ვთქვათ T არის ბრუნვის სხეული, რომელიც წარმოიქმნება მრუდი ტრაპეციის აბსცისის ღერძის გარშემო ბრუნვით, რომელიც მდებარეობს ზედა ნახევარ სიბრტყეში და შემოსაზღვრულია აბსცისის ღერძით, სწორი ხაზებით x=a და x=b და y უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკით. =f(x) .

დავამტკიცოთ, რომ ეს რევოლუციის სხეული არის კუბური და მისი მოცულობა გამოიხატება ფორმულით

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

პირველი, ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ რევოლუციის ეს სხეული რეგულარულია, თუ ავიღებთ \Pi სიბრტყეს Oyz რევოლუციის ღერძზე პერპენდიკულარული. გაითვალისწინეთ, რომ Oyz სიბრტყიდან x მანძილზე მდებარე მონაკვეთი არის f(x) რადიუსის წრე და მისი ფართობი S(x) არის \pi f^2(x) (ნახ. 46). მაშასადამე, ფუნქცია S(x) უწყვეტია f(x)-ის უწყვეტობის გამო. შემდეგი, თუ S(x_1)\leqslant S(x_2), მაშინ ეს ნიშნავს რომ . მაგრამ მონაკვეთების პროგნოზები Oyz სიბრტყეზე არის f(x_1) და f(x_2) რადიუსების წრეები O ცენტრით, და f(x_1)\leqslant f(x_2)აქედან გამომდინარეობს, რომ f(x_1) რადიუსის წრე შეიცავს f(x_2) რადიუსის წრეში.

ასე რომ, ბრუნვის სხეული რეგულარულია. მაშასადამე, ის კუბებადია და მისი მოცულობა გამოითვლება ფორმულით

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

თუ მრუდი ტრაპეცია შემოსაზღვრული იყო როგორც ქვემოდან, ასევე ზემოდან მრუდებით y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , მაშინ

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(ბ)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

ფორმულა (3) ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბრუნვის სხეულის მოცულობის გამოსათვლელად იმ შემთხვევაში, როდესაც მბრუნავი ფიგურის საზღვარი მოცემულია პარამეტრული განტოლებებით. ამ შემთხვევაში, უნდა გამოვიყენოთ ცვლადის ცვლილება განსაზღვრული ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ.

ზოგიერთ შემთხვევაში მოსახერხებელია რევოლუციის სხეულების დაშლა არა სწორ წრიულ ცილინდრებად, არამედ სხვა ტიპის ფიგურებად.

მაგალითად, ვიპოვოთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია მრუდი ტრაპეციის y ღერძის გარშემო ბრუნვით. ჯერ ვიპოვოთ y# სიმაღლის მართკუთხედის ბრუნვის შედეგად მიღებული მოცულობა, რომლის ძირში დევს სეგმენტი . ეს მოცულობა უდრის განსხვავებას ორი სწორი წრიული ცილინდრის მოცულობას შორის

\ დელტა V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

მაგრამ ახლა გასაგებია, რომ სასურველი მოცულობა შეფასებულია ზემოდან და ქვემოდან შემდეგნაირად:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\დელტა x_k\,.

აქედან ადვილად გამომდინარეობს ბრუნვის სხეულის მოცულობის ფორმულა y ღერძის გარშემო:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

მაგალითი 4იპოვეთ R რადიუსის ბურთის მოცულობა.

გამოსავალი.ზოგადის დაკარგვის გარეშე განვიხილავთ R რადიუსის წრეს, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე. ეს წრე, რომელიც ბრუნავს Ox ღერძის გარშემო, ქმნის ბურთს. წრის განტოლება არის x^2+y^2=R^2, ამიტომ y^2=R^2-x^2. y-ღერძის მიმართ წრის სიმეტრიის გათვალისწინებით, ჯერ ვპოულობთ სასურველი მოცულობის ნახევარს

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \მარცხნივ.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

მაშასადამე, მთელი სფეროს მოცულობა არის \frac(4)(3)\pi R^3.

მაგალითი 5გამოთვალეთ კონუსის მოცულობა, რომლის სიმაღლეა h და ფუძის რადიუსი r.

გამოსავალი.ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ Ox ღერძი ემთხვეოდეს h სიმაღლეს (ნახ. 47) და საწყისად ვიღებთ კონუსის ზედა ნაწილს. მაშინ OA წრფის განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც y=\frac(r)(h)\,x.

ფორმულის (3) გამოყენებით ვიღებთ:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \მარცხნივ.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\მარჯვნივ|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

მაგალითი 6იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ასტროიდის აბსცისის ღერძის გარშემო ბრუნვით \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(სურ. 48).

გამოსავალი.მოდით ავაშენოთ ასტროიდი. განვიხილოთ ასტროიდის ზედა ნაწილის ნახევარი, რომელიც სიმეტრიულად მდებარეობს y-ღერძის გარშემო. ფორმულის (3) გამოყენებით და განსაზღვრული ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ ცვლადის შეცვლით, ვპოულობთ ინტეგრაციის ზღვრებს ახალი t ცვლადისთვის.

თუ x=a\cos^3t=0, მაშინ t=\frac(\pi)(2) და თუ x=a\cos^3t=a, მაშინ t=0. იმის გათვალისწინებით, რომ y^2=a^2\sin^6t და dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, ვიღებთ:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

ასტროიდის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი მთელი სხეულის მოცულობა იქნება \frac(32\pi)(105)\,a^3.

მაგალითი 7იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია მრუდი ტრაპეციის y ღერძის გარშემო, რომელიც შემოსაზღვრულია აბსცისის ღერძით და ციკლოიდის პირველი თაღით. \ დასაწყისი(შემთხვევები)x=a(t-\sin(t)), \\ y=a(1-\cos(t)).\end(შემთხვევები).

გამოსავალი.ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dxდა ჩაანაცვლეთ ცვლადი ინტეგრალური ნიშნით, იმის გათვალისწინებით, რომ ციკლოიდის პირველი რკალი წარმოიქმნება, როდესაც t ცვლადი იცვლება 0-დან 2\pi-მდე. Ამგვარად,

\ დასაწყისი (გასწორებული) V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \ ბოლოს (გასწორებული)

Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოთვლების განსახორციელებლად ActiveX კონტროლი უნდა იყოს ჩართული!

ინტეგრალების გამოყენება რევოლუციის მყარი მოცულობების მოსაძებნად

მათემატიკის პრაქტიკული სარგებლობა განპირობებულია იმით, რომ გარეშე

სპეციფიკური მათემატიკური ცოდნა ართულებს მოწყობილობის პრინციპების გაგებას და თანამედროვე ტექნოლოგიების გამოყენებას. თითოეულმა ადამიანმა თავის ცხოვრებაში უნდა შეასრულოს საკმაოდ რთული გამოთვლები, გამოიყენოს საყოველთაოდ გამოყენებული აღჭურვილობა, მოიძიოს საჭირო ფორმულები საცნობარო წიგნებში და შეადგინოს მარტივი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. თანამედროვე საზოგადოებაში უფრო და უფრო მეტი სპეციალობა, რომელიც მოითხოვს მაღალ განათლებას, ასოცირდება მათემატიკის უშუალო გამოყენებასთან. ამრიგად, სკოლის მოსწავლისთვის მათემატიკა პროფესიულად მნიშვნელოვანი საგანი ხდება. წამყვანი როლი მათემატიკას ეკუთვნის ალგორითმული აზროვნების ჩამოყალიბებაში, ის აყალიბებს მოცემული ალგორითმის მიხედვით მოქმედებისა და ახალი ალგორითმების შემუშავების უნარს.

რევოლუციის სხეულების მოცულობების გამოსათვლელად ინტეგრალის გამოყენების თემის შესწავლისას, ვთავაზობ, რომ ფაკულტატურ კლასებში მოსწავლეებს განიხილონ თემა: „რევოლუციის სხეულების მოცულობა ინტეგრალების გამოყენებით“. აქ მოცემულია რამდენიმე სახელმძღვანელო მითითება ამ თემის მოსაგვარებლად:

1. ბრტყელი ფიგურის ფართობი.

ალგებრის კურსიდან ვიცით, რომ პრაქტიკულმა ამოცანებმა განაპირობა განსაზღვრული ინტეგრალის კონცეფცია..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ბრუნვის სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება Ox ღერძის გარშემო მრუდი ტრაპეციის ბრუნვის შედეგად, რომელიც შემოსაზღვრულია გატეხილი ხაზით y=f(x), Ox ღერძი, სწორი ხაზები x=a და x=b, გამოვთვალოთ ფორმულით

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. ცილინდრის მოცულობა.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">კონუსი მიიღება მართკუთხა სამკუთხედის ABC(C=90) ბრუნვით Ox ღერძის გარშემო, რომელზედაც დევს ფეხი AC.

სეგმენტი AB მდებარეობს y=kx+c ხაზზე, სადაც https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

მოდით a=0, b=H (H არის კონუსის სიმაღლე), შემდეგ Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. შეკვეცილი კონუსის მოცულობა.

შეკვეცილი კონუსის მიღება შესაძლებელია Ox-ის ღერძის გარშემო მართკუთხა ტრაპეციის ABCD (CDOx) ბრუნვით.

AB სეგმენტი დგას y=kx+c წრფეზე, სადაც , c=r.

ვინაიდან ხაზი გადის A წერტილში (0; r).

ამრიგად, სწორი ხაზი ჰგავს https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

მოდით a=0, b=H (H არის შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე), შემდეგ https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. ბურთის მოცულობა.

ბურთის მიღება შესაძლებელია x-ღერძის გარშემო ცენტრით (0;0) წრის ბრუნვით. x-ღერძის ზემოთ მდებარე ნახევარწრიული მოცემულია განტოლებით

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x რ.

I. რევოლუციის ორგანოების ტომები. წინასწარ შეისწავლეთ თავი XII, p°p° 197, 198, G. M. Fikhtengol'ts-ის სახელმძღვანელოს მიხედვით* დეტალურად გააანალიზეთ p° 198-ში მოცემული მაგალითები.

508. გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება x-ღერძის გარშემო ელიფსის ბრუნვით.

Ამგვარად,

530. იპოვეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება y \u003d sin x სინუსოიდის რკალის Ox ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად X \u003d 0 წერტილიდან X \u003d It წერტილამდე.

531. გამოთვალეთ კონუსის ზედაპირის ფართობი h სიმაღლით და r რადიუსით.

532. გამოთვალეთ წარმოქმნილი ზედაპირის ფართობი

ასტროიდის x3 ბრუნვა -) - y* - a3 x ღერძის გარშემო.

533. გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება x ღერძის გარშემო 18 y-x(6-x)r მრუდის მარყუჟის ინვერსიით.

534. იპოვეთ X2 წრის ბრუნვით წარმოქმნილი ტორუსის ზედაპირი - j - (y-3)2 = 4 x ღერძის გარშემო.

535. გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება წრის ბრუნვით X = ღირებულება, y = ასინტი Ox ღერძის გარშემო.

536. გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება მრუდის მარყუჟის ბრუნვით x = 9t2, y = St - 9t3 ღერძის გარშემო Ox.

537. იპოვეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება მრუდის რკალის ბრუნვით x = e * sint, y = el ღირებულება Ox ღერძის გარშემო

t = 0-დან t = --მდე.

538. აჩვენეთ, რომ ზედაპირი Oy ღერძის გარშემო x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) რკალის ბრუნვით წარმოქმნილი ზედაპირი, უდრის 16 u2 o2.

539. იპოვეთ კარდიოიდის პოლარული ღერძის გარშემო ბრუნვით მიღებული ზედაპირი.

540. იპოვეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება ლემნისკატის ბრუნვით პოლარული ღერძის გარშემო.

IV თავის დამატებითი ამოცანები

თვითმფრინავის ფიგურების არეები

541. იპოვეთ მრუდით შემოსაზღვრული რეგიონის მთელი ფართობი და ღერძი Oh.

542. იპოვეთ მრუდით შემოსაზღვრული მხარის ფართობი

და ღერძი Oh.

543. იპოვეთ რეგიონის ფართობის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს პირველ კვადრატში და შემოსაზღვრულია მრუდით

ლ საკოორდინაციო ღერძები.

544. იპოვეთ შიგნით შემავალი ტერიტორიის ფართობი

მარყუჟები:

545. იპოვეთ მრუდის ერთი მარყუჟით შემოსაზღვრული რეგიონის ფართობი:

546. იპოვეთ მარყუჟის შიგნით არსებული არეალის ფართობი:

547. იპოვეთ მრუდით შემოსაზღვრული მხარის ფართობი

და ღერძი Oh.

548. იპოვეთ მრუდით შემოსაზღვრული მხარის ფართობი

და ღერძი Oh.

549. იპოვეთ Oxr ღერძით შემოსაზღვრული რეგიონის ფართობი

სწორი და მრუდი

როგორ გამოვთვალოთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა
განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით?

ზოგადად, ინტეგრალურ კალკულუსში ბევრი საინტერესო აპლიკაციაა, განსაზღვრული ინტეგრალის დახმარებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი, რევოლუციის სხეულის მოცულობა, რკალის სიგრძე, ბრუნვის ზედაპირის ფართობი და მრავალი სხვა. ასე რომ, ეს იქნება სახალისო, გთხოვთ, იყავით ოპტიმისტური!

წარმოიდგინეთ ბრტყელი ფიგურა კოორდინატულ სიბრტყეზე. წარმოდგენილია? ... მაინტერესებს ვინ რა წარმოადგინა ... =))) ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მისი ფართობი. მაგრამ, გარდა ამისა, ეს ფიგურა ასევე შეიძლება შემობრუნდეს და შემობრუნდეს ორი გზით:

- x-ღერძის გარშემო;
- y-ღერძის გარშემო.

ამ სტატიაში ორივე შემთხვევა იქნება განხილული. განსაკუთრებით საინტერესოა ბრუნვის მეორე მეთოდი, ის იწვევს უდიდეს სირთულეებს, მაგრამ სინამდვილეში გამოსავალი თითქმის იგივეა, რაც x-ღერძის გარშემო უფრო გავრცელებულ ბრუნვაში. ბონუსად დავბრუნდები ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემა, და გეტყვით, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ტერიტორია მეორე გზით - ღერძის გასწვრივ. არც იმდენი ბონუსი, რამდენადაც მასალა კარგად ჯდება თემაში.

დავიწყოთ როტაციის ყველაზე პოპულარული ტიპით.

ბრტყელი ფიგურა ღერძის გარშემო

გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ღერძის გარშემო ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ბრუნვით.

გამოსავალი: როგორც ტერიტორიის პრობლემაში, გამოსავალი იწყება ბრტყელი ფიგურის ნახატით. ანუ სიბრტყეზე აუცილებელია ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის აწყობა, მაგრამ არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს. როგორ გააკეთოთ ნახატი უფრო რაციონალურად და სწრაფად, შეგიძლიათ იხილოთ გვერდებზე ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებებიდა . ეს არის ჩინური შეხსენება და ამ ეტაპზე არ ვჩერდები.

აქ ნახატი საკმაოდ მარტივია:

სასურველი ბრტყელი ფიგურა ლურჯად არის დაჩრდილული და სწორედ ის ბრუნავს ღერძის ირგვლივ, ბრუნვის შედეგად მიიღება ისეთი ოდნავ კვერცხის ფორმის მფრინავი თეფში, რომელიც სიმეტრიულია ღერძის მიმართ. სინამდვილეში, სხეულს აქვს მათემატიკური სახელი, მაგრამ ძალიან ეზარება საცნობარო წიგნში რაიმეს მითითება, ამიტომ ჩვენ გადავდივართ.

როგორ გამოვთვალოთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა?

რევოლუციის სხეულის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:

ფორმულაში ინტეგრალამდე უნდა იყოს რიცხვი. ასეც მოხდა - ყველაფერი, რაც ცხოვრებაში ტრიალებს, ამ მუდმივთან არის დაკავშირებული.

როგორ დავაყენოთ „ა“ და „იყოს“ ინტეგრაციის საზღვრები, ვფიქრობ, ადვილი მისახვედრია დასრულებული ნახატიდან.

ფუნქცია... რა არის ეს ფუნქცია? მოდით შევხედოთ ნახატს. ბრტყელი ფიგურა შემოსაზღვრულია პარაბოლის გრაფიკით ზემოდან. ეს არის ფუნქცია, რომელიც ნაგულისხმევია ფორმულაში.

პრაქტიკულ ამოცანებში, ბრტყელი ფიგურა ზოგჯერ შეიძლება განთავსდეს ღერძის ქვემოთ. ეს არაფერს ცვლის - ფორმულაში ინტეგრანტი არის კვადრატში: , ამრიგად ინტეგრალი ყოველთვის არაუარყოფითია, რაც საკმაოდ ლოგიკურია.

გამოთვალეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა ამ ფორმულის გამოყენებით:

როგორც უკვე აღვნიშნე, ინტეგრალი თითქმის ყოველთვის მარტივი გამოდის, მთავარია ფრთხილად იყო.

უპასუხე:

პასუხში აუცილებელია განზომილების მითითება - კუბური ერთეულები. ანუ, ჩვენს ბრუნვის სხეულში არის დაახლოებით 3,35 "კუბი". რატომ ზუსტად კუბური ერთეულები? რადგან ყველაზე უნივერსალური ფორმულირება. შეიძლება იყოს კუბური სანტიმეტრი, შეიძლება იყოს კუბური მეტრი, შეიძლება იყოს კუბური კილომეტრი და ა.შ., აი რამდენ პატარა მწვანე კაცს ეტევა თქვენი ფანტაზია მფრინავ თეფშში.

იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება ფიგურის ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით,

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

განვიხილოთ ორი უფრო რთული პრობლემა, რომელიც ასევე ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ფიგურის აბსცისის ღერძის გარშემო ბრუნვით, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, და

გამოსავალი: დახაზეთ ბრტყელი ფიგურა ნახაზზე, შემოსაზღვრული ხაზებით , , , და არ დაგავიწყდეთ, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს:

სასურველი ფიგურა დაჩრდილულია ლურჯად. როდესაც ის ბრუნავს ღერძის გარშემო, მიიღება ასეთი სურეალისტური დონატი ოთხი კუთხით.

რევოლუციის სხეულის მოცულობა გამოითვლება როგორც სხეულის მოცულობის განსხვავება.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ფიგურას, რომელიც წითლად არის შემოხაზული. როდესაც ის ბრუნავს ღერძის გარშემო, მიიღება შეკვეცილი კონუსი. ავღნიშნოთ ამ შეკვეცილი კონუსის მოცულობა როგორც .

განვიხილოთ ფიგურა, რომელიც შემოხაზულია მწვანეში. თუ ამ ფიგურას ატრიალებთ ღერძის ირგვლივ, ასევე მიიღებთ ჩამოჭრილ კონუსს, მხოლოდ ოდნავ პატარა. ავღნიშნოთ მისი მოცულობა .

და, ცხადია, მოცულობებში განსხვავება სწორედ ჩვენი „დონატის“ მოცულობაა.

რევოლუციის სხეულის მოცულობის საპოვნელად ვიყენებთ სტანდარტულ ფორმულას:

1) წითლად შემოხაზული ფიგურა ზემოდან შემოსაზღვრულია სწორი ხაზით, ამიტომ:

2) მწვანეში შემოხაზული ფიგურა ზემოდან შემოსაზღვრულია სწორი ხაზით, ამიტომ:

3) რევოლუციის სასურველი სხეულის მოცულობა:

უპასუხე:

საინტერესოა, რომ ამ შემთხვევაში გამოსავალი შეიძლება შემოწმდეს სკოლის ფორმულის გამოყენებით შეკვეცილი კონუსის მოცულობის გამოსათვლელად.

თავად გადაწყვეტილება ხშირად უფრო მოკლეა, დაახლოებით ასეთი:

ახლა შევისვენოთ და გეომეტრიულ ილუზიებზე ვისაუბროთ.

ადამიანებს ხშირად აქვთ ილუზიები, რომლებიც დაკავშირებულია ტომებთან, რაც პერელმანმა (სხვა) შენიშნა წიგნში საინტერესო გეომეტრია. შეხედეთ ბრტყელ ფიგურას მოგვარებულ პრობლემაში - როგორც ჩანს, ის მცირე ფართობია და რევოლუციის სხეულის მოცულობა 50 კუბურ ერთეულზე ოდნავ მეტია, რაც ძალიან დიდი ჩანს. სხვათა შორის, საშუალო ადამიანი მთელი ცხოვრების განმავლობაში სვამს სითხეს ოთახის მოცულობით 18 კვადრატული მეტრი, რაც, პირიქით, ძალიან მცირე მოცულობის ჩანს.

ლირიკული გადახრის შემდეგ, უბრალოდ მიზანშეწონილია შემოქმედებითი ამოცანის გადაჭრა:

გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება ბრტყელი ფიგურის ღერძის გარშემო ბრუნვით, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით , , სადაც .

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. გაითვალისწინეთ, რომ ყველაფერი ხდება ჯგუფში, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მზა ინტეგრაციის ლიმიტები რეალურად არის მოცემული. სწორად დახაზეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები, შეგახსენებთ გაკვეთილის მასალას გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნები: თუ არგუმენტი იყოფა ორზე: , მაშინ გრაფიკები ღერძის გასწვრივ ორჯერ არის გადაჭიმული. სასურველია მოიძიოთ მინიმუმ 3-4 ქულა ტრიგონომეტრიული ცხრილების მიხედვითნახატის უფრო ზუსტად დასასრულებლად. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. სხვათა შორის, ამოცანის გადაჭრა შესაძლებელია რაციონალურად და არა ძალიან რაციონალურად.

ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი სხეულის მოცულობის გამოთვლა
ბრტყელი ფიგურა ღერძის გარშემო

მეორე პუნქტი კიდევ უფრო საინტერესო იქნება ვიდრე პირველი. y-ღერძის გარშემო ბრუნვის სხეულის მოცულობის გამოთვლის ამოცანა ასევე საკმაოდ ხშირი სტუმარია ტესტებში. გავლისას განიხილება ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემამეორე გზა - ღერძის გასწვრივ ინტეგრაციით, ეს საშუალებას მოგცემთ არა მხოლოდ გააუმჯობესოთ თქვენი უნარები, არამედ გასწავლით როგორ იპოვოთ ყველაზე მომგებიანი გამოსავალი. მას ასევე აქვს პრაქტიკული მნიშვნელობა! როგორც მათემატიკის სწავლების მეთოდების ჩემმა მასწავლებელმა ღიმილით იხსენებს, ბევრმა კურსდამთავრებულმა მადლობა გადაუხადა მას სიტყვებით: „თქვენი საგანი ძალიან დაგვეხმარა, ახლა ჩვენ ეფექტური მენეჯერები ვართ და ოპტიმალურად ვმართავთ ჩვენს პერსონალს“. ვისარგებლებ შემთხვევით, ასევე დიდ მადლობას ვუხდი მის მიმართ, მით უმეტეს, რომ შეძენილ ცოდნას ვიყენებ დანიშნულებისამებრ =).

ყველას გირჩევთ წაიკითხოთ, თუნდაც სრული დუიმები. უფრო მეტიც, მეორე აბზაცის ასიმილირებული მასალა ფასდაუდებელ დახმარებას გაუწევს ორმაგი ინტეგრალების გამოთვლაში..

მოცემულია ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით , , .

1) იპოვეთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ამ ხაზებით.
2) იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ღერძის გარშემო ამ ხაზებით შემოსაზღვრული ბრტყელი ფიგურის ბრუნვით.

ყურადღება!მაშინაც კი, თუ მხოლოდ მეორე აბზაცის წაკითხვა გსურთ, პირველ რიგში აუცილებლად წაიკითხეთ!

გამოსავალი: ამოცანა შედგება ორი ნაწილისაგან. დავიწყოთ მოედნიდან.

1) მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

ადვილი მისახვედრია, რომ ფუნქცია განსაზღვრავს პარაბოლის ზედა ტოტს, ხოლო ფუნქცია განსაზღვრავს პარაბოლის ქვედა ტოტს. ჩვენს წინაშე დგას ტრივიალური პარაბოლა, რომელიც „გვერდზე დევს“.

სასურველი ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა მოიძებნოს, ლურჯად არის დაჩრდილული.

როგორ მოვძებნოთ ფიგურის ფართობი? ის შეიძლება მოიძებნოს „ჩვეულებრივი“ სახით, რაც გაკვეთილზე იქნა გათვალისწინებული. განსაზღვრული ინტეგრალი. როგორ გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი. უფრო მეტიც, ფიგურის ფართობი გვხვდება, როგორც ფართობების ჯამი:
- სეგმენტზე ;
- სეგმენტზე.

Ამიტომაც:

რა არის ცუდი ამ შემთხვევაში ჩვეულ გადაწყვეტაში? პირველი, არსებობს ორი ინტეგრალი. მეორეც, ფესვები ინტეგრალის ქვეშ და ფესვები ინტეგრალებში არ არის საჩუქარი, უფრო მეტიც, შეიძლება დაბნეული იყოს ინტეგრაციის საზღვრების შეცვლაში. სინამდვილეში, ინტეგრალები, რა თქმა უნდა, არ არის სასიკვდილო, მაგრამ პრაქტიკაში ყველაფერი ბევრად უფრო სევდიანია, მე უბრალოდ ავირჩიე "უკეთესი" ფუნქციები ამოცანისთვის.

არსებობს უფრო რაციონალური გადაწყვეტა: ის შედგება შებრუნებულ ფუნქციებზე გადასვლასა და ღერძის გასწვრივ ინტეგრაციაში.

როგორ გადავიდეთ ინვერსიულ ფუნქციებზე? უხეშად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გამოხატოთ "x" "y"-ით. ჯერ პარაბოლას გავუმკლავდეთ:

ეს საკმარისია, მაგრამ მოდით დავრწმუნდეთ, რომ იგივე ფუნქციის მიღება შესაძლებელია ქვედა ფილიალიდან:

სწორი ხაზით, ყველაფერი უფრო ადვილია:

ახლა შეხედეთ ღერძს: გთხოვთ, პერიოდულად დახაროთ თავი მარჯვნივ 90 გრადუსით, როგორც ახსნით (ეს არ არის ხუმრობა!). ჩვენ გვჭირდება ფიგურა დევს სეგმენტზე, რომელიც მითითებულია წითელი წერტილოვანი ხაზით. უფრო მეტიც, სეგმენტზე, სწორი ხაზი მდებარეობს პარაბოლის ზემოთ, რაც ნიშნავს, რომ ფიგურის ფართობი უნდა მოიძებნოს თქვენთვის უკვე ნაცნობი ფორმულის გამოყენებით: . რა შეიცვალა ფორმულაში? მხოლოდ წერილი და მეტი არაფერი.

! შენიშვნა: უნდა დაწესდეს ინტეგრაციის ლიმიტები ღერძის გასწვრივ მკაცრად ქვემოდან ზემოდან!

ტერიტორიის პოვნა:

ამიტომ სეგმენტზე:

მიაქციეთ ყურადღება როგორ განვახორციელე ინტეგრაცია, ეს ყველაზე რაციონალური გზაა და დავალების შემდეგ აბზაცში გაირკვევა რატომაც.

მკითხველებისთვის, რომლებიც ეჭვობენ ინტეგრაციის სისწორეში, მე ვიპოვი წარმოებულებს:

მიიღება ორიგინალური ინტეგრანი, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრაცია შესრულებულია სწორად.

უპასუხე:

2) გამოთვალეთ ამ ფიგურის ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი სხეულის მოცულობა.

მე გადავხატავ ნახატს ოდნავ განსხვავებულ დიზაინში:

ასე რომ, ლურჯად დაჩრდილული ფიგურა ბრუნავს ღერძის გარშემო. შედეგი არის „მცურავი პეპელა“, რომელიც ბრუნავს თავისი ღერძის გარშემო.

რევოლუციის სხეულის მოცულობის საპოვნელად, ჩვენ გავაერთიანებთ ღერძის გასწვრივ. ჯერ შებრუნებულ ფუნქციებზე უნდა გადავიდეთ. ეს უკვე გაკეთდა და დეტალურად იყო აღწერილი წინა აბზაცში.

ახლა ისევ მარჯვნივ ვხრით თავს და ვსწავლობთ ჩვენს ფიგურას. ცხადია, რევოლუციის სხეულის მოცულობა უნდა მოიძებნოს, როგორც სხვაობა მოცულობებს შორის.

ჩვენ ვატრიალებთ წითლად შემოხაზულ ფიგურას ღერძის ირგვლივ, რის შედეგადაც ვიღებთ ჩამოჭრილ კონუსს. ავღნიშნოთ ეს მოცულობა .

ჩვენ ვატრიალებთ ფიგურას, რომელიც შემოხაზულია მწვანედ, ღერძის გარშემო და აღვნიშნავთ მას რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის მოცულობით.

ჩვენი პეპლის მოცულობა ტოლია მოცულობის სხვაობას.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას რევოლუციის სხეულის მოცულობის საპოვნელად:

რით განსხვავდება იგი წინა აბზაცის ფორმულისგან? მხოლოდ ასოებით.

და აი, ინტეგრაციის უპირატესობა, რაზეც ცოტა ხნის წინ ვისაუბრე, მისი პოვნა ბევრად უფრო ადვილია ვიდრე ინტეგრანტის წინასწარ აყვანა მე-4 ხარისხში.

უპასუხე:

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ერთი და იგივე ბრტყელი ფიგურა შემოტრიალდება ღერძის გარშემო, მაშინ აღმოჩნდება რევოლუციის სრულიად განსხვავებული სხეული, განსხვავებული, ბუნებრივია, მოცულობის.

მოცემულია ხაზებით შემოსაზღვრული ბრტყელი ფიგურა და ღერძი.

1) გადადით ინვერსიულ ფუნქციებზე და იპოვეთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ამ ხაზებით ცვლადის ზე ინტეგრირებით.
2) გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ღერძის გარშემო ამ ხაზებით შემოსაზღვრული ბრტყელი ფიგურის ბრუნვით.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. მსურველებს შეუძლიათ ასევე იპოვონ ფიგურის ფართობი "ჩვეულებრივი" გზით, რითაც დაასრულებენ 1 პუნქტის ტესტს). მაგრამ თუ, ვიმეორებ, ბრტყელ ფიგურას ატრიალებთ ღერძის გარშემო, მაშინ მიიღებთ ბრუნვის სრულიად განსხვავებულ სხეულს სხვა მოცულობით, სხვათა შორის, სწორ პასუხს (ასევე მათთვის, ვისაც ამოხსნა უყვარს).

გაკვეთილის ბოლოს ამოცანის ორი შემოთავაზებული საკითხის სრული ამოხსნა.

ოჰ, და არ დაგავიწყდეთ დახაროთ თავი მარჯვნივ, რომ გაიგოთ ბრუნვის ორგანოები და ინტეგრაციის ფარგლებში!

სტატიის დასრულება უკვე მინდოდა, მაგრამ დღეს საინტერესო მაგალითი მოიტანეს მხოლოდ y-ღერძის გარშემო რევოლუციის სხეულის მოცულობის საპოვნელად. ახალი:

გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება მრუდებით შემოსაზღვრული ფიგურის ღერძის გარშემო ბრუნვით და .

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

გზაში ჩვენ გავეცნობით სხვა ფუნქციების გრაფიკებს. ლუწი ფუნქციის ასეთი საინტერესო გრაფიკა ....