2. გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციები

გაუსის მეთოდი ძირითადი ელემენტის არჩევით. გაუსის მეთოდის მთავარი შეზღუდვა არის დაშვება, რომ ყველა ელემენტი, რომლებშიც დაყოფა ხდება წინსვლის ყოველი ნაბიჯის დროს, არ არის ნულის ტოლი. ამ ელემენტებს უწოდებენ ძირითად ელემენტებს და განლაგებულია A მატრიცის მთავარ დიაგონალზე.

თუ წინსვლის რომელიმე საფეხურზე მთავარი ელემენტი = 0 გადაადგილდება, მაშინ სისტემის შემდგომი გადაწყვეტა შეუძლებელია. თუ ძირითად ელემენტს აქვს მცირე მნიშვნელობა ნულთან ახლოს, მაშინ შეცდომის ძლიერი ზრდა შესაძლებელია გაყოფის შედეგად მიღებული კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობის მკვეთრი ზრდის გამო. ასეთ სიტუაციებში გაუსის მეთოდი არასტაბილური ხდება.

გაუსის მეთოდი ძირითადი ელემენტის არჩევით საშუალებას იძლევა გამოირიცხოს ასეთი შემთხვევები.

ამ მეთოდის იდეა შემდეგია. წინსვლის რაღაც k-ე საფეხურზე განტოლებიდან არ არის გამორიცხული შემდეგი ცვლადი x k, არამედ ისეთი ცვლადი, რომლის კოეფიციენტი ყველაზე დიდია აბსოლუტურ მნიშვნელობაში. ეს უზრუნველყოფს ნულზე გაყოფის არარსებობას და მეთოდის სტაბილურობას.

თუ kth საფეხურზე ¹ არჩეულია მთავარ ელემენტად, მაშინ რიგები k და p ნომრებით და სვეტები k და q რიცხვებით უნდა შეიცვალოს A¢ მატრიცაში.

მწკრივების პერმუტაცია არ ახდენს გავლენას ამონახსნზე, რადგან ის შეესაბამება სისტემაში განტოლებების პერმუტაციას, მაგრამ სვეტების პერმუტაცია ნიშნავს ცვლადების ნუმერაციის ცვლილებას. ამიტომ, ინფორმაცია ყველა შეცვლილი სვეტის შესახებ უნდა იყოს შენახული ისე, რომ საპირისპირო სვლის დასრულების შემდეგ შესაძლებელი იყოს ცვლადების თავდაპირველი ნუმერაციის აღდგენა.

გაუსის მეთოდის ორი მარტივი მოდიფიკაცია არსებობს:

სვეტის მიხედვით ძირითადი ელემენტის არჩევით;

ძირითადი ელემენტის ხაზის არჩევით.

პირველ შემთხვევაში მთავარ ელემენტად არჩეულია kth მწკრივის უდიდესი აბსოლუტური ელემენტი ( ელემენტებს შორის , i = ). მეორეში - k-th სვეტის უდიდესი აბსოლუტური მნიშვნელობის ელემენტი ( ელემენტებს შორის , i = ). პირველი მიდგომა ყველაზე გავრცელებულია, ვინაიდან ცვლადების ნუმერაცია აქ არ იცვლება.

უნდა აღინიშნოს, რომ აღნიშნული ცვლილებები ეხება მხოლოდ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს. საპირისპირო მოძრაობა ხორციელდება ცვლილებების გარეშე, მაგრამ ამოხსნის მიღების შემდეგ შესაძლოა საჭირო გახდეს ცვლადების თავდაპირველი ნუმერაციის აღდგენა.

LU დაშლა. თანამედროვე კომპიუტერულ პროგრამულ უზრუნველყოფაში, გაუსის მეთოდი ხორციელდება LU-დაშლის გამოყენებით, რაც გაგებულია, როგორც კოეფიციენტის A მატრიცის წარმოდგენა, როგორც ნამრავლი A = LU ორი მატრიცის L და U, სადაც L არის ქვედა სამკუთხა მატრიცა, U არის ზედა სამკუთხა მატრიცა

თუ მიიღება LU-დაშლა, მაშინ განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის ამონახსნი (2) მცირდება განტოლებათა შემდეგი ორი სისტემის თანმიმდევრულ ამონახვამდე სამკუთხა კოეფიციენტის მატრიცებით.

წრფივი ალგებრული განტოლება რიცხვითი

სადაც Y = - დამხმარე ცვლადების ვექტორი.

ეს მიდგომა შესაძლებელს ხდის წრფივი განტოლებების სისტემების განმეორებით ამოხსნას სხვადასხვა მარჯვენა მხარეს B. ამ შემთხვევაში ყველაზე შრომატევადი ნაწილი (LU- მატრიცის A დაშლა) შესრულებულია მხოლოდ ერთხელ. ეს პროცედურა შეესაბამება პირდაპირ გაუსის მეთოდს და აქვს შრომის შეტანის შეფასება O(n 3). (6) და (7) განტოლებების სისტემების შემდგომი ამოხსნა შეიძლება განმეორდეს (სხვადასხვა B-სთვის), ხოლო თითოეული მათგანის ამოხსნა შეესაბამება გაუსის მეთოდის საპირისპირო სვლას და აქვს გამოთვლითი სირთულის შეფასება O. (n 2).

LU დაშლის მისაღებად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ალგორითმი.

1. თავდაპირველი სისტემისთვის (1) შეასრულეთ პირდაპირი გაუსის მეთოდი და მიიღეთ სამკუთხა განტოლებათა სისტემა (5).

2. განსაზღვრეთ U მატრიცის ელემენტები წესის მიხედვით

u ij = C ij (i = ; j =)

3. გამოთვალეთ L მატრიცის ელემენტები წესების მიხედვით

სისტემის (6) ამოხსნის გამოთვლის ფორმულები შემდეგია:

y 1 \u003d b 1 / l 11;

სისტემის ამოხსნის გამოთვლის ფორმულები (7)

(i = n - 1, n - 2, ..., 1).

ამავდროულად, რეალურად ინვერსიული მატრიცის პოვნა საკმაოდ შრომატევადი პროცესია და მის პროგრამირებას ძნელად შეიძლება ეწოდოს ელემენტარული ამოცანა. ამიტომ პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები. წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები მოიცავს: გაუსის მეთოდს, კრამერის მეთოდს, განმეორებით მეთოდებს. გაუსის მეთოდში, მაგალითად, მუშაობს...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455-ის მეთოდის მეზობლობა (Function of axi, 1.59506 x3=0.35455 x5). დიფერენცირებადია საკმარისი რაოდენობის ჯერ. ...

Turbo Pascal 7.0-ში წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის მარტივი გამეორების მეთოდით. 1.2 ამოცანის მათემატიკური ფორმულირება დავუშვათ A არის არასიგნორული მატრიცა და უნდა ამოხსნათ სისტემა, სადაც A მატრიცის დიაგონალური ელემენტები ნულის ტოლია. 1.3 პრობლემის გადაჭრის არსებული რიცხვითი მეთოდების მიმოხილვა გაუსის მეთოდი გაუსის მეთოდში SLAE მატრიცა ექვივალენტური ...

ნომრები). გარდა ამისა, (2) ფორმულების მიხედვით, xn-1, xn-2,…, x1 თანმიმდევრულად გვხვდება i=n-1, n-2,...,1 შესაბამისად. ამრიგად, ფორმის (1) განტოლებების ამოხსნა აღწერილია მეთოდით, რომელსაც ეწოდება სვიპის მეთოდი, რომელიც დაყვანილია გამოთვლებამდე სამი მარტივი ფორმულის გამოყენებით: ე.წ. 1,2,…,n (პირდაპირი გადაღება) და შემდეგ უცნობი xi...

(SLAE), რომელიც შედგება უცნობი განტოლებისგან:

ვარაუდობენ, რომ არსებობს სისტემის უნიკალური გადაწყვეტა, ე.ი.

ეს სტატია განიხილავს შეცდომის მიზეზებს, რომელიც წარმოიქმნება გაუსის მეთოდის გამოყენებით სისტემის ამოხსნისას, ამ შეცდომის იდენტიფიცირებისა და აღმოფხვრის (შემცირების) გზებს.

მეთოდის აღწერა

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პროცესი

გაუსის მეთოდის მიხედვით, შედგება 2 ეტაპისგან:

1. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ . შემდეგ სისტემის პირველ განტოლებას ვყოფთ კოეფიციენტზე , შედეგად ვიღებთ განტოლებას . შემდეგ, თითოეულ დარჩენილ განტოლებას აკლდება პირველი, გამრავლებული შესაბამისი კოეფიციენტით. შედეგად, სისტემა გარდაიქმნება ფორმაში: 2. თუ ვივარაუდებთ, რომ მეორე განტოლებას ვყოფთ კოეფიციენტზე და გამოვრიცხავთ უცნობს ყველა შემდგომი განტოლებიდან და ა.შ. 3. ვიღებთ განტოლებათა სისტემას სამკუთხა მატრიცით:

• უცნობების უკანა პირდაპირი განსაზღვრა

1. სისტემის th განტოლებიდან ვადგენთ 2. th-დან - განვსაზღვრავთ და ა.შ.

მეთოდის ანალიზი

ეს მეთოდი მიეკუთვნება განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პირდაპირი მეთოდების კლასს, რაც ნიშნავს, რომ ზუსტი ამონახსნის მიღება შესაძლებელია სასრული რაოდენობის ნაბიჯებით, იმ პირობით, რომ შეყვანის მონაცემები (მატრიცა და განტოლების მარჯვენა მხარე - ) არის ზუსტად არის მითითებული და გამოთვლა ხდება დამრგვალების გარეშე. ამოხსნის მისაღებად საჭიროა გამრავლება და გაყოფა, ანუ მოქმედებების თანმიმდევრობა.

პირობები, რომლებშიც მეთოდი აწარმოებს ზუსტ გადაწყვეტას, პრაქტიკაში არ არის განხორციელებული - როგორც შეყვანის მონაცემების შეცდომები, ასევე დამრგვალების შეცდომები გარდაუვალია. მაშინ ჩნდება კითხვა: რამდენად ზუსტი ამოხსნის მიღება შეიძლება გაუსის მეთოდით, რამდენად სწორია მეთოდი? მოდით განვსაზღვროთ ხსნარის სტაბილურობა შეყვანის პარამეტრებთან მიმართებაში. თავდაპირველ სისტემასთან ერთად, განიხილეთ შეშფოთებული სისტემა:

რამე ნორმა შემოვიდეს. - ეწოდება მატრიცის პირობის რიცხვს.

შესაძლებელია 3 შემთხვევა:

მატრიცის პირობის ნომერი ყოველთვის არის. თუ ის დიდია () , მაშინ ამბობენ, რომ მატრიცა ცუდად არის განპირობებული. ამ შემთხვევაში, სისტემის მარჯვენა მხარის მცირე არეულობა, რომელიც გამოწვეულია ან საწყისი მონაცემების დაყენების უზუსტობებით, ან გამოთვლების შეცდომებით გამოწვეული, მნიშვნელოვნად მოქმედებს სისტემის ამოხსნაზე. უხეშად რომ ვთქვათ, თუ მარჯვენა მხარის შეცდომა არის , მაშინ ამოხსნის შეცდომა იქნება .

მიღებული შედეგები ილუსტრაციით ავღნიშნოთ შემდეგი რიცხვითი მაგალითით: მოცემული სისტემა

მას აქვს გამოსავალი.

ახლა განიხილეთ დაზიანებული სისტემა:

ასეთი სისტემის გამოსავალი არის ვექტორი.

მარჯვენა მხარის ძალიან მცირე დარღვევით მივიღეთ ხსნარის არაპროპორციულად დიდი არეულობა. ამოხსნის ეს "არასანდოობა" შეიძლება აიხსნას იმით, რომ მატრიცა თითქმის დეგენერირებულია: ორი განტოლების შესაბამისი ხაზები თითქმის ემთხვევა, როგორც ჩანს გრაფიკზე:

ასეთი შედეგი შეიძლება მოსალოდნელი იყოს მატრიცის ცუდი პირობითობის გამო:

გაანგარიშება საკმაოდ რთულია, შედარებულია მთელი სისტემის ამოხსნასთან, ამიტომ შეცდომის შესაფასებლად გამოიყენება უფრო უხეში, მაგრამ ადვილად განსახორციელებელი მეთოდები.

შეცდომების შეფასების მეთოდები

1) შეამოწმეთ ჯამი: ჩვეულებრივ გამოიყენება კომპიუტერის დახმარების გარეშე გამოთვლის პროცესში შემთხვევითი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.

ჩვენ ვქმნით საკონტროლო სვეტს, რომელიც შედგება სისტემის საკონტროლო ელემენტებისაგან:

განტოლებების გარდაქმნისას საკონტროლო ელემენტებზე იგივე ოპერაციები ხორციელდება, რაც განტოლებების თავისუფალ წევრებზე. შედეგად, ყოველი ახალი განტოლების საკონტროლო ელემენტი უნდა იყოს ამ განტოლების კოეფიციენტების ჯამის ტოლი. მათ შორის დიდი შეუსაბამობა მიუთითებს გამოთვლების შეცდომებზე ან გაანგარიშების ალგორითმის არასტაბილურობაზე გამოთვლით შეცდომასთან მიმართებაში.

2) ცნობილი ამოხსნის შედარებითი შეცდომა საშუალებას იძლევა მნიშვნელოვანი დამატებითი ხარჯების გარეშე მიიღოთ გადაწყვეტილება გადაწყვეტის შეცდომის შესახებ.

გარკვეული ვექტორი მოცემულია კომპონენტებით, რომლებსაც აქვთ, თუ ეს შესაძლებელია, იგივე თანმიმდევრობა და ნიშანი, როგორც სასურველი ამოხსნის კომპონენტები. ვექტორი გამოითვლება და განტოლებათა თავდაპირველ სისტემასთან ერთად სისტემა ამოხსნილია.

მოდით და რეალურად მივიღოთ ამ სისტემების გადაწყვეტილებები. განსჯა სასურველი ამოხსნის შეცდომის შესახებ შეიძლება მიღებულ იქნას ჰიპოთეზაზე: ფარდობითი შეცდომები ამოხსნის მეთოდით სისტემების იგივე მატრიცით და სხვადასხვა მარჯვენა მხარეს, რომლებიც, შესაბამისად, მნიშვნელობებია და , განსხვავდება. არა ძალიან დიდი რაოდენობით.

3) გადაანგარიშება - ტექნიკა, რომელიც გამოიყენება შეცდომის რეალური მნიშვნელობის შესახებ წარმოდგენის მისაღებად, რომელიც ხდება გამოთვლებში დამრგვალების გამო.

თავდაპირველ სისტემასთან ერთად სისტემაც იგივე მეთოდით წყდება

, სად და არის ნომრები

თუ არ იქნებოდა დამრგვალების შეცდომა, მაშინ თანასწორობა დაფიქსირდა ორიგინალური და მასშტაბური სისტემების ამონახსნებისთვის: . მაშასადამე, for და, რომლებიც არ არის ორის ხარისხები, ვექტორების შედარება და წარმოდგენას იძლევა გამოთვლითი შეცდომის სიდიდეზე.

გაუსის ელიმინაციის გაუმჯობესება

ქვემოთ განხილული გაუსის მეთოდის ცვლილებები შესაძლებელს ხდის შედეგის შეცდომის შემცირებას.

ძირითადი ელემენტის შერჩევა

მეთოდის შეცდომის ძირითადი მატება ხდება წინსვლისას, როდესაც წინა მწკრივი მრავლდება კოეფიციენტებზე. თუ კოეფიციენტები არის 1%20" alt=" >1 ">, მაშინ წინა საფეხურებში მიღებული შეცდომებია. დაგროვილი გაუსიანი ძირითადი ელემენტის არჩევით ყოველ საფეხურზე, ჩვეულ სქემას ემატება სვეტების მიხედვით არჩევის მაქსიმალური ელემენტი შემდეგნაირად:

მოდით მივიღოთ განტოლებათა შემდეგი სისტემა უცნობიების აღმოფხვრის პროცესში:

, .

იპოვეთ ისეთი და შეცვალეთ -ე და -ე განტოლებები.

ასეთი ტრანსფორმაცია ხშირ შემთხვევაში მნიშვნელოვნად ამცირებს ხსნარის მგრძნობელობას გამოთვლებში დამრგვალების შეცდომებზე.

შედეგის განმეორებითი გაუმჯობესება

თუ არსებობს ეჭვი, რომ მიღებული ხსნარი ძლიერ დამახინჯებულია, მაშინ შედეგი შეიძლება გაუმჯობესდეს შემდეგნაირად. რაოდენობას ნარჩენი ეწოდება. შეცდომა აკმაყოფილებს განტოლებათა სისტემას

.

ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ მიახლოებას და კომპლექტს

.

თუ ამ მიახლოების სიზუსტე არადამაკმაყოფილებელია, მაშინ ვიმეორებთ ამ ოპერაციას.

პროცესი შეიძლება გაგრძელდეს მანამ, სანამ ყველა კომპონენტი საკმარისად მცირეა. ამ შემთხვევაში, გამოთვლების შეჩერება შეუძლებელია მხოლოდ იმიტომ, რომ ნარჩენი ვექტორის ყველა კომპონენტი საკმარისად მცირე გახდა: ეს შეიძლება იყოს კოეფიციენტების მატრიცის ცუდი პირობითობის შედეგი.

რიცხვითი მაგალითი

განვიხილოთ მაგალითად 7x7 ვანდერმონდის მატრიცა და 2 განსხვავებული მარჯვენა მხარე:

ეს სისტემები გადაწყდა ორი გზით. მონაცემთა ტიპი არის float. შედეგად მივიღეთ შემდეგი შედეგები:

ჩვეულებრივი მეთოდი
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	2.33e-008
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	1.12e-006
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	3.27e-006
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2.9826e-006	0,01818	8.8362e-006
0,006497	4.2608e-007	0,0045451	2.209e-006
0,040152	4.344e-005	0,083938	2.8654e-006

წამყვანი ელემენტის არჩევით ხაზის მიხედვით
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1.836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	7.16e-006
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1.8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4.3835e-007	0,009439	5.0683e-005
4.2571e-005	6.2622e-008	0,0023542	1.2671e-005
0,010622	9.8016e-007	0,29402	1.4768e-006

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი უმარტივესი გზაა დეტერმინანტების გამოთვლაზე დაფუძნებული მეთოდი ( კრამერის წესი). მისი უპირატესობა ის არის, რომ საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ გამოსავალი, განსაკუთრებით მოსახერხებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემის კოეფიციენტები არ არის რიცხვები, არამედ ზოგიერთი პარამეტრი. მისი მინუსი არის გამოთვლების უხერხულობა დიდი რაოდენობის განტოლების შემთხვევაში, უფრო მეტიც, კრამერის წესი პირდაპირ არ ვრცელდება სისტემებზე, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას. ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ გამოიყენება გაუსის მეთოდი.

წრფივი განტოლებათა სისტემებს, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების ერთნაირი ნაკრები ეწოდება ექვივალენტი. ცხადია, წრფივი სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არ შეიცვლება, თუ რომელიმე განტოლება ერთმანეთს ენაცვლება, ან თუ ერთ-ერთი განტოლება გამრავლდება რაიმე არანულოვან რიცხვზე, ან თუ ერთი განტოლება დაემატება მეორეს.

გაუსის მეთოდი (უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი) მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით სისტემა მცირდება ეკვივალენტურ ეტაპობრივ სისტემამდე. პირველი, პირველი განტოლების დახმარებით, xსისტემის ყველა შემდგომი განტოლების 1. შემდეგ, მე-2 განტოლების გამოყენებით, ჩვენ გამოვრიცხავთ xმე-3 განტოლების 2 და ყველა შემდგომი განტოლება. ამ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი, გრძელდება მანამ, სანამ მხოლოდ ერთი უცნობი დარჩება ბოლო განტოლების მარცხენა მხარეს x n. ამის შემდეგ მზადდება გაუსიანი რევერსი– ბოლო განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ x n; ამის შემდეგ, ამ მნიშვნელობის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ბოლო განტოლებიდან x n-1 და ა.შ. ბოლოს ვიპოვით x 1 პირველი განტოლებიდან.

მოსახერხებელია გაუსის გარდაქმნების განხორციელება გარდაქმნების შესრულებით არა თავად განტოლებებით, არამედ მათი კოეფიციენტების მატრიცებით. განვიხილოთ მატრიცა:

დაურეკა გაფართოებული მატრიცული სისტემა,რადგან სისტემის მთავარი მატრიცის გარდა იგი მოიცავს თავისუფალი წევრების სვეტს. გაუსის მეთოდი ეფუძნება სისტემის ძირითადი მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე მიყვანას (ან ტრაპეციულ ფორმას არაკვადრატული სისტემების შემთხვევაში) სისტემის გაფართოებული მატრიცის ელემენტარული მწკრივის გარდაქმნების (!) გამოყენებით.

მაგალითი 5.1.ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით:

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და პირველი რიგის გამოყენებით, ამის შემდეგ დავაყენებთ დანარჩენ ელემენტებს ნულზე:

ჩვენ ვიღებთ ნულებს პირველი სვეტის მე-2, მე-3 და მე-4 სტრიქონებში:

ახლა ჩვენ გვჭირდება ყველა ელემენტი მეორე სვეტის მე-2 რიგის ქვემოთ, რომ იყოს ნულის ტოლი. ამისათვის შეგიძლიათ მეორე სტრიქონი გაამრავლოთ -4/7-ზე და დაამატოთ მე-3 სტრიქონი. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან საქმე არ გვქონდეს, ჩვენ შევქმნით ერთეულს მეორე სვეტის მე-2 რიგში და მხოლოდ

ახლა, სამკუთხა მატრიცის მისაღებად, საჭიროა მე-3 სვეტის მეოთხე რიგის ელემენტის ნულიდან გამორიცხვა, ამისთვის შეგიძლიათ მესამე მწკრივი გაამრავლოთ 8/54-ზე და დაამატოთ ის მეოთხეზე. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან არ გვქონდეს საქმე, გავცვლით მე-3 და მე-4 სტრიქონებს და მე-3 და მე-4 სვეტებს და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავაყენებთ მითითებულ ელემენტს. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც სვეტები გადანაწილებულია, შესაბამისი ცვლადები იცვლება და ეს უნდა დაიმახსოვროთ; სხვა ელემენტარული გარდაქმნები სვეტებით (შეკრება და რიცხვით გამრავლება) შეუძლებელია!

ბოლო გამარტივებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალის:

აქედან, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის გამოყენებით, ვხვდებით მეოთხე განტოლებიდან x 3 = -1; მესამედან x 4 = -2, მეორედან x 2 = 2 და პირველი განტოლებიდან x 1 = 1. მატრიცის სახით პასუხი იწერება როგორც

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც სისტემა განსაზღვრულია, ე.ი. როდესაც გამოსავალი მხოლოდ ერთია. ვნახოთ, რა მოხდება, თუ სისტემა არათანმიმდევრული ან განუსაზღვრელია.

მაგალითი 5.2.გამოიკვლიეთ სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა გამარტივებულ სისტემას:

აი, ბოლო განტოლებაში აღმოჩნდა, რომ 0=4, ე.ი. წინააღმდეგობა. ამიტომ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ე.ი. ის არის შეუთავსებელი. à

მაგალითი 5.3.შეისწავლეთ და ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:

გარდაქმნების შედეგად ბოლო სტრიქონში მხოლოდ ნულები მიიღეს. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებების რაოდენობა შემცირდა ერთით:

ამრიგად, გამარტივების შემდეგ რჩება ორი განტოლება, ხოლო ოთხი უცნობი, ე.ი. ორი უცნობი „დამატებითი“. დაე, "ზედმეტი", ან, როგორც ამბობენ, უფასო ცვლადები, იქნება x 3 და xოთხი . მერე

ვარაუდით x 3 = 2ადა x 4 = ბ, ვიღებთ x 2 = 1–ადა x 1 = 2ბ–ა; ან მატრიცის სახით

ამ გზით დაწერილ ამოხსნას ეწოდება გენერალი, ვინაიდან, პარამეტრების მიცემით ადა ბსხვადასხვა მნიშვნელობებით, შესაძლებელია სისტემის ყველა შესაძლო გადაწყვეტის აღწერა. ა

გაუსის მეთოდი, რომელსაც ასევე უწოდებენ უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდს, შედგება შემდეგში. ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით წრფივი განტოლებათა სისტემა მიყვანილია ისეთ ფორმამდე, რომ მისი კოეფიციენტების მატრიცა გამოდის ტრაპეციული (იგივე სამკუთხა ან საფეხურიანი) ან ტრაპეციულთან ახლოს (გაუსის მეთოდის პირდაპირი კურსი, შემდეგ - მხოლოდ პირდაპირი სვლა). ასეთი სისტემის მაგალითი და მისი გადაწყვეტა ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში.

ასეთ სისტემაში ბოლო განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს და მისი მნიშვნელობა შეიძლება ცალსახად მოიძებნოს. შემდეგ ამ ცვლადის მნიშვნელობა შეიცვლება წინა განტოლებაში ( გაუსიანი რევერსი , შემდეგ - უბრალოდ საპირისპირო სვლა), საიდანაც ნაპოვნია წინა ცვლადი და ა.შ.

ტრაპეციულ (სამკუთხა) სისტემაში, როგორც ვხედავთ, მესამე განტოლება აღარ შეიცავს ცვლადებს წდა x, ხოლო მეორე განტოლება - ცვლადი x .

მას შემდეგ, რაც სისტემის მატრიცამ მიიღო ტრაპეციული ფორმა, აღარ არის რთული სისტემის თავსებადობის საკითხის დალაგება, ამონახსნების რაოდენობის დადგენა და თავად ამონახსნების პოვნა.

მეთოდის უპირატესობები:

1. სამზე მეტი განტოლებითა და უცნობიებით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას, გაუსის მეთოდი არ არის ისეთი შრომატევადი, როგორც კრამერის მეთოდი, ვინაიდან ნაკლები გამოთვლებია საჭირო გაუსის მეთოდის ამოხსნისას;
2. გაუსის მეთოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ ამოხსნათ წრფივი განტოლებების განუსაზღვრელი სისტემები, ანუ გქონდეთ საერთო ამონახსნები (და ჩვენ მათ გავაანალიზებთ ამ გაკვეთილზე), ხოლო კრამერის მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ მხოლოდ განაცხადოთ, რომ სისტემა გაურკვეველია;
3. შეგიძლიათ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემები, რომლებშიც უცნობების რაოდენობა არ უდრის განტოლებათა რაოდენობას (ამ გაკვეთილზე მათაც გავაანალიზებთ);
4. მეთოდი ეფუძნება ელემენტარულ (სასკოლო) მეთოდებს - უცნობის ჩანაცვლების მეთოდს და განტოლებების შეკრების მეთოდს, რომლებსაც შევეხეთ შესაბამის სტატიაში.

იმისათვის, რომ ყველა იყოს გამსჭვალული წრფივი განტოლებების ტრაპეციული (სამკუთხა, საფეხურიანი) სისტემების სიმარტივით ამოხსნით, წარმოგიდგენთ ასეთი სისტემის ამოხსნას საპირისპირო დარტყმის გამოყენებით. ამ სისტემის სწრაფი გადაწყვეტა ნაჩვენები იყო გაკვეთილის დასაწყისში სურათზე.

მაგალითი 1ამოიღეთ წრფივი განტოლებათა სისტემა საპირისპირო მოძრაობის გამოყენებით:

გამოსავალი. ამ ტრაპეციულ სისტემაში ცვლადი ზცალსახად გვხვდება მესამე განტოლებიდან. ჩვენ ვცვლით მის მნიშვნელობას მეორე განტოლებაში და ვიღებთ ცვლადის მნიშვნელობას წ:

ახლა ჩვენ ვიცით ორი ცვლადის მნიშვნელობა - ზდა წ. ჩვენ ვცვლით მათ პირველ განტოლებაში და ვიღებთ ცვლადის მნიშვნელობას x:

წინა ნაბიჯებიდან ჩვენ ვწერთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნას:

იმისათვის, რომ მივიღოთ წრფივი განტოლებათა ასეთი ტრაპეციული სისტემა, რომელიც ჩვენ ძალიან მარტივად გადავწყვიტეთ, საჭიროა პირდაპირი სვლის გამოყენება, რომელიც დაკავშირებულია წრფივი განტოლებათა სისტემის ელემენტარულ გარდაქმნებთან. ასევე არ არის ძალიან რთული.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ელემენტარული გარდაქმნები

სისტემის განტოლებების ალგებრული შეკრების სკოლის მეთოდის გამეორებით, აღმოვაჩინეთ, რომ სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას შეიძლება დაემატოს სისტემის კიდევ ერთი განტოლება და თითოეული განტოლება გამრავლდეს რამდენიმე რიცხვზე. შედეგად ვიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ წრფივ განტოლებათა სისტემას. მასში ერთი განტოლება უკვე შეიცავდა მხოლოდ ერთ ცვლადს, რომლის მნიშვნელობის ჩანაცვლება სხვა განტოლებით, მივდივართ ამონახსნამდე. ასეთი დამატება სისტემის ელემენტარული ტრანსფორმაციის ერთ-ერთი სახეობაა. გაუსის მეთოდის გამოყენებისას შეგვიძლია გამოვიყენოთ რამდენიმე სახის ტრანსფორმაცია.

ზემოთ მოყვანილი ანიმაცია გვიჩვენებს, თუ როგორ იქცევა განტოლებათა სისტემა თანდათანობით ტრაპეციულად. ანუ ის, რაც ნახე პირველივე ანიმაციაზე და დარწმუნდი, რომ ადვილია მისგან ყველა უცნობის მნიშვნელობის პოვნა. როგორ განხორციელდეს ასეთი ტრანსფორმაცია და, რა თქმა უნდა, მაგალითები, განხილული იქნება შემდგომში.

წრფივი განტოლებების სისტემების გადაჭრისას განტოლებათა სისტემაში და სისტემის გაფართოებულ მატრიცაში ნებისმიერი რაოდენობის განტოლებითა და უცნობიებით შეუძლია:

1. სვოპ ხაზები (ეს იყო ნახსენები ამ სტატიის დასაწყისში);
2. თუ სხვა გარდაქმნების შედეგად გაჩნდა თანაბარი ან პროპორციული ხაზები, მათი წაშლა შესაძლებელია, გარდა ერთისა;
3. წაშალეთ "null" რიგები, სადაც ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია;
4. ნებისმიერი სტრიქონის გამრავლება ან გაყოფა რომელიმე რიცხვზე;
5. დაუმატეთ ნებისმიერ ხაზს სხვა სტრიქონი გამრავლებული რაღაც რიცხვზე.

გარდაქმნების შედეგად ვიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ წრფივ განტოლებათა სისტემას.

გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ალგორითმი და მაგალითები სისტემის კვადრატული მატრიცით

ჯერ განვიხილოთ წრფივი განტოლებათა სისტემების ამონახსნი, რომლებშიც უცნობის რაოდენობა უდრის განტოლებათა რაოდენობას. ასეთი სისტემის მატრიცა არის კვადრატი, ანუ მასში რიგების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას.

მაგალითი 2ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

სკოლის მეთოდების გამოყენებით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნით, ერთ-ერთი განტოლება ვამრავლდით ტერმინზე ტერმინზე რაღაც რიცხვზე, ისე, რომ ორ განტოლებაში პირველი ცვლადის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვები იყო. განტოლებების დამატებისას ეს ცვლადი აღმოფხვრილია. გაუსის მეთოდი მუშაობს ანალოგიურად.

ხსნარის გარეგნობის გასამარტივებლად შეადგინეთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა:

ამ მატრიცაში უცნობის კოეფიციენტები განლაგებულია მარცხნივ ვერტიკალური ზოლის წინ, ხოლო თავისუფალი ტერმინები ვერტიკალური ზოლის შემდეგ მარჯვნივ.

ცვლადების კოეფიციენტების გაყოფის მოხერხებულობისთვის (ერთზე გაყოფის მისაღებად) შეცვალეთ სისტემის მატრიცის პირველი და მეორე რიგები. ვიღებთ მოცემულის ეკვივალენტურ სისტემას, ვინაიდან წრფივი განტოლებების სისტემაში შეიძლება განტოლებების გადაწყობა:

ახალი პირველი განტოლებით ცვლადის აღმოფხვრა xმეორე და ყველა შემდგომი განტოლებიდან. ამისთვის მატრიცის მეორე სტრიქონს დავამატოთ პირველი მწკრივი გამრავლებული (ჩვენს შემთხვევაში )-ზე, ხოლო პირველი მწკრივი გამრავლებული (ჩვენს შემთხვევაში ზე) მესამე მწკრივს.

ეს შესაძლებელია იმიტომ

თუ ჩვენს სისტემაში იყო სამზე მეტი განტოლება, მაშინ პირველი ხაზი უნდა დაემატოს ყველა მომდევნო განტოლებას, გამრავლებული შესაბამისი კოეფიციენტების თანაფარდობაზე, აღებული მინუს ნიშნით.

