ეს გაკვეთილი მოიცავს ძირითად ინფორმაციას რაციონალური გამონათქვამებისა და მათი გარდაქმნების შესახებ, ასევე რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაციის მაგალითებს. ეს თემა აჯამებს ჩვენ მიერ აქამდე შესწავლილ თემებს. რაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნები მოიცავს შეკრებას, გამოკლებას, გამრავლებას, გაყოფას, ალგებრული წილადების ხარისხზე აწევას, შემცირებას, ფაქტორიზაციას და ა.შ. გაკვეთილის ფარგლებში განვიხილავთ რა არის რაციონალური გამოხატულება და ასევე გავაანალიზებთ მაგალითებს მათი გარდაქმნისთვის. .

Თემა:ალგებრული წილადები. არითმეტიკული მოქმედებები ალგებრულ წილადებზე

გაკვეთილი:ძირითადი ინფორმაცია რაციონალური გამონათქვამებისა და მათი გარდაქმნების შესახებ

განმარტება

რაციონალური გამოხატულებაარის გამოსახულება, რომელიც შედგება რიცხვებისგან, ცვლადებისაგან, არითმეტიკული ოპერაციებისა და სიმძლავრისგან.

განვიხილოთ რაციონალური გამოხატვის მაგალითი:

რაციონალური გამონათქვამების განსაკუთრებული შემთხვევები:

1 ხარისხი: ;

2. მონომიური: ;

3. წილადი: .

რაციონალური გამოხატვის ტრანსფორმაციარაციონალური გამოხატვის გამარტივებაა. რაციონალური გამონათქვამების კონვერტაციისას მოქმედებების თანმიმდევრობა: ჯერ არის მოქმედებები ფრჩხილებში, შემდეგ გამრავლება (გაყოფა) და შემდეგ შეკრება (გამოკლება).

განვიხილოთ რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაციის რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1

გამოსავალი:

მოდით გადავჭრათ ეს მაგალითი ეტაპობრივად. ფრჩხილებში მოცემული მოქმედება ჯერ შესრულებულია.

პასუხი:

მაგალითი 2

გამოსავალი:

პასუხი:

მაგალითი 3

გამოსავალი:

პასუხი: .

Შენიშვნა:შესაძლოა, ამ მაგალითის დანახვაზე გაგიჩნდათ იდეა: შეამცირეთ წილადი საერთო მნიშვნელამდე შემცირებამდე. მართლაც, აბსოლუტურად სწორია: ჯერ სასურველია გამოხატვის მაქსიმალურად გამარტივება, შემდეგ კი მისი გარდაქმნა. შევეცადოთ იგივე მაგალითი გადავჭრათ მეორე გზით.

როგორც ხედავთ, პასუხი აბსოლუტურად მსგავსი აღმოჩნდა, მაგრამ გამოსავალი უფრო მარტივი აღმოჩნდა.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედეთ რაციონალური გამონათქვამები და მათი გარდაქმნები, ისევე როგორც ამ გარდაქმნების რამდენიმე კონკრეტული მაგალითი.

ბიბლიოგრაფია

1. ბაშმაკოვი მ.ი. ალგებრა მე-8 კლასი. - მ.: განმანათლებლობა, 2004 წ.

2. დოროფეევი გ.ვ., სუვოროვა ს.ბ., ბუნიმოვიჩი ე.ა. და სხვ. ალგებრა 8. - მე-5 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2010 წ.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "რაციონალური გამონათქვამების კონვერტაცია. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები. ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-8 კლასისთვის
სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის Muravina G.K. სახელმძღვანელო მაკარიჩევის სახელმძღვანელოსთვის Yu.N.

რაციონალური გამოხატვის ცნება

„რაციონალური გამოხატვის“ ცნება „რაციონალური წილადის“ ცნების მსგავსია. გამოთქმა ასევე წარმოდგენილია წილადის სახით. მხოლოდ ჩვენს მრიცხველებში არის არა რიცხვები, არამედ სხვადასხვა სახის გამონათქვამები. ყველაზე ხშირად ეს არის მრავალწევრი. ალგებრული წილადი არის წილადური გამოხატულება, რომელიც შედგება რიცხვებისა და ცვლადებისაგან.

დაწყებით კლასებში მრავალი ამოცანის ამოხსნისას, არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების შემდეგ მივიღეთ კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობები, ყველაზე ხშირად წილადები. ახლა, მოქმედებების შესრულების შემდეგ, მივიღებთ ალგებრულ წილადებს. ბიჭებო, გახსოვდეთ: სწორი პასუხის მისაღებად, მაქსიმალურად უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა, რომლითაც მუშაობთ. ადამიანმა უნდა მიიღოს ყველაზე მცირე ხარისხი; უნდა შემცირდეს იდენტური გამონათქვამები მრიცხველებში და მნიშვნელებში; გამონათქვამებით, რომლებიც შეიძლება დაიშალოს, თქვენ ეს უნდა გააკეთოთ. ანუ მთელი რიგი მოქმედებების შესრულების შემდეგ უნდა მივიღოთ უმარტივესი შესაძლო ალგებრული წილადი.

რაციონალური გამონათქვამებით მოქმედებების თანმიმდევრობა

რაციონალური გამონათქვამებით მოქმედებების შესრულების პროცედურა იგივეა რაც არითმეტიკული მოქმედებებისას. ჯერ კეთდება ფრჩხილებში მოქმედებები, შემდეგ გამრავლება და გაყოფა, გაძლიერება და ბოლოს შეკრება და გამოკლება.

იდენტურობის დამტკიცება ნიშნავს იმის ჩვენებას, რომ ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის მარჯვენა და მარცხენა მხარეები ტოლია. პირადობის დამადასტურებელი მაგალითები ბევრია.

იდენტობის ამოხსნის ძირითადი მეთოდებია:

• გადააქციეთ მარცხენა მხარე მარჯვენასთან თანასწორად.
• გადააქციეთ მარჯვენა მხარე მარცხენასთან თანასწორად.
• ცალ-ცალკე გადააქციეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები, სანამ ერთი და იგივე გამოხატულება არ მიიღება.
• მარჯვენა მხარეს აკლდება მარცხენა მხარეს და შედეგი უნდა იყოს ნული.

რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაცია. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 1
დაამტკიცეთ ვინაობა:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

გამოსავალი.
ცხადია, ჩვენ გვჭირდება მარცხენა მხარის გარდაქმნა.
ჯერ ფრჩხილები გავაკეთოთ:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))(a+1 )(5a-1))$

.

აუცილებელია სცადოთ საერთო მულტიპლიკატორების მაქსიმალური ამოღება.
2) გადავცვალოთ გამონათქვამი, რომლითაც ვყოფთ:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) შეასრულეთ გაყოფის ოპერაცია:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a) +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) შეასრულეთ დამატების ოპერაცია:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

მარჯვენა და მარცხენა ნაწილები ემთხვევა. ასე რომ, ვინაობა დადასტურებულია.
ბიჭებო, ამ მაგალითის ამოხსნისას დაგვჭირდა ბევრი ფორმულის და ოპერაციის ცოდნა. ჩვენ ვხედავთ, რომ ტრანსფორმაციის შემდეგ დიდი გამონათქვამი გადაიქცა სრულიად მცირედ. თითქმის ყველა პრობლემის გადაჭრისას, ტრანსფორმაციები ჩვეულებრივ იწვევს მარტივ გამონათქვამებს.

მაგალითი 2
გამოთქმის გამარტივება:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

გამოსავალი.
დავიწყოთ პირველი ფრჩხილებით.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. გადავცვალოთ მეორე ფრჩხილები.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. გავაკეთოთ გაყოფა.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

პასუხი: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

მაგალითი 3
Მიყევი ამ ნაბიჯებს:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

გამოსავალი.
როგორც ყოველთვის, დაიწყეთ ფრჩხილებით.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)(k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. ახლა გავაკეთოთ გაყოფა.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. გამოვიყენოთ თვისება: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. შევასრულოთ გამოკლების ოპერაცია.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

როგორც ადრე ვთქვით, აუცილებელია წილადის მაქსიმალურად გამარტივება.
პასუხი: $\frac(k)(k-4)$.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1. დაამტკიცეთ ვინაობა:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b) )(9b-3b^2)=b+4$.

2. გაამარტივე გამოთქმა:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. მიჰყევით ნაბიჯებს:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

ეს გაკვეთილი მოიცავს ძირითად ინფორმაციას რაციონალური გამონათქვამებისა და მათი გარდაქმნების შესახებ, ასევე რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაციის მაგალითებს. ეს თემა აჯამებს ჩვენ მიერ აქამდე შესწავლილ თემებს. რაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნები მოიცავს შეკრებას, გამოკლებას, გამრავლებას, გაყოფას, ალგებრული წილადების ხარისხზე აწევას, შემცირებას, ფაქტორიზაციას და ა.შ. გაკვეთილის ფარგლებში განვიხილავთ რა არის რაციონალური გამოხატულება და ასევე გავაანალიზებთ მაგალითებს მათი გარდაქმნისთვის. .

Თემა:ალგებრული წილადები. არითმეტიკული მოქმედებები ალგებრულ წილადებზე

გაკვეთილი:ძირითადი ინფორმაცია რაციონალური გამონათქვამებისა და მათი გარდაქმნების შესახებ

განმარტება

რაციონალური გამოხატულებაარის გამოსახულება, რომელიც შედგება რიცხვებისგან, ცვლადებისაგან, არითმეტიკული ოპერაციებისა და სიმძლავრისგან.

განვიხილოთ რაციონალური გამოხატვის მაგალითი:

რაციონალური გამონათქვამების განსაკუთრებული შემთხვევები:

1 ხარისხი: ;

2. მონომიური: ;

3. წილადი: .

რაციონალური გამოხატვის ტრანსფორმაციარაციონალური გამოხატვის გამარტივებაა. რაციონალური გამონათქვამების კონვერტაციისას მოქმედებების თანმიმდევრობა: ჯერ არის მოქმედებები ფრჩხილებში, შემდეგ გამრავლება (გაყოფა) და შემდეგ შეკრება (გამოკლება).

განვიხილოთ რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაციის რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1

გამოსავალი:

მოდით გადავჭრათ ეს მაგალითი ეტაპობრივად. ფრჩხილებში მოცემული მოქმედება ჯერ შესრულებულია.

პასუხი:

მაგალითი 2

გამოსავალი:

პასუხი:

მაგალითი 3

გამოსავალი:

პასუხი: .

Შენიშვნა:შესაძლოა, ამ მაგალითის დანახვაზე გაგიჩნდათ იდეა: შეამცირეთ წილადი საერთო მნიშვნელამდე შემცირებამდე. მართლაც, აბსოლუტურად სწორია: ჯერ სასურველია გამოხატვის მაქსიმალურად გამარტივება, შემდეგ კი მისი გარდაქმნა. შევეცადოთ იგივე მაგალითი გადავჭრათ მეორე გზით.

როგორც ხედავთ, პასუხი აბსოლუტურად მსგავსი აღმოჩნდა, მაგრამ გამოსავალი უფრო მარტივი აღმოჩნდა.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედეთ რაციონალური გამონათქვამები და მათი გარდაქმნები, ისევე როგორც ამ გარდაქმნების რამდენიმე კონკრეტული მაგალითი.

ბიბლიოგრაფია

1. ბაშმაკოვი მ.ი. ალგებრა მე-8 კლასი. - მ.: განმანათლებლობა, 2004 წ.

2. დოროფეევი გ.ვ., სუვოროვა ს.ბ., ბუნიმოვიჩი ე.ა. და სხვ. ალგებრა 8. - მე-5 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2010 წ.

რაციონალური გამონათქვამები და წილადები არის ალგებრის მთელი კურსის ქვაკუთხედი. ვინც ისწავლის ასეთ გამონათქვამებთან მუშაობას, მათ გამარტივებას და ფაქტორებს, ფაქტობრივად, შეძლებს ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრას, რადგან გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ნებისმიერი სერიოზული განტოლების, უთანასწორობის და თუნდაც სიტყვიერი პრობლემის განუყოფელი ნაწილია.

ამ ვიდეო გაკვეთილში ჩვენ ვნახავთ, თუ როგორ სწორად გამოვიყენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები რაციონალური გამონათქვამებისა და წილადების გასამარტივებლად. მოდით ვისწავლოთ ამ ფორმულების ნახვა, სადაც ერთი შეხედვით არაფერია. ამავდროულად, ჩვენ ვიმეორებთ ისეთ მარტივ ხრიკს, როგორიცაა კვადრატული ტრინომის ფაქტორებად გადაქცევა დისკრიმინანტის საშუალებით.

როგორც თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით ჩემს უკან ფორმულებიდან, დღეს ჩვენ შევისწავლით შემოკლებული გამრავლების ფორმულებს, უფრო სწორად, არა თავად ფორმულებს, არამედ მათ გამოყენებას რთული რაციონალური გამონათქვამების გამარტივებისა და შემცირებისთვის. მაგრამ, სანამ მაგალითების ამოხსნაზე გადავიდოდეთ, მოდით უფრო ახლოს გადავხედოთ ამ ფორმულებს ან გავიხსენოთ ისინი:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ არის კვადრატების სხვაობა;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ არის ჯამის კვადრატი;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ არის კვადრატული სხვაობა;
4. $((a)^(3))+((ბ)^(3))=\left(a+b \მარჯვნივ)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ არის კუბების ჯამი;
5. $((a)^(3))-((ბ)^(3))=\მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ არის კუბების სხვაობა.

აქვე მინდა აღვნიშნო, რომ ჩვენი სასკოლო განათლების სისტემა ისეა შექმნილი, რომ სწორედ ამ თემის შესწავლით, ე.ი. რაციონალურ გამონათქვამებს, ისევე როგორც ფესვებს, მოდულებს, ყველა სტუდენტს აქვს იგივე პრობლემა, რასაც ახლა აგიხსნით.

ფაქტია, რომ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების შესწავლის დასაწყისშივე და, შესაბამისად, წილადების შემცირების მოქმედებები (ეს ეხება მე-8 კლასს), მასწავლებლები ასე ამბობენ: ”თუ რამე გაუგებარია თქვენთვის, მაშინ არ ინერვიულოთ. , ამ თემას არაერთხელ დავუბრუნდებით, უმაღლესში აუცილებლად. ჩვენ ამას მოგვიანებით გავარკვევთ." მაშ, მაშინ, 9-10 კლასების მიჯნაზე, იგივე მასწავლებლები უხსნიან იმავე მოსწავლეებს, რომლებმაც ჯერ კიდევ არ იციან რაციონალური წილადების ამოხსნა, დაახლოებით ასე: „სად იყავი წინა ორი წელი? იგივეს სწავლობდნენ მე-8 კლასში ალგებრაში! რა შეიძლება იყოს აქ გაუგებარი? ეს ასე აშკარაა! ”

თუმცა, ჩვეულებრივი სტუდენტებისთვის, ასეთი ახსნა სულაც არ არის ადვილი: მათ ჯერ კიდევ ჰქონდათ თავში არეულობა, ამიტომ ახლა გავაანალიზებთ ორ მარტივ მაგალითს, რომლის საფუძველზეც ვნახავთ, თუ როგორ უნდა გამოვყოთ ეს გამონათქვამები რეალურ პრობლემებში, რომელიც მიგვიყვანს გამრავლების მოკლე ფორმულებამდე და როგორ გამოვიყენოთ მოგვიანებით რთული რაციონალური გამონათქვამების გარდასახვა.

მარტივი რაციონალური წილადების შემცირება

დავალება #1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

პირველი, რაც უნდა ვისწავლოთ, არის ზუსტი კვადრატებისა და უმაღლესი ძალების გარჩევა ორიგინალურ გამონათქვამებში, რის საფუძველზეც შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულები. Მოდი ვნახოთ:

მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა ამ ფაქტების გათვალისწინებით:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))((\ მარცხნივ(3((y)^(2)) \მარჯვნივ))^(2))-((\მარცხნივ(4x \მარჯვნივ))^(2))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(3 ((y)^(2))+4x \მარჯვნივ))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

პასუხი: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

დავალება #2

გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

აქ გასამარტივებელი არაფერია, რადგან მრიცხველი არის მუდმივი, მაგრამ მე შევთავაზე ეს პრობლემა ზუსტად ისე, რომ თქვენ ისწავლოთ თუ როგორ უნდა მოაწყოთ ორი ცვლადის შემცველი პოლინომები. თუ მის ნაცვლად ქვემოთ ეწერა მრავალწევრი, როგორ დავშალოთ იგი?

\[((x)^(2))+5x-6=\მარცხნივ(x-... \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-... \მარჯვნივ)\]

მოდით ამოვხსნათ განტოლება და ვიპოვოთ $x$, რომელიც შეგვიძლია დავაყენოთ წერტილების ნაცვლად:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ ტრინომიალი შემდეგნაირად:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+6 \მარჯვნივ)\]

ვისწავლეთ კვადრატული ტრინომით მუშაობა - ამისთვის მოგვიწია ვიდეო გაკვეთილის ჩაწერა. მაგრამ რა მოხდება, თუ $x$-ისა და მუდმივის გარდა არის $y$? შევხედოთ მათ, როგორც კოეფიციენტების კიდევ ერთ ელემენტს, ე.ი. მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა შემდეგნაირად:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

ჩვენ ვწერთ ჩვენი კვადრატული კონსტრუქციის დაშლას:

\[\მარცხნივ(x-y \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+6y \მარჯვნივ)\]

მთლიანობაში, თუ დავუბრუნდებით თავდაპირველ გამონათქვამს და გადავწერთ მას ცვლილებების გათვალისწინებით, მივიღებთ შემდეგს:

\[\frac(8)(\ მარცხნივ(x-y \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+6y \მარჯვნივ))\]

რას გვაძლევს ასეთი ჩანაწერი? არაფერი, რადგან მისი შემცირება შეუძლებელია, არ მრავლდება და არ იყოფა არაფერზე. თუმცა, როგორც კი ეს წილადი აღმოჩნდება უფრო რთული გამოხატვის განუყოფელი ნაწილი, ასეთი გაფართოება გამოდგება. ამიტომ, როგორც კი დაინახავთ კვადრატულ ტრინომს (დატვირთულია თუ არა იგი დამატებითი პარამეტრებით), ყოველთვის ეცადეთ მისი ფაქტორირება.

ხსნარის ნიუანსი

გახსოვდეთ რაციონალური გამონათქვამების კონვერტაციის ძირითადი წესები:

• ყველა მნიშვნელი და მრიცხველი უნდა იყოს ფაქტორირებული ან შემოკლებული გამრავლების ფორმულების ან დისკრიმინანტის მეშვეობით.
• ჩვენ უნდა ვიმუშაოთ ამ ალგორითმის მიხედვით: როდესაც ვუყურებთ და ვცდილობთ გამოვყოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, მაშინ, პირველ რიგში, ვცდილობთ ყველაფერი მაქსიმალურად ავხსნათ. ამის შემდეგ ფრჩხილებიდან ვიღებთ ზოგად ხარისხს.
• ძალიან ხშირად იქნება გამონათქვამები პარამეტრით: სხვა ცვლადები გამოჩნდება კოეფიციენტების სახით. ჩვენ მათ ვპოულობთ კვადრატული გაფართოების ფორმულის გამოყენებით.

ამრიგად, როგორც კი რაციონალურ წილადებს ხედავთ, პირველი რაც უნდა გააკეთოთ არის მრიცხველიც და მნიშვნელიც ფაქტორებად (წრფივი გამოსახულებებით), ხოლო ჩვენ ვიყენებთ შემცირებულ გამრავლების ფორმულებს ან დისკრიმინანტს.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე ასეთ რაციონალურ გამონათქვამს და შევეცადოთ გამოვყოთ ისინი.

უფრო რთული მაგალითების ამოხსნა

დავალება #1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

ჩვენ ხელახლა ვწერთ და ვცდილობთ გავაფართოვოთ თითოეული ტერმინი:

მოდით გადავიწეროთ მთელი ჩვენი რაციონალური გამოთქმა ამ ფაქტების გათვალისწინებით:

\[\frac(((\left(2x \მარჯვნივ))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \მარჯვნივ))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\ მარცხნივ(3y \მარჯვნივ))^(2))-((\მარცხნივ(2x \მარჯვნივ))^(2)))((\მარცხნივ(2x \მარჯვნივ))^(3))+ ((\მარცხნივ(3y\მარჯვნივ))^(3)))=\]

\[=\frac(((\ მარცხნივ(2x \მარჯვნივ))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \მარჯვნივ))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\ მარცხნივ(3y-2x \მარჯვნივ)\მარცხენა(3y+2x \მარჯვნივ))(\მარცხნივ(2x+3y \მარჯვნივ)\მარცხენა((\ მარცხნივ(2x \მარჯვნივ))^(2)- 2x\cdot 3y+((\მარცხნივ(3y \მარჯვნივ))^(2)) \მარჯვნივ))=-1\]

პასუხი: $-1$.

დავალება #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

მოდით შევხედოთ ყველა წილადს.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ))^(2))\]

მოდით გადავიწეროთ მთელი სტრუქტურა ცვლილებების გათვალისწინებით:

\[\frac(3\left(1-2x \მარჯვნივ))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \მარჯვნივ))\cdot \frac( 2x+1)(((\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \მარჯვნივ))(\მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))(2\cdot \left(x-2 \მარჯვნივ)\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=\frac(3)(2 \მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ))\]

პასუხი: $\frac(3)(2\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ))$.

ხსნარის ნიუანსი

მაშ, რა ვისწავლეთ:

• ყველა კვადრატული ტრინომი არ არის ფაქტორიზებული, კერძოდ, ეს ეხება ჯამის ან სხვაობის არასრულ კვადრატს, რომლებიც ძალიან ხშირად გვხვდება ჯამის ან სხვაობის კუბების ნაწილებად.
• მუდმივები, ე.ი. ჩვეულებრივი რიცხვები, რომლებსაც არ აქვთ ცვლადები, ასევე შეუძლიათ მოქმედებენ როგორც აქტიური ელემენტები დაშლის პროცესში. ჯერ ერთი, მათი ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილებიდან და მეორეც, თავად მუდმივები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძალაუფლების სახით.
• ძალიან ხშირად, ყველა ელემენტის ფაქტორებად დაშლის შემდეგ, წარმოიქმნება საპირისპირო კონსტრუქციები. თქვენ უნდა შეამციროთ ეს წილადები ძალიან ფრთხილად, რადგან როდესაც მათ გადაკვეთთ ან ზემოდან ან ქვემოდან, ჩნდება დამატებითი ფაქტორი $ -1$ - ეს არის ზუსტად იმის შედეგი, რომ ისინი საპირისპიროა.

რთული პრობლემების გადაჭრა

\[\frac(27((a)^(3))-64((ბ)^(3)))(((ბ)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12აბ+16((ბ)^(2)))((ბ)^(2))+4ბ+4)\]

განვიხილოთ თითოეული ტერმინი ცალკე.

პირველი წილადი:

\[((\ მარცხნივ(3a \მარჯვნივ))^(3))-((\მარცხნივ(4b \მარჯვნივ))^(3))=\მარცხნივ(3a-4b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((\მარცხნივ (3a \მარჯვნივ))^(2))+3a\cdot 4b+((\ მარცხნივ(4b \მარჯვნივ))^(2)) \მარჯვნივ)\]

\[((ბ)^(2))-((2)^(2))=\მარცხნივ(b-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ)\]

ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ მეორე წილადის მთელი მრიცხველი შემდეგნაირად:

\[((\ მარცხნივ(3a \მარჯვნივ))^(2))+3a\cdot 4b+((\ მარცხნივ(4b \მარჯვნივ))^(2))\]

ახლა მოდით შევხედოთ მნიშვნელს:

\[((ბ)^(2))+4ბ+4=((ბ)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ ))^(2))\]

მოდით გადავიწეროთ მთელი რაციონალური გამოთქმა ზემოაღნიშნული ფაქტების გათვალისწინებით:

\[\frac(\left(3a-4b \მარჯვნივ)\left(((\left(3a \მარჯვნივ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \მარჯვნივ))^(2 )) \მარჯვნივ))(\ მარცხნივ(b-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ))\cdot \frac(((\ მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ))^(2)))( ((\ მარცხნივ(3a \მარჯვნივ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \მარჯვნივ))^(2)))=\]

\[=\frac(\ მარცხნივ(3a-4b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ))(\ მარცხენა (b-2 \მარჯვნივ))\]

პასუხი: $\frac(\left(3a-4b \მარჯვნივ)\left(b+2 \მარჯვნივ))(\left(b-2 \მარჯვნივ))$.

ხსნარის ნიუანსი

როგორც კიდევ ერთხელ ვნახეთ, ჯამის არასრული კვადრატები ან სხვაობის არასრული კვადრატები, რომლებიც ხშირად გვხვდება რეალურ რაციონალურ გამონათქვამებში, თუმცა, ნუ შეგეშინდებათ მათი, რადგან თითოეული ელემენტის გარდაქმნის შემდეგ ისინი თითქმის ყოველთვის უქმდებიან. გარდა ამისა, არავითარ შემთხვევაში არ უნდა შეგეშინდეთ დიდი კონსტრუქციების საბოლოო პასუხში - სავსებით შესაძლებელია, რომ ეს არ იყოს თქვენი შეცდომა (განსაკუთრებით, თუ ყველაფერი ფაქტორირებულია), მაგრამ ავტორმა მოიფიქრა ასეთი პასუხი.

დასასრულს, მინდა გავაანალიზო კიდევ ერთი რთული მაგალითი, რომელიც აღარ არის პირდაპირ დაკავშირებული რაციონალურ წილადებთან, მაგრამ შეიცავს ყველაფერს, რაც გელოდებათ რეალურ ტესტებსა და გამოცდებზე, კერძოდ: ფაქტორიზაცია, საერთო მნიშვნელამდე შემცირება, მსგავსი ტერმინების შემცირება. . ეს არის ზუსტად ის, რასაც ახლა ვაპირებთ.

რაციონალური გამონათქვამების გამარტივებისა და გარდაქმნის რთული პრობლემის გადაჭრა

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \მარჯვნივ)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \მარჯვნივ)\]

პირველი, განიხილეთ და გააფართოვეთ პირველი ფრჩხილი: მასში ჩვენ ვხედავთ სამ ცალკეულ წილადს სხვადასხვა მნიშვნელით, ამიტომ პირველი რაც უნდა გავაკეთოთ არის სამივე წილადის საერთო მნიშვნელთან მიყვანა და ამისთვის თითოეული მათგანი უნდა იყოს ფაქტორირებული:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \მარჯვნივ)\]

მოდით გადავიწეროთ მთელი ჩვენი სტრუქტურა შემდეგნაირად:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\მარცხნივ(x -2 \მარჯვნივ)\მარცხენა(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \მარჯვნივ))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)+((x)^(3))+8-\მარცხენა(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \მარჯვნივ))(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \მარჯვნივ))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\ მარცხენა(x-2) \მარჯვნივ)\მარცხენა(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \მარჯვნივ))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ მარცხენა(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხენა(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \მარჯვნივ))=\]

\[=\frac(((\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ))^(2)))(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხენა(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \მარჯვნივ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

ეს არის პირველი ფრჩხილებიდან მიღებული გამოთვლების შედეგი.

საქმე მეორე ფრჩხილთან:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \ მარჯვენა)\]

გადავიწეროთ მეორე ფრჩხილი ცვლილებების გათვალისწინებით:

\[\frac(((x)^(2)))(\მარცხენა(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))\]

ახლა დავწეროთ მთლიანი ორიგინალური კონსტრუქცია:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))=\frac(1)(x+2)\]

პასუხი: $\frac(1)(x+2)$.

ხსნარის ნიუანსი

როგორც ხედავთ, პასუხი საკმაოდ გონივრული აღმოჩნდა. თუმცა, გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ძალიან ხშირად ასეთი მასშტაბური გამოთვლებით, როდესაც ერთადერთი ცვლადი მხოლოდ მნიშვნელშია, მოსწავლეებს ავიწყდებათ, რომ ეს არის მნიშვნელი და ის უნდა იყოს წილადის ბოლოში და ჩაწერონ ეს გამოთქმა მრიცხველში - ეს. უხეში შეცდომაა.

გარდა ამისა, მინდა თქვენი განსაკუთრებული ყურადღება გავამახვილო იმაზე, თუ როგორ ხდება მსგავსი ამოცანების ფორმალიზება. ნებისმიერ კომპლექსურ გამოთვლებში ყველა ნაბიჯი შესრულებულია ეტაპობრივად: ჯერ პირველ ფრჩხილს ვითვლით ცალკე, შემდეგ მეორეს ცალკე და მხოლოდ ბოლოს ვაერთებთ ყველა ნაწილს და ვიანგარიშებთ შედეგს. ამრიგად, ჩვენ თავს ვიზღვევით სულელური შეცდომებისგან, გულდასმით ვწერთ ყველა გამოთვლას და ამავდროულად არ ვკარგავთ დამატებით დროს, როგორც ეს ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს.