ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენო ელელმა ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ მართებული იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსასრულოდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.

როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მულტისეტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომლებშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. ჩვენ ავხსნით მათემატიკას, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც დაამტკიცებს, რომ ნაკრები იდენტური ელემენტების გარეშე არ არის ტოლი სიმრავლის იდენტური ელემენტებით. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...

ახლა კი ყველაზე საინტერესო კითხვა მაქვს: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე, ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობის პოვნა მეტრებში და სანტიმეტრებში მოგცემთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს.

ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს არის მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებული ზომის ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:

პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

ვიდეოგაკვეთილი „სინუსის და კოსინუსის განსაზღვრა ერთეულ წრეზე“ არის ვიზუალური მასალა გაკვეთილისთვის შესაბამის თემაზე. გაკვეთილის განმავლობაში განიხილება სინუსის და კოსინუსის ცნებები რიცხვებისთვის, რომლებიც შეესაბამება ერთეული წრის წერტილებს, აღწერილია მრავალი მაგალითი, რომელიც ქმნის ამოცანების ამოხსნის უნარს, სადაც გამოიყენება ცნებების ეს ინტერპრეტაცია. გადაწყვეტილებების მოსახერხებელი და გასაგები ილუსტრაციები, მსჯელობის დეტალური კურსი ხელს უწყობს სასწავლო მიზნების უფრო სწრაფად მიღწევას, ზრდის გაკვეთილის ეფექტურობას.

ვიდეო გაკვეთილი იწყება თემის გაცნობით. დემონსტრირების დასაწყისში მოცემულია რიცხვის სინუსისა და კოსინუსის განმარტება. ეკრანზე ნაჩვენებია საწყისზე ორიენტირებული ერთეული წრე, მონიშნულია ერთეული წრის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით A, B, C, D. შემდეგ ამ წერტილის აბსციზა არის t რიცხვის კოსინუსი და აღინიშნება cos. t, წერტილის ორდინატი არის სინუსი და აღინიშნება sin t. განმარტების გახმოვანებას ახლავს ერთეულ წრეზე M წერტილის გამოსახულება, რომელიც მიუთითებს მის აბსცისა და ორდინატზე. წარმოდგენილია მოკლე აღნიშვნა, რომ M (t) \u003d M (x; y), x \u003d cos t, y \u003d sin t. მითითებულია რიცხვის კოსინუსისა და სინუსის მნიშვნელობაზე დაწესებული შეზღუდვები. განხილული მონაცემებით -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.

ასევე ადვილია ნახატიდან იმის დანახვა, თუ როგორ იცვლება ფუნქციის ნიშანი იმისდა მიხედვით, თუ რომელ კვარტალში მდებარეობს წერტილი. ეკრანზე შედგენილია ცხრილი, რომელშიც თითოეული ფუნქციისთვის მითითებულია მისი ნიშანი კვარტლის მიხედვით. cos t-ის ნიშანი არის პლუს პირველ და მეოთხე მეოთხედში და მინუს მეორე და მესამე კვარტალში. sin t ნიშანი არის პლუს პირველ და მეორე მეოთხედში, მინუს მესამე და მეოთხე მეოთხედში.

მოსწავლეებს ახსენებენ ერთეული წრის განტოლებას x 2 + y 2 = 1. აღნიშნულია, რომ შესაბამისი ფუნქციების კოორდინატების ნაცვლად ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ cos 2 t+ sin 2 t=1 - მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობა. sin t და cos t-ის აღმოჩენის მეთოდის გამოყენებით ერთეული წრის გამოყენებით, ივსება სინუსისა და კოსინუსების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილი 0-დან 2π-მდე რიცხვებისთვის π / 4 ნაბიჯით და რიცხვებისთვის π / 6-დან. 11π / 6 π / 6 ნაბიჯით. ეს ცხრილები ნაჩვენებია ეკრანზე. მათი და ნახატის დახმარებით მასწავლებელს შეუძლია შეამოწმოს როგორ ისწავლება მასალა და როგორ ესმით მოსწავლეები sin t და cos t მნიშვნელობების წარმოშობას.

განხილულია მაგალითი, რომელშიც sin t და cos t გამოითვლება t=41π/4. გამოსავალი ილუსტრირებულია ფიგურით, რომელიც გვიჩვენებს საწყისზე ორიენტირებულ ერთეულ წრეს. მასზე მონიშნულია წერტილი 41π/4. აღნიშნულია, რომ ეს წერტილი ემთხვევა π/4 წერტილის პოზიციას. ეს დასტურდება მოცემული წილადის შერეული სახით წარმოდგენით 41π/4=π/4+2π·5. კოსინუსების მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენებით ვიღებთ მნიშვნელობებს cos π/4=√2/2 და sinπ/4=√2/2. მიღებული ინფორმაციადან გამომდინარეობს, რომ cos 41π/4=√2/2 და sin 41π/4=√2/2.

მეორე მაგალითში აუცილებელია გამოვთვალოთ sin t და cos t t=-25π/3. ეკრანზე გამოსახულია ერთეული წრე, რომელზეც აღინიშნება წერტილი t=-25π/3. პირველ რიგში, პრობლემის გადასაჭრელად, რიცხვი -25π / 3 წარმოდგენილია შერეული წილადის სახით, რათა გაირკვეს, რომელ ცხრილის მნიშვნელობას შეესაბამება მისი sin t და cos t. გარდაქმნის შემდეგ ვიღებთ -25π/3=-π/3+2π (-4). ცხადია, t=-25π/3 წრეზე დაემთხვევა წერტილს -π/3 ან 5π/3. ცხრილიდან აირჩიეთ სინუსის და კოსინუსის შესაბამისი მნიშვნელობები cos 5π/3=1/2 და sin 5π/3=-√3/2. ეს მნიშვნელობები იქნება ჭეშმარიტი განხილული რიცხვისთვის cos (-25π/3)=1/2 და sin (-25π/3)=-√3/2. პრობლემა მოგვარებულია.

ანალოგიურად არის ამოხსნილი მაგალითი 3, რომელშიც აუცილებელია გამოვთვალოთ sin t და cos t t=37π. მაგალითის ამოსახსნელად რიცხვი 37π აფართოებს π და 2π იზოლირებით. ამ წარმოდგენაში ვიღებთ 37π=π+2π 18. ერთეულ წრეზე, რომელიც ნაჩვენებია ამონახსნის გვერდით, ეს წერტილი აღინიშნება y ღერძის უარყოფითი ნაწილისა და ერთეული წრის - π წერტილის გადაკვეთაზე. აშკარაა, რომ რიცხვის სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობები ემთხვევა π-ის ცხრილის მნიშვნელობებს. ცხრილიდან ვპოულობთ მნიშვნელობებს sin π=-1 და cos π=0. შესაბამისად, ეს იგივე მნიშვნელობებია სასურველი, ანუ sin 37π=-1 და cos 37π=0.

მე-4 მაგალითში საჭიროა გამოვთვალოთ sin t და cos t t=-12π. რიცხვს წარმოვადგენთ სახით -12π=0+2π (-6). შესაბამისად, წერტილი -12π ემთხვევა 0 წერტილს. ამ წერტილის კოსინუსის და სინუსის მნიშვნელობებია sin 0=1 და cos 0=0. ეს მნიშვნელობებია სასურველი sin (-12π)=1 და cos (-12π)=0.

მეხუთე მაგალითში თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება sin t=√3/2. განტოლების ამოხსნისას გამოიყენება რიცხვის სინუსის ცნება. ვინაიდან იგი წარმოადგენს M(t) წერტილის ორდინატს, აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილი √3/2 ორდინატით. ამოხსნის თანმხლები ფიგურა აჩვენებს, რომ ორდინატი √3/2 შეესაბამება ორ წერტილს - პირველ π/3 და მეორე 2π/3. ფუნქციის პერიოდულობის გათვალისწინებით აღვნიშნავთ, რომ t=π/3+2πk და t= 2π/3+2πk მთელი k რიცხვისთვის.

მე-6 მაგალითში ამოხსნილია განტოლება კოსინუსთან - cos t=-1/2. განტოლების ამონახსნების ძიებისას ვპოულობთ წერტილებს აბსცისით 2π/3 ერთეულ წრეზე. ეკრანზე ნაჩვენებია სურათი, რომელზედაც მონიშნულია აბსციზა -1/2. ის შეესაბამება წრეზე ორ წერტილს - 2π/3 და -2π/3. ფუნქციების პერიოდულობის გათვალისწინებით ნაპოვნი ამონახსნი იწერება t=2π/3+2πk და t=-2π/3+2πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

მე-7 მაგალითში ამოხსნილია განტოლება sin t-1=0. ამოხსნის საპოვნელად განტოლება გარდაიქმნება sin t=1. სინუსი 1 შეესაბამება π/2 რიცხვს. ფუნქციის პერიოდულობის გათვალისწინებით ნაპოვნი ამონახსნი იწერება t=π/2+2πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი. ანალოგიურად, მე-8 მაგალითში ამოხსნილია განტოლება cos t+1=0. გადავიყვანოთ განტოლება cos t=-1 სახით. წერტილი, რომლის აბსციზა არის -1, შეესაბამება π რიცხვს. ეს წერტილი მონიშნულია ტექსტის ამოხსნის გვერდით ერთეულ წრეზე. შესაბამისად, ამ განტოლების ამონახსნი არის რიცხვი t=π+2πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი. უფრო რთული არ არის cos t+1=1 განტოლების ამოხსნა მე-9 მაგალითში. განტოლების გარდაქმნის შემდეგ მივიღებთ cos t=0. ამონახსნის გვერდით ნაჩვენები ერთეულ წრეზე ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილებს -π/2 და -3π/2, რომლებზეც კოსინუსი იღებს მნიშვნელობას 0. ცხადია, ამ განტოლების ამონახსნი იქნება მნიშვნელობების სერია t. =π/2+πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

მაგალითში 10 შედარებულია sin 2 და cos 3 მნიშვნელობები. გამოსავლის გასაგებად, ნაჩვენებია სურათი, სადაც აღინიშნება 2 და 3 წერტილები. იმის ცოდნა, რომ π / 2≈1.57, ჩვენ ვაფასებთ წერტილების მანძილს. იქიდან. ნახაზი გვიჩვენებს, რომ წერტილი 2 არის 0,43 დაშორებით π/2-დან, ხოლო 3 წერტილი არის 1,43 დაშორებით, ამიტომ მე-2 წერტილს უფრო დიდი აბსციზა აქვს ვიდრე 3. ეს ნიშნავს, რომ sin 2 > cos 3.

მაგალითი 11 აღწერს გამოხატვის sin 5π/4 გამოთვლას. ვინაიდან 5π / 4 არის π / 4 + π, მაშინ შემცირების ფორმულების გამოყენებით, გამოხატულება შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში - sin π / 4. ცხრილიდან აირჩიეთ მისი მნიშვნელობა - sin π/4=-√2/2. ანალოგიურად, მე-12 მაგალითში ნაპოვნია cos7π/6 გამოხატვის მნიშვნელობა. მისი გარდაქმნით cos(π/6+π) ფორმაში ვიღებთ გამონათქვამს - cos π/6. ცხრილის მნიშვნელობა არის cos π/6=-√3/2. ეს მნიშვნელობა იქნება გამოსავალი.

გარდა ამისა, შემოთავაზებულია გახსოვდეთ მნიშვნელოვანი თანასწორობები, რომლებიც ეხმარება პრობლემების გადაჭრაში - ეს არის sin (-t) \u003d -sin t და cos (-t) \u003d cos t. სინამდვილეში, ეს გამოთქმა აჩვენებს კოსინუსის თანაბარობას და სინუსის უცნაურობას. ერთეული წრის გამოსახულებაზე, ტოლობების გვერდით, ხედავთ როგორ მუშაობს ეს ტოლობები კოორდინატულ სიბრტყეზე. ასევე წარმოდგენილია ორი ტოლობა, რომლებიც ასახავს ფუნქციების პერიოდულობას, რომლებიც მნიშვნელოვანია ამოცანების გადასაჭრელად sin(t+2πk)= sin t და cos (t+2πk)=cos t. ნაჩვენებია განტოლებები, რომლებიც ასახავს წერტილების სიმეტრიულ განლაგებას ერთეულ წრეზე sin(t+π)= -sin t და cos (t+π)=-cos t. ტოლობის გვერდით აგებულია გამოსახულება, რომელიც აჩვენებს ამ წერტილების მდებარეობას ერთეულ წრეზე. და ბოლო წარმოდგენილი ტოლობები sin(t+π/2)= cos t და cos (t+π/2)=- sin t.

ვიდეო გაკვეთილი „სინუსის და კოსინუსის განსაზღვრა ერთეულ წრეზე“ რეკომენდებულია მათემატიკის ტრადიციულ სასკოლო გაკვეთილზე მისი ეფექტურობის გაზრდისა და მასწავლებლის ახსნის ხილვადობის უზრუნველსაყოფად. ამავე მიზნით, მასალის გამოყენება შესაძლებელია დისტანციური სწავლების მსვლელობისას. სახელმძღვანელო ასევე შეიძლება გამოადგეს მოსწავლეებში ამოცანების ამოხსნის შესაბამისი უნარების ჩამოყალიბებას მასალის დამოუკიდებლად ათვისებისას.

ტექსტის ინტერპრეტაცია:

"სინუსის და კოსინუსის განმარტება ერთეულ წრეზე".

მოდით მივცეთ რიცხვის სინუსისა და კოსინუსის განმარტება

განმარტება: თუ რიცხვითი ერთეული წრის M წერტილი შეესაბამება t რიცხვს (ტე), მაშინ M წერტილის აბსცისა ეწოდება t რიცხვის კოსინუსს (ტე) და აღნიშნავს ღირებულებას, ხოლო M წერტილის ორდინატი არის. უწოდეს t რიცხვის სინუსს (ტე) და აღნიშნავს სინტს ​​(ბრინჯი).

ასე რომ, თუ M (t) \u003d M (x, y) (em te-დან უდრის em კოორდინატებით x და y), მაშინ x \u003d ღირებულება, y \u003d sint (x უდრის te, y-ის კოსინუსს. უდრის te-ს სინუსს). ამიტომ, - 1≤ ღირებულება ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (კოსინუსი te მეტია ან ტოლია მინუს ერთი, მაგრამ ნაკლები ან ტოლი ერთი; sine te მეტია ან ტოლია მინუს ერთზე, მაგრამ ერთზე ნაკლები ან ტოლი). იმის ცოდნა, რომ რიცხვითი წრის თითოეულ წერტილს აქვს xOy სისტემაში თავისი კოორდინატები, შეგიძლიათ შეადგინოთ სინუსისა და კოსინუსის მნიშვნელობის ცხრილი წრის მეოთხედებში. სადაც კოსინუსის მნიშვნელობა პირველ და მეოთხე კვარტალში დადებითია და შესაბამისად უარყოფითი მეორე და მესამე კვარტალში.

პირველ და მეორე კვარტალში სინუსის მნიშვნელობა დადებითია, ხოლო მესამე და მეოთხე კვარტალში, შესაბამისად, უარყოფითი. (აჩვენეთ ნახატზე)

ვინაიდან რიცხვითი წრის განტოლებას აქვს ფორმა x 2 + y 2 = 1 (x კვადრატს მიმატებული y კვადრატი უდრის ერთს), მაშინ მივიღებთ ტოლობას:

(კოსინუსის კვადრატში te პლუს სინუს კვადრატში te უდრის ერთს).

ცხრილების საფუძველზე, რომლებიც შევადგინეთ რიცხვითი წრის წერტილების კოორდინატების განსაზღვრისას, ჩვენ შევაგროვებთ ცხრილებს რიცხვითი წრის წერტილების კოორდინატებისთვის, ღირებულება და სინტი მნიშვნელობებისთვის.

განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 1. გამოთვალეთ cos t და sin t, თუ t = (te უდრის ორმოცდაერთ პი ოთხს).

გამოსავალი. რიცხვი t = შეესაბამება რიცხვითი წრის იმავე წერტილს, როგორც რიცხვს, რადგან = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (ორმოცდაერთი პი ოთხზე უდრის პი-ის ჯამს ოთხზე და ორი პიის ნამრავლი ხუთზე). და t \u003d წერტილისთვის ცხრილის მიხედვით, კოსინუსების 1 მნიშვნელობა არის cos \u003d და sin \u003d. შესაბამისად,

მაგალითი 2. გამოთვალეთ cosტ და ცოდვა t თუ t = (te უდრის მინუს ოცდახუთი პი სამს).

ამოხსნა: რიცხვი t = შეესაბამება რიცხვითი წრის იმავე წერტილს, როგორც რიცხვს, რადგან = ∙ π = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (მინუს ოცდახუთი პი სამზე უდრის მინუს pi-ს ჯამი სამზე და ორი პი-ს ნამრავლი გამრავლებული მინუს ოთხზე). და რიცხვი შეესაბამება რიცხვის წრეზე იმავე წერტილს, როგორც რიცხვი. ხოლო t წერტილისთვის მე-2 ცხრილის მიხედვით გვაქვს cos = და sin =, შესაბამისად, cos () = და sin () =.

მაგალითი 3. გამოთვალეთ cos t და sin t თუ t = 37π; (ტე უდრის ოცდაჩვიდმეტ პის).

ამოხსნა: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. აქედან გამომდინარე, რიცხვი 37π შეესაბამება რიცხვითი წრის იმავე წერტილს, რაც რიცხვი π. ხოლო t = π წერტილისთვის 1 ცხრილის მიხედვით გვაქვს cos π = -1, sin π=0. აქედან გამომდინარე, cos37π = -1, sin37π=0.

მაგალითი 4. გამოთვალეთ cos t და sin t თუ t = -12π (უდრის მინუს თორმეტ პის).

ამოხსნა: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), ანუ რიცხვი - 12π შეესაბამება რიცხვითი წრის იმავე წერტილს, როგორც რიცხვს ნული. ხოლო t = 0 წერტილისთვის, ცხრილი 1-ის მიხედვით, გვაქვს cos 0 = 1, sin 0 = 0. აქედან გამომდინარე, cos (-12π) =1, sin (-12π) = 0.

მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლება sin t = .

გამოსავალი. იმის გათვალისწინებით, რომ sin t არის რიცხვითი წრის M (t) (em-დან te) წერტილის ორდინატი, ჩვენ ვიპოვით წერტილებს რიცხვით წრეზე და დავწერთ რომელ t რიცხვებს შეესაბამება ისინი. ერთი წერტილი შეესაბამება რიცხვს და, შესაბამისად, ფორმის ნებისმიერ რიცხვს + 2πk. მეორე წერტილი შეესაბამება რიცხვს და, შესაბამისად, ფორმის ნებისმიერ რიცხვს + 2πk. პასუხი: t = + 2πk, სადაც kϵZ (ka ეკუთვნის zet-ს), ტ= + 2πk, სადაც kϵZ (ka ეკუთვნის zet-ს).

მაგალითი 6. ამოხსენით განტოლება cos t = .

გამოსავალი. იმის გათვალისწინებით, რომ cos t არის რიცხვითი წრის M (t) (em-დან te) წერტილის აბსცისა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილებს აბსცისით რიცხვით წრეზე და ვწერთ რომელ t რიცხვებს შეესაბამება ისინი. ერთი წერტილი შეესაბამება რიცხვს და, შესაბამისად, ფორმის ნებისმიერ რიცხვს + 2πk. ხოლო მეორე წერტილი შეესაბამება რიცხვს ან და, შესაბამისად, ფორმის ნებისმიერ რიცხვს + 2πk ან + 2πk.

პასუხი: t = + 2πk, t=+ 2πk (ან ± + 2πk(პლუს მინუს ორი pi სამს პლუს ორი pi ka), სადაც kϵZ (ka ეკუთვნის z-ს).

მაგალითი 7. ამოხსენით განტოლება cos t = .

გამოსავალი. წინა მაგალითის მსგავსად, რიცხვთა წრეზე თქვენ უნდა იპოვოთ წერტილები აბსცისით და ჩაწერეთ რა რიცხვებს შეესაბამება ისინი.

ნახატიდან ჩანს, რომ ორ წერტილს E და S აქვს აბსციზა და ჯერ ვერ ვიტყვით რა რიცხვებს შეესაბამება ისინი. ამ საკითხს მოგვიანებით დავუბრუნდებით.

მაგალითი 8. ამოხსენით განტოლება sin t = - 0.3.

გამოსავალი. რიცხვთა წრეზე ვპოულობთ წერტილებს ორდინატით - 0,3 და ვწერთ რა რიცხვებს შეესაბამება ისინი.

ორ წერტილს P და H აქვს ორდინატი - 0,3 და ჯერ ვერ ვიტყვით რა რიცხვებს შეესაბამება ისინი. ამ საკითხსაც მოგვიანებით დავუბრუნდებით.

მაგალითი 9. ამოხსენით განტოლება sin t -1 = 0

გამოსავალი. ჩვენ გადავიტანთ მინუს ერთს განტოლების მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ სინუს te-ს ტოლი ერთი (sin t \u003d 1). რიცხვთა წრეზე უნდა ვიპოვოთ წერტილი, რომლის ორდინატი არის ერთი. ეს წერტილი შეესაბამება რიცხვს და, შესაბამისად, ფორმის ყველა რიცხვს + 2πk (pi გამრავლებული ორ პლუს ორ მწვერვალს).

პასუხი: t = + 2πk, kϵZ(ka ეკუთვნის zet-ს).

მაგალითი 10. ამოხსენით განტოლება cos t + 1 = 0.

ერთეულს გადავიყვანთ განტოლების მარჯვენა მხარეს, ვიღებთ კოსინუსს te ტოლი მინუს ერთი (cos t \u003d - 1). აბსცისს მინუს ერთი აქვს წერტილი რიცხვით წრეზე, რომელიც შეესაბამება π რიცხვს, რომელიც ნიშნავს π + 2πk ფორმის ყველა რიცხვს. პასუხი: t = π+ 2πk, kϵZ.

მაგალითი 11. ამოხსენით განტოლება cos t + 1 = 1.

ერთეულს გადავიყვანთ განტოლების მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ კოსინუსს te ნულის ტოლი (cos t \u003d 0). B და D წერტილებს (ნახ. 1) აქვთ ნულოვანი აბსციზა, რომელიც შეესაბამება რიცხვებს და ა.შ. ეს რიცხვები შეიძლება დაიწეროს როგორც + πk. პასუხი: t = + πk, kϵZ.

მაგალითი 12. ორი რიცხვიდან რომელია მეტი, cos 2 თუ cos 3? (კოსინუსი ორი ან კოსინუსი სამი)

გამოსავალი. სხვაგვარად ჩამოვაყალიბოთ კითხვა: რიცხვით წრეზე მონიშნულია 2 და 3 წერტილები, რომელს აქვს უფრო დიდი აბსციზა?

რიცხვით წრეზე მოვნიშნოთ წერტილები 2 და 3. 3 x 1,43 (ერთი ქულა ორმოცდასამი მეასედი). მაშასადამე, მე-2 წერტილი უფრო ახლოს არის წერტილთან, ვიდრე 3 წერტილი, ამიტომ მას აქვს უფრო დიდი აბსციზა (გავითვალისწინეთ, რომ ორივე აბსციზა უარყოფითია).

პასუხი: cos 2 > cos 3.

მაგალითი 13. გამოთვალეთ ცოდვა (სინუსი ხუთი პი ოთხჯერ)

გამოსავალი. sin(+ π) = - sin = (ხუთი პი-ის სინუსი ოთხჯერ არის პი-ის ჯამი ოთხზე და პი არის მინუს პი-ის სინუსი ოთხჯერ არის მინუს კვადრატული ფესვი ორჯერ ორი).

მაგალითი 14. გამოთვალეთ cos (კოსინუსი შვიდი პი გამრავლებული ექვსზე).

cos(+ π) = - cos =. (წარმოდგენილია შვიდი პი ექვსზე, როგორც პი ექვსზე და პის ჯამი და გამოიყენა მესამე განტოლება).

სინუსისთვის და კოსინუსისთვის, ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე მნიშვნელოვან ფორმულას.

1. t-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ტოლობები

sin (-t) = -sin t

cos (-t) = cos t

მინუს ტე-ს სინუსი ტოლია ტე-ს მინუს სინუსს

მინუ ტეს კოსინუსი ტოლია ტეს კოსინუსს.

ნახაზი აჩვენებს, რომ E და L წერტილებს, რომლებიც სიმეტრიულია აბსცისის ღერძის მიმართ, აქვთ იგივე აბსციზა, რაც ნიშნავს

cos(-t) = ღირებულება, მაგრამ ორდინატები ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით და საპირისპირო ნიშნით (ეს ნიშნავს sin(-t) = - sint.

2. t-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ტოლობები

sin(t+2πk) = სინტ

cos (t+2πk) = cos t

ტე-ს სინუსს პლუს ორი პი უდრის ტე-ს სინუსს

ტე-ს კოსინუსი პლუს ორი pi უდრის ტე-ს კოსინუსს

ეს მართალია, რადგან იგივე წერტილი შეესაბამება რიცხვებს t და t + 2πk.

3. t-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ტოლობები

sin (t+π) = -sin t

cos (t+π) = -cos t

ტე-ს სინუსი პლუს პი უდრის ტე-ს სინუსს გამოკლებული

ტე-ის კოსინუსი პლუს pi უდრის ტე-ს მინუს კოსინუსს

რიცხვი t შეესაბამება რიცხვითი წრის E წერტილს, შემდეგ რიცხვი t + π შეესაბამება L წერტილს, რომელიც სიმეტრიულია E წერტილის მიმართ საწყისის მიმართ. სურათი გვიჩვენებს, რომ ამ წერტილებს აქვთ აბსცისები და ორდინატები ტოლი აბსოლუტური მნიშვნელობით და საპირისპირო ნიშნით. Ეს ნიშნავს,

cos(t+π)= - ღირებულება;

sin(t + π)= - სინტ.

4. t-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ტოლობები

sin (t+) = cos t

cos (t+) = -sin t

ტე-ს სინუსი პლუს პი გამრავლებული ორ უდრის ტე-ს კოსინუსს

ტე-ის კოსინუსი პლუს პი გამრავლებული ორს უდრის ტე-ს სინუსს გამოკლებული.

რიცხვის წრეარის ერთეული წრე, რომლის წერტილები შეესაბამება გარკვეულ რეალურ რიცხვებს.

ერთეული წრე არის წრე 1 რადიუსით.

რიცხვების წრის ზოგადი ხედი.

1) მისი რადიუსი აღებულია როგორც საზომი ერთეული.

2) ჰორიზონტალური და ვერტიკალური დიამეტრი ყოფს რიცხვით წრეს ოთხ მეოთხედში. მათ შესაბამისად უწოდებენ პირველ, მეორე, მესამე და მეოთხე კვარტალს.

3) ჰორიზონტალური დიამეტრი აღინიშნება AC, A არის უკიდურესი უფლებაწერტილი.
ვერტიკალური დიამეტრი მითითებულია BD, B არის უმაღლესი წერტილი.
შესაბამისად:

პირველი მეოთხედი არის რკალი AB

მეორე მეოთხედი - რკალი ძვ.წ

მესამე მეოთხედი - arc CD

მეოთხე მეოთხედი - რკალი DA

4) რიცხვითი წრის საწყისი წერტილი არის A წერტილი.

რიცხვითი წრის დათვლა შესაძლებელია საათის ისრის მიმართულებით ან საწინააღმდეგოდ.

დათვლა A წერტილიდან წინააღმდეგსაათის ისრის მიმართულებით ეწოდება დადებითი მიმართულება.

დათვლა A წერტილიდან onსაათის ისრის მიმართულებით ეწოდება უარყოფითი მიმართულება.

რიცხვითი წრე კოორდინატულ სიბრტყეზე.

რიცხვითი წრის რადიუსის ცენტრი შეესაბამება საწყისს (ნომერი 0).

ჰორიზონტალური დიამეტრი შეესაბამება ღერძს x, ვერტიკალური - ცულები წ.

საწყისი წერტილი რიცხვითი წრეti არის ღერძზეxდა აქვს კოორდინატები (1; 0).

რიცხვითი წრის ძირითადი წერტილების სახელები და ადგილები:

როგორ დავიმახსოვროთ რიცხვითი წრის სახელები.

არსებობს რამდენიმე მარტივი ნიმუში, რომელიც დაგეხმარებათ მარტივად დაიმახსოვროთ რიცხვითი წრის ძირითადი სახელები.

სანამ დავიწყებთ, გავიხსენებთ: ათვლა არის დადებითი მიმართულებით, ანუ A წერტილიდან (2π) საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

1) დავიწყოთ კოორდინატთა ღერძების უკიდურესი წერტილებიდან.

საწყისი წერტილი არის 2π (ღერძის ყველაზე მარჯვენა წერტილი Xუდრის 1).

მოგეხსენებათ, 2π არის წრის გარშემოწერილობა. ასე რომ, წრის ნახევარი არის 1π ან π. ღერძი Xწრეს შუაზე ყოფს. შესაბამისად, ყველაზე მარცხენა წერტილი ღერძზე X-1-ის ტოლი ეწოდება π.

ყველაზე მაღალი წერტილი ღერძზე ზე 1-ის ტოლია, ორად ყოფს ზედა ნახევარწრეს. ასე რომ, თუ ნახევარწრიულია π, მაშინ ნახევარწრის ნახევარი არის π/2.

ამავდროულად, π/2 ასევე არის წრის მეოთხედი. ჩვენ ვითვლით სამ მეოთხედს პირველიდან მესამემდე - და მივალთ ღერძის ყველაზე დაბალ წერტილამდე. ზეუდრის -1. მაგრამ თუ ის მოიცავს სამ მეოთხედს, მაშინ მისი სახელია 3π/2.

2) ახლა გადავიდეთ დანარჩენ პუნქტებზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ყველა საპირისპირო წერტილს აქვს იგივე მნიშვნელი - უფრო მეტიც, ეს არის საპირისპირო წერტილები და ღერძის მიმართ ზედა ღერძების ცენტრთან შედარებით და ღერძთან შედარებით X. ეს დაგვეხმარება ვიცოდეთ მათი ქულების მნიშვნელობები შეფუთვის გარეშე.

აუცილებელია გახსოვდეთ მხოლოდ პირველი კვარტლის ქულების მნიშვნელობა: π / 6, π / 4 და π / 3. და შემდეგ ჩვენ "ვნახავთ" რამდენიმე შაბლონს:

- ღერძის ნათესავი ზე მეორე მეოთხედის წერტილებში, პირველი მეოთხედის წერტილების საპირისპიროდ, მრიცხველებში რიცხვები მნიშვნელებზე 1-ით ნაკლებია. მაგალითად, აიღეთ წერტილი π/6. ღერძის საპირისპირო წერტილი ზეასევე აქვს 6 მნიშვნელში და 5 მრიცხველში (1 ნაკლები). ანუ ამ წერტილის სახელწოდება: 5π/6. π/4-ის საპირისპირო წერტილს ასევე აქვს 4 მნიშვნელში, ხოლო 3 მრიცხველში (1 4-ზე ნაკლები) - ანუ ეს არის წერტილი 3π/4.
π/3-ის საპირისპირო წერტილსაც მნიშვნელში აქვს 3, მრიცხველში 1-ით ნაკლები: 2π/3.

- კოორდინატთა ღერძების ცენტრთან შედარებითსაპირისპიროა სიმართლე: საპირისპირო წერტილების მრიცხველებში (მესამე მეოთხედში) რიცხვები 1-ით მეტია მნიშვნელების მნიშვნელობებზე. კვლავ აიღეთ წერტილი π/6. მის საპირისპირო წერტილს ცენტრთან მიმართებაში ასევე აქვს მნიშვნელში 6, ხოლო მრიცხველში რიცხვი 1-ით მეტია - ანუ არის 7π / 6.
π/4 წერტილის მოპირდაპირე წერტილსაც მნიშვნელში აქვს 4, ხოლო მრიცხველში რიცხვი 1-ით მეტია: 5π/4.
π/3 წერტილის მოპირდაპირე წერტილსაც მნიშვნელში აქვს 3, ხოლო მრიცხველში რიცხვი 1-ით მეტია: 4π/3.

- ღერძის ნათესავი X(მეოთხე მეოთხედი)საქმე უფრო რთულია. აქ აუცილებელია მნიშვნელის მნიშვნელობას დავუმატოთ რიცხვი, რომელიც 1-ით ნაკლებია - ეს ჯამი ტოლი იქნება საპირისპირო წერტილის მრიცხველის რიცხვითი ნაწილის. დავიწყოთ ისევ π/6-ით. მნიშვნელის მნიშვნელობას მივუმატოთ 6-ის ტოლი რიცხვი, რომელიც 1-ით ნაკლებია ამ რიცხვზე - ანუ 5. მივიღებთ: 6 + 5 = 11. აქედან გამომდინარე, მის საპირისპიროდ ღერძის მიმართ. Xწერტილს მნიშვნელში ექნება 6, ხოლო მრიცხველში 11 - ანუ 11π / 6.

წერტილი π/4. მნიშვნელის მნიშვნელობას ვუმატებთ რიცხვს 1-ით ნაკლებს: 4 + 3 = 7. აქედან გამომდინარე, მის საპირისპიროდ ღერძის მიმართ Xწერტილს მნიშვნელში აქვს 4 და მრიცხველში 7, ანუ 7π/4.
წერტილი π/3. მნიშვნელი არის 3. სამს ვუმატებთ ერთით ნაკლებ რიცხვს - ანუ 2-ს. ვიღებთ 5-ს. აქედან გამომდინარე, საპირისპირო წერტილს აქვს 5 მრიცხველში - და ეს არის წერტილი 5π/3.

3) კიდევ ერთი კანონზომიერება მეოთხედის შუა წერტილებისთვის. გასაგებია, რომ მათი მნიშვნელი არის 4. ყურადღება მივაქციოთ მრიცხველებს. პირველი კვარტალის შუა რიცხვის მრიცხველი არის 1π (მაგრამ 1 არ არის ჩვეულებრივი ჩაწერა). მეორე მეოთხედის შუა რიცხვის მრიცხველია 3π. მესამე მეოთხედის შუა რიცხვის მრიცხველია 5π. მეოთხე მეოთხედის შუა რიცხვის მრიცხველია 7π. გამოდის, რომ მეოთხედის შუა წერტილების მრიცხველებში არის პირველი ოთხი კენტი რიცხვი ზრდადი თანმიმდევრობით:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
ეს ასევე ძალიან მარტივია. ვინაიდან ყველა მეოთხედის შუა რიცხვებს მნიშვნელში აქვს 4, ჩვენ უკვე ვიცით მათი სრული სახელები: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

რიცხვითი წრის მახასიათებლები. შედარება რიცხვით წრფესთან.

მოგეხსენებათ, რიცხვთა ხაზის თითოეული წერტილი შეესაბამება ერთ რიცხვს. მაგალითად, თუ სწორ ხაზზე A წერტილი უდრის 3-ს, მაშინ ის ვერ უდრის სხვა რიცხვს.

რიცხვების წრეზე განსხვავებულია, რადგან ის წრეა. მაგალითად, იმისათვის, რომ წრის A წერტილიდან M წერტილამდე მიხვიდეთ, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს ისე, როგორც სწორ ხაზზე (მხოლოდ რკალის გავლის შემდეგ), ან შეგიძლიათ შემოივლოთ მთელი წრე და შემდეგ მიხვიდეთ M წერტილამდე. დასკვნა:

წერტილი M ტოლი იყოს რაღაც t რიცხვის. როგორც ვიცით, წრის გარშემოწერილობა არის 2π. ამრიგად, t წრის წერტილი შეგვიძლია დავწეროთ ორი გზით: t ან t + 2π. ეს არის ექვივალენტური მნიშვნელობები.
ანუ t = t + 2π. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ პირველ შემთხვევაში თქვენ მიხვედით M წერტილამდე მაშინვე, წრის გაკეთების გარეშე, ხოლო მეორე შემთხვევაში თქვენ გააკეთეთ წრე, მაგრამ დასრულდით იმავე M წერტილში. შეგიძლიათ გააკეთოთ ორი, სამი და ორასი ასეთი. წრეები.. თუ წრეების რაოდენობას ასოებით აღვნიშნავთ ნ, ვიღებთ ახალ გამოთქმას:
t = t + 2π ნ.

აქედან გამომდინარეობს ფორმულა:

ტრიგონომეტრიულ წრეზე, გარდა კუთხეების გრადუსით, ვაკვირდებით.

მეტი რადიანების შესახებ:

რადიანი განისაზღვრება, როგორც რკალის კუთხური მნიშვნელობა, რომლის სიგრძე უდრის მის რადიუსს. შესაბამისად, ვინაიდან გარშემოწერილობა არის , მაშინ აშკარაა, რომ რადიანი ჯდება წრეში, ე.ი

1 რადი ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

ყველამ იცის, რომ რადიანია

ასე, მაგალითად, ა. ასე ჩვენ ისწავლეთ როგორ გადაიყვანოთ რადიანები კუთხეებად.

ახლა პირიქით გადავიყვანოთ გრადუსები რადიანებად.

ვთქვათ, უნდა გადავიყვანოთ რადიანებად. დაგვეხმარება. ჩვენ ვაგრძელებთ შემდეგნაირად:

ვინაიდან რადიანი, მაშინ შეავსეთ ცხრილი:

ჩვენ ვვარჯიშობთ, რათა ვიპოვოთ სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობები წრეში

მოდით დავაზუსტოთ შემდეგი.

კარგია, თუ ჩვენ გვთხოვენ გამოთვლას, ვთქვათ, - ჩვეულებრივ, აქ არ არის დაბნეულობა - ყველა იწყებს პირველ რიგში წრეზე ყურებას.

და თუ მათ სთხოვენ გამოთვლას, მაგალითად,... ბევრი, მოულოდნელად, იწყებს გაუგებრობას, სად ეძებოს ეს ნული... ხშირად ისინი ეძებენ მას საწყისში. რატომ?

1) ერთხელ და სამუდამოდ შევთანხმდეთ!რა მოდის შემდეგ ან არის არგუმენტი=კუთხე და ჩვენი კუთხეებია წრეზე, ნუ ეძებთ მათ x ღერძზე!(უბრალოდ ცალკეული წერტილები ეცემა როგორც წრეზე, ასევე ღერძზე ...) და თავად სინუსებისა და კოსინუსების მნიშვნელობები - ჩვენ ვეძებთ ღერძებზე!

2) და მეტი!თუ საწყის წერტილს გადავუხვიეთ საათის საწინააღმდეგოდ(ტრიგონომეტრიული წრის გვერდის ავლით მთავარი მიმართულება), შემდეგ გვერდს ვუსვამთ კუთხეების დადებით მნიშვნელობებს, კუთხეები იზრდება ამ მიმართულებით გადაადგილებისას.

თუ საწყის წერტილს გადავუხვიეთ საათის ისრის მიმართულებით, შემდეგ ჩვენ განზე ვდებთ კუთხეების უარყოფით მნიშვნელობებს.

მაგალითი 1

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

წრეზე ვპოულობთ. წერტილს ვაპროექტებთ სინუს ღერძზე (ანუ ვხატავთ პერპენდიკულარს წერტილიდან სინუს ღერძამდე (oy)).

მივდივართ 0-ზე. აქედან გამომდინარე, .

მაგალითი 2

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

ვპოულობთ წრეზე (გავდივართ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ და სხვა). ჩვენ ვაპროექტებთ წერტილს სინუს ღერძზე (და ის უკვედევს სინუსურ ღერძზე).

ჩვენ ვვარდებით -1-ში სინუსური ღერძის გასწვრივ.

გაითვალისწინეთ, რომ "დამალული" წერტილის უკან არის ისეთი წერტილები, როგორიცაა (ჩვენ შეგვიძლია მივიდეთ წერტილში, რომელიც მონიშნულია, საათის ისრის მიმართულებით, რაც ნიშნავს მინუს ნიშნის გამოჩენას) და უსასრულოდ ბევრი სხვა.

შეიძლება შემდეგი ანალოგიის გაკეთება:

წარმოიდგინეთ ტრიგონომეტრიული წრე, როგორც სტადიონის სარბენი ბილიკი.

ბოლოს და ბოლოს, შეგიძლიათ დასრულდეთ „დროშის“ წერტილში, მე ვიწყებ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, სირბილს, ვთქვათ, 300 მ ან სირბილს, ვთქვათ, 100 მ საათის ისრის მიმართულებით (მიგვაჩნია, რომ ტრასის სიგრძეა 400 მ).

თქვენ ასევე შეგიძლიათ მოხვდეთ „დროშის“ წერტილში („დაწყების“ შემდეგ) რბენით, ვთქვათ, 700 მ, 1100 მ, 1500 მ და ა.შ. საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. თქვენ შეგიძლიათ მიაღწიოთ დროშის წერტილს 500 მ ან 900 მ სირბილით და ა.შ. საათის ისრის მიმართულებით დასაწყისიდან.

გონებრივად გააფართოვეთ სტადიონის სარბენი ბილიკი რიცხვით. წარმოიდგინეთ, სად იქნება ამ ხაზზე, მაგალითად, მნიშვნელობები 300, 700, 1100, 1500 და ა.შ. ჩვენ დავინახავთ წერტილებს რიცხვთა წრფეზე, ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზე. დავბრუნდეთ უკან. წერტილები "ერთად ერწყმის" ერთს.

ასეა ტრიგონომეტრიულ წრეშიც. ყოველი წერტილის მიღმა უსასრულოდ ბევრი სხვაა.

ვთქვათ კუთხეები , , და ა.შ. ნაჩვენებია როგორც ერთი წერტილი. და მათში სინუსის, კოსინუსის მნიშვნელობები, რა თქმა უნდა, იგივეა. (შეგიმჩნევიათ, რომ დავამატეთ/გამოვაკლეთ თუ? ეს არის სინუსის და კოსინუსური ფუნქციის პერიოდი.)

მაგალითი 3

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

მოდით გადავიყვანოთ ხარისხებად სიმარტივისთვის.

(მოგვიანებით, როცა ტრიგონომეტრიულ წრეს შეეგუებით, რადიანების გრადუსებად გადაქცევა აღარ დაგჭირდებათ):

საათის ისრის მიმართულებით ვივლით წერტილიდან მოდით ვიაროთ ნახევარ წრეში () და სხვა

ჩვენ გვესმის, რომ სინუსის მნიშვნელობა ემთხვევა სინუსის მნიშვნელობას და უდრის

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ავიღებთ, მაგალითად, ან და ა.შ., მაშინ მივიღებთ იგივე სინუს მნიშვნელობას.

მაგალითი 4

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

თუმცა, ჩვენ არ გადავიყვანთ რადიანებს გრადუსებად, როგორც წინა მაგალითში.

ანუ, საათის ისრის საწინააღმდეგოდ უნდა ვიაროთ ნახევარ წრის და მეორე მეოთხედის ნახევარწრის მიმართულებით და მივიღოთ მიღებული წერტილი კოსინუს ღერძზე (ჰორიზონტალური ღერძი).

მაგალითი 5

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

როგორ დავხატოთ ტრიგონომეტრიულ წრეზე?

თუ ჩვენ გავივლით ან, დიახ, მაინც, მაინც მივიღებთ იმ წერტილს, რომელიც ჩვენ დავნიშნეთ, როგორც "დაწყება". აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გადახვიდეთ წრის წერტილზე

მაგალითი 6

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

ჩვენ მივიღებთ წერტილს (მიგვიყვანს მაინც ნულამდე). წრის წერტილს ვაპროექტებთ კოსინუს ღერძზე (იხ. ტრიგონომეტრიული წრე), შევდივართ. ანუ .

ტრიგონომეტრიული წრე - თქვენს ხელშია

თქვენ უკვე მიხვდით, რომ მთავარია გახსოვდეთ პირველი კვარტლის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები. დანარჩენ კვარტალებში ყველაფერი მსგავსია, თქვენ უბრალოდ უნდა დაიცვათ ნიშნები. და იმედი მაქვს, რომ არ დაგავიწყდებათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების "ჯაჭვის კიბე".

როგორ მოვძებნოთ ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობებიძირითადი კუთხეები.

ამის შემდეგ, გაეცნოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის ძირითად მნიშვნელობებს, შეგიძლიათ გაიაროთ

ცარიელი წრის შაბლონზე. მატარებელი!

სკოლაში ტრიგონომეტრიის შესწავლისას თითოეულ მოსწავლეს აწყდება ძალიან საინტერესო კონცეფცია „რიცხვითი წრის“. ეს დამოკიდებულია სკოლის მასწავლებლის უნარზე, ახსნას რა არის და რატომ არის საჭირო, რამდენად კარგად გაივლის მოსწავლე ტრიგონომეტრიას მოგვიანებით. სამწუხაროდ, ყველა მასწავლებელს არ შეუძლია ახსნას ეს მასალა ხელმისაწვდომი გზით. შედეგად, ბევრი სტუდენტი იბნევა იმაზეც კი, თუ როგორ უნდა აღნიშნონ რაოდენობა რიცხვის წრეზე. თუ ამ სტატიას ბოლომდე წაიკითხავთ, ისწავლით როგორ გააკეთოთ ეს უპრობლემოდ.

მოდით დავიწყოთ. დავხატოთ წრე, რომლის რადიუსი 1-ის ტოლია. ამ წრის ყველაზე „სწორი“ წერტილი აღინიშნა ასოთი ო:

გილოცავთ, თქვენ ახლახან დახაზეთ ერთეული წრე. ვინაიდან ამ წრის რადიუსი არის 1, მაშინ მისი სიგრძე არის .

თითოეული რეალური რიცხვი შეიძლება ასოცირებული იყოს ტრაექტორიის სიგრძესთან რიცხვითი წრის გასწვრივ წერტილიდან ო. მოძრაობის მიმართულება არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, როგორც დადებითი მიმართულება. უარყოფითისთვის - საათის ისრის მიმართულებით:

წერტილების განლაგება რიცხვით წრეზე

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რიცხვითი წრის (ერთეული წრის) სიგრძე უდრის. მაშინ სად იქნება ნომერი ამ წრეზე? აშკარად წერტილიდან ოსაათის ისრის საწინააღმდეგოდ, თქვენ უნდა გაიაროთ წრის ნახევარი და ჩვენ აღმოვჩნდებით სასურველ წერტილში. ასოთი ავღნიშნოთ ბ:

გაითვალისწინეთ, რომ იგივე წერტილის მიღწევა შესაძლებელია ნახევარწრის უარყოფითი მიმართულებით გავლისას. შემდეგ რიცხვს დავდებდით ერთეულ წრეზე. ანუ რიცხვები და შეესაბამება იმავე წერტილს.

უფრო მეტიც, იგივე წერტილი ასევე შეესაბამება რიცხვებს , , , და, ზოგადად, რიცხვთა უსასრულო სიმრავლეს, რომელიც შეიძლება დაიწეროს სახით, სადაც, ანუ მიეკუთვნება მთელი რიცხვების სიმრავლეს. ეს ყველაფერი იმიტომ ხდება ბშეგიძლიათ გააკეთოთ "მსოფლიოს გარშემო" მოგზაურობა ნებისმიერი მიმართულებით (დაამატოთ ან გამოაკლოთ გარშემოწერილობა) და მიაღწიოთ იმავე წერტილს. ჩვენ ვიღებთ მნიშვნელოვან დასკვნას, რომლის გაგება და დამახსოვრებაა საჭირო.

თითოეული რიცხვი შეესაბამება რიცხვთა წრის ერთ წერტილს. მაგრამ რიცხვების წრის თითოეული წერტილი შეესაბამება უსასრულოდ ბევრ რიცხვს.

მოდით, ახლა გავყოთ რიცხვითი წრის ზედა ნახევარწრიული წერტილით თანაბარი სიგრძის რკალებად C. ადვილი მისახვედრია რკალის სიგრძე OCუდრის . მოდი ახლა თავი დავანებოთ საკითხს Cიმავე სიგრძის რკალი საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით. შედეგად მივდივართ აზრამდე ბ. შედეგი საკმაოდ მოსალოდნელია, ვინაიდან. მოდით გადავდოთ ეს რკალი ისევ იმავე მიმართულებით, მაგრამ ახლა წერტილიდან ბ. შედეგად მივდივართ აზრამდე დ, რომელიც უკვე ემთხვევა რიცხვს:

კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რომ ეს პუნქტი შეესაბამება არა მხოლოდ რიცხვს, არამედ, მაგალითად, რიცხვს, რადგან ამ პუნქტის მიღწევა შესაძლებელია წერტილის გამოყოფით. ომეოთხედი წრე საათის ისრის მიმართულებით (უარყოფითი მიმართულებით).

და, ზოგადად, კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ, რომ ეს წერტილი შეესაბამება რიცხვების უსასრულო რაოდენობას, რომლებიც შეიძლება დაიწეროს ფორმით . მაგრამ ისინი ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც . ან, თუ გნებავთ, სახით. ყველა ეს ჩანაწერი აბსოლუტურად ექვივალენტურია და მათი მიღება შესაძლებელია ერთმანეთისგან.

მოდით, ახლა გავტეხოთ რკალი OCგანახევრებული წერტილი მ. ახლა დაფიქრდით, რა არის რკალის სიგრძე OM? მართალია, ნახევარი რკალი OC. ანუ . რა რიცხვებს შეესაბამება წერტილი მრიცხვების წრეზე? დარწმუნებული ვარ, ახლა მიხვდებით, რომ ეს რიცხვები შეიძლება ჩაწეროთ ფორმაში.

მაგრამ სხვაგვარად შესაძლებელია. ავიღოთ წარმოდგენილი ფორმულა. მაშინ მივიღებთ ამას . ანუ ეს რიცხვები შეიძლება დაიწეროს როგორც . იგივე შედეგი შეიძლება მივიღოთ რიცხვითი წრის გამოყენებით. როგორც ვთქვი, ორივე ჩანაწერი ექვივალენტურია და მათი მიღება შესაძლებელია ერთმანეთისგან.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად მოიყვანოთ რიცხვების მაგალითი, რომლებიც შეესაბამება წერტილებს ნ, პდა კრიცხვთა წრეზე. მაგალითად, რიცხვები და:

ხშირად ეს არის ზუსტად მინიმალური დადებითი რიცხვები, რომლებიც აღებულია რიცხვების წრეზე შესაბამისი წერტილების აღსანიშნავად. მიუხედავად იმისა, რომ ეს სულაც არ არის საჭირო და წერტილი ნ, როგორც უკვე იცით, შეესაბამება სხვა რიცხვების უსასრულო რაოდენობას. მათ შორის, მაგალითად, ნომერი.

თუ რკალი გატეხე OCსამ თანაბარ რკალად წერტილებით სდა ლ, ასე რომ, წერტილი სპუნქტებს შორის იქნება ოდა ლ, შემდეგ რკალის სიგრძე OSტოლი იქნება და რკალის სიგრძე OLტოლი იქნება. გაკვეთილის წინა ნაწილში მიღებული ცოდნის გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად გაარკვიოთ, როგორ აღმოჩნდა რიცხვების წრეზე დარჩენილი პუნქტები:

რიცხვები, რომლებიც არ არიან π-ის ჯერადი რიცხვების წრეზე

ახლა დავუსვათ საკუთარ თავს კითხვა, სად უნდა აღვნიშნოთ 1 რიცხვის შესაბამისი წერტილი? ამისათვის აუცილებელია ერთეული წრის ყველაზე "სწორი" წერტილიდან ოგამოვყოთ რკალი, რომლის სიგრძე იქნება 1-ის ტოლი. ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ დაახლოებით მივუთითოთ სასურველი წერტილის მდებარეობა. ვიმოქმედოთ შემდეგნაირად.