მრავალკუთხედები. მრავალკუთხედების ტიპები. ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა და გარე კუთხეები. ამოზნექილი n-გონების შიდა კუთხეების ჯამი (თეორემა). ამოზნექილი n-გონების გარე კუთხეების ჯამი (თეორემა). რეგულარული მრავალკუთხედები. წრიული წრე, რომელიც შემოხაზულია რეგულარული მრავალკუთხედის გარშემო (თეორემა, დასკვნა 1.2)

ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა კუთხე მოცემულ წვეროზე არის კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ამ წვეროზე მისი გვერდების მიერ. ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხე მოცემულ წვეროზე არის ამ წვეროზე შიდა კუთხის მიმდებარე კუთხე. შიდა კუთხე გარე კუთხე

თეორემა. ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი არის (n - 2) · 180 o, სადაც n არის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა. მოცემულია: ამოზნექილი n-გონ. დაადასტურეთ: α = (n – 2) 180 o მტკიცებულება n-გონების შიგნით, აიღეთ თვითნებური წერტილი O და შეაერთეთ იგი ყველა წვეროსთან. მრავალკუთხედი დაიყოფა n სამკუთხედად საერთო O წვერით. თითოეული სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 o, შესაბამისად, ყველა სამკუთხედის კუთხის ჯამი არის 180 o n. ეს ჯამი, მრავალკუთხედის ყველა შიდა კუთხის ჯამის გარდა, მოიცავს სამკუთხედების კუთხეების ჯამს O წვეროზე, უდრის 360 o-ს. ამრიგად, მრავალკუთხედის ყველა შიდა კუთხის ჯამი არის 180 o n - 360 o \u003d (n - 2) 180 o. ასე რომ, n \u003d (n - 2) 180 o. ჩ.ტ.დ. შესახებ

თეორემა. ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი, აღებული თითო წვეროზე, არ არის დამოკიდებული n-ზე და უდრის 360-ს, ​​სადაც n არის n-კუთხედის გვერდების რაოდენობა. მტკიცებულება. ვინაიდან მრავალკუთხედის გარე კუთხე მიმდებარეა შესაბამის შიდა კუთხესთან, ხოლო მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180, მაშინ მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამია: . გარე და შიდა შიდა ასე რომ, ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი, აღებული თითო წვეროზე, არ არის დამოკიდებული n-ზე და უდრის 360 o-ს, სადაც n არის n-კუთხედის გვერდების რაოდენობა. ჩ.ტ.დ.

თეორემა. ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედი შეიძლება ჩაიწეროს წრით და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი. მტკიცებულება. ვთქვათ А1,А2,…,А n იყოს რეგულარული მრავალკუთხედი, О იყოს შემოხაზული წრის ცენტრი. ОА1А2 =ОА2А3= ОАnА1, შესაბამისად, О წვეროდან გამოყვანილი ამ სამკუთხედების სიმაღლეები ასევე უდრის ОН1=ОН2=…=ОНn. მაშასადამე, წრე O ცენტრით და OH1 რადიუსით წრე გადის H1, H2, ..., Hn წერტილებში და ეხება მრავალკუთხედის გვერდებს ამ წერტილებში, ე.ი. წრე იწერება მოცემულ მრავალკუთხედში. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

დავამტკიცოთ, რომ არის მხოლოდ ერთი ჩაწერილი წრე. დავუშვათ, არის კიდევ ერთი ჩაწერილი წრე O ცენტრით და OA რადიუსით. მაშინ მისი ცენტრი თანაბრად არის დაშორებული მრავალკუთხედის გვერდებიდან, ანუ წერტილი O1 დევს მრავალკუთხედის კუთხის თითოეულ ბისექტორზე და, შესაბამისად, ემთხვევა ამ ბისექტორების გადაკვეთის O წერტილს. ამ წრის რადიუსი უდრის მანძილს O წერტილიდან მრავალკუთხედის გვერდებამდე, ე.ი. უდრის OH1.თეორემა დადასტურებულია. დასკვნა 1 რეგულარული მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრე ეხება მრავალკუთხედის გვერდებს მათ შუა წერტილებში. დასკვნა 2 წრის ცენტრი, რომელიც შემოიფარგლება რეგულარული მრავალკუთხედის გარშემო, ემთხვევა იმავე მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრს.

სამკუთხედი, კვადრატი, ექვსკუთხედი - ეს ფიგურები თითქმის ყველასთვის ცნობილია. მაგრამ ყველამ არ იცის რა არის რეგულარული მრავალკუთხედი. მაგრამ ეს ყველაფერი ერთი და იგივეა. წესიერ მრავალკუთხედს ეწოდება ის, რომელსაც აქვს თანაბარი კუთხეები და გვერდები. ასეთი ფიგურები ბევრია, მაგრამ მათ ყველას ერთნაირი თვისებები აქვთ და მათზეც იგივე ფორმულები ვრცელდება.

რეგულარული მრავალკუთხედების თვისებები

ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედი, იქნება ეს კვადრატი თუ რვაკუთხედი, შეიძლება ჩაიწეროს წრეში. ეს ძირითადი თვისება ხშირად გამოიყენება ფიგურის აგებისას. გარდა ამისა, წრე ასევე შეიძლება ჩაიწეროს მრავალკუთხედში. ამ შემთხვევაში, შეხების წერტილების რაოდენობა მისი მხარეების რაოდენობის ტოლი იქნება. მნიშვნელოვანია, რომ რეგულარულ მრავალკუთხედში ჩაწერილ წრეს ჰქონდეს მასთან საერთო ცენტრი. ეს გეომეტრიული ფიგურები ექვემდებარება იმავე თეორემებს. რეგულარული n-გონის ნებისმიერი მხარე ასოცირდება მის გარშემო შემოხაზული წრის R რადიუსთან, ამიტომ მისი გამოთვლა შესაძლებელია შემდეგი ფორმულით: a = 2R ∙ sin180°. მეშვეობით თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ არა მხოლოდ გვერდები, არამედ პოლიგონის პერიმეტრიც.

როგორ მოვძებნოთ რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა

ნებისმიერი შედგება ერთმანეთის ტოლი სეგმენტების გარკვეული რაოდენობისგან, რომლებიც შეერთებისას ქმნიან დახურულ ხაზს. ამ შემთხვევაში, ჩამოყალიბებული ფიგურის ყველა კუთხეს აქვს იგივე მნიშვნელობა. მრავალკუთხედები იყოფა მარტივ და რთულად. პირველ ჯგუფში შედის სამკუთხედი და კვადრატი. კომპლექსურ მრავალკუთხედებს მეტი გვერდი აქვთ. მათში ასევე შედის ვარსკვლავის ფორმის ფიგურები. რთული რეგულარული მრავალკუთხედებისთვის, გვერდები გვხვდება მათი წრეში ჩაწერით. მოდი მტკიცებულება მივცეთ. დახაზეთ რეგულარული მრავალკუთხედი n გვერდების თვითნებური რაოდენობით. აღწერეთ წრე მის გარშემო. მიუთითეთ რადიუსი R. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ მოცემულია n-გონი. თუ მისი კუთხეების წერტილები დევს წრეზე და ერთმანეთის ტოლია, მაშინ გვერდები შეიძლება ვიპოვოთ ფორმულით: a = 2R ∙ sinα: 2.

ჩაწერილი მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების რაოდენობის პოვნა

ტოლგვერდა სამკუთხედი არის რეგულარული მრავალკუთხედი. მასზე მოქმედებს იგივე ფორმულები, რაც კვადრატსა და n-გონზე. სამკუთხედი სწორად ჩაითვლება, თუ მას აქვს იგივე სიგრძის გვერდები. ამ შემთხვევაში, კუთხეები არის 60⁰. ააგეთ სამკუთხედი მოცემული გვერდის სიგრძით a. იცის მისი მედიანა და სიმაღლე, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი მხარეების მნიშვნელობა. ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ a \u003d x: cosα ფორმულის საშუალებით პოვნის მეთოდს, სადაც x არის მედიანა ან სიმაღლე. ვინაიდან სამკუთხედის ყველა გვერდი ტოლია, მივიღებთ a = b = c. მაშინ შემდეგი განცხადება მართალია: a = b = c = x: cosα. ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ გვერდების მნიშვნელობა ტოლფერდა სამკუთხედში, მაგრამ x იქნება მოცემული სიმაღლე. ამავე დროს, ის მკაცრად უნდა იყოს დაპროექტებული ფიგურის ბაზაზე. ამრიგად, x სიმაღლის ცოდნით, ჩვენ ვპოულობთ ტოლფერდა სამკუთხედის a მხარეს ფორმულის გამოყენებით a \u003d b \u003d x: cosα. a-ს მნიშვნელობის პოვნის შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ c ფუძის სიგრძე. გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა. ჩვენ ვეძებთ c ფუძის ნახევრის მნიშვნელობას: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. მაშინ c = 2xtanα. ასეთი მარტივი გზით შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი ჩაწერილი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა.

წრეში ჩაწერილი კვადრატის გვერდების გამოთვლა

ნებისმიერი სხვა ჩაწერილი წესიერი მრავალკუთხედის მსგავსად, კვადრატს აქვს თანაბარი გვერდები და კუთხეები. მასზე იგივე ფორმულები ვრცელდება, რაც სამკუთხედზე. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვადრატის გვერდები დიაგონალის მნიშვნელობის გამოყენებით. განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად. ცნობილია, რომ დიაგონალი ორად ყოფს კუთხეს. თავდაპირველად, მისი ღირებულება იყო 90 გრადუსი. ამრიგად, გაყოფის შემდეგ წარმოიქმნება ორი, მათი კუთხეები ფუძესთან 45 გრადუსის ტოლი იქნება. შესაბამისად, კვადრატის თითოეული მხარე ტოლი იქნება, ანუ: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, სადაც e არის კვადრატის დიაგონალი, ან ფუძე. გაყოფის შემდეგ წარმოქმნილი მართკუთხა სამკუთხედი. ეს არ არის კვადრატის გვერდების პოვნის ერთადერთი გზა. ჩავწეროთ ეს ფიგურა წრეში. ამ წრის R რადიუსის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ კვადრატის მხარეს. ჩვენ გამოვთვლით შემდეგნაირად a4 = R√2. რეგულარული მრავალკუთხედების რადიუსი გამოითვლება ფორმულით R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), სადაც a არის გვერდის სიგრძე.

როგორ გამოვთვალოთ n-გონების პერიმეტრი

n-გონის პერიმეტრი არის მისი ყველა მხარის ჯამი. მისი გამოთვლა ადვილია. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა მხარის ღირებულებები. ზოგიერთი ტიპის მრავალკუთხედისთვის არსებობს სპეციალური ფორმულები. ისინი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ პერიმეტრი ბევრად უფრო სწრაფად. ცნობილია, რომ ნებისმიერ ნორმალურ მრავალკუთხედს თანაბარი გვერდები აქვს. ამიტომ მისი პერიმეტრის გამოსათვლელად საკმარისია ერთი მათგანი მაინც იცოდეთ. ფორმულა დამოკიდებული იქნება ფიგურის მხარეების რაოდენობაზე. ზოგადად, ასე გამოიყურება: P \u003d an, სადაც a არის გვერდის მნიშვნელობა და n არის კუთხეების რაოდენობა. მაგალითად, 3 სმ გვერდის მქონე რეგულარული რვაკუთხედის პერიმეტრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ის 8-ზე, ანუ P = 3 ∙ 8 = 24 სმ. ექვსკუთხედისთვის, რომლის გვერდია 5 სმ, ჩვენ ვიანგარიშებთ. შემდეგნაირად: P = 5 ∙ 6 = 30 სმ და ასე თითოეული მრავალკუთხედისთვის.

პარალელოგრამის, კვადრატის და რომბის პერიმეტრის პოვნა

იმის მიხედვით, თუ რამდენი გვერდი აქვს ჩვეულებრივ მრავალკუთხედს, გამოითვლება მისი პერიმეტრი. ეს ბევრად ამარტივებს დავალებას. მართლაც, სხვა ფიგურებისგან განსხვავებით, ამ შემთხვევაში არ არის საჭირო მისი ყველა მხარის ძებნა, საკმარისია მხოლოდ ერთი. ამავე პრინციპით ვხვდებით ოთხკუთხედების პერიმეტრს, ანუ კვადრატსა და რომბს. იმისდა მიუხედავად, რომ ეს განსხვავებული ფიგურებია, მათთვის ფორმულა არის იგივე P = 4a, სადაც a არის მხარე. ავიღოთ მაგალითი. თუ რომბის ან კვადრატის გვერდი 6 სმ-ია, მაშინ პერიმეტრს ვპოულობთ შემდეგნაირად: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 სმ. პარალელოგრამს მხოლოდ მოპირდაპირე გვერდები აქვს. ამიტომ, მისი პერიმეტრი სხვა მეთოდით არის ნაპოვნი. ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ ფიგურის სიგრძე a და სიგანე b. შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას P \u003d (a + c) ∙ 2. პარალელოგრამს, რომელშიც მათ შორის ყველა გვერდი და კუთხე ტოლია, ეწოდება რომბი.

ტოლგვერდა და მართკუთხა სამკუთხედის პერიმეტრის პოვნა

სწორის პერიმეტრი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით P \u003d 3a, სადაც a არის მხარის სიგრძე. თუ უცნობია, მისი პოვნა შესაძლებელია მედიანის საშუალებით. მართკუთხა სამკუთხედში მხოლოდ ორი გვერდია ტოლი. საფუძველი შეიძლება მოიძებნოს პითაგორას თეორემის საშუალებით. მას შემდეგ რაც სამივე მხარის მნიშვნელობები გახდება ცნობილი, ჩვენ ვიანგარიშებთ პერიმეტრს. მისი ნახვა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით P \u003d a + b + c, სადაც a და b თანაბარი მხარეებია, ხოლო c არის საფუძველი. შეგახსენებთ, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში a \u003d b \u003d a, შესაბამისად, a + b \u003d 2a, შემდეგ P \u003d 2a + c. მაგალითად, ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდი არის 4 სმ, იპოვეთ მისი ფუძე და პერიმეტრი. ჩვენ ვიანგარიშებთ ჰიპოტენუზის მნიშვნელობას პითაგორას თეორემის მიხედვით c \u003d √a 2 + 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 სმ. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ პერიმეტრს P \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d 5 + 2. u003d 13,65 სმ.

როგორ მოვძებნოთ რეგულარული მრავალკუთხედის კუთხეები

რეგულარული მრავალკუთხედი ყოველდღიურად გვხვდება ჩვენს ცხოვრებაში, მაგალითად, ჩვეულებრივი კვადრატი, სამკუთხედი, რვაკუთხედი. როგორც ჩანს, არაფერია უფრო ადვილი, ვიდრე ამ ფიგურის შექმნა საკუთარ თავს. მაგრამ ეს მხოლოდ ერთი შეხედვითაა. ნებისმიერი n-გონების ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი კუთხეების მნიშვნელობა. მაგრამ როგორ პოულობ მათ? ანტიკური ხანის მეცნიერებიც კი ცდილობდნენ რეგულარული მრავალკუთხედების აგებას. ისინი მიხვდნენ, რომ ისინი წრეებში მოერგებოდნენ. შემდეგ კი მასზე აღნიშნეს საჭირო წერტილები, რომლებიც დაკავშირებულია სწორი ხაზებით. მარტივი ფიგურებისთვის, კონსტრუქციის პრობლემა მოგვარებულია. მიღებულია ფორმულები და თეორემები. მაგალითად, ევკლიდე თავის ცნობილ ნაშრომში "დასაწყისში" იყო დაკავებული 3-, 4-, 5-, 6- და 15-გონიანი პრობლემების გადაწყვეტით. მან იპოვა მათი აგების და კუთხეების პოვნის გზები. ვნახოთ, როგორ გავაკეთოთ ეს 15 გონებისთვის. ჯერ უნდა გამოთვალოთ მისი შიდა კუთხეების ჯამი. აუცილებელია გამოვიყენოთ ფორმულა S = 180⁰(n-2). ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა 15-გონი, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი n არის 15. ჩვენ ვცვლით ჩვენთვის ნაცნობ მონაცემებს ფორმულაში და ვიღებთ S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. ჩვენ ვიპოვეთ 15 გონების ყველა შიდა კუთხის ჯამი. ახლა ჩვენ უნდა მივიღოთ თითოეული მათგანის ღირებულება. სულ 15 კუთხეა, ვაკეთებთ 2340⁰-ის გამოთვლას: 15 = 156⁰. ეს ნიშნავს, რომ თითოეული შიდა კუთხე არის 156⁰, ახლა სახაზავი და კომპასის გამოყენებით შეგიძლიათ ააგოთ რეგულარული 15-გონი. მაგრამ რაც შეეხება უფრო რთულ n-გონებს? საუკუნეების მანძილზე მეცნიერები იბრძოდნენ ამ პრობლემის გადასაჭრელად. ის მხოლოდ მე-18 საუკუნეში იპოვა კარლ ფრიდრიხ გაუსმა. მან შეძლო 65537 გონების აშენება. მას შემდეგ პრობლემა ოფიციალურად სრულად მოგვარებულად ითვლება.

n-გონების კუთხეების გამოთვლა რადიანებში

რა თქმა უნდა, არსებობს რამდენიმე გზა მრავალკუთხედის კუთხეების მოსაძებნად. ყველაზე ხშირად ისინი გამოითვლება გრადუსით. მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოხატოთ ისინი რადიანებში. Როგორ გავაკეთო ეს? აუცილებელია შემდეგნაირად გაგრძელება. ჯერ გავარკვევთ რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობას, შემდეგ მას გამოვაკლებთ 2. ასე რომ, მივიღებთ მნიშვნელობას: n - 2. ნაპოვნი სხვაობა გავამრავლოთ n რიცხვზე (“pi” \u003d 3.14). ახლა რჩება მხოლოდ მიღებული პროდუქტის გაყოფა n-გონის კუთხეების რაოდენობაზე. განვიხილოთ ეს გამოთვლები იმავე თხუთმეტმხრივი მაგალითის გამოყენებით. ასე რომ, რიცხვი n არის 15. გამოვიყენოთ ფორმულა S = p(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. რა თქმა უნდა, ეს არ არის კუთხის გამოთვლის ერთადერთი გზა რადიანებში. თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ გაყოთ კუთხის ზომა გრადუსებში 57.3 რიცხვზე. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს მრავალი გრადუსი უდრის ერთ რადიანს.

კუთხეების მნიშვნელობის გაანგარიშება გრადუსებში

გრადუსებისა და რადიანების გარდა, შეგიძლიათ სცადოთ იპოვოთ რეგულარული მრავალკუთხედის კუთხეების მნიშვნელობა გრადებში. ეს კეთდება შემდეგი გზით. გამოვაკლოთ 2 კუთხეების მთლიან რაოდენობას, მიღებული განსხვავება გავყოთ რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობაზე. აღმოჩენილ შედეგს ვამრავლებთ 200-ზე. სხვათა შორის, კუთხეების საზომი ისეთი ერთეული, როგორიცაა გრადუსი, პრაქტიკულად არ გამოიყენება.

n-გონების გარე კუთხეების გამოთვლა

ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედისთვის, შიდას გარდა, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გარე კუთხეც. მისი ღირებულება გვხვდება ისევე, როგორც სხვა ფიგურებისთვის. ასე რომ, რეგულარული მრავალკუთხედის გარე კუთხის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ შიდა კუთხის მნიშვნელობა. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ ამ ორი კუთხის ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსია. ამიტომ, ჩვენ ვაკეთებთ გამოთვლებს შემდეგნაირად: 180⁰ გამოკლებული შიდა კუთხის მნიშვნელობა. ჩვენ ვპოულობთ განსხვავებას. ის ტოლი იქნება მის მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობისა. მაგალითად, კვადრატის შიდა კუთხე 90 გრადუსია, ამიტომ გარე კუთხე იქნება 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. როგორც ვხედავთ, მისი პოვნა არ არის რთული. გარე კუთხემ შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობა +180⁰-დან, შესაბამისად, -180⁰-მდე.

მიზანი: ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის საპოვნელ ფორმულას;

• გამოიკვლიეთ მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამის საკითხი, აღებული თითო წვეროზე;
• შემეცნებითი აქტივობის პოზიტიური მოტივაციის ჩამოყალიბება;
• განავითაროს ლოგიკური აზროვნება;
• ყურადღების, დაკვირვების, ნახატის ანალიზის უნარის განვითარება;
• შეძენილი ცოდნის პრობლემების გადასაჭრელად გამოყენების უნარის ჩამოყალიბება;
• მოსწავლეებში კომუნიკაციური კულტურის განვითარება.

გაკვეთილების დროს

დიდი რუსი მეცნიერი, რუსული მიწის სიამაყე,

მიხაილო ვასილიევიჩ ლომონოსოვმა თქვა: "ძალადობრივი სამუშაო გადალახავს დაბრკოლებებს". იმედი მაქვს, რომ დღეს გაკვეთილზე ჩვენი თქვენთან მუშაობა დაგვეხმარება ყველა დაბრკოლების გადალახვაში.

1. საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია. (წინა გამოკითხვა.)

პრეზენტაცია. (სლაიდები 2-4)

- ჩამოაყალიბეთ მრავალკუთხედის განმარტება, დაასახელეთ მისი ძირითადი ელემენტები.
- ამოზნექილი მრავალკუთხედის განმარტება.
- მოიყვანეთ თქვენთვის ცნობილი ოთხკუთხედების მაგალითები, რომლებიც ამოზნექილი მრავალკუთხედებია.
შეიძლება თუ არა სამკუთხედი ჩაითვალოს ამოზნექილ მრავალკუთხედად?
რა არის ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხე?

2. პრობლემის ფორმულირება (გამოტანა გაკვეთილის თემაზე).

ზეპირი წინა სამუშაო.

იპოვეთ მოცემული მრავალკუთხედების კუთხეების ჯამი (სლაიდები 5-6)

- სამკუთხედი; მართკუთხედი:
- ტრაპეცია; თვითნებური შვიდკუთხედი.

სირთულის შემთხვევაში მასწავლებელი სვამს კითხვებს:

- ჩამოაყალიბეთ ტრაპეციის განმარტება.
დაასახელეთ ტრაპეციის ფუძეები.
- რა შეიძლება ითქვას A და D კუთხეების წყვილზე, რა თვისება აქვთ მათ?
- შეგიძლიათ კიდევ დაასახელოთ ნახატზე შიდა ცალმხრივი დაჭერის წყვილი?
შეგიძლიათ იპოვოთ შვიდკუთხედის კუთხეების ჯამი? Რა არის კითხვა? (არსებობს თუ არა ფორმულა თვითნებური მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის საპოვნელად?)

ასე რომ, ცხადია, რომ ჩვენი დღევანდელი ცოდნა საკმარისი არ არის ამ პრობლემის გადასაჭრელად.

როგორ ჩამოვაყალიბოთ ჩვენი გაკვეთილის თემა? - კუთხეების ჯამიამოზნექილი მრავალკუთხედი.

3. გამოსავალი პრობლემები. ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით გავაკეთოთ მცირე გამოკვლევა.

ჩვენ უკვე ვიცით სამკუთხედის ჯამის თეორემა. შეგვიძლია თუ არა მისი გამოყენება რაიმე ფორმით?

- რა უნდა გაკეთდეს ამისთვის? (დაყავით მრავალკუთხედი სამკუთხედებად.)

როგორ შეიძლება მრავალკუთხედი დაიყოს სამკუთხედებად? დაფიქრდით, განიხილეთ და შესთავაზეთ თქვენი საუკეთესო ვარიანტები.

მიმდინარეობს მუშაობა ჯგუფურად, თითოეული ჯგუფი მუშაობს ცალკე კომპიუტერზე, რომელზედაც დაყენებულია პროგრამა „ჯეო გებრა“.

სამუშაოს დასასრულს მასწავლებელი ეკრანზე აჩვენებს ჯგუფების მუშაობის შედეგებს. (სლაიდი 7)

- გავაანალიზოთ შემოთავაზებული ვარიანტები და შევეცადოთ ავირჩიოთ ყველაზე ოპტიმალური ჩვენი კვლევისთვის.

განვსაზღვროთ შერჩევის კრიტერიუმები: რა გვინდა მივიღოთ გაყოფის შედეგად? (აშენებული სამკუთხედების ყველა კუთხის ჯამი უნდა იყოს მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის ტოლი.)

- რა ვარიანტების დაუყოვნებლივ გაუქმება შეიძლება? რატომ?

(ვარიანტი 1, რადგან ყველა სამკუთხედის კუთხის ჯამი არ არის მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის ტოლი.)

- რომელი ვარიანტია ყველაზე შესაფერისი? რატომ? (ვარიანტი 3.)

როგორ მიიღეთ ეს ვარიანტი? (ჩვენ დავხატეთ დიაგონალები მრავალკუთხედის ერთი წვეროდან

ნახატი	n არის მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობა	ერთი წვეროდან გამოყვანილი დიაგონალების რაოდენობა	მიღებული სამკუთხედების რაოდენობა
	4
	5
	6
	7
	ნ

- შევეცადოთ დავამყაროთ კავშირი მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობას, დიაგონალების რაოდენობას, რომელთა ამოღება შესაძლებელია ერთი წვეროდან და მიღებული სამკუთხედების რაოდენობას შორის.

თითოეული ჯგუფი იღებს ცხრილს, რომელიც უნდა შეავსონ კვლევის პროცესში.

ჯგუფებში განხილვის შემდეგ ბავშვები აყალიბებენ თავიანთ დასკვნებს:
n-გონის ერთი წვეროდან n - 3 დიაგონალის დახატვაა შესაძლებელი (რადგან დიაგონალი ვერ დაიხაზება თავად არჩეულ წვეროზე და ორ მეზობელზე). ამ შემთხვევაში ვიღებთ n - 2 სამკუთხედს.

მაშასადამე, ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 0 (n-2).

- დავუბრუნდეთ მრავალკუთხედის სამკუთხედებად დაყოფის შემოთავაზებულ ვარიანტებს.

შესაძლებელია თუ არა ამ თეორემის დასამტკიცებლად 4-ზე შემოთავაზებული ვარიანტის გამოყენება?

რამდენი სამკუთხედი მიიღება ასეთი დანაყოფით? ( პნივთები)
რა განსხვავებაა ყველა სამკუთხედის კუთხის ჯამსა და მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამს შორის? (360 0-ზე)
- როგორ გამოვთვალოთ მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი ამ შემთხვევაში?

(180პ– 360 = 180n - 180x2 \u003d 180 (n -2)) (Cდაწექი 8)

– აკმაყოფილებს თუ არა მე-2 სურათზე შემოთავაზებული ვარიანტი იმ ძირითად მოთხოვნას, რომელიც ჩვენ დავაყენეთ დანაყოფისთვის? (დიახ.)

- რატომ არ არის მიზანშეწონილი მისი გამოყენება მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის საპოვნელად? (უფრო რთულია მიღებული სამკუთხედების რაოდენობის დათვლა.)

კარგი, ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც გაკვეთილის დასაწყისში ვერ მოვაგვარეთ.

(ბავშვები სიტყვიერად ითვლიან შვიდკუთხედის კუთხეების ჯამს და კიდევ ორ მსგავს სავარჯიშოს.) (სლაიდი 9 და 10)

4. მიღებული ცოდნის გამოყენება .

ჩვენ გამოვიყვანეთ ფორმულა ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამის საპოვნელად. ახლა მოდით ვისაუბროთ მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამზე, აღებული თითო წვეროზე.

ასე რომ, ამოცანაა: რომელია უფრო დიდი: გარე კუთხეების ჯამი, აღებული თითო წვეროზე, ამოზნექილი ექვსკუთხედისთვის თუ სამკუთხედისთვის? (სლაიდი 11)

ბავშვები გამოცნობას აკეთებენ. მასწავლებელი ამ საკითხის გადასაჭრელად კვლევის ჩატარებას გვთავაზობს.

თითოეულ ჯგუფს ეძლევა დამოუკიდებლად ამოსახსნელი დავალება.

ჯგუფი 1.

1) იპოვეთ წესიერი სამკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი, აღებული თითო წვეროზე.
2) - სამკუთხედთან, რომლის კუთხეების ხარისხიანი მნიშვნელობებია შესაბამისად 70 0, 80 0 და 30 0.

ჯგუფი 2

1) იპოვეთ მართკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი, აღებული თითო თითო წვეროზე.
2) - ოთხკუთხედზე, რომლის შიდა კუთხეები არის შესაბამისად 70 0 , 80 0 და 120 0 და 90 0 .

ჯგუფი 3.

1) იპოვეთ წესიერი ექვსკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი, აღებული თითო წვეროზე.
2) - ექვსკუთხედთან, რომლის შიდა კუთხეები არის შესაბამისად 170 0, 80 0 და 130 0, 100 0, 70 0, 170 0.

სამუშაოს დასრულების შემდეგ ბავშვები აცნობებენ შედეგებს, მასწავლებელი შეაქვს მათ ცხრილში და აჩვენებს მათ ეკრანზე. (სლაიდი 12)

მაშ, რა დასკვნის გაკეთება შეიძლება მიღებული შედეგებიდან? (გარე კუთხეების ჯამი, აღებული თითო წვეროზე, ნებისმიერი მრავალკუთხედისთვის არის 360 0.)

ახლა შევეცადოთ დავამტკიცოთ ეს ფაქტი ნებისმიერი n-გონისთვის.

თუ სირთულეები წარმოიქმნება, მტკიცებულების გეგმა განიხილება ერთობლივად:

1. დაასახელეთ მრავალკუთხედის შიდა კუთხეები α, β, γ და ა.შ.
2. შემოყვანილი აღნიშვნის საშუალებით გამოხატეთ გარე კუთხეების ხარისხის ზომები
3. დაწერეთ გამოთქმა მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამის საპოვნელად
4. მიღებული გამოსახულების გარდაქმნა, მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამის გამოყენება ადრე მიღებული ფორმულა.

მტკიცებულება დაფაზე წერია:

(180 - α) + (180 - β) + (180 - γ) + ... = 180 p - (α + β + γ + ...) = 180 p - 180 (p - 2) = 360

5. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია. Პრობლემის გადაჭრა.

ამოცანა 1. არსებობს თუ არა ამოზნექილი მრავალკუთხედი ასეთი შიდა კუთხეებით: 45 0 , 68 0 , 73 0 და 56 0 ? Განმარტე შენი პასუხი.

მოდით დავამტკიცოთ წინააღმდეგობებით. თუ ამოზნექილ მრავალკუთხედს აქვს ოთხი მკვეთრი შიდა კუთხე, მაშინ არსებობს ოთხი ბლაგვი გარე კუთხე, რაც ნიშნავს, რომ მრავალკუთხედის ყველა გარე კუთხის ჯამი მეტია 4*90 0 = 360 0-ზე. ჩვენ გვაქვს წინააღმდეგობა. მტკიცება დადასტურდა.

ამოზნექილ მრავალკუთხედს აქვს სამი 80 გრადუსიანი კუთხე, დანარჩენი კი 150 გრადუსია. რამდენი კუთხეა ამოზნექილ მრავალკუთხედში?

როგორც: ამოზნექილი n-გონებისთვის, კუთხეების ჯამი არის 180°(n – 2) , შემდეგ 180(n - 2)=3*80 + x*150, სადაც 80 გრადუსიანი 3 კუთხე გვეძლევა ამოცანის პირობის მიხედვით, ხოლო სხვა კუთხეების რაოდენობა ჩვენთვის ჯერ კიდევ უცნობია, რაც ნიშნავს. აღნიშნე მათი რიცხვი x-ით.

თუმცა, მარცხენა მხარეს ჩანაწერიდან, ჩვენ განვსაზღვრეთ მრავალკუთხედის კუთხეების რაოდენობა, როგორც n, რადგან ჩვენ ვიცით სამი მათგანის მნიშვნელობები პრობლემის მდგომარეობიდან, აშკარაა, რომ x=n-3.

ასე რომ, განტოლება ასე გამოიყურება: 180(n - 2) = 240 + 150(n - 3)

ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

პასუხი: 5 მწვერვალი.

6. გაკვეთილის შეჯამება.

Ისე, მოდით შევაჯამოთ. ჩამოაყალიბეთ თქვენი შეკითხვები სხვა ჯგუფის ბიჭებისთვის დღევანდელი გაკვეთილის მასალებზე დაყრდნობით.

როგორ ფიქრობთ, რა არის საუკეთესო კითხვა?

იმსჯელეთ ჯგუფის თითოეული წევრის კოლექტიურ მუშაობაში მონაწილეობის ხარისხზე, დაასახელეთ ყველაზე აქტიური.

ვისი მუშაობა იყო ჯგუფში ყველაზე პროდუქტიული?

7. საშინაო დავალება:

1. დავალება.

მრავალკუთხედს აქვს სამი კუთხე 113 გრადუსიანი, დანარჩენი კი ერთმანეთის ტოლია და მათი გრადუსის ზომა არის მთელი რიცხვი. იპოვეთ მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობა.

2. პუნქტი 114 გვ.169–171, Pogorelov A.V. "გეომეტრია 7–9".

ვიდეო გაკვეთილი 2: მრავალკუთხედები. Პრობლემის გადაჭრა

ლექცია: მრავალკუთხედი. ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი

მრავალკუთხედები- ეს ის ფიგურებია, რომლებიც ყველგან გვახვევენ - ეს არის ასევე თაფლის თაფლის ფორმა, რომელშიც ფუტკარი ინახავს თაფლს, არქიტექტურულ ნაგებობებს და ბევრ სხვას.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, პოლიგონები არის ფორმები, რომლებსაც აქვთ ორზე მეტი კუთხე. ისინი შედგება დახურული გატეხილი ხაზისგან.

უფრო მეტიც, პოლიგონების კუთხეები შეიძლება იყოს გარე და შიდა. მაგალითად, ვარსკვლავი არის ფიგურა, რომელსაც აქვს 10 კუთხე, რომელთაგან ზოგი ამოზნექილია, ზოგი კი ჩაზნექილი:

ამოზნექილი მრავალკუთხედების მაგალითები:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფიგურაში ნაჩვენებია რეგულარული მრავალკუთხედები - ეს არის ის, რაც დეტალურად არის შესწავლილი სკოლის მათემატიკის კურსში.

ნებისმიერ მრავალკუთხედს აქვს წვეროების იგივე რაოდენობა, რაც გვერდების რაოდენობას. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ მეზობელი წვეროები არის ისინი, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო მხარე. მაგალითად, სამკუთხედს აქვს ყველა მიმდებარე წვერო.

რაც უფრო მეტი კუთხე აქვს რეგულარულ მრავალკუთხედს, მით უფრო დიდია მათი ხარისხი. ამასთან, ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხის ხარისხი არ შეიძლება იყოს 180 გრადუსზე მეტი ან ტოლი.

მრავალკუთხედის ზოგადი ხარისხის საზომის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა.

მე-8 კლასში სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე მოსწავლეები პირველად ეცნობიან ამოზნექილი მრავალკუთხედის ცნებას. ძალიან მალე გაიგებენ, რომ ამ ფიგურას ძალიან საინტერესო თვისება აქვს. რაც არ უნდა რთული იყოს ის, ამოზნექილი მრავალკუთხედის ყველა შიდა და გარე კუთხის ჯამი იღებს მკაცრად განსაზღვრულ მნიშვნელობას. ამ სტატიაში მათემატიკისა და ფიზიკის დამრიგებელი საუბრობს იმაზე, თუ რა არის ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი

როგორ დავამტკიცოთ ეს ფორმულა?

სანამ ამ განცხადების დადასტურებას გადავიდოდეთ, გავიხსენებთ რომელ მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი. ამოზნექილი მრავალკუთხედი არის მრავალკუთხედი, რომელიც მთლიანად დევს ხაზის ერთ მხარეს, რომელიც შეიცავს მის რომელიმე მხარეს. მაგალითად, ამ სურათზე ნაჩვენები:

თუ მრავალკუთხედი არ აკმაყოფილებს მითითებულ პირობას, მაშინ მას არაამოზნექილი ეწოდება. მაგალითად, ასე:

ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი არის , სადაც არის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა.

ამ ფაქტის დადასტურება ემყარება თეორემას სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ, რომელიც კარგად არის ცნობილი ყველა სკოლის მოსწავლისთვის. დარწმუნებული ვარ, რომ თქვენ იცნობთ ამ თეორემას. სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი არის .

იდეა არის ამოზნექილი მრავალკუთხედის დაყოფა მრავალ სამკუთხედად. ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით. იმისდა მიხედვით, თუ რომელ მეთოდს ავირჩევთ, მტკიცებულებები ოდნავ განსხვავებული იქნება.

1. ამოზნექილი მრავალკუთხედი დაყავით სამკუთხედებად ყველა შესაძლო დიაგონალზე, რომელიც გამოყვანილია რომელიმე წვეროდან. ადვილი გასაგებია, რომ მაშინ ჩვენი n-gon დაიყოფა სამკუთხედებად:

უფრო მეტიც, ყველა მიღებული სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი უდრის ჩვენი n-გონის კუთხეების ჯამს. ყოველივე ამის შემდეგ, მიღებული სამკუთხედების თითოეული კუთხე არის ნაწილობრივი კუთხე ჩვენს ამოზნექილ მრავალკუთხედში. ანუ საჭირო თანხა უდრის.

2. თქვენ ასევე შეგიძლიათ აირჩიოთ წერტილი ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიგნით და დააკავშიროთ იგი ყველა წვეროსთან. მაშინ ჩვენი n-gon დაიყოფა სამკუთხედებად:

უფრო მეტიც, ჩვენი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი ამ შემთხვევაში ტოლი იქნება ყველა ამ სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამის გამოკლებით ცენტრალური კუთხე, რომელიც უდრის . ანუ სასურველი თანხა ისევ უდრის.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი

ახლა დავუსვათ საკუთარ თავს კითხვა: "რა არის ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი?" ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია შემდეგი გზით. თითოეული გარე კუთხე არის შესაბამისი შიდა კუთხის მიმდებარედ. ამიტომ ის უდრის:

მაშინ ყველა გარე კუთხის ჯამი არის . ანუ უდრის .

ძალიან სასაცილო შედეგია. თუ ერთმანეთის მიყოლებით დავდებთ გვერდით ნებისმიერი ამოზნექილი n-გონების ყველა გარე კუთხეს, მაშინ ზუსტად მთელი სიბრტყე შეივსება.

ეს საინტერესო ფაქტი შემდეგნაირად შეიძლება აისახოს. მოდით პროპორციულად შევამციროთ ზოგიერთი ამოზნექილი მრავალკუთხედის ყველა მხარე, სანამ ის არ გაერთიანდება წერტილად. ამის შემდეგ, ყველა გარე კუთხე განზე იქნება ერთმანეთისგან და ამით შეავსებს მთელ თვითმფრინავს.

საინტერესო ფაქტია, არა? და გეომეტრიაში ბევრი ასეთი ფაქტია. ასე რომ, ისწავლეთ გეომეტრია, ძვირფასო სტუდენტებო!

მასალა იმის შესახებ, თუ რას უდრის ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი, მოამზადა სერგეი ვალერიევიჩმა.