიბრტყე აღწერილია განტოლებით z = 0, xz სიბრტყე შეესაბამება გამონათქვამს y = 0, ხოლო დარჩენილი yz სიბრტყე აღინიშნება x = 0-ით. ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ წერტილის პროგნოზები 3 სიბრტყეზე ტოლი იქნება:

x = 0-ისთვის: (0; y 0; z 0);

y = 0-სთვის: (x 0 ; 0 ; z 0);

z = 0-ისთვის: (x 0 ; y 0 ; 0)

სად არის მნიშვნელოვანი ვიცოდეთ წერტილის პროექცია და მისი მანძილი სიბრტყემდე?

წერტილების პროექციის პოზიციის განსაზღვრა მოცემულ სიბრტყეზე მნიშვნელოვანია, როდესაც ვიპოვით რაოდენობებს, როგორიცაა ზედაპირის ფართობი და მოცულობა დახრილი პრიზმებისა და პირამიდებისთვის. მაგალითად, მანძილი პირამიდის ზემოდან საბაზისო სიბრტყემდე არის სიმაღლე. ეს უკანასკნელი შედის ამ ფიგურის მოცულობის ფორმულაში.

განხილული ფორმულები და მეთოდები წერტილიდან სწორ ხაზამდე და სიბრტყემდე პროგნოზებისა და მანძილების დასადგენად საკმაოდ მარტივია. მნიშვნელოვანია მხოლოდ სიბრტყისა და სწორი ხაზის განტოლებების შესაბამისი ფორმების დამახსოვრება, ასევე კარგი სივრცითი წარმოსახვის არსებობა, რათა წარმატებით გამოიყენოს ისინი.

სივრცეში გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას ხშირად ჩნდება სიბრტყესა და წერტილს შორის მანძილის განსაზღვრის პრობლემა. ზოგიერთ შემთხვევაში ეს აუცილებელია ყოვლისმომცველი გადაწყვეტისთვის. ეს მნიშვნელობა შეიძლება გამოითვალოს პროექციის აღმოჩენით წერტილის სიბრტყეზე. მოდით განვიხილოთ ეს საკითხი უფრო დეტალურად სტატიაში.

განტოლება თვითმფრინავის აღწერისთვის

სანამ განიხილავთ საკითხს, თუ როგორ უნდა იპოვოთ წერტილის პროექცია სიბრტყეზე, უნდა გაეცნოთ განტოლებების ტიპებს, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ უკანასკნელს სამგანზომილებიან სივრცეში. დამატებითი დეტალები ქვემოთ.

ზოგადი განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს ყველა წერტილს, რომელიც ეკუთვნის მოცემულ სიბრტყეს, არის შემდეგი:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

პირველი სამი კოეფიციენტი არის ვექტორის კოორდინატები, რომელსაც სიბრტყის სახელმძღვანელო ეწოდება. იგი ემთხვევა მისთვის ნორმალურს, ანუ პერპენდიკულარულია. ეს ვექტორი აღინიშნება n¯ (A; B; C). თავისუფალი კოეფიციენტი D ცალსახად განისაზღვრება სიბრტყის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის კოორდინატების ცოდნით.

წერტილის პროექციის კონცეფცია და მისი გამოთვლა

დავუშვათ, რომ მოცემულია P(x 1 ; y 1 ; z 1) წერტილი და სიბრტყე. იგი განისაზღვრება განტოლებით ზოგადი ფორმით. თუ P-დან მოცემულ სიბრტყემდე პერპენდიკულარულ წრფეს დავხატავთ, მაშინ აშკარაა, რომ იგი გადაკვეთს ამ უკანასკნელს ერთ კონკრეტულ წერტილში Q (x 2 ; y 2 ​​; z 2). Q ეწოდება P-ის პროექციას განსახილველ სიბრტყეზე. PQ სეგმენტის სიგრძეს ეწოდება მანძილი P წერტილიდან სიბრტყემდე. ამრიგად, PQ თავად არის სიბრტყის პერპენდიკულარული.

როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილის პროექციის კოორდინატები სიბრტყეზე? ეს არ არის რთული ამის გაკეთება. პირველ რიგში, თქვენ უნდა შექმნათ განტოლება სწორი ხაზისთვის, რომელიც იქნება სიბრტყის პერპენდიკულარული. მას მიეკუთვნება წერტილი P. ვინაიდან ამ წრფის ნორმალური ვექტორი n¯(A; B; C) პარალელური უნდა იყოს, მისი განტოლება შესაბამისი ფორმით დაიწერება შემდეგნაირად:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

სადაც λ არის რეალური რიცხვი, რომელსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ განტოლების პარამეტრს. მისი შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ ნებისმიერი წერტილი ხაზზე.

მას შემდეგ, რაც დაიწერება სიბრტყეზე პერპენდიკულარული წრფის ვექტორული განტოლება, აუცილებელია განხილული გეომეტრიული ობიექტების საერთო გადაკვეთის წერტილის პოვნა. მისი კოორდინატები იქნება პროექცია P. ვინაიდან ისინი უნდა აკმაყოფილებდეს ორივე თანასწორობას (წრფესთვის და სიბრტყისთვის), პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა შესაბამისი სისტემის ამოხსნამდე.

პროექციის კონცეფცია ხშირად გამოიყენება ნახატების შესწავლისას. ისინი ასახავს ნაწილის გვერდით და ჰორიზონტალურ პროგნოზებს zy, zx და xy სიბრტყეებზე.

სიბრტყედან წერტილამდე მანძილის გამოთვლა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, წერტილის სიბრტყეზე პროექციის კოორდინატების ცოდნა საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მათ შორის მანძილი. წინა აბზაცში შემოტანილი აღნიშვნის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ საჭირო მანძილი უდრის PQ სეგმენტის სიგრძეს. მის გამოსათვლელად საკმარისია ვიპოვოთ ვექტორის PQ ¯ კოორდინატები და შემდეგ გამოვთვალოთ მისი მოდული ცნობილი ფორმულის გამოყენებით. d მანძილის საბოლოო გამოხატულება P წერტილსა და სიბრტყეს შორის იღებს ფორმას:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

d-ის მიღებული მნიშვნელობა წარმოდგენილია ერთეულებში, რომლებშიც მითითებულია მიმდინარე კარტეზიული xyz კოორდინატთა სისტემა.

დავალების ნიმუში

ვთქვათ არის წერტილი N(0; -2; 3) და სიბრტყე, რომელიც აღწერილია შემდეგი განტოლებით:

თქვენ უნდა იპოვოთ პროექციის წერტილები თვითმფრინავზე და გამოთვალოთ მანძილი მათ შორის.

უპირველეს ყოვლისა, მოდით შევქმნათ განტოლება სწორი ხაზისთვის, რომელიც კვეთს სიბრტყეს 90 o კუთხით. Ჩვენ გვაქვს:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

ამ ტოლობის ცალსახად დაწერისას, ჩვენ მივდივართ განტოლებათა შემდეგ სისტემამდე:

კოორდინატთა მნიშვნელობების პირველი სამი ტოლობიდან მეოთხეში ჩანაცვლებით, ვიღებთ მნიშვნელობას λ, რომელიც განსაზღვრავს წრფისა და სიბრტყის საერთო წერტილის კოორდინატებს:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი პარამეტრი და ვიპოვოთ საწყისი წერტილის პროექციის კოორდინატები სიბრტყეზე:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1.5*(2; -1; 1) = (3; -3.5; 4.5).

პრობლემის დებულებაში მითითებულ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის მანძილის გამოსათვლელად, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3.5 + 2) 2 + (4.5 - 3) 2) = 3.674.

ამ ამოცანაში ჩვენ ვაჩვენეთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ წერტილის პროექცია თვითნებურ სიბრტყეზე და როგორ გამოვთვალოთ მათ შორის მანძილი.