რა არის წარმოებული?
ფუნქციის წარმოებულის განმარტება და მნიშვნელობა

ბევრს გააკვირვებს ამ სტატიის მოულოდნელი მდებარეობა ჩემი ავტორის კურსში ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულზე და მის აპლიკაციებზე. ყოველივე ამის შემდეგ, როგორც ეს იყო სკოლიდან: სტანდარტული სახელმძღვანელო, პირველ რიგში, იძლევა წარმოებულის განმარტებას, მის გეომეტრიულ, მექანიკურ მნიშვნელობას. შემდეგ, სტუდენტები პოულობენ ფუნქციების წარმოებულებს განსაზღვრებით და, ფაქტობრივად, მხოლოდ მაშინ ხდება დიფერენციაციის ტექნიკის სრულყოფა გამოყენებით წარმოებული ცხრილები.

მაგრამ ჩემი აზრით, შემდეგი მიდგომა უფრო პრაგმატულია: პირველ რიგში, მიზანშეწონილია კარგად გაიგოთ ფუნქციის ლიმიტი, და განსაკუთრებით უსასრულო პატარა. ფაქტია რომ წარმოებულის განმარტება ეფუძნება ლიმიტის ცნებას, რაც ცუდად არის გათვალისწინებული სასკოლო კურსში. სწორედ ამიტომ, გრანიტის ცოდნის ახალგაზრდა მომხმარებელთა მნიშვნელოვანი ნაწილი ცუდად აღწევს წარმოებულის არსს. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ კარგად გათვითცნობიერებული დიფერენციალური გამოთვლების შესახებ, ან ბრძენმა ტვინმა წარმატებით გაათავისუფლა თავი ამ ბარგისგან წლების განმავლობაში, გთხოვთ, დაიწყოთ ფუნქციის ლიმიტები. ამავე დროს დაეუფლეთ / დაიმახსოვრეთ მათი გადაწყვეტილება.

იგივე პრაქტიკული აზრი ვარაუდობს, რომ ის პირველ რიგში მომგებიანია ისწავლეთ წარმოებულების პოვნა, მათ შორის რთული ფუნქციების წარმოებულები. თეორია თეორიაა, მაგრამ, როგორც ამბობენ, ყოველთვის გინდა დიფერენცირება. ამ მხრივ ჯობია ჩამოთვლილი საბაზისო გაკვეთილები შეიმუშაოთ და იქნებ გახდეს დიფერენციაციის ოსტატიმათი ქმედებების არსის გაცნობიერების გარეშეც კი.

გირჩევთ დაიწყოთ მასალები ამ გვერდზე სტატიის წაკითხვის შემდეგ. უმარტივესი პრობლემები წარმოებულთან, სადაც, კერძოდ, განიხილება ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის პრობლემა. მაგრამ მისი გადადება შეიძლება. ფაქტია, რომ წარმოებულის მრავალი გამოყენება არ საჭიროებს მის გაგებას და გასაკვირი არ არის, რომ თეორიული გაკვეთილი საკმაოდ გვიან გამოჩნდა - როცა ახსნა მჭირდებოდა. გაზრდის/კლების და ექსტრემების ინტერვალების პოვნაფუნქციები. უფრო მეტიც, ის საკმაოდ დიდი ხნის განმავლობაში იყო ამ თემაზე " ფუნქციები და გრაფიკები”, სანამ არ გადავწყვიტე ადრე დავსვა.

ამიტომ, ძვირფასო ჩაიდანი, ნუ იჩქარებთ წარმოებულის არსის შეწოვას, როგორც მშიერი ცხოველები, რადგან გაჯერება იქნება უგემოვნო და არასრული.

ფუნქციის გაზრდის, კლების, მაქსიმუმის, მინიმუმის კონცეფცია

ბევრი გაკვეთილი იწვევს წარმოებულის ცნებას ზოგიერთი პრაქტიკული ამოცანის დახმარებით და მეც მივიღე საინტერესო მაგალითი. წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ უნდა ვიმოგზაუროთ ქალაქში, სადაც მისვლა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით. ჩვენ მყისიერად ვგდებთ მრუდე გრაგნილ ბილიკებს და განვიხილავთ მხოლოდ სწორ ხაზებს. თუმცა, სწორი მიმართულებები ასევე განსხვავებულია: შეგიძლიათ ქალაქში მოხვდეთ ბრტყელი ავტობანის გასწვრივ. ან მთიან გზატკეცილზე - მაღლა და ქვევით, მაღლა და ქვევით. სხვა გზა მხოლოდ აღმართზე მიდის, მეორე კი სულ დაღმართზე მიდის. მღელვარების მაძიებლები აირჩევენ გზას ხეობაში ციცაბო კლდეებით და ციცაბო აღმართით.

მაგრამ როგორიც არ უნდა იყოს თქვენი პრეფერენციები, სასურველია იცოდეთ ტერიტორია, ან თუნდაც გქონდეთ მისი ტოპოგრაფიული რუკა. რა მოხდება, თუ ასეთი ინფორმაცია არ არის? ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ, მაგალითად, ბრტყელი ბილიკი, მაგრამ შედეგად, წააწყდეთ სათხილამურო ტრასაზე მხიარული ფინელებით. არა ის ფაქტი, რომ ნავიგატორი და თანამგზავრული გამოსახულებაც კი საიმედო მონაცემებს მოგცემთ. აქედან გამომდინარე, კარგი იქნება გზის რელიეფის ფორმალიზება მათემატიკის საშუალებით.

განვიხილოთ რამდენიმე გზა (გვერდითი ხედი):

ყოველი შემთხვევისთვის შეგახსენებთ ელემენტარულ ფაქტს: მოგზაურობა ხდება მარცხნიდან მარჯვნივ. სიმარტივისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ფუნქცია უწყვეტიგანსახილველ ტერიტორიაზე.

რა თვისებები აქვს ამ სქემას?

ინტერვალებით ფუნქცია იზრდება, ანუ ყოველი მისი შემდეგი მნიშვნელობა მეტიწინა. უხეშად რომ ვთქვათ, გრაფიკი მიდის ქვემოთ ზემოთ(მთაზე ავდივართ). ხოლო ინტერვალზე ფუნქცია მცირდება- ყოველი შემდეგი მნიშვნელობა ნაკლებიწინა და ჩვენი განრიგი მიდის ზემოდან ქვემოთ(მიდის ფერდობზე).

ასევე ყურადღება მივაქციოთ განსაკუთრებულ პუნქტებს. იმ წერტილში, რომელსაც მივაღწიეთ მაქსიმუმ, ე.ი არსებობსგზის ისეთი მონაკვეთი, რომელზეც მნიშვნელობა იქნება ყველაზე დიდი (უმაღლესი). ამავე დროს, მინიმალური, და არსებობსასეთი მისი სამეზობლო, რომელშიც მნიშვნელობა არის ყველაზე პატარა (ყველაზე დაბალი).

გაკვეთილზე განიხილება უფრო მკაცრი ტერმინოლოგია და განმარტებები. ფუნქციის უკიდურესობის შესახებ, მაგრამ ახლა მოდით შევისწავლოთ კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: ინტერვალებზე ფუნქცია იზრდება, მაგრამ იზრდება სხვადასხვა სიჩქარით. და პირველი, რაც იპყრობს თქვენს თვალს, არის ის, რომ დიაგრამა იზრდება ინტერვალზე ბევრად უფრო მაგარივიდრე ინტერვალზე. შესაძლებელია თუ არა გზის ციცაბოს გაზომვა მათემატიკური ხელსაწყოების გამოყენებით?

ფუნქციის შეცვლის სიჩქარე

იდეა ასეთია: მიიღეთ გარკვეული ღირებულება (წაიკითხეთ "დელტა x"), რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ არგუმენტის ზრდა, და დავიწყოთ ჩვენი გზის სხვადასხვა წერტილების "ცდა":

1) გადავხედოთ ყველაზე მარცხენა წერტილს: მანძილის გვერდის ავლით, ფერდობზე ავდივართ სიმაღლეზე (მწვანე ხაზი). მნიშვნელობა ეწოდება ფუნქციის გაზრდადა ამ შემთხვევაში ეს ზრდა დადებითია (ღერძის გასწვრივ მნიშვნელობების სხვაობა ნულზე მეტია). მოდით გავაკეთოთ თანაფარდობა, რომელიც იქნება ჩვენი გზის ციცაბოობის საზომი. ცხადია, ეს არის ძალიან კონკრეტული რიცხვი და რადგან ორივე ნამატი დადებითია, მაშინ .

ყურადღება! აღნიშვნა არის ერთისიმბოლო, ანუ თქვენ არ შეგიძლიათ "ამოშალოთ" "დელტა" "x"-დან და განიხილოთ ეს ასოები ცალკე. რა თქმა უნდა, კომენტარი ასევე ეხება ფუნქციის გაზრდის სიმბოლოს.

მოდით გამოვიკვლიოთ მიღებული წილადის ბუნება უფრო მნიშვნელოვანი. დავუშვათ, თავდაპირველად 20 მეტრის სიმაღლეზე ვართ (მარცხნივ შავ წერტილში). მეტრის მანძილის გადალახვით (მარცხენა წითელი ხაზი) ​​ვიქნებით 60 მეტრის სიმაღლეზე. მაშინ ფუნქციის ზრდა იქნება მეტრი (მწვანე ხაზი) ​​და: . Ამგვარად, ყოველ მეტრზეგზის ამ მონაკვეთზე სიმაღლე იზრდება საშუალო 4 მეტრით… დაგავიწყდათ ცოცვის აღჭურვილობა? =) სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აგებული თანაფარდობა ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს (ამ შემთხვევაში ზრდის).

შენიშვნა : მოცემული მაგალითის რიცხვითი მნიშვნელობები შეესაბამება ნახატის პროპორციებს მხოლოდ დაახლოებით.

2) ახლა მოდით გავიაროთ იგივე მანძილი ყველაზე მარჯვენა შავი წერტილიდან. აქ აწევა უფრო ნაზია, ამიტომ ნამატი (ჟოლოსფერი ხაზი) ​​შედარებით მცირეა და თანაფარდობა წინა შემთხვევასთან შედარებით საკმაოდ მოკრძალებული იქნება. შედარებით რომ ვთქვათ, მეტრი და ფუნქციის ზრდის ტემპიარის . ანუ აქ არის გზის ყოველ მეტრზე საშუალონახევარი მეტრის ზემოთ.

3) პატარა თავგადასავალი მთის ფერდობზე. მოდით შევხედოთ ზედა შავ წერტილს, რომელიც მდებარეობს y-ღერძზე. დავუშვათ, რომ ეს არის 50 მეტრიანი ნიშანი. ისევ დავძლიეთ მანძილი, რის შედეგადაც უფრო დაბლა აღმოვჩნდებით - 30 მეტრის დონეზე. მას შემდეგ, რაც მოძრაობა გაკეთდა ზემოდან ქვემოთ(ღერძის „საპირისპირო“ მიმართულებით), შემდეგ ფინალი ფუნქციის (სიმაღლის) ზრდა უარყოფითი იქნება: მეტრი (ყავისფერი ხაზი ნახაზში). და ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ დაშლის მაჩვენებელიმახასიათებლები: , ანუ ამ მონაკვეთის ბილიკის ყოველ მეტრზე სიმაღლე მცირდება საშუალო 2 მეტრით. იზრუნეთ ტანსაცმელზე მეხუთე პუნქტზე.

ახლა დავსვათ კითხვა: რა არის "საზომი სტანდარტის" საუკეთესო მნიშვნელობა გამოსაყენებლად? გასაგებია, რომ 10 მეტრი ძალიან უხეშია. კარგი ათეული მუწუკები ადვილად ეტევა მათზე. რატომ არის მუწუკები, შეიძლება ქვემოთ იყოს ღრმა ხეობა და რამდენიმე მეტრის შემდეგ - მისი მეორე მხარე შემდგომი ციცაბო აღმართით. ამრიგად, ათი მეტრიანით ჩვენ ვერ მივიღებთ გზის ასეთი მონაკვეთების გასაგებ მახასიათებელს თანაფარდობით.

ზემოაღნიშნული განხილვიდან გამომდინარეობს შემდეგი დასკვნა: რაც უფრო მცირეა მნიშვნელობა, მით უფრო ზუსტად აღვწერთ გზის რელიეფს. უფრო მეტიც, შემდეგი ფაქტები მართალია:

– ნებისმიერისთვისამწევი წერტილები თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მნიშვნელობა (თუმცა ძალიან მცირე), რომელიც ჯდება ამა თუ იმ აწევის საზღვრებში. და ეს ნიშნავს, რომ შესაბამისი სიმაღლის ზრდა გარანტირებული იქნება დადებითი და უთანასწორობა სწორად მიუთითებს ფუნქციის ზრდაზე ამ ინტერვალების თითოეულ წერტილში.

- ასევე, ნებისმიერისთვისდახრილობის წერტილი, არის მნიშვნელობა, რომელიც მთლიანად მოერგება ამ ფერდობზე. შესაბამისად, სიმაღლის შესაბამისი ზრდა ცალსახად უარყოფითია და უტოლობა სწორად აჩვენებს ფუნქციის შემცირებას მოცემული ინტერვალის თითოეულ წერტილში.

– განსაკუთრებით საინტერესოა შემთხვევა, როდესაც ფუნქციის ცვლილების მაჩვენებელი ნულის ტოლია: . პირველი, ნულოვანი სიმაღლის ზრდა () არის თანაბარი ბილიკის ნიშანი. და მეორეც, არის სხვა კურიოზული სიტუაციები, რომელთა მაგალითებს ხედავთ ფიგურაში. წარმოიდგინეთ, რომ ბედმა მიგვიყვანა გორაკის მწვერვალზე მფრინავი არწივებით ან ხევის ფსკერზე ყიყინიან ბაყაყებით. თუ რაიმე მიმართულებით გადადგამთ პატარა ნაბიჯს, მაშინ სიმაღლის ცვლილება უმნიშვნელო იქნება და შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე რეალურად ნულის ტოლია. იგივე ნიმუში შეინიშნება წერტილებზე.

ამრიგად, ჩვენ მივუახლოვდით საოცარ შესაძლებლობას, რომ სრულყოფილად ზუსტად დავახასიათოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. ბოლოს და ბოლოს, მათემატიკური ანალიზი საშუალებას გვაძლევს მივმართოთ არგუმენტის მატება ნულზე: ანუ გავაკეთოთ ის. უსასრულოდ მცირე.

შედეგად, ჩნდება კიდევ ერთი ლოგიკური კითხვა: შესაძლებელია თუ არა გზის და მისი განრიგის პოვნა სხვა ფუნქცია, რომელიც გვეუბნებოდაყველა ბინაზე, აღმართზე, დაღმართზე, მწვერვალზე, დაბლობზე, ასევე ბილიკის თითოეულ წერტილში მატების/კლების ტემპის შესახებ?

რა არის წარმოებული? წარმოებულის განმარტება.
წარმოებულის და დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა

გთხოვთ, გააზრებულად და არც ისე სწრაფად წაიკითხოთ - მასალა მარტივი და ყველასთვის ხელმისაწვდომია! არა უშავს, თუ ზოგან რაღაც არც ისე ნათელია, ყოველთვის შეგიძლიათ მოგვიანებით დაუბრუნდეთ სტატიას. მეტსაც ვიტყვი, სასარგებლოა თეორიის რამდენჯერმე შესწავლა ყველა პუნქტის ხარისხობრივად გასაგებად (რჩევები განსაკუთრებით აქტუალურია „ტექნიკური“ სტუდენტებისთვის, რომლებისთვისაც უმაღლესი მათემატიკა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სასწავლო პროცესში).

ბუნებრივია, წარმოებულის ზუსტად განსაზღვრისას ჩვენ მას შევცვლით:

რას მივედით? და მივედით დასკვნამდე, რომ კანონის შესაბამისად ფუნქციისთვის გასწორებულია სხვა ფუნქცია, რომელსაც ქვია წარმოებული ფუნქცია(ან უბრალოდ წარმოებული).

წარმოებული ახასიათებს ცვლილების ტემპიფუნქციები. Როგორ? აზრი სტატიის თავიდანვე წითელ ძაფივით მიდის. განიხილეთ რაღაც მომენტი დომენებიფუნქციები. დაე, ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი მოცემულ წერტილში. შემდეგ:

1) თუ , მაშინ ფუნქცია იზრდება წერტილში. და აშკარად არსებობს ინტერვალი(თუნდაც ძალიან მცირე), რომელიც შეიცავს იმ წერტილს, სადაც ფუნქცია იზრდება და მისი გრაფიკი მიდის „ქვემოდან ზევით“.

2) თუ , მაშინ ფუნქცია მცირდება წერტილში. და არის ინტერვალი, რომელიც შეიცავს წერტილს, რომლის დროსაც ფუნქცია მცირდება (გრაფიკი მიდის „ზემოდან ქვემოდან“).

3) თუ, მაშინ უსასრულოდ ახლოსწერტილის მახლობლად, ფუნქცია ინარჩუნებს სიჩქარეს მუდმივი. ეს ხდება, როგორც აღინიშნა, ფუნქციის მუდმივი და ფუნქციის კრიტიკულ წერტილებში, კერძოდ მინიმალურ და მაქსიმალურ ქულებზე.

გარკვეული სემანტიკა. რას ნიშნავს ზმნა "განსხვავება" ფართო გაგებით? დიფერენცირება ნიშნავს მახასიათებლის გამოყოფას. ფუნქციის დიფერენცირებით, ჩვენ "ვირჩევთ" მისი ცვლილების სიჩქარეს ფუნქციის წარმოებულის სახით. და რა იგულისხმება, სხვათა შორის, სიტყვა „წარმოებულში“? ფუნქცია მოხდაფუნქციიდან.

ტერმინები ძალიან წარმატებით განმარტავს წარმოებულის მექანიკურ მნიშვნელობას :
განვიხილოთ სხეულის კოორდინატების ცვლილების კანონი, რომელიც დამოკიდებულია დროზე და მოცემული სხეულის მოძრაობის სიჩქარის ფუნქციაზე. ფუნქცია ახასიათებს სხეულის კოორდინატის ცვლილების სიჩქარეს, ამიტომ ის არის ფუნქციის პირველი წარმოებული დროის მიმართ: . "სხეულის მოძრაობის" კონცეფცია რომ არ არსებობდეს ბუნებაში, მაშინ არ იარსებებდა წარმოებული"სიჩქარის" კონცეფცია.

სხეულის აჩქარება არის სიჩქარის ცვლილების სიჩქარე, შესაბამისად: . თუ ორიგინალური ცნებები "სხეულის მოძრაობა" და "სხეულის მოძრაობის სიჩქარე" არ არსებობდეს ბუნებაში, მაშინ არ იქნებოდა წარმოებულისხეულის აჩქარების კონცეფცია.

პეტერბურგის #4 პედაგოგიური კოლეჯის მასწავლებლის ღია გაკვეთილის მოკლე შინაარსი.

მარტუშევიჩ ტატიანა ოლეგოვნა

თარიღი: 29.12.2014წ.

თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის სწავლა.

სწავლების მეთოდები: ვიზუალური, ნაწილობრივ საძიებო.

გაკვეთილის მიზანი.

გაეცანით ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის ცნებას წერტილში, გაარკვიეთ რა არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა, გამოიტანეთ ტანგენტის განტოლება და ასწავლეთ მისი პოვნა.

საგანმანათლებლო დავალებები:

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის გააზრების მიღწევა; ტანგენტის განტოლების წარმოშობა; ისწავლეთ ძირითადი პრობლემების გადაჭრა;

მასალის გამეორების უზრუნველყოფა თემაზე „წარმოებულის განმარტება“;

ცოდნისა და უნარების კონტროლის (თვითკონტროლის) პირობების შექმნა.

განვითარების ამოცანები:

ხელი შეუწყოს შედარების, განზოგადების, მთავარის გამოკვეთის მეთოდების გამოყენების უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბებას;

განაგრძეთ მათემატიკური ჰორიზონტების განვითარება, აზროვნება და მეტყველება, ყურადღება და მეხსიერება.

საგანმანათლებლო დავალებები:

ხელი შეუწყოს მათემატიკაში ინტერესის აღზრდას;

აქტივობის განათლება, მობილურობა, კომუნიკაციის უნარი.

გაკვეთილის ტიპი - კომბინირებული გაკვეთილი ისტ-ის გამოყენებით.

აღჭურვილობა - მულტიმედიური ინსტალაცია, პრეზენტაციამაიკროსოფტიძალაწერტილი.

გაკვეთილის ეტაპი

დრო

მასწავლებლის აქტივობა

მოსწავლეთა აქტივობა

1. საორგანიზაციო მომენტი.

შეტყობინება გაკვეთილის თემისა და მიზნის შესახებ.

თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

გაკვეთილის მიზანი.

გაეცანით ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის ცნებას წერტილში, გაარკვიეთ რა არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა, გამოიტანეთ ტანგენტის განტოლება და ასწავლეთ მისი პოვნა.

მოსწავლეების მომზადება საკლასო ოთახში სამუშაოდ.

კლასში სამუშაოდ მომზადება.

გაკვეთილის თემისა და მიზნის გაცნობიერება.

შენიშვნის აღება.

2. ახალი მასალის შესასწავლად მომზადება გამეორებით და საბაზისო ცოდნის განახლებით.

საბაზისო ცოდნის გამეორებისა და განახლების ორგანიზაცია: წარმოებულის განმარტებები და მისი ფიზიკური მნიშვნელობის ფორმულირება.

წარმოებულის განმარტების ფორმულირება და მისი ფიზიკური მნიშვნელობის ფორმულირება. საბაზისო ცოდნის გამეორება, განახლება და კონსოლიდაცია.

ძალაუფლების ფუნქციისა და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულის პოვნის უნარის გამეორებისა და ფორმირების ორგანიზაცია.

ამ ფუნქციების წარმოებულის პოვნა ფორმულებით.

წრფივი ფუნქციის თვისებების გამეორება.

ნახატების გამეორება, აღქმა და მასწავლებლის გამონათქვამები

3. ახალ მასალასთან მუშაობა: ახსნა.

ფუნქციის ზრდის შეფარდების მნიშვნელობის ახსნა არგუმენტის ზრდასთან

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის ახსნა.

ახალი მასალის გაცნობა სიტყვიერი ახსნა-განმარტების საშუალებით სურათებისა და ვიზუალური საშუალებების გამოყენებით: მულტიმედიური პრეზენტაცია ანიმაციით.

ახსნის აღქმა, გაგება, პასუხები მასწავლებლის კითხვებზე.

სირთულის შემთხვევაში მასწავლებლისადმი კითხვის ჩამოყალიბება.

ახალი ინფორმაციის აღქმა, მისი პირველადი გაგება და გააზრება.

კითხვების ფორმულირება მასწავლებელთან სირთულის შემთხვევაში.

შექმენით მონახაზი.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის ფორმულირება.

სამი შემთხვევის განხილვა.

ჩანაწერების აღება, ნახატების გაკეთება.

4. ახალ მასალაზე მუშაობა.

შესწავლილი მასალის პირველადი გააზრება და გამოყენება, მისი კონსოლიდაცია.

რა ეტაპზეა წარმოებული დადებითი?

უარყოფითი?

ნულის ტოლი?

გრაფიკით დასმულ კითხვებზე პასუხების ალგორითმის ძიების სწავლა.

ახალი ინფორმაციის გაგება და გააზრება და გამოყენება პრობლემის გადასაჭრელად.

5. შესწავლილი მასალის პირველადი გააზრება და გამოყენება, მისი კონსოლიდაცია.

დავალების მდგომარეობის შეტყობინება.

ამოცანის პირობის ჩაწერა.

სირთულის შემთხვევაში მასწავლებლისადმი კითხვის ჩამოყალიბება

6. ცოდნის გამოყენება: სასწავლო ხასიათის დამოუკიდებელი მუშაობა.

თავად მოაგვარეთ პრობლემა:

მიღებული ცოდნის გამოყენება.

დამოუკიდებელი მუშაობა ფიგურის წარმოებულის ამოცანის ამოხსნაზე. წყვილებში პასუხების განხილვა და გადამოწმება, სირთულის შემთხვევაში მასწავლებლისადმი კითხვის ჩამოყალიბება.

7. ახალ მასალასთან მუშაობა: ახსნა.

წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლების წარმოშობა.

ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლების წარმოშობის დეტალური ახსნა, ვიზუალური დახმარების სახით მულტიმედიური პრეზენტაციის სახით, პასუხები სტუდენტების კითხვებზე.

მასწავლებელთან ერთად ტანგენტის განტოლების გამოყვანა. პასუხები მასწავლებლის კითხვებზე.

ჩანახატი, ხატვა.

8. ახალ მასალასთან მუშაობა: ახსნა.

მოსწავლეებთან დიალოგში მოცემულ წერტილში მოცემული ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის ტოლობის პოვნის ალგორითმის გამოყვანა.

მასწავლებელთან დიალოგში მოცემულ წერტილში მოცემული ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის ტოლობის პოვნის ალგორითმის გამოყვანა.

შენიშვნის აღება.

დავალების მდგომარეობის შეტყობინება.

ტრენინგი მიღებული ცოდნის გამოყენებაში.

პრობლემის გადაჭრის გზების ძიების ორგანიზაცია და მათი განხორციელება. ხსნარის დეტალური ანალიზი ახსნა-განმარტებით.

ამოცანის პირობის ჩაწერა.

სამოქმედო გეგმის თითოეული პუნქტის განხორციელებისას პრობლემის გადაჭრის შესაძლო გზების შესახებ ვარაუდების გამოთქმა. პრობლემის გადაჭრა მასწავლებელთან ერთად.

პრობლემის გადაჭრისა და პასუხის ჩაწერა.

9. ცოდნის გამოყენება: სასწავლო ხასიათის დამოუკიდებელი მუშაობა.

ინდივიდუალური კონტროლი. საჭიროების შემთხვევაში რჩევები და დახმარება სტუდენტებისთვის.

გადაწყვეტის გადამოწმება და ახსნა პრეზენტაციის გამოყენებით.

მიღებული ცოდნის გამოყენება.

დამოუკიდებელი მუშაობა ფიგურის წარმოებულის ამოცანის ამოხსნაზე. წყვილებში პასუხების განხილვა და გადამოწმება, სირთულის შემთხვევაში მასწავლებლისადმი კითხვის ჩამოყალიბება

10. საშინაო დავალება.

§48, ამოცანები 1 და 3, გაიგე ამოხსნა და ჩაწერე რვეულში სურათებით.

№ 860 (2,4,6,8),

საშინაო დავალების შეტყობინება კომენტარებით.

საშინაო დავალების ჩაწერა.

11. შეჯამება.

ჩვენ გავიმეორეთ წარმოებულის განმარტება; წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა; წრფივი ფუნქციის თვისებები.

გავიგეთ, რა არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ვისწავლეთ მოცემულ წერტილში მოცემული ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლების გამოყვანა.

გაკვეთილის შედეგების გასწორება და დაზუსტება.

გაკვეთილის შედეგების ჩამოთვლა.

12. რეფლექსია.

1. გქონდა გაკვეთილი: ა) მარტივი; ბ) ჩვეულებრივ; გ) რთული.

ა) ვისწავლე (ა) მთლიანად, შემიძლია გამოვიყენო;

ბ) ისწავლა (ა), მაგრამ უჭირს გამოყენება;

გ) ვერ მივიღე.

3. მულტიმედიური პრეზენტაცია გაკვეთილზე:

ა) დაეხმარა მასალის ათვისებას; ბ) არ დაეხმარა მასალის ათვისებას;

გ) ხელს უშლიდა მასალის ათვისებას.

რეფლექსიის ჩატარება.

სამუშაოს ტიპი: 7

მდგომარეობა

y=3x+2 წრფე tangentა y=-12x^2+bx-10 ფუნქციის გრაფიკზე. იპოვეთ b, იმის გათვალისწინებით, რომ შეხების წერტილის აბსციზა ნულზე ნაკლებია.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით x_0 იყოს y=-12x^2+bx-10 ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსცისა, რომლითაც გადის ამ გრაფიკის ტანგენსი.

წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში ტოლია ტანგენსის დახრილობის, ანუ y"(x_0)=-24x_0+b=3. მეორეს მხრივ, ტანგენტის წერტილი ეკუთვნის როგორც ფუნქციის გრაფიკს, ასევე ტანგენსი, ანუ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. ვიღებთ განტოლებათა სისტემას \ დასაწყისი (შემთხვევები) -24x_0+b=3, \\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \დასრულება (შემთხვევები)

ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ x_0^2=1, რაც ნიშნავს x_0=-1 ან x_0=1. აბსცისის მდგომარეობის მიხედვით შეხების წერტილები ნულზე ნაკლებია, შესაბამისად x_0=-1, შემდეგ b=3+24x_0=-21.

უპასუხე

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

y=-3x+4 წრფე პარალელურია y=-x^2+5x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტისა. იპოვეთ შეხების წერტილის აბსციზა.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

წრფის დახრილობა y=-x^2+5x-7 ფუნქციის გრაფიკისკენ თვითნებურ x_0 წერტილში არის y"(x_0). მაგრამ y"=-2x+5, ამიტომ y"(x_0)=- 2x_0+5. კუთხური პირობით y=-3x+4 წრფის კოეფიციენტი არის -3. პარალელურ ხაზებს აქვთ დახრილობის იგივე კოეფიციენტები.ამიტომ ვპოულობთ ისეთ მნიშვნელობას x_0 რომ =-2x_0 +5=-3.

ვიღებთ: x_0 = 4.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ფიგურიდან ვადგენთ, რომ ტანგენსი გადის A(-6; 2) და B(-1; 1) წერტილებზე. აღნიშნეთ C(-6; 1) წრფეების გადაკვეთის წერტილი x=-6 და y=1, ხოლო \alpha-ით ABC კუთხე (ნახაზზე ჩანს, რომ ის მახვილია). შემდეგ AB წრფე ქმნის ბლაგვ კუთხეს \pi -\alpha Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით.

მოგეხსენებათ, tg(\pi -\alpha) იქნება f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში. შეამჩნია, რომ tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.აქედან, შემცირების ფორმულებით, ვიღებთ: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

y=-2x-4 წრფე tangentა y=16x^2+bx+12 ფუნქციის გრაფიკზე. იპოვეთ b, იმის გათვალისწინებით, რომ შეხების წერტილის აბსციზა ნულზე მეტია.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით x_0 იყოს y=16x^2+bx+12 ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსციზა

არის ტანგენტი ამ გრაფიკზე.

წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში უდრის ტანგენტის დახრილობას, ანუ y"(x_0)=32x_0+b=-2. მეორეს მხრივ, ტანგენტის წერტილი ეკუთვნის როგორც ფუნქციის გრაფიკს, ასევე ტანგენსი, ანუ 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 ვიღებთ განტოლებათა სისტემას \ დასაწყისი (შემთხვევები) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \დასრულება (შემთხვევები)

სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ x_0^2=1, რაც ნიშნავს x_0=-1 ან x_0=1. აბსცისის მდგომარეობის მიხედვით შეხების წერტილები მეტია ნულზე, შესაბამისად x_0=1, შემდეგ b=-2-32x_0=-34.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია (-2; 8) ინტერვალზე განსაზღვრული y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. დაადგინეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის y=6 სწორი წრფის პარალელურად.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

წრფე y=6 პარალელურია Ox ღერძის. მაშასადამე, ჩვენ ვპოულობთ ისეთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად. ამ სქემაზე ასეთი პუნქტები არის ექსტრემალური წერტილები (მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები). როგორც ხედავთ, არის 4 ექსტრემალური წერტილი.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

y=4x-6 წრფე პარალელურია y=x^2-4x+9 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტისა. იპოვეთ შეხების წერტილის აბსციზა.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

y \u003d x ^ 2-4x + 9 ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის დახრილობა თვითნებურ x_0 წერტილში არის y "(x_0). მაგრამ y" \u003d 2x-4, რაც ნიშნავს y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. პირობით განსაზღვრული ტანგენსის y \u003d 4x-7 დახრილობა 4-ის ტოლია. პარალელურ ხაზებს აქვთ იგივე დახრილობა. ამიტომ ვპოულობთ ისეთ მნიშვნელობას x_0 რომ 2x_0-4 \u003d 4. ვიღებთ : x_0 \u003d 4.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x_0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ფიგურიდან ვადგენთ, რომ ტანგენსი გადის A(1; 1) და B(5; 4) წერტილებზე. აღნიშნეთ C(5; 1) წრფეების გადაკვეთის წერტილი x=5 და y=1, ხოლო \alpha-ით BAC კუთხე (სურათზე ჩანს, რომ ის მახვილია). შემდეგ AB წრფე ქმნის კუთხეს \ალფა Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის გასარკვევად განვიხილოთ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი. აიღეთ თვითნებური წერტილი M კოორდინატებით (x, y) და მასთან ახლოს წერტილი N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). დავხაზოთ ორდინატები $\overline(M_(1) M)$ და $\overline(N_(1) N)$ და M წერტილიდან გავავლოთ წრფე OX ღერძის პარალელურად.

თანაფარდობა $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ არის $\alpha $1 კუთხის ტანგენსი, რომელიც წარმოიქმნება MN სეკანტური OX ღერძის დადებითი მიმართულებით. $\Delta $x ნულისკენ მიისწრაფვის, N წერტილი მიუახლოვდება M-ს, ხოლო მრუდის ტანგენსი MT M წერტილში გახდება სეკანტური MN-ის შემზღუდველი პოზიცია. ამრიგად, წარმოებული f`(x) ტოლია ტანგენსისა. კუთხის $\alpha $, რომელიც წარმოიქმნება ტანგენტის მიერ M (x, y) წერტილში მრუდის მიმართ OX ღერძის მიმართ - ტანგენსის დახრილობა (ნახ. 1).

სურათი 1. ფუნქციის გრაფიკი

ფორმულების (1) გამოყენებით მნიშვნელობების გაანგარიშებისას მნიშვნელოვანია, რომ არ დაუშვათ შეცდომა ნიშნებში, რადგან ზრდა შეიძლება იყოს უარყოფითი.

მრუდეზე მდებარე N წერტილი შეიძლება მიუახლოვდეს M-ს ნებისმიერი მხრიდან. ასე რომ, თუ ნახაზ 1-ში ტანგენტს საპირისპირო მიმართულება აქვს მოცემული, კუთხე $\alpha $ შეიცვლება $\pi $-ით, რაც მნიშვნელოვნად იმოქმედებს კუთხის ტანგენსზე და, შესაბამისად, დახრილობაზე.

გამომავალი

აქედან გამომდინარეობს, რომ წარმოებულის არსებობა დაკავშირებულია y = f(x) მრუდის ტანგენტის არსებობასთან, ხოლო დახრილობა -- tg $\alpha $ = f`(x) სასრულია. მაშასადამე, ტანგენსი არ უნდა იყოს OY ღერძის პარალელურად, წინააღმდეგ შემთხვევაში $\alpha $ = $\pi $/2 და კუთხის ტანგენსი იქნება უსასრულო.

ზოგიერთ წერტილში უწყვეტ მრუდს შეიძლება არ ჰქონდეს ტანგენსი ან ჰქონდეს ტანგენსი OY ღერძის პარალელურად (ნახ. 2). მაშინ ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს წარმოებული ამ მნიშვნელობებში. ფუნქციის მრუდზე შეიძლება იყოს ნებისმიერი რაოდენობის ასეთი წერტილი.

სურათი 2. მრუდის განსაკუთრებული წერტილები

განვიხილოთ სურათი 2. მოდით, $\Delta $x იყოს ნულისკენ უარყოფითი ან დადებითი მნიშვნელობებიდან:

\[\დელტა x\ to -0\ დასაწყისი(მასივი)(cc) () & (\დელტა x\ to +0) \end(მასივი)\]

თუ ამ შემთხვევაში ურთიერთობებს (1) აქვს სასრული გზა, იგი აღინიშნება როგორც:

პირველ შემთხვევაში წარმოებული მარცხნივ, მეორეში წარმოებული მარჯვნივ.

ლიმიტის არსებობა მიუთითებს მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულების ეკვივალენტობასა და თანასწორობაზე:

თუ მარცხენა და მარჯვენა წარმოებული არ არის ტოლი, მაშინ ამ ეტაპზე არის ტანგენტები, რომლებიც არ არიან OY-ის პარალელურად (წერტილი M1, სურ. 2). M2, M3 წერტილებში ურთიერთობები (1) მიდრეკილია უსასრულობისკენ.

N წერტილისთვის M2-ის მარცხნივ, $\Delta $x $

$M_2$-ის მარჯვნივ, $\Delta $x $>$ 0, მაგრამ გამოხატულება ასევე არის f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

$M_3$ წერტილისთვის მარცხნივ $\Delta $x $$ 0 და f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, ე.ი. გამონათქვამები (1) ორივე დადებითია მარცხნივ და მარჯვნივ და მიდრეკილია +$\infty $-ისკენ, როცა $\Delta $x მიუახლოვდება -0 და +0.

წარმოებულის არარსებობის შემთხვევა წრფის კონკრეტულ წერტილებში (x = c) ნაჩვენებია სურათზე 3.

სურათი 3. წარმოებულების არარსებობა

მაგალითი 1

ნახაზი 4 გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს და გრაფიკის ტანგენტს $x_0$ აბსცისის მქონე წერტილში. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა აბსცისაში.

გადაწყვეტილება. წარმოებული წერტილის ტოლია ფუნქციის ზრდის შეფარდებას არგუმენტის ზრდასთან. ავირჩიოთ ორი წერტილი ტანგენსზე მთელი რიცხვის კოორდინატებით. მოდით, მაგალითად, ეს იყოს წერტილები F (-3.2) და C (-2.4).