ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

პრიზმის მოცულობა. Პრობლემის გადაჭრა

გეომეტრია არის ყველაზე ძლიერი ინსტრუმენტი ჩვენი გონებრივი შესაძლებლობების დახვეწისთვის და საშუალებას გვაძლევს ვიფიქროთ და ვიმსჯელოთ სწორად.

გ.გალილეო

გაკვეთილის მიზანი:

• პრიზმების მოცულობის გამოსათვლელად ამოცანების ამოხსნის სწავლება, პრიზმების და მისი ელემენტების შესახებ არსებული ინფორმაციის შეჯამება და სისტემატიზაცია, გაზრდილი სირთულის ამოცანების ამოხსნის უნარის ჩამოყალიბება;
• განუვითარდებათ ლოგიკური აზროვნება, დამოუკიდებლად მუშაობის უნარი, ურთიერთკონტროლისა და თვითკონტროლის უნარები, ლაპარაკის და მოსმენის უნარი;
• განუვითარდებათ მუდმივი დასაქმების, რაიმე სასარგებლო საქმის ჩვევა, პასუხისმგებლობის აღზრდა, შრომისმოყვარეობა, სიზუსტე.

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების გამოყენებაში.

აღჭურვილობა: საკონტროლო ბარათები, მედია პროექტორი, პრეზენტაცია „გაკვეთილი. პრიზმის მოცულობა“, კომპიუტერები.

გაკვეთილების დროს

• პრიზმის გვერდითი ნეკნები (სურ. 2).
• პრიზმის გვერდითი ზედაპირი (სურათი 2, სურათი 5).
• პრიზმის სიმაღლე (სურათი 3, სურათი 4).
• პირდაპირი პრიზმა (სურ. 2,3,4).
• დახრილი პრიზმა (სურათი 5).
• სწორი პრიზმა (ნახ. 2, სურ. 3).
• პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი (ნახ. 2).
• პრიზმის დიაგონალი (სურათი 2).
• პრიზმის პერპენდიკულარული მონაკვეთი (pi3, fig4).
• პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.
• პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.
• პრიზმის მოცულობა.

1. საშინაო დავალების შემოწმება (8 წთ)

გაცვალეთ რვეულები, შეამოწმეთ გამოსავალი სლაიდებზე და მონიშნეთ ნიშანი (მონიშნეთ 10, თუ დავალება შედგენილია)

დახაზეთ პრობლემა და მოაგვარეთ იგი. მოსწავლე იცავს დაფაზე შედგენილ პრობლემას. სურათი 6 და სურათი 7.





თავი 2, §3
დავალება.2. რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ყველა კიდეების სიგრძე ერთმანეთის ტოლია. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა, თუ მისი ზედაპირის ფართობია სმ 2 (ნახ. 8)



თავი 2, §3
დავალება 5. ABCA 1B 1C1 სწორი პრიზმის ფუძე არის მართკუთხა სამკუთხედი ABC (კუთხე ABC=90°), AB=4სმ. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა, თუ შემოხაზული სამკუთხედის ABC რადიუსია 2,5 სმ, ხოლო პრიზმის სიმაღლე 10 სმ. (სურათი 9).



თავი 2, § 3
ამოცანა 29. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდის სიგრძე 3სმ. პრიზმის დიაგონალი ქმნის 30°-იან კუთხეს გვერდითი სახის სიბრტყესთან. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა (სურათი 10).



2. მასწავლებლის ერთობლივი მუშაობა კლასთან (2-3 წთ.).

მიზანი: თეორიული გახურების შედეგების შეჯამება (მოსწავლეები ერთმანეთს აძლევენ ნიშნებს), ისწავლონ როგორ გადაჭრას პრობლემები თემაზე.

3. PHYSICAL MINUTE (3 წთ)
4. პრობლემის გადაჭრა (10 წთ)

ამ ეტაპზე მასწავლებელი აწყობს ფრონტალურ მუშაობას პლანიმეტრიული ამოცანების ამოხსნის მეთოდების, პლანიმეტრიის ფორმულების გამეორებაზე. კლასი იყოფა ორ ჯგუფად, ზოგი წყვეტს პრობლემებს, ზოგი მუშაობს კომპიუტერთან. მერე იცვლებიან. მოსწავლეები მოწვეულნი არიან ამოხსნან ყველა No8 (ზეპირად), No9 (ზეპირად). მას შემდეგ, რაც ისინი დაიყოფიან ჯგუფებად და არღვევენ No14, No30, No32 პრობლემების გადასაჭრელად.

თავი 2, §3, გვერდი 66-67

ამოცანა 8. რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ყველა კიდე ერთმანეთის ტოლია. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა, თუ ქვედა ფუძის კიდეზე და ზედა ფუძის მხარის შუაზე გამავალი სიბრტყის განივი კვეთის ფართობი არის სმ (ნახ. 11).



თავი 2, §3, გვერდი 66-67
ამოცანა 9. სწორი პრიზმის ფუძე არის კვადრატი, ხოლო მისი გვერდითი კიდეები ორჯერ აღემატება ფუძის მხარეს. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა, თუ პრიზმის მონაკვეთთან შემოხაზული წრის რადიუსი ფუძის მხარეს და მოპირდაპირე გვერდითი კიდის შუაზე გამავალი სიბრტყით ტოლია (სურ. 12)



თავი 2, §3, გვერდი 66-67
დავალება 14.სწორი პრიზმის ფუძე არის რომბი, რომლის ერთ-ერთი დიაგონალი მისი გვერდის ტოლია. გამოთვალეთ მონაკვეთის პერიმეტრი ქვედა ფუძის დიდ დიაგონალზე გამავალი სიბრტყით, თუ პრიზმის მოცულობა ტოლია და ყველა გვერდითი მხარე კვადრატულია (სურ. 13).



თავი 2, §3, გვერდი 66-67
პრობლემა 30.ABCA 1 B 1 C 1 არის რეგულარული სამკუთხა პრიზმა, რომლის ყველა კიდე ერთმანეთის ტოლია, წერტილი კიდის შუაზე BB 1. გამოთვალეთ AOS სიბრტყით პრიზმის მონაკვეთში ჩაწერილი წრის რადიუსი, თუ პრიზმის მოცულობა ტოლია (სურ. 14).



თავი 2, §3, გვერდი 66-67
პრობლემა 32რეგულარულ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძეების ფართობების ჯამი ტოლია გვერდითი ზედაპირის ფართობის. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა, თუ პრიზმის მონაკვეთთან შემოხაზული წრის დიამეტრი ქვედა ფუძის ორ წვეროზე და ზედა ფუძის მოპირდაპირე წვეროზე გამავალი სიბრტყით არის 6 სმ (სურ. 15).



ამოცანების ამოხსნისას მოსწავლეები ადარებენ პასუხებს მასწავლებლის მიერ ნანახ პასუხებს. ეს არის დეტალური კომენტარებით პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ... მასწავლებლის ინდივიდუალური მუშაობა „ძლიერ“ მოსწავლეებთან (10 წთ.).

5. სტუდენტების დამოუკიდებელი მუშაობა ტესტზე კომპიუტერზე

1. რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი არის , ხოლო სიმაღლე 5. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. აირჩიეთ სწორი განცხადება.

1) მართი პრიზმის მოცულობა, რომლის ფუძე მართკუთხა სამკუთხედია, უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს.

2) რეგულარული სამკუთხა პრიზმის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V \u003d 0.25a 2 სთ - სადაც a არის ფუძის მხარე, h არის პრიზმის სიმაღლე.

3) სწორი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლის ნახევარს.

4) რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V \u003d a 2 h-სადაც a არის ფუძის მხარე, h არის პრიზმის სიმაღლე.

5) რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V \u003d 1.5a 2 სთ, სადაც a არის ფუძის მხარე, h არის პრიზმის სიმაღლე.

3. რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი ტოლია. ქვედა ფუძის გვერდითა და ზედა ფუძის მოპირდაპირე ზევით, რომელიც 45°-იანი კუთხით გადის ფუძისკენ, სიბრტყე იხაზება. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. სწორი პრიზმის ფუძე არის რომბი, რომლის გვერდი არის 13, ხოლო ერთ-ერთი დიაგონალი 24. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა, თუ გვერდითი სახის დიაგონალი არის 14.

მყარი გეომეტრიის კურსის სასკოლო სასწავლო გეგმაში სამგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლა ჩვეულებრივ იწყება მარტივი გეომეტრიული სხეულით - პრიზმული პოლიედრონით. მისი ფუძეების როლს ასრულებს 2 თანაბარი მრავალკუთხედი, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში. განსაკუთრებული შემთხვევაა რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა. მისი ფუძეები არის 2 იდენტური რეგულარული ოთხკუთხედი, რომლებზეც გვერდები პერპენდიკულარულია, პარალელოგრამების (ან მართკუთხედების თუ პრიზმის დახრილობის გარეშე) ფორმის მქონე.

რას ჰგავს პრიზმა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეებზე არის 2 კვადრატი, ხოლო გვერდითი სახეები წარმოდგენილია ოთხკუთხედებით. ამ გეომეტრიული ფიგურის კიდევ ერთი სახელია სწორი პარალელეპიპედი.

ფიგურა, რომელიც ასახავს ოთხკუთხა პრიზმას, ნაჩვენებია ქვემოთ.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ სურათზე ყველაზე მნიშვნელოვანი ელემენტები, რომლებიც ქმნიან გეომეტრიულ სხეულს. მათ ჩვეულებრივ მოიხსენიებენ, როგორც:

ზოგჯერ გეომეტრიის პრობლემებში შეგიძლიათ იპოვოთ მონაკვეთის კონცეფცია. განმარტება ასე ჟღერს: მონაკვეთი არის მოცულობითი სხეულის ყველა წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ჭრის სიბრტყეს. მონაკვეთი პერპენდიკულარულია (ფიგურის კიდეებს კვეთს 90 გრადუსიანი კუთხით). მართკუთხა პრიზმისთვის ასევე განიხილება დიაგონალური მონაკვეთი (სექციების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც შეიძლება აშენდეს არის 2), რომელიც გადის 2 კიდეზე და ფუძის დიაგონალებზე.

თუ მონაკვეთი ისეა დახატული, რომ ჭრის სიბრტყე არ იყოს პარალელურად არც ფუძეებთან და არც გვერდითი გვერდებთან, შედეგი არის შეკვეცილი პრიზმა.

შემცირებული პრიზმული ელემენტების საპოვნელად გამოიყენება სხვადასხვა კოეფიციენტები და ფორმულები. ზოგიერთი მათგანი ცნობილია პლანიმეტრიის კურსიდან (მაგალითად, პრიზმის ფუძის ფართობის საპოვნელად, საკმარისია გავიხსენოთ კვადრატის ფართობის ფორმულა).

ზედაპირის ფართობი და მოცულობა

ფორმულის გამოყენებით პრიზმის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი:

V = Sprim h

ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი გვერდით ა,თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ფორმულა უფრო დეტალური ფორმით:

V = a² სთ

თუ ვსაუბრობთ კუბზე - ჩვეულებრივ პრიზმაზე თანაბარი სიგრძით, სიგანე და სიმაღლე, მოცულობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა იპოვოთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ მისი გადახვევა.

ნახატიდან ჩანს, რომ გვერდითი ზედაპირი შედგება 4 თანაბარი ოთხკუთხედისგან. მისი ფართობი გამოითვლება ფუძის პერიმეტრისა და ფიგურის სიმაღლის ნამრავლით:

Sside = Pos h

ვინაიდან კვადრატის პერიმეტრი არის P = 4a,ფორმულა იღებს ფორმას:

გვერდი = 4ა სთ

კუბისთვის:

გვერდი = 4a²

პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, დაამატეთ 2 ბაზის ფართობი გვერდით ფართობზე:

Sfull = Side + 2Sbase

როგორც ოთხკუთხა რეგულარულ პრიზმაზე გამოიყენება, ფორმულას აქვს ფორმა:

სავსე = 4a h + 2a²

კუბის ზედაპირის ფართობისთვის:

სავსე = 6a²

მოცულობის ან ზედაპირის ფართობის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გეომეტრიული სხეულის ცალკეული ელემენტები.

პრიზმის ელემენტების მოძიება

ხშირად არის პრობლემები, რომლებშიც მოცემულია მოცულობა ან ცნობილია გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა, სადაც აუცილებელია ფუძის მხარის სიგრძის ან სიმაღლის დადგენა. ასეთ შემთხვევებში, ფორმულები შეიძლება გამოვიდეს:

• ბაზის მხარის სიგრძე: a = გვერდითი / 4სთ = √(V / სთ);
• სიმაღლე ან გვერდითი ნეკნის სიგრძე: h = გვერდი / 4a = V / a²;
• ბაზის ფართობი: სპრიმი = V / სთ;
• გვერდითი სახის ფართობი: მხარე გრ = გვერდი / 4.

იმის დასადგენად, თუ რამდენი ფართობი აქვს დიაგონალურ მონაკვეთს, უნდა იცოდეთ დიაგონალის სიგრძე და ფიგურის სიმაღლე. კვადრატისთვის d = a√2.ამიტომ:

Sdiag = ah√2

პრიზმის დიაგონალის გამოსათვლელად გამოიყენება ფორმულა:

dპრიზი = √(2a² + h²)

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული კოეფიციენტები, შეგიძლიათ ივარჯიშოთ და გადაჭრათ რამდენიმე მარტივი ამოცანა.

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

აქ არის რამდენიმე დავალება, რომელიც ჩნდება მათემატიკაში სახელმწიფო ფინალურ გამოცდებზე.

სავარჯიშო 1.

ქვიშა შეედინება ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პრიზმის ფორმის ყუთში. მისი დონის სიმაღლეა 10 სმ. როგორი იქნება ქვიშა, თუ მას იმავე ფორმის, მაგრამ ძირის სიგრძით 2-ჯერ მეტი ჭურჭელში გადაიტანთ?

ამის მტკიცება შემდეგნაირად უნდა მოხდეს. პირველ და მეორე კონტეინერებში ქვიშის რაოდენობა არ შეცვლილა, ანუ მისი მოცულობა მათში იგივეა. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ბაზის სიგრძე როგორც ა. ამ შემთხვევაში, პირველი ყუთისთვის, ნივთიერების მოცულობა იქნება:

V1 = ha² = 10a²

მეორე ყუთისთვის, ბაზის სიგრძეა 2ა, მაგრამ ქვიშის დონის სიმაღლე უცნობია:

V₂ = h(2a)² = 4ჰა²

Იმდენად, რამდენადაც V1 = V2, გამონათქვამები შეიძლება გაიგივდეს:

10a² = 4ჰა²

განტოლების ორივე მხარის a²-ით შემცირების შემდეგ მივიღებთ:

შედეგად, ახალი ქვიშის დონე იქნება სთ = 10 / 4 = 2,5სმ.

დავალება 2.

ABCDA1B1C1D1 არის რეგულარული პრიზმა. ცნობილია, რომ BD = AB₁ = 6√2. იპოვნეთ სხეულის მთლიანი ზედაპირი.

იმისათვის, რომ გაიგოთ, რომელი ელემენტებია ცნობილი, შეგიძლიათ დახაზოთ ფიგურა.

