ინსტრუქცია

ჩანაცვლების მეთოდი გამოხატეთ ერთი ცვლადი და ჩაანაცვლეთ იგი სხვა განტოლებით. თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ ნებისმიერი ცვლადი, რომელიც მოგწონთ. მაგალითად, გამოთქვით "y" მეორე განტოლებიდან:
x-y=2 => y=x-2 შემდეგ შეაერთეთ ყველაფერი პირველ განტოლებაში:
2x+(x-2)=10 გადაიტანეთ ყველაფერი x-ის გარეშე მარჯვენა მხარეს და დათვალეთ:
2x+x=10+2
3x=12 შემდეგ, "x"-ისთვის გაყავით განტოლების ორივე მხარე 3-ზე:
x=4. ასე რომ, თქვენ იპოვეთ "x. იპოვეთ "-ზე. ამისათვის ჩაანაცვლეთ "x" განტოლებაში, საიდანაც გამოხატეთ "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

გააკეთეთ შემოწმება. ამისათვის შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობები განტოლებებში:
2*4+2=10
4-2=2
უცნობი სწორად ნაპოვნია!

როგორ დავამატოთ ან გამოვაკლოთ განტოლებები. მოიშორეთ ნებისმიერი ცვლადი ერთდროულად. ჩვენს შემთხვევაში, ამის გაკეთება უფრო ადვილია "y.
ვინაიდან "y"-ში არის "+", ხოლო მეორეში "-", მაშინ შეგიძლიათ შეასრულოთ შეკრების ოპერაცია, ე.ი. ჩვენ ვამატებთ მარცხენა მხარეს მარცხნივ, ხოლო მარჯვენა მხარეს მარჯვნივ:
2x+y+(x-y)=10+2კონვერტირება:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 ჩაანაცვლე "x" ნებისმიერ განტოლებაში და იპოვე "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 1 მეთოდის მიხედვით, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ის, რაც სწორად იპოვნეთ.

თუ არ არის მკაფიოდ განსაზღვრული ცვლადები, მაშინ აუცილებელია განტოლებების ოდნავ გარდაქმნა.
პირველ განტოლებაში გვაქვს "2x", ხოლო მეორეში მხოლოდ "x. იმისათვის, რომ შეკრება ან "x" შემცირდეს, გაამრავლეთ მეორე განტოლება 2-ზე:
x-y=2
2x-2y=4 შემდეგ გამოვაკლოთ მეორე განტოლება პირველ განტოლებას:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3წ=6
იპოვეთ y \u003d 2" x ნებისმიერი განტოლებიდან გამოხატვით, ე.ი.
x=4

Მსგავსი ვიდეოები

რჩევა 2: როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლება ორი ცვლადით

განტოლება, დაწერილი ზოგადი ფორმით ax + by + c \u003d 0, ეწოდება წრფივი განტოლება ორით ცვლადები. ასეთი განტოლება თავისთავად შეიცავს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობას, ამიტომ ამოცანებში მას ყოველთვის ემატება რაღაც - კიდევ ერთი განტოლება ან შემზღუდველი პირობები. ამოცანის მიერ მოწოდებული პირობებიდან გამომდინარე ამოხსენით წრფივი განტოლება ორით ცვლადებიმოჰყვა სხვადასხვა გზით.

დაგჭირდებათ

• - წრფივი განტოლება ორი ცვლადით;
• - მეორე განტოლება ან დამატებითი პირობები.

ინსტრუქცია

მოცემულია ორი წრფივი განტოლების სისტემა, ამოიღეთ იგი შემდეგნაირად. აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტები ადრე ცვლადებიპატარა და გამოხატოს ერთ-ერთი ცვლადი, მაგალითად, x. შემდეგ შეაერთეთ ეს მნიშვნელობა, რომელიც შეიცავს y-ს მეორე განტოლებაში. მიღებულ განტოლებაში იქნება მხოლოდ ერთი ცვლადი y, გადაიტანეთ ყველა ნაწილი y-ით მარცხენა მხარეს, ხოლო თავისუფალი ნაწილი მარჯვნივ. იპოვეთ y და ჩაანაცვლეთ რომელიმე თავდაპირველ განტოლებაში, იპოვეთ x.

არსებობს ორი განტოლების სისტემის ამოხსნის კიდევ ერთი გზა. გავამრავლოთ ერთ-ერთი განტოლება რიცხვზე ისე, რომ კოეფიციენტი ერთ-ერთი ცვლადის წინ, მაგალითად, x-ის წინ, ორივე განტოლებაში ერთნაირი იყოს. შემდეგ გამოვაკლოთ ერთ-ერთი განტოლება მეორეს (თუ მარჯვენა მხარე არ არის 0, დაიმახსოვრეთ, რომ გამოვაკლოთ მარჯვენა მხარე იმავე გზით). თქვენ ნახავთ, რომ x ცვლადი გაქრა და მხოლოდ ერთი y რჩება. ამოხსენით მიღებული განტოლება და შეცვალეთ y-ის ნაპოვნი მნიშვნელობა რომელიმე თავდაპირველი ტოლობით. იპოვე x.

ორი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის მესამე გზა არის გრაფიკული. დახაზეთ კოორდინატთა სისტემა და დახაზეთ ორი სწორი ხაზის გრაფიკები, რომელთა განტოლებები მითითებულია თქვენს სისტემაში. ამისათვის შეცვალეთ ნებისმიერი ორი x მნიშვნელობა განტოლებაში და იპოვეთ შესაბამისი y - ეს იქნება ხაზს მიკუთვნებული წერტილების კოორდინატები. ყველაზე მოსახერხებელია კვეთის პოვნა კოორდინატთა ღერძებით - უბრალოდ შეცვალეთ მნიშვნელობები x=0 და y=0. ამ ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები იქნება ამოცანები.

თუ პრობლემის პირობებში მხოლოდ ერთი წრფივი განტოლებაა, მაშინ გეძლევათ დამატებითი პირობები, რის გამოც შეგიძლიათ იპოვოთ გამოსავალი. ყურადღებით წაიკითხეთ პრობლემა, რომ იპოვოთ ეს პირობები. თუ ცვლადები x და y არის მანძილი, სიჩქარე, წონა - თავისუფლად დააყენეთ ზღვარი x≥0 და y≥0. სავსებით შესაძლებელია, რომ x ან y მალავს რიცხვს , ვაშლი და ა.შ. - მაშინ მნიშვნელობები შეიძლება იყოს მხოლოდ . თუ x არის შვილის ასაკი, გასაგებია, რომ ის არ შეიძლება იყოს მამაზე უფროსი, ამიტომ მიუთითეთ ეს პრობლემის პირობებში.

წყაროები:

• როგორ ამოხსნათ განტოლება ერთი ცვლადით

Თავისით განტოლებასამთან ერთად უცნობიაქვს მრავალი ამონახსნი, ამიტომ ყველაზე ხშირად მას ავსებს კიდევ ორი ​​განტოლება ან პირობა. დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა არის საწყისი მონაცემები, გადაწყვეტილების კურსი დიდწილად იქნება დამოკიდებული.

დაგჭირდებათ

• - სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

ინსტრუქცია

თუ სამი სისტემიდან ორს აქვს სამი უცნობიდან მხოლოდ ორი, შეეცადეთ გამოხატოთ ზოგიერთი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩართოთ ისინი განტოლებასამთან ერთად უცნობი. ამით თქვენი მიზანია გადააქციოთ ის ნორმალურად განტოლებაუცნობთან. თუ ეს ასეა, შემდგომი გამოსავალი საკმაოდ მარტივია - შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა სხვა განტოლებით და იპოვეთ ყველა სხვა უცნობი.

განტოლების ზოგიერთი სისტემა შეიძლება გამოკლდეს ერთ განტოლებას მეორეზე. ნახეთ, შესაძლებელია თუ არა ერთის გამრავლება ან ცვლადზე ისე, რომ ორი უცნობი ერთდროულად შემცირდეს. თუ არსებობს ასეთი შესაძლებლობა, გამოიყენეთ იგი, სავარაუდოდ, შემდგომი გადაწყვეტილება არ იქნება რთული. არ დაგავიწყდეთ, რომ რიცხვზე გამრავლებისას უნდა გაამრავლოთ როგორც მარცხენა, ასევე მარჯვენა მხარე. ანალოგიურად, განტოლებების გამოკლებისას გახსოვდეთ, რომ მარჯვენა მხარეც უნდა გამოკლდეს.

თუ წინა მეთოდები არ დაგვეხმარა, გამოიყენეთ ზოგადი მეთოდი ნებისმიერი განტოლების სამით ამოხსნისთვის უცნობი. ამისათვის გადაწერეთ განტოლებები სახით a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. ახლა გააკეთეთ კოეფიციენტების მატრიცა x-ზე (A), უცნობის მატრიცა (X) და თავისუფალის მატრიცა (B). ყურადღება მიაქციეთ, გავამრავლოთ კოეფიციენტების მატრიცა უცნობების მატრიცით, მიიღებთ მატრიცას, თავისუფალი წევრების მატრიცას, ანუ A * X \u003d B.

იპოვეთ მატრიცა A სიმძლავრის (-1) პოვნის შემდეგ, გაითვალისწინეთ, რომ ის არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამის შემდეგ მიღებული მატრიცა გაამრავლეთ B მატრიცით, შედეგად მიიღებთ სასურველ X მატრიცას, ყველა მნიშვნელობის მითითებით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ გამოსავალი სამი განტოლებისგან შემდგარი სისტემისთვის კრამერის მეთოდის გამოყენებით. ამისათვის იპოვეთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი Δ, რომელიც შეესაბამება სისტემის მატრიცას. შემდეგ თანმიმდევრულად იპოვნეთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი ∆1, ∆2 და ∆3, ჩაანაცვლეთ უფასო ტერმინების მნიშვნელობები შესაბამისი სვეტების მნიშვნელობების ნაცვლად. ახლა იპოვეთ x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

წყაროები:

• სამი უცნობის მქონე განტოლების ამონახსნები

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა რთული და საინტერესოა. რაც უფრო რთულია სისტემა, მით უფრო საინტერესოა მისი ამოხსნა. ყველაზე ხშირად საშუალო სკოლის მათემატიკაში არის განტოლების სისტემები ორი უცნობით, მაგრამ უმაღლეს მათემატიკაში შეიძლება იყოს მეტი ცვლადი. სისტემები შეიძლება გადაწყდეს რამდენიმე გზით.

ინსტრუქცია

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია ჩანაცვლება. ამისათვის თქვენ უნდა გამოხატოთ ერთი ცვლადი მეორის მეშვეობით და ჩაანაცვლოთ იგი მეორეში განტოლებასისტემები, რითაც მოაქვს განტოლებაერთ ცვლადზე. მაგალითად, მოცემულია განტოლებები: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

მოსახერხებელია გამოვხატოთ ერთ-ერთი ცვლადი მეორე გამოსახულებიდან, დანარჩენი ყველაფერი გადავიტანოთ გამოხატვის მარჯვენა მხარეს, არ დავივიწყოთ კოეფიციენტის ნიშნის შეცვლა: x = 3-y.

ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. შედეგად მიღებული მნიშვნელობა y ჩანაცვლებულია გამოხატულებაში: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

პირველ გამონათქვამში ყველა წევრი არის 2, შეგიძლიათ ფრჩხილიდან 2 აიღოთ გამრავლების გამანაწილებელ თვისებამდე: 2 * (2x-y-3) = 0. ახლა გამოხატვის ორივე ნაწილი შეიძლება შემცირდეს ამ რიცხვით და შემდეგ გამოვხატოთ y, რადგან მისთვის მოდულის კოეფიციენტი უდრის ერთს: -y \u003d 3-2x ან y \u003d 2x-3.

ისევე, როგორც პირველ შემთხვევაში, ჩვენ ვცვლით ამ გამოთქმას მეორეში განტოლებადა მივიღებთ: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. მიღებული მნიშვნელობა ჩაანაცვლეთ გამოსახულებაში: y=2x -3;y=4-3=1.

ჩვენ ვხედავთ, რომ კოეფიციენტი y-ზე მნიშვნელობით იგივეა, მაგრამ განსხვავებული ნიშნით, ამიტომ, თუ ამ განტოლებებს დავამატებთ, მთლიანად მოვიშორებთ y-ს: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x=2. ჩვენ ვცვლით x-ის მნიშვნელობას სისტემის ორი განტოლებიდან რომელიმეში და ვიღებთ y=1.

Მსგავსი ვიდეოები

ბისკვერი განტოლებაწარმოადგენს განტოლებამეოთხე ხარისხი, რომლის ზოგადი ფორმა წარმოდგენილია გამოთქმით ax^4 + bx^2 + c = 0. მისი ამოხსნა ემყარება უცნობის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებას. ამ შემთხვევაში, x^2 იცვლება სხვა ცვლადით. ამრიგად, შედეგი არის ჩვეულებრივი მოედანი განტოლება, რომელიც მოსაგვარებელია.

ინსტრუქცია

კვადრატის ამოხსნა განტოლებაჩანაცვლების შედეგად. ამისათვის ჯერ გამოთვალეთ მნიშვნელობა ფორმულის მიხედვით: D = b^2 ? 4ac. ამ შემთხვევაში, ცვლადები a, b, c არის ჩვენი განტოლების კოეფიციენტები.

იპოვეთ ბიკვადრატული განტოლების ფესვები. ამისათვის აიღეთ მიღებული ხსნარების კვადრატული ფესვი. თუ იყო ერთი გამოსავალი, მაშინ იქნება ორი - კვადრატული ფესვის დადებითი და უარყოფითი მნიშვნელობა. ორი ამონახსნი რომ იყოს, ბიკვადრატულ განტოლებას ოთხი ფესვი ექნება.

Მსგავსი ვიდეოები

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ერთ-ერთი კლასიკური მეთოდია გაუსის მეთოდი. იგი მოიცავს ცვლადების თანმიმდევრულ გამორიცხვას, როდესაც განტოლებათა სისტემა მარტივი გარდაქმნების დახმარებით გარდაიქმნება საფეხურ სისტემად, საიდანაც ყველა ცვლადი თანმიმდევრულად არის ნაპოვნი, ბოლოდან დაწყებული.

ინსტრუქცია

პირველი, მიიტანეთ განტოლებათა სისტემა ისეთ ფორმაში, როდესაც ყველა უცნობი იქნება მკაცრად განსაზღვრული თანმიმდევრობით. მაგალითად, ყველა უცნობი X მოვა პირველ რიგში თითოეულ სტრიქონში, ყველა Y მოვა X შემდეგ, ყველა Z მოვა Y და ა.შ. თითოეული განტოლების მარჯვენა მხარეს უცნობი არ უნდა იყოს. გონებრივად განსაზღვრეთ კოეფიციენტები თითოეული უცნობის წინ, ისევე როგორც კოეფიციენტები თითოეული განტოლების მარჯვენა მხარეს.

სკოლიდან ყველამ იცის განტოლებები. განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ერთ ან მეტ ცვლადს. იმის ცოდნა, რომ ამ თანასწორობის ერთი ნაწილი ტოლია მეორესთან, შესაძლებელია განტოლების ცალკეული ნაწილების იზოლირება, მისი ამა თუ იმ კომპონენტის გადატანა ტოლობის ნიშნის მიღმა მკაფიოდ განსაზღვრული წესების მიხედვით. თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ განტოლება სასურველ ლოგიკურ დასკვნამდე x=n სახით, სადაც n არის ნებისმიერი რიცხვი.

დაწყებითი სკოლიდან ყველა ბავშვი გადის სხვადასხვა სირთულის სასწავლო კურსს. მოგვიანებით პროგრამაში ჩნდება უფრო რთული წრფივი განტოლებები - კვადრატული განტოლებები, შემდეგ მოდის კუბური განტოლებები. Თითოეული შემდეგი ხედიგანტოლებებს აქვს ამოხსნის ახალი მეთოდები, უფრო რთული ხდება სწავლა და გამეორება.

თუმცა, ამის შემდეგ ჩნდება კითხვა ისეთი ტიპის განტოლებების ამოხსნის შესახებ, როგორიცაა ბიკვადრატული განტოლებები. ეს ტიპი, მიუხედავად აშკარა სირთულისა, საკმაოდ მარტივად წყდება: მთავარია, შევძლოთ ასეთი განტოლებების სათანადო ფორმაში მოყვანა. მათი ამოხსნა ისწავლება ერთ-ორ გაკვეთილზე, პრაქტიკულ ამოცანებთან ერთად, თუ მოსწავლეებს აქვთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის საბაზისო ცოდნა.

რა უნდა იცოდეს ადამიანმა, რომელიც ხვდება ამ ტიპის განტოლებებს? დასაწყისისთვის, ისინი მოიცავს მხოლოდ "x" ცვლადის ლუწი ძალებს: მეოთხე და, შესაბამისად, მეორე. იმისთვის, რომ ბიკვადრატული განტოლება ამოიხსნას, საჭიროა მივიყვანოთ ფორმაში როგორ გავაკეთოთ ეს? საკმარისად მარტივი! თქვენ უბრალოდ უნდა შეცვალოთ "x" კვადრატში "y"-ით. შემდეგ ბევრი სკოლის მოსწავლისთვის საშიში „x“ მეოთხე ხარისხით გადაიქცევა „y“ კვადრატში და განტოლება მიიღებს ჩვეულებრივი კვადრატის ფორმას.

გარდა ამისა, იგი წყდება, როგორც ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება: ის იშლება ფაქტორებად, რის შემდეგაც იპოვება იდუმალი „თამაშის“ მნიშვნელობა. ორკვადრატული განტოლების ბოლომდე გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ "y" რიცხვიდან - ეს იქნება "x"-ის სასურველი მნიშვნელობა, მნიშვნელობების პოვნის შემდეგ, რომელთა წარმატებით დასრულება შეგიძლიათ მიულოცოთ. გამოთვლების.

რა უნდა გვახსოვდეს ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნისას? უპირველეს ყოვლისა: Y არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი! პირობა, რომ y არის x რიცხვის კვადრატი, გამორიცხავს ასეთ ამონახსნებს. მაშასადამე, თუ ბიკვადრატული განტოლების საწყისი ამოხსნის დროს, „y“-ის ერთ-ერთი მნიშვნელობა თქვენთვის დადებითი აღმოჩნდება, ხოლო მეორე უარყოფითი, თქვენ უნდა აიღოთ მხოლოდ მისი დადებითი ვერსია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ორმხრივი განტოლება არასწორად გადაიჭრება. უმჯობესია დაუყოვნებლივ შემოვიტანოთ წესი, რომ ცვლადი „y“ მეტია ან ტოლია ნულზე.

მეორე მნიშვნელოვანი ნიუანსი: რიცხვი "x", რომელიც არის "y" რიცხვის კვადრატული ფესვი, შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. ვთქვათ, თუ "y" უდრის ოთხს, მაშინ ბიკვადრატულ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნი: ორი და მინუს ორი. ეს იმიტომ ხდება, რომ ლუწი ხარისხზე ამაღლებული უარყოფითი რიცხვი უდრის იგივე მოდულის, მაგრამ განსხვავებული ნიშნის რიცხვს, ამაღლებულ იმავე ხარისხზე. ამიტომ, ყოველთვის ღირს ამ მნიშვნელოვანი პუნქტის დამახსოვრება, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ დაკარგოთ ერთი ან მეტი პასუხი განტოლებაზე. უმჯობესია დაუყოვნებლივ დაწეროთ, რომ "x" უდრის პლუს ან მინუს "y"-ის კვადრატულ ფესვს.

ზოგადად, ბიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია და დიდ დროს არ მოითხოვს. სასკოლო სასწავლო გეგმაში ამ თემის შესასწავლად საკმარისია ორი აკადემიური საათი – არ ჩავთვლით, რა თქმა უნდა, გამეორებებსა და ტესტებს. სტანდარტული ფორმის ორგანზომილებიანი განტოლებები იხსნება ძალიან მარტივად, თუ დაიცავთ ზემოთ ჩამოთვლილ წესებს. მათი ამოხსნა არ გაგიჭირდებათ, რადგან დეტალურადაა აღწერილი მათემატიკის სახელმძღვანელოებში. წარმატებებს გისურვებთ სწავლაში და წარმატებებს ნებისმიერი, არა მხოლოდ მათემატიკური, პრობლემის გადაჭრაში!

წინა გაკვეთილებზე ვისწავლეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. ეს მოითხოვდა ახალი მათემატიკური ობიექტის, დისკრიმინანტის დანერგვას. თუ არ გახსოვთ რა არის, გირჩევთ დაუბრუნდეთ გაკვეთილს "როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები".

დასაწყისისთვის, განმარტება იმისა, თუ რა არის ბიკვადრატული განტოლება ზოგადად არის ნებისმიერი გამოხატულება, სადაც ცვლადი იმყოფება მხოლოდ მე-4 და მე-2 ხარისხებში.

1) შემოიღეთ ახალი ცვლადი $((x)^(2))=t$. ამ შემთხვევაში, ამ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვიღებთ

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (((((x)^(2))))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\ბოლო(გასწორება)\]

2) გადაწერეთ ჩვენი გამოთქმა - $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) ვპოულობთ გამოსავალს მიღებული განტოლებისთვის და ვპოულობთ $((t)_(1))$ და $((t)_(2))$ ცვლადებს, თუ ორი ფესვია.

4) ვასრულებთ შებრუნებულ ჩანაცვლებას, ანუ გავიხსენოთ რა არის $t$, მივიღებთ ორ კონსტრუქციას: $((x)^(2))=((t)_(1))$ და $((x)^ ( 2))=((ტ)_(2))$.

5) ვხსნით მიღებულ განტოლებებს და ვპოულობთ x-ებს.

რეალური ამოცანები

მაგალითი #1

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს წრე რეალურ ბიკვადრატულ განტოლებებზე.

ჩვენ გადავჭრით პირველ პრობლემას:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ცვლადს და ვწერთ:

\[((x)^(2))=t\-მდე ((t)^(2))-5t+4=0\]

ეს არის საერთო კვადრატული განტოლება, ჩვენ ვიანგარიშებთ მას დისკრიმინანტის გამოყენებით:

ეს კარგი რიცხვია. ფესვი არის 3.

ახლა იპოვნეთ $t$-ის მნიშვნელობა:

\[\ დასაწყისი(მასივი)((35)(l))

((t)_(1))\text()=\text()\frac(5+3)(2)=\text()\frac(8)(2)\text()=\text( ) 4 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2)=\text( )\frac(2)(2)\text(= )1 \\\ბოლო (მასივი)\]

მაგრამ ფრთხილად იყავით, ჩვენ მხოლოდ $t$ ვიპოვეთ - ეს არ არის გამოსავალი, ეს მხოლოდ მესამე ნაბიჯია. მოდით გადავიდეთ მეოთხე საფეხურზე - დაიმახსოვრეთ რა არის $t$ და გადაწყვიტეთ:

\[\დაწყება(გასწორება)& ((x)^(2))=4\ to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=2 \\& x=-2 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აქ ჩვენ მოვაგვარეთ პირველი ნაწილი. მოდით გადავიდეთ $t$-ის მეორე მნიშვნელობაზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(2))=1\-მდე ((x)^(2))-1=0\-მდე (x-1)(x+1)=0 \\ & \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=1 \\& x=-1 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჯამში მივიღეთ ოთხი პასუხი: 2; -2; ერთი; -1, ე.ი. ბიკვადრატულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ოთხამდე ფესვი.

მაგალითი #2

გადავიდეთ მეორე მაგალითზე:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

აქ ყველაფერს დეტალურად არ აღვწერ. მოდით გადავწყვიტოთ, როგორ გავაკეთებთ ამას კლასში.

ჩვენ ვცვლით:

მაშინ გვექნება:

\[((t)^(2))-25t+144=0\]

დათვლა$D$:

დისკრიმინანტის ფესვი არის 7. იპოვეთ $t$:

\[\ დასაწყისი(მასივი)((35)(l))

((t)_(1))\text()=\frac(25+7)(2)\text()=\text()\frac(32)(2)=\text()16 \\( (t)_(2))\text()=\frac(25-7)(2)=\text()\frac(18)(2)\text()=\text()9 \\\ დასასრული (მასივი)\]

გაიხსენეთ, რა არის $t$:

\[\დაწყება(გასწორება)& ((x)^(2))=16 \\& \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=4 \\& x=-4 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ . \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე ვარიანტი:

\[\დაწყება(გასწორება)& ((x)^(2))=9 \\& \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=3 \\& x=-3 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ . \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის. ჩვენ ისევ გვაქვს ოთხი პასუხი: 4; -4; 3; -3.

მაგალითი #3

გადავიდეთ ბოლო ბიკვადრატულ განტოლებაზე:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

კვლავ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

მოდით გავამრავლოთ ორივე მხარე 4-ზე, რათა მოვიშოროთ წილადის კოეფიციენტები:

იპოვეთ $D$:

დისკრიმინანტის ფესვი სამია:

\[\ დასაწყისი(მასივი)((35)(l))

((t)_(1))\text()=\text()\frac(5+3)(2\cdot 4)=\text()\frac(8)(8)\text()=\ text( )1 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\text()\frac(2)(8)=\text( )\frac(1)(4) \\\ბოლო(მასივი)\]

ჩვენ ვითვლით X-ებს. გაიხსენეთ, რა არის $t$:

\[\დაწყება(გასწორება)& ((x)^(2))=1 \\& \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=1 \\& x=-1 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ . \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე ვარიანტი ცოტა უფრო რთულია:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ კვლავ მივიღეთ ოთხი ფესვი:

ასე წყდება ყველა ბიკვადრატული განტოლება. რა თქმა უნდა, ეს არ არის ყველაზე სწრაფი გზა, მაგრამ ყველაზე საიმედოა. შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ იგივე მაგალითები, როგორც ამ ვიდეოში. პასუხში, x მნიშვნელობები უნდა ჩაიწეროს მძიმით - ასე დავწერე. ეს გაკვეთილი დასრულდა. Წარმატებები!

ბიკვადრატული განტოლებების ამოხსნამდე აუცილებელია გავიგოთ რა არის ეს გამოთქმა. ასე რომ, ეს არის მეოთხე ხარისხის განტოლება, რომელიც შეიძლება დაიწეროს ამ ფორმით: ” (ცული 4) + (bx 2) + c = 0". მისი ზოგადი ფორმა შეიძლება დაიწეროს როგორც ოჰ". ამ ტიპის განტოლების ამოსახსნელად აუცილებელია გამოიყენოს მეთოდი, რომელსაც ეწოდება „უცნობების ჩანაცვლება“. მისი თქმით, გამოხატულება x 2' უნდა შეიცვალოს სხვა ცვლადით. ასეთი ჩანაცვლების შემდეგ მიიღება მარტივი კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნაც მომავალში არ არის რთული.

აუცილებელი:

- ცარიელი ფურცელი;
- საწერი კალამი;
- მათემატიკის ძირითადი უნარები.

ინსტრუქცია:

• ასე რომ, ჯერ უნდა ჩაწეროთ გამოხატულება ფურცელზე. მისი გადაწყვეტის პირველი ეტაპი შედგება გამოხატვის შეცვლის მარტივ პროცედურაში. x 2 ” მარტივ ცვლადზე (მაგალითად, ” რომ"). ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გქონდეთ ახალი განტოლება: (ak 2) - (bk) + c \u003d 0».
• გარდა ამისა, იმისათვის, რომ სწორად ამოხსნათ ბიკვადრატული განტოლება, ჯერ უნდა იპოვოთ ფესვები " (ak 2) – (bk) + с = 0“, რომელიც თქვენ მიიღეთ ჩანაცვლების შემდეგ. ამისათვის საჭირო იქნება დისკრიმინანტის მნიშვნელობის გამოთვლა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = (ბ 2 ) − 4*ac". თუმცა, ყველა ეს ცვლადი მაგრამ, ბდა დან) არის ზემოაღნიშნული განტოლების კოეფიციენტები.
• დროს დისკრიმინანტის გამოთვლა ჩვენ შეგვიძლია გავარკვიოთ, აქვს თუ არა ჩვენს ბიკვადრატულ განტოლებას ამონახსნი, რადგან თუ საბოლოოდ ეს მნიშვნელობა აღმოჩნდება მინუს ნიშნით, მაშინ მას მომავალში შეიძლება უბრალოდ არ ჰქონდეს ამონახსნი. თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ გვექნება ერთი ამონახსნი, რომელიც განისაზღვრება შემდეგი ფორმულით: k \u003d - (b / 2 * a)". ისე, თუ ჩვენი დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ მივიღებთ ორ ამონახსანს. ორი ამოხსნის მოსაძებნად საჭირო იქნება კვადრატული ფესვის აღება " დ” (ანუ დისკრიმინანტისგან). შედეგად მიღებული მნიშვნელობა უნდა დაიწეროს ცვლადის სახით " QD».
• შემდეგი ნაბიჯი არის პირდაპირი კვადრატული განტოლების ამოხსნა რომელიც თქვენ მიიღეთ. ამისათვის თქვენ უნდა შეცვალოთ უკვე ცნობილი მნიშვნელობები ფორმულაში. ერთ-ერთი გადაწყვეტისთვის: k1 \u003d (-b + QD) / 2 * a", ხოლო მეორესთვის: " k2 \u003d (-b - QD) / 2 * a».
• და ბოლოს, ბოლო ეტაპი - ბიკვადრატული განტოლების ფესვების პოვნა . ამისათვის საჭირო იქნება ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლების აქამდე მიღებული ამონახსნების კვადრატული ფესვის აღება. თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლი იყო და ჩვენ გვქონდა მხოლოდ ერთი ამონახსნი, მაშინ ამ შემთხვევაში იქნება ორი ფესვი (კვადრატული ფესვის უარყოფითი და დადებითი მნიშვნელობით). შესაბამისად, თუ დისკრიმინანტი იყო ნულზე მეტი, მაშინ ჩვენს ბიკვადრატულ განტოლებას ოთხი ფესვი ექნება.