შედეგად ვიღებთ განტოლებათა ახალი სისტემის მოცემული სისტემის ექვივალენტურ მატრიცას, რომელშიც ყველა განტოლება მეორედან დაწყებული არ შეიცავს ცვლადს x :

შედეგად მიღებული სისტემის მეორე რიგის გასამარტივებლად, ჩვენ ვამრავლებთ მას და კვლავ ვიღებთ ამ სისტემის ექვივალენტური განტოლებების სისტემის მატრიცას:

ახლა, შევინარჩუნოთ მიღებული სისტემის პირველი განტოლება უცვლელი, მეორე განტოლების გამოყენებით, ჩვენ აღმოვფხვრით ცვლადი წ ყველა შემდგომი განტოლებიდან. ამისთვის, სისტემის მატრიცის მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე მწკრივი გამრავლებული (ჩვენს შემთხვევაში )-ზე.

თუ ჩვენს სისტემაში სამზე მეტი განტოლება იყო, მაშინ მეორე ხაზი უნდა დაემატოს ყველა მომდევნო განტოლებას, გამრავლებული შესაბამისი კოეფიციენტების თანაფარდობაზე, აღებული მინუს ნიშნით.

შედეგად, ჩვენ კვლავ ვიღებთ სისტემის მატრიცას, რომელიც ექვივალენტურია მოცემული წრფივი განტოლებების სისტემისა:

ჩვენ მივიღეთ მოცემულის ექვივალენტური წრფივი განტოლებების ტრაპეციული სისტემა:

თუ განტოლებებისა და ცვლადების რაოდენობა ჩვენს მაგალითზე მეტია, მაშინ ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესი გრძელდება მანამ, სანამ სისტემის მატრიცა არ გახდება ტრაპეციული, როგორც ჩვენს დემო მაგალითში.

გამოსავალს ვიპოვით „ბოლოდან“ – საპირისპირო. Ამისთვის ბოლო განტოლებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ ზ:
.
ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება წინა განტოლებაში, იპოვე წ:

პირველი განტოლებიდან იპოვე x:

პასუხი: განტოლებათა ამ სისტემის ამოხსნა - .

: ამ შემთხვევაში იგივე პასუხი გაცემული იქნება, თუ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. თუ სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, მაშინ პასუხიც ასე იქნება და ეს არის ამ გაკვეთილის მეხუთე ნაწილის საგანი.

თავად ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით და შემდეგ გადახედეთ ამონახს

ჩვენს წინაშე კვლავ არის წრფივი განტოლებათა თანმიმდევრული და განსაზღვრული სისტემის მაგალითი, რომელშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობის რაოდენობას. განსხვავება ჩვენი დემო მაგალითისგან ალგორითმიდან არის ის, რომ უკვე არსებობს ოთხი განტოლება და ოთხი უცნობი.

მაგალითი 4ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით:

ახლა თქვენ უნდა გამოიყენოთ მეორე განტოლება, რათა გამორიცხოთ ცვლადი შემდგომი განტოლებიდან. მოდით გავაკეთოთ მოსამზადებელი სამუშაოები. იმისათვის, რომ ის უფრო მოსახერხებელი იყოს კოეფიციენტების თანაფარდობით, თქვენ უნდა მიიღოთ ერთეული მეორე რიგის მეორე სვეტში. ამისთვის მეორე მწკრივს გამოვაკლოთ მესამე მწკრივი და მიღებული მეორე რიგი გავამრავლოთ -1-ზე.

მოდით ახლა განვახორციელოთ ცვლადის ფაქტობრივი აღმოფხვრა მესამე და მეოთხე განტოლებიდან. ამისათვის დაამატეთ მეორე, გამრავლებული , მესამე სტრიქონს, ხოლო მეორე, გამრავლებული , მეოთხეს.

ახლა, მესამე განტოლების გამოყენებით, ჩვენ გამოვრიცხავთ ცვლადს მეოთხე განტოლებიდან. ამისათვის მეოთხე სტრიქონს დაამატეთ მესამე, გამრავლებული . ვიღებთ ტრაპეციის ფორმის გაფართოებულ მატრიცას.

ჩვენ მივიღეთ განტოლებათა სისტემა, რომელიც ექვივალენტურია მოცემული სისტემისა:

აქედან გამომდინარე, მიღებული და მოცემული სისტემები თანმიმდევრული და გარკვეულია. საბოლოო გამოსავალს „ბოლოდან“ ვპოულობთ. მეოთხე განტოლებიდან შეგვიძლია პირდაპირ გამოვხატოთ ცვლადის „x მეოთხე“ მნიშვნელობა:

ჩვენ ამ მნიშვნელობას ვცვლით სისტემის მესამე განტოლებაში და ვიღებთ

,

,

და ბოლოს, ღირებულების ჩანაცვლება

პირველ განტოლებაში იძლევა

,

სადაც ვპოულობთ "x ჯერ":

პასუხი: განტოლებათა ამ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები. .

თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ სისტემის ამოხსნა კალკულატორზე, რომელიც ხსნის კრამერის მეთოდით: ამ შემთხვევაში იგივე პასუხი იქნება, თუ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

გამოყენებადი ამოცანების გაუსის მეთოდით ამოხსნა შენადნობების პრობლემის მაგალითზე

წრფივი განტოლებების სისტემები გამოიყენება ფიზიკური სამყაროს რეალური ობიექტების მოდელირებისთვის. მოდით გადავჭრათ ერთ-ერთი ასეთი პრობლემა - შენადნობები. მსგავსი ამოცანები - ამოცანები ნარევებისთვის, ცალკეული საქონლის ღირებულება ან სპეციფიკური წონა საქონლის ჯგუფში და სხვა.

მაგალითი 5სამი ცალი შენადნობის საერთო მასა 150 კგ. პირველი შენადნობი შეიცავს 60% სპილენძს, მეორე - 30%, მესამეში - 10%. ამავდროულად, მეორე და მესამე შენადნობებში ერთად აღებული სპილენძი 28,4 კგ-ით ნაკლებია პირველ შენადნობზე, ხოლო მესამე შენადნობაში სპილენძი 6,2 კგ-ით ნაკლებია მეორეზე. იპოვეთ შენადნობის თითოეული ნაწილის მასა.

გამოსავალი. ჩვენ ვადგენთ წრფივი განტოლებების სისტემას:

მეორე და მესამე განტოლებების 10-ზე გამრავლებით, მივიღებთ წრფივი განტოლებების ეკვივალენტურ სისტემას:

ჩვენ ვადგენთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:

ყურადღება, პირდაპირი მოძრაობა. რიცხვით გამრავლებული ერთი მწკრივის (ჩვენს შემთხვევაში, გამოკლებით) (ჩვენ მას ორჯერ ვიყენებთ), სისტემის გაფართოებული მატრიცით ხდება შემდეგი გარდაქმნები:

პირდაპირი გარბენი დასრულდა. მივიღეთ ტრაპეციის ფორმის გაფართოებული მატრიცა.

გამოვიყენოთ საპირისპირო. გამოსავალს ბოლოდან ვპოულობთ. ჩვენ ამას ვხედავთ.

მეორე განტოლებიდან ვხვდებით

მესამე განტოლებიდან -

თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ სისტემის ამოხსნა კალკულატორზე, რომელიც ხსნის კრამერის მეთოდით: ამ შემთხვევაში იგივე პასუხი იქნება, თუ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

გაუსის მეთოდის სიმარტივეს მოწმობს ის ფაქტი, რომ გერმანელ მათემატიკოსს კარლ ფრიდრიხ გაუსს მის გამოგონებას მხოლოდ 15 წუთი დასჭირდა. მისი სახელის მეთოდის გარდა, გაუსის ნაშრომიდან გამონათქვამი „არ უნდა ავურიოთ ის, რაც წარმოუდგენლად და არაბუნებრივი გვეჩვენება აბსოლუტურად შეუძლებელთან“ არის ერთგვარი მოკლე ინსტრუქცია აღმოჩენების გასაკეთებლად.

ბევრ გამოყენებულ პრობლემაში შეიძლება არ არსებობდეს მესამე შეზღუდვა, ანუ მესამე განტოლება, მაშინ აუცილებელია ორი განტოლების სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით სამი უცნობით, ან, პირიქით, უფრო ნაკლები უცნობია, ვიდრე განტოლებები. ჩვენ ახლა ვიწყებთ განტოლებების ასეთი სისტემების ამოხსნას.

გაუსის მეთოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ, არის თუ არა რომელიმე სისტემა თანმიმდევრული თუ არათანმიმდევრული ნწრფივი განტოლებები ნცვლადები.

გაუსის მეთოდი და წრფივი განტოლებების სისტემები ამონახსნების უსასრულო რაოდენობით

შემდეგი მაგალითი არის წრფივი განტოლებათა თანმიმდევრული, მაგრამ განუსაზღვრელი სისტემა, ანუ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

სისტემის გაფართოებულ მატრიცაში გარდაქმნების შესრულების შემდეგ (სტრიქონების შეცვლა, მწკრივების გამრავლება და გაყოფა გარკვეულ რიცხვზე, ერთი მწკრივის მეორეზე დამატება), ფორმის რიგები.

თუ ყველა განტოლებაში ფორმის მქონე

თავისუფალი წევრები ნულის ტოლია, ეს ნიშნავს, რომ სისტემა განუსაზღვრელია, ანუ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა და ამ ტიპის განტოლებები "ზედმეტია" და გამორიცხულია სისტემიდან.

მაგალითი 6

გამოსავალი. მოდით შევადგინოთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა. შემდეგ, პირველი განტოლების გამოყენებით, ჩვენ გამოვრიცხავთ ცვლადს მომდევნო განტოლებიდან. ამისათვის, მეორე, მესამე და მეოთხე სტრიქონებს დაამატეთ პირველი, გამრავლებული შესაბამისად:

ახლა დავამატოთ მეორე რიგი მესამე და მეოთხე.

შედეგად, ჩვენ მივდივართ სისტემაში

ბოლო ორი განტოლება იქცა ფორმის განტოლებად. ეს განტოლებები დაკმაყოფილებულია უცნობების ნებისმიერი მნიშვნელობით და შეიძლება გაუქმდეს.

მეორე განტოლების დასაკმაყოფილებლად, ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ თვითნებური მნიშვნელობები და-სთვის, მაშინ მნიშვნელობა for განისაზღვრება ცალსახად: . პირველი განტოლებიდან, მნიშვნელობა ასევე ცალსახად არის ნაპოვნი: .

მოცემული და ბოლო სისტემები თავსებადია, მაგრამ განუსაზღვრელი და ფორმულები

თვითნებურად და მოგვცეს მოცემული სისტემის ყველა გადაწყვეტა.

გაუსის მეთოდი და ხაზოვანი განტოლებების სისტემები, რომლებსაც არ აქვთ ამონახსნები

შემდეგი მაგალითი არის წრფივი განტოლებათა არათანმიმდევრული სისტემა, ანუ მას არ აქვს ამონახსნები. ასეთ პრობლემებზე პასუხი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ პირველ მაგალითთან დაკავშირებით, სისტემის გაფართოებულ მატრიცაში გარდაქმნების შესრულების შემდეგ, ფორმის ხაზები

ფორმის განტოლების შესაბამისი

თუ მათ შორის არის მინიმუმ ერთი განტოლება არანულოვანი თავისუფალი წევრით (ე.ი.), მაშინ განტოლებათა ეს სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ მას არ აქვს ამონახსნები და ეს ასრულებს მის ამოხსნას.

მაგალითი 7ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით:

გამოსავალი. ჩვენ ვადგენთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას. პირველი განტოლების გამოყენებით ჩვენ გამოვრიცხავთ ცვლადს მომდევნო განტოლებიდან. ამისთვის პირველი გამრავლებული დაუმატეთ მეორე რიგში, პირველი გამრავლებული მესამე მწკრივზე და პირველი გამრავლებული მეოთხე მწკრივზე.

ახლა თქვენ უნდა გამოიყენოთ მეორე განტოლება, რათა გამორიცხოთ ცვლადი შემდგომი განტოლებიდან. კოეფიციენტების მთელი რიცხვების შეფარდების მისაღებად ვცვლით სისტემის გაფართოებული მატრიცის მეორე და მესამე რიგებს.

მესამე და მეოთხე განტოლებიდან გამორიცხვის მიზნით, მეორე ზე გამრავლებული დაამატეთ მესამე რიგს, ხოლო მეორე, გამრავლებული , მეოთხეს.

ახლა, მესამე განტოლების გამოყენებით, ჩვენ გამოვრიცხავთ ცვლადს მეოთხე განტოლებიდან. ამისათვის მეოთხე სტრიქონს დაამატეთ მესამე, გამრავლებული .

ამრიგად, მოცემული სისტემა უდრის შემდეგს:

შედეგად მიღებული სისტემა არათანმიმდევრულია, რადგან მისი ბოლო განტოლება არ შეიძლება დაკმაყოფილდეს უცნობის ნებისმიერი მნიშვნელობით. ამიტომ, ამ სისტემას არ აქვს გამოსავალი.

გაუსის მეთოდიშესანიშნავია წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად (SLAE). მას აქვს რამდენიმე უპირატესობა სხვა მეთოდებთან შედარებით:

• პირველ რიგში, არ არის საჭირო განტოლებების სისტემის წინასწარი გამოკვლევა თავსებადობისთვის;
• მეორეც, გაუსის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ SLAE-ების გადასაჭრელად, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცა არადეგენერატია, არამედ განტოლებათა სისტემები, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა. უცნობი ცვლადების რაოდენობით ან მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია;
• მესამე, გაუსის მეთოდი იწვევს შედეგს შედარებით მცირე რაოდენობის გამოთვლითი ოპერაციებით.

სტატიის მოკლე მიმოხილვა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ აუცილებელ განმარტებებს და შემოგვაქვს გარკვეული აღნიშვნა.

შემდეგი, ჩვენ აღვწერთ გაუსის მეთოდის ალგორითმს უმარტივესი შემთხვევისთვის, ანუ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებისთვის, განტოლებების რაოდენობა, რომელშიც ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელს, არ არის. ნულის ტოლი. განტოლებათა ასეთი სისტემების ამოხსნისას ყველაზე ნათლად ჩანს გაუსის მეთოდის არსი, რომელიც შედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრაში. ამიტომ გაუსის მეთოდს ასევე უწოდებენ უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდს. მოდით ვაჩვენოთ რამდენიმე მაგალითის დეტალური გადაწყვეტილებები.

დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების გაუსის ამონახს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის მართკუთხა ან გადაგვარებული. ასეთი სისტემების გადაწყვეტას აქვს გარკვეული მახასიათებლები, რომლებსაც დეტალურად გავაანალიზებთ მაგალითების გამოყენებით.

გვერდის ნავიგაცია.

ძირითადი განმარტებები და აღნიშვნა.

განვიხილოთ p წრფივი განტოლებათა სისტემა n უცნობით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი):

სადაც უცნობი ცვლადებია, არის რიცხვები (რეალური თუ რთული), არის თავისუფალი წევრები.

Თუ , მაშინ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა ეწოდება ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული.

უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომელშიც სისტემის ყველა განტოლება გადაიქცევა იდენტებად, ე.წ. SLAU გადაწყვეტილება.

თუ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ერთი ამონახსნი მაინც არის, მაშინ მას ე.წ ერთობლივი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - შეუთავსებელი.

თუ SLAE-ს აქვს უნიკალური გამოსავალი, მაშინ მას ე.წ გარკვეული. თუ არსებობს ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ სისტემა ეწოდება გაურკვეველი.

ამბობენ, რომ სისტემა ჩაწერილია კოორდინატთა ფორმათუ ფორმა აქვს
.

ამ სისტემაში მატრიცის ფორმაჩანაწერს აქვს ფორმა, სადაც - SLAE-ის მთავარი მატრიცა, - უცნობი ცვლადების სვეტის მატრიცა, - თავისუფალი წევრების მატრიცა.

თუ A მატრიცას (n + 1)-ე სვეტად დავუმატებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტს, მაშინ მივიღებთ ე.წ. გაფართოებული მატრიცაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ჩვეულებრივ, გაძლიერებული მატრიცა აღინიშნება ასო T-ით, ხოლო თავისუფალი წევრების სვეტი გამოყოფილია ვერტიკალური ხაზით დანარჩენი სვეტებისგან, ანუ,

კვადრატული მატრიცა A ეწოდება დეგენერატითუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული. თუ , მაშინ მატრიცა A ეწოდება არადეგენერატი.

უნდა აღინიშნოს შემდეგი პუნქტი.

თუ შემდეგი მოქმედებები შესრულებულია წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემით

• გავცვალოთ ორი განტოლება,
• გავამრავლოთ ნებისმიერი განტოლების ორივე მხარე თვითნებური და არანულოვანი რეალური (ან რთული) რიცხვით k,
• ნებისმიერი განტოლების ორივე ნაწილს დაამატეთ სხვა განტოლების შესაბამისი ნაწილები, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით k,

მაშინ ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას, რომელსაც აქვს იგივე ამონახსნები (ან, როგორც ორიგინალს, არ აქვს ამონახსნები).

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცისთვის ეს მოქმედებები ნიშნავს ელემენტარულ გარდაქმნებს რიგებით:

• ორი სიმის გაცვლა
• T მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის ყველა ელემენტის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით k ,
• მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის ელემენტებს დაამატეთ სხვა რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით k.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ გაუსის მეთოდის აღწერაზე.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობთა რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცა არადეგენერატიულია, გაუსის მეთოდით.

რას ვიზამთ სკოლაში, განტოლებათა სისტემის ამონახსნის დავალება რომ მოგვცეს .

ზოგი ასე მოიქცევა.

გაითვალისწინეთ, რომ პირველი განტოლების მარცხენა მხარის მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო მარჯვენა მხარეს მარჯვენა მხარეს დამატებით, შეგიძლიათ თავი დააღწიოთ უცნობი ცვლადებს x 2 და x 3 და დაუყოვნებლივ იპოვოთ x 1:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას x 1 \u003d 1 სისტემის პირველ და მესამე განტოლებაში:

თუ სისტემის მესამე განტოლების ორივე ნაწილს გავამრავლებთ -1-ზე და დავამატებთ პირველი განტოლების შესაბამის ნაწილებს, მაშინ მოვიშორებთ უცნობ ცვლადს x 3 და შეგვიძლია ვიპოვოთ x 2:

ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას x 2 \u003d 2 მესამე განტოლებაში და ვიპოვით დარჩენილი უცნობი ცვლადი x 3:

სხვები სხვაგვარად მოიქცეოდნენ.

მოდით ამოხსნათ სისტემის პირველი განტოლება უცნობი ცვლადის x 1-ის მიმართ და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლოთ სისტემის მეორე და მესამე განტოლებით, რათა გამოვრიცხოთ ეს ცვლადი მათგან:

ახლა მოდით ამოხსნათ სისტემის მეორე განტოლება x 2-ის მიმართ და მიღებული შედეგი ჩავანაცვლოთ მესამე განტოლებით, რათა მისგან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 2:

სისტემის მესამე განტოლებიდან ჩანს, რომ x 3 =3. მეორე განტოლებიდან ვხვდებით და პირველი განტოლებიდან ვიღებთ .

ნაცნობი გადაწყვეტილებები, არა?

აქ ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ ამოხსნის მეორე მეთოდი არსებითად არის უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, ანუ გაუსის მეთოდი. როდესაც ჩვენ გამოვხატეთ უცნობი ცვლადები (პირველი x 1, შემდეგი x 2) და ჩავანაცვლეთ ისინი სისტემის დანარჩენ განტოლებებში, ამით გამოვრიცხეთ ისინი. ჩვენ განვახორციელეთ გამონაკლისი იმ მომენტამდე, როდესაც ბოლო განტოლებამ დატოვა მხოლოდ ერთი უცნობი ცვლადი. უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი. წინ გადაადგილების დასრულების შემდეგ, ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა გამოვთვალოთ უცნობი ცვლადი ბოლო განტოლებაში. მისი დახმარებით, ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ შემდეგ უცნობ ცვლადს და ა.შ. ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული პოვნის პროცესი ეწოდება გაუსის საპირისპირო მეთოდი.

უნდა აღინიშნოს, რომ როდესაც ჩვენ გამოვხატავთ x 1-ს x 2-ით და x 3-ით პირველ განტოლებაში, შემდეგ კი მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებთ მეორე და მესამე განტოლებებს, შემდეგი ქმედებები იწვევს იმავე შედეგს:

მართლაც, ასეთი პროცედურა ასევე გვაძლევს საშუალებას გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან:

გაუსის მეთოდით უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ნიუანსები წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც სისტემის განტოლებები არ შეიცავს ზოგიერთ ცვლადს.

მაგალითად, SLAU-ში პირველ განტოლებაში არ არის უცნობი ცვლადი x 1 (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოეფიციენტი მის წინ არის ნული). ამიტომ, ჩვენ არ შეგვიძლია ამოხსნათ სისტემის პირველი განტოლება x 1-ის მიმართ, რათა გამოვრიცხოთ ეს უცნობი ცვლადი დანარჩენი განტოლებიდან. ამ სიტუაციიდან გამოსავალი არის სისტემის განტოლებების შეცვლა. ვინაიდან ჩვენ განვიხილავთ წრფივი განტოლებების სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცების განმსაზღვრელი ნულისაგან განსხვავებულია, ყოველთვის არსებობს განტოლება, რომელშიც ჩვენ გვჭირდება ცვლადი, და ჩვენ შეგვიძლია გადავაწყოთ ეს განტოლება ჩვენთვის საჭირო პოზიციამდე. ჩვენი მაგალითისთვის საკმარისია შევცვალოთ სისტემის პირველი და მეორე განტოლებები , მაშინ შეგიძლიათ ამოხსნათ პირველი განტოლება x 1-ისთვის და გამორიცხოთ იგი სისტემის დანარჩენი განტოლებიდან (თუმცა x 1 უკვე არ არის მეორე განტოლებაში).

ვიმედოვნებთ, რომ გაიგებთ არსს.

აღვწეროთ გაუსის მეთოდის ალგორითმი.

დაგვჭირდება ამოხსნათ n წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემა ფორმის n უცნობი ცვლადით. და მისი მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი იყოს ნულოვანი.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ , რადგან ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. ჩვენ გამოვრიცხავთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისთვის სისტემის მეორე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული განტოლება, მესამე განტოლებას მივამატოთ პირველი გამრავლებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა .

იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ სისტემის პირველ განტოლებაში გამოვხატავთ x 1-ს სხვა უცნობი ცვლადების მიხედვით და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებდით ყველა სხვა განტოლებით. ამრიგად, ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვიმოქმედებთ ანალოგიურად, მაგრამ მხოლოდ შედეგად მიღებული სისტემის ნაწილით, რომელიც აღნიშნულია ფიგურაში

ამისთვის სისტემის მესამე განტოლებას დავუმატოთ მეორეზე გამრავლებული განტოლება, მეოთხე განტოლებას დავუმატოთ მეორეზე გამრავლებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა . ამრიგად, ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვაგრძელებთ უცნობი x 3-ის აღმოფხვრას, ხოლო ანალოგიურად ვიმოქმედებთ ფიგურაში მონიშნული სისტემის ნაწილთან.

ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას

ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსს: ბოლო განტოლებიდან ვიანგარიშებთ x n-ს, როგორც x n-ის მიღებული მნიშვნელობის გამოყენებით ვპოულობთ x n-1-ს ბოლო განტოლებიდან და ასე შემდეგ, ვპოულობთ x 1-ს. პირველი განტოლება.

მოდით გავაანალიზოთ ალგორითმი მაგალითით.

მაგალითი.

გაუსის მეთოდი.

გამოსავალი.

კოეფიციენტი a 11 განსხვავდება ნულისაგან, ამიტომ გადავიდეთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსზე, ანუ უცნობი ცვლადის x 1 აღმოფხვრაზე სისტემის ყველა განტოლებიდან, გარდა პირველისა. ამისათვის, მეორე, მესამე და მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს დაამატეთ პირველი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, გამრავლებული შესაბამისად, და:

უცნობი ცვლადი x 1 აღმოიფხვრა, გადავიდეთ გამორიცხვაზე x 2 . სისტემის მესამე და მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს ვამატებთ მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული და :

გაუსის მეთოდის წინა კურსის დასასრულებლად, ჩვენ უნდა გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 3 სისტემის ბოლო განტოლებიდან. მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, შესაბამისად, დაამატეთ მესამე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები, გამრავლებული :

შეგიძლიათ დაიწყოთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი.

ბოლო განტოლებიდან გვაქვს ,
მესამე განტოლებიდან ვიღებთ,
მეორედან
პირველიდან.

შესამოწმებლად, თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ უცნობი ცვლადების მიღებული მნიშვნელობები განტოლებების თავდაპირველ სისტემაში. ყველა განტოლება გადაიქცევა იდენტობად, რაც ნიშნავს, რომ გაუსის მეთოდით ამონახსნები სწორად იქნა ნაპოვნი.

პასუხი:

ახლა კი იმავე მაგალითის ამონახსანს მივიღებთ გაუსის მეთოდით მატრიცის სახით.

მაგალითი.

იპოვნეთ განტოლებათა სისტემის ამონახსნი გაუსის მეთოდი.

გამოსავალი.

სისტემის გაფართოებულ მატრიცას აქვს ფორმა . ყოველი სვეტის ზემოთ იწერება უცნობი ცვლადები, რომლებიც შეესაბამება მატრიცის ელემენტებს.

გაუსის მეთოდის პირდაპირი მიმდინარეობა აქ გულისხმობს სისტემის გაფართოებული მატრიცის ტრაპეციულ ფორმამდე მიყვანას ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. ეს პროცესი მსგავსია უცნობი ცვლადების გამორიცხვისა, რაც ჩვენ გავაკეთეთ სისტემასთან კოორდინატების სახით. ახლა თქვენ დარწმუნდებით ამაში.

მოდით გარდავქმნათ მატრიცა ისე, რომ პირველი სვეტის ყველა ელემენტი, მეორედან დაწყებული, გახდეს ნული. ამისათვის, მეორე, მესამე და მეოთხე რიგების ელემენტებს დაამატეთ პირველი რიგის შესაბამისი ელემენტები გამრავლებული. და შესაბამისად:

შემდეგი, ჩვენ გარდაქმნის შედეგად მატრიცას ისე, რომ მეორე სვეტში, ყველა ელემენტი, დაწყებული მესამედან, გახდეს ნული. ეს შეესაბამება უცნობი ცვლადის x 2 გამორიცხვას. ამისათვის დაამატეთ მესამე და მეოთხე რიგების ელემენტებს მატრიცის პირველი რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული და :

რჩება უცნობი ცვლადის x 3 გამორიცხვა სისტემის ბოლო განტოლებიდან. ამისათვის, მიღებული მატრიცის ბოლო რიგის ელემენტებს ვამატებთ წინაბოლო მწკრივის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული :

უნდა აღინიშნოს, რომ ეს მატრიცა შეესაბამება წრფივი განტოლებების სისტემას

რომელიც ადრე იყო მიღებული პირდაპირი გადაადგილების შემდეგ.

უკან დაბრუნების დროა. აღნიშვნის მატრიცული ფორმით, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი გულისხმობს მიღებული მატრიცის ისეთ ტრანსფორმაციას, რომ ნახატზე მონიშნული მატრიცა

გახდა დიაგონალი, ანუ მიიღო ფორმა

სად არის რამდენიმე ნომერი.

ეს გარდაქმნები გაუსის მეთოდის მსგავსია, მაგრამ შესრულებულია არა პირველი ხაზიდან ბოლომდე, არამედ ბოლოდან პირველამდე.

მესამე, მეორე და პირველი რიგის ელემენტებს დაამატეთ ბოლო რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული , და კიდევ შესაბამისად:

ახლა მოდით დავამატოთ მეორე და პირველი რიგის ელემენტებს მესამე რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული და შესაბამისად:

გაუსის მეთოდის საპირისპირო მოძრაობის ბოლო საფეხურზე, პირველი რიგის ელემენტებს ვამატებთ მეორე რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული:

შედეგად მიღებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას , საიდანაც ვპოულობთ უცნობ ცვლადებს.

პასუხი:

ᲨᲔᲜᲘᲨᲕᲜᲐ.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისას გაუსის მეთოდის გამოყენებისას თავიდან უნდა იქნას აცილებული სავარაუდო გამოთვლები, რადგან ამან შეიძლება გამოიწვიოს აბსოლუტურად არასწორი შედეგები. ჩვენ გირჩევთ, არ დამრგვალოთ ათწილადები. ათწილადი წილადებიდან ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა უკეთესია.

მაგალითი.

სამი განტოლების სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით .

გამოსავალი.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში უცნობ ცვლადებს განსხვავებული აღნიშვნა აქვთ (არა x 1 , x 2 , x 3 , არამედ x, y, z ). გადავიდეთ ჩვეულებრივ წილადებზე:

ამოიღეთ უცნობი x სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან:

მიღებულ სისტემაში, მეორე განტოლებაში უცნობი ცვლადი y არ არის, ხოლო მესამე განტოლებაში y არის წარმოდგენილი, ამიტომ ჩვენ ვცვლით მეორე და მესამე განტოლებებს:

ამ ეტაპზე გაუსის მეთოდის პირდაპირი კურსი დასრულდა (თქვენ არ გჭირდებათ y-ის გამორიცხვა მესამე განტოლებიდან, რადგან ეს უცნობი ცვლადი აღარ არსებობს).

Მოდი დავბრუნდეთ.

ბოლო განტოლებიდან ვხვდებით ,
ბოლოდან


პირველი განტოლებიდან გვაქვს

პასუხი:

X=10, y=5, z=-20.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას ან სისტემის მთავარი მატრიცა დეგენერირებულია, გაუსის მეთოდით.

განტოლებათა სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის მართკუთხა ან კვადრატული დეგენერატი, შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, შეიძლება ჰქონდეთ ერთი ამონახსნები ან შეიძლება ჰქონდეთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ახლა ჩვენ გავიგებთ, თუ როგორ გვაძლევს გაუსის მეთოდი საშუალებას დავადგინოთ წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობა ან შეუსაბამობა და მისი თავსებადობის შემთხვევაში განვსაზღვროთ ყველა ამონახსნები (ან ერთი ამონახსნები).

პრინციპში, უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის პროცესი ასეთი SLAE-ების შემთხვევაში იგივე რჩება. თუმცა, ღირს დეტალურად ვისაუბროთ ზოგიერთ სიტუაციაზე, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას.

მოდით გადავიდეთ ყველაზე მნიშვნელოვან ნაბიჯზე.

ასე რომ, დავუშვათ, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდის წინსვლის დასრულების შემდეგ იღებს ფორმას და არც ერთი განტოლება არ შემცირებულა (ამ შემთხვევაში, ჩვენ დავასკვნათ, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია). ჩნდება ლოგიკური კითხვა: "რა უნდა გავაკეთოთ შემდეგ"?

ჩვენ ვწერთ უცნობ ცვლადებს, რომლებიც პირველ ადგილზეა მიღებული სისტემის ყველა განტოლებაში:

ჩვენს მაგალითში ეს არის x 1, x 4 და x 5. სისტემის განტოლებების მარცხენა ნაწილებში ვტოვებთ მხოლოდ იმ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს ამოწერილ უცნობ ცვლადებს x 1, x 4 და x 5, დარჩენილ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლებების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით:

მოდით მივანიჭოთ თვითნებური მნიშვნელობები უცნობ ცვლადებს, რომლებიც განტოლებების მარჯვენა მხარეს არიან, სადაც - თვითნებური ნომრები:

ამის შემდეგ, რიცხვები გვხვდება ჩვენი SLAE-ის ყველა განტოლების სწორ ნაწილებში და შეგვიძლია გადავიდეთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსზე.

სისტემის ბოლო განტოლებიდან გვაქვს , ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ , პირველი განტოლებიდან ვიღებთ

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა არის უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობა

ნომრების მიცემა სხვადასხვა მნიშვნელობებს, მივიღებთ განტოლებათა სისტემის განსხვავებულ ამონახსნებს. ანუ, ჩვენს განტოლებათა სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები.

პასუხი:

სადაც - თვითნებური ნომრები.

მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ კიდევ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდი.

გამოსავალი.

სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x. ამისათვის დაამატეთ პირველი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, შესაბამისად, მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული ზე და მესამე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს. პირველი განტოლება, გამრავლებული:

ახლა ჩვენ გამოვრიცხავთ y-ს მიღებული განტოლებათა სისტემის მესამე განტოლებიდან:

მიღებული SLAE სისტემის ექვივალენტურია .

სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ მხოლოდ x და y უცნობი ცვლადების შემცველ ტერმინებს, ხოლო ტერმინებს უცნობი ცვლადით z მარჯვენა მხარეს გადავცემთ: