ამოცანა 1 #6329

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\ბოლო(შემთხვევები)\]

აქვს ზუსტად ოთხი გამოსავალი.

(გამოყენება 2018, მთავარი ტალღა)

სისტემის მეორე განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \(y=\pm x\) . ამიტომ განიხილეთ ორი შემთხვევა: როდესაც \(y=x\) და როდესაც \(y=-x\) . მაშინ სისტემის ამონახსნების რაოდენობა ტოლი იქნება პირველ და მეორე შემთხვევაში ამონახსნების რაოდენობის ჯამისა.

1) \(y=x\) . ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში და მიიღეთ: \ (გაითვალისწინეთ, რომ \(y=-x\) შემთხვევაში ჩვენ იგივე გავაკეთებთ და ასევე მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას)
იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს 4 განსხვავებული გამოსავალი, აუცილებელია, რომ ორივე შემთხვევაში 2 გამოსავალი იყოს მიღებული.
კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი, როდესაც მისი \(D>0\) . ვიპოვოთ (1) განტოლების დისკრიმინანტი:
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
ნულზე მეტი დისკრიმინანტი: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

2) \(y=-x\) . ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას: \ დისკრიმინანტი მეტია ნულზე: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , საიდანაც \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\მარჯვნივ)\).

აუცილებელია შემოწმდეს, არ ემთხვევა თუ არა პირველ შემთხვევაში ხსნარები მეორე შემთხვევაში ხსნარებს.

მოდით \(x_0\) იყოს (1) და (2) განტოლების ზოგადი ამონახსნები, მაშინ \ აქედან მივიღებთ, რომ ან \(x_0=0\) ან \(a=0\) .
თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლებები (1) და (2) ერთნაირია, შესაბამისად, მათ აქვთ იგივე ფესვები. ეს შემთხვევა ჩვენთვის არ ჯდება.
თუ \(x_0=0\) მათი საერთო ფესვია, მაშინ \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), საიდანაც \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , საიდანაც \(a=-1\) ან \(a=-0,6\) . მაშინ მთელ თავდაპირველ სისტემას ექნება 3 განსხვავებული გადაწყვეტა, რაც ჩვენთვის არ არის შესაფერისი.

ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, პასუხი იქნება:

პასუხი:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \მარჯვნივ)\)

ამოცანა 2 #4032

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეული სისტემა \[\ begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

მოდით გადავიწეროთ სისტემა შემდეგნაირად: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\]განვიხილოთ სამი ფუნქცია: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ \(y\leqslant g\) , მაგრამ \(y\geqslant h\) . მაშასადამე, იმისათვის, რომ სისტემას ჰქონდეს ამონახსნები, გრაფიკი \(y\) უნდა იყოს იმ არეალში, რომელიც მოცემულია პირობებით: "ზემოთ" გრაფიკის \(h\) , მაგრამ "ქვემოთ" გრაფიკის \(g\). ) :

("მარცხენა" რეგიონს დავარქმევთ I რეგიონს, "მარჯვენა" რეგიონს - რეგიონს II)
გაითვალისწინეთ, რომ ყოველი ფიქსირებული \(a\ne 0\) გრაფისთვის \(y\) არის პარაბოლა, რომლის წვერო არის \((-1;0)\) წერტილში და რომლის ტოტები არის ზემოთ ან ქვემოთ. თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლება ჰგავს \(y=0\) და გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა x ღერძს.
გაითვალისწინეთ, რომ იმისთვის, რომ ორიგინალურ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა, აუცილებელია, რომ გრაფიკს \(y\) ჰქონდეს ზუსტად ერთი საერთო წერტილი I რეგიონთან ან რეგიონთან II (ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკს \(y\) უნდა ჰქონდეს ერთი საერთო წერტილი ერთ-ერთი ამ რეგიონის საზღვართან).

განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა ცალკე.

1) \(a>0\) . შემდეგ პარაბოლას \(y\) ტოტები გადატრიალებულია ზემოთ. იმისთვის, რომ თავდაპირველ სისტემას ჰქონდეს უნიკალური გამოსავალი, აუცილებელია, რომ პარაბოლა \(y\) შეეხოს I რეგიონის საზღვარს ან II რეგიონის საზღვარს, ანუ შეეხოს პარაბოლას \(g\) და შეხების წერტილის აბსციზა უნდა იყოს \(\leqslant -3\) ან \(\geqslant 2\) (ანუ პარაბოლა \(y\) უნდა ეხებოდეს ერთ-ერთი რეგიონის საზღვარს, რომელიც მდებარეობს x-ზე ზემოთ. -ღერძი, რადგან პარაბოლა \(y\) დევს x-ღერძის ზემოთ).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . გრაფიკების \(y\) და \(g\) შეხების პირობები აბსცისის წერტილზე \(x_0\leqslant -3\) ან \(x_0\geqslant 2\) : \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end(შეგროვებული)\მარჯვნივ. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \მარცხნივ[\begin(შეგროვებული)\begin(გასწორებული) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(გასწორებული)\end(შეგროვებული) \მარჯვნივ.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(შემთხვევები)\]მოცემული სისტემიდან \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
ჩვენ მივიღეთ \(a\) პარამეტრის პირველი მნიშვნელობა.

2) \(a=0\) . შემდეგ \(y=0\) და ცხადია, რომ წრფეს აქვს უსასრულო რაოდენობის საერთო წერტილი II რეგიონთან. ამიტომ, ეს პარამეტრის მნიშვნელობა არ ჯდება ჩვენთვის.

3) \(ა<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

იპოვეთ \(a\), რომლის პარაბოლა \(y\) გადის \(B\) წერტილში: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ პარამეტრის ამ მნიშვნელობით პარაბოლის \(y=-\frac34(x+1)^2\) გადაკვეთის მეორე წერტილი \(h=-2x-1\) წრფესთან არის წერტილი კოორდინატებით \(\ მარცხენა (-\frac13; -\frac13\მარჯვნივ)\).
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ კიდევ ერთი პარამეტრის მნიშვნელობა.

ვინაიდან ჩვენ განვიხილეთ ყველა შესაძლო შემთხვევა \(a\)-ისთვის, საბოლოო პასუხი არის: \

პასუხი:

\(\მარცხნივ\(-\frac34; \frac43\მარჯვნივ\)\)

ამოცანა 3 #4013

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებების სისტემა \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end (შემთხვევები)\]

აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი.

1) განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება, როგორც კვადრატული \(x\) მიმართ: \ დისკრიმინანტი უდრის \(D=9y^2\) , შესაბამისად, \ შემდეგ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] ამიტომ, მთელი სისტემა შეიძლება გადაიწეროს როგორც \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) \მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &y=2x\\ &y=0.5x\end(გასწორებული)\end(შეკრებილი)\მარჯვნივ.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\ბოლო(შემთხვევები)\]ნაკრები განსაზღვრავს ორ სწორ ხაზს, სისტემის მეორე განტოლება განსაზღვრავს წრეს ცენტრით \((a;a)\) და რადიუსით \(R=\sqrt5a^2\) . იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ჰქონდეს ორი ამონახსნი, წრე უნდა კვეთდეს პოპულაციის გრაფიკს ზუსტად ორ წერტილზე. აქ არის ნახაზი, როდესაც, მაგალითად, \(a=1\) :


გაითვალისწინეთ, რომ რადგან წრის ცენტრის კოორდინატები ტოლია, წრის ცენტრი "გადის" სწორი ხაზის გასწვრივ \(y=x\) .

2) ვინაიდან წრფეს \(y=kx\) აქვს ამ წრფის დახრილობის კუთხის ტანგენსი \(Ox\) ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ ტოლია \(k\), მაშინ დახრილობის ტანგენსი წრფის \(y=0.5x\) უდრის \ (0,5\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\,\alpha\)), სწორი ხაზი \(y=2x\) უდრის \(2\) (მოდით დავარქვათ \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). შეამჩნია, რომ \(\ mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), შესაბამისად, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). აქედან გამომდინარე, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , საიდანაც \(\alpha+\beta=90^\circ\) . ეს ნიშნავს, რომ კუთხე \(y=2x\) და დადებით მიმართულებას \(Oy\) შორის უდრის კუთხეს \(y=0.5x\) და დადებით მიმართულებას \(Ox\) შორის:


და რადგან წრფე \(y=x\) არის I კოორდინატული კუთხის ბისექტორი (ანუ კუთხეები მასსა და დადებით მიმართულებებს შორის \(Ox\) და \(Oy\) ტოლია \(45^\-ში). circ\) ), მაშინ კუთხეები \(y=x\) და წრფეებს შორის \(y=2x\) და \(y=0.5x\) ტოლია.
ეს ყველაფერი დაგვჭირდა იმისთვის, რომ გვეთქვა, რომ წრფეები \(y=2x\) და \(y=0.5x\) ერთმანეთის სიმეტრიულია \(y=x\)-ის მიმართ, შესაბამისად, თუ წრე ერთს ეხება. მათგან, მაშინ ის აუცილებლად ეხება მეორე ხაზს.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ \(a=0\) , მაშინ წრე გადაგვარდება \((0;0)\) წერტილში და აქვს მხოლოდ ერთი გადაკვეთის წერტილი ორივე წრფესთან. ანუ ეს საქმე არ გვიწყობს.
ამრიგად, იმისათვის, რომ წრეს ჰქონდეს წრფეებთან გადაკვეთის 2 წერტილი, ის უნდა იყოს ტანგენსი ამ წრფეებზე:


ჩვენ ვხედავთ, რომ შემთხვევა, როდესაც წრე მდებარეობს მესამე მეოთხედში, სიმეტრიულია (კოორდინატების წარმოშობის მიმართ) იმ შემთხვევის მიმართ, როდესაც ის მდებარეობს პირველ მეოთხედში. ანუ პირველ კვარტალში \(a>0\) , ხოლო მესამეში \(a<0\) (но такие же по модулю).
ამიტომ განვიხილავთ მხოლოდ პირველ კვარტალს.


შეამჩნია, რომ \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . შემდეგ \ შემდეგ \[\ mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]მაგრამ მეორე მხარეს, \[\mathrm(tg)\,\კუთხე QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]შესაბამისად, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\მარცხენა მარჯვენა ისარი\quad a =\pm \ dfrac15\]ამრიგად, ჩვენ უკვე მივიღეთ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობა \(a\)-სთვის. ამიტომ პასუხი ასეთია: \

პასუხი:

\(\{-0,2;0,2\}\)

ამოცანა 4 #3278

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა \(a\), რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

(გამოყენება 2017, ოფიციალური საცდელი 04/21/2017)

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება \(t=5^x, t>0\) და გადავიტანოთ ყველა ტერმინი ერთ ნაწილად: \ ჩვენ მივიღეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები, ვიეტას თეორემის მიხედვით, არის \(t_1=a+6\) და \(t_2=5+3|a|\) . იმისათვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ერთი ფესვი ჰქონდეს, საკმარისია, რომ მიღებულ განტოლებას \(t\)-ითაც ჰქონდეს ერთი (დადებითი!) ფესვი.
ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ \(t_2\) ყველა \(a\) იქნება დადებითი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ორ შემთხვევას:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(გასწორებული) \end(შეიკრიბა) \მარჯვნივ.\]

2) ვინაიდან \(t_2\) ყოველთვის დადებითია, \(t_1\) უნდა იყოს \(\leqslant 0\) : \

პასუხი:

\((-\infty;-6]\თასი\მარცხნივ\(-\frac14;\frac12\მარჯვნივ\)\)

ამოცანა 5 #3252

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

აქვს ზუსტად ერთი ფესვი \(\) ინტერვალზე.

(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2017, სარეზერვო დღე)

განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]ამრიგად, გაითვალისწინეთ, რომ \(x=a\) არის განტოლების ფესვი ნებისმიერი \(a\)-ისთვის, რადგან განტოლება ხდება \(0=0\) . იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, საჭიროა \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
განტოლების მეორე ფესვი გვხვდება \(x+a=3x-1\)-დან, ანუ \(x=\frac(a+1)2\) . იმისათვის, რომ ეს რიცხვი იყოს განტოლების ფესვი, ის უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლების ODZ-ს, ანუ: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]იმისათვის, რომ ეს ფესვი მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \ ამრიგად, ფესვი \(x=\frac(a+1)2\) რომ არსებობდეს და მიეკუთვნებოდეს \(\) სეგმენტს, აუცილებელია, რომ \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
გაითვალისწინეთ, რომ მაშინ \(0\leqslant a\leqslant 1\) ორივე ფესვი \(x=a\) და \(x=\frac(a+1)2\) ეკუთვნის სეგმენტს \(\) (ეს არის , განტოლებას აქვს ორი ფესვი ამ სეგმენტზე), გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ისინი ემთხვევა: \ ასე რომ, ჩვენ ჯდება \(a\ მარცხნივ[-\frac13; 0\მარჯვნივ)\)და \(a=1\) .

პასუხი:

\(a\in \ მარცხნივ[-\frac13;0\მარჯვნივ)\თასი\(1\)\)

ამოცანა 6 #3238

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \

აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე \(.\)

(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2017, სარეზერვო დღე)

განტოლება ტოლია: \ odz განტოლება: \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end (შემთხვევები)\] ODZ-ზე განტოლება ხელახლა ჩაიწერება სახით: \

1) მოდით \(ა<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ არ ემთხვევა \(ა<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) მოდით \(a=0\) . მაშინ ODZ განტოლება არის: \(x\geqslant 0\) . განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად: \ შედეგად მიღებული ფესვი ჯდება ODZ-ის ქვეშ და შედის \(\) სეგმენტში. ამიტომ, \(a=0\) შესაფერისია.

3) მოდით \(a>0\) . შემდეგ ODZ: \(x\geqslant a\) და \(x\leqslant 1\) . ამიტომ, თუ \(a>1\) , მაშინ ODZ არის ცარიელი ნაკრები. ამრიგად, \(0 განვიხილოთ ფუნქცია \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . მოდით გამოვიკვლიოთ იგი.
წარმოებული არის \(y"=3x^2-2ax+3a\) . განვსაზღვროთ რა ნიშანი შეიძლება იყოს წარმოებული. ამისათვის იპოვეთ განტოლების დისკრიმინანტი \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a(a-9)\) ამიტომ, \(a\in (0;1]\)-სთვის დისკრიმინანტი \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\). აქედან გამომდინარე, \(y\) იზრდება. ამრიგად, მზარდი ფუნქციის თვისებით, განტოლებას \(y(x)=0\) შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.

ამიტომ, იმისათვის, რომ განტოლების ფესვი (გრაფის \(y\) გადაკვეთის წერტილი x-ღერძთან) იყოს \(\) სეგმენტზე, აუცილებელია, რომ \[\ დასაწყისი(შემთხვევები) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]იმის გათვალისწინებით, რომ თავდაპირველად განსახილველ შემთხვევაში \(a\in (0;1]\), მაშინ პასუხია \(a\in (0;1]\) . გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) აკმაყოფილებს \( (1) \) , ფესვები \(x_2\) და \(x_3\) აკმაყოფილებს \((2)\) . ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი \(x_1\) ეკუთვნის \(\) სეგმენტს.
განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1) \(a>0\) . შემდეგ \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) არ აკმაყოფილებს \((1)\) , ან შეესაბამება \(x_1\) , ან აკმაყოფილებს \((1)\) , მაგრამ არ შედის სეგმენტში \(\) (ანუ \(0\)-ზე ნაკლები);
- \(x_1\) არ აკმაყოფილებს \((2)\) , \(x_3\) აკმაყოფილებს \((1)\) და არ უდრის \(x_1\) .
გაითვალისწინეთ, რომ \(x_3\) არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები და დააკმაყოფილოს \((1)\) (ანუ მეტი \(\frac35\) ). ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, შემთხვევები აღირიცხება შემდეგ ნაკრებში: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>ამ კრებულის ამოხსნით და იმის გათვალისწინებით, რომ \(a>0\) , მივიღებთ: \

2) \(a=0\) . შემდეგ \(x_2=x_3=3\in .\) გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში \(x_1\) აკმაყოფილებს \((2)\) და \(x_2=3\) აკმაყოფილებს \((1)\) , შემდეგ იქ არის განტოლება, რომელსაც აქვს ორი ფესვი \(\)-ზე. ეს მნიშვნელობა \(a\) არ ჯდება ჩვენთვის.

3) \(ა<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) და \(x_3\არათნ \) . 1-ლი პუნქტის მსგავსად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ნაკრები: \[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (შეკრებილი)\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ დასაწყისი (შემთხვევები) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end (გასწორებული) \ბოლო (შეიკრიბა)\მარჯვნივ.\]ამ კრებულის ამოხსნა და იმის გათვალისწინებით, რომ \(ა<0\) , получим: \\]

პასუხი:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)

ვიდეო ლექცია "პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრა მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე" შეიცავს ნაბიჯ-ნაბიჯ გადაწყვეტილებებს პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების შესახებ, რომლებიც შემოთავაზებული იყო მათემატიკაში დიაგნოსტიკური და სასწავლო სამუშაოების დროს, ასევე მათემატიკაში რეალურ გამოყენებაში 2017 წელს.

ვიდეო ლექცია „პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნა გამოცდაზე მათემატიკაში“ შედგება ხუთი ნაწილისგან, მისი საერთო ხანგრძლივობა დაახლოებით 120 წუთია.

ვიდეო ლექციის ღირებულება "პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრა მათემატიკაში გამოცდაზე" 510 რუბლი.

გაეცანით ვიდეო ლექციის შინაარსს და ნახეთ მისი ფრაგმენტი.

1. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის უტოლობების სისტემა

აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი ინტერვალზე (ადრეული გამოყენება, 2017)

2. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა ასეთი მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება

აქვს გადაწყვეტილებები სეგმენტზე (სანქტ-პეტერბურგი, საცდელი გამოცდა, 2017 წ.)

3. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა ასეთი მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. (MIOO, 2017)

4. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა ის მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც

აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე . (MIOO, 2017)

5. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა ის მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც

(MIOO, 2017)

6. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება

აქვს ზუსტად სამი გამოსავალი. (MIOO, 2017)

7. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა არაუარყოფითი მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის უტოლობის ამონახსნების ნაკრები

შედგება ერთი წერტილისგან და იპოვე ეს გამოსავალი. (MIOO, 2017)

8. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა

არ აქვს გადაწყვეტილებები. (MIOO, 2017)

9. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა

არ აქვს გადაწყვეტილებები. (MIOO, 2017)

10. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული სისტემა

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. (MIOO, 2017)

11. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები

შეიცავს სეგმენტს. (MIOO, 2017)

12. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება

აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე. (გამოყენება, 2017)

13. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება

აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე. (გამოყენება, 2017)

14. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება

აქვს ერთი ფესვი სეგმენტზე

USE 2017. მათემატიკა. ამოცანა 18. ამოცანები პარამეტრით. Sadovnichiy Yu.V.

მ.: 2017. - 128გვ.

ეს წიგნი ეძღვნება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-18 დავალების მსგავს ამოცანებს (ამოცანა პარამეტრით). განიხილება ასეთი პრობლემების გადაჭრის სხვადასხვა მეთოდი და დიდი ყურადღება ეთმობა გრაფიკულ ილუსტრაციებს. წიგნი გამოადგებათ საშუალო სკოლის მოსწავლეებს, მათემატიკის მასწავლებლებს, რეპეტიტორებს.

ფორმატი: pdf

Ზომა: 1.6 მბ

უყურეთ, გადმოწერეთ:drive.google

შინაარსი
შესავალი 4
§ერთი. წრფივი განტოლებები და წრფივი განტოლებათა სისტემები 5
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის 11
§2. კვადრატული ტრინომის გამოკვლევა დისკრიმინანტი 12-ის გამოყენებით
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის 19
§3. ვიეტას თეორემა 20
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის 26
§ ოთხი. კვადრატული ტრინომი 28-ის ფესვების მდებარეობა
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის 43
§5. გრაფიკული ილუსტრაციების გამოყენება
კვადრატული ტრინომალური 45-ის შესასწავლად
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის 55
§6. ფუნქციის შეზღუდვა. დიაპაზონის პოვნა 56
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის 67
§7. ფუნქციების სხვა თვისებები 69
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის 80
§რვა. ლოგიკური ამოცანები 82 პარამეტრით
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის 93
ილუსტრაციები კოორდინატთა სიბრტყეზე 95
ამოცანები დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის 108
ოხა მეთოდი 110
ამოცანები დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის 119
პასუხი 120

ეს წიგნი ეძღვნება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-18 დავალების მსგავს ამოცანებს (ამოცანა პარამეტრით). მე-19 ამოცანასთან ერთად (პრობლემა, რომელიც იყენებს მთელი რიცხვების თვისებებს), ამოცანა 18 ყველაზე რთულია ვარიანტში. მიუხედავად ამისა, წიგნი ცდილობს ამ ტიპის პრობლემების სისტემატიზაციას მათი გადაჭრის სხვადასხვა მეთოდის მიხედვით.
რამდენიმე აბზაცი ეძღვნება ისეთ პოპულარულ თემას, როგორიცაა კვადრატული ტრინომის შესწავლა. თუმცა, ზოგჯერ ასეთი ამოცანები მოითხოვს განსხვავებულ, ზოგჯერ ყველაზე მოულოდნელ მიდგომებს მათი გადაწყვეტის მიმართ. ერთ-ერთი ასეთი არასტანდარტული მიდგომა ნაჩვენებია მე-2 პუნქტის მე-7 მაგალითში.
ხშირად, პარამეტრით პრობლემის გადაჭრისას, აუცილებელია მდგომარეობის მოცემული ფუნქციის გამოკვლევა. წიგნში ჩამოყალიბებულია რამდენიმე განცხადება ფუნქციების ისეთ თვისებებთან დაკავშირებით, როგორიცაა შეზღუდულობა, პარიტეტი, უწყვეტობა; ამის შემდეგ, მაგალითები აჩვენებს ამ თვისებების გამოყენებას პრობლემების გადასაჭრელად.

სერიის "USE 2017. მათემატიკა" მათემატიკის სახელმძღვანელოები ორიენტირებულია საშუალო სკოლის მოსწავლეების მომზადებაზე მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის. ეს გაკვეთილი შეიცავს მასალას 18 პრობლემის მოსამზადებლად.
სწავლის სხვადასხვა ეტაპზე სახელმძღვანელო ხელს შეუწყობს დონის მიდგომას გამეორების ორგანიზებისადმი, ცოდნის გაკონტროლებისა და თვითკონტროლის შესახებ თემებზე "განტოლებები და განტოლებათა სისტემები", "უტოლობა და უტოლობების სისტემები", "პრობლემები. პარამეტრი".
შარშანდელთან შედარებით წიგნი საგრძნობლად იქნა გადამუშავებული და დამატებული.
სახელმძღვანელო განკუთვნილია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მათემატიკის მასწავლებლებისთვის, მშობლებისთვის.

არაწრფივი განტოლებები და უტოლობები პარამეტრით.
პრობლემების დიაპაზონი, რომელთა გადაწყვეტაც ეფუძნება სტანდარტულ გარდაქმნებსა და ლოგიკურ ჩამოთვლას, საკმაოდ ფართოა და მათი ფორმულირებები საკმაოდ მრავალფეროვანია. ასეთი ამოცანის მთავარი მახასიათებელია ის, რომ მისი გადაწყვეტა, როგორც ზემოთ აღინიშნა, არ გულისხმობს ზოგიერთი ახალი იდეისა და მეთოდის გაცნობას, რომელიც არ არის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, არამედ მოითხოვს მხოლოდ ტრანსფორმაციების შესრულების უნარს, პასუხის გაცემას კითხვებზე ფესვების არსებობის შესახებ. განტოლება ან უტოლობების ამონახსნები, გარკვეული პირობების დაკმაყოფილებისას, საჭიროების შემთხვევაში თავად იპოვეთ ეს ამონახსნები, შეასრულეთ საჭირო ლოგიკური ჩამოთვლა.

მაგალითი 1. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლებას x3 - (a + 4)x2 + 4ax \u003d 0 აქვს ზუსტად ორი განსხვავებული ფესვი.
გამოსავალი. მოდით ამოვიღოთ განტოლების მარცხენა მხარის საერთო კოეფიციენტი: x (x2 - (a + 4) x + 4a) \u003d 0, საიდანაც x \u003d 0 ან x2 - (a 4 - 4) x + 4a \ u003d 0. ბოლო განტოლების ფესვებია x \u003d 4 და x \u003d a (ეს ფესვები შეგიძლიათ ნახოთ Vieta ფორმულების ან კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით). ამ განტოლებას აქვს ზუსტად ორი განსხვავებული ფესვი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a = 0 ან a = 4.
პასუხი: a = 0, a = 4.

შინაარსი
წინასიტყვაობა
Თავი 1
§1.1. წრფივი განტოლებები და უტოლობები პარამეტრით
§1.2. არაწრფივი განტოლებები და უტოლობები პარამეტრით
§1.3. პრობლემები მთელ უცნობებთან
თავი 2
§2.1. დისკრიმინანტისა და ვიეტას ფორმულის შესწავლა
§2.2. კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა
§2.3. კვადრატული ტრინომის შესწავლით შემცირებული ამოცანები
თავი 3
§3.1. მონოტონური
§3.2. შეზღუდვა
§3.3. უცვლელობა
თავი 4 გრაფიკული ინტერპრეტაციები
§4.1. ფართობის მეთოდი
§4.2. გრაფიკის გარდაქმნები
§4.3. გეომეტრიული იდეები
თავი 5 სხვა მეთოდები
§5.1. ღირებულების მეთოდის გამარტივება
§5.2. პარამეტრი, როგორც ცვლადი
§5.3. ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლებები
§5.4. ვექტორული ინტერპრეტაციები ალგებრაში
დიაგნოსტიკური სამუშაო 1
დიაგნოსტიკური სამუშაო 2
დიაგნოსტიკური სამუშაო 3
დიაგნოსტიკური სამუშაო 4
დიაგნოსტიკური სამუშაო 5
პასუხები.

უფასო ჩამოტვირთვა ელექტრონული წიგნი მოსახერხებელ ფორმატში, უყურეთ და წაიკითხეთ:
ჩამოტვირთეთ წიგნი USE 2017, მათემატიკა, ამოცანები პარამეტრით, დავალება 18, პროფილის დონე, Shestakov S.A., Yashchenko I.V. - fileskachat.com, სწრაფი და უფასო ჩამოტვირთვა.

• USE 2019, მათემატიკა, გამოხატვის მნიშვნელობები, ამოცანა 9, პროფილის დონე, დავალება 2 და 5, საბაზისო დონე, სამუშაო წიგნი, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
• USE 2019, მათემატიკა, მყარი გეომეტრიის ამოცანები, ამოცანა 8, პროფილის დონე, დავალება 13 და 16, საბაზო დონე, სამუშაო წიგნი, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
• USE 2019, მათემატიკა, მარტივი განტოლებები, ამოცანა 5, პროფილის დონე, დავალება 4 და 7, საბაზისო დონე, სამუშაო წიგნი, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
• USE 2019, მათემატიკა, ამოცანები პარამეტრით, ამოცანა 18, პროფილის დონე, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.

შემდეგი გაკვეთილები და წიგნები:

• USE 2017, მათემატიკა, გრაფიკები და დიაგრამები, დავალება 2, პროფილის დონე, დავალება 11, საბაზისო დონე, სამუშაო წიგნი, Trepalin A.S., Yashchenko I.V.
• USE 2017, მათემატიკა, არითმეტიკული ამოცანები, ამოცანა 1, პროფილის დონე, ამოცანები 3 და 6, საბაზო დონე, სამუშაო წიგნი, Shnol D.E., Yashchenko I.V.