ინსტრუქცია

Მსგავსი ვიდეოები

შენიშვნა

მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების გაანგარიშებისას, მისი მახასიათებლების ცოდნა შეიძლება ითამაშოს:
1) თუ მართი კუთხის ფეხი დევს 30 გრადუსიანი კუთხის საპირისპიროდ, მაშინ ის უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს;
2) ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე რომელიმე ფეხი;
3) თუ წრე შემოიფარგლება მართკუთხა სამკუთხედის ირგვლივ, მაშინ მისი ცენტრი უნდა იყოს ჰიპოტენუზის შუაში.

ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მოპირდაპირეა 90 გრადუსიანი კუთხით. მისი სიგრძის გამოსათვლელად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძე და სამკუთხედის ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მნიშვნელობა.

ინსტრუქცია

გვაცნობეთ ერთ-ერთი ფეხი და მის მიმდებარე კუთხე. დაზუსტებისთვის, ეს იყოს ფეხი |AB| და კუთხე α. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა მიმდებარე ფეხის ტრიგონომეტრიული კოსინუსი - კოსინუსის თანაფარდობისთვის. იმათ. ჩვენს აღნიშვნით cos α = |AB| / |AC|. აქედან ვიღებთ ჰიპოტენუზის სიგრძეს |AC| = |AB| / cosα.
თუ ვიცით ფეხი |ძვ.წ.| და კუთხე α, შემდეგ ვიყენებთ კუთხის სინუსის გამოსათვლელ ფორმულას - კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან: sin α = |BC| / |AC|. ჩვენ ვიღებთ, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძე გვხვდება როგორც |AC| = |ძვ.წ.| / cosα.

სიცხადისთვის, განიხილეთ მაგალითი. მოდით ფეხის სიგრძე |AB| = 15. და კუთხე α = 60°. ვიღებთ |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
იფიქრეთ იმაზე, თუ როგორ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი შედეგი პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მეორე ფეხის სიგრძე |BC|. tg α = |BC| კუთხის ტანგენტის ფორმულის გამოყენებით / |AC|, ვიღებთ |ძვ.წ.| = |AB| * tg α = 15 * tg 60 ° = 15 * √3. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას, ვიღებთ 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. შემოწმება დასრულებულია.

სასარგებლო რჩევა

ჰიპოტენუზის გამოთვლის შემდეგ შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა მიღებული მნიშვნელობა პითაგორას თეორემას.

წყაროები:

• მარტივი რიცხვების ცხრილი 1-დან 10000-მდე

ფეხებიდაასახელე ორი მოკლე მხარეებიმართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც წარმოადგენს მის წვეროს, რომლის მნიშვნელობა არის 90 °. ასეთ სამკუთხედში მესამე გვერდს ჰიპოტენუზა ეწოდება. სამკუთხედის ყველა ეს გვერდი და კუთხე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული გარკვეული ურთიერთობებით, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფეხის სიგრძე, თუ ცნობილია რამდენიმე სხვა პარამეტრი.

ინსტრუქცია

გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ფეხისთვის (A), თუ იცით მართკუთხა სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდის (B და C) სიგრძე. ამ თეორემაში ნათქვამია, რომ ფეხების სიგრძის კვადრატში ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის სიგრძის კვადრატულ ფესვს: A=√(C²-B²).

გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის "სინუსი" განმარტება მწვავე კუთხისთვის, თუ იცით კუთხის (α) მნიშვნელობა გამოთვლილი ფეხის საპირისპიროდ და ჰიპოტენუზის სიგრძე (C). ეს ამბობს, რომ ამის ცნობილი სინუსი არის სასურველი ფეხის სიგრძის თანაფარდობა ჰიპოტენუზის სიგრძესთან. ეს არის ის, რომ სასურველი ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის სინუსის ნამრავლს: A=C∗sin(α). იგივე ცნობილი მნიშვნელობებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოსეკანტი და გამოთვალოთ სასურველი სიგრძე ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის კოსეკანტზე A=C/cosec(α).

გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული კოსინუსის ფუნქციის განმარტება, თუ ჰიპოტენუზის სიგრძის გარდა (C), ასევე ცნობილია საჭიროს მიმდებარე მახვილი კუთხის (β) მნიშვნელობა. ამ კუთხის კოსინუსი არის სასურველი ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა და აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის კოსინუსის ნამრავლს: A=C∗cos(β). შეგიძლიათ გამოიყენოთ სეკანტური ფუნქციის განსაზღვრება და გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის A=C/წმ(β) სეკანტზე.

გამოიტანეთ საჭირო ფორმულა მსგავსი განმარტებიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ტანგენტის წარმოებულისთვის, თუ სასურველი ფეხის (A) მოპირდაპირე მდებარე მწვავე კუთხის (α) მნიშვნელობის გარდა, მეორე ფეხის (B) სიგრძეა. ცნობილია. სასურველი ფეხის მოპირდაპირე კუთხის ტანგენსი არის ამ ფეხის სიგრძის თანაფარდობა მეორე ფეხის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი მნიშვნელობა ტოლი იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის ტანგენტის ნამრავლის: A=B∗tg(α). ამ იგივე ცნობილი რაოდენობებიდან, სხვა ფორმულა შეიძლება გამოვიდეს კოტანგენტის ფუნქციის განსაზღვრის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ფეხის სიგრძის გამოსათვლელად საჭირო იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძის შეფარდება ცნობილი კუთხის კოტანგენსთან: A=B/ctg(α).

Მსგავსი ვიდეოები

სიტყვა "კატეტი" რუსულად ბერძნულიდან შემოვიდა. ზუსტი თარგმანით, ეს ნიშნავს ქლიავის ხაზს, ანუ დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულს. მათემატიკაში ფეხებს უწოდებენ გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედის სწორ კუთხეს. ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება. ტერმინი "ფეხი" ასევე გამოიყენება არქიტექტურასა და შედუღების ტექნოლოგიაში.

ამ კუთხის სეკანტი მიიღება ჰიპოტენუზის მიმდებარე ფეხზე გაყოფით, ანუ secCAB=c/b. გამოდის კოსინუსის რეციპროკული, ანუ შეიძლება გამოისახოს ფორმულით secCAB=1/cosSAB.
კოსეკანტი უდრის ჰიპოტენუზის საპირისპირო ფეხზე გაყოფის კოეფიციენტს და არის სინუსის ორმხრივი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით cosecCAB=1/sinCAB

ორივე ფეხი ურთიერთდაკავშირებული და კოტანგენტურია. ამ შემთხვევაში, ტანგენტი იქნება a მხარის თანაფარდობა b მხარესთან, ანუ მოპირდაპირე ფეხი მეზობელთან. ეს თანაფარდობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით tgCAB=a/b. შესაბამისად, შებრუნებული თანაფარდობა იქნება კოტანგენსი: ctgCAB=b/a.

ჰიპოტენუზისა და ორივე ფეხის ზომებს შორის თანაფარდობა განისაზღვრა ძველი ბერძნული პითაგორას მიერ. თეორემა, მისი სახელი, ხალხი ჯერ კიდევ იყენებს. ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, ანუ c2 \u003d a2 + b2. შესაბამისად, თითოეული ფეხი ტოლი იქნება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის. ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც b=√(c2-a2).

ფეხის სიგრძე ასევე შეიძლება გამოხატული იყოს თქვენთვის ცნობილი ურთიერთობებით. სინუსებისა და კოსინუსების თეორემების მიხედვით, ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი ამ ფუნქციის ნამრავლის. შეგიძლიათ გამოხატოთ ის და ან კოტანგენტი. ფეხი a შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ფორმულით a \u003d b * tan CAB. ზუსტად ანალოგიურად, მოცემული ტანგენტის ან , მეორე ფეხი განისაზღვრება.

არქიტექტურაში ასევე გამოიყენება ტერმინი „ფეხი“. იგი გამოიყენება იონურ კაპიტალზე და ზურგის შუაში. ანუ, ამ შემთხვევაში, ამ ვადით, მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია.

შედუღების ტექნოლოგიაში არის "ფილე შედუღების ფეხი". როგორც სხვა შემთხვევებში, ეს არის უმოკლესი მანძილი. აქ საუბარია უფსკრულის შესახებ შედუღებამდე ერთ ნაწილს შორის მეორე ნაწილის ზედაპირზე მდებარე ნაკერის საზღვარზე.

Მსგავსი ვიდეოები

წყაროები:

• რა არის ფეხი და ჰიპოტენუზა 2019 წელს

სინუსი (), კოსინუსი (), ტანგენსი (), კოტანგენსი () განუყოფლად არის დაკავშირებული კუთხის ცნებასთან. იმისათვის, რომ კარგად გავიგოთ ეს, ერთი შეხედვით, რთული ცნებები (რომლებიც ბევრ სკოლის მოსწავლეში საშინელ მდგომარეობას იწვევს) და დავრწმუნდეთ, რომ „ეშმაკი არ არის ისეთი საშინელი, როგორც მას ხატავენ“, დავიწყოთ თავიდანვე და გავიგოთ. კუთხის კონცეფცია.

კუთხის ცნება: რადიანი, ხარისხი

მოდით შევხედოთ სურათს. ვექტორი "მობრუნდა" წერტილის მიმართ გარკვეული რაოდენობით. ამრიგად, ამ ბრუნვის ზომა საწყის პოზიციასთან შედარებით იქნება ინექცია.

კიდევ რა უნდა იცოდეთ კუთხის კონცეფციის შესახებ? რა თქმა უნდა, კუთხის ერთეულები!

კუთხე, როგორც გეომეტრიაში, ასევე ტრიგონომეტრიაში, შეიძლება გაიზომოს გრადუსით და რადიანებით.

კუთხე (ერთ გრადუსზე) არის წრის ცენტრალური კუთხე, წრის ნაწილის ტოლი წრიული რკალის საფუძველზე. ამრიგად, მთელი წრე შედგება წრიული რკალების „ნაწილებისგან“, ანუ წრის მიერ აღწერილი კუთხე ტოლია.

ანუ, ზემოთ მოყვანილი ფიგურა აჩვენებს კუთხეს, რომელიც ტოლია, ანუ ეს კუთხე ეფუძნება წრეწირის ზომის წრიულ რკალს.

რადიანებში კუთხეს უწოდებენ წრეში ცენტრალურ კუთხეს, რომელიც დაფუძნებულია წრიულ რკალზე, რომლის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს. აბა, გაიგე? თუ არა, მაშინ მოდით შევხედოთ სურათს.

ასე რომ, ფიგურაში ნაჩვენებია რადიანის ტოლი კუთხე, ანუ ეს კუთხე ეფუძნება წრიულ რკალს, რომლის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს (სიგრძე უდრის სიგრძეს ან რადიუსი ტოლია რკალის სიგრძე). ამრიგად, რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით:

სად არის ცენტრალური კუთხე რადიანებში.

კარგად, ამის ცოდნა, შეგიძლიათ უპასუხოთ რამდენ რადიანს შეიცავს წრეზე აღწერილ კუთხეს? დიახ, ამისათვის თქვენ უნდა გახსოვდეთ წრის გარშემოწერილობის ფორმულა. Ის აქ არის:

კარგი, ახლა მოდით დავაკავშიროთ ეს ორი ფორმულა და მივიღოთ, რომ წრის მიერ აღწერილი კუთხე ტოლია. ანუ, მნიშვნელობის კორელაცია გრადუსებში და რადიანებში, მივიღებთ ამას. შესაბამისად,. როგორც ხედავთ, "გრადუსებისგან" განსხვავებით, სიტყვა "რადიანი" გამოტოვებულია, რადგან საზომი ერთეული, როგორც წესი, ნათელია კონტექსტიდან.

რამდენი რადიანია? Სწორია!

Გავიგე? შემდეგ მიამაგრეთ წინ:

რაიმე სირთულე? მერე შეხედე პასუხები:

მართკუთხა სამკუთხედი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კუთხის კოტანგენსი

ასე რომ, კუთხის კონცეფციით გაერკვია. მაგრამ რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი? მოდი გავარკვიოთ. ამაში მართკუთხა სამკუთხედი დაგვეხმარება.

რა ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს? ასეა, ჰიპოტენუზა და ფეხები: ჰიპოტენუზა არის ის მხარე, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ (ჩვენს მაგალითში ეს არის მხარე); ფეხები არის ორი დარჩენილი მხარე და (ისინი, რომლებიც მართი კუთხის მიმდებარედ არიან), უფრო მეტიც, თუ გავითვალისწინებთ ფეხებს კუთხის მიმართ, მაშინ ფეხი არის მიმდებარე ფეხი, ხოლო ფეხი არის საპირისპირო. ახლა მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

კუთხის სინუსიარის საპირისპირო (შორს) ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

ჩვენს სამკუთხედში.

კუთხის კოსინუსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ჩვენს სამკუთხედში.

კუთხის ტანგენსი- ეს არის მოპირდაპირე (შორს) ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე (ახლო) მიმართ.

ჩვენს სამკუთხედში.

კუთხის კოტანგენსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა საპირისპირო (შორს).

