ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.
ეს წესები უნდა იყოს ცნობილი - მათ გარეშე სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. მოდით დავიწყოთ.
ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება
განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:
- ჟურნალი ა x+ლოგი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
- ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).
ამრიგად, ლოგარითმების ჯამი უდრის ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: აქ მთავარია - იგივე საფუძველი. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!
ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როდესაც არ განიხილება მისი ცალკეული ნაწილები (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:
ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.
ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.
საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
ჟურნალი 2 48 - ჟურნალი 2 3 = ჟურნალი 2 (48: 3) = ჟურნალი 2 16 = 4.
Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.
ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ამ ფაქტს ეფუძნება მრავალი ტესტი. დიახ, კონტროლი - გამოცდაზე შემოთავაზებულია მსგავსი გამონათქვამები მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ - პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).
მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან
ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ არის ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:
ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი მათ პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.
რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ დაცულია ODZ ლოგარითმი: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.
Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .
მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12
Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
[სურათის წარწერა]
გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 72. Ჩვენ გვაქვს:
[სურათის წარწერა] ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი საჭიროებს გარკვევას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.
ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველსა და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.
ახალ საძირკველზე გადასვლა
ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?
ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:
დაე, ლოგარითმი დარეგისტრირდეს ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:
[სურათის წარწერა]
კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:
[სურათის წარწერა]
მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შესაძლებელია ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის გაცვლა, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.
ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.
თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:
Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.
გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;
ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:
[სურათის წარწერა]ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.
Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.
პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:
[სურათის წარწერა]ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:
[სურათის წარწერა]ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ფუძეზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:
პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტის გამომხატველი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.
მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. მას ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.
მართლაც, რა მოხდება, თუ ნომერი ბძალაუფლებაზე აყვანა ისე, რომ ბამ ზომით იძლევა რიცხვს ა? მართალია: ეს იგივე რიცხვია ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".
ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.
Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
[სურათის წარწერა]
გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:
[სურათის წარწერა]თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო ნამდვილი დავალება გამოცდიდან :)
ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული
დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებიც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.
- ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე აამ ფუძიდან თავად უდრის ერთს.
- ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია, ლოგარითმი არის ნული! რადგან ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.
ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.
ლოგარითმის მისაღები დიაპაზონი (ODZ).
ახლა მოდით ვისაუბროთ შეზღუდვებზე (ODZ - ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი).
გვახსოვს, რომ, მაგალითად, კვადრატული ფესვის აღება უარყოფითი რიცხვებიდან არ შეიძლება; ან თუ გვაქვს წილადი, მაშინ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. მსგავსი შეზღუდვები არსებობს ლოგარითმებისთვის:
ანუ არგუმენტიც და ფუძეც ნულზე მეტი უნდა იყოს და ბაზა არ შეიძლება იყოს ტოლი.
Რატომ არის, რომ?
დავიწყოთ მარტივად: ვთქვათ. მაშინ, მაგალითად, რიცხვი არ არსებობს, რადგან რაც არ უნდა ავამაღლოთ ხარისხი, ყოველთვის გამოდის. უფრო მეტიც, ის არ არსებობს არც ერთისთვის. მაგრამ ამავე დროს ის შეიძლება იყოს ყველაფრის ტოლი (იმავე მიზეზის გამო - უდრის ნებისმიერ ხარისხს). მაშასადამე, ობიექტი არანაირ ინტერესს არ იწვევს და ის უბრალოდ მათემატიკიდან გადმოაგდეს.
ანალოგიური პრობლემა გვაქვს საქმეშიც: ნებისმიერი დადებითი ხარისხით - ეს, მაგრამ მისი აწევა უარყოფით ხარისხზე საერთოდ არ შეიძლება, რადგან ნულზე გაყოფა მოჰყვება (შეგახსენებთ).
როცა წილადის ხარისხზე აწევის პრობლემის წინაშე ვდგავართ (რომელიც წარმოდგენილია ფესვის სახით:. მაგალითად, (ანუ), მაგრამ არ არსებობს.
ამიტომ, ნეგატიური მიზეზების გადაყრა უფრო ადვილია, ვიდრე მათთან არეულობა.
კარგი, ვინაიდან a ფუძე ჩვენთვის მხოლოდ დადებითია, მაშინ რაც არ უნდა ავამაღლოთ ის, ყოველთვის მივიღებთ მკაცრად დადებით რიცხვს. ასე რომ, არგუმენტი დადებითი უნდა იყოს. მაგალითად, ის არ არსებობს, რადგან ის არავითარ შემთხვევაში არ იქნება უარყოფითი რიცხვი (და თუნდაც ნული, ამიტომ არც არსებობს).
ლოგარითმებთან დაკავშირებული პრობლემების დროს, პირველი ნაბიჯი არის ODZ-ის ჩაწერა. მაგალითს მოვიყვან:
მოდი ამოვხსნათ განტოლება.
გავიხსენოთ განმარტება: ლოგარითმი არის ძალა, რომელზედაც ფუძე უნდა გაიზარდოს არგუმენტის მისაღებად. პირობით კი ეს ხარისხი უდრის: .
ვიღებთ ჩვეულებრივ კვადრატულ განტოლებას: . ჩვენ ვხსნით მას ვიეტას თეორემის გამოყენებით: ფესვების ჯამი ტოლია და ნამრავლი. ადვილად აღება, ეს არის რიცხვები და.
მაგრამ თუ თქვენ დაუყოვნებლივ აიღებთ და ჩაწერთ ორივე რიცხვს პასუხში, შეგიძლიათ მიიღოთ 0 ქულა დავალებისთვის. რატომ? მოდით დავფიქრდეთ რა მოხდება, თუ ამ ფესვებს საწყის განტოლებაში ჩავანაცვლებთ?
ეს აშკარად მცდარია, რადგან საფუძველი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ანუ ფესვი არის "მესამე მხარე".
ასეთი უსიამოვნო ხრიკების თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ODZ განტოლების ამოხსნის დაწყებამდეც კი:
შემდეგ, ფესვების მიღების შემდეგ, ჩვენ მაშინვე ვაშორებთ ფესვს და ვწერთ სწორ პასუხს.
მაგალითი 1(შეეცადე თავად მოაგვარო) :
იპოვეთ განტოლების ფესვი. თუ რამდენიმე ფესვია, თქვენს პასუხში მიუთითეთ უფრო მცირე.
გამოსავალი:
პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ ODZ:
ახლა ჩვენ გვახსოვს რა არის ლოგარითმი: რა ძალამდე გჭირდებათ ბაზის ამაღლება არგუმენტის მისაღებად? მეორეში. ანუ:
როგორც ჩანს, პატარა ფესვი ტოლია. მაგრამ ეს ასე არ არის: ODZ-ის მიხედვით, ფესვი არის მესამე მხარის, ანუ ის საერთოდ არ არის ამ განტოლების ფესვი. ამრიგად, განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: .
პასუხი: .
ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
გავიხსენოთ ლოგარითმის განმარტება ზოგადი ტერმინებით:
ჩაანაცვლეთ მეორე ტოლობაში ლოგარითმის ნაცვლად:
ამ თანასწორობას ე.წ ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა. თუმცა არსებითად ეს თანასწორობა უბრალოდ სხვაგვარად არის დაწერილი ლოგარითმის განმარტება:
ეს არის ძალა, რომლის ამაღლებაც გჭირდებათ.
Მაგალითად:
ამოხსენით შემდეგი მაგალითები:
მაგალითი 2
იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.
გამოსავალი:
გაიხსენეთ წესი განყოფილებიდან: ანუ, ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას ინდიკატორები მრავლდება. მოდით გამოვიყენოთ:
მაგალითი 3
დაამტკიცე რომ.
გამოსავალი:
ლოგარითმების თვისებები
სამწუხაროდ, ამოცანები ყოველთვის ასე მარტივი არ არის - ხშირად ჯერ საჭიროა გამოხატვის გამარტივება, ჩვეულ ფორმამდე მიყვანა და მხოლოდ ამის შემდეგ იქნება შესაძლებელი მნიშვნელობის გამოთვლა. ამის გაკეთება ყველაზე ადვილია იცოდეთ ლოგარითმების თვისებები. მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმების ძირითადი თვისებები. თითოეულ მათგანს დავამტკიცებ, რადგან ნებისმიერი წესი უფრო ადვილი დასამახსოვრებელია, თუ იცი საიდან მოდის.
ყველა ეს თვისება უნდა გვახსოვდეს; მათ გარეშე, ლოგარითმებთან დაკავშირებული პრობლემების უმეტესობა ვერ გადაიჭრება.
ახლა კი ლოგარითმების ყველა თვისების შესახებ უფრო დეტალურად.
საკუთრება 1:
მტკიცებულება:
მოდით, მაშინ.
გვაქვს: , h.t.d.
თვისება 2: ლოგარითმების ჯამი
ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმს: .
მტკიცებულება:
მოდით, მაშინ. მოდით, მაშინ.
მაგალითი:იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: .
გამოსავალი:.
ფორმულა, რომელიც ახლახან ისწავლეთ, გეხმარებათ ლოგარითმების ჯამის გამარტივებაში და არა განსხვავებაში, ისე, რომ ეს ლოგარითმები დაუყოვნებლივ ვერ გაერთიანდება. მაგრამ შეგიძლიათ პირიქით გააკეთოთ - პირველი ლოგარითმი „გატეხეთ“ ორად: და აი დაპირებული გამარტივება:
.
რატომ არის ეს საჭირო? კარგად, მაგალითად: რა მნიშვნელობა აქვს?
ახლა აშკარაა, რომ.
ახლა გაუადვილეთ თავს:
Დავალებები:
პასუხები:
თვისება 3: ლოგარითმების სხვაობა:
მტკიცებულება:
ყველაფერი ზუსტად იგივეა, რაც მე-2 პუნქტშია:
მოდით, მაშინ.
მოდით, მაშინ. Ჩვენ გვაქვს:
მაგალითი ბოლო წერტილიდან ახლა კიდევ უფრო მარტივია:
უფრო რთული მაგალითი: . თავად გამოიცანით როგორ გადაწყვიტოთ?
აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმების კვადრატის შესახებ ერთი ფორმულა არ გვაქვს. ეს არის რაღაც გამოხატვის მსგავსი - ამის გამარტივება მაშინვე შეუძლებელია.
მაშასადამე, მოდით გადავიდეთ ლოგარითმების ფორმულებიდან და ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელ ფორმულებს ვიყენებთ მათემატიკაში ყველაზე ხშირად? მე-7 კლასიდან მოყოლებული!
ეს -. უნდა შეეგუო იმას, რომ ყველგან არიან! და ექსპონენციალურ, ტრიგონომეტრიულ და ირაციონალურ ამოცანებში ისინი გვხვდება. ამიტომ, ისინი უნდა ახსოვდეს.
თუ ყურადღებით დავაკვირდებით პირველ ორ ტერმინს, ცხადი ხდება, რომ ეს ასეა კვადრატების განსხვავება:
პასუხი შესამოწმებლად:
გაიმარტივეთ თავი.
მაგალითები
პასუხები.
თვისება 4: მაჩვენებლის გამოყვანა ლოგარითმის არგუმენტიდან:
მტკიცებულება:და აქ ასევე ვიყენებთ ლოგარითმის განმარტებას: მოდით, მაშინ. გვაქვს: , h.t.d.
თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ ეს წესი ასე:
ანუ, არგუმენტის ხარისხი გადაყვანილია ლოგარითმის წინ, როგორც კოეფიციენტი.
მაგალითი:იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.
გამოსავალი: .
თავად გადაწყვიტე:
მაგალითები:
პასუხები:
თვისება 5: მაჩვენებლის გამოყვანა ლოგარითმის ფუძიდან:
მტკიცებულება:მოდით, მაშინ.
გვაქვს: , h.t.d.
გახსოვდეთ: დან საფუძველიხარისხი ითარგმნება როგორც საპირისპირონომერი, წინა შემთხვევისგან განსხვავებით!
თვისება 6: მაჩვენებლის გამოყვანა ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი:
ან თუ ხარისხები იგივეა: .
თვისება 7: გადასვლა ახალ ბაზაზე:
მტკიცებულება:მოდით, მაშინ.
გვაქვს: , h.t.d.
თვისება 8: ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის შეცვლა:
მტკიცებულება:ეს არის მე-7 ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა: თუ ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ: , p.t.d.
მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.
მაგალითი 4
იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.
ვიყენებთ No2 ლოგარითმების თვისებას - ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი ნამრავლის ლოგარითმის ტოლია:
მაგალითი 5
იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.
გამოსავალი:
ვიყენებთ No3 და No4 ლოგარითმების თვისებებს:
მაგალითი 6
იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.
გამოსავალი:
ქონების ნომრის 7 გამოყენებით - გადადით მე-2 ბაზაზე:
მაგალითი 7
იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.
გამოსავალი:
როგორ მოგწონთ სტატია?
თუ თქვენ კითხულობთ ამ სტრიქონებს, მაშინ წაიკითხეთ მთელი სტატია.
და მაგარია!
ახლა გვითხარით, როგორ მოგწონთ სტატია?
ისწავლეთ ლოგარითმების ამოხსნა? თუ არა, რა პრობლემაა?
მოგვწერეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში.
დიახ, წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში.
ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე და OGE-ზე და ზოგადად ცხოვრებაში
(ბერძნული λόγος - "სიტყვა", "კავშირი" და ἀριθμός - "რიცხვი") რიცხვები ბმიზეზით ა(log α ბ) ასეთ რიცხვს უწოდებენ გ, და ბ= გ, ანუ log α ბ=გდა b=aგექვივალენტები არიან. ლოგარითმი აზრი აქვს, თუ a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Სხვა სიტყვებით ლოგარითმინომრები ბმიზეზით აჩამოყალიბებულია მაჩვენებლის სახით, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).
ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x= log α ბ, უდრის a x =b განტოლების ამოხსნის.
Მაგალითად:
ჟურნალი 2 8 = 3 რადგან 8=2 3 .
აღვნიშნავთ, რომ ლოგარითმის მითითებული ფორმულირება შესაძლებელს ხდის დაუყოვნებლივ განსაზღვროს ლოგარითმის მნიშვნელობაროდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე. მართლაც, ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდროდ არის დაკავშირებული თემასთან რიცხვის ხარისხი.
მოხსენიებულია ლოგარითმის გაანგარიშება ლოგარითმი. ლოგარითმი არის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმის აღებისას ფაქტორების ნამრავლები გარდაიქმნება ტერმინთა ჯამებად.
გაძლიერებაარის ლოგარითმის შებრუნებული მათემატიკური ოპერაცია. გაძლიერებისას მოცემული ფუძე ამაღლებულია იმ გამოხატვის ძალამდე, რომელზედაც ხდება გაძლიერება. ამ შემთხვევაში ტერმინების ჯამები გარდაიქმნება ფაქტორების ნამრავლად.
ხშირად გამოიყენება რეალური ლოგარითმები ბაზებით 2 (ორობითი), ეილერის ნომერი e ≈ 2.718 (ბუნებრივი ლოგარითმი) და 10 (ათწილადი).
ამ ეტაპზე გასათვალისწინებელია ლოგარითმების ნიმუშებიჟურნალი 7 2 , ლნ √ 5, lg0.0001.
ხოლო ჩანაწერებს lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 აზრი არ აქვს, რადგან პირველში უარყოფითი რიცხვი მოთავსებულია ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მეორეში - უარყოფითი რიცხვი. ფუძე, ხოლო მესამეში - და უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთეული ფუძეში.
ლოგარითმის განსაზღვრის პირობები.
ცალკე უნდა განვიხილოთ პირობები a > 0, a ≠ 1, b > 0. ლოგარითმის განმარტება.მოდით განვიხილოთ, რატომ არის მიღებული ეს შეზღუდვები. ეს დაგვეხმარება x = log α ფორმის ტოლობაში ბ, რომელსაც ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.
მიიღეთ პირობა a≠1. ვინაიდან ერთი უდრის ერთს ნებისმიერ ძალას, მაშინ ტოლობა x=log α ბშეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b=1, მაგრამ ჟურნალი 1 1 იქნება ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, ჩვენ ვიღებთ a≠1.
დავამტკიცოთ პირობის აუცილებლობა a>0. ზე a=0ლოგარითმის ფორმულირების მიხედვით, შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b=0. და შემდეგ შესაბამისად ჟურნალი 0 0შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერ არანულოვან ხარისხზე არის ნული. ამ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად პირობა a≠0. Და როცა ა<0 ჩვენ უნდა უარვყოთ ლოგარითმის რაციონალური და ირაციონალური მნიშვნელობების ანალიზი, რადგან რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებლები განისაზღვრება მხოლოდ არაუარყოფითი ბაზებისთვის. ამ მიზეზით არის მდგომარეობა a>0.
და ბოლო პირობა b>0გამომდინარეობს უთანასწორობიდან a>0, ვინაიდან x=log α ბ, და ხარისხის მნიშვნელობა დადებითი ბაზით აყოველთვის პოზიტიური.
ლოგარითმების მახასიათებლები.
ლოგარითმებიხასიათდება გამორჩეული მახასიათებლები, რამაც გამოიწვია მათი ფართო გამოყენება, რათა მნიშვნელოვნად გაადვილებინა მტკივნეული გამოთვლები. „ლოგარითმების სამყაროში“ გადასვლისას გამრავლება გარდაიქმნება ბევრად უფრო მარტივ მიმატებად, დაყოფა გამოკლებად, ხოლო ხარისხზე აწევა და ფესვის აღება გარდაიქმნება გამრავლებად და გაყოფად, შესაბამისად, მაჩვენებლით.
ლოგარითმების ფორმულირება და მათი მნიშვნელობების ცხრილი (ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის) პირველად გამოქვეყნდა 1614 წელს შოტლანდიელმა მათემატიკოსმა ჯონ ნაპიერმა. ლოგარითმული ცხრილები, გადიდებული და დეტალური სხვა მეცნიერების მიერ, ფართოდ გამოიყენებოდა სამეცნიერო და საინჟინრო გამოთვლებში და აქტუალური დარჩა მანამ, სანამ ელექტრონული კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოყენება დაიწყება.
„შემოკლებული გამრავლების ფორმულები“ – ორი მრავალწევრის გამრავლებისას პირველი მრავალწევრის ყოველი წევრი მრავლდება მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და მრავლდება ნამრავლები. შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. მრავალწევრების შეკრებისა და გამოკლებისას გამოიყენება ფრჩხილების გახსნის წესები. მონომები არის რიცხვების, ცვლადების და მათი ბუნებრივი ძალების ნამრავლი.
"განტოლებათა სისტემის ამოხსნა" - გრაფიკული მეთოდი (ალგორითმი). განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ერთ ან მეტ ცვლადს. განტოლება და მისი თვისებები. დეტერმინანტების მეთოდი (ალგორითმი). განტოლებათა სისტემა და მისი ამოხსნა. სისტემის ამოხსნა შედარების მეთოდით. წრფივი განტოლება ორი ცვლადით. სისტემის ამოხსნა დამატების მეთოდით.
"უტოლობათა სისტემების ამოხსნა" - ინტერვალები. მათემატიკური კარნახი. განხილულია ხაზოვანი უტოლობების სისტემების ამოხსნის მაგალითები. უტოლობების სისტემების ამოხსნა. წრფივი უტოლობათა სისტემის ამოსახსნელად საკმარისია მასში შემავალი თითოეული უტოლობის ამოხსნა და მათი ამონახსნების სიმრავლეთა გადაკვეთის პოვნა. ჩამოწერეთ უტოლობები, რომელთა ამოხსნის სიმრავლეები ინტერვალებია.
„ინდიკატური უტოლობები“ - უთანასწორობის ნიშანი. ამოხსენით უტოლობა. უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა. ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა. რა უნდა გავითვალისწინოთ ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნისას? უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა. უტოლობას, რომელიც შეიცავს უცნობს მაჩვენებელში, ეწოდება ექსპონენციალური უტოლობა.
"რიცხვთა მიმართებები" - რა არის პროპორცია? რა ჰქვია m და n რიცხვებს პროპორციით a: m = n: c? ორი რიცხვის კოეფიციენტს ეწოდება ორი რიცხვის შეფარდება. მარკეტინგული ლან. სწორი პროპორციით, უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს და პირიქით. რა არის დამოკიდებულება? პროპორციები. თანაფარდობა შეიძლება გამოხატული იყოს პროცენტულად.
"კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი" - ვიეტას თეორემა. კვადრატული განტოლებები. დისკრიმინანტი. რომელ განტოლებებს უწოდებენ არასრულ კვადრატულ განტოლებებს? რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას, თუ მისი დისკრიმინანტი ნულია? არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას, თუ მისი დისკრიმინანტი უარყოფითი რიცხვია?
თემაში სულ 14 პრეზენტაციაა
