რიცხვის კვადრატი არის შედეგი მათემატიკური ოპერაციისა, რომელიც ამ რიცხვს ამაღლებს მეორე ხარისხამდე, ანუ ამრავლებს ამ რიცხვს თავისთავად ერთხელ. ჩვეულებრივია ასეთი ოპერაციის დანიშვნა შემდეგნაირად: Z2, სადაც Z არის ჩვენი რიცხვი, 2 არის "კვადრატის" ხარისხი. ჩვენი სტატია გეტყვით, თუ როგორ გამოვთვალოთ რიცხვის კვადრატი.

გამოთვალეთ კვადრატი

თუ რიცხვი მარტივი და მცირეა, მაშინ ამის გაკეთება ადვილია ან გონებაში, ან გამრავლების ცხრილის გამოყენებით, რომელიც ყველა ჩვენგანისთვის კარგად არის ცნობილი. Მაგალითად:

42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.

თუ რიცხვი დიდია ან „დიდი“, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კვადრატების ცხრილი, რომელიც ყველამ ისწავლა სკოლაში, ან კალკულატორი. Მაგალითად:

122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.

ასევე, სასურველი შედეგის მისაღებად ზემოთ მოცემული ორი მაგალითისთვის, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ეს რიცხვები სვეტში.

ნებისმიერი წილადის კვადრატის მისაღებად, თქვენ უნდა:

1. გადააქციე წილადი (თუ წილადს აქვს მთელი რიცხვი ან თუ ის ათწილადია) არასწორ წილადად. თუ წილადი სწორია, მაშინ არაფრის თარგმნა არ არის საჭირო.
2. გაამრავლეთ მნიშვნელი მნიშვნელზე და მრიცხველი წილადის მრიცხველზე.

Მაგალითად:

(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.

რომელიმე ამ ვარიანტში, უმარტივესი გზაა კალკულატორის გამოყენება. ამისთვის საჭიროა:

1. ჩაწერეთ ნომერი კლავიატურაზე
2. დააჭირეთ ღილაკს გამრავლების ნიშნით
3. დააჭირეთ ღილაკს "თანაბრის" ნიშნით

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ყოველთვის გამოიყენოთ საძიებო სისტემები ინტერნეტში, როგორიცაა, მაგალითად, Google. ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ შესაბამისი მოთხოვნა საძიებო სისტემის ველში და მიიღოთ მზა შედეგი.

მაგალითად: 9.17 რიცხვის კვადრატის გამოსათვლელად, საძიებო სისტემაში უნდა ჩაწეროთ 9.17 * 9.17, ან 9.17 ^ 2, ან "9.17 კვადრატში". რომელიმე ამ ვარიანტში საძიებო სისტემა მოგცემთ სწორ შედეგს - 84.0889.

ახლა თქვენ იცით, როგორ გამოთვალოთ თქვენთვის საინტერესო ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი, იქნება ეს მთელი რიცხვი თუ წილადი, დიდი თუ პატარა!

დღეს ჩვენ ვისწავლით, თუ როგორ სწრაფად მოაწყოთ დიდი გამონათქვამები კალკულატორის გარეშე. დიდში ვგულისხმობ რიცხვებს ათიდან ასამდე. დიდი გამონათქვამები უკიდურესად იშვიათია რეალურ პრობლემებში და თქვენ უკვე იცით, თუ როგორ უნდა დაითვალოთ ათზე ნაკლები მნიშვნელობები, რადგან ეს არის რეგულარული გამრავლების ცხრილი. დღევანდელი გაკვეთილის მასალა სასარგებლო იქნება საკმაოდ გამოცდილი სტუდენტებისთვის, რადგან ახალბედა სტუდენტები უბრალოდ არ დააფასებენ ამ ტექნიკის სიჩქარეს და ეფექტურობას.

დასაწყისისთვის, მოდით ზოგადად გავიგოთ რაზეა საუბარი. მაგალითად, მე ვთავაზობ თვითნებური რიცხვითი გამოხატვის აგებას, როგორც ამას ჩვეულებრივ ვაკეთებთ. ვთქვათ 34. ვზრდით მას სვეტით თავის თავზე გამრავლებით:

\[((34)^(2))=\ჯერ \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 არის კვადრატი 34.

ამ მეთოდის პრობლემა შეიძლება აღწერილი იყოს ორ პუნქტში:

1) საჭიროებს წერილობით რეგისტრაციას;

2) ძალიან ადვილია შეცდომის დაშვება გაანგარიშების პროცესში.

დღეს ჩვენ ვისწავლით როგორ გავამრავლოთ სწრაფად კალკულატორის გარეშე, სიტყვიერად და პრაქტიკულად შეცდომების გარეშე.

მოდით დავიწყოთ. სამუშაოდ, ჩვენ გვჭირდება ჯამისა და სხვაობის კვადრატის ფორმულა. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი:

\[(((ა+ბ))^(2))=((ა)^(2))+2აბ+((ბ)^(2))\]

\[(((ა-ბ))^(2))=((ა)^(2))-2აბ+((ბ)^(2))\]

რას გვაძლევს ეს? ფაქტია, რომ ნებისმიერი მნიშვნელობა 10-დან 100-მდე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც $a$ რიცხვი, რომელიც იყოფა 10-ზე და რიცხვი $b$, რომელიც არის 10-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი.

მაგალითად, 28 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ანალოგიურად, ჩვენ წარმოგიდგენთ დარჩენილ მაგალითებს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\ბოლო (გასწორება)\]

რა გვაძლევს ასეთ წარმოდგენას? ფაქტია, რომ ჯამით ან სხვაობით შეგვიძლია გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული გამოთვლები. რა თქმა უნდა, გამოთვლების შესამცირებლად, თითოეული ელემენტისთვის უნდა აირჩიოთ გამონათქვამი ყველაზე პატარა მეორე წევრით. მაგალითად, $20+8$ და $30-2$ ვარიანტებიდან უნდა აირჩიოთ $30-2$ ვარიანტი.

ანალოგიურად, ჩვენ ვირჩევთ ვარიანტებს სხვა მაგალითებისთვის:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

რატომ უნდა ვცდილობთ მეორე წევრის შემცირებას სწრაფ გამრავლებაში? ეს ყველაფერი ჯამისა და სხვაობის კვადრატის საწყის გამოთვლებზეა. ფაქტია, რომ პლუს-მინუს ტერმინი $2ab$ ყველაზე რთული გამოსათვლელია რეალური პრობლემების გადაჭრისას. და თუ $a$ კოეფიციენტი, 10-ის ჯერადი, ყოველთვის ადვილად მრავლდება, მაშინ $b$ ფაქტორით, რომელიც არის რიცხვი ერთიდან ათამდე დიაპაზონში, ბევრ სტუდენტს რეგულარულად უჭირს.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

ასე რომ, სამ წუთში გავაკეთეთ რვა მაგალითის გამრავლება. ეს არის 25 წამზე ნაკლები თითო გამოსახულებაში. სინამდვილეში, მცირე ვარჯიშის შემდეგ, კიდევ უფრო სწრაფად ითვლით. ნებისმიერი ორნიშნა გამოხატვის გამოსათვლელად დაგჭირდებათ არაუმეტეს ხუთი ან ექვსი წამი.

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის. მათთვის, ვინც არ ფიქრობს, რომ ნაჩვენები ტექნიკა საკმარისად სწრაფია და არასაკმარისად მაგარი, მე ვთავაზობ გამრავლების კიდევ უფრო სწრაფ მეთოდს, რომელიც, თუმცა, არ მუშაობს ყველა ამოცანისთვის, არამედ მხოლოდ მათთვის, ვინც განსხვავდება 10-ის ჯერადიდან ერთით. ჩვენს გაკვეთილზე არის ოთხი ასეთი მნიშვნელობა: 51, 21, 81 და 39.

ეს ბევრად უფრო სწრაფი ჩანდა, ჩვენ უკვე ვითვლით მათ სიტყვასიტყვით რამდენიმე სტრიქონში. მაგრამ, ფაქტობრივად, შესაძლებელია აჩქარება და ეს კეთდება შემდეგნაირად. ჩვენ ვწერთ მნიშვნელობას, ათის ჯერადად, რომელიც ყველაზე ახლოს არის სასურველთან. მაგალითად, ავიღოთ 51. მაშასადამე, დასაწყისისთვის ჩვენ ორმოცდაათს გავზრდით:

\[{{50}^{2}}=2500\]

მნიშვნელობები, რომლებიც ათი მრავლობითია, ბევრად უფრო ადვილია კვადრატში. და ახლა ჩვენ უბრალოდ დავუმატებთ ორმოცდაათი და 51-ს თავდაპირველ გამოსახულებას. პასუხი იგივე იქნება:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

ასე რომ, ყველა რიცხვი, რომელიც განსხვავდება ერთით.

თუ მნიშვნელობა, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ, უფრო დიდია ვიდრე ჩვენ ვფიქრობთ, მაშინ მივამატებთ რიცხვებს მიღებულ კვადრატს. თუ სასურველი რიცხვი ნაკლებია, როგორც 39-ის შემთხვევაში, მაშინ მოქმედების შესრულებისას მნიშვნელობა უნდა გამოკლდეს კვადრატს. ვივარჯიშოთ კალკულატორის გამოყენების გარეშე:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

როგორც ხედავთ, ყველა შემთხვევაში პასუხები ერთნაირია. უფრო მეტიც, ეს ტექნიკა გამოიყენება ნებისმიერ მიმდებარე მნიშვნელობებზე. Მაგალითად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამასთან, საერთოდ არ გვჭირდება ჯამისა და სხვაობის კვადრატების გამოთვლების დამახსოვრება და კალკულატორის გამოყენება. სამუშაოს სიჩქარე დიდებას არ აღემატება. ამიტომ დაიმახსოვრეთ, ივარჯიშეთ და გამოიყენეთ პრაქტიკაში.

საკვანძო პუნქტები

ამ ტექნიკის გამოყენებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაამრავლოთ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი 10-დან 100-მდე. უფრო მეტიც, ყველა გამოთვლა ხდება სიტყვიერად, კალკულატორის და თუნდაც ქაღალდის გარეშე!

პირველ რიგში, დაიმახსოვრეთ მნიშვნელობების კვადრატები, რომლებიც ამრავლებენ 10-ს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორ დავთვალოთ კიდევ უფრო სწრაფად

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! ამ გამონათქვამების გამოყენებით, შეგიძლიათ მყისიერად გააკეთოთ რიცხვების კვადრატი, რომლებიც „მიმდებარედ“ არიან საცნობარო რიცხვებთან. მაგალითად, ჩვენ ვიცით 152 (საცნობარო მნიშვნელობა), მაგრამ უნდა ვიპოვოთ 142 (მიმდებარე რიცხვი, რომელიც ერთით ნაკლებია მითითებაზე). Მოდი დავწეროთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\ბოლო (გასწორება)\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: არა მისტიკა! რიცხვების კვადრატები, რომლებიც განსხვავდებიან 1-ით, ნამდვილად მიიღება საცნობარო რიცხვების საკუთარ თავზე გამრავლებით ორი მნიშვნელობის გამოკლებით ან მიმატებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\ბოლო (გასწორება)\]

რატომ ხდება ეს? მოდით ჩამოვწეროთ ჯამის (და სხვაობის) კვადრატის ფორმულა. მოდით $n$ იყოს ჩვენი საცნობარო მნიშვნელობა. შემდეგ ისინი ითვლიან ასე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\ბოლო(გასწორება)\]

- ეს არის ფორმულა.

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\ბოლო(გასწორება)\]

- მსგავსი ფორმულა 1-ზე მეტი რიცხვებისთვის.

ვიმედოვნებ, რომ ეს ტექნიკა დაზოგავს თქვენს დროს მათემატიკაში ყველა მნიშვნელოვან ტესტსა და გამოცდაზე. და ეს ყველაფერი ჩემთვის. Გნახავ!

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების შესწავლა: ჯამის კვადრატი და ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატი; ორი გამონათქვამის კვადრატების განსხვავება; ჯამის კუბი და ორი გამონათქვამის სხვაობის კუბი; ორი გამონათქვამის კუბების ჯამები და განსხვავებები.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.

გამონათქვამების გასამარტივებლად, მრავალწევრების ფაქტორიზაციისთვის და მრავალწევრების სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად გამოიყენება გამრავლების შემოკლებული ფორმულები. გამრავლების შემოკლებული ფორმულები, რომლებიც ზეპირად უნდა იცოდეთ.

მოდით a, b R. შემდეგ:

1. ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატი არისპირველი გამოხატვის კვადრატს პლუს ორჯერ პირველი გამონათქვამის ნამრავლი და მეორეს პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. ორი გამონათქვამის განსხვავების კვადრატი არისპირველი გამოხატვის კვადრატს გამოკლებული ორჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი და მეორეს პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. კვადრატების განსხვავებაორი გამონათქვამი ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლისა და მათი ჯამის.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. ჯამის კუბიორი გამონათქვამის ტოლია პირველი გამოსახულების კუბის პლუს სამჯერ პირველი გამოსახულების კვადრატი გამრავლებული მეორეზე პლუს სამჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი გამრავლებული მეორის კვადრატზე პლუს მეორე გამოსახულების კუბი.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. განსხვავება კუბიორი გამოსახულების ტოლია პირველი გამოსახულების კუბი მინუს სამჯერ პირველი გამოსახულების კვადრატის ნამრავლი და მეორე პლუს სამჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი და მეორის კვადრატი გამოკლებული მეორე გამოსახულების კუბი.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. კუბურების ჯამიორი გამონათქვამი უდრის პირველი და მეორე გამონათქვამების ჯამის ნამრავლს ამ გამონათქვამების სხვაობის არასრული კვადრატით.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. კუბურების განსხვავებაორი გამონათქვამის ტოლია პირველი და მეორე გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლი ამ გამონათქვამების ჯამის არასრული კვადრატით.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ

ა) ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით გვაქვს

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ბ) ორი გამონათქვამის კვადრატული სხვაობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

მაგალითი 2

გამოთვალეთ

ორი გამონათქვამის კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

მაგალითი 3

გამოხატვის გამარტივება

(x - y) 2 + (x + y) 2

ვიყენებთ ჯამის კვადრატისა და ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატის ფორმულებს

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები ერთ ცხრილში:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)