ჩვენს სამკუთხედში.

ეს განმარტებები აუცილებელია გახსოვდეს! იმისათვის, რომ გაგიადვილდეთ დაიმახსოვროთ რომელი ფეხი რაზე უნდა გაიყოთ, ნათლად უნდა გესმოდეთ ეს ტანგენსიდა კოტანგენსიმხოლოდ ფეხები ზის და ჰიპოტენუზა ჩნდება მხოლოდ შიგნით სინუსიდა კოსინუსი. და შემდეგ შეგიძლიათ შექმნათ ასოციაციების ჯაჭვი. მაგალითად, ეს:

კოსინუსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე;

კოტანგენსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე.

უპირველეს ყოვლისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, როგორც სამკუთხედის გვერდების შეფარდება, არ არის დამოკიდებული ამ გვერდების სიგრძეზე (ერთი კუთხით). Არ ენდო? შემდეგ დარწმუნდით, რომ სურათს შეხედეთ:

განვიხილოთ, მაგალითად, კუთხის კოსინუსი. განმარტებით, სამკუთხედიდან: , მაგრამ შეგვიძლია გამოვთვალოთ კუთხის კოსინუსი სამკუთხედიდან: . ხედავთ, გვერდების სიგრძე განსხვავებულია, მაგრამ ერთი კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა იგივეა. ამრიგად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობები დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.

თუ გესმით განმარტებები, მაშინ გააგრძელეთ და გაასწორეთ ისინი!

ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები სამკუთხედისთვის ჩვენ ვპოულობთ.

აბა, გაიგე? შემდეგ სცადეთ თავად: გამოთვალეთ იგივე კუთხისთვის.

ერთეული (ტრიგონომეტრიული) წრე

გრადუსებისა და რადიანების ცნებების გაგებით, ჩვენ განვიხილეთ წრე, რომლის რადიუსი ტოლია. ასეთ წრეს ე.წ მარტოხელა. ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიის შესწავლაში. ამიტომ, ჩვენ მასზე ცოტა უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ.

როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. წრის რადიუსი უდრის ერთს, ხოლო წრის ცენტრი დევს საწყისზე, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება ღერძის დადებითი მიმართულებით (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი).

წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: კოორდინატი ღერძის გასწვრივ და კოორდინატი ღერძის გასწვრივ. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის გახსოვდეთ განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი. ის მართკუთხაა, რადგან ღერძის პერპენდიკულარულია.

რის ტოლია სამკუთხედიდან? Სწორია. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ არის ერთეული წრის რადიუსი და, შესაბამისად, . ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს კოსინუს ფორმულაში. აი რა ხდება:

და რას უდრის სამკუთხედიდან? Რა თქმა უნდა, ! ჩაანაცვლეთ რადიუსის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:

ასე რომ, შეგიძლიათ მითხრათ რა არის წერტილის კოორდინატები, რომელიც მიეკუთვნება წრეს? ისე, არანაირად? და თუ ხვდები, რომ და მხოლოდ ციფრებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება? რა თქმა უნდა, კოორდინატი! რომელ კოორდინატს შეესაბამება? მართალია, კოორდინაცია! ამრიგად, წერტილი.

და რა არის მაშინ თანაბარი და? ასეა, გამოვიყენოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ, ა.

რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? აი, მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:

რა შეიცვალა ამ მაგალითში? მოდი გავარკვიოთ. ამისათვის ჩვენ კვლავ მივმართავთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი: კუთხე (კუთხის მიმდებარედ). რა მნიშვნელობა აქვს კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:

ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობებთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები გამოიყენება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.

უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის ღერძის დადებითი მიმართულების გასწვრივ. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენც მიიღებთ გარკვეული ზომის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ვიღებთ დადებითი კუთხეებიდა საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.

ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის ან. შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! ამრიგად, პირველ შემთხვევაში, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.

მეორე შემთხვევაში, ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.

ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდებიან ან (სად არის რომელიმე მთელი რიცხვი) შეესაბამება რადიუსის ვექტორის ერთსა და იმავე პოზიციას.

ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს კუთხეს. იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით ან (სად არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)

ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ, თუ რას უდრის მნიშვნელობები:

აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:

რაიმე სირთულე? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:

აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. მოდით, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხე ზე შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით, ამიტომ:

Არ არსებობს;

გარდა ამისა, იგივე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით. ამის გაგებით, ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.

პასუხები:

Არ არსებობს

Არ არსებობს

Არ არსებობს

Არ არსებობს

ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:

არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია გავიხსენოთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:

მაგრამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და, ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, უნდა ახსოვდეს:

ნუ გეშინია, ახლა ჩვენ გაჩვენებთ ერთ-ერთ მაგალითს შესაბამისი მნიშვნელობების საკმაოდ მარტივი დამახსოვრება:

ამ მეთოდის გამოსაყენებლად მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსის მნიშვნელობები კუთხის სამივე საზომისთვის (), ასევე კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა. ამ მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსის მნიშვნელობები გადადის ისრების შესაბამისად, ანუ:

ამის გაცნობიერებით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მნიშვნელობები. მრიცხველი " " ემთხვევა და მნიშვნელი " " ემთხვევა. კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ნახატზე ნაჩვენები ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ დიაგრამა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან მთელი მნიშვნელობის დამახსოვრება.

წერტილის კოორდინატები წრეზე

შესაძლებელია თუ არა წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა წრეზე, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა?

კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! გამოვიტანოთ წერტილის კოორდინატების პოვნის ზოგადი ფორმულა.

აი, მაგალითად, გვაქვს ასეთი წრე:

გვეძლევა, რომ წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. საჭიროა წერტილის გრადუსით ბრუნვით მიღებული წერტილის კოორდინატების პოვნა.

როგორც ნახატიდან ჩანს, წერტილის კოორდინატი შეესაბამება სეგმენტის სიგრძეს. სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს, ანუ ის ტოლია. სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:

შემდეგ ჩვენ გვაქვს, რომ წერტილისთვის არის კოორდინატი.

ამავე ლოგიკით, ჩვენ ვპოულობთ y კოორდინატის მნიშვნელობას წერტილისთვის. Ამგვარად,

ასე რომ, ზოგადად, წერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

წრის ცენტრის კოორდინატები,

წრის რადიუსი,

რადიუსის ვექტორის ბრუნვის კუთხე.

როგორც ხედავთ, ჩვენ განხილული ერთეული წრისთვის, ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, რადგან ცენტრის კოორდინატები ნულია, ხოლო რადიუსი უდრის ერთს:

აბა, მოდით ვცადოთ ეს ფორმულები გემოვნებისთვის, ვივარჯიშოთ წრეზე ქულების პოვნაში?

1. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიიღება წერტილის ჩართვის შედეგად.

2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიიღება წერტილის ბრუნვით.

3. წერტილის ჩართვით მიღებულ ერთეულ წრეზე იპოვეთ წერტილის კოორდინატები.

4. წერტილი - წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ საწყისი რადიუსის ვექტორის როტაციით მიღებული წერტილის კოორდინატები.

5. წერტილი - წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ საწყისი რადიუსის ვექტორის როტაციით მიღებული წერტილის კოორდინატები.

გიჭირთ წრეზე წერტილის კოორდინატების პოვნა?

ამოხსენით ეს ხუთი მაგალითი (ან კარგად გაიგეთ გამოსავალი) და ისწავლით როგორ იპოვოთ ისინი!

1.

ჩანს რომ. და ჩვენ ვიცით, რა შეესაბამება საწყისი წერტილის სრულ შემობრუნებას. ამრიგად, სასურველი წერტილი იქნება იმავე მდგომარეობაში, როგორც მობრუნებისას. ამის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილის სასურველ კოორდინატებს:

2. წრე არის ერთეული ცენტრით წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული ფორმულები:

ჩანს რომ. ჩვენ ვიცით, რა შეესაბამება საწყისი წერტილის ორ სრულ ბრუნს. ამრიგად, სასურველი წერტილი იქნება იმავე მდგომარეობაში, როგორც მობრუნებისას. ამის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილის სასურველ კოორდინატებს:

სინუსი და კოსინუსი არის ტაბულური მნიშვნელობები. ჩვენ ვიხსენებთ მათ ღირებულებებს და ვიღებთ:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

3. წრე არის ერთეული ცენტრით წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული ფორმულები:

ჩანს რომ. მოდით გამოვსახოთ განხილული მაგალითი ფიგურაში:

რადიუსი ქმნის კუთხეებს ღერძის ტოლი და. იმის ცოდნა, რომ კოსინუსისა და სინუსის ცხრილის მნიშვნელობები ტოლია და დავადგინეთ, რომ აქ კოსინუსი უარყოფით მნიშვნელობას იღებს, ხოლო სინუსი დადებითია, გვაქვს:

მსგავსი მაგალითები უფრო დეტალურად არის გაანალიზებული თემაში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულების შესწავლისას.

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

4.

რადიუსის ვექტორის ბრუნვის კუთხე (პირობით)

სინუსის და კოსინუსის შესაბამისი ნიშნების დასადგენად ვაშენებთ ერთეულ წრეს და კუთხეს:

როგორც ხედავთ, მნიშვნელობა, ანუ დადებითია, ხოლო მნიშვნელობა, ანუ უარყოფითი. შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილის მნიშვნელობების ცოდნა მივიღებთ, რომ:

მოდით, მიღებული მნიშვნელობები ჩავანაცვლოთ ჩვენს ფორმულაში და ვიპოვოთ კოორდინატები:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

5. ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულებს ზოგადი ფორმით, სადაც

წრის ცენტრის კოორდინატები (ჩვენს მაგალითში,

წრის რადიუსი (მდგომარეობით)

რადიუსის ვექტორის ბრუნვის კუთხე (პირობით).

ჩაანაცვლეთ ყველა მნიშვნელობა ფორმულაში და მიიღეთ:

და - ცხრილის მნიშვნელობები. ჩვენ ვიხსენებთ და ვცვლით მათ ფორმულაში:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

კუთხის სინუსი არის საპირისპირო (შორს) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე (შორს) ფეხის შეფარდება მიმდებარე (ახლოს).

კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის შეფარდება საპირისპირო (შორს).

მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები უდიდეს სირთულეებს უმკლავდებიან, არის ტრიგონომეტრია. გასაკვირი არ არის: იმისათვის, რომ თავისუფლად დაეუფლოთ ცოდნის ამ სფეროს, გჭირდებათ სივრცითი აზროვნება, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, ფორმულების გამოყენებით კოტანგენტების პოვნის უნარი, გამოთვლების გამარტივება და გამოთვლებში რიცხვის pi გამოყენება. გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ტრიგონომეტრიის გამოყენება თეორემების დამტკიცებისას და ეს მოითხოვს ან განვითარებულ მათემატიკური მეხსიერებას ან რთული ლოგიკური ჯაჭვების გამოტანის უნარს.

ტრიგონომეტრიის წარმოშობა

ამ მეცნიერების გაცნობა უნდა დაიწყოს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განსაზღვრით, მაგრამ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რას აკეთებს ზოგადად ტრიგონომეტრია.

ისტორიულად, მართკუთხა სამკუთხედები იყო მათემატიკური მეცნიერების ამ განყოფილების შესწავლის მთავარი ობიექტი. 90 გრადუსიანი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის სხვადასხვა ოპერაციების განხორციელებას, რაც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ განსახილველი ფიგურის ყველა პარამეტრის მნიშვნელობები ორი მხარის და ერთი კუთხის ან ორი კუთხის და ერთი მხარის გამოყენებით. წარსულში ხალხმა შეამჩნია ეს ნიმუში და დაიწყო მისი აქტიურად გამოყენება შენობების მშენებლობაში, ნავიგაციაში, ასტრონომიაში და ხელოვნებაშიც კი.

პირველი ეტაპი

თავდაპირველად, ადამიანები საუბრობდნენ კუთხეების და გვერდების ურთიერთობაზე ექსკლუზიურად მართკუთხა სამკუთხედების მაგალითზე. შემდეგ აღმოაჩინეს სპეციალური ფორმულები, რამაც შესაძლებელი გახადა მათემატიკის ამ მონაკვეთის ყოველდღიურ ცხოვრებაში გამოყენების საზღვრების გაფართოება.

ტრიგონომეტრიის შესწავლა დღეს სკოლაში იწყება მართკუთხა სამკუთხედებით, რის შემდეგაც მიღებულ ცოდნას იყენებენ მოსწავლეები ფიზიკაში და აბსტრაქტული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში, რომლითაც მუშაობა იწყება საშუალო სკოლაში.

სფერული ტრიგონომეტრია

მოგვიანებით, როდესაც მეცნიერებამ მიაღწია განვითარების შემდეგ საფეხურს, ფორმულები სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის გამოყენებით დაიწყეს სფერულ გეომეტრიაში, სადაც მოქმედებს სხვადასხვა წესები და სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია. ეს განყოფილება სკოლაში არ არის შესწავლილი, მაგრამ აუცილებელია ვიცოდეთ მისი არსებობის შესახებ, თუნდაც იმიტომ, რომ დედამიწის ზედაპირი და ნებისმიერი სხვა პლანეტის ზედაპირი ამოზნექილია, რაც ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ზედაპირის მარკირება იქნება "რკალისებური" სამგანზომილებიანი სივრცე.

აიღეთ გლობუსი და ძაფი. მიამაგრეთ ძაფი დედამიწის ნებისმიერ ორ წერტილზე ისე, რომ ის დაჭიმული იყოს. მიაქციეთ ყურადღება - მან რკალის ფორმა შეიძინა. სწორედ ასეთ ფორმებს ეხება სფერული გეომეტრია, რომელიც გამოიყენება გეოდეზიაში, ასტრონომიაში და სხვა თეორიულ და გამოყენებით დარგებში.

მართკუთხა სამკუთხედი

ცოტა რამ რომ ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გამოყენების გზების შესახებ, დავუბრუნდეთ ძირითად ტრიგონომეტრიას, რათა შემდგომ გავიგოთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, რა გამოთვლები შეიძლება შესრულდეს მათი დახმარებით და რა ფორმულები გამოვიყენოთ.

პირველი ნაბიჯი არის მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული ცნებების გაგება. პირველი, ჰიპოტენუზა არის 90 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარე. ის ყველაზე გრძელია. გვახსოვს, რომ პითაგორას თეორემის მიხედვით, მისი რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამის ფესვს.

მაგალითად, თუ ორი გვერდი 3 და 4 სანტიმეტრია შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 5 სანტიმეტრი. სხვათა შორის, ძველმა ეგვიპტელებმა ამის შესახებ იცოდნენ დაახლოებით ოთხნახევარი ათასი წლის წინ.

დარჩენილ ორ მხარეს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.

განმარტება

და ბოლოს, გეომეტრიული ფუძის მყარი გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია მივმართოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებას.

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (ე.ი. სასურველი კუთხის მოპირდაპირე მხარის) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

გახსოვდეთ, რომ არც სინუსი და არც კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე დიდი! რატომ? რადგან ჰიპოტენუზა ნაგულისხმევად ყველაზე გრძელია, რაც არ უნდა გრძელი იყოს ფეხი, ის უფრო მოკლე იქნება ვიდრე ჰიპოტენუზა, რაც ნიშნავს, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის იქნება ერთზე ნაკლები. ამრიგად, თუ ამოცანის პასუხში მიიღებთ სინუსს ან კოსინუსს 1-ზე მეტი მნიშვნელობით, მოძებნეთ შეცდომა გამოთვლებში ან მსჯელობაში. ეს პასუხი აშკარად არასწორია.

და ბოლოს, კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. იგივე შედეგი იქნება სინუსის გაყოფა კოსინუსზე. შეხედე: ფორმულის მიხედვით გვერდის სიგრძეს ვყოფთ ჰიპოტენუზაზე, რის შემდეგაც ვყოფთ მეორე მხარის სიგრძეზე და ვამრავლებთ ჰიპოტენუზაზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე თანაფარდობას, როგორც ტანგენტის განმარტებაში.

კოტანგენსი, შესაბამისად, არის კუთხის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს. იგივე შედეგს ვიღებთ ერთეულის ტანგენსზე გაყოფით.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ განმარტებები იმის შესახებ, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი და შეგვიძლია გაუმკლავდეთ ფორმულებს.

უმარტივესი ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში არ შეიძლება ფორმულების გარეშე - როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მათ გარეშე? და ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას.

პირველი ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიის შესწავლის დაწყებისას ამბობს, რომ კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია. ეს ფორმულა არის პითაგორას თეორემის პირდაპირი შედეგი, მაგრამ ის დაზოგავს დროს, თუ გსურთ იცოდეთ კუთხის მნიშვნელობა და არა გვერდი.

ბევრ მოსწავლეს არ ახსოვს მეორე ფორმულა, რომელიც ასევე ძალიან პოპულარულია სასკოლო ამოცანების ამოხსნისას: ერთისა და კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი ტოლია ერთის გაყოფილი კუთხის კოსინუსზე. დააკვირდით: ბოლოს და ბოლოს, ეს იგივე განცხადებაა, როგორც პირველ ფორმულაში, იდენტურობის მხოლოდ ორივე მხარე იყოფა კოსინუსის კვადრატით. გამოდის, რომ მარტივი მათემატიკური ოპერაცია ტრიგონომეტრიულ ფორმულას სრულიად ამოუცნობს ხდის. გახსოვდეთ: იმის ცოდნა, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, კონვერტაციის წესები და რამდენიმე ძირითადი ფორმულა, შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს დამოუკიდებლად გამოიტანოთ საჭირო უფრო რთული ფორმულები ფურცელზე.

ორმაგი კუთხის ფორმულები და არგუმენტების დამატება

კიდევ ორი ​​ფორმულა, რომელიც უნდა ისწავლოთ, უკავშირდება სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობებს კუთხეების ჯამისთვის და სხვაობისთვის. ისინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. გაითვალისწინეთ, რომ პირველ შემთხვევაში სინუსი და კოსინუსი მრავლდება ორივეჯერ, ხოლო მეორეში ემატება სინუსისა და კოსინუსის წყვილი ნამრავლი.

ასევე არსებობს ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია ორმაგი კუთხის არგუმენტებთან. ისინი მთლიანად მომდინარეობს წინადან - როგორც პრაქტიკა, შეეცადეთ მიიღოთ ისინი თავად, აიღეთ ალფას კუთხე ბეტას კუთხის ტოლი.

და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი კუთხის ფორმულები შეიძლება გარდაიქმნას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ალფას ხარისხის შესამცირებლად.

თეორემები

ძირითადი ტრიგონომეტრიის ორი ძირითადი თეორემაა სინუსების თეორემა და კოსინუსების თეორემა. ამ თეორემების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი და, შესაბამისად, ფიგურის ფართობი და თითოეული მხარის ზომა და ა.შ.

სინუსების თეორემა ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძის მოპირდაპირე კუთხის სიდიდეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ ერთსა და იმავე რიცხვს. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი ტოლი იქნება შემოხაზული წრის ორი რადიუსის, ანუ წრე, რომელიც შეიცავს მოცემული სამკუთხედის ყველა წერტილს.

კოსინუსების თეორემა აზოგადებს პითაგორას თეორემას, აპროექტებს მას ნებისმიერ სამკუთხედზე. გამოდის, რომ ორი გვერდის კვადრატების ჯამიდან გამოვაკლოთ მათი ნამრავლი, გამრავლებული მათ მიმდებარე კუთხის ორმაგ კოსინუსზე - შედეგად მიღებული მნიშვნელობა უდრის მესამე მხარის კვადრატს. ამრიგად, პითაგორას თეორემა აღმოჩნდება კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.

შეცდომები უყურადღებობის გამო

იმის ცოდნაც კი, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ადვილია შეცდომის დაშვება უგუნებობის ან უმარტივესი გამოთვლების შეცდომის გამო. ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გავეცნოთ მათგან ყველაზე პოპულარულს.

პირველი, თქვენ არ უნდა გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად, სანამ საბოლოო შედეგი არ მიიღება - შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი ჩვეულებრივ წილადად, თუ პირობა სხვაგვარად არ არის მითითებული. ასეთ ტრანსფორმაციას შეცდომად არ შეიძლება ვუწოდოთ, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ პრობლემის ყოველ ეტაპზე შეიძლება გაჩნდეს ახალი ფესვები, რომლებიც, ავტორის აზრით, უნდა შემცირდეს. ამ შემთხვევაში თქვენ დაკარგავთ დროს არასაჭირო მათემატიკურ ოპერაციებზე. ეს განსაკუთრებით ეხება ისეთ მნიშვნელობებს, როგორიცაა სამი ან ორი ფესვი, რადგან ისინი ჩნდება ამოცანებში ყოველ ნაბიჯზე. იგივე ეხება „მახინჯი“ რიცხვების დამრგვალებას.

გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ კოსინუსების თეორემა ვრცელდება ნებისმიერ სამკუთხედზე, მაგრამ არა პითაგორას თეორემაზე! თუ შეცდომით დაგავიწყდათ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამოკლება მათ შორის კუთხის კოსინუსზე გამრავლებული, თქვენ არა მხოლოდ მიიღებთ სრულიად არასწორ შედეგს, არამედ აჩვენებთ საგნის სრულ გაუგებრობას. ეს უყურადღებო შეცდომაზე უარესია.

მესამე, ნუ აურიეთ მნიშვნელობები 30 და 60 გრადუსიანი კუთხისთვის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების. დაიმახსოვრეთ ეს მნიშვნელობები, რადგან 30 გრადუსის სინუსი ტოლია 60-ის კოსინუსს და პირიქით. მათი შერევა მარტივია, რის შედეგადაც აუცილებლად მიიღებთ მცდარ შედეგს.

განაცხადი

ბევრი სტუდენტი არ ჩქარობს ტრიგონომეტრიის შესწავლას, რადგან მათ არ ესმით მისი გამოყენებითი მნიშვნელობა. რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ინჟინრისთვის ან ასტრონომისთვის? ეს არის ცნებები, რომელთა წყალობითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი შორეულ ვარსკვლავებამდე, იწინასწარმეტყველოთ მეტეორიტის დაცემა, გაგზავნოთ კვლევითი ზონდი სხვა პლანეტაზე. მათ გარეშე შეუძლებელია შენობის აშენება, მანქანის დაპროექტება, ზედაპირზე დატვირთვის ან ობიექტის ტრაექტორიის გამოთვლა. და ეს მხოლოდ ყველაზე აშკარა მაგალითებია! ყოველივე ამის შემდეგ, ტრიგონომეტრია ამა თუ იმ ფორმით გამოიყენება ყველგან, მუსიკიდან მედიცინამდე.

ბოლოს და ბოლოს

ასე რომ, თქვენ ხართ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი გამოთვლებში და წარმატებით მოაგვაროთ სკოლის პრობლემები.

ტრიგონომეტრიის მთელი არსი ემყარება იმ ფაქტს, რომ უცნობი პარამეტრები უნდა გამოითვალოს სამკუთხედის ცნობილი პარამეტრებიდან. სულ ექვსი პარამეტრია: სამი გვერდის სიგრძე და სამი კუთხის სიდიდეები. ამოცანების მთელი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ მოცემულია სხვადასხვა შეყვანის მონაცემები.

როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ფეხების ცნობილი სიგრძის ან ჰიპოტენუზის საფუძველზე, თქვენ ახლა იცით. ვინაიდან ეს ტერმინები არაფერს ნიშნავს, თუ არა თანაფარდობას, ხოლო თანაფარდობა არის წილადი, ტრიგონომეტრიული ამოცანის მთავარი მიზანი არის ჩვეულებრივი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის ფესვების პოვნა. აქ კი ჩვეულებრივი სასკოლო მათემატიკა დაგეხმარება.

ცხოვრებაში ხშირად გვიწევს მათემატიკური პრობლემების წინაშე: სკოლაში, უნივერსიტეტში, შემდეგ კი შვილს საშინაო დავალების შესრულებაში დახმარება. გარკვეული პროფესიის ადამიანები მათემატიკას ყოველდღიურად ხვდებიან. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა მათემატიკური წესების დამახსოვრება ან გახსენება. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ერთ-ერთ მათგანს: მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის პოვნა.

რა არის მართკუთხა სამკუთხედი

ჯერ გავიხსენოთ რა არის მართკუთხა სამკუთხედი. მართკუთხა სამკუთხედი არის სამი სეგმენტის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც აკავშირებს წერტილებს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და ამ ფიგურის ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია. გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები, ხოლო მხარეს, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის მოპირდაპირედ, ეწოდება ჰიპოტენუზა.

მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის პოვნა

ფეხის სიგრძის გასარკვევად რამდენიმე გზა არსებობს. მსურს უფრო დეტალურად განვიხილო ისინი.

პითაგორას თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის მოსაძებნად

თუ ვიცით ჰიპოტენუზა და ფეხი, მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ უცნობი ფეხის სიგრძე პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ასე ჟღერს: „ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს“. ფორმულა: c²=a²+b², სადაც c არის ჰიპოტენუზა, a და b არის ფეხები. ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას და ვიღებთ: a²=c²-b².

მაგალითი. ჰიპოტენუზა არის 5 სმ, ფეხი კი 3 სმ. ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას: c²=a²+b² → a²=c²-b². შემდეგი, ჩვენ ვწყვეტთ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (სმ).

ტრიგონომეტრიული მიმართებები მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის საპოვნელად

ასევე შესაძლებელია უცნობი ფეხის პოვნა, თუ ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედის ნებისმიერი სხვა გვერდი და ნებისმიერი მახვილი კუთხე. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით ფეხის პოვნის ოთხი ვარიანტი არსებობს: სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის მიხედვით. პრობლემების გადაჭრაში დაგვეხმარება ქვემოთ მოცემული ცხრილი. განვიხილოთ ეს ვარიანტები.

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი სინუსის გამოყენებით

კუთხის სინუსი (ცოდვა) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. ფორმულა: sin \u003d a / c, სადაც a არის ფეხი მოცემული კუთხის საპირისპირო და c არის ჰიპოტენუზა. შემდეგი, ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას და ვიღებთ: a=sin*c.

მაგალითი. ჰიპოტენუზა არის 10 სმ და კუთხე A 30 გრადუსია. ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის სინუსს, ის უდრის 1/2-ს. შემდეგ ტრანსფორმირებული ფორმულის გამოყენებით ვხსნით: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი კოსინუსის გამოყენებით

კუთხის კოსინუსი (cos) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. ფორმულა: cos \u003d b / c, სადაც b არის მოცემული კუთხის მიმდებარე ფეხი და c არის ჰიპოტენუზა. გადავცვალოთ ფორმულა და მივიღოთ: b=cos*c.

მაგალითი. A კუთხე არის 60 გრადუსი, ჰიპოტენუზა 10 სმ ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის კოსინუსს, ის უდრის 1/2-ს. შემდეგ ვხსნით: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი ტანგენტის გამოყენებით

კუთხის ტანგენსი (tg) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან. ფორმულა: tg \u003d a / b, სადაც a არის კუთხის მოპირდაპირე ფეხი, ხოლო b არის მიმდებარე. გადავცვალოთ ფორმულა და მივიღოთ: a=tg*b.

მაგალითი. A კუთხე არის 45 გრადუსი, ჰიპოტენუზა 10 სმ ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის ტანგენტს, ის უდრის ამოხსნას: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი კოტანგენტის გამოყენებით

კუთხის კოტანგენსი (ctg) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ. ფორმულა: ctg \u003d b / a, სადაც b არის კუთხის მიმდებარე ფეხი და საპირისპიროა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოტანგენსი არის "შებრუნებული ტანგენსი". ვიღებთ: b=ctg*a.

მაგალითი. კუთხე A არის 30 გრადუსი, მოპირდაპირე ფეხი 5 სმ ცხრილის მიხედვით A კუთხის ტანგენსი არის √3. გამოთვალეთ: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (სმ).

ასე რომ, ახლა თქვენ იცით, როგორ იპოვოთ ფეხი მართკუთხა სამკუთხედში. როგორც ხედავთ არც ისე რთულია, მთავარია ფორმულების დამახსოვრება.

რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი, დაგეხმარებათ მართკუთხა სამკუთხედის გაგებაში.

რა ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს? ასეა, ჰიპოტენუზა და ფეხები: ჰიპოტენუზა არის ის მხარე, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ (ჩვენს მაგალითში ეს არის გვერდი \ (AC \) ); ფეხები არის ორი დარჩენილი მხარე \ (AB \) და \ (BC \) (ისინი, რომლებიც გვერდით არიან მართი კუთხით), უფრო მეტიც, თუ გავითვალისწინებთ ფეხებს კუთხის \ (BC \) მიმართ, მაშინ ფეხი \ (AB \) არის მიმდებარე ფეხი, ხოლო ფეხი \ (BC \) საპირისპიროა. ახლა მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

კუთხის სინუსი- ეს არის საპირისპირო (შორს) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ჩვენს სამკუთხედში:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

კუთხის კოსინუსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ჩვენს სამკუთხედში:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

კუთხის ტანგენსი- ეს არის მოპირდაპირე (შორს) ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე (ახლო) მიმართ.

ჩვენს სამკუთხედში:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

კუთხის კოტანგენსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა საპირისპირო (შორს).

ჩვენს სამკუთხედში:

\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ეს განმარტებები აუცილებელია გახსოვდეს! იმისათვის, რომ გაგიადვილდეთ დაიმახსოვროთ რომელი ფეხი რაზე უნდა გაიყოთ, ნათლად უნდა გესმოდეთ ეს ტანგენსიდა კოტანგენსიმხოლოდ ფეხები ზის და ჰიპოტენუზა ჩნდება მხოლოდ შიგნით სინუსიდა კოსინუსი. და შემდეგ შეგიძლიათ შექმნათ ასოციაციების ჯაჭვი. მაგალითად, ეს:

კოსინუსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე;

კოტანგენსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე.

უპირველეს ყოვლისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, როგორც სამკუთხედის გვერდების შეფარდება, არ არის დამოკიდებული ამ გვერდების სიგრძეზე (ერთი კუთხით). Არ ენდო? შემდეგ დარწმუნდით, რომ სურათს შეხედეთ:

განვიხილოთ, მაგალითად, კუთხის კოსინუსი \(\beta \) . განმარტებით, სამკუთხედიდან \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), მაგრამ შეგვიძლია გამოვთვალოთ \(\beta \) კუთხის კოსინუსი სამკუთხედიდან \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ხედავთ, გვერდების სიგრძე განსხვავებულია, მაგრამ ერთი კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა იგივეა. ამრიგად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობები დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.

თუ გესმით განმარტებები, მაშინ გააგრძელეთ და გაასწორეთ ისინი!

სამკუთხედისთვის \(ABC \) , რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში, ჩვენ ვპოულობთ \(\sin \\alpha,\ \cos \\alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(მასივი)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(მაივი) \)

აბა, გაიგე? შემდეგ სცადეთ თავად: გამოთვალეთ იგივე კუთხე \(\beta \) .

პასუხები: \(\sin \\beta =0.6;\ \cos \\beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

ერთეული (ტრიგონომეტრიული) წრე

ხარისხისა და რადიანის ცნებების გაგებით, ჩვენ განვიხილეთ წრე, რომლის რადიუსი ტოლია \ (1 \) . ასეთ წრეს ე.წ მარტოხელა. ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიის შესწავლაში. ამიტომ, ჩვენ მასზე ცოტა უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ.

როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. წრის რადიუსი უდრის ერთს, ხოლო წრის ცენტრი დევს საწყისზე, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება \(x\) ღერძის დადებითი მიმართულებით (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი \(AB \) ).

წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: კოორდინატი \(x\) ღერძის გასწვრივ და კოორდინატი \(y\) ღერძის გასწვრივ. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის გახსოვდეთ განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი \(ACG \) . ის მართკუთხაა, რადგან \(CG \) პერპენდიკულარულია \(x\) ღერძის მიმართ.

