ყველა განტოლება, რომელიც შეიცავს ფრჩხილებს, არ არის ამოხსნილი ერთნაირად. რა თქმა უნდა, ყველაზე ხშირად მათ სჭირდებათ ფრჩხილების გახსნა და მსგავსი პირობების მიცემა (თუმცა, ფრჩხილების გახსნის გზები განსხვავდება). მაგრამ ზოგჯერ თქვენ არ გჭირდებათ ფრჩხილების გახსნა. განვიხილოთ ყველა ეს შემთხვევა კონკრეტული მაგალითებით:

1. 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2. 2x - 3(x + 5) = -12.
3. (x + 1) (7x - 21) = 0.

განტოლებების ამოხსნა ფრჩხილის გახსნის გზით

განტოლებების ამოხსნის ეს მეთოდი ყველაზე გავრცელებულია, მაგრამ მთელი მისი აშკარა უნივერსალურობის მიუხედავად, იგი იყოფა ქვესახეობებად, იმის მიხედვით, თუ როგორ გაიხსნება ფრჩხილები.

1) განტოლების ამოხსნა 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).

ამ განტოლებაში ფრჩხილების წინ არის მინუს და პლუსის ნიშნები. ფრჩხილების გასახსნელად პირველ შემთხვევაში, სადაც მათ წინ უსწრებს მინუს ნიშანი, ფრჩხილების შიგნით არსებული ყველა ნიშანი შებრუნებული უნდა იყოს. ფრჩხილების მეორე წყვილს წინ უძღვის პლუს ნიშანი, რომელიც გავლენას არ მოახდენს ფრჩხილებში არსებულ ნიშნებზე, ამიტომ მათი უბრალოდ გამოტოვება შეიძლება. ჩვენ ვიღებთ:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

ტერმინებს x-ით გადავიტანთ განტოლების მარცხენა მხარეს, დანარჩენს კი მარჯვნივ (გადატანილი ტერმინების ნიშნები საპირისპიროდ შეიცვლება):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

უცნობი ფაქტორი x-ის საპოვნელად, გაყავით ნამრავლი 18 ცნობილ 6-ზე:

x \u003d 18 / 6 \u003d 3.

2) განტოლების ამოხსნა 2x - 3(x + 5) = -12.

ამ განტოლებაში, თქვენ ასევე უნდა გახსნათ ფრჩხილები, მაგრამ გამოიყენეთ გამანაწილებელი თვისება: იმისათვის, რომ გავამრავლოთ -3 ჯამზე (x + 5), თქვენ უნდა გაამრავლოთ -3 თითოეულ წევრზე ფრჩხილებში და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია:

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

განტოლებების ამოხსნა ფრჩხილების გახსნის გარეშე

მესამე განტოლება (x + 1) (7x - 21) \u003d 0 ასევე შეიძლება ამოიხსნას ფრჩხილების გახსნით, მაგრამ ასეთ შემთხვევებში ბევრად უფრო ადვილია გამრავლების თვისების გამოყენება: ნამრავლი არის ნული, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია. . ნიშნავს:

x + 1 = 0 ან 7x - 21 = 0.

ფრჩხილების მთავარი ფუნქციაა მნიშვნელობების გამოთვლისას მოქმედებების თანმიმდევრობის შეცვლა. მაგალითად, რიცხვით გამოსახულებაში \(5 3+7\) ჯერ გამოითვლება გამრავლება, შემდეგ კი შეკრება: \(5 3+7 =15+7=22\). მაგრამ გამონათქვამში \(5·(3+7)\) ჯერ ფრჩხილებში შეკრება გამოითვლება და მხოლოდ ამის შემდეგ გამრავლება: \(5·(3+7)=5·10=50\).

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილი: \(-(4მ+3)\).
გადაწყვეტილება : \(-(4მ+3)=-4მ-3\).

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილი და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
გადაწყვეტილება : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \(5(3-x)\).
გადაწყვეტილება : ჩვენ გვაქვს \(3\) და \(-x\) ფრჩხილში, ხოლო ხუთი ფრჩხილის წინ. ეს ნიშნავს, რომ ფრჩხილის თითოეული წევრი მრავლდება \ (5 \)-ზე - შეგახსენებთ ამას რიცხვსა და ფრჩხილს შორის გამრავლების ნიშანი მათემატიკაში არ იწერება ჩანაწერების ზომის შესამცირებლად.

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \(-2(-3x+5)\).
გადაწყვეტილება : როგორც წინა მაგალითში, ფრჩხილი \(-3x\) და \(5\) მრავლდება \(-2\-ზე).

მაგალითი. გაამარტივე გამოთქმა: \(5(x+y)-2(x-y)\).
გადაწყვეტილება : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

რჩება ბოლო სიტუაციის განხილვა.

ფრჩხილების ფრჩხილებზე გამრავლებისას, პირველი ფრჩხილის ყოველი წევრი მრავლდება მეორის თითოეულ წევრზე:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \((2-x)(3x-1)\).
გადაწყვეტილება : ჩვენ გვაქვს ფრჩხილების პროდუქტი და მისი გახსნა დაუყოვნებლივ შესაძლებელია ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით. მაგრამ იმისათვის, რომ არ დავიბნეთ, მოდით ყველაფერი გავაკეთოთ ეტაპობრივად.
ნაბიჯი 1. ამოიღეთ პირველი ფრჩხილი - მისი თითოეული წევრი მრავლდება მეორე ფრჩხილზე:

ნაბიჯი 2. გააფართოვეთ სამაგრის პროდუქტები ზემოთ აღწერილი ფაქტორით:
- ჯერ პირველი...

მერე მეორე.

ნაბიჯი 3. ახლა ვამრავლებთ და მოვიყვანთ მსგავს ტერმინებს:

არ არის აუცილებელი ყველა ტრანსფორმაციის დეტალურად დახატვა, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაამრავლოთ. მაგრამ თუ მხოლოდ ფრჩხილების გახსნას სწავლობ - დაწერე დეტალურად, შეცდომის დაშვების შანსი ნაკლები იქნება.

შენიშვნა მთელი განყოფილებისთვის.სინამდვილეში, თქვენ არ გჭირდებათ ოთხივე წესის დამახსოვრება, საჭიროა მხოლოდ ერთი, ეს ერთი: \(c(a-b)=ca-cb\) . რატომ? რადგან თუ c-ის ნაცვლად ერთს შევცვლით, მივიღებთ წესს \((a-b)=a-b\) . და თუ ჩავანაცვლებთ მინუს ერთის, მივიღებთ წესს \(-(a-b)=-a+b\) . თუ c-ის ნაცვლად სხვა ფრჩხილს ჩაანაცვლებთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ბოლო წესი.

ფრჩხილები ფრჩხილებში

ზოგჯერ პრაქტიკაში არის პრობლემები სხვა ფრჩხილებში მოთავსებულ ფრჩხილებთან დაკავშირებით. აი ასეთი დავალების მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება \(7x+2(5-(3x+y))\).

ამ ამოცანებში წარმატების მისაღწევად, თქვენ უნდა:
- ყურადღებით გააცნობიერე ფრჩხილების ბუდე - რომელი რომელშია;
- გახსენით ფრჩხილები თანმიმდევრულად, დაწყებული, მაგალითად, ყველაზე შიდადან.

მნიშვნელოვანია ერთ-ერთი სამაგრის გახსნისას არ შეეხოთ დანარჩენ გამონათქვამს, უბრალოდ გადაწერე როგორც არის.
მაგალითისთვის ავიღოთ ზემოთ მოცემული დავალება.

მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(7x+2(5-(3x+y))\).
გადაწყვეტილება:

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
გადაწყვეტილება :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		ეს არის ფრჩხილების სამმაგი ბუდე. ჩვენ ვიწყებთ ყველაზე შიგნიდან (მონიშნულია მწვანეში). ფრჩხილის წინ არის პლუსი, ამიტომ ის უბრალოდ ამოღებულია.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		ახლა თქვენ უნდა გახსნათ მეორე ფრჩხილი, შუალედური. მაგრამ მანამდე ჩვენ გავამარტივებთ გამოხატვას ამ მეორე ფრჩხილში მსგავსი ტერმინების მოჩვენებითი გამოსახვით.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		ახლა ჩვენ ვხსნით მეორე ფრჩხილს (მონიშნულია ლურჯად). ფრჩხილის წინ არის მულტიპლიკატორი - ამიტომ ფრჩხილებში ყოველი წევრი მრავლდება მასზე.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		და გახსენით ბოლო ფრჩხილები. ფრჩხილამდე მინუს - ასე რომ, ყველა ნიშანი შებრუნებულია.

ფრჩხილის გახსნა არის ძირითადი უნარი მათემატიკაში. ამ უნარის გარეშე შეუძლებელია მე-8 და მე-9 კლასებში სამზე მაღალი შეფასება. ამიტომ გირჩევთ ამ თემის კარგად გაგებას.

განტოლება ერთი უცნობით, რომელიც ფრჩხილების გახსნისა და მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ იღებს ფორმას

ცული + b = 0, სადაც a და b არის თვითნებური რიცხვები, ეწოდება წრფივი განტოლება ერთ უცნობთან. დღეს ჩვენ გავარკვევთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ეს წრფივი განტოლებები.

მაგალითად, ყველა განტოლება:

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - წრფივი.

უცნობის მნიშვნელობა, რომელიც აქცევს განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში, ეწოდება გადაწყვეტილება ან განტოლების ფესვი .

მაგალითად, თუ განტოლებაში 3x + 7 \u003d 13 ჩვენ შევცვლით რიცხვს 2-ს უცნობი x-ის ნაცვლად, მაშინ მივიღებთ სწორ ტოლობას 3 2 + 7 \u003d 13. ეს ნიშნავს, რომ მნიშვნელობა x \u003d 2 არის გამოსავალი. ან განტოლების ფესვი.

და მნიშვნელობა x \u003d 3 არ აქცევს განტოლებას 3x + 7 \u003d 13 ნამდვილ ტოლობაში, რადგან 3 2 + 7 ≠ 13. ამიტომ, მნიშვნელობა x \u003d 3 არ არის განტოლების ამონახსნი ან ფესვი.

ნებისმიერი წრფივი განტოლების ამოხსნა მცირდება ფორმის განტოლებათა ამოხსნამდე

ცული + b = 0.

თავისუფალ წევრს განტოლების მარცხენა მხრიდან გადავიტანთ მარჯვნივ, ხოლო b-ის წინ ნიშნის საპირისპიროდ ვცვლით, მივიღებთ

თუ a ≠ 0, მაშინ x = – b/a .

მაგალითი 1 ამოხსენით განტოლება 3x + 2 =11.

2-ს განტოლების მარცხენა მხრიდან გადავიტანთ მარჯვნივ, ხოლო 2-ის წინ ნიშნის საპირისპიროდ ვცვლით, მივიღებთ
3x \u003d 11 - 2.

მოდით გავაკეთოთ გამოკლება, მაშინ
3x = 9.

x-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილი ფაქტორით, ანუ,
x = 9:3.

ასე რომ, მნიშვნელობა x = 3 არის განტოლების ამონახსნი ან ფესვი.

პასუხი: x = 3.

თუ a = 0 და b = 0, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0x \u003d 0. ამ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები, ვინაიდან ნებისმიერი რიცხვის 0-ზე გამრავლებისას მივიღებთ 0-ს, მაგრამ b არის ასევე 0. ამ განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რიცხვი.

მაგალითი 2ამოხსენით განტოლება 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

აქ არის მსგავსი წევრები:
0x = 0.

პასუხი: x არის ნებისმიერი რიცხვი.

თუ a = 0 და b ≠ 0, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0x = - b. ამ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს, რადგან ნებისმიერი რიცხვის 0-ზე გამრავლებისას მივიღებთ 0-ს, მაგრამ b ≠ 0-ს.

მაგალითი 3ამოხსენით განტოლება x + 8 = x + 5.

მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს მარცხენა მხარეს, ხოლო თავისუფალი ტერმინები მარჯვენა მხარეს:
x - x \u003d 5 - 8.

აქ არის მსგავსი წევრები:
0x = - 3.

პასუხი: არ არის გამოსავალი.

Ზე ფიგურა 1 ნაჩვენებია წრფივი განტოლების ამოხსნის სქემა

მოდით შევადგინოთ განტოლებების ამოხსნის ზოგადი სქემა ერთი ცვლადით. განვიხილოთ მე-4 მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი 4 მოდი ამოვხსნათ განტოლება

1) გაამრავლეთ განტოლების ყველა წევრი მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, რომელიც უდრის 12-ს.

2) შემცირების შემდეგ ვიღებთ
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) უცნობი და თავისუფალი წევრების შემცველი წევრების გამოსაყოფად გახსენით ფრჩხილები:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) ერთ ნაწილში ვაჯგუფებთ უცნობის შემცველ ტერმინებს, ხოლო მეორეში - თავისუფალ ტერმინებს:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) აქ არის მსგავსი წევრები:
- 22x = - 154.

6) გაყავით - 22-ზე, მივიღებთ
x = 7.

როგორც ხედავთ, განტოლების ფესვი არის შვიდი.

ზოგადად, ასეთი განტოლებები შეიძლება გადაწყდეს შემდეგნაირად:

ა) განტოლების მიყვანა მთელ რიცხვამდე;

ბ) ღია ფრჩხილები;

გ) განტოლების ერთ ნაწილში დააჯგუფოს უცნობის შემცველი ტერმინები, მეორეში კი თავისუფალი ტერმინები;

დ) მოიყვანოს მსგავსი წევრები;

ე) ამოხსნათ aх = b ფორმის განტოლება, რომელიც მიღებული იქნა მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ.

თუმცა, ეს სქემა არ არის საჭირო ყველა განტოლებისთვის. ბევრი მარტივი განტოლების ამოხსნისას უნდა დაიწყოს არა პირველიდან, არამედ მეორედან ( მაგალითი. 2), მესამე ( მაგალითი. ცამეტი) და მეხუთე ეტაპიდანაც კი, როგორც მე-5 მაგალითში.

მაგალითი 5ამოხსენით განტოლება 2x = 1/4.

ჩვენ ვიპოვით უცნობი x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

განვიხილოთ რამდენიმე წრფივი განტოლების ამოხსნა, რომლებიც გვხვდება მთავარ სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაგალითი 6ამოხსენით განტოლება 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

პასუხი: - 0.125

მაგალითი 7ამოხსენით განტოლება - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

- 30 + 18x = 8x - 7

18x - 8x = - 7 +30

პასუხი: 2.3

მაგალითი 8 ამოხსენით განტოლება

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

მაგალითი 9იპოვეთ f(6), თუ f (x + 2) = 3 7's

გადაწყვეტილება

ვინაიდან ჩვენ უნდა ვიპოვოთ f(6) და ვიცით f (x + 2),
შემდეგ x + 2 = 6.

ჩვენ ვხსნით წრფივ განტოლებას x + 2 = 6,
ვიღებთ x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

თუ x = 4 მაშინ
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

პასუხი: 27.

თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, გაქვთ სურვილი უფრო დეტალურად გაიგოთ განტოლებების ამოხსნა, დარეგისტრირდით ჩემს გაკვეთილებზე განრიგში. მოხარული ვიქნები დაგეხმაროთ!

TutorOnline ასევე გირჩევთ ნახოთ ჩვენი დამრიგებლის ოლგა ალექსანდროვნას ახალი ვიდეო გაკვეთილი, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ როგორც წრფივი განტოლებები, ასევე სხვა.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ფრჩხილები გამოიყენება რიცხვითი და ანბანური გამონათქვამების, აგრეთვე ცვლადების მქონე გამოსახულებებში მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობის აღსანიშნავად. მოსახერხებელია ფრჩხილებით გამოსახულიდან იდენტურად თანაბარ გამოხატულებაზე გადასვლა ფრჩხილების გარეშე. ამ ტექნიკას ეწოდება ფრჩხილების გახსნა.

ფრჩხილების გაფართოება ნიშნავს ამ ფრჩხილების გამოხატვის მოცილებას.

განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს კიდევ ერთი პუნქტი, რომელიც ეხება ფრჩხილების გახსნისას წერითი გადაწყვეტილებების თავისებურებებს. თავდაპირველი გამოხატულება შეგვიძლია ფრჩხილებით დავწეროთ და ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მიღებული შედეგი ტოლობის სახით. მაგალითად, ფრჩხილების გახსნის შემდეგ, გამოხატვის ნაცვლად
3−(5−7) ვიღებთ გამოსახულებას 3−5+7. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ორივე გამონათქვამი, როგორც ტოლობა 3−(5−7)=3−5+7.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. მათემატიკაში, ჩანაწერების შესამცირებლად, ჩვეულებრივია არ დაწეროთ პლუს ნიშანი, თუ ის პირველია გამოხატულებაში ან ფრჩხილებში. მაგალითად, თუ დავამატებთ ორ დადებით რიცხვს, მაგალითად, შვიდს და სამს, მაშინ ვწერთ არა +7 + 3, არამედ უბრალოდ 7 + 3, მიუხედავად იმისა, რომ შვიდი ასევე დადებითი რიცხვია. ანალოგიურად, თუ ხედავთ, მაგალითად, გამონათქვამს (5 + x) - იცოდეთ, რომ ფრჩხილის წინ არის პლუსი, რომელიც არ არის დაწერილი, და არის პლუს + (+5 + x) წინ. ხუთი.

სამაგრის გაფართოების წესი დამატებისათვის

ფრჩხილების გახსნისას, თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსი, მაშინ ეს პლუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად.

მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები გამონათქვამში 2 + (7 + 3) ფრჩხილების წინ პლიუს, მაშინ ფრჩხილებში რიცხვების წინ სიმბოლოები არ იცვლება.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

გამოკლებისას ფრჩხილების გაფართოების წესი

თუ ფრჩხილების წინ არის მინუსი, მაშინ ეს მინუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად, მაგრამ ტერმინები, რომლებიც იყო ფრჩხილებში, ცვლის მათ ნიშანს საპირისპიროდ. ფრჩხილებში პირველ ტერმინამდე ნიშნის არარსებობა გულისხმობს + ნიშანს.

მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები გამოსახულებაში 2 − (7 + 3)

ფრჩხილებამდე არის მინუსი, ასე რომ თქვენ უნდა შეცვალოთ ნიშნები ფრჩხილებიდან რიცხვებამდე. 7 რიცხვამდე ფრჩხილებში არ არის ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ შვიდი დადებითია, ითვლება, რომ მის წინ არის + ნიშანი.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

ფრჩხილების გახსნისას ვხსნით მინუს მაგალითს, რომელიც იყო ფრჩხილების წინ, და თავად ფრჩხილებს 2 − (+ 7 + 3) და ვცვლით ფრჩხილებში არსებულ ნიშნებს საპირისპიროზე.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

გამრავლებისას ფრჩხილების გაფართოება

თუ ფრჩხილების წინ არის გამრავლების ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების შიგნით თითოეული რიცხვი მრავლდება ფრჩხილების წინ არსებულ კოეფიციენტზე. ამავდროულად, მინუს მინუსზე გამრავლება იძლევა პლიუსს, ხოლო მინუსის პლიუსზე გამრავლება, ისევე როგორც პლიუსის მინუსზე გამრავლება, იძლევა მინუსს.

ამრიგად, პროდუქტებში ფრჩხილები ფართოვდება გამრავლების გამანაწილებელი თვისების შესაბამისად.

მაგალითი. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

ფრჩხილების ფრჩხილებში გამრავლებისას, პირველი ფრჩხილის ყოველი წევრი მრავლდება მეორე ფრჩხილის თითოეულ წევრთან.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

სინამდვილეში, არ არის საჭირო ყველა წესის დამახსოვრება, საკმარისია მხოლოდ ერთი გავიხსენოთ, ეს: c(a−b)=ca−cb. რატომ? რადგან თუ c-ის ნაცვლად ერთს შევცვლით, მივიღებთ წესს (a−b)=a−b. და თუ ჩავანაცვლებთ მინუს ერთის, მივიღებთ წესს −(a−b)=−a+b. თუ c-ის ნაცვლად სხვა ფრჩხილს ჩაანაცვლებთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ბოლო წესი.

გაყოფისას გააფართოვეთ ფრჩხილები

თუ ფრჩხილების შემდეგ არის გაყოფის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში თითოეული რიცხვი იყოფა ფრჩხილების შემდეგ გამყოფზე და პირიქით.

მაგალითი. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

როგორ გავაფართოვოთ ჩასმული ფრჩხილები

თუ გამოთქმა შეიცავს ჩადგმულ ფრჩხილებს, მაშინ ისინი გაფართოვდებიან თანმიმდევრობით, დაწყებული გარედან ან შიდადან.

ამავდროულად, ერთ-ერთი ფრჩხილის გახსნისას მნიშვნელოვანია, რომ არ შეეხოთ სხვა ფრჩხილებს, უბრალოდ გადაწეროთ ისინი ისე, როგორც არის.

მაგალითი. 12 - (a + (6 - ბ) - 3) = 12 - ა - (6 - ბ) + 3 = 12 - ა - 6 + ბ + 3 = 9 - ა + ბ

წრფივი განტოლებები. გამოსავალი, მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

წრფივი განტოლებები.

წრფივი განტოლებები არ არის ყველაზე რთული თემა სასკოლო მათემატიკაში. მაგრამ არსებობს რამდენიმე ხრიკი, რომელსაც შეუძლია გაწვრთნილი სტუდენტიც კი დააბრკოლოს. გავარკვიოთ?)

წრფივი განტოლება ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც ფორმის განტოლება:

ნაჯახი + ბ = 0 სადაც ა და ბ- ნებისმიერი რიცხვი.

2x + 7 = 0. აქ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 აქ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 აქ a=12, b=1/2

არაფერი რთული, არა? მით უმეტეს, თუ ვერ ამჩნევთ სიტყვებს: "სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი"... და თუ შეამჩნიე, მაგრამ დაუდევრად იფიქრე?) ბოლოს და ბოლოს, თუ a=0, b=0(ნებისმიერი რიცხვი შესაძლებელია?), შემდეგ მივიღებთ სასაცილო გამოთქმას:

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! თუ, ვთქვათ, a=0,ა b=5,გამოდის რაღაც საკმაოდ აბსურდული:

რა ძაბავს და ძირს უთხრის მათემატიკაში ნდობას, დიახ...) განსაკუთრებით გამოცდებზე. მაგრამ ამ უცნაური გამონათქვამებიდან, თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ X! რაც საერთოდ არ არსებობს. და, გასაკვირია, რომ ეს X ძალიან ადვილია. ჩვენ ვისწავლით როგორ გავაკეთოთ ეს. ამ გაკვეთილზე.

როგორ ამოვიცნოთ წრფივი განტოლება გარეგნულად? ეს დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გარეგნობა.) ხრიკი ის არის, რომ წრფივ განტოლებებს უწოდებენ არა მხოლოდ ფორმის განტოლებებს ნაჯახი + ბ = 0 , არამედ ნებისმიერი განტოლება, რომელიც ამ ფორმამდე მცირდება გარდაქმნებისა და გამარტივების შედეგად. და ვინ იცის, შემცირდა თუ არა?)

ზოგიერთ შემთხვევაში წრფივი განტოლება მკაფიოდ შეიძლება ამოვიცნოთ. ვთქვათ, თუ გვაქვს განტოლება, რომელშიც მხოლოდ პირველი ხარისხის უცნობია, დიახ რიცხვები. და განტოლება არა წილადები გაყოფილი უცნობი , ეს არის მნიშვნელოვანი! და გაყოფა ნომერი,ან რიცხვითი წილადი - ესე იგი! Მაგალითად:

ეს არის წრფივი განტოლება. აქ არის წილადები, მაგრამ არ არის x-ები კვადრატში, კუბში და ა.შ. და არ არის x-ები მნიშვნელებში, ე.ი. არა გაყოფა x-ზე. და აქ არის განტოლება

არ შეიძლება ეწოდოს ხაზოვანი. აქ x ყველა პირველ ხარისხშია, მაგრამ არის დაყოფა გამოსახულებით x-ით. გამარტივების და გარდაქმნების შემდეგ, შეგიძლიათ მიიღოთ წრფივი განტოლება, კვადრატული განტოლება და ყველაფერი, რაც მოგწონთ.

გამოდის, რომ შეუძლებელია წრფივი განტოლების გარკვევა რაიმე რთულ მაგალითში, სანამ მას თითქმის არ ამოხსნით. ეს აღმაშფოთებელია. მაგრამ დავალებებში, როგორც წესი, ისინი არ ეკითხებიან განტოლების ფორმას, არა? ამოცანებში განტოლებები დალაგებულია გადაწყვიტოს.ეს მახარებს.)

წრფივი განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

წრფივი განტოლებების მთელი ამონახსნი შედგება განტოლებების იდენტური გარდაქმნებისაგან. სხვათა შორის, ეს გარდაქმნები (ორივე!) ეფუძნება გადაწყვეტილებებს მათემატიკის ყველა განტოლება.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გადაწყვეტილება ნებისმიერიგანტოლება იწყება იმავე გარდაქმნებით. წრფივი განტოლებების შემთხვევაში ის (ამოხსნა) ამ გარდაქმნებზე სრულდება სრულფასოვანი პასუხით. აზრი აქვს ბმულს, არა?) მეტიც, არის ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითებიც.

დავიწყოთ უმარტივესი მაგალითით. ყოველგვარი ხარვეზების გარეშე. ვთქვათ, უნდა ამოხსნათ შემდეგი განტოლება.

x - 3 = 2 - 4x

ეს არის წრფივი განტოლება. X-ები ყველა პირველ ხარისხშია, X-ზე არ არის გაყოფა. მაგრამ, რეალურად, ჩვენ არ გვაინტერესებს რა არის განტოლება. ჩვენ უნდა მოვაგვაროთ. აქ სქემა მარტივია. შეაგროვეთ ყველაფერი x-ებით განტოლების მარცხენა მხარეს, ყველაფერი x-ების გარეშე (რიცხვები) მარჯვნივ.

ამისათვის თქვენ უნდა გადაიტანოთ - 4x მარცხენა მხარეს, ნიშნის ცვლილებით, რა თქმა უნდა, მაგრამ - 3 - მარჯვნივ. სხვათა შორის, ეს არის განტოლებების პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია.გაკვირვებული? ასე რომ, მათ არ მიჰყვნენ ბმულს, მაგრამ ამაოდ ...) ჩვენ ვიღებთ:

x + 4x = 2 + 3

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსს, მიგვაჩნია:

რა გვჭირდება რომ ვიყოთ სრულიად ბედნიერები? დიახ, ისე, რომ მარცხნივ არის სუფთა X! ხუთი უშვებს გზას. მოშორება ხუთს ერთად განტოლების მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია.კერძოდ, განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ 5-ზე. ვიღებთ მზა პასუხს:

ელემენტარული მაგალითი, რა თქმა უნდა. ეს გახურებისთვისაა.) გაუგებარია, რატომ გამახსენდა აქ იდენტური გარდაქმნები? ᲙᲐᲠᲒᲘ. ხარს რქებით ვიჭერთ.) რამე უფრო შთამბეჭდავი გადავწყვიტოთ.

მაგალითად, აქ არის ეს განტოლება:

საიდან დავიწყოთ? X-ით - მარცხნივ, X გარეშე - მარჯვნივ? შეიძლება ასეც იყოს. პატარა ნაბიჯები გრძელი გზის გასწვრივ. და თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ, უნივერსალური და ძლიერი გზით. თუ, რა თქმა უნდა, თქვენს არსენალში არ გაქვთ განტოლებების იდენტური ტრანსფორმაციები.

მე დაგისვამ საკვანძო კითხვას: რა არ მოგწონთ ყველაზე მეტად ამ განტოლებაში?

100-დან 95 ადამიანი უპასუხებს: წილადები ! პასუხი სწორია. მაშ, მოვიშოროთ ისინი. ასე რომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიწყებთ მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია. რა გჭირდებათ მარცხნივ წილადის გასამრავლებლად, რომ მნიშვნელი მთლიანად შემცირდეს? მართალია, 3. და მარჯვნივ? 4-ით. მაგრამ მათემატიკა საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ ორივე მხარე იგივე ნომერი. როგორ გამოვიდეთ? გავამრავლოთ ორივე მხარე 12-ზე! იმათ. საერთო მნიშვნელისკენ. მაშინ სამი შემცირდება და ოთხი. არ დაგავიწყდეთ, რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული ნაწილი მთლიანად. აი, როგორ გამოიყურება პირველი ნაბიჯი:

ფრჩხილების გაფართოება:

Შენიშვნა! მრიცხველი (x+2)ფრჩხილებში ავიღე! ეს იმიტომ, რომ წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მთლიანზე, მთლიანად! ახლა კი შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები და შეამციროთ:

დარჩენილი ფრჩხილების გახსნა:

არა მაგალითი, არამედ სუფთა სიამოვნება!) ახლა გავიხსენოთ შელოცვა ქვედა კლასებიდან: x-ით - მარცხნივ, x-ის გარეშე - მარჯვნივ!და გამოიყენეთ ეს ტრანსფორმაცია:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

და ორივე ნაწილს ვყოფთ 25-ზე, ე.ი. კვლავ გამოიყენეთ მეორე ტრანსფორმაცია:

Სულ ეს არის. პასუხი: X=0,16

გაითვალისწინეთ: ორიგინალური დამაბნეველი განტოლება სასიამოვნო ფორმამდე რომ მივიყვანოთ, ჩვენ გამოვიყენეთ ორი (მხოლოდ ორი!) იდენტური გარდაქმნები- თარგმნა მარცხნივ-მარჯვნივ ნიშნის ცვლილებით და განტოლების გამრავლება-გაყოფით იმავე რიცხვზე. ეს არის უნივერსალური გზა! ჩვენ ვიმუშავებთ ამ გზით ნებისმიერი განტოლებები! აბსოლუტურად ნებისმიერი. ამიტომაც მე მუდმივად ვიმეორებ ამ იდენტურ გარდაქმნებს.)

როგორც ხედავთ, წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი მარტივია. ვიღებთ განტოლებას და ვამარტივებთ მას იდენტური გარდაქმნების დახმარებით, სანამ პასუხს არ მივიღებთ. აქ მთავარი პრობლემები გათვლებშია და არა გადაწყვეტის პრინციპში.

მაგრამ... არის ისეთი სიურპრიზები ყველაზე ელემენტარული წრფივი განტოლებების ამოხსნის პროცესში, რომ მათ შეუძლიათ ძლიერ სისულელემდე მიიყვანონ...) საბედნიეროდ, მხოლოდ ორი ასეთი სიურპრიზი შეიძლება იყოს. დავარქვათ მათ განსაკუთრებული შემთხვევები.

სპეციალური შემთხვევები წრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

ჯერ სიურპრიზი.

დავუშვათ, რომ წააწყდებით ელემენტარულ განტოლებას, მსგავსი:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

ოდნავ მოწყენილი, X-ით გადავდივართ მარცხნივ, X გარეშე - მარჯვნივ... ნიშნის ცვლილებით ყველაფერი ჩინ-ჩინარია... ვიღებთ:

2x-5x+3x=5-2-3

ჩვენ გვჯერა და ... ოჰ! ჩვენ ვიღებთ:

თავისთავად, ეს თანასწორობა არ არის სადავო. ნული ნამდვილად ნულია. მაგრამ X წავიდა! და ჩვენ უნდა დავწეროთ პასუხში, რისი ტოლია x.თორემ გამოსავალი არ ითვლება, კი...) ჩიხი?

დამშვიდდი! ასეთ საეჭვო შემთხვევებში, ყველაზე ზოგადი წესები დაზოგავს. როგორ ამოხსნათ განტოლებები? რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა? Ეს ნიშნავს, იპოვეთ x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელიც, როდესაც ჩანაცვლდება თავდაპირველ განტოლებაში, მოგვცემს სწორ ტოლობას.

მაგრამ ჩვენ გვაქვს სწორი თანასწორობა უკვემოხდა! 0=0, მართლა სად?! რჩება იმის გარკვევა, თუ რა x-ზე მიიღება ეს. x-ის რომელ მნიშვნელობებში შეიძლება შეიცვალოს საწყისიგანტოლება, თუ ეს x-ები ისევ ნულამდე შემცირდება?Მოდი?)

კი!!! Xs შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი!Რა გინდა. მინიმუმ 5, მინიმუმ 0.05, მინიმუმ -220. ისინი მაინც შემცირდებიან. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ.) ჩაანაცვლეთ ნებისმიერი x მნიშვნელობები საწყისიგანტოლება და გამოთვლა. ყოველთვის მიიღება წმინდა ჭეშმარიტება: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 და ასე შემდეგ.

აი შენი პასუხი: x არის ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა მათემატიკური სიმბოლოებით, არსი არ იცვლება. ეს არის სრულიად სწორი და სრული პასუხი.

სიურპრიზი მეორე.

ავიღოთ იგივე ელემენტარული წრფივი განტოლება და შევცვალოთ მასში მხოლოდ ერთი რიცხვი. აი რას გადავწყვეტთ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

იგივე იდენტური გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ რაღაც დამაინტრიგებელს:

Ამგვარად. ამოხსნა წრფივი განტოლება, მიიღო უცნაური ტოლობა. მათემატიკურად რომ ვთქვათ, გვაქვს არასწორი თანასწორობა.და მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს სიმართლეს არ შეესაბამება. რავი. მაგრამ მიუხედავად ამისა, ეს სისულელე საკმაოდ კარგი მიზეზია განტოლების სწორი გადაწყვეტისთვის.)

ისევ ზოგადი წესების საფუძველზე ვფიქრობთ. რას მოგვცემს x საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებისას სწორითანასწორობა? დიახ, არცერთი! ასეთი ქსები არ არსებობს. რასაც ჩაანაცვლებ, ყველაფერი შემცირდება, სისულელე დარჩება.)

აი შენი პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

ეს ასევე სრულიად სწორი პასუხია. მათემატიკაში ასეთი პასუხები ხშირად გვხვდება.

Ამგვარად. ახლა, იმედი მაქვს, x-ების დაკარგვა ნებისმიერი (არა მხოლოდ წრფივი) განტოლების ამოხსნის პროცესში საერთოდ არ შეგაწუხებთ. საქმე ნაცნობია.)

ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ წრფივი განტოლებების ყველა ხარვეზი, აზრი აქვს მათი ამოხსნას.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.