დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც მოიცავს ფუნქციას და მის ერთ ან რამდენიმე წარმოებულს. უმეტეს პრაქტიკულ ამოცანებში ფუნქციები არის ფიზიკური სიდიდეები, წარმოებულები შეესაბამება ამ სიდიდეების ცვლილების სიჩქარეს და განტოლება განსაზღვრავს მათ შორის ურთიერთობას.

ამ სტატიაში განხილულია ზოგიერთი ტიპის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მეთოდები, რომელთა ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს ფორმით ელემენტარული ფუნქციები, ანუ მრავალწევრი, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, აგრეთვე მათი შებრუნებული ფუნქციები. ამ განტოლებიდან ბევრი ხდება რეალურ ცხოვრებაში, თუმცა სხვა დიფერენციალური განტოლებების უმეტესობა ამ მეთოდებით ვერ ამოიხსნება და მათთვის პასუხი იწერება სპეციალური ფუნქციების ან სიმძლავრის სერიების სახით, ან იპოვება რიცხვითი მეთოდებით.

ამ სტატიის გასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლები, ასევე გესმით ნაწილობრივი წარმოებულები. ასევე რეკომენდებულია წრფივი ალგებრის საფუძვლების ცოდნა დიფერენციალურ განტოლებებზე, განსაკუთრებით მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებებზე, თუმცა დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების ცოდნა საკმარისია მათი ამოსახსნელად.

წინასწარი ინფორმაცია

• დიფერენციალურ განტოლებებს აქვს ვრცელი კლასიფიკაცია. ამ სტატიაში საუბარია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები, ანუ განტოლებების შესახებ, რომლებიც მოიცავს ერთი ცვლადის ფუნქციას და მის წარმოებულებს. ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების გაგება და ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები, რომელიც მოიცავს რამდენიმე ცვლადის ფუნქციებს. ეს სტატია არ განიხილავს ნაწილობრივ დიფერენციალურ განტოლებებს, რადგან ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდები ჩვეულებრივ განისაზღვრება მათი სპეციფიკური ფორმით.
  • ქვემოთ მოცემულია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითი.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
  • ქვემოთ მოცემულია ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითი.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2))+(\frac (\partial ^(2 )ვ)(\ნაწილობრივი y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• შეკვეთადიფერენციალური განტოლება განისაზღვრება ამ განტოლებაში შემავალი უმაღლესი წარმოებულის რიგით. ზემოაღნიშნული ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებიდან პირველი არის პირველი რიგის, ხოლო მეორე მეორე რიგის. ხარისხიდიფერენციალური განტოლების ეწოდება უმაღლესი სიმძლავრე, რომელზედაც ამაღლებულია ამ განტოლების ერთ-ერთი ტერმინი.
  • მაგალითად, ქვემოთ მოცემული განტოლება არის მესამე რიგის და მეორე ხარისხის.
    • (d 3 ydx 3) 2 + dydx = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ მარჯვნივ)^(2)+(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=0)
• დიფერენციალური განტოლება არის წრფივი დიფერენციალური განტოლებათუ ფუნქცია და მისი ყველა წარმოებული არის პირველ ხარისხში. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლება არის არაწრფივი დიფერენციალური განტოლება. ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებები აღსანიშნავია იმით, რომ მათი ამონახსნებიდან შეიძლება გაკეთდეს წრფივი კომბინაციები, რომლებიც ასევე იქნება ამ განტოლების ამონახსნები.
  • ქვემოთ მოცემულია წრფივი დიფერენციალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითი.
  • ქვემოთ მოცემულია არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითი. პირველი განტოლება არაწრფივია სინუს ტერმინის გამო.
    • d 2 θ dt 2 + gl sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \ფრაკი (გ)(ლ))\სინ \თეტა =0)
    • d 2 xdt 2 + (dxdt) 2 + tx 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\ mathrm (d) )x)((\ mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• საერთო გადაწყვეტილებაჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება არ არის უნიკალური, ის მოიცავს ინტეგრაციის თვითნებური მუდმივები. უმეტეს შემთხვევაში, თვითნებური მუდმივების რაოდენობა განტოლების რიგის ტოლია. პრაქტიკაში, ამ მუდმივების მნიშვნელობები განისაზღვრება მოცემულით საწყისი პირობები, ანუ ფუნქციის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობებით x = 0. (\displaystyle x=0.)საწყისი პირობების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროა საპოვნელად პირადი გადაწყვეტილებადიფერენციალური განტოლება, უმეტეს შემთხვევაში, ასევე უდრის ამ განტოლების რიგითობას.
  • მაგალითად, ამ სტატიაში განიხილება ქვემოთ მოცემული განტოლების ამოხსნა. ეს არის მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება. მისი ზოგადი ამოხსნა შეიცავს ორ თვითნებურ მუდმივას. ამ მუდმივების საპოვნელად საჭიროა ვიცოდეთ საწყისი პირობები x (0) (\displaystyle x(0))და x′ (0) . (\displaystyle x"(0).)როგორც წესი, საწყისი პირობები მოცემულია წერტილში x = 0, (\displaystyle x=0,), თუმცა ეს არ არის საჭირო. ეს სტატია ასევე განიხილავს, თუ როგორ უნდა იპოვოთ კონკრეტული გადაწყვეტილებები მოცემული საწყისი პირობებისთვის.
    • d 2 xdt 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

ნაბიჯები

Ნაწილი 1

პირველი რიგის განტოლებები

ამ სერვისის გამოყენებისას, ზოგიერთი ინფორმაცია შესაძლოა გადაიტანოს YouTube-ზე.

1. პირველი რიგის წრფივი განტოლებები.ამ განყოფილებაში განხილულია პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები ზოგად და სპეციალურ შემთხვევებში, როდესაც ზოგიერთი წევრი ნულის ტოლია. მოდი ვიჩვენოთ, რომ y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))და q (x) (\displaystyle q(x))არის ფუნქციები x . (\displaystyle x.)

   D ydx + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი მთავარი თეორემის მიხედვით, ფუნქციის წარმოებულის ინტეგრალიც ფუნქციაა. ამრიგად, საკმარისია განტოლების უბრალოდ ინტეგრირება მისი ამოხსნის მოსაძებნად. ამ შემთხვევაში გასათვალისწინებელია, რომ განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოთვლისას ჩნდება თვითნებური მუდმივი.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\ mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)ჩვენ ვიყენებთ მეთოდს ცვლადების გამოყოფა. ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა ცვლადი გადადის განტოლების სხვადასხვა მხარეს. მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ გადაიტანოთ ყველა წევრი y (\displaystyle y)ერთში და ყველა წევრთან ერთად x (\displaystyle x)განტოლების მეორე მხარეს. ასევე შესაძლებელია წევრების გადატანა d x (\displaystyle (\mathrm (d))x)და d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), რომლებიც შედის წარმოებულ გამონათქვამებში, თუმცა უნდა გვახსოვდეს, რომ ეს მხოლოდ კონვენციაა, რომელიც მოსახერხებელია რთული ფუნქციის დიფერენცირებისას. ამ ტერმინების განხილვა, რომლებიც ე.წ დიფერენციალები, სცილდება ამ სტატიის ფარგლებს.

   • პირველ რიგში, თქვენ უნდა გადაიტანოთ ცვლადები ტოლობის ნიშნის მოპირდაპირე მხარეს.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე მხარეს. ინტეგრაციის შემდეგ ორივე მხარეს ჩნდება თვითნებური მუდმივები, რომლებიც შეიძლება გადავიდეს განტოლების მარჯვენა მხარეს.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\ mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • მაგალითი 1.1.ბოლო ეტაპზე ჩვენ გამოვიყენეთ წესი e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))და შეცვალა e C (\displaystyle e^(C))ზე C (\displaystyle C), რადგან ის ასევე ინტეგრაციის თვითნებური მუდმივია.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 ydy = sin ⁡ xdx 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\ჩვენების სტილი (\ დასაწყისი(გასწორებული )(\ frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\ mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end (გასწორებული)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\ჩვენების სტილი p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)ზოგადი გადაწყვეტის მოსაძებნად, ჩვენ გავაცანით ინტეგრირების ფაქტორიროგორც ფუნქცია x (\displaystyle x)რომ მარცხენა მხარე საერთო წარმოებულამდე შევიყვანოთ და ამით განტოლება ამოხსნათ.

   • გავამრავლოთ ორივე მხარე μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • მარცხენა მხარის საერთო წარმოებულამდე დასაყვანად, შემდეგი გარდაქმნები უნდა მოხდეს:
     • ddx (μ y) = d μ dxy + μ dydx = μ dydx + μ py (\displaystyle (\frac (\mathrm (d))((\mathrm (d))x))(\mu y)=(\ frac ((\ mathrm (d) )\mu )((\ mathrm (d) )x)) y+\mu (\ frac ((\ mathrm (d) )y) (\ mathrm (d) )x)) =\mu (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) )x)) +\mu py)
   • ბოლო თანასწორობა იმას ნიშნავს d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )\mu )((\ mathrm (d) )x))=\mu p). ეს არის ინტეგრირების ფაქტორი, რომელიც საკმარისია ნებისმიერი პირველი რიგის წრფივი განტოლების გადასაჭრელად. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ფორმულა ამ განტოლების ამოხსნის მიმართ µ, (\displaystyle \mu,)თუმცა ვარჯიშისთვის სასარგებლოა ყველა შუალედური გამოთვლების გაკეთება.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\ mathrm (d) )x))
   • მაგალითი 1.2.ამ მაგალითში განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა მოცემული საწყისი პირობებით.
     • tdydt + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) dt = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • ddt (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\ mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\ბოლო(გასწორებული)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   პირველი რიგის წრფივი განტოლებების ამოხსნა (ჩაწერილია ინტუიტის - ეროვნული ღია უნივერსიტეტის მიერ).

2. პირველი რიგის არაწრფივი განტოლებები. ამ ნაწილში განხილულია პირველი რიგის ზოგიერთი არაწრფივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მეთოდები. მიუხედავად იმისა, რომ არ არსებობს ასეთი განტოლებების ამოხსნის ზოგადი მეთოდი, ზოგიერთი მათგანის ამოხსნა შესაძლებელია ქვემოთ მოცემული მეთოდების გამოყენებით.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)თუ ფუნქცია f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))შეიძლება დაიყოს ერთი ცვლადის ფუნქციებად, ასეთი განტოლება ე.წ განცალკევებული დიფერენციალური განტოლება. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული მეთოდი:

   • ∫ dyh (y) = ∫ g (x) dx (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • მაგალითი 1.3.
     • dydx = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ ydy = ∫ x 3 1 + x 4 dx 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ დასაწყისი (გასწორებული)\int y(\ mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(გასწორებული)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)მოდი ვიჩვენოთ, რომ g (x, y) (\displaystyle g(x, y))და h (x , y) (\displaystyle h(x, y))არის ფუნქციები x (\displaystyle x)და თ . (\displaystyle y.)მერე ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც g (\displaystyle g)და h (\displaystyle h)არიან ერთგვაროვანი ფუნქციებიიგივე ხარისხი. ანუ ფუნქციები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)სადაც k (\displaystyle k)ეწოდება ჰომოგენურობის ხარისხს. ნებისმიერი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება შეიძლება მოცემული იყოს შესაბამისი ცვლადების შეცვლა (v = y / x (\displaystyle v=y/x)ან v = x / y (\displaystyle v=x/y)) განტოლებად გადაქცევა განცალკევებული ცვლადებით.

   • მაგალითი 1.4.ჰომოგენურობის ზემოთ აღწერილი აღწერა შეიძლება ბუნდოვანი ჩანდეს. მოდით შევხედოთ ამ კონცეფციას მაგალითით.
     • dydx = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • დასაწყისისთვის, უნდა აღინიშნოს, რომ ეს განტოლება არაწრფივია მიმართებით თ . (\displaystyle y.)ჩვენ ასევე ვხედავთ, რომ ამ შემთხვევაში შეუძლებელია ცვლადების გამოყოფა. თუმცა, ეს დიფერენციალური განტოლება ერთგვაროვანია, რადგან მრიცხველიც და მნიშვნელიც ერთგვაროვანია 3-ის სიმძლავრით. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია შევცვალოთ ცვლადები. v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • dydx = yx − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = vx , dydx = dvdxx + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=(\frac ((\ mathrm (დ) )ვ)((\მათრმა (დ) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2. (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )v)((\ mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)შედეგად, ჩვენ გვაქვს განტოლება v (\displaystyle v)გაზიარებული ცვლადებით.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)ეს ბერნულის დიფერენციალური განტოლება- პირველი ხარისხის არაწრფივი განტოლების სპეციალური სახეობა, რომლის ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს ელემენტარული ფუნქციების გამოყენებით.

   • გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − ndydx = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • ვიყენებთ კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციაციის წესს მარცხენა მხარეს და განტოლებას ვაქცევთ წრფივ განტოლებად. y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)რომლის გადაჭრა შესაძლებელია ზემოაღნიშნული მეთოდებით.
     • dy 1 − ndx = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y^(1-n)) ((\ mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) dydx = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (დ) )x))=0.)ეს მთლიანი დიფერენციალური განტოლება. აუცილებელია ე.წ პოტენციური ფუნქცია φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), რომელიც აკმაყოფილებს პირობას d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )\varphi )((\ mathrm (d) )x))=0.)

   • ამ პირობის შესასრულებლად აუცილებელია ქონდეს მთლიანი წარმოებული. მთლიანი წარმოებული ითვალისწინებს სხვა ცვლადებზე დამოკიდებულებას. ჯამური წარმოებულის გამოსათვლელად φ (\displaystyle \varphi) on x , (\displaystyle x,)ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ y (\displaystyle y)შეიძლება ასევე იყოს დამოკიდებული x . (\displaystyle x.)
     • d φ dx = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ ydydx (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\ ნაწილობრივი x))+(\frac (\ ნაწილობრივი \varphi )(\ ნაწილობრივი y))(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x)))
   • ტერმინების შედარება გვაძლევს M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x)))და N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y)).)ეს ტიპიური შედეგია რამდენიმე ცვლადის მქონე განტოლებისთვის, სადაც გლუვი ფუნქციების შერეული წარმოებულები ერთმანეთის ტოლია. ზოგჯერ ამ შემთხვევას ეძახიან კლეროტის თეორემა. ამ შემთხვევაში, დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\ნაწილობრივი N)(\ნაწილობრივი x)))
   • ჯამურ დიფერენციალებში განტოლებების ამოხსნის მეთოდი მსგავსია პოტენციური ფუნქციების პოვნისა რამდენიმე წარმოებულის თანდასწრებით, რაზეც მოკლედ განვიხილავთ. ჯერ ჩვენ ვაერთიანებთ M (\displaystyle M) on x . (\displaystyle x.)Იმდენად, რამდენადაც M (\displaystyle M)არის ფუნქცია და x (\displaystyle x), და y , (\displaystyle y,)ინტეგრირებისას ვიღებთ არასრულ ფუნქციას φ , (\displaystyle \varphi,)ეტიკეტირებული როგორც φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). შედეგი ასევე მოიცავს დამოკიდებულს y (\displaystyle y)ინტეგრაციის მუდმივი.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) dx = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (დ) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • ამის შემდეგ მისაღებად c (y) (\displaystyle c(y))შეგიძლიათ მიიღოთ მიღებული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული y , (\displaystyle y,)შედეგის გათანაბრება N (x, y) (\displaystyle N(x, y))და ინტეგრირება. ასევე შეიძლება პირველ რიგში ინტეგრირება N (\displaystyle N)და შემდეგ აიღეთ ნაწილობრივი წარმოებული x (\displaystyle x), რაც საშუალებას მოგვცემს ვიპოვოთ თვითნებური ფუნქცია d(x). (\displaystyle d(x).)ორივე მეთოდი შესაფერისია და, როგორც წესი, ინტეგრაციისთვის არჩეულია უფრო მარტივი ფუნქცია.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + dcdy (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ ნაწილობრივი (\tilde (\varphi)))(\ნაწილობრივი y))+(\frac ((\ mathrm (d) )c) ((\ mathrm (d) )y)))
   • მაგალითი 1.5.შეგიძლიათ აიღოთ ნაწილობრივი წარმოებულები და დაადასტუროთ, რომ ქვემოთ მოცემული განტოლება არის მთლიანი დიფერენციალური განტოლება.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 xydydx = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) dx = x 3 + xy 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 xy + dcdy (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\ mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\ ნაწილობრივი \varphi )(\ ნაწილობრივი y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\ mathrm (d) )c)((\ mathrm (d) )y))\end(გასწორებული)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • თუ დიფერენციალური განტოლება არ არის მთლიანი დიფერენციალური განტოლება, ზოგიერთ შემთხვევაში შეგიძლიათ იპოვოთ ინტეგრაციული ფაქტორი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ გადაიყვანოთ იგი მთლიან დიფერენციალურ განტოლებად. თუმცა, ასეთი განტოლებები იშვიათად გამოიყენება პრაქტიკაში და მიუხედავად იმისა, რომ ინტეგრირების ფაქტორია არსებობს, იპოვე ეს ხდება არ არის ადვილიასე რომ, ეს განტოლებები არ განიხილება ამ სტატიაში.

Მე -2 ნაწილი

მეორე რიგის განტოლებები

1. ერთგვაროვანი წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.ეს განტოლებები ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში, ამიტომ მათ ამოხსნას უდიდესი მნიშვნელობა აქვს. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ არა ერთგვაროვან ფუნქციებზე, არამედ იმაზე, რომ განტოლების მარჯვენა მხარეს არის 0. შემდეგ ნაწილში ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხდება შესაბამისი. ჰეტეროგენულიდიფერენციალური განტოლებები. Ქვევით a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)მუდმივებია.

   D 2 ydx 2 + adydx + by = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+a(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+by=0)
   

   დამახასიათებელი განტოლება. ეს დიფერენციალური განტოლება აღსანიშნავია იმით, რომ მისი ამოხსნა შეიძლება ძალიან მარტივად, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რა თვისებები უნდა ჰქონდეს მის ამონახსნებს. განტოლებიდან ჩანს, რომ y (\displaystyle y)და მისი წარმოებულები ერთმანეთის პროპორციულია. წინა მაგალითებიდან, რომლებიც განვიხილეთ პირველი რიგის განტოლებების განყოფილებაში, ვიცით, რომ მხოლოდ ექსპონენციალურ ფუნქციას აქვს ეს თვისება. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია წამოყენება ანსაც(განათლებული გამოცნობა) თუ როგორი იქნება მოცემული განტოლების ამონახსნი.

   • ამოხსნა მიიღებს ექსპონენციალური ფუნქციის ფორმას e r x, (\displaystyle e^(rx),)სადაც r (\displaystyle r)არის მუდმივი, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს. ჩაანაცვლეთ ეს ფუნქცია განტოლებაში და მიიღეთ შემდეგი გამოხატულება
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • ეს განტოლება მიუთითებს, რომ ექსპონენციალური ფუნქციისა და მრავალწევრის ნამრავლი უნდა იყოს ნული. ცნობილია, რომ ხარისხი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. აქედან დავასკვნათ, რომ მრავალწევრი ნულის ტოლია. ამგვარად, დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პრობლემა ჩვენ დავყვანეთ ალგებრული განტოლების ამოხსნის გაცილებით მარტივ პრობლემამდე, რომელსაც ეწოდება მოცემული დიფერენციალური განტოლების დამახასიათებელი განტოლება.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • ჩვენ გვაქვს ორი ფესვი. ვინაიდან ეს დიფერენციალური განტოლება წრფივია, მისი ზოგადი ამოხსნა არის ნაწილობრივი ამონახსნების წრფივი კომბინაცია. ვინაიდან ეს არის მეორე რიგის განტოლება, ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის ნამდვილადზოგადი გადაწყვეტა და სხვა არ არსებობს. ამის უფრო მკაცრი დასაბუთება მდგომარეობს თეორემებში ამოხსნის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ, რომელიც გვხვდება სახელმძღვანელოებში.
   • სასარგებლო გზა იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა ორი გამოსავალი წრფივად დამოუკიდებელი, არის გამოთვლა ვრონსკიანი. ვრონსკიანი W (\displaystyle W)- ეს არის მატრიცის განმსაზღვრელი, რომლის სვეტებში არის ფუნქციები და მათი თანმიმდევრული წარმოებულები. წრფივი ალგებრის თეორემა ამბობს, რომ ვრონსკის ფუნქციები წრფივია დამოკიდებული, თუ ვრონსკი ნულის ტოლია. ამ განყოფილებაში ჩვენ შეგვიძლია შევამოწმოთ არის თუ არა ორი ამონახსნები წრფივად დამოუკიდებელი, თუ დავრწმუნდებით, რომ ვრონსკი არ არის ნულოვანი. ვრონსკიანი მნიშვნელოვანია მუდმივი კოეფიციენტებით არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას პარამეტრების ვარიაციის მეთოდით.
     • w = | y 1 y 2 y 1 "y 2 " | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • წრფივი ალგებრის თვალსაზრისით, მოცემული დიფერენციალური განტოლების ყველა ამონახსნის სიმრავლე ქმნის ვექტორულ სივრცეს, რომლის განზომილება უდრის დიფერენციალური განტოლების რიგითობას. ამ სივრცეში შეგიძლიათ აირჩიოთ საფუძველი წრფივი დამოუკიდებელიგადაწყვეტილებები ერთმანეთისგან. ეს შესაძლებელია იმის გამო, რომ ფუნქცია y (x) (\displaystyle y(x))მოქმედებს ხაზოვანი ოპერატორი. წარმოებული არისხაზოვანი ოპერატორი, რადგან ის გარდაქმნის დიფერენცირებადი ფუნქციების სივრცეს ყველა ფუნქციის სივრცედ. განტოლებებს უწოდებენ ერთგვაროვანს იმ შემთხვევებში, როდესაც ზოგიერთი წრფივი ოპერატორისთვის L (\displaystyle L)საჭიროა განტოლების ამოხსნის პოვნა L [y] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   ახლა მოდით მივმართოთ რამდენიმე კონკრეტულ მაგალითს. დამახასიათებელი განტოლების მრავალი ფესვის შემთხვევა განიხილება ცოტა მოგვიანებით, შეკვეთის შემცირების განყოფილებაში.

   თუ ფესვები r ± (\displaystyle r_(\pm ))არის სხვადასხვა რეალური რიცხვები, დიფერენციალურ განტოლებას აქვს შემდეგი ამონახსნი

   • y (x) = c 1 er + x + c 2 er − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   ორი რთული ფესვი.ალგებრის ფუნდამენტური თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ პოლინომიური განტოლებების ამონახსნების ამონახსნებს რეალური კოეფიციენტებით აქვთ ფესვები, რომლებიც რეალურია ან ქმნიან კონიუგატ წყვილებს. ამიტომ თუ კომპლექსური რიცხვი r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta)არის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი, მაშინ r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta)ასევე არის ამ განტოლების ფესვი. ამრიგად, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ფორმაში c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x)თუმცა ეს რთული რიცხვია და არასასურველია პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.

   • ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეილერის ფორმულა e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ამოხსნა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სახით:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + ic 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − ic 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ ბეტა x+ic_(1)\sin \ბეტა x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • ახლა თქვენ შეგიძლიათ ნაცვლად მუდმივი c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))ჩაწერა c 1 (\displaystyle c_(1))და გამოხატვა i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))შეცვალა გ 2 . (\displaystyle c_(2).)ამის შემდეგ მივიღებთ შემდეგ გამოსავალს:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • არსებობს ამოხსნის ამპლიტუდისა და ფაზის მიხედვით დაწერის სხვა გზა, რომელიც უკეთესად შეეფერება ფიზიკურ პრობლემებს.
   • მაგალითი 2.1.ვიპოვოთ ქვემოთ მოცემული დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი მოცემული საწყისი პირობებით. ამისთვის საჭიროა მიღებული ხსნარის მიღება, ისევე როგორც მისი წარმოებულიდა შევცვალოთ ისინი საწყის პირობებში, რაც საშუალებას მოგვცემს განვსაზღვროთ თვითნებური მუდმივები.
     • d 2 xdt 2 + 3 dxdt + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )^(2)x)(( \ mathrm (d) )t^ (2))) +3 (\ frac ((\ mathrm (d) )x) (\ mathrm (d) )t)) +10x=0,\ quad x (0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )მე)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\მარჯვნივ))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\მარჯვნივ)\end(გასწორებული)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\მარჯვნივ))
   
   n-ე რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა მუდმივი კოეფიციენტებით (ჩაწერილია ინტუიტის - ეროვნული ღია უნივერსიტეტის მიერ).

2. შეკვეთის დაქვეითება.რიგის შემცირება არის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდი, როდესაც ცნობილია ერთი წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები. ეს მეთოდი შედგება განტოლების რიგის ერთით შემცირებაში, რაც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ განტოლება წინა ნაწილში აღწერილი მეთოდების გამოყენებით. დაე, გამოსავალი ცნობილი იყოს. შეკვეთის შემცირების მთავარი იდეა არის გამოსავლის პოვნა ქვემოთ მოცემული ფორმით, სადაც აუცილებელია ფუნქციის განსაზღვრა. v (x) (\displaystyle v(x))დიფერენციალურ განტოლებაში ჩანაცვლება და პოვნა v(x). (\displaystyle v(x).)მოდით განვიხილოთ, თუ როგორ შეიძლება გამოვიყენოთ რიგის შემცირება დიფერენციალური განტოლების გადასაჭრელად მუდმივი კოეფიციენტებით და მრავალი ფესვით.

   
   

   მრავალი ფესვიერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით. შეგახსენებთ, რომ მეორე რიგის განტოლებას უნდა ჰქონდეს ორი წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები. თუ დამახასიათებელ განტოლებას აქვს მრავალი ფესვი, ამონახსნების სიმრავლე არაქმნის სივრცეს, რადგან ეს გადაწყვეტილებები წრფივია დამოკიდებული. ამ შემთხვევაში, შეკვეთის შემცირება უნდა იქნას გამოყენებული მეორე ხაზოვანი დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მოსაძებნად.

   • დაე, დამახასიათებელ განტოლებას მრავალი ფესვი ჰქონდეს r (\displaystyle r). ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მეორე ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x))და ჩაანაცვლეთ დიფერენციალურ განტოლებაში. ამ შემთხვევაში, ტერმინების უმეტესობა, ფუნქციის მეორე წარმოებული ტერმინის გარდა v, (\displaystyle v,)შემცირდება.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • მაგალითი 2.2.მოცემულია შემდეგი განტოლება, რომელსაც მრავალი ფესვი აქვს r = − 4. (\displaystyle r=-4.)ჩანაცვლებისას პირობების უმეტესობა უქმდება.
     • d 2 ydx 2 + 8 dydx + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 xy ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 xy ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\ჩვენების სტილი (\ დასაწყისი(გასწორებული)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\ბოლო(გასწორებული)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 ve − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 ve − 4 x + 16 ve − 4 x = 0 (\ჩვენების სტილი (\ დასაწყისი (გასწორებული )v""e^(-4x)&-(\გაუქმება (8v"e^(-4x)))+(\გაუქმება (16ve^(-4x)))\\&+(\გაუქმება (8v"e ^(-4x)))-(\გაუქმება (32ve^(-4x)))+(\გაუქმება (16ve^(-4x)))=0\დასრულება(გასწორებული)))
   • მუდმივი კოეფიციენტების მქონე დიფერენციალური განტოლების მსგავსად, ამ შემთხვევაში მხოლოდ მეორე წარმოებული შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. ჩვენ ორჯერ ვაერთიანებთ და ვიღებთ სასურველ გამოსახულებას v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • მაშინ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა მუდმივი კოეფიციენტებით, თუ დამახასიათებელ განტოლებას მრავალი ფესვი აქვს, შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით. მოხერხებულობისთვის შეგიძლიათ გახსოვდეთ, რომ წრფივი დამოუკიდებლობის მისაღებად საკმარისია მეორე წევრი უბრალოდ გავამრავლოთ x (\displaystyle x). ამონახსნების ეს ნაკრები წრფივად დამოუკიდებელია და ამგვარად, ჩვენ ვიპოვეთ ამ განტოლების ყველა ამონახსნი.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 ydx 2 + p (x) dydx + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^( 2)))+p(x)(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)შეკვეთის შემცირება გამოიყენება, თუ გამოსავალი ცნობილია y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), რომელიც შეიძლება მოიძებნოს ან მოცემულია პრობლემის განცხადებაში.

   • ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს ფორმაში y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))და შეაერთეთ იგი ამ განტოლებაში:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Იმდენად, რამდენადაც y 1 (\displaystyle y_(1))არის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი, ყველა წევრი v (\displaystyle v)მცირდება. შედეგად, ის რჩება პირველი რიგის წრფივი განტოლება. ამის უფრო ნათლად დასანახად, მოდით შევცვალოთ ცვლადები w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) dx) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ ფრაკი (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\ mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\ mathrm (d) )x)
   • თუ ინტეგრალები შეიძლება გამოითვალოს, მივიღებთ ზოგად ამოხსნას ელემენტარული ფუნქციების ერთობლიობის სახით. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გამოსავალი შეიძლება დარჩეს ინტეგრალური სახით.

3. კოში-ეილერის განტოლება.კოში-ეილერის განტოლება არის მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების მაგალითი ცვლადებიკოეფიციენტები, რომელსაც აქვს ზუსტი ამონახსნები. ეს განტოლება გამოიყენება პრაქტიკაში, მაგალითად, ლაპლასის განტოლების ამოსახსნელად სფერულ კოორდინატებში.

   X 2 d 2 ydx 2 + axdydx + by = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+by=0)
   

   დამახასიათებელი განტოლება.როგორც ხედავთ, ამ დიფერენციალურ განტოლებაში, თითოეული წევრი შეიცავს სიმძლავრის კოეფიციენტს, რომლის ხარისხი უდრის შესაბამისი წარმოებულის რიგითობას.

   • ამრიგად, შეიძლება სცადოთ გამოსავლის ძიება ფორმაში y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)სად უნდა განისაზღვროს n (\displaystyle n), ისევე როგორც ჩვენ ვეძებდით ამონახსანს ექსპონენციალური ფუნქციის სახით მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი დიფერენციალური განტოლებისთვის. დიფერენცირებისა და ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • დამახასიათებელი განტოლების გამოსაყენებლად უნდა ვივარაუდოთ, რომ x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Წერტილი x = 0 (\displaystyle x=0)დაურეკა რეგულარული სინგულარული წერტილიდიფერენციალური განტოლება. ასეთი წერტილები მნიშვნელოვანია დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის დროს სიმძლავრის სერიების გამოყენებით. ამ განტოლებას აქვს ორი ფესვი, რომელიც შეიძლება იყოს განსხვავებული და რეალური, მრავალჯერადი ან რთული კონიუგატი.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   ორი განსხვავებული რეალური ფესვი.თუ ფესვები n ± (\displaystyle n_(\pm ))არიან რეალური და განსხვავებულები, მაშინ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას აქვს შემდეგი ფორმა:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   ორი რთული ფესვი.თუ დამახასიათებელ განტოლებას ფესვები აქვს n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), გამოსავალი რთული ფუნქციაა.

   • ამოხსნის რეალურ ფუნქციად გადაქცევისთვის, ვაკეთებთ ცვლადების შეცვლას x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)ე.ი t = ln ⁡ x, (\displaystyle t=\ln x,)და გამოიყენეთ ეილერის ფორმულა. მსგავსი მოქმედებები ადრე განხორციელდა თვითნებური მუდმივების განსაზღვრისას.
     • y (t) = e α t (c 1 e β it + c 2 e − β it) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • მაშინ ზოგადი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   მრავალი ფესვი.მეორე ხაზოვანი დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მისაღებად, საჭიროა შეკვეთის ხელახლა შემცირება.

   • ამას საკმაოდ ცოტა გამოთვლა სჭირდება, მაგრამ პრინციპი იგივეა: ჩვენ ვცვლით y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))განტოლებაში, რომლის პირველი ამონახსნი არის y 1 (\displaystyle y_(1)). შემცირების შემდეგ მიიღება შემდეგი განტოლება:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • ეს არის პირველი რიგის წრფივი განტოლება მიმართ v' (x) . (\displaystyle v"(x).)მისი გამოსავალი არის v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\n x.)ამრიგად, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით. საკმაოდ ადვილი დასამახსოვრებელია - მეორე წრფივად დამოუკიდებელი ამოხსნის მისაღებად, თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ დამატებითი ტერმინი ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. არაჰომოგენური წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.არაჰომოგენურ განტოლებებს აქვთ ფორმა L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)სადაც f (x) (\displaystyle f(x))- ე. წ თავისუფალი წევრი. დიფერენციალური განტოლებების თეორიის მიხედვით, ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნები არის სუპერპოზიცია პირადი გადაწყვეტილება y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))და დამატებითი გადაწყვეტა y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)თუმცა, ამ შემთხვევაში, კონკრეტული გამოსავალი არ ნიშნავს საწყისი პირობებით მოცემულ ამოხსნას, არამედ გამოსავალს, რომელიც განპირობებულია არაჰომოგენურობით (თავისუფალი ტერმინით). დამატებითი ამონახსნი არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა, რომელშიც f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)ზოგადი ამონახსნი არის ამ ორი ამოხსნის სუპერპოზიცია, ვინაიდან L [y p + y c] = L [y p] + L [y c] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x))და მას შემდეგ L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,)ასეთი სუპერპოზიცია მართლაც ზოგადი გამოსავალია.

   D 2 ydx 2 + adydx + by = f (x) (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\ frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი.განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც თავისუფალი ტერმინი არის ექსპონენციალური, ტრიგონომეტრიული, ჰიპერბოლური ან სიმძლავრის ფუნქციების კომბინაცია. მხოლოდ ამ ფუნქციებს აქვთ გარანტირებული წრფივი დამოუკიდებელი წარმოებულების სასრული რაოდენობა. ამ განყოფილებაში ჩვენ ვიპოვით განტოლების კონკრეტულ ამოხსნას.

   • შეადარეთ ტერმინები f (x) (\displaystyle f(x))ტერმინებით მუდმივი ფაქტორების იგნორირებაში. შესაძლებელია სამი შემთხვევა.
     • არ არსებობს იდენტური წევრები.ამ შემთხვევაში, კონკრეტული გამოსავალი y p (\displaystyle y_(p))იქნება ტერმინების წრფივი კომბინაცია y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) შეიცავს წევრს x n (\displaystyle x^(n)) და წევრი y c, (\displaystyle y_(c),) სადაც n (\displaystyle n) არის ნული ან დადებითი მთელი რიცხვი და ეს ტერმინი შეესაბამება დამახასიათებელი განტოლების ერთ ფესვს.Ამ შემთხვევაში y p (\displaystyle y_(p))შედგება ფუნქციის კომბინაციისგან x n + 1 სთ (x) , (\ჩვენების სტილი x^(n+1)h(x),)მისი წრფივად დამოუკიდებელი წარმოებულები, ისევე როგორც სხვა ტერმინები f (x) (\displaystyle f(x))და მათი წრფივი დამოუკიდებელი წარმოებულები.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) შეიცავს წევრს h (x) , (\displaystyle h(x),) რომელიც ნაწარმოებია x n (\displaystyle x^(n)) და წევრი y c, (\displaystyle y_(c),) სადაც n (\displaystyle n) უდრის 0-ს ან დადებით მთელ რიცხვს და ეს ტერმინი შეესაბამება მრავალჯერადიდამახასიათებელი განტოლების ფესვი.Ამ შემთხვევაში y p (\displaystyle y_(p))არის ფუნქციის წრფივი კომბინაცია x n + s h (x) (\ჩვენების სტილი x^(n+s)h(x))(სად s (\displaystyle s)- ფესვის სიმრავლე) და მისი წრფივად დამოუკიდებელი წარმოებულები, ისევე როგორც ფუნქციის სხვა წევრები f (x) (\displaystyle f(x))და მისი წრფივი დამოუკიდებელი წარმოებულები.
   • ჩამოვწეროთ y p (\displaystyle y_(p))როგორც ზემოაღნიშნული ტერმინების წრფივი კომბინაცია. ხაზოვანი კომბინაციის ამ კოეფიციენტების გამო ამ მეთოდს „განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდს“ უწოდებენ. მათში შემავალი გამოჩენისთანავე y c (\displaystyle y_(c))მათი წევრები შეიძლება განადგურდეს თვითნებური მუდმივების არსებობის გამო წ . (\displaystyle y_(c).)ამის შემდეგ ჩვენ ვცვლით y p (\displaystyle y_(p))განტოლებაში და გააიგივეთ მსგავსი ტერმინები.
   • ჩვენ განვსაზღვრავთ კოეფიციენტებს. ამ ეტაპზე მიიღება ალგებრული განტოლებათა სისტემა, რომლის ამოხსნა, როგორც წესი, რაიმე განსაკუთრებული ამოცანის გარეშეა შესაძლებელი. ამ სისტემის გადაწყვეტა შესაძლებელს ხდის მოპოვებას y p (\displaystyle y_(p))და ამით ამოხსენით განტოლება.
   • მაგალითი 2.3.განვიხილოთ არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება, რომლის თავისუფალი წევრი შეიცავს წრფივად დამოუკიდებელი წარმოებულების სასრულ რაოდენობას. ასეთი განტოლების კონკრეტული ამოხსნა შეიძლება მოიძებნოს განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდით.
     • d 2 ydt 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • yc (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(გასწორებული)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\ begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ დასასრული (შემთხვევები)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   ლაგრანგის მეთოდი.ლაგრანგის მეთოდი, ან თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი, უფრო ზოგადი მეთოდია არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებების გადასაჭრელად, განსაკუთრებით იმ შემთხვევებში, როდესაც თავისუფალი წევრი არ შეიცავს წრფივად დამოუკიდებელ წარმოებულთა სასრულ რაოდენობას. მაგალითად, უფასო წევრებთან ერთად tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)ან x − n (\displaystyle x^(-n))კონკრეტული გამოსავლის მოსაძებნად აუცილებელია ლაგრანგის მეთოდის გამოყენება. ლაგრანგის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცვლადი კოეფიციენტებით დიფერენციალური განტოლებების გადასაჭრელად, თუმცა ამ შემთხვევაში, გარდა კოში-ეილერის განტოლებისა, იგი ნაკლებად ხშირად გამოიყენება, რადგან დამატებითი ამოხსნა ჩვეულებრივ არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით.

   • დავუშვათ, რომ გამოსავალს აქვს შემდეგი ფორმა. მისი წარმოებული მოცემულია მეორე სტრიქონში.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\ჩვენების სტილი y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • ვინაიდან შემოთავაზებული ხსნარი შეიცავს ორიუცნობი რაოდენობით, აუცილებელია დაწესდეს დამატებითიმდგომარეობა. ჩვენ ვირჩევთ ამ დამატებით პირობას შემდეგი ფორმით:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ჩვენების სტილი y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ჩვენების სტილი y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ მეორე განტოლება. წევრების ჩანაცვლებისა და გადანაწილების შემდეგ, შეგიძლიათ წევრები ერთად დააჯგუფოთ v 1 (\displaystyle v_(1))და წევრები v 2 (\displaystyle v_(2)). ეს პირობები გაუქმებულია იმიტომ y 1 (\displaystyle y_(1))და y 2 (\displaystyle y_(2))არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნები. შედეგად ვიღებთ განტოლების შემდეგ სისტემას
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\ჩვენების სტილი (\ დასაწყისი(გასწორებული)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\ბოლო(გასწორებული)))
   • ეს სისტემა შეიძლება გარდაიქმნას ფორმის მატრიცულ განტოლებად A x = b, (\displaystyle A(\mathbf (x))=(\mathbf (b))რომლის გამოსავალი არის x = A − 1 ბ. (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)მატრიცისთვის 2 × 2 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2)ინვერსიული მატრიცა გვხვდება განმსაზღვრელზე გაყოფით, დიაგონალური ელემენტების გადანაცვლებით და დიაგონალური ელემენტების ნიშნის შებრუნებით. სინამდვილეში, ამ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ვრონსკიანი.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ დასასრული (პმატრიცა)) (\ დასაწყისი (პმატრიცა) 0\\ f(x)\ დასასრული (პმატრიცა)))
   • გამონათქვამები ამისთვის v 1 (\displaystyle v_(1))და v 2 (\displaystyle v_(2))ჩამოთვლილია ქვემოთ. როგორც შეკვეთის შემცირების მეთოდში, ამ შემთხვევაშიც ინტეგრაციისას ჩნდება თვითნებური მუდმივი, რომელიც მოიცავს დამატებით ამონახსანს დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამონახსნში.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) dx (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\ მათემატიკა (დ) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) dx (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\ mathrm (d) )x)
   
   ეროვნული ღია უნივერსიტეტის ინტუიტის ლექცია სახელწოდებით „n-th რიგის ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით“.

პრაქტიკული გამოყენება

დიფერენციალური განტოლებები ადგენს კავშირს ფუნქციასა და მის ერთ ან რამდენიმე წარმოებულს შორის. ვინაიდან ასეთი ურთიერთობები ძალიან გავრცელებულია, დიფერენციალურმა განტოლებებმა ჰპოვა ფართო გამოყენება მრავალფეროვან სფეროებში და რადგან ჩვენ ვცხოვრობთ ოთხ განზომილებაში, ეს განტოლებები ხშირად დიფერენციალური განტოლებებია. კერძოწარმოებულები. ამ განყოფილებაში განხილულია ამ ტიპის ზოგიერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი განტოლება.

• ექსპონენციური ზრდა და დაშლა.რადიოაქტიური დაშლა. Საერთო ინტერესი. ქიმიური რეაქციების სიჩქარე. ნარკოტიკების კონცენტრაცია სისხლში. მოსახლეობის შეუზღუდავი ზრდა. ნიუტონ-რიჩმანის კანონი. რეალურ სამყაროში ბევრი სისტემაა, სადაც ზრდის ან დაშლის ტემპი ნებისმიერ დროს პროპორციულია იმ დროისთვის, ან შეიძლება კარგად იყოს მიახლოებული მოდელით. ეს იმიტომ ხდება, რომ ამ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი, ექსპონენციალური ფუნქცია, ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ფუნქციაა მათემატიკასა და სხვა მეცნიერებებში. უფრო ზოგადად, მოსახლეობის კონტროლირებადი ზრდის პირობებში, სისტემა შეიძლება შეიცავდეს დამატებით პირობებს, რომლებიც ზღუდავს ზრდას. ქვემოთ მოცემულ განტოლებაში მუდმივია k (\displaystyle k)შეიძლება იყოს ნულზე მეტი ან ნაკლები.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=kx)
• ჰარმონიული ვიბრაციები.როგორც კლასიკურ, ასევე კვანტურ მექანიკაში, ჰარმონიული ოსცილატორი არის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ფიზიკური სისტემა მისი სიმარტივისა და ფართო გამოყენების გამო უფრო რთული სისტემების მიახლოებისთვის, როგორიცაა მარტივი ქანქარა. კლასიკურ მექანიკაში ჰარმონიული რხევები აღწერილია განტოლებით, რომელიც აკავშირებს მატერიალური წერტილის პოზიციას მის აჩქარებასთან ჰუკის კანონით. ამ შემთხვევაში ასევე შეიძლება მხედველობაში მივიღოთ ამორტიზაციის და მამოძრავებელი ძალები. ქვემოთ მოცემულ გამოთქმაში x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- დროის წარმოებული x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle\beta)არის პარამეტრი, რომელიც აღწერს ამორტიზაციის ძალას, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- სისტემის კუთხური სიხშირე, F (t) (\displaystyle F(t))არის დროზე დამოკიდებული მამოძრავებელი ძალა. ჰარმონიული ოსცილატორი ასევე არის ელექტრომაგნიტურ რხევის სქემებში, სადაც მისი დანერგვა უფრო დიდი სიზუსტით შეიძლება, ვიდრე მექანიკურ სისტემებში.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\ჩვენების სტილი (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\ომეგა _(0)^(2)x =F(t))
• ბესელის განტოლება.ბესელის დიფერენციალური განტოლება გამოიყენება ფიზიკის ბევრ სფეროში, მათ შორის ტალღის განტოლების ამოხსნის, ლაპლასის განტოლებისა და შრედინგერის განტოლების, განსაკუთრებით ცილინდრული ან სფერული სიმეტრიის არსებობისას. ეს მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება ცვლადი კოეფიციენტებით არ არის კოში-ეილერის განტოლება, ამიტომ მისი ამონახსნები არ შეიძლება ჩაიწეროს ელემენტარულ ფუნქციებად. ბესელის განტოლების ამონახსნები არის ბესელის ფუნქციები, რომლებიც კარგად არის შესწავლილი იმის გამო, რომ ისინი გამოიყენება მრავალ სფეროში. ქვემოთ მოცემულ გამოთქმაში α (\displaystyle \alpha)არის მუდმივი, რომელიც ემთხვევა შეკვეთაბესელის ფუნქციები.
  • x 2 d 2 ydx 2 + xdydx + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• მაქსველის განტოლებები.ლორენცის ძალასთან ერთად მაქსველის განტოლებები ქმნიან კლასიკური ელექტროდინამიკის საფუძველს. ეს არის ოთხი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება ელექტროსთვის E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r)),t))და მაგნიტური B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))ველები. ქვემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- დამუხტვის სიმკვრივე, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J))=(\mathbf (J))((\mathbf (r)),t))არის დენის სიმკვრივე და ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))და μ 0 (\displaystyle \mu _(0))არის ელექტრული და მაგნიტური მუდმივები, შესაბამისად.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\ჩვენების სტილი (\ დასაწყისი (გასწორებული)\nabla (\mathbf (E))&=(\frac (\rho)(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B))&=0\\\nabla \ჯერ (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \ჯერ (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\ნაწილობრივი t))\ბოლო(გასწორებული)))
• შროდინგერის განტოლება.კვანტურ მექანიკაში შრედინგერის განტოლება არის მოძრაობის ძირითადი განტოლება, რომელიც აღწერს ნაწილაკების მოძრაობას ტალღის ფუნქციის ცვლილების შესაბამისად. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r)),t))დროთა განმავლობაში. მოძრაობის განტოლება აღწერილია ქცევით ჰამილტონიანი H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - ოპერატორი, რომელიც აღწერს სისტემის ენერგიას. შროდინგერის განტოლების ერთ-ერთი ცნობილი მაგალითი ფიზიკაში არის განტოლება ერთი არარელატივისტური ნაწილაკისთვის, რომელიც ექვემდებარება პოტენციალს. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). ბევრი სისტემა აღწერილია დროზე დამოკიდებული შროდინგერის განტოლებით, განტოლებით მარცხენა მხარეს E Ψ, (\displaystyle E\Psi,)სადაც E (\displaystyle E)არის ნაწილაკების ენერგია. ქვემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ℏ (\displaystyle \hbar)არის შემცირებული პლანკის მუდმივი.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=(\hat (H))\Psi)
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 მ ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=\მარცხნივ(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi)
• ტალღის განტოლება.შეუძლებელია ფიზიკისა და ტექნოლოგიების წარმოდგენა ტალღების გარეშე, ისინი ყველა ტიპის სისტემაშია. ზოგადად, ტალღები აღწერილია ქვემოთ მოცემული განტოლებით, რომელშიც u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))არის სასურველი ფუნქცია და c (\displaystyle c)- ექსპერიმენტულად განსაზღვრული მუდმივი. დ'ალბერტმა პირველმა აღმოაჩინა, რომ ერთგანზომილებიანი შემთხვევისთვის ტალღის განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერიფუნქცია არგუმენტით x − c t (\displaystyle x-ct), რომელიც აღწერს მარჯვნივ გავრცელებულ თვითნებურ ტალღას. ერთგანზომილებიანი შემთხვევის ზოგადი ამოხსნა არის ამ ფუნქციის წრფივი კომბინაცია მეორე ფუნქციით არგუმენტით x + c t (\displaystyle x+ct), რომელიც აღწერს მარცხნივ გავრცელებულ ტალღას. ეს გამოსავალი წარმოდგენილია მეორე სტრიქონში.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• ნავიე-სტოკსის განტოლებები.ნავიე-სტოქსის განტოლებები აღწერს სითხეების მოძრაობას. ვინაიდან სითხეები წარმოდგენილია მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების თითქმის ყველა სფეროში, ეს განტოლებები ძალზე მნიშვნელოვანია ამინდის პროგნოზირებისთვის, თვითმფრინავების დიზაინისთვის, ოკეანის დინებისთვის და მრავალი სხვა აპლიკაციისთვის. ნავიე-სტოქსის განტოლებები არის არაწრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები და უმეტეს შემთხვევაში მათი ამოხსნა ძალიან რთულია, რადგან არაწრფივობა იწვევს ტურბულენტობას და რიცხვითი მეთოდებით სტაბილური ამონახსნის მისაღებად აუცილებელია. დაყოფა ძალიან პატარა უჯრედებად, რაც მოითხოვს მნიშვნელოვან გამოთვლით ძალას. ჰიდროდინამიკაში პრაქტიკული მიზნებისთვის, ტურბულენტური ნაკადების მოდელირებისთვის გამოიყენება ისეთი მეთოდები, როგორიცაა დროის საშუალო შეფასება. კიდევ უფრო ძირითადი კითხვები, როგორიცაა არაწრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების არსებობა და უნიკალურობა, რთული ამოცანებია და ნავიე-სტოქსის განტოლებების არსებობისა და უნიკალურობის სამ განზომილებაში ამონახსნების დადასტურება ათასწლეულის მათემატიკურ ამოცანებს შორისაა. . ქვემოთ მოცემულია შეკუმშვადი სითხის ნაკადის განტოლება და უწყვეტობის განტოლება.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ ჩვენების სტილი (\ frac (\ ნაწილობრივი (\ mathbf (u) ) )(\ნაწილობრივი t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u))=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho)(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u)))=0)

• ბევრი დიფერენციალური განტოლება უბრალოდ ვერ გადაიჭრება ზემოთ მოყვანილი მეთოდებით, განსაკუთრებით ბოლო ნაწილში ნახსენები. ეს ეხება მაშინ, როდესაც განტოლება შეიცავს ცვლად კოეფიციენტებს და არ არის კოში-ეილერის განტოლება, ან როცა განტოლება არის არაწრფივი, გარდა რამდენიმე ძალიან იშვიათი შემთხვევისა. თუმცა, ზემოაღნიშნული მეთოდები საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ მრავალი მნიშვნელოვანი დიფერენციალური განტოლება, რომლებიც ხშირად გვხვდება მეცნიერების სხვადასხვა დარგში.
• განსხვავებით დიფერენციაციისგან, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებული, მრავალი გამონათქვამის ინტეგრალი არ შეიძლება გამოისახოს ელემენტარულ ფუნქციებში. ამიტომ, ნუ დაკარგავთ დროს ინტეგრალის გამოთვლას იქ, სადაც ეს შეუძლებელია. შეხედეთ ინტეგრალების ცხრილს. თუ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები ელემენტარული ფუნქციებით ვერ გამოისახება, ზოგჯერ ის შეიძლება იყოს ინტეგრალური სახით და ამ შემთხვევაში არ აქვს მნიშვნელობა შეიძლება თუ არა ამ ინტეგრალის ანალიზური გამოთვლა.

გაფრთხილებები

• გარეგნობადიფერენციალური განტოლება შეიძლება იყოს შეცდომაში შემყვანი. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულია ორი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება. პირველი განტოლება მარტივად წყდება ამ სტატიაში აღწერილი მეთოდების გამოყენებით. ერთი შეხედვით, უმნიშვნელო ცვლილება y (\displaystyle y)ზე y 2 (\displaystyle y^(2))მეორე განტოლებაში ხდის მას არაწრფივი და ხდება ძალიან რთული ამოსახსნელი.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

ან უკვე ამოხსნილია წარმოებულთან მიმართებაში, ან მათი ამოხსნა შესაძლებელია წარმოებულთან მიმართებაში .

ინტერვალზე ტიპის დიფერენციალური განტოლებების ზოგადი ამოხსნა X, რომელიც მოცემულია, შეიძლება ვიპოვოთ ამ თანასწორობის ორივე მხარის ინტეგრალის აღებით.

მიიღეთ .

თუ გადავხედავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს, ვპოულობთ სასურველ ზოგად ამონახსნებს:

y = F(x) + C,

სადაც F(x)- ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი f(x)შორის X, მაგრამ FROMარის თვითნებური მუდმივი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ უმეტეს დავალებებში ინტერვალი Xარ მიუთითო. ეს ნიშნავს, რომ გამოსავალი ყველასთვის უნდა მოიძებნოს. x, რისთვისაც და სასურველი ფუნქცია წდა თავდაპირველი განტოლება აზრი აქვს.

თუ საჭიროა დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნის გამოთვლა, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას y(x0) = y0, შემდეგ ზოგადი ინტეგრალის გამოთვლის შემდეგ y = F(x) + C, ჯერ კიდევ აუცილებელია მუდმივის მნიშვნელობის განსაზღვრა C=C0საწყისი პირობის გამოყენებით. ანუ მუდმივი C=C0განტოლებიდან განისაზღვრება F(x 0) + C = y 0და დიფერენციალური განტოლების სასურველი კონკრეტული ამოხსნა მიიღებს ფორმას:

y = F(x) + C0.

განვიხილოთ მაგალითი:

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები, შეამოწმეთ შედეგის სისწორე. მოდი ვიპოვოთ ამ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც დააკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას.

გამოსავალი:

მას შემდეგ რაც გავაერთიანეთ მოცემული დიფერენციალური განტოლება, მივიღებთ:

.

ჩვენ ვიღებთ ამ ინტეგრალს ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდით:

რომ., არის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

მოდით შევამოწმოთ, რომ დავრწმუნდეთ, რომ შედეგი სწორია. ამისათვის ჩვენ ვცვლით ამონახს, რომელიც აღმოვაჩინეთ მოცემულ განტოლებაში:

.

ანუ ზე თავდაპირველი განტოლება იქცევა იდენტურობაში:

მაშასადამე, დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები სწორად იქნა განსაზღვრული.

ჩვენ მიერ ნაპოვნი გამოსავალი არის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტა არგუმენტის თითოეული რეალური მნიშვნელობისთვის x.

რჩება ODE-ს კონკრეტული ამოხსნის გამოთვლა, რომელიც დააკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აუცილებელია მუდმივის მნიშვნელობის გამოთვლა FROM, სადაც თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი:

.

.

შემდეგ, ჩანაცვლება C = 2 ODE-ს ზოგად ამონახსნში ვიღებთ დიფერენციალური განტოლების კონკრეტულ ამონახსანს, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას:

.

ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება შეიძლება ამოხსნას წარმოებულთან მიმართებაში განტოლების 2 ნაწილის გაყოფით f(x). ეს ტრანსფორმაცია ექვივალენტური იქნება თუ f(x)არცერთზე არ მიდის ნულზე xდიფერენციალური განტოლების ინტეგრაციის ინტერვალიდან X.

სავარაუდოა სიტუაციები, როდესაც, არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის x ∈ Xფუნქციები f(x)და g(x)ერთდროულად გადახვიდეთ ნულზე. მსგავსი ღირებულებებისთვის xდიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის ნებისმიერი ფუნქცია წ, რაც მათშია განსაზღვრული, რადგან .

თუ არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის x ∈ Xპირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ამ შემთხვევაში ODE-ს არ აქვს გადაწყვეტილებები.

ყველა დანარჩენისთვის xინტერვალიდან Xტრანსფორმირებული განტოლებიდან განისაზღვრება დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახვა.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

მაგალითი 1

მოდით ვიპოვოთ ODE-ს ზოგადი გადაწყვეტა: .

გამოსავალი.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებებიდან ირკვევა, რომ ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია განისაზღვრება არგუმენტის არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის, შესაბამისად, გამოხატვის დომენი. ჟურნალი (x+3)არის ინტერვალი x > -3 . აქედან გამომდინარე, მოცემული დიფერენციალური განტოლება აზრი აქვს x > -3 . არგუმენტის ამ მნიშვნელობებით, გამოხატულება x + 3არ ქრება, ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ ODE წარმოებულის მიმართ 2 ნაწილის გაყოფით x + 3.

ვიღებთ .

შემდეგი, ჩვენ ვაერთიანებთ მიღებულ დიფერენციალურ განტოლებას, ამოხსნილი წარმოებულის მიმართ: . ამ ინტეგრალის ასაღებად ვიყენებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდს.

დანართი

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა საიტზე ონლაინ რეჟიმში სტუდენტებისთვის შესწავლილი მასალის კონსოლიდაციის მიზნით. და გამოიყენე შენი პრაქტიკული უნარები. დიფერენციალური განტოლებები ონლაინ რეჟიმში. Difuras ონლაინ, მათემატიკის ონლაინ გადაწყვეტა. მათემატიკური ამოცანების ეტაპობრივი გადაწყვეტა ონლაინ. დიფერენციალური განტოლების რიგი, ანუ ხარისხი არის მასში შემავალი წარმოებულების უმაღლესი რიგი. დიფერენციალური განტოლებები ონლაინ რეჟიმში. დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პროცესს ინტეგრაცია ეწოდება. დიფერენციალური განტოლების ინტეგრირების პრობლემა გადაჭრად ითვლება, თუ უცნობი ფუნქციის აღმოჩენა შეიძლება კვადრატულამდე მიიყვანოთ, იმისდა მიუხედავად, მიღებული ინტეგრალი საბოლოო სახით არის გამოხატული ცნობილი ფუნქციების მიხედვით თუ არა. დიფერენციალური განტოლებების ეტაპობრივი ამოხსნა ონლაინ. ყველა დიფერენციალური განტოლება შეიძლება დაიყოს ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებად (ODE), რომელიც მოიცავს მხოლოდ ერთი არგუმენტის ფუნქციებს (და მათ წარმოებულებს) და ნაწილობრივ დიფერენციალურ განტოლებებს (PDE), რომელშიც შეყვანის ფუნქციები დამოკიდებულია ბევრ ცვლადზე. დიფერენციალური განტოლებები ონლაინ რეჟიმში. ასევე არსებობს სტოქასტური დიფერენციალური განტოლებები (SDE), რომლებიც მოიცავს შემთხვევით პროცესებს. დიფერენციალური განტოლებების ეტაპობრივი ამოხსნა ონლაინ. წარმოებულების, ფუნქციების, დამოუკიდებელი ცვლადების კომბინაციების მიხედვით, დიფერენციალური განტოლებები იყოფა წრფივ და არაწრფივ, მუდმივი ან ცვლადი კოეფიციენტებით, ერთგვაროვანი ან არაერთგვაროვანი. აპლიკაციების მნიშვნელობიდან გამომდინარე ცალკე კლასში გამოიყოფა კვაზიწრფივი (ხაზოვანი უფრო მაღალი წარმოებულების მიმართ) ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები. დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნები იყოფა ზოგად და კონკრეტულ ამონახსნებებად. დიფერენციალური განტოლებები ონლაინ რეჟიმში. ზოგადი ამონახსნები მოიცავს განუსაზღვრელ მუდმივებს, ხოლო ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებისთვის, დამოუკიდებელი ცვლადების თვითნებური ფუნქციები, რომლებიც შეიძლება დაიხვეწოს ინტეგრაციის დამატებითი პირობებიდან (საწყისი პირობები ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებისთვის, საწყისი და სასაზღვრო პირობები ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებისთვის). დიფერენციალური განტოლებების ეტაპობრივი ამოხსნა ონლაინ. ამ მუდმივი და განუსაზღვრელი ფუნქციების ფორმის განსაზღვრის შემდეგ ამონახსნები ხდება კონკრეტული. ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების ძიებამ გამოიწვია სპეციალური ფუნქციების კლასის ჩამოყალიბება - ფუნქციები, რომლებიც ხშირად გვხვდება აპლიკაციებში, რომლებიც არ არის გამოხატული ცნობილი ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით. დიფერენციალური განტოლებები ონლაინ რეჟიმში. მათი თვისებები დეტალურად იქნა შესწავლილი, შედგენილი იქნა მნიშვნელობების ცხრილები, განისაზღვრა ურთიერთკავშირები და ა.შ. . ჩამოთვლილი რიცხვების სიმრავლის შესწავლა შესაძლებელია. საუკეთესო პასუხი მოცემულ პრობლემაზე. როგორ ვიპოვოთ პირველი მიახლოებით გამავალი ვექტორი დიფერენციალური განტოლებების კონვერგენციის რეგიონში, ნაპოვნი ზედა ზღვრის დაზუსტების გარეშე. არჩევანი აშკარაა მათემატიკური ფუნქციების გაზრდისთვის. არსებობს კვლევის დონეზე მაღლა პროგრესული მეთოდი. პრობლემის საწყის მდგომარეობასთან შესასწორებლად, დიფერენციალური გადაწყვეტა დაგეხმარებათ იპოვოთ არჩეული ერთმნიშვნელოვანი მნიშვნელობა. შესაძლოა, მას შეუძლია დაუყოვნებლივ განსაზღვროს უცნობი. როგორც მათემატიკური ამოცანის ამოხსნის მითითების წინა მაგალითში, წრფივი დიფერენციალური განტოლებები არის პასუხი კონკრეტულ პრობლემაზე მითითებულ დროში. კვლევის პროცედურის შენარჩუნება ადგილობრივად არ არის განსაზღვრული. ეს იქნება ისე, რომ თითოეული მოსწავლისთვის იყოს მაგალითი და დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა განისაზღვრება პასუხისმგებელი შემსრულებლისთვის მინიჭებული პირის მიერ მინიმუმ ორი მნიშვნელობიდან. აიღეთ ზოგადი მნიშვნელობის ფუნქცია გარკვეულ სეგმენტზე და გააფრთხილეთ, რომელი ღერძის გასწვრივ იქნება უფსკრული. დიფერენციალური განტოლებების ონლაინ შესწავლის შემდეგ, შესაძლებელია ცალსახად აჩვენოთ, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია შედეგი, თუ ეს მოცემულია საწყისი პირობებიდან. რეგიონის ამოჭრა ფუნქციის განსაზღვრებიდან შეუძლებელია, რადგან არ არსებობს დავალების განსაზღვრა ადგილობრივად. განტოლებათა სისტემიდან აღმოჩენილი პასუხი შეიცავს ცვლადს, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს ზოგადი გაგებით, მაგრამ ბუნებრივია, შესაძლებელი იქნება დიფერენციალური განტოლების გადაჭრა ონლაინ ამ მოქმედების გარეშე, რათა დადგინდეს აღნიშნული მდგომარეობა. სეგმენტის ინტერვალის მახლობლად ჩანს, თუ როგორ შეუძლია დიფერენციალური განტოლებების ონლაინ ამოხსნას სტუდენტების ცოდნის შეწყვეტის დროს კვლევის შედეგი დადებითი მიმართულებით წაიყვანოს. საუკეთესო ყოველთვის არ არის მიღებული ბიზნესისადმი ზოგადად მიღებული მიდგომით. 2x დონეზე, შეგიძლიათ იხილოთ ყველა საჭირო ბუნებრივი წრფივი დიფერენციალური განტოლება, მაგრამ რიცხვითი მნიშვნელობის გამოთვლის შესაძლებლობა გამოიწვევს ცოდნის ზრდას. მათემატიკაში ნებისმიერი ტექნიკის მიხედვით, არსებობს დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც წარმოდგენილია არსებითად განსხვავებული გამონათქვამებით, როგორიცაა ჰომოგენური ან რთული. ფუნქციის შესწავლის ზოგადი ანალიზის შემდეგ, ცხადი გახდება, რომ დიფერენციალური, როგორც შესაძლებლობების ნაკრების ამოხსნა წარმოადგენს მნიშვნელობებში აშკარა შეცდომას. მასში სიმართლე დევს აბსცისის ხაზების ზემოთ სივრცეში. სადღაც რთული ფუნქციის დომენში, მისი განსაზღვრების გარკვეულ მომენტში, წრფივი დიფერენციალური განტოლებები შეძლებენ პასუხის ანალიტიკური სახით წარმოჩენას. ანუ ზოგადად, როგორც არსი. ცვლადის შეცვლისას არაფერი შეიცვლება. თუმცა, აუცილებელია პასუხის განსაკუთრებული ინტერესით შესწავლა. ფაქტობრივად, კალკულატორი საბოლოოდ ცვლის თანაფარდობას, ანუ ის, თუ როგორ არის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა გლობალური მნიშვნელობის პროპორციული, მითითებულია სასურველი ამონახსნის ფარგლებში. ზოგიერთ შემთხვევაში, მასობრივი შეცდომის გაფრთხილება გარდაუვალია. ონლაინ დიფერენციალური განტოლებები ახორციელებს პრობლემის ზოგად იდეას, მაგრამ საბოლოო ჯამში, თქვენ უნდა უზრუნველყოთ ჯვარედინი პროდუქტის დადებითი ასპექტები რაც შეიძლება მალე. მათემატიკაში რიცხვების თეორიაში შეცდომის შემთხვევები იშვიათი არ არის. აუცილებლად უნდა შემოწმდეს. ბუნებრივია, სჯობს ეს უფლება მივცეთ თავიანთი დარგის პროფესიონალებს და სწორედ ისინი დაეხმარებიან ონლაინ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას, რადგან მათი გამოცდილება კოლოსალური და პოზიტიურია. განსხვავება ფიგურების ზედაპირებსა და ფართობზე ისეთია, რომ ონლაინ დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა კი არ მოგცემთ საშუალებას ნახოთ, არამედ გადაკვეთილი ობიექტების ნაკრები ისეთია, რომ ხაზი ღერძის პარალელურია. შედეგად, შეგიძლიათ მიიღოთ ორჯერ მეტი მნიშვნელობა. როგორც ნაგულისხმევი, ჩვენი იდეა ფორმალური აღნიშვნის სისწორის შესახებ ითვალისწინებს წრფივ დიფერენციალურ განტოლებებს როგორც ხედვის არეალში, ასევე შედეგის ხარისხის მიზანმიმართულ გადაფასებასთან დაკავშირებით. მიმოხილვაში რამდენჯერმე ქვეყნდება დისკუსია ყველა სტუდენტისთვის საინტერესო თემაზე. ლექციების სრული კურსის შესწავლის განმავლობაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ დიფერენციალურ განტოლებებზე და მეცნიერების შესწავლის მასთან დაკავშირებულ სფეროებზე, თუ ეს არ ეწინააღმდეგება სიმართლეს. ბევრი ეტაპის თავიდან აცილება შესაძლებელია მოგზაურობის დასაწყისში. თუ დიფერენციალური გადაწყვეტა ჯერ კიდევ ფუნდამენტურად ახალია სტუდენტებისთვის, მაშინ ძველი საერთოდ არ დავიწყებულია, მაგრამ პროგრესირებს მომავალში განვითარების მაღალი ტემპით. თავდაპირველად, მათემატიკაში პრობლემის პირობები განსხვავდება, მაგრამ ეს მითითებულია აბზაცში მარჯვნივ. განსაზღვრებით განსაზღვრული დროის გასვლის შემდეგ არ არის გამორიცხული ვექტორის მოძრაობის სხვადასხვა სიბრტყეზე პროპორციული დამოკიდებული შედეგის შესაძლებლობა. ასეთი მარტივი შემთხვევა გამოსწორებულია ისევე, როგორც წრფივი დიფერენციალური განტოლებები აღწერილია კალკულატორზე ზოგადი ფორმით, ასე რომ უფრო სწრაფი იქნება და გამოთვლების ოფსეტური არ გამოიწვევს მცდარ მოსაზრებას. თეორიის მიხედვით დასახელებულ მხოლოდ ხუთ შემთხვევას შეუძლია გადალახოს რა ხდება საზღვრებს. დიფერენციალური განტოლებების ჩვენი გადაწყვეტა ხელს შეუწყობს მნიშვნელობების ხელით გამოთვლას ფუნქციური სივრცის დაშლის პირველ ეტაპებზე. სწორ ადგილებში აუცილებელია ოთხი ხაზის შეხების წერტილის ზოგადი გაგებით წარმოჩენა. მაგრამ თუ თქვენ უნდა აიძულოთ დავალება, მაშინ ადვილი იქნება სირთულის გათანაბრება. საწყისი მონაცემები საკმარისია მიმდებარე ფეხის შესაქმნელად და ონლაინ დიფერენციალური განტოლებები გამოიყურება მარცხნივ გასწორებული და ცალმხრივი ზედაპირი მიმართულია ვექტორული როტორისკენ. ზედა ზღვარს ზემოთ, რიცხვითი მნიშვნელობები შესაძლებელია მითითებულ მდგომარეობაზე მეტი. შესაძლებელია მათემატიკური ფორმულის გათვალისწინება და დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ონლაინ პროპორციის საერთო მნიშვნელობის სამი უცნობის გამო. გაანგარიშების ადგილობრივი მეთოდი აღიარებულია, როგორც მოქმედი. კოორდინატთა სისტემა მართკუთხაა სიბრტყის ფარდობით მოძრაობაში. დიფერენციალური განტოლებების ზოგადი ონლაინ გადაწყვეტა შესაძლებელს ხდის ცალსახად გამოვიტანოთ დასკვნა მატრიცის განმარტებების გამოთვლითი გავლის სასარგებლოდ მთელ სწორ ხაზზე, რომელიც მდებარეობს აშკარად მითითებული ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ. გამოსავალი ჩანს, თუ თქვენ მიმართავთ მოძრაობის ვექტორს სამი ნახევარსფეროს შეხების წერტილში. ცილინდრი მიიღება გვერდის გარშემო მართკუთხედის ბრუნვით და წრფივი დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება აჩვენონ წერტილის მოძრაობის მიმართულება მისი მოძრაობის კანონის მოცემული გამონათქვამების მიხედვით. საწყისი მონაცემები სწორია და მათემატიკაში პრობლემა ურთიერთშემცვლელია ერთი მარტივი პირობით. თუმცა, გარემოებების გამო, დაყენების ქვეპრობლემის სირთულის გათვალისწინებით, დიფერენციალური განტოლებები ამარტივებს გამოთვლილი რიცხვითი სივრცეების პროცესს სამგანზომილებიანი სივრცის დონეზე. საპირისპიროს დამტკიცება ადვილია, მაგრამ ამის თავიდან აცილება შესაძლებელია, როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში. უმაღლეს მათემატიკაში მოცემულია შემდეგი პუნქტები: როცა პრობლემა გამარტივებულ ფორმაზე გადაიყვანება, მასზე უნდა გაფართოვდეს მოსწავლეთა მაქსიმალური ძალისხმევა. ერთმანეთზე გადახურული ხაზები ხვდება ოფსეტში. პრო დიფერენციალური გადაწყვეტა კვლავ განაახლებს აღნიშნული მეთოდის უპირატესობას მრუდე ხაზზე. თუ თავიდანვე აღიარებთ არა იმას, რაც გჭირდებათ, მაშინ მათემატიკური ფორმულა შექმნის გამოხატვის ახალ მნიშვნელობას. მიზანია პროფესორის მიერ დასახული ამოცანების გადაწყვეტის ოპტიმალური მიდგომა. არ უნდა ვივარაუდოთ, რომ წრფივი დიფერენციალური განტოლებები გამარტივებული ფორმით გადააჭარბებს მოსალოდნელ შედეგს. ჩვენ ვათავსებთ სამ ვექტორს სასრულ შედგენილ ზედაპირზე. ორთოგონალური ერთმანეთის მიმართ. მოდით გამოვთვალოთ პროდუქტი. განვახორციელოთ უფრო დიდი რაოდენობის სიმბოლოების დამატება და მიღებული გამოსახულებიდან ამოვიწეროთ ფუნქციის ყველა ცვლადი. არის პროპორცია. რამდენიმე მოქმედება, რომელიც წინ უძღვის გაანგარიშების დასრულებას, არ იძლევა ცალსახა პასუხს დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნაზე დაუყოვნებლივ, მაგრამ მხოლოდ მას შემდეგ, რაც გამოყოფილი დრო გავა ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. შეწყვეტის წერტილის მარცხნივ, ფუნქციიდან ირიბად მოცემული, ვხატავთ ორთოგონალურ ღერძს საუკეთესო მზარდ ვექტორთან და ვათავსებთ ონლაინ დიფერენციალურ განტოლებებს მათემატიკური ობიექტის ქვედა ზღვრის უმცირესი საზღვრის გასწვრივ. მოდით დავამატოთ დამატებითი არგუმენტი ფუნქციის შესვენების ზონაში. მრუდი ხაზის წერტილების მარჯვნივ, ჩვენს მიერ დაწერილი ფორმულები საერთო მნიშვნელამდე შესამცირებლად დაგეხმარებათ დიფერენციალური განტოლების ონლაინ ამოხსნაში. ერთადერთი სწორი მიდგომა იქნება ის, რომელიც ნათელს მოჰფენს გადაუჭრელ პრობლემებს თეორიიდან პრაქტიკამდე, ზოგად შემთხვევაში ცალსახად. მოცემული წერტილების კოორდინატების მიმართულებით ხაზებს არასოდეს დაუხურავს კვადრატის უკიდურესი პოზიცია, თუმცა, დიფერენციალური განტოლებების ონლაინ ამოხსნა დაეხმარება როგორც მოსწავლეებს, ასევე ჩვენ და მხოლოდ ამ სფეროში დამწყებთათვის მათემატიკის შესწავლაში. ჩვენ ვსაუბრობთ მნიშვნელობის არგუმენტის ერთი ველის ყველა მნიშვნელოვან ქვეხაზში ჩანაცვლების შესაძლებლობაზე. პრინციპში, როგორც მოსალოდნელია, ჩვენი წრფივი დიფერენციალური განტოლებები არის რაღაც იზოლირებული შემცირებული მნიშვნელობის ერთ კონცეფციაში. სტუდენტების დასახმარებლად მსგავს სერვისებს შორის ერთ-ერთი საუკეთესოა კალკულატორი. გაიარეთ ყველა კურსი და აირჩიეთ თქვენთვის საუკეთესო.

=

ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება ეწოდება განტოლება, რომელიც აკავშირებს დამოუკიდებელ ცვლადს, ამ ცვლადის უცნობ ფუნქციას და სხვადასხვა რიგის მის წარმოებულებს (ან დიფერენციალებს).

დიფერენციალური განტოლების რიგი არის მასში შემავალი უმაღლესი წარმოებულის რიგი.

ჩვეულებრივის გარდა, შესწავლილია ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებებიც. ეს არის დამოუკიდებელ ცვლადებთან დაკავშირებული განტოლებები, ამ ცვლადების უცნობი ფუნქცია და მისი ნაწილობრივი წარმოებულები იმავე ცვლადების მიმართ. მაგრამ ჩვენ მხოლოდ განვიხილავთ ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები და ამიტომ მოკლედ გამოვტოვებთ სიტყვას „ჩვეულებრივი“.

დიფერენციალური განტოლებების მაგალითები:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

განტოლება (1) არის მეოთხე რიგის, განტოლება (2) არის მესამე რიგის, განტოლებები (3) და (4) არის მეორე რიგის, განტოლება (5) არის პირველი რიგის.

დიფერენციალური განტოლება ნწესრიგი არ უნდა შეიცავდეს ცალსახად ფუნქციას, მის ყველა წარმოებულს პირველიდან ნრიგითი და დამოუკიდებელი ცვლადი. ის შეიძლება აშკარად არ შეიცავდეს ზოგიერთი ბრძანების წარმოებულებს, ფუნქციას, დამოუკიდებელ ცვლადს.

მაგალითად, განტოლებაში (1) აშკარად არ არის მესამე და მეორე რიგის წარმოებულები, ასევე ფუნქციები; განტოლებაში (2) - მეორე რიგის წარმოებული და ფუნქცია; განტოლებაში (4) - დამოუკიდებელი ცვლადი; განტოლებაში (5) - ფუნქციები. მხოლოდ განტოლება (3) შეიცავს ყველა წარმოებულს, ფუნქციას და დამოუკიდებელ ცვლადს.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნით ნებისმიერ ფუნქციას ეძახიან y = f(x), რომლის ჩანაცვლება განტოლებაში, იქცევა იდენტურობაში.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პროცესს მისი ეწოდება ინტეგრაცია.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოსავალი დიფერენციალური განტოლებისთვის.

გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ ამ განტოლებას ფორმით. გამოსავალი არის ფუნქციის პოვნა მისი წარმოებულის მიხედვით. ორიგინალური ფუნქცია, როგორც ცნობილია ინტეგრალური გამოთვლებიდან, არის ანტიწარმოებული, ე.ი.

სწორედ ეს არის მოცემული დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა . იცვლება მასში C, ჩვენ მივიღებთ სხვადასხვა გადაწყვეტილებებს. ჩვენ გავარკვიეთ, რომ არსებობს პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა ნრიგი არის მისი ამოხსნა, რომელიც გამოხატულია უცნობი ფუნქციის მიმართ და შეიცავს ნდამოუკიდებელი თვითნებური მუდმივები, ე.ი.

დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი 1-ში ზოგადია.

დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამოხსნა მისი გამოსავალი ეწოდება, რომელშიც სპეციფიკური რიცხვითი მნიშვნელობები მინიჭებულია თვითნებურ მუდმივებზე.

მაგალითი 2იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები და კონკრეტული ამონახსნები .

გამოსავალი. განტოლების ორივე ნაწილს იმდენჯერ ვაერთიანებთ, რომ დიფერენციალური განტოლების რიგი ტოლი იყოს.

,

.

შედეგად მივიღეთ ზოგადი გამოსავალი -

მოცემული მესამე რიგის დიფერენციალური განტოლება.

ახლა მოდით ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი მითითებულ პირობებში. ამისათვის ჩვენ ვცვლით მათ მნიშვნელობებს თვითნებური კოეფიციენტების ნაცვლად და ვიღებთ

.

თუ დიფერენციალური განტოლების გარდა, საწყისი პირობა მოცემულია სახით, მაშინ ასეთ პრობლემას ე.წ. კუშის პრობლემა . მნიშვნელობები და ჩანაცვლებულია განტოლების ზოგად ამოხსნაში და ნაპოვნია თვითნებური მუდმივის მნიშვნელობა Cდა შემდეგ ნაპოვნი მნიშვნელობის განტოლების კონკრეტული ამოხსნა C. ეს არის კოშის პრობლემის გადაწყვეტა.

მაგალითი 3ამოხსენით კოშის ამოცანა დიფერენციალური განტოლებისთვის მაგალითიდან 1 პირობით.

გამოსავალი. ჩვენ ვცვლით ზოგად ხსნარში მნიშვნელობებს საწყისი მდგომარეობიდან წ = 3, x= 1. ვიღებთ

ჩვენ ვწერთ კოშის ამოცანის ამოხსნას პირველი რიგის მოცემული დიფერენციალური განტოლებისთვის:

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა, თუნდაც უმარტივესი, მოითხოვს წარმოებულების ინტეგრირებისა და აღების კარგ უნარებს, მათ შორის რთული ფუნქციების. ეს ჩანს შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 4იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები.

გამოსავალი. განტოლება იწერება ისე, რომ ორივე მხარე შეიძლება დაუყოვნებლივ იყოს ინტეგრირებული.

.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის მეთოდს ცვლადის შეცვლით (ჩანაცვლება). მოდით, მაშინ.

მიღებაა საჭირო dxახლა კი - ყურადღება - ამას ვაკეთებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესების მიხედვით, ვინაიდან xდა არის რთული ფუნქცია ("ვაშლი" - კვადრატული ფესვის ამოღება ან, რაც იგივეა - "ერთი წამის" სიმძლავრის აწევა და "დაფქული ხორცი" - თავად გამოთქმა ფესვის ქვეშ):

ჩვენ ვპოულობთ ინტეგრალს:

ცვლადზე დაბრუნება x, ვიღებთ:

.

ეს არის პირველი ხარისხის ამ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტა.

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას საჭირო იქნება არა მხოლოდ უმაღლესი მათემატიკის წინა სექციების უნარები, არამედ დაწყებითი, ანუ სასკოლო მათემატიკის უნარები. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ნებისმიერი რიგის დიფერენციალურ განტოლებაში არ შეიძლება იყოს დამოუკიდებელი ცვლადი, ანუ ცვლადი. x. პროპორციების შესახებ ცოდნა, რომელიც არ დავიწყებულია (თუმცა, ვინმეს აქვს მსგავსი) სკოლის სკამიდან, დაგეხმარებათ ამ პრობლემის მოგვარებაში. ეს არის შემდეგი მაგალითი.

გავიხსენოთ პრობლემა, რომელიც შეგვხვდა განსაზღვრული ინტეგრალების პოვნისას:

ან dy = f(x)dx. მისი გამოსავალი:

და ის მცირდება განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოთვლამდე. პრაქტიკაში უფრო რთული ამოცანაა: ფუნქციის პოვნა წთუ ცნობილია, რომ იგი აკმაყოფილებს ფორმის მიმართებას

ეს კავშირი უკავშირდება დამოუკიდებელ ცვლადს x, უცნობი ფუნქცია წდა მისი წარმოებულები შეკვეთამდე ნინკლუზიური, ე.წ .

დიფერენციალური განტოლება მოიცავს ფუნქციას ამა თუ იმ რიგის წარმოებულების (ან დიფერენციალების) ნიშნით. უმაღლესის ბრძანებას ეწოდება რიგი (9.1) .

დიფერენციალური განტოლებები:

- პირველი შეკვეთა

მეორე შეკვეთა,

- მეხუთე შეკვეთა და ა.შ.

ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ დიფერენციალურ განტოლებას, ეწოდება მისი ამონახსნი , ან ინტეგრალური . მისი გადაჭრა ნიშნავს მისი ყველა გადაწყვეტის პოვნას. თუ სასურველი ფუნქციისთვის წმოვახერხეთ ფორმულის მიღება, რომელიც იძლევა ყველა ამონახსანს, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ ვიპოვეთ მისი ზოგადი ამონახსნები , ან ზოგადი ინტეგრალი .

საერთო გადაწყვეტილება შეიცავს ნთვითნებური მუდმივები და ჰგავს

თუ მიიღება მიმართება, რომელიც ეხება x, yდა ნთვითნებური მუდმივები, დაუშვებელი ფორმით წ -

მაშინ ასეთ მიმართებას ეწოდება (9.1) განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

კუშის პრობლემა

თითოეულ სპეციფიკურ ამონახსანს, ანუ თითოეულ სპეციფიკურ ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ დიფერენციალურ განტოლებას და არ არის დამოკიდებული თვითნებურ მუდმივებზე, ეწოდება კონკრეტული ამონახსნი. , ან კერძო ინტეგრალი. ზოგადიდან კონკრეტული ამონახსნების (ინტეგრალების) მისაღებად აუცილებელია მუდმივებზე კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობების მიმაგრება.

კონკრეტული ამოხსნის გრაფიკს ინტეგრალური მრუდი ეწოდება. ზოგადი ამოხსნა, რომელიც შეიცავს ყველა კონკრეტულ ამონახსნებს, არის ინტეგრალური მრუდების ოჯახი. პირველი რიგის განტოლებისთვის, ეს ოჯახი დამოკიდებულია ერთ თვითნებურ მუდმივზე; განტოლებისთვის ნრიგით - დან ნთვითნებური მუდმივები.

კოშის პრობლემა არის განტოლების კონკრეტული ამოხსნის პოვნა ნშეკვეთა, დამაკმაყოფილებელი ნსაწყისი პირობები:

რომლებიც განსაზღვრავენ n მუდმივებს с 1 , с 2 ,..., c n.

1 რიგის დიფერენციალური განტოლებები

წარმოებულთან მიმართებაში გადაუჭრელი, პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

ან შედარებით დასაშვებად

მაგალითი 3.46. იპოვნეთ განტოლების ზოგადი ამონახსნი

გამოსავალი.ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი. თუ ჩვენ მივცემთ C სპეციფიკურ ციფრულ მნიშვნელობებს, მაშინ მივიღებთ კონკრეტულ ამონახსნებს, მაგალითად,

მაგალითი 3.47. განვიხილოთ ბანკში დეპონირებული თანხის მზარდი რაოდენობა, 100 რ რთული პროცენტი წელიწადში. მოდით Yo იყოს ფულის საწყისი თანხა, ხოლო Yx ვადის გასვლის შემდეგ xწლები. როდესაც პროცენტი გამოითვლება წელიწადში ერთხელ, ვიღებთ

სადაც x = 0, 1, 2, 3,.... როდესაც პროცენტი გამოითვლება წელიწადში ორჯერ, მივიღებთ

სადაც x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... პროცენტის გაანგარიშებისას ნწელიწადში ერთხელ და თუ xთანმიმდევრულად იღებს მნიშვნელობებს 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., შემდეგ

აღნიშნეთ 1/n = h, მაშინ წინა ტოლობა ასე გამოიყურება:

შეუზღუდავი გადიდებით ნ(ზე ) ლიმიტში მივდივართ თანხის გაზრდის პროცესამდე უწყვეტი პროცენტის დარიცხვით:

ამრიგად, ჩანს, რომ უწყვეტი ცვლილებით xფულის მასის ცვლილების კანონი გამოიხატება 1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლებით. სადაც Y x უცნობი ფუნქციაა, x- დამოუკიდებელი ცვლადი, რ- მუდმივი. ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას, ამისათვის გადავწერთ შემდეგნაირად:

სადაც , ან , სადაც P ნიშნავს e C.

საწყისი პირობებიდან Y(0) = Yo , ვპოულობთ P: Yo = Pe o , საიდანაც, Yo = P. მაშასადამე, გამოსავალი ასე გამოიყურება:

განვიხილოთ მეორე ეკონომიკური პრობლემა. მაკროეკონომიკური მოდელები ასევე აღწერილია 1-ლი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებებით, რომლებიც აღწერს Y შემოსავლის ან გამომუშავების ცვლილებას დროის ფუნქციად.

მაგალითი 3.48. მოდით, ეროვნული შემოსავალი Y გაიზარდოს მისი მნიშვნელობის პროპორციულად:

და მოდით, სახელმწიფო ხარჯების დეფიციტი პირდაპირპროპორციულია შემოსავალთან Y პროპორციულობის კოეფიციენტით ქ. ხარჯების დეფიციტი იწვევს ეროვნული ვალის ზრდას D:

საწყისი პირობები Y = Yo და D = Do at t = 0. პირველი განტოლებიდან Y= Yoe kt . Y-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ dD/dt = qYoe kt. ზოგად გამოსავალს აქვს ფორმა
D = (q/ k) Yoe kt +С, სადაც С = const, რომელიც განისაზღვრება საწყისი პირობებიდან. საწყისი პირობების ჩანაცვლებით მივიღებთ Do = (q/k)Yo + C. ასე რომ, საბოლოოდ,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

ეს იმაზე მეტყველებს, რომ სახელმწიფო ვალიც იმავე ფარდობითი ტემპით იზრდება კ, რომელიც არის ეროვნული შემოსავალი.

განვიხილოთ უმარტივესი დიფერენციალური განტოლებები ნშეკვეთა, ეს არის ფორმის განტოლებები

მისი ზოგადი ხსნარის მიღება შესაძლებელია გამოყენებით ნინტეგრაციის დრო.

მაგალითი 3.49.განვიხილოთ მაგალითი y """ = cos x.

გამოსავალი.ინტეგრირება, ჩვენ ვპოულობთ

ზოგად გამოსავალს აქვს ფორმა

წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

ეკონომიკაში მათ დიდი გამოყენება აქვთ, განიხილეთ ასეთი განტოლებების ამოხსნა. თუ (9.1) აქვს ფორმა:

მაშინ მას წრფივი ეწოდება, სადაც po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) მოცემულია ფუნქციები. თუ f(x) = 0, მაშინ (9.2) ეწოდება ერთგვაროვანს, წინააღმდეგ შემთხვევაში მას არაერთგვაროვანს. (9.2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები უდრის მისი რომელიმე კონკრეტული ამონახსნის ჯამს y(x)და მის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნა:

თუ კოეფიციენტები p o (x), p 1 (x),..., p n (x) მუდმივებია, მაშინ (9.2)

(9.4) ეწოდება წრფივი დიფერენციალური განტოლება რიგის მუდმივი კოეფიციენტებით ნ .

(9.4)-სთვის მას აქვს ფორმა:

შეგვიძლია განზოგადების დაკარგვის გარეშე დავაყენოთ p o = 1 და ჩავწეროთ (9.5) ფორმაში

ჩვენ ვეძებთ ამონახსანს (9.6) y = e kx სახით, სადაც k არის მუდმივი. Ჩვენ გვაქვს: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . მიღებული გამონათქვამების ჩანაცვლებით (9.6) გვექნება:

(9.7) არის ალგებრული განტოლება, მისი უცნობია კ, მას დამახასიათებელი ეწოდება. დამახასიათებელ განტოლებას აქვს ხარისხი ნდა ნფესვები, რომელთა შორის შეიძლება იყოს როგორც მრავალჯერადი, ასევე რთული. მოდით k 1 , k 2 ,..., k n იყოს რეალური და განსხვავებული, მაშინ არის კონკრეტული გადაწყვეტილებები (9.7), ხოლო ზოგადი

განვიხილოთ მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით:

მის დამახასიათებელ განტოლებას აქვს ფორმა

(9.9)

მისი დისკრიმინანტი D = p 2 - 4q, D-ის ნიშნიდან გამომდინარე, შესაძლებელია სამი შემთხვევა.

1. თუ D>0, მაშინ ფესვები k 1 და k 2 (9.9) რეალური და განსხვავებულია, ხოლო ზოგადი ამონახსნის ფორმა აქვს:

გამოსავალი.დამახასიათებელი განტოლება: k 2 + 9 = 0, საიდანაც k = ± 3i, a = 0, b = 3, ზოგადი ამონახსნი არის:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

მეორე რიგის ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებები გამოიყენება ქსელის მსგავსი ეკონომიკური მოდელის შესასწავლად საქონლის მარაგებით, სადაც P ფასის ცვლილების სიჩქარე დამოკიდებულია მარაგის ზომაზე (იხ. პუნქტი 10). თუ მიწოდება და მოთხოვნა ფასის წრფივი ფუნქციებია, ე.ი.

a - არის მუდმივი, რომელიც განსაზღვრავს რეაქციის სიჩქარეს, მაშინ ფასის ცვლილების პროცესი აღწერილია დიფერენციალური განტოლებით:

კონკრეტული გადაწყვეტისთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ მუდმივი

რომელსაც აქვს წონასწორული ფასის მნიშვნელობა. გადახრა აკმაყოფილებს ერთგვაროვან განტოლებას

(9.10)

დამახასიათებელი განტოლება იქნება შემდეგი:

იმ შემთხვევაში, ტერმინი დადებითია. აღნიშნეთ . დამახასიათებელი განტოლების ფესვები k 1,2 = ± i w, ამიტომ ზოგადი ამონახსნები (9.10) აქვს ფორმა:

სადაც C და თვითნებური მუდმივები, ისინი განისაზღვრება საწყისი პირობებიდან. ჩვენ მივიღეთ დროში ფასის ცვლილების კანონი:

შეიყვანეთ თქვენი დიფერენციალური განტოლება, აპოსტროფი """ გამოიყენება წარმოებულის შესაყვანად, დააჭირეთ გაგზავნას და ამოხსნის მისაღებად.