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ რეგულარულ პრიზმაზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფუძე არის კვადრატი, რომლის დიაგონალია 6√2. გვერდითი სახის დიაგონალს აქვს იგივე მნიშვნელობა, შესაბამისად, გვერდით სახეს ასევე აქვს კვადრატის ფორმა, რომელიც ტოლია ფუძისა. გამოდის, რომ სამივე განზომილება - სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე - თანაბარია. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ABCDA1B1C1D1 არის კუბი.

ნებისმიერი კიდის სიგრძე განისაზღვრება ცნობილი დიაგონალის საშუალებით:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გვხვდება კუბის ფორმულით:

სავსე = 6a² = 6 6² = 216

დავალება 3.

ოთახის რემონტი მიმდინარეობს. ცნობილია, რომ მის იატაკს აქვს კვადრატის ფორმა 9 მ² ფართობით. ოთახის სიმაღლეა 2,5 მ. რა ღირს ოთახის შპალერების დახატვა, თუ 1 მ² ღირს 50 მანეთი?

ვინაიდან იატაკი და ჭერი არის კვადრატები, ანუ რეგულარული ოთხკუთხედები, ხოლო მისი კედლები ჰორიზონტალური ზედაპირების პერპენდიკულარულია, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის რეგულარული პრიზმა. აუცილებელია განისაზღვროს მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ოთახის სიგრძე არის a = √9 = 3მ.

მოედანი შპალერით დაიფარება გვერდი = 4 3 2.5 = 30 მ².

ამ ოთახისთვის ფონის ყველაზე დაბალი ღირებულება იქნება 50 30 = 1500რუბლი.

ამრიგად, მართკუთხა პრიზმისთვის ამოცანების გადასაჭრელად საკმარისია კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობისა და პერიმეტრის გამოთვლა, აგრეთვე მოცულობისა და ზედაპირის ფართობის პოვნის ფორმულების ცოდნა.

როგორ მოვძებნოთ კუბის ფართობი

რა არის პრიზმის მოცულობა და როგორ ვიპოვოთ იგი

პრიზმის მოცულობა არის მისი ფუძის ფართობის ნამრავლი მის სიმაღლეზე.

თუმცა, ჩვენ ვიცით, რომ პრიზმის ფუძეს შეიძლება ჰქონდეს სამკუთხედი, კვადრატი ან სხვა პოლიედონი.

ამიტომ, პრიზმის მოცულობის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა გამოთვალოთ პრიზმის ფუძის ფართობი და შემდეგ გავამრავლოთ ეს ფართობი მის სიმაღლეზე.

ანუ, თუ პრიზმის ძირში არის სამკუთხედი, მაშინ ჯერ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი. თუ პრიზმის საფუძველი არის კვადრატი ან სხვა მრავალკუთხედი, მაშინ ჯერ უნდა იპოვოთ კვადრატის ან სხვა მრავალკუთხედის ფართობი.

უნდა გვახსოვდეს, რომ პრიზმის სიმაღლე არის პერპენდიკულარული პრიზმის ფუძეების მიმართ.

რა არის პრიზმა

ახლა გავიხსენოთ პრიზმის განმარტება.

პრიზმა არის მრავალკუთხედი, რომლის ორი სახე (ფუძე) პარალელურ სიბრტყეშია, ხოლო ამ სახეების გარეთ ყველა კიდე პარალელურია.

მარტივად რომ ვთქვათ, მაშინ:

პრიზმა არის ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს ორი თანაბარი ფუძე და ბრტყელი სახე.

პრიზმის სახელწოდება დამოკიდებულია მისი ფუძის ფორმაზე. როდესაც პრიზმის ფუძე სამკუთხედია, მაშინ ასეთ პრიზმას სამკუთხედი ეწოდება. მრავალწახნაგოვანი პრიზმა არის გეომეტრიული ფიგურა, რომლის ფუძე არის პოლიედონი. პრიზმა ასევე ერთგვარი ცილინდრია.

როგორია პრიზმების ტიპები

თუ გადავხედავთ ზემოთ მოცემულ ფიგურას, დავინახავთ, რომ პრიზები სწორი, რეგულარული და ირიბია.

ვარჯიში

1. რა არის სწორი პრიზმა?
2. რატომ ჰქვია ასე?
3. რა ჰქვია პრიზმას, რომლის ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია?
4. რა არის ამ ფიგურის სიმაღლე?
5. რა ჰქვია პრიზმას, რომლის კიდეები პერპენდიკულარული არ არის?
6. განსაზღვრეთ სამკუთხა პრიზმა.
7. შეიძლება პრიზმა იყოს პარალელეპიპედი?
8. რომელ გეომეტრიულ ფიგურას ეწოდება ნახევრადწესიერი მრავალკუთხედი?

რა ელემენტებისაგან შედგება პრიზმა?

პრიზმა შედგება ისეთი ელემენტებისაგან, როგორიცაა ქვედა და ზედა ბაზა, გვერდითი სახეები, კიდეები და წვეროები.

პრიზმის ორივე ფუძე სიბრტყეში დევს და ერთმანეთის პარალელურია.
პირამიდის გვერდითი მხარეები პარალელოგრამებია.
პირამიდის გვერდითი ზედაპირი არის გვერდითი სახეების ჯამი.
გვერდითი სახეების საერთო მხარეები სხვა არაფერია, თუ არა ამ ფიგურის გვერდითი კიდეები.
პირამიდის სიმაღლე არის ფუძეების სიბრტყეების დამაკავშირებელი სეგმენტი და მათზე პერპენდიკულარულია.

პრიზმის თვისებები

გეომეტრიულ ფიგურას, ისევე როგორც პრიზმას, აქვს მრავალი თვისება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ თვისებებს:

ჯერ ერთი, პრიზმის ფუძეებს ტოლი მრავალკუთხედები ეწოდება;
მეორეც, პრიზმის გვერდითი სახეები წარმოდგენილია პარალელოგრამის სახით;
მესამე, ამ გეომეტრიულ ფიგურას აქვს პარალელური და თანაბარი კიდეები;
მეოთხე, პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობია:

ახლა კი განიხილეთ თეორემა, რომელიც იძლევა ფორმულას, რომლითაც გამოვთვალოთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი და მტკიცებულება.

ოდესმე გიფიქრიათ ასეთ საინტერესო ფაქტზე, რომ პრიზმა შეიძლება იყოს არა მხოლოდ გეომეტრიული სხეული, არამედ ჩვენს გარშემო არსებული სხვა ობიექტებიც. ჩვეულებრივი ფიფქიც კი, ტემპერატურული რეჟიმიდან გამომდინარე, შეიძლება იქცეს ყინულის პრიზმად, ექვსკუთხა ფიგურის სახით.

მაგრამ კალციტის კრისტალებს აქვთ ისეთი უნიკალური ფენომენი, რომ იშლება ფრაგმენტებად და პარალელეპიპედის ფორმას იღებს. და რაც ყველაზე გასაკვირია, რაც არ უნდა პატარა იყოს კალციტის კრისტალები დამსხვრეული, შედეგი ყოველთვის იგივეა, ისინი პაწაწინა პარალელეპიპედებად იქცევიან.

ირკვევა, რომ პრიზმამ პოპულარობა მოიპოვა არა მხოლოდ მათემატიკაში, აჩვენა მისი გეომეტრიული სხეული, არამედ ხელოვნების სფეროშიც, რადგან ის არის ისეთი დიდი მხატვრების მიერ შექმნილი ნახატების საფუძველი, როგორებიც არიან პ. პიკასო, ბრაკი, გრისი და სხვები.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

ჩვეულებრივ სამკუთხა პრიზმაში ABCA_1B_1C_1, ფუძის გვერდები არის 4, ხოლო გვერდითი კიდეები 10. იპოვეთ პრიზმის მონაკვეთის ფართობი სიბრტყით, რომელიც გადის AB, AC, A_1B_1 და A_1C_1 კიდეების შუა წერტილებში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა.

სეგმენტი MN არის A_1B_1C_1 სამკუთხედის შუა ხაზი, ასე რომ MN = \frac12 B_1C_1=2.ანალოგიურად, KL=\frac12BC=2.გარდა ამისა, MK = NL = 10. ეს ნიშნავს, რომ ოთხკუთხედი MNLK არის პარალელოგრამი. ვინაიდან MK\პარალელური AA_1, შემდეგ MK\perp ABC და MK\perp KL. ამრიგად, ოთხკუთხედი MNLK არის მართკუთხედი. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

უპასუხე

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ABCDA_1B_1C_1D_1 მოცულობა არის 24. წერტილი K არის CC_1 კიდის შუა. იპოვეთ პირამიდის KBCD მოცულობა.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

პირობის მიხედვით, KC არის KBCD პირამიდის სიმაღლე. CC_1 არის ABCDA_1B_1C_1D_1 პრიზმის სიმაღლე.

ვინაიდან K არის CC_1-ის შუა წერტილი, მაშინ KC=\frac12CC_1.მოდით CC_1=H, მაშინ KC=\frac12H. გაითვალისწინეთ ისიც S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).შემდეგ, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).აქედან გამომდინარე, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

იპოვეთ რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდია 6 და სიმაღლე 8.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გვხვდება ფორმულით S გვერდით. = P მთავარი. · h = 6a\cdot h, სადაც P მთავარი. და h არის, შესაბამისად, ფუძის პერიმეტრი და პრიზმის სიმაღლე, 8-ის ტოლი და a არის რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდი, უდრის 6-ს. ამიტომ, S მხარე. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

წყალი შეედინება ჩვეულებრივი სამკუთხა პრიზმის ფორმის ჭურჭელში. წყლის დონე 40 სმ-ს აღწევს, რა სიმაღლეზე იქნება წყლის დონე, თუ მას ჩაასხამენ იმავე ფორმის სხვა ჭურჭელში, რომლის ფუძის მხარე ორჯერ აღემატება პირველს? გამოხატეთ თქვენი პასუხი სანტიმეტრებში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით a იყოს პირველი ჭურჭლის ფუძის მხარე, შემდეგ 2 a არის მეორე ჭურჭლის ფუძის მხარე. პირობით, V სითხის მოცულობა პირველ და მეორე ჭურჭელში ერთნაირია. H-ით აღნიშნეთ ის დონე, რომლითაც ავიდა სითხე მეორე ჭურჭელში. მერე V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,და, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.აქედან \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4სთ, H=10.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმაში ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 ყველა კიდე არის 2 . იპოვეთ მანძილი A და E_1 წერტილებს შორის.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

სამკუთხედი AEE_1 მართკუთხაა, რადგან კიდე EE_1 პერპენდიკულარულია პრიზმის ფუძის სიბრტყის მიმართ, კუთხე AEE_1 იქნება მართი კუთხე.

შემდეგ პითაგორას თეორემით AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. იპოვეთ AE სამკუთხედიდან AFE კოსინუსების თეორემის გამოყენებით. რეგულარული ექვსკუთხედის თითოეული შიდა კუთხე არის 120^(\circ). მერე AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\მარცხნივ (-\frac12 \მარჯვნივ).

აქედან გამომდინარე, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: პრიზმა

მდგომარეობა

იპოვეთ სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძეა რომბი დიაგონალებით ტოლი 4\sqrt5და 8 და გვერდითი კიდე 5-ის ტოლი.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გვხვდება ფორმულით S გვერდით. = P მთავარი. · h = 4a\cdot h, სადაც P მთავარი. და h, შესაბამისად, ფუძის პერიმეტრი და პრიზმის სიმაღლე 5-ის ტოლია და a არის რომბის მხარე. ვიპოვოთ რომბის გვერდი, გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ რომბის ABCD დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულურია და გადაკვეთის წერტილი გაყოფილია ნახევრად.