რა არის \(\cos \\alpha \) სამკუთხედიდან \(ACG \)? Სწორია \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ \(AC \) არის ერთეული წრის რადიუსი, ამიტომ \(AC=1 \) . ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს კოსინუს ფორმულაში. აი რა ხდება:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

და რა არის \(\sin \\alpha\) სამკუთხედიდან \(ACG \)? Რა თქმა უნდა, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! ჩაანაცვლეთ \ (AC \) რადიუსის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

მაშ, შეგიძლიათ მითხრათ, რა არის წერტილის კოორდინატები \(C \) , რომელიც მიეკუთვნება წრეს? ისე, არანაირად? მაგრამ რა მოხდება, თუ გააცნობიერებთ, რომ \(\cos \\alpha \) და \(\sin \alpha \) მხოლოდ რიცხვებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება \(\cos \alpha\)? რა თქმა უნდა, კოორდინატი \(x\) ! და რომელ კოორდინატს შეესაბამება \(\sin \alpha \)? მართალია, \(y \) კოორდინატი! ასე რომ, წერტილი \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

მაშინ რა არის \(tg \alpha \) და \(ctg \alpha \) ? ასეა, მოდით გამოვიყენოთ ტანგენსის და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ ეს \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), მაგრამ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? აი, მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:

რა შეიცვალა ამ მაგალითში? მოდი გავარკვიოთ. ამისათვის ჩვენ კვლავ მივმართავთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : კუთხე (როგორც კუთხის მიმდებარედ \(\beta \) ). რა მნიშვნელობა აქვს სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს კუთხისთვის \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:

\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)\sin \კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\კუთხე ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\ბოლო(მასივი) \)

ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება \ (y \) კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი \ (x \) ; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობებთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები გამოიყენება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.

უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის \(x\) ღერძის დადებითი მიმართულებით. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენც მიიღებთ გარკვეული ზომის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ვიღებთ დადებითი კუთხეებიდა საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.

ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის \(360()^\circ \) ან \(2\pi \) . შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია \(390()^\circ \) ან \(-1140()^\circ \)-ით? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! პირველ შემთხვევაში, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ასე რომ, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნვას და შეჩერდება \(30()^\circ \) ან \(\dfrac(\pi )(6) \) ზე.

მეორე შემთხვევაში, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და შეჩერდება \(-60()^\circ \) ან \(-\dfrac(\pi )(3) \) პოზიციაზე.

ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდება \(360()^\circ \cdot m\) ან \(2\pi \cdot m\)-ით (სადაც \(m\) არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი) შეესაბამება რადიუსის ვექტორის იგივე პოზიციას.

ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა აჩვენებს კუთხეს \(\beta =-60()^\circ \) . იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით \(\beta +360()^\circ \cdot m\)ან \(\beta +2\pi \cdot m\) (სადაც \(m\) არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)

\(\begin(მასივი)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(მაივი) \)

ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ, თუ რას უდრის მნიშვნელობები:

\(\begin(მასივი)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(მაივი) \)

აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:

რაიმე სირთულე? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:

\(\begin(მასივი)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\ბოლო(მასივი) \)

აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. კარგი, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხეში \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით \(\left(0;1 \right) \) , შესაბამისად:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- არ არსებობს;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

გარდა ამისა, იმავე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შედიან \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით \(\left(-1;0 \მარჯვნივ),\ტექსტი()\left(0;-1 \მარჯვნივ),\ტექსტი()\left(1;0 \მარჯვნივ),\ტექსტი( )\მარცხნივ(0 ;1 \მარჯვნივ) \), შესაბამისად. ამის გაგებით, ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.

პასუხები:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \\pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\მარჯვენა arrow \text(ctg)\ \pi \)- არ არსებობს

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- არ არსებობს

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- არ არსებობს

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- არ არსებობს

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:

არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია გავიხსენოთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:

\(\ მარცხნივ. \begin(მასივი)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(მასივი) \right\)\ \text(უნდა დაიმახსოვროთ ან შეძლოთ გამომავალი!! \) !}

და აქ არის კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4) \)ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, თქვენ უნდა გახსოვდეთ:

არ არის საჭირო შეშინება, ახლა ჩვენ გაჩვენებთ შესაბამისი მნიშვნელობების საკმაოდ მარტივი დამახსოვრების ერთ-ერთ მაგალითს:

ამ მეთოდის გამოსაყენებლად, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსური მნიშვნელობები სამივე კუთხის საზომისთვის ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi ) (3) \)), ასევე კუთხის ტანგენსის მნიშვნელობა \(30()^\circ \)-ში. ამ \(4\) მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსების მნიშვნელობები გადადის ისრების შესაბამისად, ანუ:

\(\begin(მასივი)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ბოლო(მასივი) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)ამის ცოდნით, შესაძლებელია მნიშვნელობების აღდგენა \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). მრიცხველი "\(1 \) " დაემთხვევა \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) , ხოლო მნიშვნელი "\(\sqrt(\text(3)) \)" ემთხვევა \ (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ნახატზე ნაჩვენები ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ სქემა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან მხოლოდ \(4 \) მნიშვნელობების დამახსოვრება.

წერტილის კოორდინატები წრეზე

შესაძლებელია თუ არა წრეზე წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! გამოვიტანოთ წერტილის კოორდინატების პოვნის ზოგადი ფორმულა. აი, მაგალითად, გვაქვს ასეთი წრე:

ჩვენ გვაქვს ეს წერტილი \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი არის \(1,5 \) . აუცილებელია ვიპოვოთ \(P \) წერტილის კოორდინატები, რომლებიც მიიღება \(O \) წერტილის \(\დელტა \) გრადუსით შებრუნებით.

როგორც ნახატიდან ჩანს, \ (P \) წერტილის კოორდინატი \ (x \) შეესაბამება \ (TP=UQ=UK+KQ \) სეგმენტის სიგრძეს. \ (UK \) სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს \ (x\), ანუ ის უდრის \ (3 \) . სეგმენტის სიგრძე \(KQ\) შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:

\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

მაშინ გვაქვს, რომ \(P \) წერტილისთვის კოორდინატია \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1,5\cdot \cos \\delta \).

ამავე ლოგიკით ვპოულობთ y კოორდინატის მნიშვნელობას \(P\) წერტილისთვის. Ამგვარად,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

ასე რომ, ზოგადად, წერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(მაივი) \), სად

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - წრის ცენტრის კოორდინატები,

\(r\) - წრის რადიუსი,

\(\დელტა \) - ვექტორის რადიუსის ბრუნვის კუთხე.

როგორც ხედავთ, ჩვენ განხილული ერთეული წრისთვის, ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, რადგან ცენტრის კოორდინატები ნულია, ხოლო რადიუსი უდრის ერთს:

\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(მასივი) \)

Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოთვლების განსახორციელებლად ActiveX კონტროლი უნდა იყოს ჩართული!