განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ ინდუსტრიაში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის რაოდენობის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახვით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების სახეები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y-ის შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არის გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებების რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური გზა არ არსებობს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

ზოგადსაგანმანათლებლო სასკოლო პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია და დეტალურად არის ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოისახებოდა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლების გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

სისტემების ამოხსნის შეკრების მეთოდით ძიებისას, ხორციელდება ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა რიცხვებზე. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოთქმა ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითიდან ჩანს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი გვხვდება დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი შედგება სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების გამოსახვაში კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, y-ის მნიშვნელობები იქნა ნაპოვნი: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით დაფიქსირდა გრაფიკზე და ერთმანეთთან იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგ მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამონახსნი: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითები 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ როდესაც აგებულია, აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - სტრიქონი და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივების ნომრები არ განმეორდეს პროდუქტში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის უხერხული ჩანაწერების შემცირებას ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად შეისწავლება გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემების ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება ამოხსნის გაუს-კრამერის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობის მქონე სისტემების ცვლადების მოსაძებნად.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებითა და ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ნახსენებია ტექსტში, ნათქვამია, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამაში სწავლის მქონე ბავშვების გამომგონებლობის გასავითარებლად.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რიცხვს.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც განხორციელდა ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭირო ალგებრული ოპერაციების შესრულებას შედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ შეგაწუხოთ მრავალი უცნობის ჩამოთვლა.

გადაწყვეტის ნებისმიერი მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

წრფივი განტოლებები საკმაოდ უვნებელი და გასაგები თემაა სასკოლო მათემატიკაში. მაგრამ, უცნაურად საკმარისია, რომ წრფივი განტოლებების ამოხსნისას შეცდომების რაოდენობა ოდნავ ნაკლებია, ვიდრე სხვა თემებში - კვადრატული განტოლებები, ლოგარითმები, ტრიგონომეტრია და სხვა. შეცდომების უმეტესობის მიზეზები არის განტოლებების ბანალური იდენტური გარდაქმნები. უპირველეს ყოვლისა, ეს არის ნიშნების დაბნეულობა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე ტერმინების გადატანისას, ასევე შეცდომები წილადებთან და წილადურ კოეფიციენტებთან მუშაობისას. Დიახ დიახ! წრფივი განტოლებების წილადებიც ხდება! Გარშემო. ცოტა დაბლა, ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ასეთ ბოროტ განტოლებებს.)

აბა, მოდი კატას კუდიდან ნუ გამოვაჭერთ და ამის გარკვევას დავიწყებთ, არა? შემდეგ ვკითხულობთ და გავიგებთ.)

რა არის წრფივი განტოლება? მაგალითები.

როგორც წესი, წრფივ განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:

ნაჯახი + ბ = 0,

სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი. ყველაფერი: მთელი რიცხვი, წილადი, უარყოფითი, ირაციონალური - ყველას შეუძლია იყოს!

Მაგალითად:

7x + 1 = 0 (აქ a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (აქ a = 1, b = -3)

x/2 - 1.1 = 0 (აქ a = 1/2, b = -1.1)

ზოგადად, გესმით, იმედი მაქვს.) ყველაფერი მარტივია, როგორც ზღაპარში. ამ დროისთვის... და თუ დავაკვირდებით საერთო აღნიშვნას ax+b=0 და ცოტა დავფიქრდებით? რადგან ა და ბ ნებისმიერი რიცხვი! და თუ გვაქვს, ვთქვათ, a = 0 და b = 0 (ნებისმიერი რიცხვის აღება შეიძლება!), მაშინ რას მივიღებთ?

0 = 0

მაგრამ ეს ყველაფერი სახალისო არ არის! და თუ, ვთქვათ, a = 0, b = -10? მერე საკმაოდ სისულელე გამოდის:

0 = 10.

რაც ძალიან, ძალიან მაღიზიანებს და ძირს უთხრის ოფლითა და სისხლით მოპოვებულ მათემატიკის ნდობას... განსაკუთრებით ტესტებსა და გამოცდებში. მაგრამ ამ გაუგებარ და უცნაურ თანასწორობებს შორის, თქვენც უნდა იპოვოთ x! რაც საერთოდ არ არსებობს! და აქ კარგად მომზადებულ სტუდენტებსაც კი ზოგჯერ შეუძლიათ, როგორც ამბობენ, სისულელეში ჩავარდნენ... მაგრამ არ ინერვიულოთ! ამ გაკვეთილზე ჩვენ ასევე განვიხილავთ ყველა ასეთ სიურპრიზს. და x ასეთი ტოლობებიდანაც აუცილებლად იპოვის.) უფრო მეტიც, სწორედ ეს x იძებნება ძალიან, ძალიან მარტივად. Დიახ დიახ! გასაკვირია, მაგრამ მართალია.)

კარგი, გასაგებია. მაგრამ როგორ შეგიძლიათ ამოცანის გარეგნულად გაიგოთ, რომ ჩვენ გვაქვს წრფივი განტოლება და არა სხვა? სამწუხაროდ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი განტოლების ტიპის ამოცნობა მხოლოდ გარეგნულად. საქმე ის არის, რომ არა მხოლოდ ax + b = 0 ფორმის განტოლებებს უწოდებენ წრფივ, არამედ ნებისმიერ სხვა განტოლებებს, რომლებიც იდენტური გარდაქმნებით, ასე თუ ისე, მცირდება ამ ფორმამდე. როგორ იცით ჯდება თუ არა? სანამ თითქმის არ ამოხსნით მაგალითს - თითქმის არაფერი. ეს აღმაშფოთებელია. მაგრამ ზოგიერთი ტიპის განტოლებისთვის შესაძლებელია, ერთი სწრაფი შეხედვით, დაუყოვნებლივ დარწმუნებით ვთქვათ, წრფივია თუ არა.

ამისათვის ჩვენ კიდევ ერთხელ მივმართავთ ნებისმიერი წრფივი განტოლების ზოგად სტრუქტურას:

ნაჯახი + ბ = 0

გაითვალისწინეთ, რომ წრფივ განტოლებაში ყოველთვისარის მხოლოდ x ცვლადი პირველ ხარისხშიდა რამდენიმე ნომერი! და ეს არის ის! Არაფერი სხვა. ამავე დროს, არ არის x კვადრატი, კუბური, ფესვის ქვეშ, ლოგარითმის ქვეშ და სხვა ეგზოტიკა. და (რაც მთავარია!) წილადების გარეშე x-ით მნიშვნელებში!მაგრამ წილადები რიცხვებით მნიშვნელებში ან გაყოფაში თითო რიცხვზე- მარტივად!

Მაგალითად:

ეს არის წრფივი განტოლება. განტოლება შეიცავს მხოლოდ x-ებს პირველ ხარისხსა და რიცხვებს. და არ არსებობს ქსები უფრო მაღალ ძალებში - კვადრატში, კუბურში და ა.შ. დიახ, აქ არის წილადები, მაგრამ ამავე დროს ისინი დგანან წილადების მნიშვნელებში მხოლოდ ნომრები.კერძოდ, ორი და სამი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არ არსებობს გაყოფა x-ზე.

და აქ არის განტოლება

მას აღარ შეიძლება ვუწოდოთ წრფივი, თუმცა აქაც მხოლოდ რიცხვები და x-ებია პირველი ხარისხის. რადგან, სხვა საკითხებთან ერთად, არის წილადებიც x-ებით მნიშვნელებში. და გამარტივებებისა და გარდაქმნების შემდეგ, ასეთი განტოლება შეიძლება გახდეს ნებისმიერი: წრფივი და კვადრატული - ნებისმიერი.

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებები? მაგალითები.

მაშ, როგორ ამოხსნით წრფივ განტოლებებს? წაიკითხეთ და გაგიკვირდებათ.) წრფივი განტოლებების მთელი ამოხსნა მხოლოდ ორ მთავარ რამეს ეფუძნება. ჩამოვთვალოთ ისინი.

1) ელემენტარული მოქმედებებისა და მათემატიკის წესების ერთობლიობა.

ეს არის ფრჩხილების გამოყენება, ფრჩხილების გახსნა, წილადებთან მუშაობა, უარყოფით რიცხვებთან მუშაობა, გამრავლების ცხრილი და ა.შ. ეს ცოდნა და უნარები აუცილებელია არა მხოლოდ წრფივი განტოლებების ამოხსნისთვის, არამედ ზოგადად ყველა მათემატიკისთვის. და თუ ეს პრობლემაა, გახსოვდეთ ქვედა კლასები. წინააღმდეგ შემთხვევაში გაგიჭირდებათ...

2)

მათგან მხოლოდ ორია. Დიახ დიახ! უფრო მეტიც, ეს ძალიან ძირითადი იდენტური გარდაქმნები საფუძვლად უდევს მათემატიკის არა მხოლოდ წრფივი, არამედ ზოგადად ნებისმიერი განტოლების ამოხსნას! ერთი სიტყვით, ნებისმიერი სხვა განტოლების ამონახსნი - კვადრატული, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, ირაციონალური და ა.შ. - როგორც წესი, სწორედ ამ ძირითადი გარდაქმნებით იწყება. მაგრამ ზუსტად წრფივი განტოლებების ამოხსნა, ფაქტობრივად, მთავრდება მათზე (ტრანსფორმაციები). მზადაა პასუხი.) ასე რომ, არ დაიზაროთ და გაისეირნეთ ლინკი.) უფრო მეტიც, ხაზოვანი განტოლებებიც დეტალურად არის გაანალიზებული.

ისე, ვფიქრობ, დროა დავიწყოთ მაგალითების ანალიზი.

დასაწყისისთვის, როგორც გახურება, განიხილეთ რამდენიმე ელემენტარული. ყოველგვარი წილადებისა და სხვა ზარების და სასტვენების გარეშე. მაგალითად, ეს განტოლება:

x - 2 \u003d 4 - 5x

ეს არის კლასიკური წრფივი განტოლება. ყველა x არის მაქსიმუმი პირველ ხარისხში და არსად არ არის გაყოფა x-ზე. ამოხსნის სქემა ასეთ განტოლებებში ყოველთვის ერთი და იგივეა და საშინელებამდე მარტივია: x-ის ყველა წევრი უნდა შეგროვდეს მარცხნივ, ხოლო ყველა წევრი x-ის გარეშე (ანუ რიცხვები) უნდა შეგროვდეს მარჯვნივ. ასე რომ, დავიწყოთ შეგროვება.

ამისათვის ჩვენ ვიწყებთ პირველ იდენტურ ტრანსფორმაციას. ჩვენ გვჭირდება გადაადგილება -5x მარცხნივ და -2 გადაადგილებისთვის მარჯვნივ. რა თქმა უნდა, ნიშნის ცვლილებით.) ასე რომ, ჩვენ გადავცემთ:

x + 5x = 4 + 2

კარგად. ნახევარი ბრძოლა დასრულებულია: x-ები გროვდება გროვაში, რიცხვებიც. ახლა ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს მარცხნივ და ვითვლით მარჯვნივ. ჩვენ ვიღებთ:

6x = 6

რა გვაკლია ახლა სრული ბედნიერებისთვის? დიახ, ისე, რომ სუფთა X დარჩეს მარცხნივ! და ექვსი ერევა. როგორ დავაღწიოთ თავი? ახლა ვიწყებთ მეორე იდენტურ ტრანსფორმაციას - განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ 6-ზე. და - voila! პასუხი მზადაა.)

x = 1

რა თქმა უნდა, მაგალითი საკმაოდ პრიმიტიულია. ზოგადი წარმოდგენის მისაღებად. კარგი, მოდი რამე უფრო არსებითი გავაკეთოთ. მაგალითად, განიხილეთ შემდეგი განტოლება:

დეტალურად გავაანალიზოთ.) ესეც წრფივი განტოლებაა, თუმცა, როგორც ჩანს, აქ არის წილადები. მაგრამ წილადებში არის გაყოფა ორზე და არის გაყოფა სამზე, მაგრამ არ არსებობს x-ით გამოსახულებით გაყოფა! ასე რომ, ჩვენ გადავწყვიტეთ. ყველა იგივე იდენტური ტრანსფორმაციის გამოყენებით, დიახ.)

პირველ რიგში რას ვიზამთ? X-ით - მარცხნივ, X გარეშე - მარჯვნივ? პრინციპში შესაძლებელია და ასეც. იფრინეთ სოჭში ვლადივოსტოკის გავლით.) ან შეგიძლიათ აიღოთ უმოკლესი გზა, მაშინვე უნივერსალური და ძლიერი მეთოდის გამოყენებით. თუ იცით იდენტური გარდაქმნები, რა თქმა უნდა.)

დასაწყისისთვის, მე ვსვამ მთავარ კითხვას: რა შეამჩნიეთ და არ მოგწონთ ყველაზე მეტად ამ განტოლებაში? 100 ადამიანიდან 99 ამბობს: წილადები!და მართალიც იქნებიან.) ასე რომ, ჯერ მოვიშოროთ ისინი. უსაფრთხოა თავად განტოლებისთვის.) ასე რომ, დავიწყოთ მაშინვე მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია- გამრავლებიდან. რაზე უნდა გავამრავლოთ მარცხენა მხარე ისე, რომ მნიშვნელი უსაფრთხოდ შემცირდეს? მართალია, ორმაგი. და მარჯვენა მხარე? სამისთვის! მაგრამ ... მათემატიკა კაპრიზული ქალბატონია. ის, მოგეხსენებათ, მოითხოვს მხოლოდ ორივე ნაწილის გამრავლებას იგივე ნომრისთვის!გაამრავლეთ თითოეული ნაწილი თავის რიცხვზე - არ მუშაობს ... რას ვაპირებთ? რაღაც... ეძებეთ კომპრომისი. რომ დავაკმაყოფილოთ ჩვენი სურვილები (მოშორდეთ წილადებს) და არ ვაწყენოთ მათემატიკა.) და გავამრავლოთ ორივე ნაწილი ექვსზე!) ანუ განტოლებაში შემავალი ყველა წილადის საერთო მნიშვნელით. შემდეგ, ერთი დარტყმით, ორი შემცირდება და სამი!)

აქ ჩვენ ვამრავლებთ. მთელი მარცხენა და მთელი მარჯვენა მხარე მთლიანად! ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ ფრჩხილებს. პროცედურა ასე გამოიყურება:

ახლა გავხსნათ ეს ფრჩხილები:

ახლა, გამოვსახოთ 6, როგორც 6/1, გავამრავლოთ ექვსი მარცხნივ და მარჯვნივ თითოეულ წილადზე. ეს არის წილადების ჩვეულებრივი გამრავლება, მაგრამ, ასეც იყოს, დაწვრილებით დავწერ:

და აქ - ყურადღება! ავიღე მრიცხველი (x-3) ფრჩხილებში! ეს ყველაფერი იმიტომ, რომ წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მთლიანობაში, მთლიანად და მთლიანად! ხოლო გამონათქვამით x-3 აუცილებელია ვიმუშაოთ როგორც ერთი მყარი კონსტრუქციით. მაგრამ თუ დაწერთ მრიცხველს ასე:

6x - 3,

მაგრამ ჩვენ ყველაფერი კარგად გვაქვს და უნდა დავასრულოთ. რა უნდა გააკეთოს შემდეგ? გახსენით ფრჩხილები მარცხნივ მრიცხველში? არავითარ შემთხვევაში! მე და შენ გავამრავლეთ ორივე ნაწილი 6-ზე, რათა წილადები მოვიშოროთ და არ მივიღოთ ორთქლის აბაზანა გასახსნელი ფრჩხილებით. ამ ეტაპზე ჩვენ გვჭირდება შეამცირეთ ჩვენი წილადები.ღრმა კმაყოფილების გრძნობით, ჩვენ ვამცირებთ ყველა მნიშვნელს და ვიღებთ განტოლებას ყოველგვარი წილადის გარეშე, სახაზავში:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

ახლა კი შესაძლებელია დარჩენილი ფრჩხილების გახსნა:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

განტოლება სულ უფრო და უფრო უმჯობესდება! ახლა ისევ გავიხსენებთ პირველ იდენტურ ტრანსფორმაციას. ქვის სახით ვიმეორებთ შელოცვას ქვედა კლასებიდან: x-ით - მარცხნივ, x-ის გარეშე - მარჯვნივ. და გამოიყენეთ ეს ტრანსფორმაცია:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს მარცხნივ და ვითვლით მარჯვნივ:

13x = 39

რჩება ორივე ნაწილის 13-ზე გაყოფა. ანუ კვლავ გამოიყენე მეორე ტრანსფორმაცია. ვყოფთ და ვიღებთ პასუხს:

x = 3

სამუშაო შესრულებულია. როგორც ხედავთ, ამ განტოლებაში პირველი ტრანსფორმაცია (ტერმინების გადაცემა) ერთხელ და მეორე ორჯერ უნდა გამოგვეყენებინა: ამოხსნის დასაწყისში ვიყენებდით გამრავლებას (6-ზე) წილადების მოსაშორებლად და ამონახსნის ბოლოს გამოვიყენეთ გაყოფა (13-ზე), რომ მოვიშოროთ კოეფიციენტი x-მდე. და ნებისმიერი (დიახ, ნებისმიერი!) წრფივი განტოლების ამონახსნი შედგება იმავე გარდაქმნების ერთობლიობისგან ამა თუ იმ თანმიმდევრობით. ზუსტად სად უნდა დაიწყოს, დამოკიდებულია კონკრეტულ განტოლებაზე. სადღაც უფრო მომგებიანია გადარიცხვით დაწყება და სადღაც (როგორც ამ მაგალითში) - გამრავლებით (ან გაყოფით).

ჩვენ ვმუშაობთ მარტივიდან რთულამდე. განვიხილოთ ახლა გულწრფელი კალის. წილადებითა და ფრჩხილებით. და მე გეტყვით, როგორ არ გადაიტანოთ.)

მაგალითად, აქ არის განტოლება:

ერთი წუთით ვუყურებთ განტოლებას, საშინლად ვართ, მაგრამ მაინც თავს ვიკავებთ! მთავარი პრობლემა არის საიდან დავიწყოთ? თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ წილადები მარჯვენა მხარეს. შეგიძლიათ გამოკლოთ წილადები ფრჩხილებში. შეგიძლიათ ორივე ნაწილი გაამრავლოთ რაღაცაზე. ან გააზიარეთ... მაშ რა არის ჯერ კიდევ შესაძლებელი? პასუხი: ყველაფერი შესაძლებელია! მათემატიკა არ კრძალავს არცერთ ჩამოთვლილ მოქმედებას. და არ აქვს მნიშვნელობა რა მოქმედებების და გარდაქმნების თანმიმდევრობას აირჩევთ, პასუხი ყოველთვის იგივე იქნება - სწორი. თუ, რა თქმა უნდა, რაიმე ეტაპზე არ დაარღვიოთ თქვენი გარდაქმნების იდენტურობა და, ამით, არ დაუშვათ შეცდომები ...

და იმისათვის, რომ არ დაუშვათ შეცდომები, ისეთ ფანტასტიურ მაგალითებში, როგორიც ეს არის, ყოველთვის ყველაზე სასარგებლოა მისი გარეგნობის შეფასება და გონებაში გარკვევა: რა შეიძლება გაკეთდეს მაგალითში ისე, რომ მაქსიმუმგაამარტივებს მას ერთი ნაბიჯით?

აქ ჩვენ ვხვდებით. მარცხნივ არის ექვსიანი მნიშვნელებში. პირადად მე არ მომწონს, მაგრამ ძალიან ადვილი მოსაშორებელია. ნება მომეცით გავამრავლო განტოლების ორივე მხარე 6-ზე! შემდეგ მარცხნივ ექვსები უსაფრთხოდ შემცირდება, ფრჩხილებში ფრაქციები ჯერ არსად წავა. ისე, დიდი არაფერი. მათ ცოტა მოგვიანებით შევეხებით.) მაგრამ მარჯვნივ 2 და 3 მნიშვნელები შემცირდება, სწორედ ამ მოქმედებით (6-ზე გამრავლება) მაქსიმალურ გამარტივებებს მივაღწევთ ერთ საფეხურზე!

გამრავლების შემდეგ მთელი ჩვენი ბოროტი განტოლება ხდება ასეთი:

თუ ზუსტად არ გესმით, როგორ აღმოჩნდა ეს განტოლება, მაშინ კარგად ვერ გაიგეთ წინა მაგალითის ანალიზი. და მე შევეცადე, სხვათა შორის ...

მოდით გავხსნათ:

ახლა ყველაზე ლოგიკური ნაბიჯი იქნება წილადების იზოლირება მარცხნივ და 5x გაგზავნა მარჯვენა მხარეს. ამავდროულად, ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

უკვე ბევრად უკეთესი. ახლა მარცხენა მხარე მოემზადა გამრავლებისთვის. რა უნდა გავამრავლოთ მარცხენა მხარეს ისე, რომ ხუთიც და ოთხიც მაშინვე შემცირდეს? 20-ზე! მაგრამ ჩვენ ასევე გვაქვს უარყოფითი მხარეები განტოლების ორივე მხარეს. აქედან გამომდინარე, ყველაზე მოსახერხებელი იქნება განტოლების ორივე მხარის გამრავლება არა 20-ზე, არამედ -20-ზე. შემდეგ, ერთი დარტყმით, მინუსები გაქრება და წილადები.

აქ ვამრავლებთ:

მათთვის, ვისაც ჯერ კიდევ არ ესმის ეს ნაბიჯი, ეს ნიშნავს, რომ პრობლემები არ არის განტოლებებში. პრობლემები მთავარია! კიდევ ერთხელ გახსოვდეთ ფრჩხილების გახსნის ოქროს წესი:

თუ რიცხვი მრავლდება რაიმე გამოსახულებით ფრჩხილებში, მაშინ ეს რიცხვი თანმიმდევრულად უნდა გამრავლდეს ამ გამოხატვის თითოეულ წევრზე. უფრო მეტიც, თუ რიცხვი დადებითია, მაშინ გაფართოების შემდეგ გამონათქვამების ნიშნები შენარჩუნებულია. თუ უარყოფითია, ისინი შებრუნებულია:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

მინუსები გაქრა ორივე ნაწილის -20-ზე გამრავლების შემდეგ. ახლა კი ჩვენ ვამრავლებთ ფრჩხილებს მარცხნივ წილადებით საკმაოდ საკუთარ თავზე დადებითი რიცხვი 20. ამიტომ ამ ფრჩხილების გახსნისას დაცულია ყველა ის ნიშანი, რაც მათ შიგნით იყო. მაგრამ საიდან გაჩნდა წილადების მრიცხველების ფრჩხილები, წინა მაგალითში უკვე დეტალურად ავხსენი.

ახლა კი შეგიძლიათ წილადების შემცირება:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

გააფართოვეთ დარჩენილი ფრჩხილები. ისევ სწორად ვხსნით. პირველი ფრჩხილები მრავლდება დადებითი რიცხვით 4 და, შესაბამისად, ყველა ნიშანი შენარჩუნებულია მათი გახსნისას. მაგრამ მეორე ფრჩხილები მრავლდება უარყოფითირიცხვი არის -5 და, შესაბამისად, ყველა ნიშანი შებრუნებულია:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

დარჩენილია ცარიელი ადგილები. x-ით მარცხნივ, x გარეშე მარჯვნივ:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

ეს თითქმის ყველაფერია. მარცხნივ, თქვენ გჭირდებათ სუფთა X და რიცხვი -35 ხელს უშლის. ამიტომ ორივე ნაწილს ვყოფთ (-35-ზე). შეგახსენებთ, რომ მეორე იდენტობის ტრანსფორმაცია საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ და გავყოთ ორივე ნაწილი სულ ერთიანომერი. უარყოფითის ჩათვლით.) თუ არა ნულამდე! თავისუფლად გააზიარეთ და მიიღეთ პასუხი:

X=2/35

ამჯერად X წილადი აღმოჩნდა. Ყველაფერი კარგადაა. ასეთი მაგალითი.)

როგორც ვხედავთ, წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი (თუნდაც ყველაზე გრეხილი) საკმაოდ მარტივია: ვიღებთ თავდაპირველ განტოლებას და იდენტური გარდაქმნებით, თანმიმდევრულად ვამარტივებთ მას პასუხამდე. საფუძვლებით, რა თქმა უნდა! აქ მთავარი პრობლემები არის ზუსტად საფუძვლებთან შეუსაბამობა (ვთქვათ, ფრჩხილების წინ არის მინუსი და გახსნისას დაავიწყდათ ნიშნების შეცვლა), ასევე ბანალურ არითმეტიკაში. ასე რომ, ნუ უგულებელყოფთ საფუძვლებს! ისინი ყველა დანარჩენი მათემატიკის საფუძველია!

რამდენიმე ხრიკი წრფივი განტოლებების ამოხსნისას. ან განსაკუთრებული შემთხვევები.

ყველაფერი არაფერი იქნებოდა. თუმცა... წრფივ განტოლებებს შორის არის ისეთი სასაცილო მარგალიტებიც, რომლებსაც მათი ამოხსნის პროცესში შეუძლიათ ძლიერ სისულელემდე მიიყვანონ ისინი. თუნდაც შესანიშნავი სტუდენტი.)

მაგალითად, აქ არის უვნებელი გარეგნობის განტოლება:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

ფართოდ და ოდნავ მობეზრებული იღრიჭებით, ჩვენ ვაგროვებთ ყველა X-ს მარცხნივ, ხოლო ყველა რიცხვს მარჯვნივ:

7x-4x-3x = 5-2-3

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, განვიხილავთ და ვიღებთ:

0 = 0

Ის არის! გაცემული primerchik აქცენტი! თავისთავად, ეს თანასწორობა არ იწვევს წინააღმდეგობას: ნული მართლაც ნულის ტოლია. მაგრამ X წავიდა! უკვალოდ! და ჩვენ უნდა დავწეროთ პასუხში, რისი ტოლია x. წინააღმდეგ შემთხვევაში გადაწყვეტილება არ განიხილება, დიახ.) რა ვქნათ?

არავითარი პანიკა! ასეთ არასტანდარტულ შემთხვევებში მათემატიკის ყველაზე ზოგადი ცნებები და პრინციპები ზოგავს. რა არის განტოლება? როგორ ამოხსნათ განტოლებები? რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა?

განტოლების ამოხსნა ნიშნავს პოვნას ყველა x ცვლადის მნიშვნელობები, რომლებიც ჩანაცვლებისას ორიგინალურიგანტოლება მოგვცემს სწორ ტოლობას (იდენტობას)!

მაგრამ ჩვენ გვაქვს სწორი თანასწორობა უკვე მზადაა! 0=0, უფრო სწორად არსად!) გასარკვევია, რომელ x-ებში მივიღებთ ამ ტოლობას. რა სახის x-ებით შეიძლება შეიცვალოს ორიგინალურიგანტოლება, თუ ჩანაცვლებისას ისინი ყველა ისევ ნულამდე შემცირდება?ჯერ ვერ გაარკვიე?

Დიახ, რა თქმა უნდა! Xs შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი!!! აბსოლუტურად ნებისმიერი. რაც გინდათ, ჩადეთ ისინი. მინიმუმ 1, მინიმუმ -23, მინიმუმ 2.7 - რაც არ უნდა იყოს! ისინი მაინც შემცირდება და შედეგად სუფთა სიმართლე დარჩება. სცადეთ, ჩაანაცვლეთ და თავად დარწმუნდებით.)

აი შენი პასუხი:

x არის ნებისმიერი რიცხვი.

სამეცნიერო აღნიშვნით, ეს თანასწორობა ასე იწერება:

ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "X არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი."

ან სხვა ფორმით, ინტერვალებით:

როგორც გინდათ დაალაგეთ. ეს არის სწორი და სრულიად სრული პასუხი!

ახლა კი მე ვაპირებ შევცვალო მხოლოდ ერთი რიცხვი ჩვენს თავდაპირველ განტოლებაში. ახლავე ამოვხსნათ ეს განტოლება:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

ჩვენ კვლავ გადავცემთ პირობებს, ვითვლით და ვიღებთ:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

და როგორ მოგწონთ ეს ხუმრობა? იყო ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება, მაგრამ იყო გაუგებარი თანასწორობა

0 = 1…

მეცნიერული თვალსაზრისით, გვაქვს არასწორი თანასწორობა.მაგრამ რუსულად ეს ასე არ არის. სისულელე. სისულელეა.) რადგან ნული არ არის ერთის ტოლი!

ახლა კი ისევ ვფიქრობთ, რა სახის x მოგვცემს თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებისას სწორი თანასწორობა?რომელი? მაგრამ არცერთი! რაც არ უნდა X ჩაანაცვლო, ყველაფერი მაინც შემცირდება და სისულელე იქნება.)

აი პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

მათემატიკური ნოტაციით, ასეთი პასუხი შედგენილია ასე:

იკითხება: „X ეკუთვნის ცარიელ კომპლექტს“.

ასეთი პასუხები მათემატიკაშიც საკმაოდ ხშირია: პრინციპში ყოველთვის რომელიმე განტოლებას არ აქვს ფესვები. ზოგიერთ განტოლებას შეიძლება საერთოდ არ ჰქონდეს ფესვები. Საერთოდ.

აქ არის ორი სიურპრიზი. ვიმედოვნებ, რომ ახლა განტოლებაში X-ების უეცარი გაქრობა სამუდამოდ არ დაგაბნევთ. საქმე საკმაოდ ნაცნობია.)

და შემდეგ მესმის ლოგიკური კითხვა: იქნებიან ისინი OGE-ში თუ USE-ში? გამოცდაზე, თავისთავად, როგორც დავალება - არა. ძალიან მარტივია. მაგრამ OGE-ში ან ტექსტურ პრობლემებში - მარტივად! ახლა ჩვენ ვვარჯიშობთ და ვწყვეტთ:

პასუხები (არეულად): -2; - ერთი; ნებისმიერი ნომერი; 2; არ არის გადაწყვეტილებები; 7/13.

ყველაფერი გამოვიდა? კარგად! კარგი შანსები გაქვს გამოცდაზე.

რაღაც არ ჯდება? ჰმ... სევდა, რა თქმა უნდა. ასე რომ, სადღაც არის ხარვეზები. ან ბაზებში ან იდენტურ გარდაქმნებში. ან ბანალურ უყურადღებობაზეა საუბარი. ხელახლა წაიკითხეთ გაკვეთილი. ეს არ არის თემა, რომლის გარეშეც ასე მარტივად შეიძლება მათემატიკაში...

Წარმატებები! ის აუცილებლად გაგიღიმებთ, დამიჯერეთ!)

განტოლებები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველა განტოლების ამოხსნა იწყება ამ გარდაქმნებით. წრფივი განტოლებების ამოხსნისას ის (ამოხსნა) იდენტურ გარდაქმნებზე და მთავრდება საბოლოო პასუხით.

უცნობი ცვლადის არანულოვანი კოეფიციენტის შემთხვევა.

ax+b=0, a ≠ 0

ჩვენ გადავიყვანთ წევრებს x-ით ერთ მხარეს, ხოლო რიცხვებს მეორე მხარეს. დარწმუნდით, რომ გახსოვდეთ, რომ ტერმინების განტოლების საპირისპირო მხარეს გადატანისას, თქვენ უნდა შეცვალოთ ნიშანი:

ნაჯახი:(ა)=-ბ:(ა)

ვამცირებთ აზე Xდა მივიღებთ:

x=-b:(ა)

ეს არის პასუხი. თუ გსურთ შეამოწმოთ არის თუ არა ნომერი -ბ:(ა)ჩვენი განტოლების ფესვი, მაშინ ჩვენ უნდა ჩავანაცვლოთ საწყის განტოლებაში ნაცვლად Xეს იგივე ნომერია:

a(-b:(a))+b=0 (იმათ. 0=0)

რადგან მაშინ ეს თანასწორობა მართალია -ბ:(ა)და სიმართლე არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: x=-b:(a), a ≠ 0.

პირველი მაგალითი:

5x+2=7x-6

ჩვენ ერთ მხარეს გადავიტანთ პირობებს Xდა ნომრის მეორე მხარეს:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

უცნობი კოეფიციენტით შეამცირეს და მიიღეს პასუხი:

ეს არის პასუხი. თუ თქვენ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა რიცხვი 4 ჩვენი განტოლების ფესვი, ჩვენ ამ რიცხვს ვცვლით x-ის ნაცვლად თავდაპირველ განტოლებაში:

5*4+2=7*4-6 (იმათ. 22=22)

რადგან ეს ტოლობა მართალია, მაშინ 4 არის განტოლების ფესვი.

მეორე მაგალითი:

ამოხსენით განტოლება:

5x+14=x-49

უცნობიებისა და რიცხვების სხვადასხვა მიმართულებით გადაცემით მივიღეთ:

განტოლების ნაწილებს ვყოფთ კოეფიციენტზე x(4-ზე) და მიიღეთ:

მესამე მაგალითი:

ამოხსენით განტოლება:

პირველ რიგში, ჩვენ ვიხსნით ირაციონალურობას უცნობის კოეფიციენტში ყველა ტერმინის გამრავლებით:

ეს ფორმა გამარტივებულად ითვლება, რადგან რიცხვს აქვს რიცხვის ფესვი მნიშვნელში. პასუხი უნდა გავამარტივოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის იმავე რიცხვზე გამრავლებით, გვაქვს ეს:

საქმე არ არის გამოსავალი.

ამოხსენით განტოლება:

2x+3=2x+7

Ყველასთვის xჩვენი განტოლება არ გახდება ნამდვილი თანასწორობა. ანუ ჩვენს განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

განსაკუთრებული შემთხვევა არის ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ამოხსენით განტოლება:

2x+3=2x+3

x-ების და რიცხვების სხვადასხვა მიმართულებით გადაცემით და მსგავსი ტერმინების მოყვანა, მივიღებთ განტოლებას:

აქაც არ შეიძლება ორივე ნაწილის 0-ზე გაყოფა, რადგან აკრძალულია. თუმცა ადგილის დაყენება Xნებისმიერი რიცხვი, მივიღებთ სწორ ტოლობას. ანუ ყოველი რიცხვი არის ასეთი განტოლების ამონახსნი. ამრიგად, არსებობს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები.

პასუხი: ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ორი სრული ფორმის ტოლობის შემთხვევა.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(დ-ბ):(ა-გ)

პასუხი: x=(დ-ბ):(ა-გ), თუ d≠b და a≠c, თორემ უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია, მაგრამ თუ a=c, ა d≠b, მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის.

წრფივი განტოლება არის ალგებრული განტოლება, რომლის მრავალწევრების სრული ხარისხი უდრის ერთს. წრფივი განტოლებების ამოხსნა სასკოლო სასწავლო გეგმის ნაწილია და არა ყველაზე რთული. თუმცა, ზოგიერთი მაინც განიცდის სირთულეებს ამ თემის გავლისას. ვიმედოვნებთ, რომ ამ მასალის წაკითხვის შემდეგ, თქვენთვის ყველა სირთულე წარსულში დარჩება. ასე რომ, მოდით გაერკვნენ. როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებები.

ზოგადი ფორმა

წრფივი განტოლება წარმოდგენილია შემდეგნაირად:

• ax + b = 0, სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი.

მიუხედავად იმისა, რომ a და b შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, მათი მნიშვნელობები გავლენას ახდენს განტოლების ამონახსნების რაოდენობაზე. გადაწყვეტის რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევაა:

• თუ a=b=0, განტოლებას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა;
• თუ a=0, b≠0, განტოლებას ამონახსნი არ აქვს;
• თუ a≠0, b=0, განტოლებას აქვს ამონახსნი: x = 0.

იმ შემთხვევაში, თუ ორივე რიცხვს აქვს არანულოვანი მნიშვნელობები, განტოლება უნდა გადაწყდეს ცვლადის საბოლოო გამოხატვის გამოსათვლელად.

როგორ გადავწყვიტოთ?

წრფივი განტოლების ამოხსნა ნიშნავს იმის პოვნას, თუ რის ტოლია ცვლადი. Როგორ გავაკეთო ეს? დიახ, ეს ძალიან მარტივია - მარტივი ალგებრული მოქმედებების გამოყენება და გადაცემის წესების დაცვა. თუ განტოლება თქვენს წინაშე გამოჩნდა ზოგადი ფორმით, თქვენ იღბლიანი ხართ, ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის:

1. გადაიტანეთ b განტოლების მარჯვენა მხარეს, არ დაგავიწყდეთ ნიშნის შეცვლა (გადაცემის წესი!), ამრიგად, ax + b = 0 ფორმის გამოხატულებიდან უნდა მივიღოთ ax = -b ფორმის გამოხატულება.
2. გამოიყენეთ წესი: ერთ-ერთი ფაქტორის საპოვნელად (x - ჩვენს შემთხვევაში), თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი (-b ჩვენს შემთხვევაში) სხვა ფაქტორზე (a - ჩვენს შემთხვევაში). ამრიგად, უნდა იქნას მიღებული ფორმის გამოხატულება: x \u003d -b / a.

სულ ეს არის - გამოსავალი ნაპოვნია!

ახლა მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითს:

1. 2x + 4 = 0 - გადაადგილება b, რომელიც ამ შემთხვევაში არის 4, მარჯვნივ
2. 2x = -4 - გაყავით b a-ზე (არ დაგავიწყდეთ მინუს ნიშანი)
3. x=-4/2=-2

Სულ ეს არის! ჩვენი გამოსავალი: x = -2.

როგორც ხედავთ, ერთი ცვლადით წრფივი განტოლების ამოხსნის პოვნა საკმაოდ მარტივია, მაგრამ ყველაფერი ასე მარტივია, თუ გაგვიმართლა განტოლება ზოგადი ფორმით შევხვდეთ. უმეტეს შემთხვევაში, ზემოთ აღწერილ ორ საფეხურზე განტოლების ამოხსნამდე, ასევე აუცილებელია არსებული გამოსახულების ზოგად ფორმამდე მიყვანა. თუმცა, ეს ასევე არ არის რთული ამოცანა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე განსაკუთრებულ შემთხვევას მაგალითებით.

განსაკუთრებული შემთხვევების გადაჭრა

პირველ რიგში, მოდით გადავხედოთ სტატიის დასაწყისში აღწერილ შემთხვევებს და განვმარტოთ, რას ნიშნავს უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები და ამონახსნის გარეშე.

• თუ a=b=0, განტოლება ასე გამოიყურება: 0x + 0 = 0. პირველი ნაბიჯის შესრულებისას მივიღებთ: 0x = 0. რას ნიშნავს ეს სისულელე, თქვენ იძახით! ბოლოს და ბოლოს, რა რიცხვიც არ უნდა გაამრავლო ნულზე, ყოველთვის მიიღებ ნულს! უფლება! ამიტომ, ისინი ამბობენ, რომ განტოლებას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა - რაც არ უნდა აიღოთ, ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი, 0x \u003d 0 ან 0 \u003d 0.
• თუ a=0, b≠0, განტოლება ასე გამოიყურება: 0x + 3 = 0. ვასრულებთ პირველ ნაბიჯს, მივიღებთ 0x = -3. ისევ სისულელეა! აშკარაა, რომ ეს თანასწორობა არასოდეს იქნება ჭეშმარიტი! ამიტომ ამბობენ, რომ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.
• თუ a≠0, b=0, განტოლება ასე გამოიყურება: 3x + 0 = 0. პირველი ნაბიჯის გადადგმისას მივიღებთ: 3x = 0. რა არის ამონახსნი? ეს მარტივია, x = 0.

სირთულეები თარგმანში

აღწერილი კონკრეტული შემთხვევები არ არის ის ყველაფერი, რითაც წრფივი განტოლებები შეიძლება გაგვაოცოს. ზოგჯერ განტოლება ზოგადად რთულია ერთი შეხედვით ამოცნობა. ავიღოთ მაგალითი:

• 12x - 14 = 2x + 6

ეს წრფივი განტოლებაა? მაგრამ რაც შეეხება ნულს მარჯვენა მხარეს? ჩვენ არ ვიჩქარებთ დასკვნების გაკეთებას, ჩვენ ვიმოქმედებთ - გადავიტანთ ჩვენი განტოლების ყველა კომპონენტს მარცხენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

ახლა like-ს გამოკლებით მივიღებთ:

• 10x - 20 = 0

Ისწავლა? ყველაზე წრფივი განტოლება ოდესმე! რომლის ამონახსნი: x = 20/10 = 2.

რა მოხდება, თუ გვაქვს ეს მაგალითი:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

დიახ, ეს ასევე წრფივი განტოლებაა, მხოლოდ მეტი ტრანსფორმაციებია საჭირო. ჯერ გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - ახლა შეასრულეთ გადაცემა:
4. 25x - 4 = 0 - რჩება გამოსავლის პოვნა უკვე ცნობილი სქემის მიხედვით:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0.16

როგორც ხედავთ, ყველაფერი მოგვარებულია, მთავარია არა ინერვიულოთ, არამედ იმოქმედოთ. დაიმახსოვრეთ, თუ თქვენი განტოლება შეიცავს მხოლოდ პირველი ხარისხის ცვლადებს და რიცხვებს, ეს არის წრფივი განტოლება, რომელიც, როგორც არ უნდა გამოიყურებოდეს თავდაპირველად, შეიძლება შემცირდეს ზოგად ფორმამდე და ამოხსნათ. ვიმედოვნებთ, რომ ყველაფერი გამოგივათ! Წარმატებები!

ამ სტატიაში განვიხილავთ ასეთი განტოლებების ამოხსნის პრინციპს, როგორც ხაზოვან განტოლებებს. მოდით დავწეროთ ამ განტოლებების განმარტება და დავადგინოთ ზოგადი ფორმა. ჩვენ გავაანალიზებთ ყველა პირობას წრფივი განტოლებების ამონახსნის საპოვნელად, სხვა საკითხებთან ერთად, პრაქტიკული მაგალითების გამოყენებით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ქვემოთ მოყვანილი მასალა შეიცავს ინფორმაციას ერთი ცვლადის მქონე წრფივი განტოლებების შესახებ. წრფივი განტოლებები ორი ცვლადით განიხილება ცალკეულ სტატიაში.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რა არის წრფივი განტოლება

განმარტება 1

წრფივი განტოლებაარის განტოლება დაწერილი ასე:
a x = b, სად x- ცვლადი, ადა ბ- რამდენიმე რიცხვი.

ეს ფორმულირება გამოიყენება იუ.ნ. მაკარიჩევის ალგებრის სახელმძღვანელოში (მე-7 კლასი).

მაგალითი 1

წრფივი განტოლებების მაგალითები იქნება:

3x=11(ერთი ცვლადი განტოლება xზე a = 5და b = 10);

− 3, 1 y = 0 (წრფივი განტოლება ცვლადით წ, სად a \u003d - 3, 1და b = 0);

x = -4და − x = 5, 37(წრფივი განტოლებები, სადაც რიცხვი ადაწერილი აშკარად და უდრის 1 და - 1, შესაბამისად. პირველი განტოლებისთვის b = - 4;მეორესთვის - b = 5, 37) და ა.შ.

სხვადასხვა სასწავლო მასალა შეიძლება შეიცავდეს განსხვავებულ განმარტებებს. მაგალითად, Vilenkin N.Ya. წრფივი ასევე მოიცავს იმ განტოლებებს, რომლებიც შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში a x = bტერმინების ერთი ნაწილიდან მეორეზე ნიშნის ცვლილებით გადატანით და მსგავსი ტერმინების მოტანით. თუ ამ ინტერპრეტაციას მივყვებით, განტოლება 5 x = 2 x + 6 -ასევე ხაზოვანი.

და აქ არის ალგებრის სახელმძღვანელო (მე-7 კლასი) მორდკოვიჩ ა.გ. განსაზღვრავს შემდეგ აღწერას:

განმარტება 2

წრფივი განტოლება ერთი ცვლადით x არის ფორმის განტოლება a x + b = 0, სად ადა ბარის რამდენიმე რიცხვი, რომელსაც უწოდებენ წრფივი განტოლების კოეფიციენტებს.

მაგალითი 2

ამ ტიპის წრფივი განტოლებების მაგალითი შეიძლება იყოს:

3 x - 7 = 0 (a = 3, b = - 7) ;

1 , 8 y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

მაგრამ ასევე არის ხაზოვანი განტოლებების მაგალითები, რომლებიც უკვე გამოვიყენეთ ზემოთ: a x = b, Მაგალითად, 6 x = 35.

ჩვენ მაშინვე შევთანხმდებით, რომ ამ სტატიაში, ერთი ცვლადის მქონე წრფივი განტოლების ქვეშ, გავიგებთ ჩაწერის განტოლებას. a x + b = 0, სად x– ცვლადი; a, b არის კოეფიციენტები. ჩვენ ვხედავთ წრფივი განტოლების ამ ფორმას, როგორც ყველაზე გამართლებულს, რადგან წრფივი განტოლებები პირველი ხარისხის ალგებრული განტოლებებია. და ზემოთ მითითებული სხვა განტოლებები და ფორმაში ეკვივალენტური გარდაქმნებით მოცემული განტოლებები a x + b = 0, ჩვენ განვსაზღვრავთ, როგორც სწორხაზოვან განტოლებამდე დაყვანის განტოლებებს.

ამ მიდგომით, განტოლება 5 x + 8 = 0 არის წრფივი და 5 x = −8- განტოლება, რომელიც მცირდება წრფივზე.

წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი

განვიხილოთ, როგორ განვსაზღვროთ, ექნება თუ არა მოცემულ წრფივ განტოლებას ფესვები და თუ ასეა, რამდენი და როგორ განვსაზღვროთ ისინი.

განმარტება 3

წრფივი განტოლების ფესვების არსებობის ფაქტი განისაზღვრება კოეფიციენტების მნიშვნელობებით. ადა ბ.მოდით დავწეროთ ეს პირობები:

• ზე a ≠ 0წრფივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = - b a ;
• ზე a = 0და b ≠ 0წრფივ განტოლებას არ აქვს ფესვები;
• ზე a = 0და b = 0წრფივ განტოლებას უსასრულოდ ბევრი ფესვი აქვს. სინამდვილეში, ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გახდეს წრფივი განტოლების ფესვი.

მოდით მივცეთ განმარტება. ჩვენ ვიცით, რომ განტოლების ამოხსნის პროცესში შესაძლებელია მოცემული განტოლების ეკვივალენტად გარდაქმნა, რაც ნიშნავს, რომ მას აქვს იგივე ფესვები, რაც თავდაპირველ განტოლებას, ან ასევე არ აქვს ფესვები. ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ შემდეგი ექვივალენტური გარდაქმნები:

• ტერმინის ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანა, ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა;
• გავამრავლოთ ან გავყოთ განტოლების ორივე მხარე ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე.

ამრიგად, ჩვენ გარდაქმნით წრფივ განტოლებას a x + b = 0, ტერმინის გადატანა ბმარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს ნიშნის ცვლილებით. ჩვენ ვიღებთ: a · x = - b.

ამრიგად, განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ არანულოვან რიცხვზე ა,რის შედეგადაც ხდება x = - b a ფორმის ტოლობა. ანუ როდის a ≠ 0ორიგინალური განტოლება a x + b = 0უდრის x = - b a ტოლობას, რომელშიც აშკარაა ფესვი - b a.

წინააღმდეგობით, შესაძლებელია იმის დემონსტრირება, რომ ნაპოვნი ფესვი ერთადერთია. ჩვენ დავაყენეთ ნაპოვნი ფესვის აღნიშვნა - b a as x 1 .დავუშვათ, რომ არსებობს წრფივი განტოლების კიდევ ერთი ფესვი აღნიშვნით x 2 .Და რათქმაუნდა: x 2 ≠ x 1,და ეს, თავის მხრივ, განსხვავების მეშვეობით ტოლი რიცხვების განსაზღვრაზე დაყრდნობით, უდრის პირობას x 1 - x 2 ≠ 0.ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია შევადგინოთ შემდეგი ტოლობები ფესვების ჩანაცვლებით:
a x 1 + b = 0და a · x 2 + b = 0.
რიცხვითი ტოლობების თვისება შესაძლებელს ხდის ტოლობების ნაწილების ვადით გამოკლებას:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, აქედან: a (x 1 - x 2) + (b - b) = 0და მის ფარგლებს გარეთ a (x 1 - x 2) = 0.Თანასწორობა a (x 1 − x 2) = 0მცდარია, ვინაიდან პირობა ადრე იყო მოცემული a ≠ 0და x 1 - x 2 ≠ 0.მიღებული წინააღმდეგობა იმის დასტურია, რომ ზე a ≠ 0წრფივი განტოლება a x + b = 0აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

დავამტკიცოთ შემავალი პირობების კიდევ ორი ​​პუნქტი a = 0.

Როდესაც a = 0წრფივი განტოლება a x + b = 0დაიწერება როგორც 0 x + b = 0. რიცხვის ნულზე გამრავლების თვისება გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ რა რიცხვიც არ უნდა იყოს აღებული x, მისი ჩანაცვლება თანასწორობაში 0 x + b = 0, ვიღებთ b = 0 . ტოლობა მოქმედებს b = 0-ზე; სხვა შემთხვევებში, როდესაც b ≠ 0თანასწორობა ბათილი ხდება.

ამრიგად, როდესაც a = 0და b = 0 , ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს წრფივი განტოლების ფესვი a x + b = 0, ვინაიდან ამ პირობებში ჩანაცვლება ნაცვლად xნებისმიერი რიცხვი, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას 0 = 0 . Როდესაც a = 0და b ≠ 0წრფივი განტოლება a x + b = 0ფესვები საერთოდ არ ექნება, რადგან მითითებულ პირობებში ჩანაცვლება ნაცვლად xნებისმიერი რიცხვი, მივიღებთ არასწორ რიცხვით ტოლობას b = 0.

ყველა ზემოაღნიშნული მსჯელობა გვაძლევს შესაძლებლობას დავწეროთ ალგორითმი, რომელიც შესაძლებელს ხდის ნებისმიერი წრფივი განტოლების ამოხსნის პოვნას:

• ჩანაწერის ტიპის მიხედვით ჩვენ განვსაზღვრავთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს ადა ბდა გააანალიზეთ ისინი;
• ზე a = 0და b = 0განტოლებას ექნება უსასრულოდ ბევრი ფესვი, ე.ი. ნებისმიერი რიცხვი გახდება მოცემული განტოლების ფესვი;
• ზე a = 0და b ≠ 0
• ზე ანულისაგან განსხვავებით, ჩვენ ვიწყებთ ორიგინალური წრფივი განტოლების ერთადერთი ფესვის ძიებას:

1. გადაცემის კოეფიციენტი ბმარჯვენა მხარეს, ნიშნის საპირისპირო ცვლილებით, ხაზოვანი განტოლება ფორმამდე მიყვანით a x = −b;
2. მიღებული ტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ რიცხვზე ა, რომელიც მოგვცემს მოცემული განტოლების სასურველ ფესვს: x = - b a .

სინამდვილეში, აღწერილი მოქმედებების თანმიმდევრობა არის პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა იპოვოთ გამოსავალი წრფივი განტოლებისთვის.

და ბოლოს, ჩვენ განვმარტავთ ამ ფორმის განტოლებებს a x = bიხსნება მსგავსი ალგორითმი იმ განსხვავებით, რომ რიცხვი ბასეთ აღნიშვნაში უკვე გადატანილია განტოლების სასურველ ნაწილზე და როდის a ≠ 0შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ განტოლების ნაწილები რიცხვზე ა.

ამრიგად, განტოლების ამოხსნის პოვნა a x = b,ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ალგორითმს:

• ზე a = 0და b = 0განტოლებას ექნება უსასრულოდ ბევრი ფესვი, ე.ი. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გახდეს მისი ფესვი;
• ზე a = 0და b ≠ 0მოცემულ განტოლებას ფესვები არ ექნება;
• ზე ანულის ტოლი არ არის, განტოლების ორივე მხარე იყოფა რიცხვზე ა, რაც შესაძლებელს ხდის იპოვოთ ერთი ფესვი, რომელიც ტოლია ბ ა.

ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

მაგალითი 3

აუცილებელია წრფივი განტოლების ამოხსნა 0 x - 0 = 0.

გადაწყვეტილება

მოცემული განტოლების ჩაწერით ჩვენ ვხედავთ, რომ a = 0და b = -0(ან b = 0რაც იგივეა). ამრიგად, მოცემულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ფესვი ან ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი: x- ნებისმიერი ნომერი.

მაგალითი 4

აუცილებელია იმის დადგენა, აქვს თუ არა განტოლებას ფესვები 0 x + 2, 7 = 0.

გადაწყვეტილება

ჩანაწერიდან ჩვენ ვადგენთ, რომ a \u003d 0, b \u003d 2, 7. ამრიგად, მოცემულ განტოლებას ფესვები არ ექნება.

პასუხი:თავდაპირველ წრფივ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

მაგალითი 5

მოცემულია წრფივი განტოლება 0, 3 x − 0, 027 = 0.ეს უნდა გადაწყდეს.

გადაწყვეტილება

განტოლების ჩაწერით, ჩვენ განვსაზღვრავთ, რომ \u003d 0, 3; b = - 0, 027, რაც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ მოცემულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

ალგორითმის მიხედვით, b გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხარეს, ნიშნის შეცვლით, ვიღებთ: 0,3 x = 0,027.შემდეგი, ჩვენ ვყოფთ მიღებული ტოლობის ორივე ნაწილს \u003d 0, 3-ზე, შემდეგ: x \u003d 0, 027 0, 3.

მოდით გავყოთ ათწილადები:

0,027 0,3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

მიღებული შედეგი არის მოცემული განტოლების ფესვი.

მოკლედ დაწერეთ გამოსავალი შემდეგნაირად:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

პასუხი: x = 0, 09.

სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ ჩანაწერის განტოლების ამოხსნას a x = b.

მაგალითი ნ

მოცემულია განტოლებები: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . აუცილებელია მათი გადაჭრა.

გადაწყვეტილება

ყველა მოცემული განტოლება შეესაბამება ჩანაწერს a x = b. მოდი, თავის მხრივ განვიხილოთ.

განტოლებაში 0 x = 0 , a = 0 და b = 0, რაც ნიშნავს: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს ამ განტოლების ფესვი.

მეორე განტოლებაში 0 x = − 9: a = 0 და b = − 9,ამრიგად, ამ განტოლებას არ ექნება ფესვები.

ბოლო განტოლების სახით - 3 8 x = - 3 3 4 ვწერთ კოეფიციენტებს: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , ე.ი. განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. მოდი ვიპოვოთ იგი. განტოლების ორივე მხარე გავყოთ a-ზე, მივიღებთ შედეგად: x = - 3 3 4 - 3 8 . მოდით გავამარტივოთ წილადი უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესის გამოყენებით, შემდეგ შერეული რიცხვის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევით და ჩვეულებრივი წილადების გაყოფით:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

მოკლედ დაწერეთ გამოსავალი შემდეგნაირად:

3 8 x = - 3 3 4, x = - 3 3 4 - 3 8, x = 10.

პასუხი: 1) x- ნებისმიერი რიცხვი, 2) განტოლებას არ აქვს ფესვები, 3) x = 10 .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter