ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ როგორ კუთხისა და რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება ტრიგონომეტრიაში. აქ ვისაუბრებთ აღნიშვნებაზე, მოვიყვანთ ჩანაწერების მაგალითებს, მოვიყვანთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. დასასრულს, ჩვენ ვავლით პარალელს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს შორის ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტება

მივყვეთ როგორ ყალიბდება სასკოლო მათემატიკის კურსში სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ცნება. გეომეტრიის გაკვეთილებზე მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება. მოგვიანებით კი შესწავლილია ტრიგონომეტრია, რომელიც ეხება ბრუნვის კუთხისა და რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. ჩვენ ვაძლევთ ყველა ამ განმარტებას, ვაძლევთ მაგალითებს და ვაძლევთ საჭირო კომენტარებს.

მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში

გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები. ისინი მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობით. წარმოგიდგენთ მათ ფორმულირებებს.

განმარტება.

მახვილი კუთხის სინუსი მართკუთხა სამკუთხედშიარის საპირისპირო ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის კოსინუსიარის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსიარის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელ ფეხთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსიარის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

იქვეა შემოტანილი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღნიშვნაც - შესაბამისად sin, cos, tg და ctg.

მაგალითად, თუ ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი C მართი კუთხით, მაშინ A მწვავე კუთხის სინუსი უდრის BC მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას AB ჰიპოტენუზასთან, ანუ sin∠A=BC/AB.

ეს განმარტებები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მწვავე კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან, აგრეთვე სინუსის, კოსინუსის ცნობილი მნიშვნელობებიდან. ტანგენსი, კოტანგენსი და ერთი გვერდის სიგრძე, იპოვეთ მეორე გვერდის სიგრძე. მაგალითად, თუ ვიცოდით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში AC წვერი არის 3 და ჰიპოტენუზა AB არის 7, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ A მწვავე კუთხის კოსინუსი განმარტებით: cos∠A=AC/AB=3/7.

ბრუნვის კუთხე

ტრიგონომეტრიაში ისინი იწყებენ კუთხის უფრო ფართო თვალიერებას - შემოაქვთ ბრუნვის კუთხის კონცეფცია. ბრუნვის კუთხე, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე, ბრუნის კუთხე გრადუსებში (და რადიანებში) შეიძლება გამოისახოს ნებისმიერი რეალური რიცხვით −∞-დან +∞-მდე.

ამ კუთხით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები აღარ არის მახვილი კუთხე, არამედ თვითნებური სიდიდის კუთხე - ბრუნვის კუთხე. ისინი მოცემულია A 1 წერტილის x და y კოორდინატებით, რომელშიც გადის ეგრეთ წოდებული საწყისი წერტილი A(1, 0) მას შემდეგ, რაც ბრუნავს α კუთხით O წერტილის გარშემო - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი. და ერთეული წრის ცენტრი.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის სინუსიα არის A 1 წერტილის ორდინატი, ანუ sinα=y .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოსინუსიα ეწოდება A 1 წერტილის აბსცისა, ანუ cosα=x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის ტანგენსიα არის A 1 წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან, ანუ tgα=y/x .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსიα არის A 1 წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან, ანუ ctgα=x/y .

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის, ვინაიდან ყოველთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ წერტილის აბსცისა და ორდინატი, რომელიც მიიღება საწყისი წერტილის α კუთხით ბრუნვით. და ტანგენსი და კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული არცერთი კუთხისთვის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული α ისეთი კუთხისთვის, რომლებშიც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი აბსცისით (0, 1) ან (0, −1) , და ეს ხდება 90°+180° k , k∈Z კუთხით. (π /2+π კ რად). მართლაც, ბრუნის ასეთ კუთხით გამოხატვას tgα=y/x აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. რაც შეეხება კოტანგენტს, ის არ არის განსაზღვრული α კუთხეებისთვის, რომლებზეც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი ორდინატით (1, 0) ან (−1, 0), და ეს ეხება 180° k , k კუთხეებს. ∈Z (π k rad).

ასე რომ, სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი ბრუნვის კუთხისთვის, ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), ხოლო კოტანგენსი არის ყველა კუთხისთვის, გარდა 180. ° ·k , k∈Z (π·k რად).

ჩვენთვის უკვე ცნობილი აღნიშვნები ჩნდება განმარტებებში sin, cos, tg და ctg, ისინი ასევე გამოიყენება ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღსანიშნავად (ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნა tan და cot, რომლებიც შეესაბამება ტანგენტს და კოტანგენსი). ასე რომ, 30 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხის სინუსი შეიძლება დაიწეროს, როგორც sin30°, ჩანაწერები tg(−24°17′) და ctgα შეესაბამება ბრუნვის კუთხის ტანგენტს −24 გრადუსი 17 წუთი და კოტანგენსს ბრუნვის კუთხის α. . შეგახსენებთ, რომ კუთხის რადიანის ზომის დაწერისას ხშირად გამოტოვებენ აღნიშვნას „რად“. მაგალითად, სამი პი რადის ბრუნვის კუთხის კოსინუსი ჩვეულებრივ აღინიშნება cos3 π.

ამ აბზაცის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ბრუნვის კუთხის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე საუბრისას ხშირად გამოტოვებულია ფრაზა „ბრუნის კუთხე“ ან სიტყვა „ბრუნვა“. ანუ ფრაზის ნაცვლად „ალფას ბრუნვის კუთხის სინუსი“ ჩვეულებრივ იყენებენ ფრაზას „ალფას კუთხის სინუსი“ ან კიდევ უფრო მოკლე – „ალფას სინუსი“. იგივე ეხება კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

მოდით ასევე ვთქვათ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება 0-დან 90-მდე ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. გრადუსი. ჩვენ ამას დავამტკიცებთ.

ნომრები

განმარტება.

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი t არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს t რადიანებში, შესაბამისად.

მაგალითად, 8 π-ის კოსინუსი, განსაზღვრებით, არის რიცხვი, რომელიც უდრის 8 π rad კუთხის კოსინუსს. ხოლო კუთხის კოსინუსი 8 π rad-ში უდრის ერთს, შესაბამისად, 8 π რიცხვის კოსინუსი უდრის 1-ს.

არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. ის მდგომარეობს იმაში, რომ თითოეულ რეალურ რიცხვს t ენიჭება ერთეული წრის წერტილი, რომელიც ორიენტირებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, ხოლო სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატებით. ამაზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.

ვნახოთ, როგორ დგინდება შესაბამისობა ნამდვილ რიცხვებსა და წრის წერტილებს შორის:

• რიცხვს 0 ენიჭება საწყისი წერტილი A(1, 0);
• დადებითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეულ წრეზე არსებულ წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრეში ამოვალთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით და გავივლით t ​​სიგრძის გზას;
• უარყოფითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრეს ამოვავლებთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის მიმართულებით და გავივლით |t| სიგრძის ბილიკს. .

ახლა გადავიდეთ t რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებზე. დავუშვათ, რომ რიცხვი t შეესაბამება A 1 წრის წერტილს (x, y) (მაგალითად, რიცხვი &pi/2; შეესაბამება A 1 (0, 1) წერტილს).

განმარტება.

რიცხვის სინუსი t არის t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი, ანუ sint=y.

განმარტება.

რიცხვის კოსინუსი t ეწოდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისა, ანუ ღირებულება=x.

განმარტება.

რიცხვის ტანგენტი t არის ორდინატისა და t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისის შეფარდება, ანუ tgt=y/x. სხვა ეკვივალენტურ ფორმულირებაში, t რიცხვის ტანგენსი არის ამ რიცხვის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან, ანუ tgt=sint/cost .

განმარტება.

რიცხვის კოტანგენსი t არის აბსცისის შეფარდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატთან, ანუ ctgt=x/y. კიდევ ერთი ფორმულირება ასეთია: t რიცხვის ტანგენსი არის t რიცხვის კოსინუსის შეფარდება t რიცხვის სინუსთან: ctgt=cost/sint.

აქ ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ახლახან მოცემული განმარტებები ეთანხმება ამ ქვეგანყოფილების დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მართლაც, t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილი ემთხვევა წერტილს, რომელიც მიღებულ იქნა საწყისი წერტილის ბრუნვით t რადიანების კუთხით.

ასევე ღირს ამ პუნქტის გარკვევა. ვთქვათ, გვაქვს sin3 ჩანაწერი. როგორ გავიგოთ არის თუ არა კითხვის ნიშნის ქვეშ 3 რიცხვის სინუსი თუ 3 რადიანის ბრუნვის კუთხის სინუსი? ეს, როგორც წესი, ნათელია კონტექსტიდან, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ალბათ, ამას მნიშვნელობა არ აქვს.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

წინა აბზაცში მოცემული განმარტებების მიხედვით, ყოველი ბრუნვის კუთხე α შეესაბამება sinα-ს კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ისევე როგორც cosα-ს მნიშვნელობას. გარდა ამისა, ბრუნვის ყველა კუთხე, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) შეესაბამება tgα მნიშვნელობებს და გარდა 180° k , k∈Z (π k rad ) არის ctgα-ს მნიშვნელობები. ამიტომ sinα, cosα, tgα და ctgα არის α კუთხის ფუნქციები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის კუთხური არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი არგუმენტის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე. მართლაც, თითოეული რეალური რიცხვი t შეესაბამება sint-ის კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ისევე როგორც ღირებულებას. გარდა ამისა, ყველა რიცხვი, გარდა π/2+π·k, k∈Z შეესაბამება tgt მნიშვნელობებს, ხოლო რიცხვები π·k, k∈Z შეესაბამება ctgt მნიშვნელობებს.

ფუნქციებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა, რომ საქმე გვაქვს კუთხოვანი არგუმენტის ან რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დამოუკიდებელი ცვლადი შეგვიძლია მივიჩნიოთ როგორც კუთხის საზომად (კუთხის არგუმენტი) და როგორც რიცხვითი არგუმენტი.

თუმცა სკოლა ძირითადად სწავლობს რიცხვით ფუნქციებს, ანუ ფუნქციებს, რომელთა არგუმენტები, ისევე როგორც შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები, არის რიცხვები. ამიტომ, თუ ვსაუბრობთ ფუნქციებზე, მაშინ მიზანშეწონილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განვიხილოთ რიცხვითი არგუმენტების ფუნქციებად.

განსაზღვრებების კავშირი გეომეტრიიდან და ტრიგონომეტრიიდან

თუ გავითვალისწინებთ α ბრუნვის კუთხეს 0-დან 90 გრადუსამდე, მაშინ მონაცემები ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტების ტრიგონომეტრიის კონტექსტში სრულად შეესაბამება სინუსის, კოსინუსის განმარტებებს. , მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში, რომლებიც მოცემულია გეომეტრიის კურსში. დავამტკიცოთ ეს.

დახაზეთ ერთეული წრე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy. გაითვალისწინეთ საწყისი წერტილი A(1, 0). მოვატრიალოთ ის α კუთხით, რომელიც მერყეობს 0-დან 90 გრადუსამდე, მივიღებთ წერტილს A 1 (x, y) . მოდით, A 1 H პერპენდიკულარული A 1 წერტილიდან Ox ღერძზე დავტოვოთ.

ადვილი მისახვედრია, რომ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 OH კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, ამ კუთხის მიმდებარე ფეხის OH სიგრძე უდრის A 1 წერტილის აბსცისს, ანუ |OH. |=x, A 1 H კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ |A 1 H|=y და ჰიპოტენუზის OA 1 სიგრძე უდრის ერთს. , ვინაიდან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი. შემდეგ, გეომეტრიის განმარტებით, მართკუთხა სამკუთხედში α მწვავე კუთხის სინუსი A 1 OH უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, ანუ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. ხოლო ტრიგონომეტრიის განმარტებით, α ბრუნვის კუთხის სინუსი უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ sinα=y. ეს გვიჩვენებს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განმარტება უდრის α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებას α 0-დან 90 გრადუსამდე.

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ α მწვავე კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება α ბრუნვის კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს.

ბიბლიოგრაფია.

1. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სწავლობს. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ლ. ს. ატანასიანი, ვ.ფ.ბუტუზოვი, ს.ბ.კადომცევი და სხვები]. - მე-20 გამოცემა. მ.: განათლება, 2010. - 384გვ.: ავად. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. პოგორელოვი A.V.გეომეტრია: პროკ. 7-9 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A.V. Pogorelov. - მე-2 გამოცემა - მ.: განმანათლებლობა, 2001. - 224 გვ.: ილ. - ISBN 5-09-010803-X.
3. ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები: სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მე-9 კლასის მოსწავლეებისთვის / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი O.N. Golovin-ის რედაქტირებულია - 4th ed. მოსკოვი: განათლება, 1969 წ.
4. Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-4 გამოცემა, დაამატეთ. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები /[იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - I .: განათლება, 2010. - 368გვ.: ავადმყოფი - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
9. გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები უდიდეს სირთულეებს უმკლავდებიან, არის ტრიგონომეტრია. გასაკვირი არ არის: იმისათვის, რომ თავისუფლად დაეუფლოთ ცოდნის ამ სფეროს, გჭირდებათ სივრცითი აზროვნება, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, ფორმულების გამოყენებით კოტანგენტების პოვნის უნარი, გამოთვლების გამარტივება და გამოთვლებში რიცხვის pi გამოყენება. გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ტრიგონომეტრიის გამოყენება თეორემების დამტკიცებისას და ეს მოითხოვს ან განვითარებულ მათემატიკური მეხსიერებას ან რთული ლოგიკური ჯაჭვების გამოტანის უნარს.

ტრიგონომეტრიის წარმოშობა

ამ მეცნიერების გაცნობა უნდა დაიწყოს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განსაზღვრით, მაგრამ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რას აკეთებს ზოგადად ტრიგონომეტრია.

ისტორიულად, მართკუთხა სამკუთხედები იყო მათემატიკური მეცნიერების ამ განყოფილების შესწავლის მთავარი ობიექტი. 90 გრადუსიანი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის სხვადასხვა ოპერაციების განხორციელებას, რაც საშუალებას იძლევა განისაზღვროს განხილული ფიგურის ყველა პარამეტრის მნიშვნელობები ორი მხარის და ერთი კუთხის ან ორი კუთხის და ერთი მხარის გამოყენებით. წარსულში ხალხმა შეამჩნია ეს ნიმუში და დაიწყო მისი აქტიურად გამოყენება შენობების მშენებლობაში, ნავიგაციაში, ასტრონომიაში და ხელოვნებაშიც კი.

პირველი ეტაპი

თავდაპირველად, ადამიანები საუბრობდნენ კუთხეების და გვერდების ურთიერთობაზე ექსკლუზიურად მართკუთხა სამკუთხედების მაგალითზე. შემდეგ აღმოაჩინეს სპეციალური ფორმულები, რამაც შესაძლებელი გახადა მათემატიკის ამ მონაკვეთის ყოველდღიურ ცხოვრებაში გამოყენების საზღვრების გაფართოება.

ტრიგონომეტრიის შესწავლა დღეს სკოლაში იწყება მართკუთხა სამკუთხედებით, რის შემდეგაც მიღებულ ცოდნას იყენებენ მოსწავლეები ფიზიკაში და აბსტრაქტული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში, რომელთანაც მუშაობა იწყება საშუალო სკოლაში.

სფერული ტრიგონომეტრია

მოგვიანებით, როდესაც მეცნიერებამ მიაღწია განვითარების შემდეგ საფეხურს, ფორმულები სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის გამოყენებით დაიწყეს სფერულ გეომეტრიაში, სადაც მოქმედებს სხვადასხვა წესები და სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია. ეს განყოფილება სკოლაში არ არის შესწავლილი, მაგრამ აუცილებელია ვიცოდეთ მისი არსებობის შესახებ, თუნდაც იმიტომ, რომ დედამიწის ზედაპირი და ნებისმიერი სხვა პლანეტის ზედაპირი ამოზნექილია, რაც ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ზედაპირის მარკირება იქნება "რკალის ფორმის" სამგანზომილებიანი სივრცე.

აიღეთ გლობუსი და ძაფი. მიამაგრეთ ძაფი დედამიწის ნებისმიერ ორ წერტილზე ისე, რომ ის დაჭიმული იყოს. მიაქციეთ ყურადღება - მან რკალის ფორმა შეიძინა. სწორედ ასეთ ფორმებს ეხება სფერული გეომეტრია, რომელიც გამოიყენება გეოდეზიაში, ასტრონომიაში და სხვა თეორიულ და გამოყენებით დარგებში.

მართკუთხა სამკუთხედი

ცოტა რამ რომ ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გამოყენების გზების შესახებ, დავუბრუნდეთ ძირითად ტრიგონომეტრიას, რათა გავიგოთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, რა გამოთვლები შეიძლება შესრულდეს მათი დახმარებით და რა ფორმულები გამოვიყენოთ.

პირველი ნაბიჯი არის მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული ცნებების გაგება. პირველი, ჰიპოტენუზა არის 90 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარე. ის ყველაზე გრძელია. გვახსოვს, რომ პითაგორას თეორემის მიხედვით, მისი რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამის ფესვს.

მაგალითად, თუ ორი გვერდი 3 და 4 სანტიმეტრია შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 5 სანტიმეტრი. სხვათა შორის, ძველმა ეგვიპტელებმა ამის შესახებ იცოდნენ დაახლოებით ოთხნახევარი ათასი წლის წინ.

დარჩენილ ორ მხარეს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.

განმარტება

და ბოლოს, გეომეტრიული ფუძის მყარი გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია მივმართოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებას.

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (ე.ი. სასურველი კუთხის მოპირდაპირე მხარის) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

გახსოვდეთ, რომ არც სინუსი და არც კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე დიდი! რატომ? რადგან ჰიპოტენუზა ნაგულისხმევად ყველაზე გრძელია, რაც არ უნდა გრძელი იყოს ფეხი, ის უფრო მოკლე იქნება ვიდრე ჰიპოტენუზა, რაც ნიშნავს, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის ერთზე ნაკლები იქნება. ამრიგად, თუ ამოცანის პასუხში მიიღებთ სინუსს ან კოსინუსს 1-ზე მეტი მნიშვნელობით, მოძებნეთ შეცდომა გამოთვლებში ან მსჯელობაში. ეს პასუხი აშკარად არასწორია.

და ბოლოს, კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. იგივე შედეგი იქნება სინუსის გაყოფა კოსინუსზე. ნახეთ: ფორმულის მიხედვით გვერდის სიგრძეს ვყოფთ ჰიპოტენუზაზე, რის შემდეგაც ვყოფთ მეორე მხარის სიგრძეზე და ვამრავლებთ ჰიპოტენუზაზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე თანაფარდობას, როგორც ტანგენტის განმარტებაში.

კოტანგენსი, შესაბამისად, არის კუთხის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს. იგივე შედეგს ვიღებთ ერთეულის ტანგენსზე გაყოფით.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ განმარტებები იმის შესახებ, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი და შეგვიძლია გაუმკლავდეთ ფორმულებს.

უმარტივესი ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში არ შეიძლება ფორმულების გარეშე - როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მათ გარეშე? და ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას.

პირველი ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიის შესწავლისას, ამბობს, რომ კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია. ეს ფორმულა არის პითაგორას თეორემის პირდაპირი შედეგი, მაგრამ ის დაზოგავს დროს, თუ გსურთ იცოდეთ კუთხის მნიშვნელობა და არა გვერდი.

ბევრ მოსწავლეს არ ახსოვს მეორე ფორმულა, რომელიც ასევე ძალიან პოპულარულია სასკოლო ამოცანების ამოხსნისას: ერთისა და კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი ტოლია ერთის გაყოფილი კუთხის კოსინუსზე. დააკვირდით: ბოლოს და ბოლოს, ეს იგივე განცხადებაა, როგორც პირველ ფორმულაში, იდენტურობის მხოლოდ ორივე მხარე იყოფა კოსინუსის კვადრატით. გამოდის, რომ მარტივი მათემატიკური ოპერაცია ტრიგონომეტრიულ ფორმულას სრულიად ამოუცნობს ხდის. გახსოვდეთ: იმის ცოდნა, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, კონვერტაციის წესები და რამდენიმე ძირითადი ფორმულა, შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს დამოუკიდებლად გამოიტანოთ საჭირო უფრო რთული ფორმულები ფურცელზე.

ორმაგი კუთხის ფორმულები და არგუმენტების დამატება

კიდევ ორი ​​ფორმულა, რომელიც უნდა ისწავლოთ, უკავშირდება სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობებს კუთხეების ჯამისთვის და სხვაობისთვის. ისინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. გაითვალისწინეთ, რომ პირველ შემთხვევაში სინუსი და კოსინუსი მრავლდება ორივეჯერ, ხოლო მეორეში ემატება სინუსისა და კოსინუსის წყვილი ნამრავლი.

ასევე არსებობს ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია ორმაგი კუთხის არგუმენტებთან. ისინი მთლიანად მომდინარეობს წინადან - როგორც პრაქტიკა, შეეცადეთ მიიღოთ ისინი თავად, აიღეთ ალფას კუთხე ბეტას კუთხის ტოლი.

და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი კუთხის ფორმულები შეიძლება გარდაიქმნას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ალფას ხარისხის შესამცირებლად.

თეორემები

ძირითადი ტრიგონომეტრიის ორი ძირითადი თეორემაა სინუსების თეორემა და კოსინუსების თეორემა. ამ თეორემების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი და, შესაბამისად, ფიგურის ფართობი და თითოეული მხარის ზომა და ა.შ.

სინუსების თეორემა ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძის მოპირდაპირე კუთხის სიდიდეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ ერთსა და იმავე რიცხვს. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი ტოლი იქნება შემოხაზული წრის ორი რადიუსის, ანუ წრე, რომელიც შეიცავს მოცემული სამკუთხედის ყველა წერტილს.

კოსინუსების თეორემა აზოგადებს პითაგორას თეორემას, აპროექტებს მას ნებისმიერ სამკუთხედზე. გამოდის, რომ ორი გვერდის კვადრატების ჯამიდან გამოვაკლოთ მათი ნამრავლი, გამრავლებული მათ მიმდებარე კუთხის ორმაგ კოსინუსზე - შედეგად მიღებული მნიშვნელობა უდრის მესამე მხარის კვადრატს. ამრიგად, პითაგორას თეორემა აღმოჩნდება კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.

შეცდომები უყურადღებობის გამო

იმის ცოდნაც კი, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ადვილია შეცდომის დაშვება უგუნებობის ან უმარტივესი გამოთვლების შეცდომის გამო. ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გავეცნოთ მათგან ყველაზე პოპულარულს.

პირველი, თქვენ არ უნდა გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად, სანამ საბოლოო შედეგი არ მიიღება - შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი ჩვეულებრივ წილადად, თუ პირობა სხვაგვარად არ არის მითითებული. ასეთ ტრანსფორმაციას შეცდომად არ შეიძლება ეწოდოს, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ამოცანის თითოეულ ეტაპზე შეიძლება გაჩნდეს ახალი ფესვები, რომლებიც, ავტორის იდეით, უნდა შემცირდეს. ამ შემთხვევაში თქვენ დაკარგავთ დროს არასაჭირო მათემატიკურ ოპერაციებზე. ეს განსაკუთრებით ეხება ისეთ მნიშვნელობებს, როგორიცაა სამი ან ორი ფესვი, რადგან ისინი ჩნდება ამოცანებში ყოველ ნაბიჯზე. იგივე ეხება „მახინჯი“ რიცხვების დამრგვალებას.

გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ კოსინუსების თეორემა ვრცელდება ნებისმიერ სამკუთხედზე, მაგრამ არა პითაგორას თეორემაზე! თუ შეცდომით დაგავიწყდათ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამოკლება მათ შორის კუთხის კოსინუსზე გამრავლებული, თქვენ არა მხოლოდ მიიღებთ სრულიად არასწორ შედეგს, არამედ აჩვენებთ საგნის სრულ გაუგებრობას. ეს უყურადღებო შეცდომაზე უარესია.

მესამე, ნუ აურიეთ მნიშვნელობები 30 და 60 გრადუსიანი კუთხისთვის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების. დაიმახსოვრეთ ეს მნიშვნელობები, რადგან 30 გრადუსის სინუსი ტოლია 60-ის კოსინუსს და პირიქით. მათი შერევა მარტივია, რის შედეგადაც აუცილებლად მიიღებთ მცდარ შედეგს.

განაცხადი

ბევრი სტუდენტი არ ჩქარობს ტრიგონომეტრიის შესწავლას, რადგან მათ არ ესმით მისი გამოყენებითი მნიშვნელობა. რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ინჟინრისთვის ან ასტრონომისთვის? ეს არის ცნებები, რომელთა წყალობითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი შორეულ ვარსკვლავებამდე, იწინასწარმეტყველოთ მეტეორიტის დაცემა, გაგზავნოთ კვლევითი ზონდი სხვა პლანეტაზე. მათ გარეშე შეუძლებელია შენობის აშენება, მანქანის დაპროექტება, ზედაპირზე დატვირთვის ან ობიექტის ტრაექტორიის გამოთვლა. და ეს მხოლოდ ყველაზე აშკარა მაგალითებია! ყოველივე ამის შემდეგ, ტრიგონომეტრია ამა თუ იმ ფორმით გამოიყენება ყველგან, მუსიკიდან მედიცინამდე.

ბოლოს და ბოლოს

ასე რომ, თქვენ ხართ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი გამოთვლებში და წარმატებით მოაგვაროთ სკოლის პრობლემები.

ტრიგონომეტრიის მთელი არსი ემყარება იმ ფაქტს, რომ უცნობი პარამეტრები უნდა გამოითვალოს სამკუთხედის ცნობილი პარამეტრებიდან. სულ ექვსი პარამეტრია: სამი გვერდის სიგრძე და სამი კუთხის სიდიდეები. ამოცანების მთელი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ მოცემულია სხვადასხვა შეყვანის მონაცემები.

როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ფეხების ცნობილი სიგრძის ან ჰიპოტენუზის საფუძველზე, თქვენ ახლა იცით. ვინაიდან ეს ტერმინები არაფერს ნიშნავს, თუ არა თანაფარდობა, ხოლო თანაფარდობა არის წილადი, ტრიგონომეტრიული ამოცანის მთავარი მიზანი არის ჩვეულებრივი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის ფესვების პოვნა. აქ კი ჩვეულებრივი სასკოლო მათემატიკა დაგეხმარება.

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და მათ გამოყენებას გეომეტრიაში. ტრიგონომეტრიის განვითარება დაიწყო ძველი საბერძნეთის დღეებში. შუა საუკუნეებში ამ მეცნიერების განვითარებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ახლო აღმოსავლეთისა და ინდოეთის მეცნიერებმა.

ეს სტატია ეძღვნება ტრიგონომეტრიის ძირითად ცნებებსა და განმარტებებს. მასში განხილულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. მათი მნიშვნელობა გეომეტრიის კონტექსტში არის ახსნილი და ილუსტრირებული.

Yandex.RTB R-A-339285-1

თავდაპირველად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები, რომელთა არგუმენტი არის კუთხე, გამოისახებოდა მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდებით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები

კუთხის სინუსი (sin α) არის ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის კოსინუსი (cos α) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის ტანგენსი (t g α) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან.

კუთხის კოტანგენსი (c t g α) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

ეს განმარტებები მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისთვის!

მოდით მივცეთ ილუსტრაცია.

სამკუთხედში ABC მართი კუთხით C, A კუთხის სინუსი უდრის BC ფეხისა და AB ჰიპოტენუზას შეფარდებას.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები შესაძლებელს ხდის ამ ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლას სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!

სინუსის და კოსინუსების მნიშვნელობების დიაპაზონი: -1-დან 1-მდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სინუსი და კოსინუსი იღებენ მნიშვნელობებს -1-დან 1-მდე. ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ანუ ეს ფუნქციებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა.

ზემოთ მოცემული განმარტებები ეხება მახვილ კუთხეებს. ტრიგონომეტრიაში შემოტანილია ბრუნვის კუთხის ცნება, რომლის მნიშვნელობა, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე. ბრუნის კუთხე გრადუსებში ან რადიანებში გამოიხატება ნებისმიერი რეალური რიცხვით - ∞-დან + ∞-მდე.

ამ კონტექსტში შეიძლება განვსაზღვროთ თვითნებური სიდიდის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. წარმოიდგინეთ ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისზე.

საწყისი წერტილი A კოორდინატებით (1, 0) ბრუნავს ერთეული წრის ცენტრის გარშემო α კუთხით და მიდის A 1 წერტილამდე. განმარტება მოცემულია A 1 (x, y) წერტილის კოორდინატების მეშვეობით.

ბრუნვის კუთხის სინუსი (ცოდვა).

α ბრუნვის კუთხის სინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატი. sinα = y

ბრუნვის კუთხის კოსინუსი (cos).

α ბრუნვის კუთხის კოსინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისა. cos α = x

ბრუნვის კუთხის ტანგენტი (ტგ).

α ბრუნვის კუთხის ტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან. t g α = y x

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი (ctg).

α ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან. c t g α = x y

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ბრუნვის ნებისმიერი კუთხისთვის. ეს ლოგიკურია, რადგან ბრუნვის შემდეგ წერტილის აბსცისა და ორდინატი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი კუთხით. განსხვავებული სიტუაციაა ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული, როდესაც წერტილი ბრუნვის შემდეგ მიდის ნულოვანი აბსცისის წერტილამდე (0 , 1) და (0 , - 1). ასეთ შემთხვევებში, t g α = y x ტანგენტის გამოხატვას უბრალოდ აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. ანალოგიური სიტუაციაა კოტანგენტთან დაკავშირებით. განსხვავება ისაა, რომ კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული იმ შემთხვევებში, როდესაც წერტილის ორდინატი ქრება.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის.

ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

კოტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას არ თქვათ „ა ბრუნვის კუთხის სინუსი“. სიტყვები "ბრუნვის კუთხე" უბრალოდ გამოტოვებულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ კონტექსტიდან უკვე ნათელია, რა არის სასწორზე.

ნომრები

რაც შეეხება რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენსს და კოტანგენსს და არა ბრუნვის კუთხეს?

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ტიწოდება რიცხვი, რომელიც შესაბამისად უდრის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს ტრადიანი.

მაგალითად, 10 π-ის სინუსი ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს 10 π rad.

არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. განვიხილოთ უფრო დეტალურად.

ნებისმიერი რეალური რიცხვი ტმართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის სათავეში ცენტრთან შესაბამისობაში მოთავსებულია წერტილი ერთეულ წრეზე. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატების მიხედვით.

წრეზე საწყისი წერტილი არის A წერტილი კოორდინატებით (1, 0).

დადებითი რიცხვი ტ

უარყოფითი რიცხვი ტშეესაბამება იმ წერტილს, რომელზეც ამოძრავდება საწყისი წერტილი, თუ ის მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ წრეზე და გაივლის t გზას.

ახლა, როცა წრეზე რიცხვსა და წერტილს შორის კავშირი დამყარდა, მივდივართ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებაზე.

t რიცხვის სინუსი (ცოდვა).

რიცხვის სინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი ტ. sin t = y

ტ-ის კოსინუსი (cos).

რიცხვის კოსინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსციზა ტ. cos t = x

ტ-ის ტანგენსი (ტგ).

რიცხვის ტანგენტი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატისა და აბსცისის შეფარდება ტ. t g t = y x = sin t cos t

ეს უკანასკნელი განმარტებები შეესაბამება და არ ეწინააღმდეგება ამ ნაწილის დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მიუთითეთ წრეზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს ტ, ემთხვევა იმ წერტილს, სადაც გადის საწყისი წერტილი კუთხის შემობრუნების შემდეგ ტრადიანი.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

α კუთხის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ამ კუთხის სინუსის და კოსინუსის გარკვეულ მნიშვნელობას. ისევე, როგორც α = 90 ° + 180 ° · k ყველა კუთხის გარდა, k ∈ Z (α = π 2 + π · k, k ∈ Z) შეესაბამება ტანგენტის გარკვეულ მნიშვნელობას. კოტანგენსი, როგორც ზემოთ აღინიშნა, განისაზღვრება ყველა α, გარდა α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ sin α , cos α , t g α , c t g α არის კუთხის ალფა ფუნქციები, ან კუთხოვანი არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, შეიძლება ვისაუბროთ სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე, როგორც რიცხვითი არგუმენტის ფუნქციებზე. ყველა რეალური რიცხვი ტშეესაბამება რიცხვის სინუსის ან კოსინუსის სპეციფიკურ მნიშვნელობას ტ. ყველა რიცხვი, გარდა π 2 + π · k , k ∈ Z, შეესაბამება ტანგენსის მნიშვნელობას. კოტანგენსი ანალოგიურად არის განსაზღვრული ყველა რიცხვისთვის, გარდა π · k , k ∈ Z.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფუნქციები

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რომელ არგუმენტთან (კუთხური არგუმენტი თუ რიცხვითი არგუმენტი) გვაქვს საქმე.

დავუბრუნდეთ მონაცემებს განმარტებების დასაწყისშივე და კუთხის ალფა, რომელიც 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონშია. სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ტრიგონომეტრიული განმარტებები სრულ შესაბამისობაშია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდებით მოცემულ გეომეტრიულ განმარტებებთან. ვაჩვენოთ.

აიღეთ ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაზე. ამოვატრიალოთ საწყისი წერტილი A (1, 0) 90 გრადუსამდე კუთხით და მიღებული წერტილიდან A წერტილიდან გავავლოთ 1 (x, y) x ღერძის პერპენდიკულარული. მიღებულ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 O H კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, O H ფეხის სიგრძე უდრის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისს. კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატს, ხოლო ჰიპოტენუზის სიგრძე უდრის ერთს, რადგან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი.

გეომეტრიის განმარტების შესაბამისად, α კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

ეს ნიშნავს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განსაზღვრა ასპექტის თანაფარდობით ექვივალენტურია α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებისა, ალფა დევს 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონში.

ანალოგიურად, განმარტებების შესაბამისობა შეიძლება ნაჩვენები იყოს კოსინუსისთვის, ტანგენსისთვის და კოტანგენსისთვის.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მასწავლებლები თვლიან, რომ ყველა მოსწავლეს უნდა შეეძლოს გამოთვლების განხორციელება, იცოდეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები, მაგრამ ყველა მასწავლებელი არ ხსნის რა არის სინუსი და კოსინუსი. რა არის მათი მნიშვნელობა, სად გამოიყენება? რატომ ვსაუბრობთ სამკუთხედებზე, მაგრამ სახელმძღვანელოში წრეა დახატული? შევეცადოთ ყველა ფაქტი ერთმანეთთან დავაკავშიროთ.

სასკოლო საგანი

ტრიგონომეტრიის შესწავლა ჩვეულებრივ იწყება საშუალო სკოლის მე-7 ან მე-8 კლასში. ამ დროს მოსწავლეებს უხსნიან რა არის სინუსი და კოსინუსი, მათ სთავაზობენ ამ ფუნქციების გამოყენებით გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნას. მოგვიანებით ჩნდება უფრო რთული ფორმულები და გამონათქვამები, რომლებიც უნდა გარდაიქმნას ალგებრული გზით (ორმაგი და ნახევარკუთხის ფორმულები, სიმძლავრის ფუნქციები), მუშაობა ხორციელდება ტრიგონომეტრიული წრით.

თუმცა, მასწავლებლებს ყოველთვის არ შეუძლიათ ნათლად ახსნან გამოყენებული ცნებების მნიშვნელობა და ფორმულების გამოყენებადობა. ამიტომ, მოსწავლე ხშირად ვერ ხედავს აზრს ამ საგანში და დამახსოვრებული ინფორმაცია სწრაფად ავიწყდება. თუმცა, ღირს ერთხელ აუხსნათ საშუალო სკოლის მოსწავლეს, მაგალითად, კავშირი ფუნქციასა და რხევად მოძრაობას შორის და ლოგიკური კავშირი მრავალი წლის განმავლობაში დაამახსოვრდებათ და საგნის უსარგებლობაზე ხუმრობები გახდება საგანი. წარსული.

გამოყენება

ცნობისმოყვარეობისთვის, მოდით გადავხედოთ ფიზიკის სხვადასხვა დარგებს. გსურთ განსაზღვროთ ჭურვის დიაპაზონი? ან ითვლით ხახუნის ძალას ობიექტსა და გარკვეულ ზედაპირს შორის? ქანქარას ქანაობა, მინაზე გამავალი სხივების ყურება, ინდუქციის გამოთვლა? ტრიგონომეტრიული ცნებები ჩნდება თითქმის ნებისმიერ ფორმულაში. რა არის სინუსი და კოსინუსი?

განმარტებები

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა იმავე ჰიპოტენუზასთან. აქ აბსოლუტურად არაფერია რთული. შესაძლოა, სტუდენტები ჩვეულებრივ დაბნეულები არიან იმ მნიშვნელობებით, რომლებსაც ისინი ხედავენ ტრიგონომეტრიულ ცხრილში, რადგან იქ კვადრატული ფესვები ჩნდება. დიახ, მათგან ათობითი წილადების მიღება არც თუ ისე მოსახერხებელია, მაგრამ ვინ თქვა, რომ მათემატიკაში ყველა რიცხვი ლუწი უნდა იყოს?

სინამდვილეში, ტრიგონომეტრიის პრობლემების წიგნებში შეგიძლიათ იპოვოთ სასაცილო მინიშნება: აქ პასუხების უმეტესობა ლუწია და უარეს შემთხვევაში შეიცავს ორი ან სამის ფუძეს. დასკვნა მარტივია: თუ თქვენს პასუხში მიიღეთ „მრავალსართულიანი“ წილადი, გადაამოწმეთ გამოსავალი გამოთვლებში ან მსჯელობაში შეცდომებზე. და თქვენ დიდი ალბათობით იპოვით მათ.

რა უნდა გვახსოვდეს

როგორც ნებისმიერ მეცნიერებაში, ტრიგონომეტრიაშიც არის მონაცემები, რომლებიც უნდა ვისწავლოთ.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა გახსოვდეთ ციფრული მნიშვნელობები 0 და 90 მართკუთხა სამკუთხედის სინუსების, კოსინუსების, ასევე 30, 45 და 60 გრადუსისთვის. ეს ინდიკატორები გვხვდება სკოლის ათიდან ცხრა ამოცანაში. ამ მნიშვნელობების სახელმძღვანელოში ჩახედვით, თქვენ დაკარგავთ დიდ დროს და არსად გექნებათ საკონტროლო ან გამოცდა.

უნდა გვახსოვდეს, რომ ორივე ფუნქციის ღირებულება არ შეიძლება აღემატებოდეს ერთს. თუ სადმე გაანგარიშებისას მიიღებთ მნიშვნელობას 0-1 დიაპაზონის მიღმა, შეჩერდით და კვლავ მოაგვარეთ პრობლემა.

სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი უდრის ერთს. თუ თქვენ უკვე იპოვნეთ ერთ-ერთი მნიშვნელობა, გამოიყენეთ ეს ფორმულა დანარჩენის საპოვნელად.

თეორემები

ძირითადი ტრიგონომეტრიაში ორი ძირითადი თეორემაა: სინუსები და კოსინუსები.

პირველი ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის შეფარდება მოპირდაპირე კუთხის სინუსთან იგივეა. მეორე ის არის, რომ ნებისმიერი გვერდის კვადრატი შეიძლება მივიღოთ დარჩენილი ორი გვერდის კვადრატების დამატებით და მათი ნამრავლის ორჯერ გამოკლებით, გამრავლებული მათ შორის მდებარე კუთხის კოსინუსზე.

ამრიგად, თუ 90 გრადუსიანი კუთხის მნიშვნელობას ჩავანაცვლებთ კოსინუსების თეორემაში, მივიღებთ ... პითაგორას თეორემას. ახლა, თუ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც არ არის მართკუთხა სამკუთხედი, აღარ შეგიძლიათ ინერვიულოთ - განხილული ორი თეორემა მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პრობლემის გადაჭრას.

Მიზნები და ამოცანები

ტრიგონომეტრიის შესწავლა საგრძნობლად გამარტივდება, როდესაც გააცნობიერებთ ერთ მარტივ ფაქტს: ყველა მოქმედება, რომელსაც თქვენ ასრულებთ, მიმართულია ერთი მიზნის მისაღწევად. სამკუთხედის ნებისმიერი პარამეტრის პოვნა შეგიძლიათ, თუ იცით მის შესახებ მინიმალური ინფორმაცია - ეს შეიძლება იყოს ერთი კუთხის მნიშვნელობა და ორი მხარის სიგრძე ან, მაგალითად, სამი გვერდი.

ნებისმიერი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის დასადგენად, ეს მონაცემები საკმარისია; მათი დახმარებით შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი. თითქმის ყოველთვის, ერთ-ერთი ხსენებული მნიშვნელობაა საჭირო პასუხად და შეგიძლიათ იპოვოთ ისინი იმავე ფორმულების გამოყენებით.

შეუსაბამობები ტრიგონომეტრიის შესწავლაში

ერთ-ერთი ბუნდოვანი კითხვა, რომლის თავიდან აცილებასაც სტუდენტები ურჩევნიათ, არის ტრიგონომეტრიაში სხვადასხვა ცნებებს შორის კავშირის აღმოჩენა. როგორც ჩანს, სამკუთხედები გამოიყენება კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების შესასწავლად, მაგრამ რატომღაც სიმბოლოები ხშირად გვხვდება ფიგურაში წრეში. გარდა ამისა, არსებობს სრულიად გაუგებარი ტალღის მსგავსი გრაფიკა, რომელსაც სინუსოიდი ჰქვია, რომელსაც არ აქვს გარეგანი მსგავსება არც წრესთან და არც სამკუთხედებთან.

უფრო მეტიც, კუთხეები იზომება გრადუსებში ან რადიანებში, ხოლო რიცხვი Pi, რომელიც დაწერილია უბრალოდ 3.14 (ერთეულების გარეშე), რატომღაც ჩნდება ფორმულებში, რომელიც შეესაბამება 180 გრადუსს. როგორ არის ეს ყველაფერი დაკავშირებული?

ერთეულები

რატომ არის pi ზუსტად 3.14? გახსოვთ რა არის ეს ღირებულება? ეს არის რადიუსების რიცხვი, რომლებიც ჯდება რკალში ნახევარ წრის. თუ წრის დიამეტრი 2 სანტიმეტრია, გარშემოწერილობა იქნება 3,14 * 2, ან 6,28.

მეორე პუნქტი: ალბათ შეგიმჩნევიათ სიტყვების „რადიანი“ და „რადიუსის“ მსგავსება. ფაქტია, რომ ერთი რადიანი რიცხობრივად უდრის წრის ცენტრიდან ერთი რადიუსის სიგრძის რკალამდე დაყენებული კუთხის მნიშვნელობას.

ახლა ჩვენ ვაერთებთ მიღებულ ცოდნას და გავიგებთ, რატომ წერია "Pi ნახევარში" ტრიგონომეტრიაში კოორდინატთა ღერძის თავზე, ხოლო "Pi" - მარცხნივ. ეს არის კუთხური მნიშვნელობა, რომელიც იზომება რადიანებში, რადგან ნახევარწრე არის 180 გრადუსი, ანუ 3,14 რადიანი. და სადაც არის გრადუსები, არის სინუსები და კოსინუსები. სამკუთხედის დახატვა ადვილია სასურველი წერტილიდან, გადადებს სეგმენტებს ცენტრში და კოორდინატთა ღერძამდე.

შევხედოთ მომავალს

სკოლაში შესწავლილი ტრიგონომეტრია ეხება სწორხაზოვან კოორდინატულ სისტემას, სადაც, რაც არ უნდა უცნაურად ჟღერდეს, წრფე არის წრფე.

მაგრამ სივრცესთან მუშაობის უფრო რთული გზები არსებობს: აქ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსზე მეტი იქნება და სწორი ხაზი ჩვენი აზრით ნამდვილ რკალს ჰგავს.

მოდით გადავიდეთ სიტყვებიდან საქმეებზე! აიღე ვაშლი. დანით გააკეთეთ სამი ნაჭერი ისე, რომ ზემოდან დათვალიერებისას მიიღოთ სამკუთხედი. ამოიღეთ მიღებული ვაშლის ნაჭერი და დააკვირდით „ნეკნებს“, სადაც მთავრდება კანი. ისინი საერთოდ არ არიან სწორი. თქვენს ხელში ნაყოფს პირობითად შეიძლება ეწოდოს მრგვალი და ახლა წარმოიდგინეთ, რამდენად რთული უნდა იყოს ფორმულები, რომელთა დახმარებითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნაჭრის ფართობი. მაგრამ ზოგიერთი ექსპერტი ასეთ პრობლემებს ყოველდღიურად წყვეტს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები რეალურ ცხოვრებაში

შეგიმჩნევიათ, რომ თვითმფრინავის უმოკლეს მარშრუტს ჩვენი პლანეტის ზედაპირზე A წერტილიდან B წერტილამდე აქვს გამოხატული რკალის ფორმა? მიზეზი მარტივია: დედამიწა სფერულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ სამკუთხედების გამოყენებით ბევრის გამოთვლა არ შეგიძლია – აქ უფრო რთული ფორმულები უნდა გამოიყენოთ.

თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ მწვავე კუთხის სინუსის / კოსინუსის გარეშე სივრცესთან დაკავშირებულ ნებისმიერ საკითხში. საინტერესოა, რომ აქ მრავალი ფაქტორი იყრის თავს: ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია საჭირო წრეებში, ელიფსებსა და უფრო რთული ფორმის სხვადასხვა ტრაექტორიებზე პლანეტების მოძრაობის გამოთვლისას; რაკეტების, თანამგზავრების, შატლების გაშვების, კვლევითი მანქანების განბლოკვის პროცესი; შორეულ ვარსკვლავებზე დაკვირვება და გალაქტიკების შესწავლა, რომლებსაც ადამიანები უახლოეს მომავალში ვერ მიაღწევენ.

ზოგადად, ტრიგონომეტრიის მფლობელი ადამიანის საქმიანობის სფერო ძალიან ფართოა და, როგორც ჩანს, დროთა განმავლობაში მხოლოდ გაფართოვდება.

დასკვნა

დღეს გავიგეთ ან, ნებისმიერ შემთხვევაში, გავიმეორეთ, რა არის სინუსი და კოსინუსი. ეს ის ცნებებია, რომელთა არ უნდა გეშინოდეს - უბრალოდ გინდა და მიხვდები მათ მნიშვნელობას. დაიმახსოვრე, რომ ტრიგონომეტრია არ არის მიზანი, არამედ მხოლოდ ინსტრუმენტი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ადამიანის რეალური მოთხოვნილებების დასაკმაყოფილებლად: სახლების აშენება, მოძრაობის უსაფრთხოების უზრუნველყოფა, სამყაროს ფართობების დაუფლებაც კი.

მართლაც, თავად მეცნიერება შეიძლება მოსაწყენად მოგეჩვენოთ, მაგრამ როგორც კი მასში საკუთარი მიზნების მიღწევის გზას იპოვით, თვითრეალიზება, სწავლის პროცესი საინტერესო გახდება და თქვენი პირადი მოტივაცია გაიზრდება.

საშინაო დავალების შესასრულებლად, შეეცადეთ იპოვოთ გზები, რომ გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები იმ სფეროში, რომელიც პირადად თქვენ გაინტერესებთ. იოცნებეთ, ჩართეთ თქვენი ფანტაზია და შემდეგ აუცილებლად აღმოჩნდება, რომ ახალი ცოდნა მომავალში გამოგადგებათ. გარდა ამისა, მათემატიკა სასარგებლოა აზროვნების ზოგადი განვითარებისთვის.

სადაც განიხილებოდა მართკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის ამოცანები, მე დავპირდი, რომ წარმოვადგენდი სინუსისა და კოსინუსების განმარტებების დამახსოვრების ტექნიკას. მისი გამოყენებით, თქვენ ყოველთვის სწრაფად გახსოვთ, რომელი ფეხი ეკუთვნის ჰიპოტენუზას (მიმდებარე თუ მოპირდაპირე). გადავწყვიტე უსასრულოდ არ გადავდო, საჭირო მასალა ქვემოთ, გთხოვთ წაიკითხოთ 😉

ფაქტია, რომ მე არაერთხელ მინახავს, ​​როგორ უჭირთ 10-11 კლასების მოსწავლეებს ამ განმარტებების დამახსოვრება. მათ კარგად ახსოვთ, რომ ფეხი ჰიპოტენუზას მიანიშნებს, მაგრამ რომელი- დაივიწყე და დაბნეული. შეცდომის ფასი, როგორც მოგეხსენებათ გამოცდაზე, დაკარგული ქულაა.

ინფორმაციას, რომელსაც უშუალოდ მათემატიკას წარვადგენ, არაფერ შუაშია. ასოცირდება ფიგურალურ აზროვნებასთან და ვერბალურ-ლოგიკური კავშირის მეთოდებთან. ასეა, მე თვითონ ერთხელ და სამუდამოდ გამახსენდაგანმარტების მონაცემები. თუ მაინც დაგავიწყდათ ისინი, მაშინ წარმოდგენილი ტექნიკის დახმარებით ყოველთვის ადვილი დასამახსოვრებელია.

ნება მომეცით შეგახსენოთ სინუსის და კოსინუსის განმარტებები მართკუთხა სამკუთხედში:

კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

მაშ, რა ასოციაციებს იწვევს თქვენში სიტყვა კოსინუსი?

ალბათ ყველას აქვს თავისიდაიმახსოვრეთ ბმული:

ამრიგად, თქვენ დაუყოვნებლივ გექნებათ გამოხატულება თქვენს მეხსიერებაში -

«… მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან».

კოსინუსის განსაზღვრის პრობლემა მოგვარებულია.

თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ სინუსის განმარტება მართკუთხა სამკუთხედში, შემდეგ გაიხსენეთ კოსინუსის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად დაადგინოთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. ყოველივე ამის შემდეგ, არსებობს მხოლოდ ორი ფეხი, თუ მიმდებარე ფეხი "ოკუპირებულია" კოსინუსის მიერ, მაშინ მხოლოდ საპირისპირო მხარე რჩება სინუსისთვის.

რაც შეეხება ტანგენტს და კოტანგენტს? იგივე დაბნეულობა. სტუდენტებმა იციან, რომ ეს არის ფეხების თანაფარდობა, მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დაიმახსოვროთ რომელი რომელს ეხება - ან მეზობლის საპირისპიროდ, ან პირიქით.

განმარტებები:

ტანგენტიმართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან:

კოტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროზე:

როგორ გავიხსენოთ? არსებობს ორი გზა. ერთი ასევე იყენებს ვერბალურ-ლოგიკურ კავშირს, მეორე - მათემატიკურს.

მათემატიკური მეთოდი

არსებობს ასეთი განმარტება - მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

* ფორმულის დამახსოვრებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან.

ანალოგიურად.მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის კუთხის კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან:

Ისე! ამ ფორმულების დამახსოვრებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ:

- მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან

- მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირეზე.

ვერბალურ-ლოგიკური მეთოდი

ტანგენტის შესახებ. დაიმახსოვრეთ ბმული:

ანუ, თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ ტანგენტის განმარტება, ამ ლოგიკური კავშირის გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად დაიმახსოვროთ რა არის

"... მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარედ"

თუ საქმე ეხება კოტანგენტს, მაშინ გაიხსენეთ ტანგენტის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად გამოხატოთ კოტანგენტის განმარტება -

"... მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროზე"

საიტზე არის ტანგენტისა და კოტანგენტის დამახსოვრების საინტერესო ტექნიკა " მათემატიკური ტანდემი " , შეხედე.

მეთოდი უნივერსალური

შეგიძლიათ უბრალოდ დაფქვა.მაგრამ როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ვერბალურ-ლოგიკური კავშირების წყალობით ადამიანს დიდი ხნის განმავლობაში ახსოვს ინფორმაცია და არა მხოლოდ მათემატიკური.

ვიმედოვნებ, რომ მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო.

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.