ქვემოთ მოყვანილი სტატია განიხილავს სეგმენტის შუა კოორდინატების პოვნის საკითხებს მისი უკიდურესი წერტილების კოორდინატების არსებობისას, როგორც საწყისი მონაცემები. მაგრამ სანამ საკითხის შესწავლას გავაგრძელებთ, შემოგთავაზებთ რიგ განმარტებებს.

განმარტება 1

ხაზის სეგმენტი- ორი თვითნებური წერტილის დამაკავშირებელი სწორი ხაზი, რომელსაც ეწოდება სეგმენტის ბოლოები. მაგალითად, ეს იყოს A და B წერტილები და, შესაბამისად, A B სეგმენტი.

თუ A B სეგმენტი A და B წერტილებიდან ორივე მიმართულებით გაგრძელდება, მივიღებთ A B სწორ ხაზს. მაშინ A B სეგმენტი არის მიღებული სწორი ხაზის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია A და B წერტილებით. A B სეგმენტი აერთიანებს A და B წერტილებს, რომლებიც მისი ბოლოებია, ასევე შორის მდებარე წერტილების სიმრავლეს. თუ, მაგალითად, ავიღებთ რაიმე თვითნებურ K წერტილს, რომელიც მდებარეობს A და B წერტილებს შორის, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ K წერტილი დევს A B მონაკვეთზე.

განმარტება 2

ჭრის სიგრძეარის მანძილი სეგმენტის ბოლოებს შორის მოცემულ მასშტაბზე (ერთეული სიგრძის სეგმენტი). A B მონაკვეთის სიგრძეს აღვნიშნავთ შემდეგნაირად: A B.

განმარტება 3

შუა წერტილიწერტილი ხაზის სეგმენტზე, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული მისი ბოლოებისგან. თუ A B სეგმენტის შუა აღინიშნება C წერტილით, მაშინ ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი: A C \u003d C B

საწყისი მონაცემები: კოორდინატთა წრფე O x და მასზე შეუსაბამო წერტილები: A და B . ეს წერტილები შეესაბამება რეალურ რიცხვებს x A და x B . წერტილი C არის A B სეგმენტის შუა წერტილი: თქვენ უნდა განსაზღვროთ კოორდინატი x C .

ვინაიდან წერტილი C არის A B სეგმენტის შუა წერტილი, ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი: | A C | = | C B | . წერტილებს შორის მანძილი განისაზღვრება მათ კოორდინატებს შორის განსხვავების მოდულით, ე.ი.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

მაშინ შესაძლებელია ორი თანასწორობა: x C - x A = x B - x C და x C - x A = - (x B - x C)

პირველი თანასწორობიდან ვიღებთ ფორმულას C წერტილის კოორდინატისთვის: x C \u003d x A + x B 2 (სეგმენტის ბოლოების კოორდინატების ჯამის ნახევარი).

მეორე ტოლობიდან ვიღებთ: x A = x B , რაც შეუძლებელია, რადგან თავდაპირველ მონაცემებში - შეუსაბამო ქულები. Ამგვარად, A B სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულა A (x A) ბოლოებით და B(xB):

შედეგად მიღებული ფორმულა იქნება სიბრტყეზე ან სივრცეში სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატების განსაზღვრის საფუძველი.

საწყისი მონაცემები: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე O x y , ორი თვითნებური არადამთხვევა წერტილი მოცემული კოორდინატებით A x A , y A და B x B , y B . წერტილი C არის A B სეგმენტის შუა წერტილი. C წერტილისთვის საჭიროა x C და y C კოორდინატების განსაზღვრა.

ანალიზისთვის ავიღოთ შემთხვევა, როდესაც A და B წერტილები ერთმანეთს არ ემთხვევა და არ დევს ერთსა და იმავე კოორდინატზე ან რომელიმე ღერძის პერპენდიკულარულ წრფეზე. A x, A y; B x , B y და C x , C y - A , B და C წერტილების პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე (სწორი ხაზები O x და O y).

კონსტრუქციით წრფეები A A x , B B x , C C x პარალელურია; ხაზები ასევე ერთმანეთის პარალელურია. ამასთან ერთად, თალესის თეორემის თანახმად, A C \u003d C B ტოლობიდან გამომდინარეობს ტოლობები: A x C x \u003d C x B x და A y C y \u003d C y B y, და ისინი, თავის მხრივ, მიუთითეთ, რომ წერტილი C x - A x B x სეგმენტის შუა, ხოლო C y არის A y B y სეგმენტის შუა. შემდეგ კი, ადრე მიღებული ფორმულის საფუძველზე, ვიღებთ:

x C = x A + x B 2 და y C = y A + y B 2

იგივე ფორმულები შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმ შემთხვევაში, როდესაც A და B წერტილები დევს ერთსა და იმავე კოორდინატზე ან ერთ-ერთი ღერძის პერპენდიკულარულ წრფეზე. ჩვენ არ ჩავატარებთ ამ საქმის დეტალურ ანალიზს, განვიხილავთ მხოლოდ გრაფიკულად:

ყოველივე ზემოთქმულის შეჯამება, A B სეგმენტის შუა კოორდინატები სიბრტყეზე ბოლოების კოორდინატებით A (x A, y A) და B(x B, y B) განსაზღვრული როგორც:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

საწყისი მონაცემები: კოორდინატთა სისტემა О x y z და ორი თვითნებური წერტილი მოცემული კოორდინატებით A (x A , y A , z A) და B (x B , y B , z B) . საჭიროა განვსაზღვროთ C წერტილის კოორდინატები, რომელიც არის A B სეგმენტის შუა.

A x, A y, A z; B x , B y , B z და C x , C y , C z - ყველა მოცემული წერტილის პროგნოზები კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე.

თალესის თეორემის მიხედვით ტოლობები ჭეშმარიტია: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

მაშასადამე, წერტილები C x , C y , C z არის A x B x , A y B y , A z B z სეგმენტების შუა წერტილები შესაბამისად. შემდეგ, სივრცეში სეგმენტის შუა კოორდინატების დასადგენად, ჭეშმარიტია შემდეგი ფორმულები:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

მიღებული ფორმულები ასევე გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც A და B წერტილები დევს ერთ-ერთ კოორდინატთა ხაზზე; ერთ-ერთი ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე; ერთ კოორდინატულ სიბრტყეში ან რომელიმე კოორდინატულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეში.

სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატების განსაზღვრა მისი ბოლოების რადიუსის ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით

სეგმენტის შუა კოორდინატების პოვნის ფორმულა ასევე შეიძლება გამოვიდეს ვექტორების ალგებრული ინტერპრეტაციის მიხედვით.

საწყისი მონაცემები: მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა O x y , წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (x A , y A) და B (x B , x B) . წერტილი C არის A B სეგმენტის შუა წერტილი.

ვექტორებზე მოქმედებების გეომეტრიული განმარტების მიხედვით მართალი იქნება შემდეგი ტოლობა: O C → = 1 2 · O A → + O B → . წერტილი C ამ შემთხვევაში არის O A → და O B → ვექტორების საფუძველზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი, ე.ი. დიაგონალების შუა წერტილი.წერტილის რადიუსის ვექტორის კოორდინატები უდრის წერტილის კოორდინატებს, მაშინ ტოლობები მართალია: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y ბ) . შევასრულოთ რამდენიმე მოქმედება ვექტორებზე კოორდინატებში და მივიღოთ:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

ამრიგად, C წერტილს აქვს კოორდინატები:

x A + x B 2, y A + y B 2

ანალოგიით, განისაზღვრება ფორმულა სივრცეში სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატების საპოვნელად:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები შუა სეგმენტის კოორდინატების საპოვნელად

ზემოთ მოპოვებული ფორმულების გამოყენებასთან დაკავშირებულ ამოცანებს შორის არის როგორც ის, რომლებშიც კითხვა არის უშუალოდ სეგმენტის შუა კოორდინატების გამოთვლა, ასევე ის, რაც გულისხმობს მოცემული პირობების ამ კითხვაზე მიტანას: ტერმინი „მედიანი“. ხშირად გამოიყენება, მიზანია სეგმენტის ბოლოებიდან მოძებნოს ერთის კოორდინატები, ასევე სიმეტრიის ამოცანები, რომელთა გადაწყვეტა ასევე ამ თემის შესწავლის შემდეგ არ უნდა გამოიწვიოს სირთულეები. განვიხილოთ ტიპიური მაგალითები.

მაგალითი 1

საწყისი მონაცემები:სიბრტყეზე - წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (- 7, 3) და B (2, 4) . საჭიროა ვიპოვოთ A B სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატები.

გამოსავალი

A B სეგმენტის შუა ავღნიშნოთ C წერტილით. მისი კოორდინატები განისაზღვროს, როგორც სეგმენტის ბოლოების კოორდინატების ჯამის ნახევარი, ე.ი. წერტილები A და B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

უპასუხე: A B სეგმენტის შუა კოორდინატები - 5 2 , 7 2 .

მაგალითი 2

საწყისი მონაცემები:ცნობილია A B C სამკუთხედის კოორდინატები: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . აუცილებელია ვიპოვოთ A M-ის მედიანას სიგრძე.

გამოსავალი

1. პრობლემის პირობით A M არის მედიანა, რაც ნიშნავს, რომ M არის B C სეგმენტის შუა წერტილი. უპირველეს ყოვლისა, ვპოულობთ B C სეგმენტის შუა კოორდინატებს, ე.ი. M ქულა:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. ვინაიდან ახლა ჩვენ ვიცით მედიანის ორივე ბოლოს კოორდინატები (წერტილები A და M), შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა წერტილებს შორის მანძილის დასადგენად და A M მედიანას სიგრძის გამოსათვლელად:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

პასუხი: 58

მაგალითი 3

საწყისი მონაცემები:პარალელეპიპედი A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. მოცემულია C 1 (1, 1, 0) წერტილის კოორდინატები, ასევე განსაზღვრულია M წერტილი, რომელიც არის B D 1 დიაგონალის შუა წერტილი და აქვს M (4, 2, - 4) კოორდინატები. საჭიროა A წერტილის კოორდინატების გამოთვლა.

გამოსავალი

პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც არის ყველა დიაგონალის შუა წერტილი. ამ დებულებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გავითვალისწინოთ, რომ ამოცანის პირობებით ცნობილი წერტილი M არის А С 1 სეგმენტის შუა. სივრცეში სეგმენტის შუა კოორდინატების პოვნის ფორმულის საფუძველზე ვპოულობთ A წერტილის კოორდინატებს: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

პასუხი: A წერტილის კოორდინატები (7, 3, - 8) .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ძალიან ხშირად C2 პრობლემაში საჭიროა იმ წერტილებთან მუშაობა, რომლებიც სეგმენტს შუაზე ყოფენ. ასეთი წერტილების კოორდინატები ადვილად გამოითვლება, თუ ცნობილია სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები.

ასე რომ, მიეცით სეგმენტი მისი ბოლოებით - წერტილები A \u003d (x a; y a; z a) და B \u003d (x b; y b; z b). შემდეგ სეგმენტის შუა კოორდინატები - ჩვენ აღვნიშნავთ მას H წერტილით - შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები არის მისი ბოლოების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული.

· Დავალება . ერთეული კუბი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 მოთავსებულია კოორდინატთა სისტემაში ისე, რომ x, y და z ღერძები მიმართული იყოს შესაბამისად AB, AD და AA 1 კიდეების გასწვრივ და საწყისი ემთხვევა A წერტილს. წერტილი K არის A 1 B ერთი კიდის შუა წერტილი. იპოვეთ ამ წერტილის კოორდინატები.

გამოსავალი. ვინაიდან K წერტილი არის A 1 B 1 სეგმენტის შუა ნაწილი, მისი კოორდინატები ტოლია ბოლოების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკულის. ჩამოვწეროთ ბოლოების კოორდინატები: A 1 = (0; 0; 1) და B 1 = (1; 0; 1). ახლა ვიპოვოთ K წერტილის კოორდინატები:

უპასუხე: K = (0.5; 0; 1)

· Დავალება . ერთეული კუბი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 მოთავსებულია კოორდინატთა სისტემაში ისე, რომ x, y და z ღერძები მიმართული იყოს შესაბამისად AB, AD და AA 1 კიდეების გასწვრივ და საწყისი ემთხვევა A წერტილს. იპოვეთ კოორდინატები. L წერტილის სადაც ისინი კვეთენ A 1 B 1 C 1 D 1 კვადრატის დიაგონალებს.

გამოსავალი. პლანიმეტრიის კურსიდან ცნობილია, რომ კვადრატის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული მისი ყველა წვეროდან. კერძოდ, A 1 L = C 1 L, ე.ი. წერტილი L არის A 1 C 1 სეგმენტის შუა წერტილი. მაგრამ A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), ასე რომ, გვაქვს:

უპასუხე: L = (0.5; 0.5; 1)

ანალიტიკური გეომეტრიის უმარტივესი ამოცანები.
მოქმედებები ვექტორებთან კოორდინატებში

ამოცანები, რომლებიც განიხილება, ძალიან სასურველია ვისწავლოთ მათი ამოხსნა სრულად ავტომატურად და ფორმულები დაიმახსოვრე, განზრახ არც კი დაიმახსოვროთ, თვითონ დაიმახსოვრებენ =) ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, ვინაიდან ანალიტიკური გეომეტრიის სხვა ამოცანები უმარტივეს ელემენტარულ მაგალითებზეა დაფუძნებული და ზედმეტი დროის დახარჯვა სალომბარდე ჭამაზე იქნება შემაწუხებელი. თქვენ არ გჭირდებათ მაისურზე ზედა ღილების დამაგრება, ბევრი რამ თქვენთვის ნაცნობი სკოლიდან არის.

მასალის პრეზენტაცია გაგრძელდება პარალელურად - როგორც თვითმფრინავისთვის, ასევე კოსმოსისთვის. იმ მიზეზით, რომ ყველა ფორმულა ... თქვენ თავად ნახავთ.

შრომატევადი მუშაობის შემდეგ, უცებ შევამჩნიე, რომ ვებ გვერდების ზომები საკმაოდ დიდია და თუ ასე გაგრძელდება, მაშინ შეგიძლიათ მშვიდად გაგიჟდეთ =) ამიტომ, თქვენს ყურადღებას ვაქცევ პატარა ნარკვევს ძალიან გავრცელებულ გეომეტრიულ პრობლემაზე - ამ მხრივ სეგმენტის დაყოფაზედა, როგორც განსაკუთრებულ შემთხვევაში, სეგმენტის შუაზე გაყოფის შესახებ.

ამა თუ იმ მიზეზის გამო, ეს დავალება არ ჯდებოდა სხვა გაკვეთილებში, მაგრამ ახლა არის დიდი შესაძლებლობა მისი დეტალურად და ნელა განხილვისთვის. კარგი ამბავი ის არის, რომ ჩვენ ცოტა ხნით შევისვენებთ ვექტორებს და ყურადღებას გავამახვილებთ წერტილებსა და ხაზების სეგმენტებზე.

განყოფილების დაყოფის ფორმულები ამ მხრივ

სეგმენტის დაყოფის კონცეფცია ამ მხრივ

ხშირად თქვენ საერთოდ არ გჭირდებათ ლოდინი, რასაც დაპირდნენ, ჩვენ დაუყოვნებლივ განვიხილავთ რამდენიმე პუნქტს და, ცხადია, წარმოუდგენელ სეგმენტს:

განხილული პრობლემა მოქმედებს როგორც სიბრტყის, ასევე სივრცის სეგმენტებისთვის. ანუ სადემონსტრაციო სეგმენტი შეიძლება განთავსდეს ნებისმიერი სახით თვითმფრინავში ან სივრცეში. ახსნის გასაადვილებლად ჰორიზონტალურად დავხატე.

რას ვაპირებთ ამ სეგმენტს? ამჯერად ნახე. ვიღაც ბიუჯეტს სჭრის, ვიღაც მეუღლეს, ვიღაც შეშას და ჩვენ დავიწყებთ სეგმენტის ორ ნაწილად დაჭრას. სეგმენტი იყოფა ორ ნაწილად გარკვეული წერტილის გამოყენებით, რომელიც, რა თქმა უნდა, პირდაპირ მასზე მდებარეობს:

ამ მაგალითში წერტილი ყოფს სეგმენტს ისე, რომ სეგმენტი ორჯერ მოკლეა სეგმენტზე. მაინც შეგვიძლია ვთქვათ, რომ წერტილი ყოფს სეგმენტს მიმართებაში ("ერთიდან ორამდე"), ზემოდან დათვლას.

მშრალ მათემატიკური ენაზე ეს ფაქტი ასე იწერება: , ან უფრო ხშირად ნაცნობი პროპორციის სახით: . სეგმენტების თანაფარდობა ჩვეულებრივ აღინიშნება ბერძნული ასო "ლამბდა"-ით, ამ შემთხვევაში: .

პროპორციის სხვა თანმიმდევრობით გაკეთება მარტივია: - ეს ჩანაწერი ნიშნავს, რომ სეგმენტი ორჯერ გრძელია ვიდრე სეგმენტი, მაგრამ ამას არანაირი ფუნდამენტური მნიშვნელობა არ აქვს პრობლემების გადასაჭრელად. შეიძლება ასეც იყოს და შეიძლება ასეც იყოს.

რა თქმა უნდა, სეგმენტის დაყოფა ადვილია სხვა კუთხით და, როგორც კონცეფციის განმტკიცება, მეორე მაგალითი:

აქ თანაფარდობა მოქმედებს: . თუ პროპორციას პირიქით გავაკეთებთ, მაშინ მივიღებთ: .

მას შემდეგ რაც გავარკვიეთ რას ნიშნავს ამ მხრივ სეგმენტის დაყოფა, გადავიდეთ პრაქტიკული პრობლემების განხილვაზე.

თუ სიბრტყის ორი წერტილი ცნობილია, მაშინ წერტილის კოორდინატები, რომელიც ყოფს სეგმენტს მიმართებაში, გამოიხატება ფორმულებით:

საიდან გაჩნდა ეს ფორმულები? ანალიტიკური გეომეტრიის დროს ეს ფორმულები მკაცრად მიღებულია ვექტორების გამოყენებით (სად ვიქნებოდით მათ გარეშე? =)). გარდა ამისა, ისინი მოქმედებს არა მხოლოდ დეკარტის კოორდინატთა სისტემისთვის, არამედ თვითნებური აფინური კოორდინატებისთვისაც (იხილეთ გაკვეთილი ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორული საფუძველი). ასეთია უნივერსალური ამოცანა.

მაგალითი 1

იპოვეთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც ყოფს სეგმენტს , თუ წერტილები ცნობილია

გამოსავალი: ამ პრობლემაში . ამ მხრივ სეგმენტის გაყოფის ფორმულების მიხედვით ვპოულობთ წერტილს:

უპასუხე:

ყურადღება მიაქციეთ გაანგარიშების ტექნიკას: ჯერ ცალკე უნდა გამოთვალოთ მრიცხველი და ცალკე მნიშვნელი. შედეგი ხშირად (მაგრამ არა ყოველთვის) სამსართულიანი ან ოთხსართულიანი წილადია. ამის შემდეგ ვიშორებთ მრავალსართულიან ფრაქციას და ვახორციელებთ საბოლოო გამარტივებებს.

ამოცანა არ საჭიროებს ნახატს, მაგრამ ყოველთვის სასარგებლოა მისი დასრულება მონახაზზე:

მართლაც, კავშირი დაკმაყოფილებულია, ანუ სეგმენტი სამჯერ უფრო მოკლეა ვიდრე სეგმენტი. თუ პროპორცია აშკარა არ არის, მაშინ სეგმენტები ყოველთვის შეიძლება სულელურად გაიზომოს ჩვეულებრივი მმართველით.

ექვივალენტი გადაჭრის მეორე გზა: მასში ათვლა იწყება წერტილიდან და მიმართება სამართლიანია: (ადამიანური სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეგმენტი სამჯერ გრძელია ვიდრე სეგმენტი). ამ მხრივ სეგმენტის გაყოფის ფორმულების მიხედვით:

უპასუხე:

გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულებში აუცილებელია წერტილის კოორდინატების გადატანა პირველ ადგილზე, რადგან ამით დაიწყო პატარა თრილერი.

ასევე ჩანს, რომ მეორე მეთოდი უფრო რაციონალურია მარტივი გამოთვლების გამო. მაგრამ მაინც, ეს პრობლემა ხშირად წყდება „ტრადიციული“ წესით. მაგალითად, თუ სეგმენტი მოცემულია პირობით, მაშინ ვარაუდობენ, რომ თქვენ შეადგენთ პროპორციას, თუ სეგმენტი მოცემულია, მაშინ "ჩუმად" ნიშნავს პროპორციას.

მე კი მეორე მეთოდი მოვიყვანე იმ მიზეზით, რომ ხშირად ისინი ცდილობენ განზრახ აირიონ პრობლემის მდგომარეობა. სწორედ ამიტომ, ძალიან მნიშვნელოვანია ნახაზის ნახაზის შესრულება, პირველ რიგში, მდგომარეობის სწორად გაანალიზების მიზნით და, მეორეც, გადამოწმების მიზნით. სირცხვილია ასეთ მარტივ საქმეში შეცდომების დაშვება.

მაგალითი 2

მოცემული ქულები . იპოვე:

ა) წერტილი, რომელიც ყოფს სეგმენტს მიმართ;
ბ) წერტილი, რომელიც ყოფს სეგმენტს .

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ზოგჯერ არის პრობლემები, როდესაც სეგმენტის ერთ-ერთი ბოლო უცნობია:

მაგალითი 3

წერტილი მიეკუთვნება სეგმენტს. ცნობილია, რომ სეგმენტი ორჯერ გრძელია ვიდრე სეგმენტი. იპოვე წერტილი თუ .

გამოსავალი: იმ პირობიდან გამომდინარეობს, რომ წერტილი ყოფს სეგმენტს ზემოდან დათვლასთან დაკავშირებით, ანუ პროპორცია მოქმედებს: . ამ მხრივ სეგმენტის გაყოფის ფორმულების მიხედვით:

ახლა ჩვენ არ ვიცით წერტილის კოორდინატები : , მაგრამ ეს არ არის განსაკუთრებული პრობლემა, რადგან მათი მარტივად გამოხატვა შესაძლებელია ზემოთ მოყვანილი ფორმულებიდან. ზოგადად, არაფრის გამოხატვა არ ღირს, გაცილებით ადვილია კონკრეტული რიცხვების ჩანაცვლება და გამოთვლების ფრთხილად გატარება:

უპასუხე:

შესამოწმებლად, შეგიძლიათ აიღოთ სეგმენტის ბოლოები და, ფორმულების პირდაპირი თანმიმდევრობით გამოყენებით, დარწმუნდით, რომ თანაფარდობა ნამდვილად აღმოჩნდება წერტილი. და, რა თქმა უნდა, რა თქმა უნდა, ნახატი არ იქნება ზედმეტი. და იმისთვის, რომ საბოლოოდ დაგარწმუნოთ ჭადრაკის რვეულის, უბრალო ფანქრისა და სახაზავის უპირატესობებში, მე გთავაზობთ სახიფათო ამოცანას დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 4

Წერტილი . სეგმენტი ერთნახევარჯერ მოკლეა სეგმენტზე. იპოვეთ წერტილი, თუ ცნობილია წერტილების კოორდინატები .

გამოსავალი გაკვეთილის ბოლოს. სხვათა შორის, ეს არ არის ერთადერთი, თუ ნიმუშისგან განსხვავებულად წახვალ, მაშინ ეს შეცდომა არ იქნება, მთავარია პასუხები ემთხვეოდეს.

სივრცითი სეგმენტებისთვის ყველაფერი ზუსტად იგივე იქნება, მხოლოდ ერთი კოორდინატი დაემატება.

თუ სივრცეში ორი წერტილია ცნობილი, მაშინ წერტილის კოორდინატები, რომელიც სეგმენტს ყოფს მიმართებაში, გამოიხატება ფორმულებით:
.

მაგალითი 5

ქულები მოცემულია. იპოვეთ სეგმენტის კუთვნილი წერტილის კოორდინატები, თუ ცნობილია, რომ .

გამოსავალი: კავშირი გამომდინარეობს პირობიდან: . ეს მაგალითი აღებულია რეალური ტესტიდან და მისმა ავტორმა საკუთარ თავს უფლება მისცა მცირე ხუმრობა (უცებ ვიღაც წაბორძიკდა) - უფრო რაციონალური იქნებოდა პროპორციის დაწერა ამ მდგომარეობაში: .

სეგმენტის შუა კოორდინატების ფორმულების მიხედვით:

უპასუხე:

გადამოწმების მიზნით სამგანზომილებიანი ნახატების შესრულება ბევრად უფრო რთულია. თუმცა, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ გააკეთოთ სქემატური ნახაზი, რომ გაიგოთ მინიმუმ მდგომარეობა - რომელი სეგმენტები უნდა იყოს დაკავშირებული.

რაც შეეხება პასუხში მოცემულ წილადებს, ნუ გაგიკვირდებათ, ჩვეულებრივია. ბევრჯერ მითქვამს, მაგრამ ვიმეორებ: უმაღლეს მათემატიკაში ჩვეულებრივია ჩვეულებრივი და არასწორი წილადების გამოყენება. უპასუხეთ ფორმაში გააკეთებს, მაგრამ არასწორი წილადების ვარიანტი უფრო სტანდარტულია.

გათბობის ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 6

ქულები მოცემულია. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები, თუ ცნობილია, რომ ის ყოფს სეგმენტს .

ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. თუ პროპორციებში ორიენტირება რთულია, გააკეთეთ სქემატური ნახაზი.

დამოუკიდებელ და საკონტროლო სამუშაოებში განხილული მაგალითები გვხვდება როგორც საკუთარ თავზე, ისე როგორც უფრო დიდი ამოცანების შემადგენელი ნაწილი. ამ თვალსაზრისით ტიპიურია სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრის პოვნის პრობლემა.

მე ვერ ვხედავ დიდ აზრს ისეთი სახის ამოცანის ანალიზში, სადაც სეგმენტის ერთ-ერთი ბოლო უცნობია, რადგან ყველაფერი ბრტყელ საქმეს ჰგავს, გარდა იმისა, რომ ცოტა მეტი გამოთვლებია. ჯობია გაიხსენო სკოლის წლები:

ფორმულები შუა სეგმენტის კოორდინატებისთვის

მოუმზადებელ მკითხველსაც კი შეუძლია გაიხსენოს, თუ როგორ უნდა გაანახევროთ სეგმენტი. სეგმენტის ორ ტოლ ნაწილად დაყოფის ამოცანა ამ მხრივ სეგმენტის დაყოფის განსაკუთრებული შემთხვევაა. ორმხრივი ხერხი მუშაობს ყველაზე დემოკრატიულად და თითოეული მეზობელი მაგიდაზე იღებს ერთსა და იმავე ჯოხს:

ამ საზეიმო საათზე დასარტყამები სცემეს, მიესალმებიან მნიშვნელოვან ნაწილს. და ზოგადი ფორმულები სასწაულებრივად გარდაიქმნება რაღაც ნაცნობ და მარტივ:

მოსახერხებელი მომენტია ის ფაქტი, რომ სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები შეიძლება უმტკივნეულოდ გადაკეთდეს:

ზოგადად ფორმულებში, ასეთი მდიდრული ნომერი, როგორც გესმით, არ მუშაობს. დიახ, და აქ არ არის ამის განსაკუთრებული საჭიროება, ასე რომ, სასიამოვნო წვრილმანი.

სივრცითი შემთხვევისთვის აშკარა ანალოგია მოქმედებს. თუ სეგმენტის ბოლოები მოცემულია, მაშინ მისი შუა კოორდინატები გამოიხატება ფორმულებით:

მაგალითი 7

პარალელოგრამი მოცემულია მისი წვეროების კოორდინატებით. იპოვეთ მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი.

გამოსავალი: მსურველებს შეუძლიათ შეასრულონ ნახატი. განსაკუთრებით ვურჩევ გრაფიტს მათ, ვისაც სრულიად დავიწყებული აქვს სკოლის გეომეტრიის კურსი.

ცნობილი თვისების მიხედვით, პარალელოგრამის დიაგონალები იყოფა შუაზე მათი გადაკვეთის წერტილით, ამიტომ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ორი გზით.

მეთოდი პირველი: განვიხილოთ საპირისპირო წვეროები . სეგმენტის ნახევრად გაყოფის ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ დიაგონალის შუა წერტილს:

როგორ მოვძებნოთ სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატები
ჯერ გავარკვიოთ, რა არის სეგმენტის შუა.
სეგმენტის შუა წერტილად ითვლება წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ამ სეგმენტს და იმავე მანძილზეა მისი ბოლოებიდან.

ასეთი წერტილის კოორდინატების პოვნა ადვილია, თუ ცნობილია ამ სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები. ამ შემთხვევაში, სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები ტოლი იქნება სეგმენტის ბოლოების შესაბამისი კოორდინატების ჯამის ნახევარის.
სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატები ხშირად გვხვდება ამოცანების ამოხსნით მედიანაზე, შუა ხაზზე და ა.შ.
განვიხილოთ სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატების გამოთვლა ორი შემთხვევისთვის: როდესაც სეგმენტი მოცემულია სიბრტყეზე და მოცემულია სივრცეში.
სიბრტყეზე სეგმენტი მიცემული იყოს ორი წერტილით კოორდინატებით და . შემდეგ PH სეგმენტის შუა კოორდინატები გამოითვლება ფორმულით:

მიეცით სეგმენტი სივრცეში ორი წერტილით კოორდინატებით და . შემდეგ PH სეგმენტის შუა კოორდინატები გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი.
იპოვეთ K წერტილის კოორდინატები - MO-ს შუა, თუ M (-1; 6) და O (8; 5).

გამოსავალი.
ვინაიდან წერტილებს ორი კოორდინატი აქვთ, ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტი მოცემულია სიბრტყეზე. ჩვენ ვიყენებთ შესაბამის ფორმულებს:

შესაბამისად, MO-ს შუას ექნება კოორდინატები K (3.5; 5.5).

უპასუხე. K (3.5; 5.5).

არანაირ სამუშაოს არ აკეთებს. მათი გამოსათვლელად არის მარტივი გამოთქმა, რომელიც ადვილად დასამახსოვრებელია. მაგალითად, თუ სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები არის შესაბამისად (x1; y1) და (x2; y2), მაშინ მისი შუა კოორდინატები გამოითვლება ამ კოორდინატების არითმეტიკული საშუალოდ, ანუ:

ეს არის მთელი სირთულე.
განვიხილოთ ერთ-ერთი სეგმენტის ცენტრის კოორდინატების გამოთვლა კონკრეტულ მაგალითზე, როგორც თქვენ გთხოვეთ.

Დავალება.
იპოვეთ M წერტილის კოორდინატები, თუ ის არის KR სეგმენტის შუა წერტილი (ცენტრი), რომლის ბოლოებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები: (-3; 7) და (13; 21), შესაბამისად.

გამოსავალი.
ჩვენ ვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულას:

უპასუხე. M (5; 14).

ამ ფორმულის გამოყენებით, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ არა მხოლოდ სეგმენტის შუა კოორდინატები, არამედ მისი ბოლოებიც. განვიხილოთ მაგალითი.

Დავალება.
მოცემულია ორი წერტილის (7; 19) და (8; 27) კოორდინატები. იპოვეთ სეგმენტის ერთ-ერთი ბოლოს კოორდინატები, თუ წინა ორი წერტილი არის მისი ბოლო და შუა.

გამოსავალი.
სეგმენტის ბოლოები ავღნიშნოთ როგორც K და P, ხოლო მისი შუა – S. მოდით გადავიწეროთ ფორმულა ახალი სახელების გათვალისწინებით:

შეცვალეთ ცნობილი კოორდინატები და გამოთვალეთ ინდივიდუალური კოორდინატები: