განაწილების კანონი. განაწილების პოლიგონი

Შემთხვევითი ცვლადირაოდენობას უწოდებენ, რომელსაც ექსპერიმენტის შედეგად შეუძლია მიიღოს წინასწარ უცნობი სიდიდე. შემთხვევითი ცვლადებია უწყვეტი (დისკრეტული)და უწყვეტიტიპი. უწყვეტი რაოდენობების შესაძლო მნიშვნელობები შეიძლება წინასწარ იყოს ჩამოთვლილი. უწყვეტი რაოდენობების შესაძლო მნიშვნელობების წინასწარ ჩამოთვლა შეუძლებელია და განუწყვეტლივ შეავსებს გარკვეულ ხარვეზს.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მაგალითი:

1) გერბის გარეგნობის რაოდენობა სამ მონეტის გადაგდებაში. (შესაძლო მნიშვნელობებია 0;1;2;3)

2) გერბის გამოჩენის სიხშირე იმავე ექსპერიმენტში. (შესაძლო მნიშვნელობები)

3) ხუთი ელემენტისგან შემდგარ მოწყობილობაში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობა. (შესაძლო მნიშვნელობებია 0;1;2;3;4;5)

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

1) დარტყმის წერტილის აბსციზა (ორდინატი) გასროლისას.

2) მანძილი დარტყმის წერტილიდან სამიზნის ცენტრამდე.

3) ხელსაწყოს (რადიო მილები) გაუმართავი მუშაობის დრო.

შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება დიდი ასოებით, ხოლო მათი შესაძლო მნიშვნელობები შესაბამისი მცირე ასოებით. მაგალითად, X არის დარტყმების რაოდენობა სამი გასროლით; შესაძლო მნიშვნელობები: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

განვიხილოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X შესაძლო მნიშვნელობებით X 1 , X 2 , ... , X n . თითოეული ეს მნიშვნელობები შესაძლებელია, მაგრამ არა გარკვეული, და X-ის მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს თითოეული მათგანი გარკვეული ალბათობით. ექსპერიმენტის შედეგად, X სიდიდე მიიღებს ერთ-ერთ ამ მნიშვნელობას, ანუ მოხდება შეუთავსებელი მოვლენების ერთ-ერთი სრული ჯგუფი.

ამ მოვლენების ალბათობა ავღნიშნოთ p ასოებით შესაბამისი ინდექსებით:

ვინაიდან შეუთავსებელი მოვლენები ქმნიან სრულ ჯგუფს, მაშინ

ანუ შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ალბათობების ჯამი უდრის 1-ს. ეს ჯამური ალბათობა ერთგვარად ნაწილდება ცალკეულ სიდიდეებს შორის. შემთხვევითი ცვლადი სრულად იქნება აღწერილი ალბათური თვალსაზრისით, თუ დავაზუსტებთ ამ განაწილებას, ანუ ზუსტად მივუთითებთ, თუ რა ალბათობა აქვს თითოეულ მოვლენას. (ეს დაადგენს შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ეგრეთ წოდებულ კანონს.)

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონინებისმიერი კავშირი, რომელიც ამყარებს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და შესაბამის ალბათობას შორის, ეწოდება. (შემთხვევითი ცვლადის შესახებ ვიტყვით, რომ ის ექვემდებარება მოცემულ განაწილების კანონს)

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის მითითების უმარტივესი ფორმა არის ცხრილი, რომელშიც ჩამოთვლილია შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები და მათი შესაბამისი ალბათობები.

ცხრილი 1.

X ი	x1	x2	…	X n
პი	P1	P2	…	P n

ასეთ მაგიდას ე.წ განაწილების მახლობლადშემთხვევითი ცვლადები.

განაწილების სერიის უფრო ვიზუალური ფორმის მისაცემად, ისინი მიმართავენ მის გრაფიკულ წარმოდგენას: შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო ამ მნიშვნელობების ალბათობა გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. (სიცხადისთვის, მიღებული წერტილები დაკავშირებულია ხაზის სეგმენტებით.)

სურათი 1 - განაწილების პოლიგონი

ასეთ ფიგურას ე.წ განაწილების პოლიგონი. განაწილების პოლიგონი, განაწილების სერიების მსგავსად, სრულიად ახასიათებს შემთხვევით ცვლადს; ეს არის განაწილების კანონის ფორმა.

მაგალითი:

ტარდება ერთი ექსპერიმენტი, რომელშიც A მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს A მოვლენის ალბათობა = 0.3. განიხილება შემთხვევითი ცვლადი X - ამ ექსპერიმენტში A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა. აუცილებელია X-ის განაწილების სერიისა და მრავალკუთხედის აგება.

ცხრილი 2.

X ი
პი	0,7	0,3

სურათი 2 - განაწილების ფუნქცია

განაწილების ფუნქციაშემთხვევითი ცვლადის უნივერსალური მახასიათებელია. ის არსებობს ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის: როგორც წყვეტილი, ასევე არაშეწყვეტილი. განაწილების ფუნქცია სრულად ახასიათებს შემთხვევით ცვლადს ალბათური თვალსაზრისით, ანუ განაწილების კანონის ერთ-ერთი ფორმაა.

ამ ალბათობის განაწილების რაოდენობრივად გამოსაყენებლად მოსახერხებელია გამოვიყენოთ არა X=x მოვლენის ალბათობა, არამედ X მოვლენის ალბათობა.

განაწილების ფუნქციას F(x) ზოგჯერ ასევე უწოდებენ ინტეგრალური განაწილების ფუნქციას ან ინტეგრალური განაწილების კანონს.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციის თვისებები

1. განაწილების ფუნქცია F(x) არის მისი არგუმენტის უცვლელი ფუნქცია, ანუ ;

2. მინუს უსასრულობაზე:

3. პლუს უსასრულობაზე:

სურათი 3 - განაწილების ფუნქციის გრაფიკი

განაწილების ფუნქციის ნაკვეთიზოგადად, ეს არის უცვლელი ფუნქციის გრაფიკი, რომლის მნიშვნელობები იწყება 0-დან და აღწევს 1-ს.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიის ცოდნა, შესაძლებელია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციის აგება.

მაგალითი:

წინა მაგალითის პირობებისთვის შექმენით შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია.

ავაშენოთ განაწილების ფუნქცია X:

სურათი 4 - განაწილების ფუნქცია X

განაწილების ფუნქციანებისმიერი წყვეტილი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ყოველთვის არის უწყვეტი ნაბიჯის ფუნქცია, რომლის ნახტომი ხდება შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების შესაბამის წერტილებში და უდრის ამ მნიშვნელობების ალბათობას. განაწილების ფუნქციაში ყველა ნახტომის ჯამი არის 1.

როგორც შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა იზრდება და მათ შორის ინტერვალები მცირდება, ნახტომების რაოდენობა უფრო დიდი ხდება, ხოლო თავად ნახტომები უფრო მცირე ხდება:

სურათი 5

ნაბიჯის მრუდი უფრო გლუვი ხდება:

სურათი 6

შემთხვევითი ცვლადი თანდათან უახლოვდება უწყვეტ მნიშვნელობას, ხოლო მისი განაწილების ფუნქცია უახლოვდება უწყვეტ ფუნქციას. ასევე არის შემთხვევითი ცვლადები, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები მუდმივად ავსებენ გარკვეულ ინტერვალს, მაგრამ რომლებისთვისაც განაწილების ფუნქცია ყველგან არ არის უწყვეტი. და ზოგიერთ მომენტში ის იშლება. ასეთ შემთხვევით ცვლადებს შერეული ეწოდება.

სურათი 7

დავალება 14.ნაღდი ფულის ლატარიაში თამაშდება 1 მოგება 1,000,000 რუბლიდან, 10 მოგება თითო 100,000 რუბლიდან. და 100 მოგება 1000 რუბლიდან. ბილეთების საერთო რაოდენობით 10000. იპოვეთ შემთხვევითი მოგების განაწილების კანონი Xერთი ლატარიის ბილეთის მფლობელისთვის.

გადაწყვეტილება. შესაძლო მნიშვნელობები X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. მათი ალბათობა შესაბამისად ტოლია: რ 2 = 0,01; რ 3 = 0,001; რ 4 = 0,0001; რ 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

მაშასადამე, ანაზღაურების განაწილების კანონი Xშეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ცხრილით:

განაწილების მრავალკუთხედის აგება.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვაშენებთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას და აბსცისის ღერძის გასწვრივ გამოვსახავთ შესაძლო მნიშვნელობებს x i,ხოლო y-ღერძის გასწვრივ - შესაბამისი ალბათობები p i. მოდით ავაშენოთ ქულები მ 1 (1;0,2), მ 2 (3;0,1), მ 3 (6; 0.4) და მ 4 (8; 0.3). ამ წერტილების ხაზის სეგმენტებთან დაკავშირებით, ჩვენ ვიღებთ სასურველ განაწილების მრავალკუთხედს.

§2. შემთხვევითი ცვლადების რიცხვითი მახასიათებლები

შემთხვევითი ცვლადი მთლიანად ხასიათდება მისი განაწილების კანონით. შემთხვევითი ცვლადის საშუალო აღწერა შეიძლება მივიღოთ მისი რიცხვითი მახასიათებლების გამოყენებით

2.1. Მოსალოდნელი ღირებულება. დისპერსია.

დაე, შემთხვევითმა ცვლადმა მიიღოს მნიშვნელობები შესაბამისად ალბათობით.

განმარტება. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნამრავლებისა და შესაბამისი ალბათობების ჯამი:

მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.

შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია საშუალო მნიშვნელობის გარშემო ხასიათდება დისპერსიით და სტანდარტული გადახრით.

შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია არის შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინი მისი მათემატიკური მოლოდინისაგან:

გამოთვლებისთვის გამოიყენება შემდეგი ფორმულა

დისპერსიული თვისებები.

2. , სადაც არის ორმხრივად დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები.

3. სტანდარტული გადახრა .

დავალება 16.იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ზ = X+ 2ითუ ცნობილია შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი Xდა ი: მ(X) = 5, მ(ი) = 3.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვიყენებთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებებს. შემდეგ მივიღებთ:

მ(X+ 2ი)= მ(X) + მ(2ი) = მ(X) + 2მ(ი) = 5 + 2 . 3 = 11.

დავალება 17.შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია Xუდრის 3. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადების ვარიაცია: ა) –3 X;ბ) 4 X + 3.

გადაწყვეტილება. გამოვიყენოთ დისპერსიის 3, 4 და 2 თვისებები. Ჩვენ გვაქვს:

ა) დ(–3X) = (–3) 2 დ(X) = 9დ(X) = 9 . 3 = 27;

ბ) დ(4X + 3) = დ(4X) + დ(3) = 16დ(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

დავალება 18.მოცემულია დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადი იარის კვარცხლბეკის სროლით მოპოვებული ქულების რაოდენობა. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი, მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა ი.

გადაწყვეტილება.შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ცხრილი იროგორც ჩანს:

ი
რ	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

მერე მ(ი) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

დ(ი) \u003d (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2 / 6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2 / 6 + (5 - -3.5) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ (ი) =Ö 2,917 = 1,708.

კურსის განყოფილებაში, რომელიც ეძღვნება ალბათობის თეორიის ძირითად ცნებებს, ჩვენ უკვე შემოვიღეთ შემთხვევითი ცვლადის უაღრესად მნიშვნელოვანი კონცეფცია. აქ ჩვენ ვაძლევთ ამ კონცეფციის შემდგომ განვითარებას და ვაჩვენებთ გზებს, რომლითაც შესაძლებელია შემთხვევითი ცვლადების აღწერა და დახასიათება.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, შემთხვევითი ცვლადი არის სიდიდე, რომელსაც ექსპერიმენტის შედეგად შეუძლია მიიღოს ერთი ან სხვა მნიშვნელობა, წინასწარ არ არის ცნობილი რომელი. ჩვენ ასევე შევთანხმდით განვასხვავოთ წყვეტილი (დისკრეტული) და უწყვეტი ტიპების შემთხვევითი ცვლადები. უწყვეტი რაოდენობების შესაძლო მნიშვნელობები შეიძლება წინასწარ იყოს ჩამოთვლილი. უწყვეტი რაოდენობების შესაძლო მნიშვნელობების წინასწარ ჩამოთვლა შეუძლებელია და განუწყვეტლივ შეავსებს გარკვეულ ხარვეზს.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

1) გერბის გამოჩენის რაოდენობა მონეტის სამი გადაყრის დროს (შესაძლებელია მნიშვნელობები 0, 1, 2, 3);

2) გერბის გამოჩენის სიხშირე იმავე ექსპერიმენტში (შესაძლო მნიშვნელობები);

3) ხუთი ელემენტისგან შემდგარ მოწყობილობაში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობა (შესაძლებელია მნიშვნელობები 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) თვითმფრინავზე დარტყმების რაოდენობა საკმარისია მისი გამორთვისთვის (შესაძლო მნიშვნელობებია 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) საჰაერო ბრძოლაში ჩამოგდებული თვითმფრინავების რაოდენობა (შესაძლო მნიშვნელობებია 0, 1, 2, ..., N, სადაც არის ბრძოლაში მონაწილე თვითმფრინავების საერთო რაოდენობა).

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

1) დარტყმის წერტილის აბსციზა (ორდინატი) გასროლისას;

2) მანძილი დარტყმის წერტილიდან სამიზნის ცენტრამდე;

3) სიმაღლის ლიანდაგის შეცდომა;

4) რადიო მილის უშეცდომოდ მუშაობის დრო.

მომავალში შევთანხმდეთ შემთხვევითი ცვლადების აღნიშვნა დიდი ასოებით, ხოლო მათი შესაძლო მნიშვნელობები შესაბამისი მცირე ასოებით. მაგალითად, - დარტყმების რაოდენობა სამი გასროლით; შესაძლო მნიშვნელობები: .

განვიხილოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი შესაძლო მნიშვნელობებით. თითოეული ეს მნიშვნელობები შესაძლებელია, მაგრამ არა გარკვეული, და X-ის მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს თითოეული მათგანი გარკვეული ალბათობით. ექსპერიმენტის შედეგად X მნიშვნელობა მიიღებს ერთ-ერთ ამ მნიშვნელობას, ე.ი. მოხდება შეუთავსებელი მოვლენების ერთ-ერთი სრული ჯგუფი:

ამ მოვლენების ალბათობა ავღნიშნოთ p ასოებით შესაბამისი ინდექსებით:

ვინაიდან შეუთავსებელი მოვლენები (5.1.1) ქმნიან სრულ ჯგუფს, მაშინ

იმათ. შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ალბათობის ჯამი უდრის ერთს. ეს საერთო ალბათობა გარკვეულწილად ნაწილდება ინდივიდუალურ მნიშვნელობებს შორის. შემთხვევითი ცვლადი სრულად იქნება აღწერილი ალბათური თვალსაზრისით, თუ დავაკონკრეტებთ ამ განაწილებას, ე.ი. ჩვენ ზუსტად მივუთითებთ, თუ რა ალბათობა აქვს თითოეულ მოვლენას (5.1.1). ეს დაადგენს შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ეგრეთ წოდებულ კანონს.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ნებისმიერი კავშირი, რომელიც ამყარებს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ შესაბამის ალბათობებს შორის. შემთხვევითი ცვლადის შესახებ ვიტყვით, რომ იგი ექვემდებარება მოცემულ განაწილების კანონს.

მოდით დავადგინოთ ფორმა, რომელშიც შეიძლება მიცემული იყოს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი. ამ კანონის დაყენების უმარტივესი ფორმაა ცხრილი, რომელიც ჩამოთვლის შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებს და მათ შესაბამის ალბათობებს:

ასეთ ცხრილს დავარქმევთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიას.

ზოგჯერ დისტრიბუციის სერიის ეგრეთ წოდებული "მექანიკური" ინტერპრეტაცია მოსახერხებელი აღმოჩნდება. წარმოიდგინეთ, რომ ერთიანობის ტოლი გარკვეული მასა ნაწილდება აბსცისის ღერძის გასწვრივ ისე, რომ მასები კონცენტრირებულია, შესაბამისად, ცალკეულ წერტილებზე. შემდეგ განაწილების სერია განიმარტება, როგორც მატერიალური წერტილების სისტემა x-ღერძზე განლაგებული გარკვეული მასებით.

განვიხილოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების რამდენიმე მაგალითი მათი განაწილების კანონებით.

მაგალითი 1. ტარდება ერთი ექსპერიმენტი, რომელშიც მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს. მოვლენის ალბათობაა 0,3. განიხილება შემთხვევითი ცვლადი - მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა მოცემულ ექსპერიმენტში (ანუ მოვლენის დამახასიათებელი შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს 1 მნიშვნელობას, თუ გამოჩნდება და 0-ს, თუ არ გამოჩნდება). შექმენით სიდიდის განაწილების სერია და განაწილების პოლიგონი.

გადაწყვეტილება. მნიშვნელობას აქვს მხოლოდ ორი მნიშვნელობა: 0 და 1. მნიშვნელობის განაწილების სერიას აქვს ფორმა:

განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახ. 5.1.2.

მაგალითი 2. მსროლელი ისვრის სამიზნეს სამ გასროლას. ყოველი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა არის 0,4. თითოეულ დარტყმაზე მსროლელი ითვლის 5 ქულას. შექმენით მოპოვებული ქულების რაოდენობის განაწილების სერია.

გადაწყვეტილება. მოდი ავღნიშნოთ გატეხილი ქულების რაოდენობა. შესაძლო მნიშვნელობები: .

ამ მნიშვნელობების ალბათობა გვხვდება ექსპერიმენტების განმეორების თეორემაზე:

რაოდენობის განაწილების სერიას აქვს ფორმა:

განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახ. 5.1.3.

მაგალითი 3. ერთ ექსპერიმენტში მოვლენის მოვლენის ალბათობა არის . ტარდება არაერთი დამოუკიდებელი ექსპერიმენტი, რომელიც გრძელდება მოვლენის პირველ დადგომამდე, რის შემდეგაც ექსპერიმენტები ჩერდება. შემთხვევითი ცვლადი არის ჩატარებული ექსპერიმენტების რაოდენობა. შექმენით მნიშვნელობის განაწილების სერია.

გადაწყვეტილება. მნიშვნელობის შესაძლო მნიშვნელობები: 1, 2, 3, ... (თეორიულად, ისინი არაფრით შემოიფარგლება). იმისათვის, რომ მნიშვნელობამ მიიღოს მნიშვნელობა 1, აუცილებელია, რომ მოვლენა მოხდეს პირველ ექსპერიმენტში; ამის ალბათობა არის. იმისათვის, რომ მნიშვნელობამ მიიღოს მნიშვნელობა 2, აუცილებელია, რომ მოვლენა არ გამოჩნდეს პირველ ექსპერიმენტში და გამოჩნდეს მეორეში; ამის ალბათობა არის სად და ა.შ. რაოდენობის განაწილების სერიას აქვს ფორმა:

შემთხვევისთვის განაწილების მრავალკუთხედის პირველი ხუთი ორდინატი ნაჩვენებია ნახ. 5.1.4.

მაგალითი 4. მსროლელი ისვრის სამიზნეს პირველ დარტყმამდე, აქვს 4 ვაზნა საბრძოლო მასალა. ყოველი გასროლის ალბათობა არის 0,6. შექმენით გამოუყენებელი საბრძოლო მასალის განაწილების სერია.

პასუხი: განვიხილოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xშესაძლო ღირებულებებით. თითოეული ეს მნიშვნელობები შესაძლებელია, მაგრამ არა გარკვეული და ღირებულება Xშეუძლია თითოეული მათგანის მიღება გარკვეული ალბათობით. ექსპერიმენტის შედეგად, ღირებულება Xმიიღებს ერთ-ერთ ამ მნიშვნელობას, ანუ მოხდება შეუთავსებელი მოვლენების ერთ-ერთი სრული ჯგუფი:

ასოებით აღვნიშნოთ ამ მოვლენების ალბათობა რშესაბამისი ინდექსებით:

ანუ, სხვადასხვა მნიშვნელობების ალბათობის განაწილება შეიძლება იყოს მოცემული განაწილების ცხრილით, რომელშიც ზედა ხაზი მიუთითებს მოცემული დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მიერ აღებულ ყველა მნიშვნელობაზე, ხოლო ქვედა ხაზი აჩვენებს მნიშვნელობების ალბათობას. შესაბამისი. ვინაიდან შეუთავსებელი მოვლენები (3.1) ქმნიან სრულ ჯგუფს, ე.ი. შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ალბათობის ჯამი უდრის ერთს. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების ალბათობის განაწილება არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილის სახით, რადგან ასეთი შემთხვევითი ცვლადების მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა თუნდაც შეზღუდულ ინტერვალში. ასევე, რაიმე კონკრეტული მნიშვნელობის მიღების ალბათობა ნულის ტოლია. შემთხვევითი ცვლადი სრულად იქნება აღწერილი ალბათური თვალსაზრისით, თუ დავაზუსტებთ ამ განაწილებას, ანუ ზუსტად მივუთითებთ, თუ რა ალბათობა აქვს თითოეულ მოვლენას. ეს დაადგენს შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ეგრეთ წოდებულ კანონს. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ნებისმიერი კავშირი, რომელიც ამყარებს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ შესაბამის ალბათობებს შორის. შემთხვევითი ცვლადის შესახებ ვიტყვით, რომ იგი ექვემდებარება მოცემულ განაწილების კანონს. მოდით დავადგინოთ ფორმა, რომელშიც შეიძლება მიცემული იყოს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი x.ამ კანონის დაყენების უმარტივესი ფორმაა ცხრილი, რომელიც ჩამოთვლის შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებს და მათ შესაბამის ალბათობებს:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
პი	გვ 1	გვ 2	× × ×	p n

ასეთ ცხრილს დავარქმევთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიას x.

ბრინჯი. 3.1

განაწილების სერიის უფრო ვიზუალური ფორმის მისაცემად, ისინი ხშირად მიმართავენ მის გრაფიკულ წარმოდგენას: შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო ამ მნიშვნელობების ალბათობა გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. სიცხადისთვის, მიღებული წერტილები დაკავშირებულია სწორი ხაზის სეგმენტებით. ასეთ ფიგურას განაწილების მრავალკუთხედი ეწოდება (ნახ. 3.1). განაწილების პოლიგონი, ისევე როგორც განაწილების სერია, სრულიად ახასიათებს შემთხვევით ცვლადს. ეს არის განაწილების კანონის ფორმა. ზოგჯერ დისტრიბუციის სერიის ეგრეთ წოდებული "მექანიკური" ინტერპრეტაცია მოსახერხებელი აღმოჩნდება. წარმოიდგინეთ, რომ ერთიანობის ტოლი მასა განაწილებულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ ისე, რომ შიგნით ნცალკეული წერტილები კონცენტრირებულია, შესაბამისად, მასები . შემდეგ განაწილების სერია განიმარტება, როგორც მატერიალური წერტილების სისტემა x-ღერძზე განლაგებული გარკვეული მასებით.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

2) გერბის გამოჩენის სიხშირე იმავე ექსპერიმენტში (შესაძლო მნიშვნელობები);

5) საჰაერო ბრძოლაში ჩამოგდებული თვითმფრინავების რაოდენობა (შესაძლებელია მნიშვნელობები 0, 1, 2, ..., N, სადაც არის ბრძოლაში მონაწილე თვითმფრინავების საერთო რაოდენობა).

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

1) დარტყმის წერტილის აბსციზა (ორდინატი) გასროლისას;

2) მანძილი დარტყმის წერტილიდან სამიზნის ცენტრამდე;

3) სიმაღლის ლიანდაგის შეცდომა;

4) რადიო მილის უშეცდომოდ მუშაობის დრო.

ამ მოვლენების ალბათობა ავღნიშნოთ p ასოებით შესაბამისი ინდექსებით:

ვინაიდან შეუთავსებელი მოვლენები (5.1.1) ქმნიან სრულ ჯგუფს, მაშინ

ასეთ ცხრილს დავარქმევთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიას.

გადაწყვეტილება. მნიშვნელობას აქვს მხოლოდ ორი მნიშვნელობა: 0 და 1.

განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახ. 5.1.2.

რაოდენობის განაწილების სერიას აქვს ფორმა:

განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახ. 5.1.3.

გადაწყვეტილება. შემთხვევითი ცვლადი - გამოუყენებელი ვაზნების რაოდენობა - აქვს ოთხი შესაძლო მნიშვნელობა: 0, 1, 2 და 3. ამ მნიშვნელობების ალბათობა შესაბამისად არის:

რაოდენობის განაწილების სერიას აქვს ფორმა:

განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახ. 5.1.5.

მაგალითი 5. ტექნიკური მოწყობილობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა პირობებში და, აქედან გამომდინარე, საჭიროებს დროდადრო კორექტირებას. მოწყობილობის ერთჯერადი გამოყენებისას ის შეიძლება შემთხვევით მოხვდეს ხელსაყრელ ან არახელსაყრელ რეჟიმში. ხელსაყრელ რეჟიმში, მოწყობილობას შეუძლია გაუძლოს სამ აპლიკაციას კორექტირების გარეშე; მეოთხემდე უნდა დარეგულირდეს. არახელსაყრელ რეჟიმში, მოწყობილობა უნდა დარეგულირდეს პირველი გამოყენების შემდეგ. ალბათობა იმისა, რომ მოწყობილობა მოხვდება ხელსაყრელ რეჟიმში არის 0.7, რომელიც არახელსაყრელ რეჟიმში არის 0.3. განიხილება შემთხვევითი ცვლადი - მოწყობილობის აპლიკაციების რაოდენობა კორექტირებამდე. შექმენით მისი განაწილების სერია.

გადაწყვეტილება. შემთხვევით ცვლადს აქვს სამი შესაძლო მნიშვნელობა: 1, 2 და 3. . იმისათვის, რომ მნიშვნელობამ მიიღოს მნიშვნელობა 2, აუცილებელია, რომ პირველი აპლიკაციის დროს მოწყობილობა გადავიდეს ხელსაყრელ რეჟიმში, ხოლო მეორეში - არახელსაყრელ რეჟიმში; ამის ალბათობა . იმისათვის, რომ მნიშვნელობამ მიიღოს მნიშვნელობა 3, აუცილებელია, რომ მოწყობილობა პირველ ორჯერ შევიდეს ხელსაყრელ რეჟიმში (მესამე ჯერის შემდეგ ის კვლავ უნდა დარეგულირდეს). ამის ალბათობა არის .

რაოდენობის განაწილების სერიას აქვს ფორმა:

განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახ. 5.1.6.

განაწილების ფუნქცია

წინა n°-ში ჩვენ შემოვიღეთ განაწილების სერია, როგორც წყვეტილი შემთხვევითი ცვლადის ამომწურავი მახასიათებელი (განაწილების კანონი). თუმცა, ეს მახასიათებელი არ არის უნივერსალური; ის არსებობს მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის. ადვილი მისახვედრია, რომ ასეთი მახასიათებლის აგება შეუძლებელია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის. მართლაც, უწყვეტ შემთხვევით ცვლადს აქვს შესაძლო მნიშვნელობების უთვალავი ნაკრები, რომელიც მთლიანად ავსებს გარკვეულ ხარვეზს (ე.წ. "დათვლადი ნაკრები"). შეუძლებელია ცხრილის შედგენა, რომელშიც ჩამოთვლილი იქნება ასეთი შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა. უფრო მეტიც, როგორც მოგვიანებით დავინახავთ, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ყოველ ცალკეულ მნიშვნელობას, როგორც წესი, არ აქვს რაიმე არანულოვანი ალბათობა. მაშასადამე, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის არ არსებობს განაწილების სერია იმ გაგებით, რომლითაც ის არსებობს უწყვეტი ცვლადისთვის. ამასთან, შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების სხვადასხვა დიაპაზონი ჯერ კიდევ არ არის თანაბრად სავარაუდო, ხოლო უწყვეტი ცვლადისთვის არის "ალბათობის განაწილება", თუმცა არა იგივე გაგებით, როგორც წყვეტილისთვის.

ამ ალბათობის განაწილების რაოდენობრივად დასახასიათებლად, მოსახერხებელია გამოვიყენოთ მოვლენის ალბათობა და მოვლენის ალბათობა, სადაც არის გარკვეული მიმდინარე ცვლადი. ამ მოვლენის ალბათობა ცხადია დამოკიდებულია იმაზე, რომ არსებობს გარკვეული ფუნქცია. ამ ფუნქციას ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია და აღინიშნება:

. (5.2.1)

განაწილების ფუნქციას ზოგჯერ ასევე უწოდებენ ინტეგრალური განაწილების ფუნქციას ან ინტეგრალური განაწილების კანონს.

განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადის ყველაზე უნივერსალური მახასიათებელია. ის არსებობს ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის: როგორც უწყვეტი, ასევე უწყვეტი. განაწილების ფუნქცია სრულიად ახასიათებს შემთხვევით ცვლადს ალბათური თვალსაზრისით, ე.ი. განაწილების კანონის ფორმაა.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ განაწილების ფუნქციის რამდენიმე ზოგადი თვისება.

1. განაწილების ფუნქცია არის მისი არგუმენტის შეუმცირებელი ფუნქცია, ე.ი. ზე.

2. მინუს უსასრულობისას განაწილების ფუნქცია ნულის ტოლია: .

3. პლუს უსასრულობაზე განაწილების ფუნქცია ერთის ტოლია: .

ამ თვისებების მკაცრი დადასტურების გარეშე, ჩვენ მათ ილუსტრირებას ვაკეთებთ ვიზუალური გეომეტრიული ინტერპრეტაციის დახმარებით. ამისთვის შემთხვევით ცვლადს განვიხილავთ, როგორც შემთხვევით წერტილს Ox ღერძზე (ნახ. 5.2.1), რომელსაც ექსპერიმენტის შედეგად შეუძლია ამა თუ იმ პოზიციის დაკავება. მაშინ განაწილების ფუნქცია არის ალბათობა იმისა, რომ ექსპერიმენტის შედეგად შემთხვევითი წერტილი წერტილიდან მარცხნივ დაეცემა.

ჩვენ გავზრდით, ანუ წერტილის გადატანა მარჯვნივ x-ღერძის გასწვრივ. ცხადია, ამ შემთხვევაში, ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი წერტილი დაეცემა მარცხნივ, ვერ შემცირდება; შესაბამისად, განაწილების ფუნქცია ვერ შემცირდება გაზრდით.

იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ , ჩვენ გადავიტანთ წერტილს მარცხნივ x-ღერძის გასწვრივ განუსაზღვრელი ვადით. ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი წერტილის მარცხნივ დარტყმა ლიმიტში ხდება შეუძლებელი მოვლენა; ბუნებრივია ვივარაუდოთ, რომ ამ მოვლენის ალბათობა ნულისკენ მიისწრაფვის, ე.ი. .

ანალოგიურად, წერტილის მარჯვნივ გადაადგილება განუსაზღვრელი ვადით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ , რადგან მოვლენა ხდება ლიმიტში საიმედო.

განაწილების ფუნქციის გრაფიკი ზოგად შემთხვევაში არის უცვლელი ფუნქციის გრაფიკი (ნახ. 5.2.2), რომლის მნიშვნელობები იწყება 0-დან და აღწევს 1-ს და ზოგიერთ მომენტში ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ნახტომები (უწყვეტები).

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიების ცოდნით, მარტივად შეიძლება ამ ცვლადის განაწილების ფუნქციის აგება. მართლაც,

სადაც უტოლობა ჯამის ნიშნის ქვეშ მიუთითებს, რომ ჯამი ვრცელდება ყველა იმ მნიშვნელობაზე, რომელიც ნაკლებია.

როდესაც მიმდინარე ცვლადი გადის უწყვეტი მნიშვნელობის რომელიმე შესაძლო მნიშვნელობაზე, განაწილების ფუნქცია მკვეთრად იცვლება და ნახტომის სიდიდე უდრის ამ მნიშვნელობის ალბათობას.

მაგალითი 1. ტარდება ერთი ექსპერიმენტი, რომელშიც მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს. მოვლენის ალბათობაა 0,3. შემთხვევითი ცვლადი - ექსპერიმენტში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა (მოვლენის დამახასიათებელი შემთხვევითი ცვლადი). შექმენით მისი განაწილების ფუნქცია.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