რეალური რიცხვის n-ე ფესვის ცნება. n-ე ხარისხის ფესვი: განმარტებები, აღნიშვნა, მაგალითები

გაკვეთილის სცენარი მე-11 კლასში თემაზე:

ნამდვილი რიცხვის n-ე ფესვი. »

გაკვეთილის მიზანი:მოსწავლეებში ფესვის ჰოლისტიკური ხედვის ჩამოყალიბება ნ-მე-ე ხარისხი და n ხარისხის არითმეტიკული ფესვი, გამოთვლითი უნარების ჩამოყალიბება, ფესვის თვისებების შეგნებული და რაციონალური გამოყენების უნარები რადიკალს შემცველი სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში. მოსწავლეთა მიერ თემის კითხვების ათვისების დონის შემოწმება.

თემა:შექმენით მნიშვნელოვანი და ორგანიზაციული პირობები თემაზე მასალის ასიმილაციისთვის.რიცხვითი და ანბანური გამონათქვამები » აღქმის, გააზრებისა და პირველადი დამახსოვრების დონეზე; ჩამოყალიბდეს ამ ინფორმაციის გამოყენების უნარი რეალური რიცხვიდან n-ე ხარისხის ფესვის გამოთვლისას;

მეტასაგანი:ხელი შეუწყოს გამოთვლითი უნარების განვითარებას; ანალიზის, შედარების, განზოგადების, დასკვნების გამოტანის უნარი;

პირადი:საკუთარი აზრის გამოხატვის, სხვისი პასუხების მოსმენის, დიალოგში მონაწილეობის, პოზიტიური თანამშრომლობის უნარის ჩამოყალიბება.

დაგეგმილი შედეგი.

თემა: შეძლოს n-ე ხარისხის ფესვის თვისებების გამოყენება რეალური რიცხვიდან რეალური სიტუაციის პროცესში ფესვების გამოთვლის, განტოლებების ამოხსნისას.

პირადი: გამოთვლებში ყურადღების და სიზუსტის ჩამოყალიბება, საკუთარი თავის და საქმისადმი მომთხოვნი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება, ურთიერთდახმარების გრძნობის განვითარება.

გაკვეთილის ტიპი: სასწავლო გაკვეთილი და ახალი ცოდნის პირველადი კონსოლიდაცია

სასწავლო საქმიანობის მოტივაცია:

აღმოსავლური სიბრძნე ამბობს: „შეგიძლია ცხენს წყალთან მიიყვანო, მაგრამ დალევა არ შეგიძლია“. და შეუძლებელია აიძულო ადამიანი კარგად ისწავლოს, თუ ის თავად არ ცდილობს მეტის სწავლას, არ გაუჩნდება სურვილი იმუშავოს მის გონებრივ განვითარებაზე. ყოველივე ამის შემდეგ, ცოდნა მხოლოდ მაშინ არის ცოდნა, როდესაც ის იძენს საკუთარი აზროვნების ძალისხმევით და არა მხოლოდ მეხსიერებით.

ჩვენი გაკვეთილი ჩატარდება დევიზით: „ნებისმიერ მწვერვალს დავიპყრობთ, თუ მისკენ ვისწრაფვით“. გაკვეთილის განმავლობაში მე და შენ უნდა გვქონდეს დრო, რომ გადავლახოთ რამდენიმე მწვერვალი და თითოეულმა თქვენგანმა მთელი ძალისხმევა უნდა დახარჯოს ამ მწვერვალების დასაპყრობად.

„დღეს გვაქვს გაკვეთილი, რომელშიც უნდა გავეცნოთ ახალ კონცეფციას: „მე-n ხარისხის ფესვი“ და ვისწავლოთ როგორ გამოვიყენოთ ეს კონცეფცია სხვადასხვა გამონათქვამების ტრანსფორმაციაზე.

თქვენი მიზანია გაააქტიუროთ არსებული ცოდნა სამუშაოს სხვადასხვა ფორმის საფუძველზე, წვლილი შეიტანოთ მასალის შესწავლაში და მიიღოთ კარგი შეფასება.
მე-8 კლასში შევისწავლეთ ნამდვილი რიცხვის კვადრატული ფესვი. კვადრატული ფესვი დაკავშირებულია ხედვის ფუნქციასთან წ=x 2. ბიჭებო, გახსოვთ როგორ გამოვთვალეთ კვადრატული ფესვები და რა თვისებები ჰქონდა?
ა) ინდივიდუალური გამოკითხვა:

რა არის ეს გამოთქმა

რა არის კვადრატული ფესვი

რა არის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი

ჩამოთვალეთ კვადრატული ფესვის თვისებები

ბ) წყვილებში მუშაობა: გამოთვლა.

2. ცოდნის განახლება და პრობლემური სიტუაციის შექმნა:ამოხსენით განტოლება x 4 =1. როგორ მოვაგვაროთ? (ანალიტიკურად და გრაფიკულად). მოდი გრაფიკულად გადავჭრათ. ამისათვის, ერთ კოორდინატულ სისტემაში ვაშენებთ y \u003d x 4 სწორი ხაზის y \u003d 1 ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 164 ა). ისინი იკვეთება ორ წერტილზე: A (-1;1) და B(1;1). A და B წერტილების აბსციები, ე.ი. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, არის განტოლების ფესვები x 4 \u003d 1.
ანალოგიურად ვიკამათებთ, ვპოულობთ განტოლების ფესვებს x 4 \u003d 16: ახლა ვცადოთ ამოხსნათ განტოლება x 4 \u003d 5; გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია ნახ. 164 ბ. ნათელია, რომ განტოლებას აქვს ორი ფესვი x 1 და x 2 და ეს რიცხვები, როგორც წინა ორ შემთხვევაში, ერთმანეთის საპირისპიროა. მაგრამ პირველი ორი განტოლებისთვის, ფესვები იპოვნეს უპრობლემოდ (ისინი ასევე შეიძლება იპოვონ გრაფიკების გამოყენების გარეშე), და არის პრობლემები განტოლებასთან x 4 \u003d 5: ნახაზის მიხედვით, ჩვენ არ შეგვიძლია მივუთითოთ მნიშვნელობები \ ფესვების, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ დავადგინოთ, რომ ერთი ფესვი მდებარეობს მარცხენა წერტილში -1, ხოლო მეორე - 1 წერტილის მარჯვნივ.

x 2 \u003d - (წაიკითხეთ: "ხუთის მეოთხე ფესვი").

ჩვენ ვისაუბრეთ განტოლებაზე x 4 \u003d a, სადაც a 0. თანაბარი წარმატებით შეგვეძლო ვისაუბროთ განტოლებაზე x 4 \u003d a, სადაც a 0 და n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი. მაგალითად, x 5 \u003d 1 განტოლების გრაფიკულად ამოხსნით, ვპოულობთ x \u003d 1 (ნახ. 165); x 5 "= 7 განტოლების ამოხსნით, ვადგენთ, რომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x 1, რომელიც მდებარეობს x ღერძზე 1 წერტილიდან ოდნავ მარჯვნივ (იხ. სურ. 165). x 1 რიცხვისთვის შემოგთავაზებთ აღნიშვნა.

განმარტება 1.არაუარყოფითი რიცხვის a (n = 2, 3.4, 5, ...) n-ე ხარისხის ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც n-ის ხარისხზე ამაღლებისას მიიღება რიცხვი a.

ეს რიცხვი აღინიშნება, რიცხვს a ეწოდება ძირეული ნომერი, ხოლო რიცხვი n არის ძირეული ინდექსი.
თუ n = 2, მაშინ ისინი ჩვეულებრივ არ ამბობენ "მეორე ხარისხის ფესვი", არამედ ამბობენ "კვადრატული ფესვი". ამ შემთხვევაში ისინი არ წერენ. ეს ის განსაკუთრებული შემთხვევაა, რომელიც თქვენ სპეციალურად შეისწავლეთ მე-8-ში. ალგებრის კლასის კურსი.

თუ n \u003d 3, მაშინ "მესამე ხარისხის ფესვის" ნაცვლად ისინი ხშირად ამბობენ "კუბის ფესვი". კუბის ფესვთან თქვენი პირველი გაცნობაც მე-8 კლასის ალგებრის კურსზე შედგა. მე-9 კლასის ალგებრის კურსში გამოვიყენეთ კუბის ფესვი.

ასე რომ, თუ a ≥0, n= 2,3,4,5,…, მაშინ 1) ≥ 0; 2) () n = a.

ზოგადად, =b და b n =a - იგივე ურთიერთობა არაუარყოფით a და b რიცხვებს შორის, მაგრამ მეორე აღწერილია უფრო მარტივ ენაზე (იყენებს უფრო მარტივ სიმბოლოებს), ვიდრე პირველი.

არაუარყოფითი რიცხვის ფესვის პოვნის ოპერაციას ჩვეულებრივ უწოდებენ ფესვის ამოღებას. ეს ოპერაცია არის შესაბამისი სიმძლავრის აწევის საპირისპირო. შეადარეთ:

კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება: ცხრილში მხოლოდ დადებითი რიცხვები ჩნდება, რადგან ეს გათვალისწინებულია განმარტებაში 1. და მიუხედავად იმისა, რომ, მაგალითად, (-6) 6 \u003d 36 არის სწორი ტოლობა, გადადით მისგან ნოტაციაზე კვადრატული ფესვის გამოყენებით, ე.ი. დაწერე ის რაც არ შეგიძლია. განმარტებით - დადებითი რიცხვი, ანუ = 6 (და არა -6). ანალოგიურად, მიუხედავად იმისა, რომ 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, გადადის ფესვების ნიშნებზე, უნდა დავწეროთ \u003d 2 (და ამავე დროს ≠-2).

ზოგჯერ გამონათქვამს უწოდებენ რადიკალს (ლათინური სიტყვიდან gadix - "ფესვი"). რუსულად, ტერმინი რადიკალური საკმაოდ ხშირად გამოიყენება, მაგალითად, "რადიკალური ცვლილებები" ნიშნავს "რადიკალურ ცვლილებებს". სხვათა შორის, თავად ფესვის აღნიშვნა მოგვაგონებს სიტყვას გადიქსს: სიმბოლო არის სტილიზებული ასო r.

ფესვის ამოღების ოპერაცია ასევე განისაზღვრება უარყოფითი ფესვის რიცხვისთვის, მაგრამ მხოლოდ კენტი ფესვის მაჩვენებლის შემთხვევაში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლება (-2) 5 = -32 შეიძლება გადაიწეროს ექვივალენტური ფორმით, როგორც =-2. აქ გამოიყენება შემდეგი განმარტება.

განმარტება 2.კენტი ხარისხის n-ის ფესვი უარყოფითი a რიცხვიდან (n = 3.5, ...) არის უარყოფითი რიცხვი, რომელიც n-ის ხარისხზე ამაღლებისას მიიღება რიცხვი a.

ეს რიცხვი, როგორც განმარტება 1-ში, აღინიშნება , რიცხვი a არის ძირეული რიცხვი, რიცხვი n არის ძირეული ინდექსი.
ასე რომ, თუ a, n=,5,7,…, მაშინ: 1) 0; 2) () n = a.

ამრიგად, ლუწი ფესვს აქვს აზრი (ანუ განსაზღვრულია) მხოლოდ არაუარყოფითი რადიკალური გამონათქვამისთვის; კენტი ფესვი აზრი აქვს ნებისმიერ რადიკალურ გამოხატვას.

5. ცოდნის პირველადი კონსოლიდაცია:

1. გამოთვალეთ: No No33.5; 33,6; 33,74 33,8 ზეპირად ა) ; ბ) ; in) ; გ) .

დ) წინა მაგალითებისგან განსხვავებით, ჩვენ ვერ დავაკონკრეტებთ რიცხვის ზუსტ მნიშვნელობას. მხოლოდ ცხადია, რომ ის 2-ზე მეტია, მაგრამ 3-ზე ნაკლები, ვინაიდან 2 4 \u003d 16 (ეს არის 17-ზე ნაკლები) და 3 4 \u003d 81 (ეს 17-ზე მეტი). გაითვალისწინეთ, რომ 24 ბევრად უფრო ახლოს არის 17-თან, ვიდრე 34-ზე, ამიტომ არის მიზეზი, რომ გამოვიყენოთ სავარაუდო ტოლობის ნიშანი:
2. იპოვეთ შემდეგი გამონათქვამების მნიშვნელობები.

მაგალითის გვერდით ჩასვით შესაბამისი ასო.

მცირე ინფორმაცია დიდი მეცნიერის შესახებ. რენე დეკარტი (1596-1650) ფრანგი დიდგვაროვანი, მათემატიკოსი, ფილოსოფოსი, ფიზიოლოგი, მოაზროვნე. რენე დეკარტმა ჩაუყარა საფუძველი ანალიტიკურ გეომეტრიას, შემოიღო ასოების აღნიშვნები x 2 , y 3 . ყველამ იცის დეკარტის კოორდინატები, რომლებიც განსაზღვრავენ ცვლადის ფუნქციას.

3 . ამოხსენით განტოლებები: ა) = -2; ბ) = 1; გ) = -4

გამოსავალი:ა) თუ = -2, მაშინ y = -8. ფაქტობრივად, მოცემული განტოლების ორივე ნაწილის კუბური უნდა იყოს. ვიღებთ: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. ბ) კამათით, როგორც ა მაგალითში), განტოლების ორივე მხარეს ვზრდით მეოთხე ხარისხამდე. ვიღებთ: x=1.

გ) აქ არ არის საჭირო მეოთხე ხარისხზე აწევა, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. რატომ? რადგან, განმარტებით 1, ლუწი ხარისხის ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი.
თქვენი ყურადღებისთვის რამდენიმე დავალებაა. როდესაც ამ ამოცანებს დაასრულებთ, გაიგებთ დიდი მათემატიკოსის სახელსა და გვარს. ამ მეცნიერმა 1637 წელს პირველმა შემოიტანა ფესვის ნიშანი.

6. ცოტა დავისვენოთ.

კლასი ხელებს მაღლა სწევს – ეს არის „დრო“.

თავი მოაბრუნა - ეს არის "ორი".

ხელები დაბლა, მოუთმენლად გაიხედე - ეს არის "სამი".

ხელები გვერდებზე უფრო გაფართოვდა "ოთხზე",

მათ ხელებზე ძალით დაჭერა არის "ხუთი".

ყველა ბიჭი უნდა დაჯდეს - ეს არის "ექვსი".

7. დამოუკიდებელი მუშაობა:

ვარიანტი: 2 ვარიანტი:

ბ) 3-. ბ) 12 -6.

2. ამოხსენით განტოლება: ა) x 4 \u003d -16; ბ) 0,02x6 -1,28=0; ა) x 8 \u003d -3; ბ) 0.3x 9 - 2.4 \u003d 0;

გ) = -2; გ) = 2

8. გამეორება:იპოვეთ განტოლების ფესვი = - x. თუ განტოლებას ერთზე მეტი ფესვი აქვს, პასუხში ჩაწერეთ ფესვებიდან უფრო მცირე.

9. რეფლექსია:რა ისწავლეთ გაკვეთილზე? რა იყო საინტერესო? რა იყო რთული?

X 4 =1 და ამოხსენით გრაფიკულად. ამისათვის, ერთ კოორდინატულ სისტემაში ვაშენებთ y \u003d x n ფუნქციის გრაფიკს სწორი ხაზით y \u003d 1 (ნახ. 164 ა). ისინი იკვეთება ორ წერტილში:

ისინი განტოლების ფესვებია x 4 \u003d 1.
ანალოგიურად კამათით, ჩვენ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს x 4 \u003d 16:

ახლა კი შევეცადოთ ამოხსნათ განტოლება x 4 \u003d 5; გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია ნახ. 164 ბ. ნათელია, რომ განტოლებას აქვს ორი ფესვი x 1 და x 2 და ეს რიცხვები, როგორც წინა ორ შემთხვევაში, ერთმანეთის საპირისპიროა. მაგრამ პირველი ორი განტოლებისთვის ფესვებინაპოვნი იქნა უპრობლემოდ (ისინი შეიძლება იპოვონ გრაფიკების გამოყენების გარეშე), მაგრამ არის პრობლემები განტოლებასთან x 4 \u003d 5: ნახაზის მიხედვით, ჩვენ არ ვაკონკრეტებთ ფესვების მნიშვნელობებს, მაგრამ შეგვიძლია მხოლოდ დაადგინეთ, რომ ერთი ფესვი მდებარეობს -1 წერტილის მარცხნივ, ხოლო მეორე - 1 წერტილის მარჯვნივ.
შეიძლება დადასტურდეს (ისევე როგორც ეს გაკეთდა ჩვენს Algebra-8 სახელმძღვანელოში l/b რიცხვისთვის), რომ x 1 და x 2 არის ირაციონალური რიცხვები (ანუ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადები).

პირველად რომ შეხვდნენ ასეთ სიტუაციას, მათემატიკოსები მიხვდნენ, რომ მათემატიკური ენით აღწერის გზა უნდა მოეფიქრებინათ. მათ განიხილეს ახალი სიმბოლო, რომელსაც უწოდეს მეოთხე ხარისხის ფესვი და ამ სიმბოლოს დახმარებით, განტოლების ფესვები x 4 \u003d 5 შემდეგნაირად დაიწერა: (წაიკითხეთ: "ხუთის მეოთხე ფესვი").

შენიშვნა 1.შეადარეთ ეს არგუმენტები § 17, 32 და 38 მსგავს არგუმენტებთან. ახალი ტერმინები და ახალი აღნიშვნები მათემატიკაში ჩნდება, როდესაც ისინი აუცილებელია ახალი მათემატიკური აღწერისთვის. მოდელები. ეს არის მათემატიკური ენის თავისებურებების ასახვა: მისი მთავარი ფუნქციაა არა კომუნიკაციური - კომუნიკაციისთვის, არამედ ორგანიზება - წარმატებული მუშაობის ორგანიზება მათემატიკური მოდელებით ცოდნის სხვადასხვა დარგში.

ჩვენ ვისაუბრეთ განტოლებაზე x 4 \u003d a, სადაც a > 0. თანაბარი წარმატებით, ჩვენ ასევე შეგვიძლია ვისაუბროთ განტოლებაზე x 4 \u003d a, სადაც a > 0 და n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი. მაგალითად, x 5 \u003d 1 განტოლების გრაფიკულად ამოხსნით, ვპოულობთ x \u003d 1 (ნახ. 165); x 5 "= 7 განტოლების ამოხსნით, ვადგენთ, რომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი xr, რომელიც მდებარეობს x ღერძზე 1 წერტილიდან ოდნავ მარჯვნივ (იხ. სურ. 165). xx რიცხვისთვის შემოგვაქვს აღნიშვნა Hh. .

ზოგადად, x n \u003d a განტოლების ამოხსნით, სადაც a> 0, n e N, n> 1, ვიღებთ ორ ფესვს ლუწი n-ის შემთხვევაში: (სურ. 164, გ); კენტი n-ის შემთხვევაში - ერთი ფესვი (იკითხება: „n-ე ხარისხის ფესვი რიცხვიდან a“). განტოლების x p \u003d 0 ამოხსნით, ჩვენ ვიღებთ ერთადერთ ფესვს x \u003d 0.

შენიშვნა 2.მათემატიკური ენაში, ისევე როგორც ჩვეულებრივ ენაში, ხდება, რომ ერთი და იგივე ტერმინი გამოიყენება სხვადასხვა ცნებებზე; ასე რომ, წინა წინადადებაში სიტყვა "ფესვი" გამოიყენება ორი მნიშვნელობით: განტოლების ფესვად (ასეთ ინტერპრეტაციას დიდი ხანია მიჩვეული ხართ) და რიცხვის l-ე ხარისხის ფესვი (ახალი). ინტერპრეტაცია). როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა, ტერმინის რომელი ინტერპრეტაცია არის განკუთვნილი.

ახლა ჩვენ მზად ვართ მივცეთ ზუსტი განმარტება.

განმარტება 1.არაუარყოფითი რიცხვის a (n = 2, 3.4, 5, ...) l-ე ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც n-ის ხარისხზე აყვანის შემთხვევაში მიიღება რიცხვი a.

ეს რიცხვი აღინიშნება, რიცხვს a ეწოდება ძირეული ნომერი, ხოლო რიცხვი n არის ძირეული ინდექსი.
თუ n \u003d 2, მაშინ ისინი ჩვეულებრივ არ ამბობენ "მეორე ხარისხის ფესვი", მაგრამ ამბობენ ""კვადრატული ფესვი". ამ შემთხვევაში, არ დაწეროთ ეს ის განსაკუთრებული შემთხვევაა, რომელიც კონკრეტულად მე-8 კლასის ალგებრის კურსზე სწავლობდით.

თუ n \u003d 3, მაშინ "მესამე ხარისხის ფესვის" ნაცვლად ისინი ხშირად ამბობენ "კუბის ფესვი". კუბის ფესვთან თქვენი პირველი გაცნობაც მე-8 კლასის ალგებრის კურსზე შედგა. ჩვენ გამოვიყენეთ კუბის ფესვი § 36-ში მე-6 მაგალითის ამოხსნისას.

ზოგადად, ეს არის იგივე მათემატიკური მოდელი (იგივე ურთიერთობა არაუარყოფით a და b რიცხვებს შორის), მაგრამ მხოლოდ მეორეა აღწერილი უფრო მარტივ ენაზე (იყენებს უფრო მარტივ სიმბოლოებს), ვიდრე პირველი.

მაგალითი 1გამოთვალეთ:

თუმცა, რიცხვის უფრო ზუსტი სავარაუდო მნიშვნელობა შეგიძლიათ იპოვოთ კალკულატორის გამოყენებით, რომელიც შეიცავს ფესვის ამოღების ოპერაციას, ის დაახლოებით უდრის
ფესვის ამოღების ოპერაცია ასევე განისაზღვრება უარყოფითი ფესვის რიცხვისთვის, მაგრამ მხოლოდ კენტი ფესვის მაჩვენებლის შემთხვევაში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტოლობა (-2)5 =-32 შეიძლება გადაიწეროს ექვივალენტური ფორმით, როგორც . აქ გამოიყენება შემდეგი განმარტება.

განმარტება 2.კენტი ხარისხის l-ის ფესვი უარყოფითი რიცხვიდან a (n \u003d 3.5, ...) არის უარყოფითი რიცხვი, რომელიც n-ის ხარისხზე ამაღლებისას იწვევს რიცხვს a.

ეს რიცხვი, როგორც განმარტება 1-ში, აღინიშნება , რიცხვი a არის ძირეული რიცხვი, რიცხვი n არის ძირეული ინდექსი.
Ისე,

ამრიგად, ლუწი ფესვს აქვს აზრი (ანუ განსაზღვრულია) მხოლოდ არაუარყოფითი რადიკალური გამონათქვამისთვის; კენტი ფესვი აზრი აქვს ნებისმიერ რადიკალურ გამოხატვას.
მაგალითი 2. განტოლებების ამოხსნა:

გამოსავალი:რა იქნება თუ ფაქტობრივად, მოცემული განტოლების ორივე ნაწილის კუბური უნდა იყოს. ჩვენ ვიღებთ:

ბ) კამათით, როგორც ა მაგალითში), განტოლების ორივე მხარეს ვზრდით მეოთხე ხარისხამდე. ჩვენ ვიღებთ:

გ) აქ არ არის საჭირო მეოთხე ხარისხზე აწევა, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. რატომ? რადგან, განმარტებით 1, ლუწი ხარისხის ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი.
დ) განტოლების ორივე მხარის მეექვსე ხარისხამდე აწევით მივიღებთ:

ა.გ. მორდკოვიჩის ალგებრა მე-10 კლასი

გაკვეთილის შინაარსი გაკვეთილის შეჯამებამხარდაჭერა ჩარჩო გაკვეთილის პრეზენტაცია ამაჩქარებელი მეთოდები ინტერაქტიული ტექნოლოგიები ივარჯიშე ამოცანები და სავარჯიშოები თვითშემოწმების სემინარები, ტრენინგები, შემთხვევები, კვესტები საშინაო დავალების განხილვის კითხვები რიტორიკული კითხვები სტუდენტებისგან ილუსტრაციები აუდიო, ვიდეო კლიპები და მულტიმედიაფოტოები, სურათები გრაფიკა, ცხრილები, სქემები იუმორი, ანეგდოტები, ხუმრობები, კომიქსების იგავ-არაკები, გამონათქვამები, კროსვორდები, ციტატები დანამატები რეფერატებისტატიების ჩიპები ცნობისმოყვარე თაღლითებისთვის სახელმძღვანელოები ძირითადი და ტერმინების დამატებითი ლექსიკონი სხვა სახელმძღვანელოების და გაკვეთილების გაუმჯობესებასახელმძღვანელოში არსებული შეცდომების გასწორებასახელმძღვანელოში ფრაგმენტის განახლება გაკვეთილზე ინოვაციის ელემენტების მოძველებული ცოდნის ახლით ჩანაცვლება მხოლოდ მასწავლებლებისთვის სრულყოფილი გაკვეთილებისადისკუსიო პროგრამის წლის მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები კალენდარული გეგმა ინტეგრირებული გაკვეთილები

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "ნამდვილი რიცხვის n-მე ფესვი"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-11 კლასისთვის
ალგებრული ამოცანები პარამეტრებთან, 9–11 კლასები
"ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის 10 და 11 კლასებისთვის"

n ხარისხის ფესვი. წარსულის გამეორება.

ბიჭებო, დღევანდელი გაკვეთილის თემა ე.წ "ნამდვილი რიცხვის n-ე ფესვი".
მე-8 კლასში შევისწავლეთ ნამდვილი რიცხვის კვადრატული ფესვი. კვადრატული ფესვი ასოცირდება $y=x^2$-ის ფორმის ფუნქციასთან. ბიჭებო, გახსოვთ როგორ გამოვთვალეთ კვადრატული ფესვები და რა თვისებები ჰქონდა? თავად გაიმეორეთ ეს თემა.
განვიხილოთ $y=x^4$ ფორმის ფუნქცია და გამოვსახოთ მისი გრაფიკი.

ახლა გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება: $x^4=16$.
მოდით გავავლოთ სწორი ხაზი $y=16$ ფუნქციის ჩვენს გრაფიკზე და ვნახოთ, რომელ წერტილებზე იკვეთება ჩვენი ორი გრაფიკი.
ფუნქციის გრაფიკი ნათლად აჩვენებს, რომ ჩვენ გვაქვს ორი ამონახსნი. ფუნქციები ორ წერტილში იკვეთება კოორდინატებთან (-2;16) და (2;16). ჩვენი წერტილების აბსციები არის ჩვენი განტოლების ამონახსნები: $x_1=-2$ და $x_2=2$. ასევე ადვილია $x^4=1$ განტოლების ფესვების პოვნა, ცხადია, $x_1=-1$ და $x_2=1$.
რა მოხდება, თუ არსებობს განტოლება $x^4=7$.
მოდით დავხატოთ ჩვენი ფუნქციები:
ჩვენი გრაფიკი ნათლად აჩვენებს, რომ განტოლებას ასევე აქვს ორი ფესვი. ისინი სიმეტრიულები არიან y-ღერძის მიმართ, ანუ საპირისპიროა. ფუნქციების გრაფიკიდან ზუსტი ამოხსნის პოვნა შეუძლებელია. ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ ვთქვათ, რომ ჩვენი ამონახსნები არის მოდულით 2-ზე ნაკლები, მაგრამ 1-ზე მეტი. ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ჩვენი ფესვები არის ირაციონალური რიცხვები.
ასეთი პრობლემის წინაშე მათემატიკოსებს მოუწიათ მისი აღწერა. მათ შემოიტანეს ახალი აღნიშვნა: $\sqrt()$, რომელსაც უწოდეს მეოთხე ფესვი. მაშინ ჩვენი განტოლების ფესვები $x^4=7$ დაიწერება ამ ფორმით: $x_1=-\sqrt(7)$ და $x_2=\sqrt(7)$. იკითხება შვიდის მეოთხე ფესვივით.
ჩვენ ვისაუბრეთ $x^4=a$ ფორმის განტოლებაზე, სადაც $a>0$ $(a=1,7,16)$. ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ფორმის განტოლებები: $x^n=a$, სადაც $a>0$, n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.
ყურადღება უნდა მივაქციოთ ხარისხს x-ზე, ხარისხი ლუწია თუ კენტი - იცვლება ამონახსნების რაოდენობა. მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითს. ამოხსნათ განტოლება $x^5=8$. მოდით ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკები:
ფუნქციების გრაფიკი ნათლად აჩვენებს, რომ ჩვენს შემთხვევაში გვაქვს მხოლოდ ერთი გამოსავალი. გამოსავალი ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც $\sqrt(8)$. $x^5=a$-ის ფორმის განტოლების ამოხსნით და მთელი y ღერძის გასწვრივ, ადვილი გასაგებია, რომ ამ განტოლებას ყოველთვის ექნება ერთი ამონახსნი. ამ შემთხვევაში, a-ს მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები.

n ხარისხის ფესვი. განმარტება

განმარტება. არაუარყოფითი a რიცხვის n-ე ხარისხის ფესვი ($n=2,3,4…$) არის ისეთი არაუარყოფითი რიცხვი, n-ის ხარისხზე აყვანისას მიიღება რიცხვი a.

ეს რიცხვი აღინიშნება როგორც $\sqrt[n](a)$. რიცხვს a ეწოდება ძირეული რიცხვი, n არის ფესვის ინდექსი.

მეორე და მესამე ხარისხის ფესვებს შესაბამისად კვადრატული და კუბური ფესვები ეწოდება. მათ მერვე და მეცხრე კლასში ვსწავლობდით.
თუ $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, მაშინ:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
არაუარყოფითი რიცხვის ფესვის პოვნის ოპერაციას ეწოდება "ფესვის მოპოვება".
ექსპონენტაცია და ფესვის ამოღება იგივე დამოკიდებულებაა:

ბიჭებო, გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ცხრილში მხოლოდ დადებითი რიცხვებია წარმოდგენილი. განმარტებაში ჩვენ განვსაზღვრეთ, რომ ფესვი აღებულია მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან a. შემდეგი, ჩვენ გავაკეთებთ განმარტებებს, როდესაც შესაძლებელი იქნება ფესვის ამოღება უარყოფითი რიცხვიდან a.

n ხარისხის ფესვი. გადაწყვეტის მაგალითები

გამოთვალეთ:
ა) $\sqrt(64)$.
გამოსავალი: $\sqrt(64)=8$, რადგან $8>0$ და $8^2=64$.

ბ) $\sqrt(0.064)$.
გამოსავალი: $\sqrt(0.064)=0.4$, რადგან $0.4>0$ და $0.4^3=0.064$.

გ) $\sqrt(0)$.
გამოსავალი: $\sqrt(0)=0$.

დ) $\sqrt(34)$.
გამოსავალი: ამ მაგალითში ჩვენ ვერ გავარკვიეთ ზუსტი მნიშვნელობა, ჩვენი რიცხვი ირაციონალურია. მაგრამ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის 2-ზე მეტია და 3-ზე ნაკლები, რადგან 2-დან მე-5 ხარისხამდე არის 32, ხოლო 3-დან მე-5 ხარისხამდე არის 243. 34 დევს ამ რიცხვებს შორის. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ სავარაუდო მნიშვნელობა კალკულატორის გამოყენებით, რომელსაც შეუძლია $\sqrt(34)≈2.02$ ფესვების გამოთვლა მეათასედის სიზუსტით.
ჩვენი განმარტებით, ჩვენ შევთანხმდით n-ე ხარისხის ფესვების გამოთვლაზე მხოლოდ დადებითი რიცხვებიდან. გაკვეთილის დასაწყისში ვნახეთ მაგალითი იმისა, რომ უარყოფითი რიცხვებიდან შეგიძლიათ ამოიღოთ n-ე ხარისხის ფესვები. ჩვენ განვიხილეთ ფუნქციის კენტი მაჩვენებლები და ახლა მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე დაზუსტება.

განმარტება. უარყოფითი a რიცხვიდან კენტი n ხარისხის ფესვი (n = 3,5,7,9 ...) არის ისეთი უარყოფითი რიცხვი, როცა n-ის ხარისხზე აწევა, მიიღება a.

აღნიშვნა ჩვეულებრივ გამოიყენება იგივე.
თუ $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
ლუწი ფესვს აქვს აზრი მხოლოდ დადებითი ძირის რიცხვისთვის, კენტი ფესვი აზრი აქვს ნებისმიერი ძირეული რიცხვისთვის.

მაგალითები.
ა) ამოხსენით განტოლებები: $\sqrt(3x+3)=-3$.
გამოსავალი: თუ $\sqrt(y)=-3$ მაშინ $y=-27$. ანუ, ჩვენი განტოლების ორივე მხარე კუბური უნდა იყოს.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

ბ) ამოხსენით განტოლებები: $\sqrt(2x-1)=1$.
აწიეთ ორივე ნაწილი მეოთხე ხარისხზე:
$2x-1=1$.
$2x=2$.
$x=1$.

გ) ამოხსენით განტოლებები: $\sqrt(4x-1)=-5$.
ამოხსნა: ჩვენი განმარტებით, ლუწი ხარისხის ფესვი შეიძლება ავიღოთ მხოლოდ დადებითი რიცხვიდან და გვეძლევა უარყოფითი, მაშინ ფესვები არ არის.

დ) ამოხსენით განტოლებები: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
ამოხსნა: აწიეთ განტოლების ორივე მხარე მეხუთე ხარისხამდე:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ და $x_2=3$.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1. გამოთვალეთ:
ა) $\sqrt(81)$.
ბ) $\sqrt(0.0016)$.
გ) $\sqrt(1)$.
დ) $\sqrt(70)$.
2. ამოხსენით განტოლებები:
ა) $\sqrt(2x+6)=2$.
ბ) $\sqrt(3x-5)=-1$.
გ) $\sqrt(4x-8)=-4$.
დ) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

ან კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით, როგორიცაა:

(x 2 -4) * (x 2 +4) \u003d 0.

ორი ფაქტორის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი მათგანი მაინც ნულის ტოლია.

გამოთქმა x 2 +4 არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ რჩება მხოლოდ (x 2 -4)=0.

ვხსნით, ვიღებთ ორ პასუხს.

პასუხი: x=-2 და x=2.

მივიღეთ, რომ განტოლებას x 4 \u003d 16 აქვს მხოლოდ 2 რეალური ფესვი. ეს არის მეოთხე ხარისხის ფესვები 16 რიცხვიდან. უფრო მეტიც, დადებით ფესვს 16 რიცხვიდან მე-4 ხარისხის არითმეტიკული ფესვი ეწოდება. ისინი აღნიშნავენ 4√16-ს. ეს არის 4√16=2.

განმარტება

n>=2 ბუნებრივი ხარისხის არითმეტიკული ფესვი არაუარყოფითი a რიცხვიდან არის რაღაც არაუარყოფითი რიცხვი, n-ის ხარისხზე აყვანისას მიიღება რიცხვი a.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ნებისმიერი არაუარყოფითი a და ბუნებრივი n-სთვის, განტოლებას x n = a ექნება ერთი არაუარყოფითი ფესვი. სწორედ ამ ფესვს უწოდებენ n-ე ხარისხის არითმეტიკულ ფესვს a რიცხვიდან.

n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვი a რიცხვიდან აღინიშნება შემდეგნაირად n√a.

რიცხვს a ამ შემთხვევაში ეწოდება ძირეული გამოხატულება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც n = 2, ისინი არ წერენ დუმს, არამედ უბრალოდ წერენ √a.

მეორე და მესამე ხარისხის არითმეტიკული ფესვები აქვს მათი განსაკუთრებული სახელები.

მეორე ხარისხის არითმეტიკული ფესვი ეწოდება კვადრატულ ფესვს, ხოლო მესამე ხარისხის არითმეტიკულ ფესვს - კუბურ ფესვს.

მხოლოდ არითმეტიკული ფესვის განმარტების გამოყენებით შეიძლება დავამტკიცოთ, რომ n√a უდრის b. ამისათვის თქვენ უნდა აჩვენოთ, რომ:

1. b არის ნულის ტოლი ან მეტი.
2. b n =a.

მაგალითად, 3√(64) = 4, რადგან 1. 4>0, 2. 4 3 =64.

შედეგი არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრებიდან.

(n√a) n = a.
n√(a n) = a.

მაგალითად, (5√2) 5 = 2.

n-ე ფესვის ამოღება

n-ე ხარისხის ფესვის ამოღება არის მოქმედება, რომლითაც გვხვდება n-ე ხარისხის ფესვი. n-ე ფესვის აღება არის n-ე ხარისხზე აწევის ინვერსია.

განვიხილოთ მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება x 3 = -27.

გადავიწეროთ ეს განტოლება როგორც (-x) 3 =27.

ჩვენ ვაყენებთ y \u003d -x, შემდეგ y 3 \u003d 27. ამ განტოლებას აქვს ერთი დადებითი ფესვი y= 3√27 = 3.

ამ განტოლებას არ აქვს უარყოფითი ფესვები, რადგან y 3

მივიღებთ, რომ განტოლებას y 3 \u003d 27 აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

თავდაპირველ განტოლებას რომ დავუბრუნდეთ, აღმოვაჩენთ, რომ მას ასევე აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი x=-y=-3.

ფესვის ხარისხი ნრეალური რიცხვიდან ა, სად ნ- ნატურალური რიცხვი, ასეთ ნამდვილ რიცხვს უწოდებენ x, ნრომლის სიმძლავრე უდრის ა.

ხარისხის ფესვი ნნომრიდან ამითითებულია სიმბოლოთი. ამ განსაზღვრების მიხედვით.

ფესვის პოვნა ნმერვე ხარისხიდან აფესვის ექსტრაქციას უწოდებენ. ნომერი აეწოდება ძირეული რიცხვი (გამოხატვა), ნ- ფესვის მაჩვენებელი. კენტისთვის ნარის ფესვი ნ-ე ხარისხი ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის ა. თუნდაც ნარის ფესვი ნ-ე ხარისხი მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვისთვის ა. ფესვის გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად ნმერვე ხარისხიდან ა, შემოტანილია არითმეტიკული ფესვის ცნება ნმერვე ხარისხიდან ა.

N ხარისხის არითმეტიკული ფესვის კონცეფცია

თუ და ნ- ნატურალური რიცხვი მეტი 1 , მაშინ არსებობს და მხოლოდ ერთი, არაუარყოფითი რიცხვი X, ისეთი, რომ თანასწორობა დაცულია. ეს ნომერი Xარითმეტიკული ფესვი ეწოდება ნარაუარყოფითი რიცხვის ე ხარისხი ადა აღინიშნება. ნომერი აუწოდა ძირეული ნომერი ნ- ფესვის მაჩვენებელი.

ასე რომ, განმარტების მიხედვით, აღნიშვნა, სადაც , ნიშნავს, პირველ რიგში, რომ და, მეორე, რომ, ე.ი. .

ხარისხის ცნება რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით: ნება აარის რეალური რიცხვი და ნარის ერთზე მეტი ბუნებრივი რიცხვი ნ- რიცხვის ხარისხში ადაურეკეთ სამუშაოს ნმამრავლები, რომელთაგან თითოეული უდრის ა, ე.ი. . ნომერი ა- ხარისხის საფუძველი, ნ- ექსპონენტი. მაჩვენებელი ნულოვანი მაჩვენებლით: განსაზღვრებით, თუ , მაშინ . რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე 0 აზრი არ აქვს. სიმძლავრე უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით: განსაზღვრებით, თუ და ნარის ნატურალური რიცხვი, მაშინ . ხარისხი წილადის მაჩვენებლით: განსაზღვრებით, თუ და ნ- ნატურალური რიცხვი, მარის მთელი რიცხვი, მაშინ .

ოპერაციები ფესვებით.

ქვემოთ მოცემულ ყველა ფორმულაში სიმბოლო ნიშნავს არითმეტიკულ ფესვს (რადიკალური გამოხატულება დადებითია).

1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და გამყოფის ფესვების შეფარდებას:

3. ფესვის ხარისხზე აყვანისას საკმარისია ძირის რიცხვის ამ ხარისხზე აყვანა:

4. თუ ფესვის ხარისხს გაზრდით n-ჯერ და ერთდროულად აზრდით ფესვის რიცხვს n-ე ხარისხამდე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ ფესვის ხარისხს n-ჯერ შეამცირებთ და ამავდროულად რადიკალური რიცხვიდან ამოიღებთ n-ე ხარისხის ფესვს, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხის ცნების გაფართოება. ჯერჯერობით ხარისხები მხოლოდ ბუნებრივი მაჩვენებლით განვიხილეთ; მაგრამ ძალებთან და ფესვებთან ოპერაციებმა ასევე შეიძლება გამოიწვიოს უარყოფითი, ნულოვანი და წილადი მაჩვენებლები. ყველა ეს მაჩვენებელი მოითხოვს დამატებით განმარტებას.

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით. უარყოფითი (მთლიანი) მაჩვენებლის მქონე ზოგიერთი რიცხვის სიმძლავრე განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის სიმძლავრეზე, მაჩვენებლით, რომელიც უდრის უარყოფითი მაჩვენებლის აბსოლუტურ მნიშვნელობას:

ახლა ფორმულა a m: a n \u003d a m - n შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ n-ზე მეტი m, არამედ n-ზე ნაკლები m-ისთვის.

მაგალითი a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

თუ გვინდა, რომ ფორმულა a m: a n = a m - n მართებული იყოს m = n-ისთვის, უნდა განვსაზღვროთ ნულოვანი ხარისხი.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით. ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით არის 1.

მაგალითები. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ რეალური რიცხვი a ავიყვანოთ m/n სიმძლავრემდე, თქვენ უნდა ამოიღოთ n-ე ხარისხის ფესვი ამ რიცხვის m-დან a:

გამოთქმების შესახებ, რომლებსაც აზრი არ აქვს. რამდენიმე ასეთი გამოთქმა არსებობს.

შემთხვევა 1

სადაც a ≠ 0 არ არსებობს.

მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ x არის გარკვეული რიცხვი, მაშინ, გაყოფის მოქმედების განმარტების შესაბამისად, გვაქვს: a = 0 · x, ე.ი. a = 0, რომელიც ეწინააღმდეგება პირობას: a ≠ 0

შემთხვევა 2

ნებისმიერი ნომერი.

მართლაც, თუ ჩავთვლით, რომ ეს გამოხატულება ტოლია x რიცხვის, მაშინ გაყოფის მოქმედების განმარტების მიხედვით, გვაქვს: 0 = 0 · x. მაგრამ ეს ტოლობა მოქმედებს ნებისმიერი x რიცხვისთვის, რომელიც უნდა დადასტურდეს.

მართლაც,

გამოსავალი. განვიხილოთ სამი ძირითადი შემთხვევა:

1) x = 0 - ეს მნიშვნელობა არ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას

2) x > 0-სთვის მივიღებთ: x / x = 1, ე.ი. 1 = 1, აქედან გამომდინარეობს, რომ x არის ნებისმიერი რიცხვი; მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ჩვენს შემთხვევაში x > 0, პასუხი არის x > 0;

3) x-ზე< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის. ასე რომ x > 0.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი