რიცხვითი მიმდევრობები VI

§ 144. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

ისინი ამბობენ, რომ ერთხელ დაწყებითი სკოლის მასწავლებელმა, რომელსაც სურდა კლასის დაკავება დიდი ხნის განმავლობაში დამოუკიდებელი მუშაობით, ბავშვებს მისცა "რთული" დავალება - გამოთვალონ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი 1-დან 100-მდე:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

ერთ-ერთმა სტუდენტმა მაშინვე შესთავაზა გამოსავალი. Აქ არის.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 ჯერ

ეს იყო კარლ გაუსი, რომელიც მოგვიანებით გახდა ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი მათემატიკოსი მსოფლიოში*.

*გაუსთან დაკავშირებით მსგავსი შემთხვევა რეალურად მოხდა. თუმცა, აქ ძალიან გამარტივებულია. მასწავლებლის მიერ შემოთავაზებული რიცხვები იყო ხუთნიშნა და შეადგენდა არითმეტიკულ პროგრესიას სამნიშნა სხვაობით.

ასეთი ამოხსნის იდეა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინების ჯამის საპოვნელად.

ლემა.ბოლოებიდან თანაბარი მანძილის სასრულ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი უკიდურესი წევრთა ჯამის ტოლია.

მაგალითად, სასრულ არითმეტიკულ პროგრესიაში

1, 2, 3.....98, 99, 100

ტერმინები 2 და 99, 3 და 98, 4 და 97 და ა.შ. თანაბრად არის დაშორებული ამ პროგრესიის ბოლოებიდან. მაშასადამე, მათი ჯამები 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 უდრის უკიდურესი წევრთა ჯამს 1 + 100.

ლემის დადასტურება. შევიტანოთ სასრული არითმეტიკული პროგრესია

ა 1 , ა 2 , ..., ა ნ - 1 , ა ნ

ნებისმიერი ორი წევრი ერთნაირად დაშორებულია ბოლოებიდან. დავუშვათ, რომ ერთ-ერთი მათგანია კ - მარცხნიდან ტერმინი, ანუ ა კ , და სხვა - კ მარჯვნიდან ტერმინი, ე.ი. ა ნ -k+ ერთი . მერე

ა კ + ა ნ -k+ 1 =[ა 1 + (კ - 1)დ ] + [ა 1 + (ნ - კ )დ ] = 2ა 1 + (ნ - 1)დ .

ამ პროგრესიის უკიდურესი წევრთა ჯამი უდრის

ა 1 + ა ნ = ა 1 + [ა 1 + (ნ - 1)დ ] = 2ა 1 + (ნ - 1)დ .

Ამგვარად,

ა კ + ა ნ -k+ 1 = ა 1 + ა ნ

ქ.ე.დ.

ახლახან დადასტურებული ლემის გამოყენებით, ადვილია ჯამის ზოგადი ფორმულის მიღება პ ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის წევრები.

ს ნ = ა 1 +ა 2 + ...+ ა ნ - 1 + ა ნ

ს ნ = ა ნ + ა ნ - 1 + ... + ა 2 + ა 1 .

ამ ორი ტოლობის ტერმინით ვამატებით მივიღებთ:

2S ნ = (ა 1 +ა ნ ) + (ა 2 +ა ნ - 1)+...+(ა ნ - 1 +ა 2) + (ა ნ +ა 1)

ა 1 +ა ნ = ა 2 +ა ნ - 1 = ა 3 +ა ნ - 2 =... .

2S ნ = ნ (ა 1 +ა ნ ),

სასრული არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამი უდრის უკიდურესი წევრების ჯამის ნახევარისა და ყველა წევრის რაოდენობის ნამრავლს.

Კერძოდ,

Სავარჯიშოები

971. იპოვე ყველა კენტი სამნიშნა რიცხვის ჯამი.

972. რამდენ დარტყმას გააკეთებს საათი დღის განმავლობაში, თუ ის ურტყამს მხოლოდ მთელი საათების რაოდენობას?

973. რა არის პირველის ჯამი პ ნატურალური რიცხვები?

974. გამოიტანეთ სხეულის მიერ გავლილი გზის სიგრძის ფორმულა ერთნაირად აჩქარებული მოძრაობის დროს:

სადაც ვ 0 - საწყისი სიჩქარე მ/წმ , ა - აჩქარება შიგნით მ/წმ 2 , ტ - მოგზაურობის დრო წმ.

975. იპოვე ყველა შეუქცევადი წილადის ჯამი 3-ის მნიშვნელით დადებით მთელ რიცხვებს შორის ტ და პ (ტ< п ).

976. მუშა ინახავს 16 ლუქს, რომელიც მუშაობს ავტომატურად. შესრულება თითო მანქანაზე ა მ/სთ. მუშამ პირველი მანქანა 7 საათზე ჩართო თდა ყოველი შემდეგი 5-ით წთწინაზე გვიან. გაარკვიეთ გამოსავალი მეტრებში პირველი 2-ისთვის თმუშაობა.

977. ამოხსენი განტოლებები:

ა) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

ბ) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. 1 ივლისიდან 12 ივლისის ჩათვლით ჰაერის ტემპერატურა ყოველდღიურად გაიზარდა საშუალოდ 1/2 გრადუსით. იცოდეთ, რომ ამ დროის განმავლობაში საშუალო ტემპერატურა 18 3/4 გრადუსი აღმოჩნდა, დაადგინეთ, როგორი იყო ჰაერის ტემპერატურა 1 ივლისს.

979. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესია, რომლის არითმეტიკული საშუალო პ პირველი პირობები ნებისმიერისთვის პ მათი რაოდენობის ტოლი.

980. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ოცი წევრის ჯამი, რომელშიც

ა 6 + ა 9 + ა 12 + ა 15 = 20.

საშუალო სკოლაში (მე-9 კლასი) ალგებრის შესწავლისას ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თემაა რიცხვითი მიმდევრობების შესწავლა, რომელიც მოიცავს პროგრესირებას - გეომეტრიულ და არითმეტიკას. ამ სტატიაში განვიხილავთ არითმეტიკულ პროგრესიას და მაგალითებს ამონახსნებით.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია?

ამის გასაგებად აუცილებელია განსახილველი პროგრესიის განმარტება, ასევე ძირითადი ფორმულების მიცემა, რომლებიც შემდგომში იქნება გამოყენებული პრობლემების გადაჭრაში.

არითმეტიკული ან ალგებრული პროგრესია არის მოწესრიგებული რაციონალური რიცხვების ერთობლიობა, რომელთა თითოეული წევრი განსხვავდება წინასგან გარკვეული მუდმივი რაოდენობით. ამ მნიშვნელობას სხვაობა ეწოდება. ანუ, რიცხვების მოწესრიგებული სერიის ნებისმიერი წევრის და სხვაობის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მთელი არითმეტიკული პროგრესია.

ავიღოთ მაგალითი. რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა იქნება არითმეტიკული პროგრესია: 4, 8, 12, 16, ..., რადგან სხვაობა ამ შემთხვევაში არის 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). მაგრამ 3, 5, 8, 12, 17 რიცხვების სიმრავლე აღარ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს განხილული პროგრესიის ტიპს, რადგან სხვაობა არ არის მუდმივი მნიშვნელობა (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

მნიშვნელოვანი ფორმულები

ახლა ჩვენ ვაძლევთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც საჭირო იქნება არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოცანების გადასაჭრელად. მოდით a n აღვნიშნოთ მიმდევრობის n-ე წევრი, სადაც n არის მთელი რიცხვი. განსხვავება აღინიშნება ლათინური ასოთი d. მაშინ შემდეგი გამონათქვამები მართალია:

1. n-ე ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად, შესაფერისია ფორმულა: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. პირველი n წევრის ჯამის დასადგენად: S n = (a n + a 1)*n/2.

არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი მაგალითის გასაგებად მე-9 კლასში ამოხსნით, საკმარისია გახსოვდეთ ეს ორი ფორმულა, რადგან განხილული ტიპის ნებისმიერი პრობლემა აგებულია მათ გამოყენებაზე. ასევე, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ პროგრესირების განსხვავება განისაზღვრება ფორმულით: d = a n - a n-1 .

მაგალითი #1: უცნობი წევრის პოვნა

ჩვენ ვაძლევთ არითმეტიკული პროგრესიის მარტივ მაგალითს და ფორმულებს, რომლებიც უნდა იქნას გამოყენებული ამოსახსნელად.

მიეცით 10, 8, 6, 4, ... თანმიმდევრობა, აუცილებელია მასში ხუთი წევრის პოვნა.

პრობლემის პირობებიდან უკვე გამომდინარეობს, რომ პირველი 4 ტერმინი ცნობილია. მეხუთე შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:

1. ჯერ სხვაობა გამოვთვალოთ. გვაქვს: d = 8 - 10 = -2. ანალოგიურად, შეიძლება ერთმანეთის გვერდით მდგომი ნებისმიერი ორი სხვა ტერმინი. მაგალითად, d = 4 - 6 = -2. ვინაიდან ცნობილია, რომ d \u003d a n - a n-1, შემდეგ d \u003d a 5 - a 4, საიდანაც ვიღებთ: a 5 \u003d a 4 + d. ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. მეორე მეთოდი ასევე მოითხოვს ცოდნას მოცემული პროგრესიის განსხვავების შესახებ, ასე რომ თქვენ ჯერ უნდა დაადგინოთ ის, როგორც ეს ნაჩვენებია ზემოთ (d = -2). იმის ცოდნა, რომ პირველი წევრი a 1 = 10, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას მიმდევრობის n რიცხვისთვის. გვაქვს: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. ბოლო გამოსახულებაში n = 5 ჩანაცვლებით, მივიღებთ: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

როგორც ხედავთ, ორივე გამოსავალი იწვევს ერთსა და იმავე შედეგს. გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში პროგრესიის d სხვაობა უარყოფითია. ასეთ თანმიმდევრობას კლებადი ეწოდება, რადგან ყოველი თანმიმდევრული წევრი წინაზე ნაკლებია.

მაგალითი #2: პროგრესირების განსხვავება

ახლა მოდით ცოტა გავართულოთ დავალება, მივცეთ მაგალითი, თუ როგორ

ცნობილია, რომ ზოგიერთში პირველი წევრი უდრის 6-ს, ხოლო მე-7 წევრი უდრის 18-ს. საჭიროა სხვაობის პოვნა და ამ თანმიმდევრობის აღდგენა მე-7 წევრამდე.

გამოვიყენოთ ფორმულა უცნობი ტერმინის დასადგენად: a n = (n - 1) * d + a 1 . ჩვენ ვცვლით ცნობილ მონაცემებს მდგომარეობიდან მასში, ანუ რიცხვები a 1 და a 7, გვაქვს: 18 \u003d 6 + 6 * d. ამ გამოთქმიდან შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ სხვაობა: d = (18 - 6) / 6 = 2. ამრიგად, ამოცანის პირველ ნაწილს გაეცა პასუხი.

მე-7 წევრზე მიმდევრობის აღსადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ალგებრული პროგრესიის განმარტება, ანუ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d და ა.შ. შედეგად, ჩვენ აღვადგენთ მთელ თანმიმდევრობას: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 და 7 = 18.

მაგალითი #3: პროგრესირება

მოდით კიდევ უფრო გავართულოთ პრობლემის მდგომარეობა. ახლა თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა იპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. შეიძლება მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი: მოცემულია ორი რიცხვი, მაგალითად, 4 და 5. აუცილებელია ალგებრული პროგრესია ისე, რომ მათ შორის მოთავსდეს კიდევ სამი წევრი.

ამ პრობლემის გადაჭრის დაწყებამდე აუცილებელია იმის გაგება, თუ რა ადგილს დაიკავებენ მოცემული რიცხვები მომავალ პროგრესში. ვინაიდან მათ შორის იქნება კიდევ სამი ტერმინი, შემდეგ 1 \u003d -4 და 5 \u003d 5. ამის დადგენის შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ დავალებას, რომელიც მსგავსია წინა. ისევ, მე-n ტერმინისთვის, ვიყენებთ ფორმულას, ვიღებთ: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. მდებარეობა: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. აქ განსხვავება არ არის მთელი რიცხვი, არამედ რაციონალური რიცხვია, ამიტომ ალგებრული პროგრესიის ფორმულები იგივე რჩება.

ახლა დავამატოთ ნაპოვნი განსხვავება 1-ს და აღვადგინოთ პროგრესიის დაკარგული წევრები. ვიღებთ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u რაც პრობლემის მდგომარეობას დაემთხვა.

მაგალითი #4: პროგრესიის პირველი წევრი

ჩვენ ვაგრძელებთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითების მოყვანას ამონახსნით. ყველა წინა ამოცანაში ცნობილი იყო ალგებრული პროგრესიის პირველი რიცხვი. ახლა განიხილეთ სხვა ტიპის პრობლემა: მოდით, ორი რიცხვი იყოს მოცემული, სადაც 15 = 50 და 43 = 37. აუცილებელია გაიგოთ, რომელი რიცხვიდან იწყება ეს თანმიმდევრობა.

აქამდე გამოყენებული ფორმულები გულისხმობს 1 და დ-ის ცოდნას. ამ ციფრების შესახებ პრობლემის პირობებში არაფერია ცნობილი. მიუხედავად ამისა, მოდით დავწეროთ გამონათქვამები თითოეული ტერმინისთვის, რომლის შესახებაც გვაქვს ინფორმაცია: a 15 = a 1 + 14 * d და a 43 = a 1 + 42 * d. მივიღეთ ორი განტოლება, რომელშიც არის 2 უცნობი სიდიდე (a 1 და d). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.

მითითებული სისტემა ყველაზე ადვილად ამოსახსნელია, თუ გამოვხატავთ 1-ს თითოეულ განტოლებაში და შემდეგ შეადარებთ მიღებულ გამონათქვამებს. პირველი განტოლება: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; მეორე განტოლება: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. ამ გამონათქვამების ტოლფასი მივიღებთ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, საიდანაც განსხვავება d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (მოცემულია მხოლოდ 3 ათობითი ადგილი).

იცის d, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ზემოთ მოცემული 2 გამოთქმა 1-ისთვის. მაგალითად, პირველი: 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

თუ შედეგზე ეჭვი გეპარებათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ იგი, მაგალითად, განსაზღვროთ პროგრესის 43-ე წევრი, რომელიც მითითებულია პირობაში. ჩვენ ვიღებთ: 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. მცირე შეცდომა გამოწვეულია იმით, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო დამრგვალება მეათასედამდე.

მაგალითი #5: ჯამი

ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამონახსნებით.

მიეცით შემდეგი ფორმის რიცხვითი პროგრესია: 1, 2, 3, 4, ...,. როგორ გამოვთვალოთ ამ რიცხვებიდან 100-ის ჯამი?

კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების წყალობით ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია, ანუ თანმიმდევრულად შევკრიბოთ ყველა რიცხვი, რასაც კომპიუტერი გააკეთებს, როგორც კი ადამიანი დააჭერს Enter ღილაკს. თუმცა, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია გონებრივად, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ რიცხვების წარმოდგენილი სერია არის ალგებრული პროგრესია, ხოლო განსხვავება არის 1. ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ პრობლემას „გაუსური“ ჰქვია, რადგან მე-18 საუკუნის დასაწყისში ცნობილმა გერმანელმა, ჯერ კიდევ მხოლოდ 10 წლის ასაკში, რამდენიმე წამში შეძლო მისი გონებაში გადაჭრა. ბიჭმა არ იცოდა ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, მაგრამ მან შენიშნა, რომ თუ დაამატებთ რიცხვების წყვილებს, რომლებიც მდებარეობს მიმდევრობის კიდეებზე, ყოველთვის მიიღებთ ერთსა და იმავე შედეგს, ანუ 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., და რადგან ეს ჯამები იქნება ზუსტად 50 (100/2), მაშინ სწორი პასუხის მისაღებად საკმარისია 50 გავამრავლოთ 101-ზე.

მაგალითი #6: წევრთა ჯამი n-დან m-მდე

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითია შემდეგი: მოცემული რიცხვების სერია: 3, 7, 11, 15, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ რა იქნება მისი წევრთა ჯამი 8-დან 14-მდე.

პრობლემა მოგვარებულია ორი გზით. პირველი მათგანი მოიცავს უცნობი ტერმინების მოძიებას 8-დან 14-მდე და შემდეგ მათი თანმიმდევრობით შეჯამება. ვინაიდან რამდენიმე ტერმინია, ეს მეთოდი არ არის საკმარისად შრომატევადი. მიუხედავად ამისა, შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე მეთოდით, რომელიც უფრო უნივერსალურია.

იდეა არის მივიღოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის m და n ტერმინებს შორის, სადაც n > m არის მთელი რიცხვები. ორივე შემთხვევისთვის ჩვენ ვწერთ ორ გამონათქვამს ჯამისთვის:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

ვინაიდან n > m, აშკარაა, რომ 2 ჯამი მოიცავს პირველს. ბოლო დასკვნა ნიშნავს, რომ თუ ამ ჯამებს შორის განსხვავებას ავიღებთ და მას ტერმინს a m დავუმატებთ (განსხვავების აღების შემთხვევაში ის გამოვაკლდება S n ჯამს), მაშინ მივიღებთ ამოცანის აუცილებელ პასუხს. გვაქვს: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). ამ გამოსახულებაში აუცილებელია n და m ფორმულების ჩანაცვლება. შემდეგ მივიღებთ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

მიღებული ფორმულა გარკვეულწილად რთულია, თუმცა S mn ჯამი დამოკიდებულია მხოლოდ n, m, a 1 და d-ზე. ჩვენს შემთხვევაში, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ამ რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: S mn = 301.

როგორც ზემოაღნიშნული ამონახსნებიდან ჩანს, ყველა პრობლემა ემყარება n-ე წევრის გამოხატვის ცოდნას და პირველი წევრთა სიმრავლის ჯამის ფორმულას. სანამ რომელიმე ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, რეკომენდებულია ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა, ნათლად გაიგოთ რისი პოვნა გსურთ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ გადაწყვეტა.

კიდევ ერთი რჩევა არის სიმარტივისკენ სწრაფვა, ანუ თუ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას რთული მათემატიკური გამოთვლების გარეშე, მაშინ სწორედ ეს უნდა გააკეთოთ, რადგან ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებია. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითში მე-6 ამონახსნით, შეიძლება შეჩერდეს ფორმულა S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, და დაყავით ზოგადი დავალება ცალკეულ ქვეამოცნებებად (ამ შემთხვევაში ჯერ იპოვეთ ტერმინები a n და a).

თუ არსებობს ეჭვი მიღებულ შედეგზე, რეკომენდებულია მისი შემოწმება, როგორც ეს გაკეთდა ზოგიერთ მოყვანილ მაგალითში. როგორ მოვძებნოთ არითმეტიკული პროგრესია, გაირკვა. როგორც კი გაარკვიე, არც ისე რთულია.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ელემენტარულიდან საკმაოდ მყარი.

ჯერ შევეხოთ ჯამის მნიშვნელობას და ფორმულას. და მერე გადავწყვეტთ. საკუთარი სიამოვნებისთვის.) ჯამის მნიშვნელობა დაბლავით მარტივია. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა წევრი. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა ზოგავს.

ჯამის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველაწევრებთან ერთად პირველი on ბოლო.Ეს არის მნიშვნელოვანი. დაამატე ზუსტად ყველაწევრები ზედიზედ, ხარვეზებისა და ნახტომების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან ხუთიდან მეოცემდე ტერმინების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებული იქნება.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. რიგის ბოლო ნომერი. არ არის ძალიან ნაცნობი სახელი, მაგრამ, როდესაც გამოიყენება თანხა, ეს ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ არის ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. შევსების კითხვა: როგორი წევრი იქნება ბოლო,თუ მიცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?

დარწმუნებული პასუხისთვის, თქვენ უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და ... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, სასრული, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის პროგრესიაა მოცემული: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების რიგით თუ n-ე წევრის ფორმულით.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რიცხვი, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. ამოცანაში, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არაფერი, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს გამოვავლენთ.)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების მაგალითები.

პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის ამოცანების მთავარი სირთულე არის ფორმულის ელემენტების სწორი განსაზღვრა.

დავალებების ავტორები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მხოლოდ მათი გაშიფვრა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ პირველი 10 წევრის ჯამი.

Ყოჩაღ. მარტივია.) ფორმულის მიხედვით ოდენობის დასადგენად რა უნდა ვიცოდეთ? პირველი წევრი a 1, ბოლო სემესტრი a nდიახ, ბოლო პერიოდის ნომერი ნ.

სად მივიღოთ ბოლო წევრის ნომერი ნ? დიახ, იმავე ადგილას, მდგომარეობაში! ნათქვამია იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა რიცხვი იქნება ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ ნაცვლად a nჩავანაცვლებთ ფორმულაში ა 10, მაგრამ სამაგიეროდ ნ-ათი. ისევ და ისევ, ბოლო წევრის რაოდენობა იგივეა, რაც წევრების რაოდენობა.

რჩება გასარკვევი a 1და ა 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე წევრის ფორმულით, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? ეწვიეთ წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე - არაფერი.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ა 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

სულ ეს არის. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 \u003d 2.3. იპოვეთ პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

რჩება ფორმულის ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის და პასუხის გამოთვლა:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nუბრალოდ ჩაანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულა, მივიღებთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, ვიღებთ ახალ ფორმულას არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო. a n. ზოგიერთ დავალებაში ეს ფორმულა ძალიან გვეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. და თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა ყველანაირად უნდა ახსოვდეს.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვნეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.

Როგორ! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი... როგორ ვიცხოვროთ!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. რა არის ორნიშნა რიცხვები - ვიცით. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ბოლო რამორნიშნა ნომერი? 99, რა თქმა უნდა! მას სამნიშნა რიცხვები მოჰყვება...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც თანაბრად იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? Რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინასგან მკაცრად განსხვავდება სამით. თუ ტერმინს ემატება 2, ან 4, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ გაიყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა გროვამდე: d = 3.სასარგებლო!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99 სასიკვდილოდ ცდება... ნომრები - ისინი ყოველთვის მიდიან ზედიზედ და ჩვენი წევრები ხტებიან სამეულს. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ დახატოთ პროგრესია, რიცხვების მთელი რიგი და თითით დათვალოთ წევრების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ ფორმულა გამოიყენება ჩვენს პრობლემაზე, მივიღებთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

ჩვენ ვუყურებთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის მდგომარეობიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება ელემენტარული არითმეტიკა. ჩაანაცვლეთ რიცხვები ფორმულაში და გამოთვალეთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხები:

4. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ წევრთა ჯამი მეოცედან ოცდამეოთხემდე.

ვუყურებთ ჯამის ფორმულას და ... ვნერვიულობთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის ჯამს. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დახატოთ მთელი პროგრესი ზედიზედ და დააყენოთ წევრები 20-დან 34-მდე. მაგრამ ... რატომღაც ეს სულელურად და დიდი ხნის განმავლობაში გამოდის, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით დავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.მეორე ნაწილი - ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის წევრთა ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესიის ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. Ამგვარად:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

ეს გვიჩვენებს, რომ იპოვონ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე ჯამი მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. ვიწყებთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს დავალების მდგომარეობიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34 წევრი. ჩვენ მათ ვითვლით n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით, როგორც ამოცანა 2-ში:

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

აღარაფერი დარჩა. გამოვაკლოთ 19 წევრის ჯამი 34 წევრის ჯამს:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადაჭრაში არის ძალიან სასარგებლო ფუნქცია. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი "ყურებით გამონათქვამი" ხშირად ზოგავს ბოროტ თავსატეხებში.)

ამ გაკვეთილზე განვიხილეთ პრობლემები, რომლებისთვისაც საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობის გაგება. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის რაიმე ამოცანის გადაჭრისას, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

მე-n ტერმინის ფორმულა:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ, რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება დამალულია 4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი თავსატეხები ხშირად გვხვდება GIA-ში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! მე კი გადავწყვიტე, რომ ყველაზე საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მივცე). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს და დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი ყოველი მომდევნო დღეს, ვიდრე წინა დღეს! სანამ ფული არ ამოიწურება. რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას ბედნიერებას?

რთულია?) მე-2 დავალების დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

გაკვეთილის მიზნები:

• არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოხსნილ ამოცანების შესახებ მოსწავლეთა წარმოდგენების გაფართოება და გაღრმავება; მოსწავლეთა საძიებო აქტივობის ორგანიზება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყვანისას;
• ახალი ცოდნის დამოუკიდებლად შეძენის უნარ-ჩვევების განვითარება, უკვე მიღებული ცოდნის გამოყენება ამოცანის მისაღწევად;
• მიღებული ფაქტების განზოგადების სურვილისა და მოთხოვნილების განვითარება, დამოუკიდებლობის განვითარება.

Დავალებები:

• არსებული ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“;
• არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის გამოანგარიშების ფორმულების გამოყვანა;
• ასწავლეთ მიღებული ფორმულების გამოყენება სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში;
• მოსწავლეთა ყურადღება მიაპყროს რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის პროცედურას.

აღჭურვილობა:

• ბარათები ჯგუფებში და წყვილებში მუშაობისთვის დავალებებით;
• შეფასების ნაშრომი;
• პრეზენტაცია"არითმეტიკული პროგრესია".

I. საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია.

1. დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში.

1 ვარიანტი:

განსაზღვრეთ არითმეტიკული პროგრესია. ჩამოწერეთ რეკურსიული ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს არითმეტიკულ პროგრესიას. მიეცით არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითი და მიუთითეთ მისი განსხვავება.

მე-2 ვარიანტი:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-100 წევრი ( a n}: 2, 5, 8 …
ამ დროს, დაფის უკანა მხარეს ორი სტუდენტი ამზადებს პასუხებს ერთსა და იმავე კითხვებზე.
მოსწავლეები აფასებენ პარტნიორის მუშაობას დაფასთან შედარებით. (ფურცლები პასუხებით გადაეცემა).

2. თამაშის მომენტი.

სავარჯიშო 1.

მასწავლებელი.რაღაც არითმეტიკული პროგრესია ჩავიფიქრე. დამისვით მხოლოდ ორი შეკითხვა, რათა პასუხების შემდეგ სწრაფად დაასახელოთ ამ პროგრესის მე-7 წევრი. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

კითხვები სტუდენტებისგან.

1. რა არის პროგრესის მეექვსე ვადა და რა განსხვავებაა?
2. რა არის პროგრესის მერვე ვადა და რა განსხვავებაა?

თუ კითხვები აღარ არის, მაშინ მასწავლებელს შეუძლია მათი სტიმულირება - დ (განსხვავება) „აკრძალვა“, ანუ დაუშვებელია კითხვა, რა განსხვავებაა. შეგიძლიათ დასვათ კითხვები: რა არის პროგრესიის მე-6 და რა არის პროგრესირების მე-8 წევრი?

დავალება 2.

დაფაზე 20 რიცხვია დაწერილი: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

მასწავლებელი დგას ზურგით დაფასთან. მოსწავლეები ამბობენ ნომრის ნომერს და მასწავლებელი მაშინვე რეკავს ნომერზე. ამიხსენი როგორ შემიძლია ამის გაკეთება?

მასწავლებელი ახსოვს n-ე ტერმინის ფორმულას a n \u003d 3n - 2და n-ის მოცემული მნიშვნელობების ჩანაცვლებით პოულობს შესაბამის მნიშვნელობებს ა ნ .

II. საგანმანათლებლო დავალების განცხადება.

მე ვთავაზობ ძველი პრობლემის გადაჭრას, რომელიც დათარიღებულია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II ათასწლეულით, ეგვიპტურ პაპირუსებში.

Დავალება:„მოდით, გითხრათ: გაყავით 10 საზომი ქერი 10 ადამიანზე, თითოეულ ადამიანსა და მის მეზობელს შორის სხვაობა ზომის 1/8-ია“.

• როგორ უკავშირდება ეს პრობლემა არითმეტიკული პროგრესიის თემას? (თითოეული შემდეგი ადამიანი იღებს საზომის 1/8-ით მეტს, ასე რომ, სხვაობა არის d=1/8, 10 ადამიანი, შესაბამისად n=10.)
• როგორ ფიქრობთ, რას ნიშნავს რიცხვი 10? (პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი.)
• კიდევ რა უნდა იცოდეთ, რომ ქერის დაყოფა პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით მარტივი და მარტივი იყოს? (პროგრესიის პირველი ტერმინი.)

გაკვეთილის მიზანი- პროგრესის ტერმინების ჯამის დამოკიდებულების მიღება მათ რიცხვზე, პირველ წევრსა და განსხვავებაზე და შემოწმება, სწორად იყო თუ არა ამოხსნილი პრობლემა ძველ დროში.

ფორმულის გამოყვანამდე ვნახოთ, როგორ გადაჭრეს პრობლემა ძველ ეგვიპტელებმა.

და მათ გადაჭრეს ეს ასე:

1) 10 ზომა: 10 = 1 საზომი - საშუალო წილი;
2) 1 საზომი ∙ = 2 საზომი - გაორმაგდა საშუალოგაზიარება.
გაორმაგდა საშუალოწილი არის მე-5 და მე-6 პირის წილების ჯამი.
3) 2 საზომი - 1/8 ზომა = 1 7/8 საზომი - მეხუთე ადამიანის წილი ორჯერ მეტი.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - მეხუთე წილი; და ასე შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ თითოეული წინა და შემდგომი ადამიანის წილი.

ჩვენ ვიღებთ თანმიმდევრობას:

III. ამოცანის ამოხსნა.

1. ჯგუფებში მუშაობა

1 ჯგუფი:იპოვეთ 20 ზედიზედ ნატურალური რიცხვის ჯამი: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ზოგადად

II ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე (ლეგენდა პატარა გაუსის შესახებ).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

დასკვნა:

III ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 21-მდე.

ამოხსნა: 1+21=2+20=3+19=4+18…

დასკვნა:

IV ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 101-მდე.

დასკვნა:

განხილული პრობლემების გადაჭრის ამ მეთოდს ეწოდება "გაუსის მეთოდი".

2. თითოეული ჯგუფი დაფაზე წარმოადგენს პრობლემის გადაწყვეტას.

3. შემოთავაზებული ამონახსნების განზოგადება თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

ამ ჯამს ვპოულობთ მსგავსი კამათით:

4. მოვაგვარეთ ამოცანა?(დიახ.)

IV. ამოცანების ამოხსნისას მიღებული ფორმულების პირველადი გააზრება და გამოყენება.

1. ძველი პრობლემის გადაწყვეტის შემოწმება ფორმულით.

2. ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში.

3. სავარჯიშოები ამოცანების ამოხსნისას ფორმულის გამოყენების უნარის ფორმირებისათვის.

ა) No613

მოცემულია :( და ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

იპოვე: S 1500

გამოსავალი: , და 1 = 1 და 1500 = 1500,

ბ) მოცემული: ( და ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;
(და n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

იპოვე: ნ
გამოსავალი:

V. დამოუკიდებელი მუშაობა ურთიერთდამოწმებით.

დენის სამუშაოდ წავიდა კურიერად. პირველ თვეში მისი ხელფასი 200 მანეთი იყო, ყოველ მომდევნო თვეში 30 რუბლით გაიზარდა. რამდენი გამოიმუშავა მან წელიწადში?

მოცემულია :( და ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
იპოვე: S 12
გამოსავალი:

პასუხი: დენისმა მიიღო 4380 მანეთი წლის განმავლობაში.

VI. საშინაო დავალების ინსტრუქცია.

1. გვ 4.3 - ისწავლეთ ფორმულის წარმოშობა.
2. №№ 585, 623 .
3. შეადგინეთ პრობლემა, რომელიც გადაიჭრება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენებით.

VII. გაკვეთილის შეჯამება.

1. ქულების ფურცელი

2. განაგრძეთ წინადადებები

• დღეს გაკვეთილზე ვისწავლე...
• ნასწავლი ფორმულები...
• Მე ვფიქრობ, რომ …

3. შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვების ჯამი 1-დან 500-მდე? რა მეთოდს გამოიყენებთ ამ პრობლემის მოსაგვარებლად?

ბიბლიოგრაფია.

1. ალგებრა, მე-9 კლასი. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. რედ. გ.ვ. დოროფეევა.მოსკოვი: განმანათლებლობა, 2009 წ.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გამოვიყვანთ სასრულ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამის ფორმულას და ამ ფორმულის გამოყენებით გადავჭრით რამდენიმე ამოცანებს.

თემა: პროგრესი

გაკვეთილი: სასრულ არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულა

1. შესავალი

განვიხილოთ პრობლემა: იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე.

მოცემულია: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

იპოვეთ: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

ამოხსნა: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

პასუხი: 5050.

ნატურალური რიცხვების 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია: a1=1, d=1.

ჩვენ ვიპოვეთ პირველი ასეული ნატურალური რიცხვის ჯამი, ანუ პირველი n-ის ჯამი არითმეტიკული პროგრესიის წევრები.

განხილული გამოსავალი შემოგვთავაზა დიდმა მათემატიკოსმა კარლ ფრიდრიხ გაუსმა, რომელიც ცხოვრობდა მე-19 საუკუნეში. პრობლემა მან 5 წლის ასაკში გადაჭრა.

ისტორიის მითითება:იოჰან კარლ ფრიდრიხ გაუსი (1777 - 1855) - გერმანელი მათემატიკოსი, მექანიკოსი, ფიზიკოსი და ასტრონომი. ითვლება ყველა დროის ერთ-ერთ უდიდეს მათემატიკოსად, "მათემატიკოსთა მეფედ". კოპლის მედლის ლაურეატი (1838), ინგლისის სამეფო საზოგადოების შვედეთის (1821) და რუსეთის (1824) მეცნიერებათა აკადემიების უცხოელი წევრი. ლეგენდის თანახმად, სკოლის მათემატიკის მასწავლებელმა, ბავშვების დიდი ხნით დაკავების მიზნით, შესთავაზა გამოეთვალათ რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე. ახალგაზრდა გაუსმა შენიშნა, რომ წყვილ-წყვილთა ჯამები დაპირისპირებიდან დაპირისპირებამდე ერთნაირია: 1+100. =101, 2+99=101 და ა.შ. და მყისიერად მივიღე შედეგი: 101x50=5050.

2. არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრთა ჯამის ფორმულის გამოყვანა

განიხილეთ მსგავსი პრობლემა თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიისთვის.

იპოვეთ: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრების ჯამი.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ფრჩხილებში ყველა გამონათქვამი ტოლია ერთმანეთის, კერძოდ, გამოხატვის. მოდით d იყოს არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა. შემდეგ:

და ასე შემდეგ, ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

საიდან მივიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა:

.

3. ამოცანების ამოხსნა არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენების შესახებ.

1. ამოხსენით 1-დან 100-მდე ნატურალური რიცხვების ჯამის ამოცანა არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენებით:

ამოხსნა: a1=1, d=1, n=100.

ზოგადი ფორმულა:

.

ჩვენს შემთხვევაში: .

პასუხი: 5050.

ზოგადი ფორმულა:

. არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულით ვიპოვოთ: .

ჩვენს შემთხვევაში: .

რომ იპოვოთ, ჯერ უნდა იპოვოთ.

ეს შეიძლება გაკეთდეს ზოგადი ფორმულის გამოყენებით .პირველ რიგში გამოიყენეთ ეს ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის საპოვნელად.

ე.ი. . ნიშნავს .

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენება

, მოდი ვიპოვოთ.

4. მეორე ფორმულის გამოყვანა არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამისთვის

ჩვენ ვიღებთ მეორე ფორმულას არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n პუნქტების ჯამისთვის, კერძოდ: ვამტკიცებთ, რომ .

მტკიცებულება:

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულაში მოდით ჩავანაცვლოთ გამოთქმა, კერძოდ . ვიღებთ: , ე.ი. . ქ.ე.დ.

გავაანალიზოთ მიღებული ფორმულები. პირველი ფორმულით გამოთვლებისთვის თქვენ უნდა იცოდეთ პირველი წევრი, ბოლო წევრი და n მეორე ფორმულით - თქვენ უნდა იცოდეთ პირველი ტერმინი, განსხვავება და n.

და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერ შემთხვევაში Sn არის n-ის კვადრატული ფუნქცია, რადგან .

5. ამოცანების ამოხსნა არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრთა ჯამის მეორე ფორმულის გამოყენების შესახებ.

ზოგადი ფორმულა:

.

ჩვენს შემთხვევაში:.

პასუხი: 403.

2. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც 4-ის ჯერადი არიან.

(12; 16; 20; ...; 96) - რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია.

იპოვეთ ფორმულიდან:.

ე.ი. . ნიშნავს .

მეორე ფორმულის გამოყენება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამისთვის

, მოდი ვიპოვოთ.

საჭიროა მე-10-დან 25-ის ჩათვლით ყველა ტერმინის ჯამის პოვნა.

მისი გადაჭრის ერთი გზა შემდეგია:

შესაბამისად,.

6. გაკვეთილის შეჯამება

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულები სასრულ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამისთვის. ეს ფორმულები გამოიყენება ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად.

შემდეგ გაკვეთილზე გავეცნობით არითმეტიკული პროგრესიის დამახასიათებელ თვისებას.

1. მაკარიჩევი იუ.ნ. და სხვ. ალგებრა მე-9 კლასი (სახელმძღვანელო საშუალო სკოლისთვის).-მ.: განათლება, 1992 წ.

2. მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი, კ.ი. ალგებრა მე-9 კლასისთვის გაღრმავებით. სწავლა მათემატიკა.-მ.: მნემოზინა, 2003 წ.

3. მაკარიჩევი იუ.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. ამოცანების კრებული ალგებრაში 8-9 კლასებისთვის (სახელმძღვანელო სკოლებისა და კლასების მოსწავლეებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით). - M .: განათლება, 1996 წ.

5. Mordkovich A. G. ალგებრა მე-9 კლასი, სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. - M.: Mnemosyne, 2002 წ.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. ალგებრა მე-9 კლასი, პრობლემური წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. - M.: Mnemosyne, 2002 წ.

7. Glazer G. I. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. 7-8 კლასები (სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის).-მ.: განმანათლებლობა, 1983 წ.

1. კოლეჯის განყოფილება. ru მათემატიკაში.

2. საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა პორტალი.

3. ექსპონენციალური. ru საგანმანათლებლო მათემატიკური საიტი.

1. No 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra Grade 9).

2. No 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. ამოცანების კრებული ალგებრაში 8-9 კლასებისთვის).