სიმძლავრის ფუნქციის y = x p დომენზე მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:
; ;
;
; ;
; ;
; .

სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები და მათი გრაფიკები

სიმძლავრის ფუნქცია ნულის ტოლი მაჩვენებლით, p = 0

თუ სიმძლავრის ფუნქციის y = x p ტოლია ნულის, p = 0 , მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება ყველა x ≠ 0-ისთვის და მუდმივია, უდრის ერთი:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით, p = n = 1, 3, 5, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით n = 1, 3, 5, ... . ასეთი მაჩვენებელი ასევე შეიძლება დაიწეროს: n = 2k + 1, სადაც k = 0, 1, 2, 3, ... არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი. ქვემოთ მოცემულია ასეთი ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები.

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით n = 1, 3, 5, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალი მნიშვნელობა: -∞ < y < ∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
-∞-ზე< x < 0 выпукла вверх
0-ზე< x < ∞ выпукла вниз
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ზე,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0 n = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = 1-ისთვის ფუნქცია შებრუნებულია თავის მიმართ: x = y
n ≠ 1-ისთვის, შებრუნებული ფუნქცია არის n ხარისხის ფესვი:

სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით, p = n = 2, 4, 6, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით n = 2, 4, 6, ... . ასეთი მაჩვენებელი ასევე შეიძლება დაიწეროს: n = 2k, სადაც k = 1, 2, 3, ... ნატურალური რიცხვია. ასეთი ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები მოცემულია ქვემოთ.

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით n = 2, 4, 6, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< ∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x ≤ 0-ისთვის მონოტონურად მცირდება
x ≥ 0-ისთვის მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:მინიმალური, x=0, y=0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0 n = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = 2-ისთვის, კვადრატული ფესვი:
n ≠ 2-ისთვის, n ხარისხის ფესვი:

დენის ფუნქცია მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით, p = n = -1, -2, -3, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n = -1, -2, -3, ... . თუ დავსვამთ n = -k, სადაც k = 1, 2, 3, ... ნატურალური რიცხვია, მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n = -1, -2, -3, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

კენტი მაჩვენებლები, n = -1, -3, -5, ...

ქვემოთ მოცემულია y = x n ფუნქციის თვისებები კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით n = -1, -3, -5, ... .

დომენი: x ≠ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y ≠ 0
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вверх
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = -1-ისთვის,
ამისთვის ნ< -2 ,

ლუწი მაჩვენებელი, n = -2, -4, -6, ...

ქვემოთ მოცემულია y = x n ფუნქციის თვისებები ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით n = -2, -4, -6, ... .

დომენი: x ≠ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y > 0
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი: y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = -2-ისთვის,
ამისთვის ნ< -2 ,

სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური (ფრაქციული) მაჩვენებლით

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია y = x p რაციონალური (წილადი) მაჩვენებლით, სადაც n არის მთელი რიცხვი, m > 1 არის ნატურალური რიცხვი. უფრო მეტიც, n, m-ს არ აქვთ საერთო გამყოფები.

წილადი ინდიკატორის მნიშვნელი კენტია

წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი კენტი იყოს: m = 3, 5, 7, ... . ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის ფუნქცია x p განისაზღვრება როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი x მნიშვნელობებისთვის. განვიხილოთ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები, როდესაც მაჩვენებელი p არის გარკვეულ საზღვრებში.

p არის უარყოფითი, p< 0

რაციონალური მაჩვენებელი (კენტი მნიშვნელით m = 3, 5, 7, ... ) იყოს ნულზე ნაკლები: .

ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, სადაც m = 3, 5, 7, ... უცნაურია.

კენტი მრიცხველი, n = -1, -3, -5, ...

აქ მოცემულია y = x p დენის ფუნქციის თვისებები რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით , სადაც n = -1, -3, -5, ... არის კენტი უარყოფითი მთელი რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... არის უცნაური ნატურალური რიცხვი.

დომენი: x ≠ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y ≠ 0
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вверх
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = -2, -4, -6, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით, სადაც n = -2, -4, -6, ... არის ლუწი უარყოფითი მთელი რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია. .

დომენი: x ≠ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y > 0
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი: y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

p-მნიშვნელობა დადებითია, ერთზე ნაკლები, 0< p < 1

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი რაციონალური მაჩვენებლით (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

კენტი მრიცხველი, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

დომენი: -∞ < x < +∞
მრავალი მნიშვნელობა: -∞ < y < +∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вниз
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = 2, 4, 6, ...

წარმოდგენილია ძალაუფლების ფუნქციის თვისებები y = x p რაციონალური მაჩვენებლით 0-ის ფარგლებში.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

დომენი: -∞ < x < +∞
მრავალი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< +∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно убывает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მზარდი
უკიდურესობები:მინიმალური x = 0, y = 0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ზემოთ x ≠ 0-ზე
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
Ნიშანი: x ≠ 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

მაჩვენებელი p არის ერთზე მეტი, p > 1

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი რაციონალური მაჩვენებლით (p > 1) მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, სადაც m = 3, 5, 7, ... კენტია.

კენტი მრიცხველი, n = 5, 7, 9, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p ერთზე მეტი რაციონალური მაჩვენებლით: . სადაც n = 5, 7, 9, ... არის კენტი ნატურალური რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალი მნიშვნელობა: -∞ < y < ∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
-∞-ზე< x < 0 выпукла вверх
0-ზე< x < ∞ выпукла вниз
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = 4, 6, 8, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p ერთზე მეტი რაციონალური მაჩვენებლით: . სადაც n = 4, 6, 8, ... არის ლუწი ნატურალური რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< ∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 монотонно убывает
x > 0-ისთვის მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:მინიმალური x = 0, y = 0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

წილადი ინდიკატორის მნიშვნელი ლუწია

წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი იყოს ლუწი: m = 2, 4, 6, ... . ამ შემთხვევაში, ძალაუფლების ფუნქცია x p არ არის განსაზღვრული არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. მისი თვისებები ემთხვევა ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებებს (იხილეთ შემდეგი ნაწილი).

დენის ფუნქცია ირაციონალური მაჩვენებლით

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია y = x p ირაციონალური მაჩვენებლით p. ასეთი ფუნქციების თვისებები განსხვავდება ზემოთ განხილულისგან იმით, რომ ისინი არ არის განსაზღვრული x არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის, თვისებები დამოკიდებულია მხოლოდ p მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე და არ არის დამოკიდებული იმაზე, არის თუ არა p მთელი რიცხვი, რაციონალური ან ირაციონალური.

y = x p მაჩვენებლის p სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

დენის ფუნქცია უარყოფითი პ< 0

დომენი: x > 0
მრავალი მნიშვნელობა: y > 0
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
ლიმიტები: ;
პირადი ღირებულება: x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

სიმძლავრის ფუნქცია დადებითი მაჩვენებლით p > 0

მაჩვენებელი ერთ 0-ზე ნაკლებია< p < 1

დომენი: x ≥ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y ≥ 0
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
პირადი ღირებულებები: x = 0-ისთვის, y(0) = 0 p = 0.
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

მაჩვენებელი ერთზე მეტია p > 1

დომენი: x ≥ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y ≥ 0
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
პირადი ღირებულებები: x = 0-ისთვის, y(0) = 0 p = 0.
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.

Იხილეთ ასევე:

გაიხსენეთ ძალაუფლების ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.

თუნდაც n-სთვის:

ფუნქციის მაგალითი:

ასეთი ფუნქციების ყველა გრაფიკი გადის ორ ფიქსირებულ წერტილში: (1;1), (-1;1). ამ ტიპის ფუნქციების მახასიათებელია მათი პარიტეტი, გრაფიკები სიმეტრიულია op-y ღერძის მიმართ.

ბრინჯი. 1. ფუნქციის გრაფიკი

კენტი n-სთვის:

ფუნქციის მაგალითი:

ასეთი ფუნქციების ყველა გრაფიკი გადის ორ ფიქსირებულ წერტილში: (1;1), (-1;-1). ამ ტიპის ფუნქციების მახასიათებელია მათი უცნაურობა, გრაფიკები წარმოშობის მიმართ სიმეტრიულია.

ბრინჯი. 2. ფუნქციის გრაფიკი

გავიხსენოთ მთავარი განმარტება.

არაუარყოფითი a რიცხვის ხარისხს რაციონალური დადებითი მაჩვენებლით რიცხვი ეწოდება.

დადებითი რიცხვის a ხარისხს რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით რიცხვი ეწოდება.

შემდეგი თანასწორობისთვის მოქმედებს:

Მაგალითად: ; - გამოთქმა არ არსებობს ხარისხის განსაზღვრებით უარყოფითი რაციონალური მაჩვენებლით; არსებობს, რადგან მაჩვენებელი არის მთელი რიცხვი,

მოდით მივმართოთ ძალის ფუნქციების განხილვას რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით.

Მაგალითად:

ამ ფუნქციის გამოსათვლელად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ცხრილი. ჩვენ სხვაგვარად მოვიქცევით: ჯერ ავაშენებთ და შევისწავლით მნიშვნელის გრაფიკს - ჩვენ ვიცით (სურათი 3).

ბრინჯი. 3. ფუნქციის გრაფიკი

მნიშვნელის ფუნქციის გრაფიკი გადის ფიქსირებულ წერტილში (1;1). საწყისი ფუნქციის გრაფიკის აგებისას ეს წერტილი რჩება, როდესაც ფესვიც ნულისკენ მიისწრაფვის, ფუნქცია უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. და, პირიქით, როგორც x უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, ფუნქცია ნულისკენ მიისწრაფვის (სურათი 4).

ბრინჯი. 4. ფუნქციის გრაფიკი

განვიხილოთ კიდევ ერთი ფუნქცია შესასწავლი ფუნქციების ოჯახიდან.

მნიშვნელოვანია, რომ განსაზღვრებით

განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი მნიშვნელში: , ჩვენ ვიცით ამ ფუნქციის გრაფიკი, ის იზრდება მისი განმარტების დომენში და გადის წერტილში (1; 1) (სურათი 5).

ბრინჯი. 5. ფუნქციის გრაფიკი

საწყისი ფუნქციის გრაფიკის აგებისას წერტილი (1; 1) რჩება, როდესაც ფესვიც ნულისკენ მიისწრაფვის, ფუნქცია უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. და, პირიქით, როგორც x უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, ფუნქცია ნულისკენ მიისწრაფვის (სურათი 6).

ბრინჯი. 6. ფუნქციის გრაფიკი

განხილული მაგალითები გვეხმარება იმის გაგებაში, თუ როგორ მიდის გრაფიკი და რა თვისებები აქვს შესასწავლ ფუნქციას - ფუნქცია უარყოფითი რაციონალური მაჩვენებლით.

ამ ოჯახის ფუნქციების გრაფიკები გადის წერტილში (1;1), ფუნქცია მცირდება განმარტების მთელ დომენზე.

ფუნქციის ფარგლები:

ფუნქცია არ არის შემოსაზღვრული ზემოდან, არამედ შემოსაზღვრულია ქვემოდან. ფუნქციას არ აქვს არც მაქსიმალური და არც მინიმალური მნიშვნელობა.

ფუნქცია უწყვეტია, ის იღებს ყველა დადებით მნიშვნელობას ნულიდან პლუს უსასრულობამდე.

ამოზნექილი ქვემოთ ფუნქცია (სურათი 15.7)

A და B წერტილები აღებულია მრუდზე, მათში იხაზება სეგმენტი, მთელი მრუდი სეგმენტის ქვემოთაა, ეს პირობა დაკმაყოფილებულია მრუდის თვითნებური ორი წერტილისთვის, ამიტომ ფუნქცია ამოზნექილია ქვემოთ. ბრინჯი. 7.

ბრინჯი. 7. ფუნქციის ამობურცულობა

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ამ ოჯახის ფუნქციები ქვემოდან შემოსაზღვრულია ნულით, მაგრამ მათ არ აქვთ ყველაზე მცირე მნიშვნელობა.

მაგალითი 1 - იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმუმი ინტერვალზე და იზრდებაX და მცირდებაX }