ვექტორების პერპენდიკულარობის პირობა

ვექტორები პერპენდიკულარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი წერტილოვანი ნამრავლი არის ნული.

მოცემულია ორი ვექტორი a(xa;ya) და b(xb;yb). ეს ვექტორები პერპენდიკულარული იქნება, თუ გამონათქვამი xaxb + yayb = 0.

ვექტორები პარალელურია, თუ მათი ჯვარედინი ნამრავლი არის ნული

სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება. ძირითადი ამოცანები სწორ ხაზზე სიბრტყეზე.

სიბრტყეზე ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება მივიღოთ პირველი რიგის განტოლებით Ax + By + C = 0, ხოლო მუდმივები A, B ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, ე.ი. A2 + B2  0. ამ პირველი რიგის განტოლებას სწორი წრფის ზოგადი განტოლება ეწოდება. A, B და C მუდმივების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:

C \u003d 0) - სწორი ხაზი პარალელურია Ox ღერძის - B \u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \u003d 0) - სწორი ხაზი პარალელურია Oy ღერძის - B \u003d C \u003d 0, A  0 - სწორი ხაზი ემთხვევა Oy ღერძს - A = C = 0, B  0 - სწორი ხაზი ემთხვევა Ox ღერძს სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით, დამოკიდებულია ნებისმიერი მოცემული საწყისი პირობები.

თუ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც A, B, C ur-th Ax+By+C=0 უდრის 0-ს, ur-e
დაურეკა არასრული. სწორი ხაზის განტოლების სახით შეიძლება ვიმსჯელოთ მის პოზიციაზე
ჯანდაბა ოჰ. შესაძლო შემთხვევები:
1 C=0 L: Ax+By=0 ტ O(0,0) აკმაყოფილებს ამ განტოლებას, რაც ნიშნავს წრფეს
გადის საწყისზე
2 А=0 ლ: Ву+С=0 - ნორმალური v-p n=(0,B) აქედან OX ღერძის პერპენდიკულარულია.
აქედან გამომდინარეობს, რომ წრფე პარალელურია x-ღერძის
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - ნორმალური v-r n \u003d (A, 0) აქედან OY ღერძის პერპენდიკულარულია
აქედან გამომდინარეობს, რომ წრფე პარალელურია y-ღერძის
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - არ გადის საწყისზე და იკვეთება
ორივე ღერძი.

სწორი ხაზის განტოლება სიბრტყეზე, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილს და:

კუთხე თვითმფრინავებს შორის.

დეტერმინანტების გაანგარიშება

დეტერმინანტების გამოთვლა ეფუძნება მათ ცნობილ თვისებებს, რომლებიც ვრცელდება ყველა რიგის განმსაზღვრელზე. ეს თვისებებია:

1. თუ თქვენ გადააწყობთ დეტერმინანტის ორ მწკრივს (ან ორ სვეტს), მაშინ განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს.

2. თუ დეტერმინანტის ორი სვეტის (ან ორი მწკრივის) შესაბამისი ელემენტები ტოლია ან პროპორციულია, მაშინ განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

3. განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ რიგები და სვეტები შეიცვლება მათი თანმიმდევრობის შენარჩუნებით.

4. თუ რომელიმე მწკრივის (ან სვეტის) ყველა ელემენტს აქვს საერთო ფაქტორი, მაშინ მისი ამოღება შესაძლებელია განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

5. დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ ერთი მწკრივის (ან სვეტის) ელემენტებს დაემატება სხვა რიგის (ან სვეტის) შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

მატრიცა და მოქმედება მათზე

მატრიცა- რიცხვების (ან რგოლის ელემენტების) მართკუთხა ცხრილის სახით დაწერილი მათემატიკური ობიექტი და საშუალებას იძლევა ალგებრული მოქმედებები (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და ა.შ.) მასსა და სხვა მსგავს ობიექტებს შორის. ჩვეულებრივ მატრიცები წარმოდგენილია ორგანზომილებიანი (მართკუთხა) ცხრილებით. ზოგჯერ განიხილება მრავალგანზომილებიანი მატრიცები ან არამართკუთხა მატრიცები.

ჩვეულებრივ, მატრიცა აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით და გამოირჩევა მრგვალი ფრჩხილებით „(…)“ (ასევე არის კვადრატული ფრჩხილების შერჩევა „[…]“ ან ორმაგი სწორი ხაზები „||…| |“).

რიცხვები, რომლებიც ქმნიან მატრიცას (მატრიცის ელემენტები) ხშირად აღნიშნავენ იგივე ასოებით, როგორც თავად მატრიცა, მაგრამ მცირე რეგისტრებით (მაგალითად, a11 არის A მატრიცის ელემენტი).

მატრიცის თითოეულ ელემენტს აქვს 2 სუბსკრიპტი (aij) - პირველი "i" მიუთითებს იმ მწკრივის რაოდენობაზე, რომელშიც ელემენტი მდებარეობს, ხოლო მეორე "j" არის სვეტის ნომერი. ისინი ამბობენ "განზომილების მატრიცა", რაც იმას ნიშნავს, რომ მატრიცას აქვს m რიგები და n სვეტი. ყოველთვის ერთ მატრიცაში

მატრიცული ოპერაციები

დაე, aij იყოს A მატრიცის ელემენტები და bij იყოს B მატრიცის ელემენტები.

ხაზოვანი ოპერაციები:

A მატრიცის გამრავლება λ რიცხვზე (აღნიშვნა: λA) შედგება B მატრიცის აგებაში, რომლის ელემენტები მიიღება A მატრიცის თითოეული ელემენტის ამ რიცხვზე გამრავლებით, ანუ B მატრიცის თითოეული ელემენტი ტოლია. რომ

A + B მატრიცების დამატება არის C მატრიცის პოვნის ოპერაცია, რომლის ყველა ელემენტი უდრის A და B მატრიცების ყველა შესაბამისი ელემენტის წყვილთა ჯამს, ანუ C მატრიცის თითოეული ელემენტი უდრის.

A − B მატრიცების გამოკლება განისაზღვრება შეკრების მსგავსად, ეს არის C მატრიცის პოვნის ოპერაცია, რომლის ელემენტებიც.

შეკრება და გამოკლება დასაშვებია მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცებისთვის.

არსებობს ნულოვანი Θ მატრიცა, რომ მისი დამატება სხვა A მატრიცაში არ ცვლის A, ე.ი.

ნულოვანი მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

არაწრფივი ოპერაციები:

მატრიცული გამრავლება (აღნიშვნა: AB, ნაკლებად ხშირად გამრავლების ნიშნით) არის ოპერაცია C მატრიცის გამოსათვლელად, რომლის ელემენტები უდრის პირველი ფაქტორისა და სვეტის შესაბამისი მწკრივის ელემენტების ნამრავლების ჯამს. მეორე.cij = ∑ aikbkj k

პირველ მულტიპლიკატორს უნდა ჰქონდეს იმდენი სვეტი, რამდენი მწკრივია მეორეში. თუ A მატრიცას აქვს განზომილება B -, მაშინ მათი ნამრავლის განზომილება AB = C არის. მატრიცის გამრავლება არ არის კომუტაციური.

მატრიცული გამრავლება ასოციაციურია. მხოლოდ კვადრატული მატრიცები შეიძლება გაიზარდოს სიმძლავრემდე.

მატრიცის ტრანსპოზიცია (სიმბოლო: AT) არის ოპერაცია, რომელშიც მატრიცა აისახება მთავარი დიაგონალის გასწვრივ, ე.ი.

თუ A არის ზომის მატრიცა, მაშინ AT არის ზომის მატრიცა

რთული ფუნქციის წარმოებული

კომპლექსურ ფუნქციას აქვს ფორმა: F(x) = f(g(x)), ე.ი. არის ფუნქციის ფუნქცია. მაგალითად, y = sin2x, y = ln(x2+2x) და ა.შ.

თუ x წერტილში ფუნქცია g (x) არის წარმოებული g "(x), ხოლო u \u003d g (x) წერტილში f (u) აქვს წარმოებული f" (u), მაშინ წარმოებული რთული ფუნქცია f (g (x)) x წერტილში არსებობს და უდრის f"(u)g"(x).

იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული

ბევრ პრობლემაში ფუნქცია y(x) მითითებულია არაპირდაპირი გზით. მაგალითად, ქვემოთ მოცემული ფუნქციებისთვის

შეუძლებელია y(x) დამოკიდებულების ცალსახად მიღება.

იმპლიციტური ფუნქციის y "(x) წარმოებულის გამოთვლის ალგორითმი შემდეგია:

პირველ რიგში, თქვენ უნდა განასხვავოთ განტოლების ორივე მხარე x-სთან მიმართებაში, თუ ვივარაუდებთ, რომ y არის x-ის დიფერენცირებადი ფუნქცია და რთული ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლის წესის გამოყენებით;

ამოხსენით მიღებული განტოლება წარმოებული y "(x) მიმართ.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს საილუსტრაციოდ.

განტოლებით მოცემული y(x) ფუნქციის დიფერენცირება.

განასხვავეთ განტოლების ორივე მხარე x ცვლადის მიმართ:

რაც იწვევს შედეგს

ლაპიტალის წესი

L'Hopital-ის წესი. ვთქვათ f-tion f(x) და g(x) აქვს env-ში. t-ki x0 pr-nye f‘ და g‘ ამ ძალიან t-ku x0-ის შესაძლებლობის გამოკლებით. მოდით lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 ისე, რომ f(x)/g(x) x®x0-ისთვის იძლევა 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) როცა ემთხვევა ფუნქციის შეფარდების ზღვარს lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(ფუნქციის ერთფეროვნების კრიტერიუმი, რომელსაც აქვს წარმოებული ინტერვალზე) დაე, ფუნქცია უწყვეტი

(a,b) და აქვს წარმოებული f"(x) ყველა წერტილში. მაშინ

1)f იზრდება (a,b) თუ და მხოლოდ მაშინ

2) მცირდება (a,b)-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ

2. (საკმარისი პირობაა ფუნქციის მკაცრი ერთფეროვნებისთვის, რომელსაც აქვს წარმოებული ინტერვალზე) დაუშვით ფუნქცია არის უწყვეტი (a,b)-ზე და აქვს წარმოებული f"(x) ყველა წერტილში. მაშინ

1) თუ მაშინ f მკაცრად იზრდება (a,b-ზე);

2) თუ მაშინ f მკაცრად მცირდება (a,b-ზე).

საპირისპირო ზოგადად არ შეესაბამება სიმართლეს. მკაცრად მონოტონური ფუნქციის წარმოებული შეიძლება გაქრეს. თუმცა, წერტილების სიმრავლე, სადაც წარმოებული არ არის ნულის ტოლი, უნდა იყოს მკვრივი (a,b) ინტერვალზე. უფრო სწორად, ხდება.

3. (ფუნქციის მკაცრი ერთფეროვნების კრიტერიუმი, რომელსაც აქვს წარმოებული ინტერვალზე) მოდით და წარმოებული f"(x) განისაზღვრება ყველგან ინტერვალზე. შემდეგ f მკაცრად იზრდება ინტერვალზე (a,b) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი ორი პირობა:

ვექტორების სკალარული ნამრავლი. კუთხე ვექტორებს შორის. ვექტორების პარალელურობის ან პერპენდიკულარულობის მდგომარეობა.

ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის მათი სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის ნამრავლი:

ზუსტად ისევე, როგორც პლანიმეტრიაში, დასტურდება შემდეგი მტკიცებულებები:

ორი არანულოვანი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს ვექტორები პერპენდიკულარულია.

ვექტორის წერტილის კვადრატი, ანუ მისი და მისი წერტილის ნამრავლი, უდრის მისი სიგრძის კვადრატს.

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი და მოცემული მათი კოორდინატებით შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

ვექტორები პერპენდიკულარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი წერტილოვანი ნამრავლი არის ნული. მაგალითი. მოცემულია ორი ვექტორი და . ეს ვექტორები იქნება პერპენდიკულარული, თუ გამოხატულება x1x2 + y1y2 = 0. კუთხე არანულოვან ვექტორებს შორის არის კუთხე იმ წრფეებს შორის, რისთვისაც ეს ვექტორები სახელმძღვანელოა. კუთხე ნებისმიერ ვექტორსა და ნულოვან ვექტორს შორის, განსაზღვრებით, ითვლება ნულის ტოლად. თუ ვექტორებს შორის კუთხე 90°-ია, მაშინ ასეთ ვექტორებს პერპენდიკულარული ეწოდება. ვექტორებს შორის კუთხე აღინიშნა შემდეგნაირად:

ეს სტატია ავლენს სიბრტყეზე ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობის მნიშვნელობას სამგანზომილებიან სივრცეში და ვექტორის კოორდინატების პოვნა ერთი ან მთელი წყვილი ვექტორის მიმართ. თემა გამოსაყენებელია წრფეთა და სიბრტყეების განტოლებებთან დაკავშირებულ ამოცანებზე.

განვიხილავთ ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობის აუცილებელ და საკმარის პირობას, ამოვხსნით მოცემულზე პერპენდიკულარული ვექტორის პოვნის მეთოდით, შევეხებით ორ ვექტორზე პერპენდიკულარული ვექტორის პოვნის სიტუაციას.

Yandex.RTB R-A-339285-1

აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ ორი ვექტორი იყოს პერპენდიკულარული

გამოვიყენოთ წესი პერპენდიკულარული ვექტორების შესახებ სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში.

განმარტება 1

ორ არანულოვან ვექტორს შორის კუთხის მნიშვნელობის გათვალისწინებით, რომელიც უდრის 90 ° (π 2 რადიანს) ე.წ. პერპენდიკულარული.

რას ნიშნავს ეს და რა სიტუაციებშია საჭირო მათი პერპენდიკულარობის შესახებ ცოდნა?

პერპენდიკულარობის დადგენა შესაძლებელია ნახაზის საშუალებით. მოცემული წერტილებიდან სიბრტყეზე ვექტორის გამოსახვისას შეგიძლიათ გეომეტრიულად გაზომოთ კუთხე მათ შორის. ვექტორების პერპენდიკულარულობა, თუ ის დადგენილია, მთლად ზუსტი არ არის. ყველაზე ხშირად, ეს პრობლემები არ გაძლევთ ამის საშუალებას პროტრაქტორით, ამიტომ ეს მეთოდი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც სხვა არაფერია ცნობილი ვექტორების შესახებ.

სიბრტყეზე ან სივრცეში ორი არანულოვანი ვექტორის პერპენდიკულარობის დადასტურების უმეტესი შემთხვევები ხდება გამოყენებით აუცილებელი და საკმარისი პირობა ორი ვექტორის პერპენდიკულარობისთვის.

თეორემა 1

ორი არანულოვანი ვექტორის a → და b → ტოლი ნულის სკალარული ნამრავლი a → , b → = 0 ტოლობის შესასრულებლად საკმარისია მათი პერპენდიკულარობისთვის.

მტკიცებულება 1

მოცემული a → და b → ვექტორები იყოს პერპენდიკულარული, მაშინ დავამტკიცებთ ტოლობას a ⇀ , b → = 0 .

-ის განმარტებიდან ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლიჩვენ ვიცით, რომ ის უდრის მოცემული ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლი. პირობით, a → და b → პერპენდიკულარულია და, შესაბამისად, განმარტებიდან გამომდინარე, მათ შორის კუთხე არის 90 °. მაშინ გვაქვს a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0.

მტკიცებულების მეორე ნაწილი

იმ პირობით, როდესაც a ⇀, b → = 0 დაამტკიცეთ a → და b → პერპენდიკულარულობა.

სინამდვილეში, მტკიცებულება წინას საპირისპიროა. ცნობილია, რომ a → და b → არ არიან ნულოვანი, ამიტომ ტოლობიდან a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ ვპოულობთ კოსინუსს. შემდეგ მივიღებთ cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . ვინაიდან კოსინუსი არის ნული, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a → და b → ვექტორების a → , b → ^ კუთხე არის 90 ° . განმარტებით, ეს აუცილებელი და საკმარისი საკუთრებაა.

პერპენდიკულარული მდგომარეობა კოორდინატულ სიბრტყეზე

თავი წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატებშიაჩვენებს უტოლობას (a → , b →) = a x b x + a y b y, მოქმედებს ვექტორებისთვის a → = (a x , a y) და b → = (b x , b y) კოორდინატებისთვის, სიბრტყეზე და (a → , b → ) = a x b x + a y b y ვექტორებისთვის a → = (a x , a y , a z) და b → = (b x, b y, b z) სივრცეში. აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ ორი ვექტორი იყოს პერპენდიკულარული კოორდინატულ სიბრტყეში არის x · b x + a y · b y = 0 , სამგანზომილებიანი სივრცისთვის a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

მოდით გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკაში და გადავხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი 1

შეამოწმეთ ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობის თვისება a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

გადაწყვეტილება

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ სკალარული პროდუქტი. თუ პირობით ის ნულის ტოლი იქნება, მაშინ ისინი პერპენდიკულარულია.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ვექტორები სიბრტყეზე პერპენდიკულარულია.

პასუხი:დიახ, მოცემული ვექტორები a → და b → პერპენდიკულურია.

მაგალითი 2

მოცემულია კოორდინატთა ვექტორები i → , j → , k → . შეამოწმეთ შეიძლება თუ არა ვექტორები i → - j → და i → + 2 j → + 2 k → პერპენდიკულარული.

გადაწყვეტილება

იმისათვის, რომ გახსოვდეთ, თუ როგორ განისაზღვრება ვექტორის კოორდინატები, თქვენ უნდა წაიკითხოთ სტატია ვექტორული კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატებში.ამრიგად, მივიღებთ, რომ მოცემულ ვექტორებს i → - j → და i → + 2 j → + 2 k → აქვთ შესაბამისი კოორდინატები (1, - 1, 0) და (1, 2, 2) . ჩაანაცვლეთ რიცხვითი მნიშვნელობები და მიიღეთ: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

გამოთქმა არ არის ნული, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები i → - j → და i → + 2 j → + 2 k → არ არის პერპენდიკულარული, რადგან პირობა არ არის დაკმაყოფილებული.

პასუხი:არა, i → - j → და i → + 2 j → + 2 k → ვექტორები არ არის პერპენდიკულარული.

მაგალითი 3

მოცემულია ვექტორები a → = (1 , 0 , - 2) და b → = (λ , 5 , 1) . იპოვეთ მნიშვნელობა λ, რომლისთვისაც მოცემული ვექტორები პერპენდიკულარულია.

გადაწყვეტილება

ვიყენებთ სივრცეში ორი ვექტორის პერპენდიკულარობის პირობას კვადრატული ფორმით, შემდეგ მივიღებთ

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

პასუხი:ვექტორები პერპენდიკულარულია λ = 2 მნიშვნელობით.

არის შემთხვევები, როცა პერპენდიკულარობის საკითხი აუცილებელ და საკმარის პირობებშიც კი შეუძლებელია. ორ ვექტორზე სამკუთხედის სამი გვერდის შესახებ ცნობილი მონაცემების პოვნა შესაძლებელია კუთხე ვექტორებს შორისდა შეამოწმეთ იგი.

მაგალითი 4

მოცემულია სამკუთხედი A B C გვერდებით A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 სმ. შეამოწმეთ ვექტორები A B → და A C → პერპენდიკულარობისთვის.

გადაწყვეტილება

როდესაც A B → და A C → ვექტორები პერპენდიკულარულია, სამკუთხედი A B C ითვლება მართკუთხედად. შემდეგ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას, სადაც BC არის სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. თანასწორობა B C 2 = A B 2 + A C 2 უნდა დაკმაყოფილდეს. აქედან გამომდინარეობს, რომ 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. მაშასადამე, A B და A C არის A B C სამკუთხედის ფეხები, შესაბამისად, A B → და A C → პერპენდიკულურია.

მნიშვნელოვანია ვისწავლოთ თუ როგორ ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები მოცემულზე პერპენდიკულარული. ეს შესაძლებელია როგორც სიბრტყეში, ასევე სივრცეში, იმ პირობით, რომ ვექტორები პერპენდიკულარულია.

სიბრტყეში მოცემული ვექტორის პერპენდიკულარული ვექტორის პოვნა.

არანულოვან ვექტორს a → შეიძლება ჰქონდეს სიბრტყეში პერპენდიკულარული ვექტორების უსასრულო რაოდენობა. გამოვსახოთ ის კოორდინატთა ხაზზე.

მოცემულია არა ნულოვანი ვექტორი a → , რომელიც მდებარეობს a წრფეზე. მაშინ მოცემული b →, რომელიც მდებარეობს a წრფის პერპენდიკულარულ ნებისმიერ წრფეზე, ხდება პერპენდიკულარული და a → . თუ ვექტორი i → პერპენდიკულარულია ვექტორზე j → ან რომელიმე ვექტორზე λ · j → λ ტოლია ნებისმიერი რეალური რიცხვის გარდა ნულისა, მაშინ ვიპოვოთ b → ვექტორის პერპენდიკულარული a → = (a x, a y) კოორდინატები. მცირდება გადაწყვეტილებების უსასრულო ნაკრებამდე. მაგრამ აუცილებელია ვექტორის კოორდინატების პოვნა a → = (a x , a y) პერპენდიკულარული. ამისათვის აუცილებელია ვექტორების პერპენდიკულარობის პირობა ჩამოვწეროთ შემდეგი სახით x · b x + a y · b y = 0 . გვაქვს b x და b y, რომლებიც პერპენდიკულარული ვექტორის სასურველი კოორდინატებია. როდესაც a x ≠ 0, b y-ის მნიშვნელობა არ არის ნულოვანი და b x გამოითვლება a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. როდესაც a x = 0 და a y ≠ 0, ჩვენ ვანიჭებთ b x ნებისმიერ მნიშვნელობას ნულის გარდა და b y გვხვდება გამოსახულებიდან b y = - a x · b x a y .

მაგალითი 5

მოცემულია ვექტორი a → = (- 2 , 2) კოორდინატებით. იპოვეთ მოცემულის პერპენდიკულარული ვექტორი.

გადაწყვეტილება

მონიშნეთ სასურველი ვექტორი, როგორც b → (b x , b y) . მისი კოორდინატების პოვნა შეგიძლიათ იმ პირობით, რომ ვექტორები a → და b → პერპენდიკულარულია. შემდეგ მივიღებთ: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . მიანიჭეთ b y = 1 და ჩაანაცვლეთ: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . აქედან გამომდინარე, ფორმულიდან ვიღებთ b x = - 2 - 2 = 1 2. აქედან გამომდინარე, ვექტორი b → = (1 2, 1) არის ვექტორი a → პერპენდიკულარული.

პასუხი: b → = (1 2 , 1) .

თუ სამგანზომილებიანი სივრცის საკითხი დაისვა, პრობლემა წყდება იმავე პრინციპით. მოცემული ვექტორისთვის a → = (a x , a y , a z) არის პერპენდიკულარულ ვექტორთა უსასრულო სიმრავლე. დააფიქსირებს კოორდინატულ 3D სიბრტყეზე. მოცემულია a → წოლა a ხაზზე. a სწორი ხაზის პერპენდიკულარული სიბრტყე აღინიშნება α-ით. ამ შემთხვევაში, α სიბრტყიდან ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი b → პერპენდიკულარულია a-ზე.

აუცილებელია ვიპოვოთ კოორდინატები b → პერპენდიკულარული a → = (a x , a y , a z) ვექტორზე.

მოდით b → მოცემულია b x, b y და b z კოორდინატებით. მათ საპოვნელად აუცილებელია ორი ვექტორის პერპენდიკულარობის პირობის განსაზღვრის გამოყენება. ტოლობა a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 უნდა იყოს. პირობიდან a → - არ არის ნულოვანი, რაც ნიშნავს, რომ ერთ-ერთ კოორდინატს აქვს მნიშვნელობა, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. დავუშვათ, რომ x ≠ 0 , (a y ≠ 0 ან a z ≠ 0). მაშასადამე, გვაქვს უფლება ამ კოორდინატზე გავყოთ მთელი უტოლობა a x b x + a y b y + a z b z = 0, მივიღებთ გამონათქვამს b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . b y და b x კოორდინატებს ვანიჭებთ ნებისმიერ მნიშვნელობას, გამოვთვალოთ მნიშვნელობა b x, ფორმულის მიხედვით, b x = - a y · b y + a z · b z a x. სასურველ პერპენდიკულარულ ვექტორს ექნება მნიშვნელობა a → = (a x , a y , a z) .

მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას მაგალითით.

მაგალითი 6

მოცემულია ვექტორი a → = (1, 2, 3)   კოორდინატებით. იპოვეთ მოცემულის პერპენდიკულარული ვექტორი.

გადაწყვეტილება

აღვნიშნოთ სასურველი ვექტორი, როგორც b → = (b x, b y, b z) . იმ პირობით, რომ ვექტორები პერპენდიკულარულია, სკალარული ნამრავლი უნდა იყოს ნულის ტოლი.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

თუ მნიშვნელობა b y = 1 , b z = 1 , მაშინ b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . აქედან გამომდინარეობს, რომ b → (- 5 , 1 , 1) ვექტორის კოორდინატები. ვექტორი b → არის მოცემულის ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

პასუხი: b → = (- 5 , 1 , 1) .

ვექტორის კოორდინატების პოვნა ორ მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარული

თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორის კოორდინატები სამგანზომილებიან სივრცეში. ის პერპენდიკულარულია არასწორხაზოვანი ვექტორების a → (a x , a y , a z) და b → = (b x , b y , b z) . იმ პირობით, რომ a → და b → ვექტორები თანასწორხაზოვანია, ამოცანაში საკმარისი იქნება ვექტორის პოვნა a → ან b →-ზე პერპენდიკულარული.

ამოხსნისას გამოიყენება ვექტორების ვექტორული ნამრავლის ცნება.

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი a → და b → არის ვექტორი, რომელიც ერთდროულად არის პერპენდიკულარული a → და b →. ამ პრობლემის გადასაჭრელად გამოიყენება ვექტორული ნამრავლი a → × b →. სამგანზომილებიანი სივრცისთვის მას აქვს ფორმა a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z.

მოდით უფრო დეტალურად გავაანალიზოთ ვექტორული პროდუქტი პრობლემის მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი 7

მოცემულია b → = (0, 2, 3) და a → = (2, 1, 0) ვექტორები. იპოვეთ მონაცემების რომელიმე პერპენდიკულარული ვექტორის კოორდინატები ერთდროულად.

გადაწყვეტილება

ამოსახსნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი. (უნდა მიმართოთ პუნქტს მატრიცის განმსაზღვრელი გამოთვლებივექტორის მოსაძებნად). ჩვენ ვიღებთ:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

პასუხი: (3 , - 6 , 4) - ვექტორის კოორდინატები, რომელიც ერთდროულად პერპენდიკულარულია მოცემულ → და b →ზე.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ომ. ამისათვის ჩვენ ჯერ შემოგთავაზებთ სეგმენტის კონცეფციას.

განმარტება 1

სეგმენტი არის სწორი ხაზის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ორივე მხრიდან წერტილებით.

განმარტება 2

სეგმენტის ბოლოებს უწოდებენ წერტილებს, რომლებიც ზღუდავენ მას.

ვექტორის განმარტების შესატანად, სეგმენტის ერთ-ერთ ბოლოს ეწოდება მისი დასაწყისი.

განმარტება 3

ვექტორს (მიმართულ სეგმენტს) დავარქმევთ ისეთ სეგმენტს, რომლისთვისაც მითითებულია რომელი სასაზღვრო წერტილია მისი დასაწყისი და რომელი დასასრული.

აღნიშვნა: \overline(AB) - ვექტორი AB , დაწყებული A წერტილიდან და დამთავრებული B წერტილით.

წინააღმდეგ შემთხვევაში, ერთი პატარა ასო: \overline(a) (ნახ. 1).

განმარტება 4

ნულოვანი ვექტორი არის ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის სიბრტყეს.

აღნიშვნა: \overline(0) .

ჩვენ ახლა პირდაპირ წარმოგიდგენთ კოლინარული ვექტორების განმარტებას.

ჩვენ ასევე წარმოგიდგენთ სკალარული პროდუქტის განმარტებას, რომელიც დაგვჭირდება ქვემოთ.

განმარტება 6

ორი მოცემული ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის სკალარი (ან რიცხვი), რომელიც უდრის ამ ორი ვექტორის სიგრძის ნამრავლს მოცემულ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსთან.

მათემატიკურად შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

\overline(a)\overline(β)=|\overline(a)||\overline(b)|cos⁡∠(\overline(a),\overline(β))

წერტილოვანი პროდუქტის გამოყენება ასევე შეგიძლიათ ვექტორული კოორდინატებიშემდეგი გზით

\overline(a)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

პროპორციულობის მეშვეობით პერპენდიკულარობის ნიშანი

თეორემა 1

იმისათვის, რომ არანულოვანი ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარული იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ვექტორების მათი სკალარული ნამრავლი იყოს ნულის ტოლი.

მტკიცებულება.

საჭიროება: მივცეთ ვექტორები \overline(α) და \overline(β) , რომლებსაც აქვთ კოორდინატები (α_1,α_2,α_3) და (β_1,β_2,β_3) შესაბამისად და ისინი ერთმანეთის პერპენდიკულარულია. მაშინ ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ შემდეგი თანასწორობა

ვინაიდან ვექტორები \overline(α) და \overline(β) პერპენდიკულარულია, მათ შორის კუთხე არის 90^0. მოდით ვიპოვოთ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი მე-6 განმარტების ფორმულის გამოყენებით.

\overline(a)\cdot \overline(β)=|\overline(a)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(a)||\overline(β)|\cdot 0=0

საკმარისობა: დაე, თანასწორობა იყოს ჭეშმარიტი \overline(α)\cdot \overline(β)=0. დავამტკიცოთ, რომ ვექტორები \overline(α) და \overline(β) იქნება ერთმანეთის პერპენდიკულარული.

მე-6 განმარტებით, თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი

|\overline(a)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(a),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

მაშასადამე, ვექტორები \overline(α) და \overline(β) იქნება ერთმანეთის პერპენდიკულარული.

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ ვექტორები (1,-5,2) და (2,1,3/2) კოორდინატებით პერპენდიკულარულია.

მტკიცებულება.

მოდით ვიპოვოთ წერტილოვანი ნამრავლი ამ ვექტორებისთვის ზემოთ მოცემული ფორმულით

\overline(a)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

აქედან გამომდინარე, თეორემა 1-ის მიხედვით, ეს ვექტორები პერპენდიკულარულია.

ჯვარედინი ნამრავლის მეშვეობით ორ მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარული ვექტორის პოვნა

მოდით, პირველ რიგში გავაცნოთ ვექტორული პროდუქტის კონცეფცია.

განმარტება 7

ორი ვექტორის ვექტორულ ნამრავლს დაერქმევა ვექტორი, რომელიც იქნება პერპენდიკულარული ორივე მოცემულ ვექტორზე და მისი სიგრძე ტოლი იქნება ამ ვექტორების სიგრძის ნამრავლის ამ ვექტორებს შორის კუთხის სინუსთან და ეს ვექტორი ორთან. საწყისს აქვს იგივე ორიენტაცია, როგორც დეკარტის კოორდინატთა სისტემა.

Დანიშნულება: \overline(α)x\overline(β)x.

ვექტორული ნამრავლის საპოვნელად გამოვიყენებთ ფორმულას

\overline(a)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\ბოლო(vmatrix) x

ვინაიდან ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის ვექტორი პერპენდიკულარულია ორივე ვექტორის მიმართ, მაშინ ის იქნება პრეტენზიის ვექტორი. ანუ, იმისათვის, რომ იპოვოთ ვექტორი ორ ვექტორზე პერპენდიკულარული, თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ მათი ჯვარედინი ნამრავლი.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ვექტორების პერპენდიკულარული ვექტორი კოორდინატებით \overline(α)=(1,2,3) და \overline(β)=(-1,0,3)

იპოვეთ ამ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი.

\overline(a)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x

ინსტრუქცია

თუ თავდაპირველი ვექტორი ნახაზზე ნაჩვენებია მართკუთხა ორგანზომილებიანი კოორდინატთა სისტემაში და პერპენდიკულარული უნდა აშენდეს იმავე ადგილას, გადადით სიბრტყეზე ვექტორების პერპენდიკულარობის განსაზღვრებიდან. მასში ნათქვამია, რომ კუთხე მიმართულების ასეთ წყვილს შორის უნდა იყოს 90°-ის ტოლი. შესაძლებელია ასეთი ვექტორების უსასრულო რაოდენობის აგება. მაშასადამე, სიბრტყის ნებისმიერ მოსახერხებელ ადგილას დახაზეთ თავდაპირველი ვექტორის პერპენდიკულარი, გამოყავით მასზე მოცემული მოწესრიგებული წყვილის სიგრძის ტოლი სეგმენტი და მიანიჭეთ მისი ერთ-ერთი ბოლო, როგორც პერპენდიკულარული ვექტორის დასაწყისი. გააკეთეთ ეს პროტრატორით და სახაზავებით.

თუ თავდაპირველი ვექტორი მოცემულია ორგანზომილებიანი კოორდინატებით ā = (X1;Y1), განაგრძეთ იქიდან, რომ პერპენდიკულარული ვექტორების წყვილის სკალარული ნამრავლი უნდა იყოს ნულის ტოლი. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა აირჩიოთ სასურველი ვექტორისთვის ō = (X2,Y2) ისეთი კოორდინატები, რომლებზეც დაკმაყოფილდება თანასწორობა (ā,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 = 0. ეს შეიძლება გაკეთდეს ასე: აირჩიეთ ნებისმიერი არანულოვანი მნიშვნელობა X2 კოორდინატისთვის და გამოთვალეთ Y2 კოორდინატი ფორმულის გამოყენებით Y2 = -(X1*X2)/Y1. მაგალითად, ā = (15;5) ვექტორისთვის იქნება ვექტორი ō, რომლის აბსციზა უდრის ერთს და ორდინატი -(15*1)/5 = -3, ე.ი. ō = (1;-3).

სამგანზომილებიანი და ნებისმიერი სხვა ორთოგონალური კოორდინატთა სისტემისთვის მართებულია ვექტორების პერპენდიკულარობის იგივე აუცილებელი და საკმარისი პირობა - მათი სკალარული ნამრავლი უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამიტომ, თუ თავდაპირველი მიმართული სეგმენტი მოცემულია ā = (X1,Y1,Z1) კოორდინატებით, ō = (X2,Y2,Z2) წერტილების მოწესრიგებული წყვილისთვის მასზე პერპენდიკულარული, აირჩიეთ ისეთი კოორდინატები, რომლებიც აკმაყოფილებს პირობას (ā. ,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. უმარტივესი გზაა ერთჯერადი მნიშვნელობების მინიჭება X2 და Y2-სთვის და გამოთვლა Z2 გამარტივებული განტოლებიდან Z2 = -1*(X1*1 + Y1*1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. მაგალითად, ვექტორისთვის ā = (3,5,4) ეს მიიღებს შემდეგ ფორმას: (ā,ō) = 3*X2 + 5*Y2 + 4*Z2 = 0. შემდეგ აიღეთ აბსცისა და ორდინატი. პერპენდიკულარული ვექტორი, როგორც ერთიანობა, და ამ შემთხვევაში ტოლი იქნება -(3+5)/4 = -2.

წყაროები:

• იპოვეთ ვექტორი, თუ ის პერპენდიკულარულია

პერპენდიკულური ეწოდება ვექტორი, რომლის კუთხე არის 90º. პერპენდიკულარული ვექტორები აგებულია ხატვის ხელსაწყოების გამოყენებით. თუ ცნობილია მათი კოორდინატები, მაშინ შესაძლებელია ვექტორების პერპენდიკულარობის შემოწმება ან პოვნა ანალიტიკური მეთოდებით.

დაგჭირდებათ

• - პროტრაქტორი;
• - კომპასი;
• - მმართველი.

ინსტრუქცია

დააყენეთ იგი ვექტორის საწყის წერტილზე. დახაზეთ წრე თვითნებური რადიუსით. შემდეგ ააგეთ ორი, ორიენტირებული იმ წერტილებზე, სადაც პირველი წრე კვეთს ხაზს, რომელზეც ვექტორი დევს. ამ წრეების რადიუსი უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი და პირველ აგებულ წრეზე დიდი. წრეების გადაკვეთის წერტილებში ააგეთ სწორი ხაზი, რომელიც თავდაპირველი ვექტორის პერპენდიკულარული იქნება მისი დასაწყისის წერტილში და გამოყავით მასზე მოცემულის პერპენდიკულარული ვექტორი.

იპოვეთ ვექტორი პერპენდიკულარული ვექტორის მიმართ, რომლის კოორდინატები და ტოლია (x; y). ამისათვის იპოვეთ რიცხვების წყვილი (x1;y1), რომელიც დააკმაყოფილებს x x1+y y1=0 ტოლობას. ამ შემთხვევაში ვექტორი კოორდინატებით (x1;y1) იქნება პერპენდიკულარული (x;y) კოორდინატების მქონე ვექტორზე.