ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ მათემატიკის კურსში ისეთი მნიშვნელოვანი თემის ძირითად წესებს, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა. თქვენ უნდა იცოდეთ ფრჩხილების გახსნის წესები, რათა სწორად ამოხსნათ განტოლებები, რომლებშიც ისინი გამოიყენება.

როგორ სწორად გავხსნათ ფრჩხილები დამატებისას

გააფართოვეთ ფრჩხილები, რომლებსაც წინ უძღვის "+" ნიშანი

ეს უმარტივესი შემთხვევაა, რადგან თუ ფრჩხილების წინ არის დამატების ნიშანი, ფრჩხილების გახსნისას მათში არსებული ნიშნები არ იცვლება. მაგალითი:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები, რომლებსაც წინ უძღვის "-" ნიშანი

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გადაწეროთ ყველა ტერმინი ფრჩხილების გარეშე, მაგრამ ამავე დროს შეცვალოთ მათში არსებული ყველა ნიშანი საპირისპიროზე. ნიშნები იცვლება მხოლოდ იმ ფრჩხილების ტერმინებისთვის, რომლებსაც წინ უძღვოდა "-" ნიშანი. მაგალითი:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები გამრავლებისას

ფრჩხილებს წინ უძღვის მულტიპლიკატორი

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული წევრი ფაქტორზე და გახსნათ ფრჩხილები ნიშნების შეცვლის გარეშე. თუ მულტიპლიკატორს აქვს ნიშანი "-", მაშინ გამრავლებისას ტერმინების ნიშნები უკუღმა ხდება. მაგალითი:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

როგორ გავხსნათ ორი ფრჩხილები მათ შორის გამრავლების ნიშნით

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი ფრჩხილებიდან თითოეული წევრი მეორე ფრჩხილების თითოეულ წევრთან და შემდეგ დაამატოთ შედეგები. მაგალითი:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები კვადრატში

თუ ორი წევრის ჯამი ან განსხვავება კვადრატულია, ფრჩხილები უნდა გაფართოვდეს შემდეგი ფორმულის მიხედვით:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

ფრჩხილებში მინუსის შემთხვევაში ფორმულა არ იცვლება. მაგალითი:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები სხვა ხარისხით

თუ ტერმინების ჯამი ან სხვაობა გაიზარდა, მაგალითად, მე-3 ან მე-4 ხარისხში, მაშინ თქვენ უბრალოდ უნდა დაარღვიოთ ფრჩხილის ხარისხი "კვადრატებად". ემატება ერთი და იგივე ფაქტორების უფლებამოსილებები და გაყოფისას გამყოფის ხარისხი კლებულობს დივიდენდის ხარისხს. მაგალითი:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

როგორ გავხსნათ 3 ფრჩხილი

არის განტოლებები, რომლებშიც 3 ფრჩხილი ერთდროულად მრავლდება. ამ შემთხვევაში, ჯერ უნდა გაამრავლოთ პირველი ორი ფრჩხილის პირები ერთმანეთში, შემდეგ კი ამ გამრავლების ჯამი გაამრავლოთ მესამე ფრჩხილის ნაწილებზე. მაგალითი:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

ფრჩხილის გახსნის ეს წესები თანაბრად ვრცელდება როგორც წრფივ, ისე ტრიგონომეტრიულ განტოლებებზე.

Ყველგან. ყველგან და ყველგან, სადაც არ უნდა გაიხედო, არის ასეთი კონსტრუქციები:

წიგნიერ ადამიანებში ეს „კონსტრუქციები“ ორაზროვან რეაქციას იწვევს. ყოველ შემთხვევაში, როგორც "მართლა ასეა - არა?".
ზოგადად, პირადად მე ვერ ვხვდები, საიდან გაჩნდა გარე ციტატების არ დახურვის "მოდა". პირველი და ერთადერთი ანალოგია, რომელიც ჩნდება ამ მხრივ, არის ანალოგია ფრჩხილებით. არავის ეპარება ეჭვი, რომ ზედიზედ ორი ფრჩხილი ნორმალურია. მაგალითად: "გადაიხადე მთელი ტირაჟისთვის (200 ცალი (აქედან 100 დეფექტური))". მაგრამ ზედიზედ ორი ციტატის დაწესების ნორმალურობაში ვიღაცას ეჭვი ეპარებოდა (მაინტერესებს ვინ არის პირველი?)... ახლა კი ყველამ გამონაკლისის გარეშე დაიწყო სუფთა სინდისით ისეთი კონსტრუქციების წარმოება, როგორიცაა შპს ფირმა პუპკოვი და კომპანია.
მაგრამ მაშინაც კი, თუ თქვენს ცხოვრებაში არ გინახავთ წესი, რომელიც ქვემოთ იქნება განხილული, მაშინ ერთადერთი ლოგიკურად გამართლებული ვარიანტი (მაგალითად ფრჩხილების გამოყენება) იქნება შემდეგი: შპს ფირმა პუპკოვი და კო.
ასე რომ, თავად წესი:
თუ ციტატის დასაწყისში ან ბოლოს (იგივე ეხება პირდაპირ მეტყველებას) არის შიდა და გარე ციტატები, მაშინ ისინი ერთმანეთისგან უნდა განსხვავდებოდეს ნიმუშით (ე.წ. "ნაძვის ხეები" და "საყვარლები" ), და გარე ბრჭყალები არ უნდა გამოტოვოთ, მაგალითად: C გემის გვერდებზე რადიოგადაცემა მოხდა: „ლენინგრადი შევიდა ტროპიკებში და აგრძელებს თავის კურსს“. ჟუკოვსკის შესახებ ბელინსკი წერს: ”ჟუკოვსკის ახალგაზრდობის თანამედროვენი უყურებდნენ მას ძირითადად, როგორც ბალადების ავტორს და ერთ-ერთ მესიჯში ბატიუშკოვმა მას ”ბალადის მოთამაშე” უწოდა.
© რუსული მართლწერის და პუნქტუაციის წესები. - ტულა: ავტოგრაფი, 1995. - 192გვ.
შესაბამისად... თუ არ გაქვთ შესაძლებლობა აკრიფოთ ბრჭყალებში, „ნაძვის ხეები“, მაშინ რა ქნათ, მოგიწევთ ასეთი „“ ხატების გამოყენება. თუმცა, რუსული ციტატების გამოყენების შეუძლებლობა (ან არ სურდა) არავითარ შემთხვევაში არ არის მიზეზი იმისა, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ დახუროთ გარე ციტატები.

ამრიგად, როგორც ჩანს, მათ გაარკვიეს შპს ფირმა პუპკოვის და კო-ს არასწორი დიზაინი, ასევე არის შპს ფირმა პუპკოვის და კო.
წესიდან ცხადია, რომ ასეთი კონსტრუქციები გაუნათლებელია... (სწორია: შპს ფირმა პუპკოვი და კო.

თუმცა!
Milchin's Publisher's and Author's Handbook (2004 წლის გამოცემა) ნათქვამია, რომ ასეთ შემთხვევებში შესაძლებელია ორი დიზაინის ვარიანტის გამოყენება. „ჰერინგბონის“ და „თათების“ გამოყენება და (ტექნიკური საშუალებების არარსებობის შემთხვევაში) მხოლოდ „ქაშაყის“ გამოყენება: ორი გასახსნელი და ერთი დახურვა.
დირექტორია არის "ახალი" და პირადად მე მაშინვე მაქვს 2 კითხვა აქ. ჯერ ერთი, რა სიხარულით მაინც შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთი დახურვის ციტატა - ჰერინგბონი (კარგი, ეს ალოგიკურია, იხილეთ ზემოთ), და მეორეც, ფრაზა "ტექნიკური საშუალებების არარსებობის შემთხვევაში" განსაკუთრებით იპყრობს ყურადღებას. როგორ არის, ბოდიში? აქ გახსენით Notepad და ჩაწერეთ "მხოლოდ ნაძვის ხეები: ორი გახსნილი და ერთი დახურვა". კლავიატურაზე ასეთი სიმბოლოები არ არის. ნაძვის ხის დაბეჭდვა არაუშავს... კომბინაცია Shift + 2 წარმოქმნის ნიშანს " (რომელიც მოგეხსენებათ, ბრჭყალსაც კი არ წარმოადგენს). ახლა გახსენით Microsoft Word და კვლავ დააჭირეთ Shift + 2. პროგრამა გამოსწორდება. "-მდე" (ან" ). ისე, გამოდის, რომ წესი, რომელიც არსებობდა ათზე მეტი წლის განმავლობაში, აიღეს და გადაწერეს Microsoft Word-ის ქვეშ? მოსწონს, რადგან სიტყვა "ფირმა" პუპკოვიდან და კოდან "აკეთებს" ფირმას "პუპკოვი და კო", მაშინ ახლა იყოს მისაღები და სწორი ???
როგორც ჩანს, ასეა. და თუ ასეა, მაშინ არსებობს ყველა მიზეზი, რომ ეჭვი შევიტანოთ ასეთი ინოვაციის სისწორეში.

დიახ, და კიდევ ერთი განმარტება ... ძალიან "ტექნიკური საშუალებების ნაკლებობაზე". ფაქტია, რომ ნებისმიერ ვინდოუს კომპიუტერზე ყოველთვის არის "ტექნიკური საშუალებები" როგორც "ნაძვის ხეებში" და "თათებში" შესვლისთვის, ამიტომ ეს ახალი "წესი" (ჩემთვის ბრჭყალებშია) თავიდანვე არასწორია!

შრიფტის ყველა სპეციალური სიმბოლო შეიძლება ადვილად აკრიფოთ ამ სიმბოლოს შესაბამისი რაოდენობის ცოდნით. საკმარისია დააჭიროთ Alt და აკრიფოთ NumLock კლავიატურაზე (დაჭერილია NumLock, ინდიკატორის შუქი ჩართულია) შესაბამისი სიმბოლო ნომერი:

„Alt + 0132 (მარცხენა ფეხი)
Alt + 0147 (მარჯვენა ფეხი)
« Alt + 0171 (მარცხენა ჰერინგბონი)
» Alt + 0187 (მარჯვენა ჰერინგბონი)

ამ გაკვეთილზე თქვენ შეისწავლით თუ როგორ გადააკეთოთ გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს ფრჩხილებს, გამოსახულებად, რომელიც არ შეიცავს ფრჩხილებს. თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა გახსნათ ფრჩხილები, რომლებსაც წინ უძღვის პლუსი და მინუს ნიშანი. ჩვენ გვახსოვს, როგორ გავხსნათ ფრჩხილები გამრავლების კანონის გამოყენებით. განხილული მაგალითები საშუალებას მოგცემთ დააკავშიროთ ახალი და ადრე შესწავლილი მასალა ერთ მთლიანობაში.

თემა: განტოლების ამოხსნა

გაკვეთილი: ფრჩხილების გაფართოება

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები, რომლებსაც წინ უძღვის "+" ნიშანი. მიმატების ასოციაციური კანონის გამოყენება.

თუ რიცხვს ორი რიცხვის ჯამის დამატება გჭირდებათ, შეგიძლიათ ამ რიცხვს დაუმატოთ პირველი წევრი, შემდეგ კი მეორე.

ტოლობის ნიშნის მარცხნივ არის გამოხატულება ფრჩხილებით, ხოლო მარჯვნივ არის გამოხატულება ფრჩხილების გარეშე. ეს ნიშნავს, რომ ტოლობის მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს გადასვლისას ფრჩხილები გაიხსნა.

განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 1

ფრჩხილების გაფართოებით, ჩვენ შევცვალეთ ოპერაციების თანმიმდევრობა. დათვლა უფრო მოსახერხებელი გახდა.

მაგალითი 2

მაგალითი 3

გაითვალისწინეთ, რომ სამივე მაგალითში ჩვენ უბრალოდ ამოვიღეთ ფრჩხილები. ჩამოვაყალიბოთ წესი:

კომენტარი.

თუ ფრჩხილებში პირველი ტერმინი ხელმოუწერელია, მაშინ ის უნდა დაიწეროს პლუს ნიშნით.

შეგიძლიათ მიჰყვეთ ნაბიჯ ნაბიჯ მაგალითს. ჯერ დაამატეთ 445 889-ს. ეს გონებრივი მოქმედება შეიძლება შესრულდეს, მაგრამ ეს არც ისე ადვილია. გავხსნათ ფრჩხილები და ვნახოთ, რომ ოპერაციების შეცვლილი თანმიმდევრობა მნიშვნელოვნად გაამარტივებს გამოთვლებს.

თუ დაიცავთ მოქმედებების მითითებულ თანმიმდევრობას, მაშინ 512-ს ჯერ უნდა გამოაკლოთ 345, შემდეგ კი შედეგს დაამატოთ 1345. ფრჩხილების გაფართოებით ჩვენ შევცვლით მოქმედებების თანმიმდევრობას და მნიშვნელოვნად გავამარტივებთ გამოთვლებს.

საილუსტრაციო მაგალითი და წესი.

განვიხილოთ მაგალითი: . თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2-ისა და 5-ის დამატებით, შემდეგ კი მიღებული რიცხვის საპირისპირო ნიშნით აღებით. ვიღებთ -7.

მეორეს მხრივ, იგივე შედეგი შეიძლება მივიღოთ საპირისპირო რიცხვების დამატებით.

ჩამოვაყალიბოთ წესი:

მაგალითი 1

მაგალითი 2

წესი არ იცვლება, თუ ფრჩხილებში არის არა ორი, არამედ სამი ან მეტი ტერმინი.

მაგალითი 3

კომენტარი. ნიშნები შებრუნებულია მხოლოდ ტერმინების წინ.

ფრჩხილების გასახსნელად, ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გახსოვდეთ განაწილების თვისება.

ჯერ პირველი ფრჩხილი გავამრავლოთ 2-ზე და მეორე 3-ზე.

პირველ ფრჩხილს წინ უძღვის "+" ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ ნიშნები უცვლელი უნდა დარჩეს. მეორეს წინ უძღვის "-" ნიშანი, შესაბამისად, ყველა ნიშანი უნდა იყოს შებრუნებული

ბიბლიოგრაფია

1. ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკა 6. - მ.: მნემოსინე, 2012 წ.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. მათემატიკა მე-6 კლასი. - გიმნაზია, 2006 წ.
3. დეპმენ ი.ია., ვილენკინ ნ.ია. მათემატიკის სახელმძღვანელოს გვერდების მიღმა. - განმანათლებლობა, 1989 წ.
4. რურუკინი A.N., ჩაიკოვსკი ი.ვ. დავალებები მათემატიკის კურსის 5-6 კლასი - ZSH MEPhI, 2011 წ.
5. რურუკინი ა.ნ., სოჩილოვი ს.ვ., ჩაიკოვსკი კ.გ. მათემატიკა 5-6. სახელმძღვანელო MEPhI კორესპონდენციის სკოლის მე-6 კლასის მოსწავლეებისთვის. - ZSH MEPhI, 2011 წ.
6. შევრინ ლ.ნ., გეინ ა.გ., კორიაკოვი ი.ო., ვოლკოვი მ.ვ. მათემატიკა: სახელმძღვანელო-მოსაუბრე საშუალო სკოლის 5-6 კლასებისთვის. მათემატიკის მასწავლებლის ბიბლიოთეკა. - განმანათლებლობა, 1989 წ.

1. ონლაინ მათემატიკის ტესტები ().
2. შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ პუნქტი 1.2-ში მითითებული. წიგნები ().

Საშინაო დავალება

1. ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკა 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (იხ. ბმული 1.2)
2. საშინაო დავალება: No1254, No1255, No1256 (ბ, დ)
3. სხვა დავალებები: No1258(c), No1248

ახლა ჩვენ უბრალოდ გადავალთ ფრჩხილების გახსნაზე გამონათქვამებში, რომლებშიც ფრჩხილებში გამოსახული მრავლდება რიცხვით ან გამოსახულებით. ჩამოვაყალიბოთ ფრჩხილების გახსნის წესი, რომელსაც წინ უძღვის მინუს ნიშანი: ფრჩხილები მინუს ნიშანთან ერთად გამოტოვებულია, ხოლო ფრჩხილებში ყველა ტერმინის ნიშნები იცვლება საპირისპიროებით.

გამოხატვის ტრანსფორმაციის ერთ-ერთი ტიპია ფრჩხილების გაფართოება. რიცხვითი, პირდაპირი და ცვლადი გამონათქვამები შედგენილია ფრჩხილების გამოყენებით, რომლებიც შეიძლება მიუთითებდეს მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობით, შეიცავდეს უარყოფით რიცხვს და ა.შ. დავუშვათ, რომ ზემოთ აღწერილ გამოთქმებში, რიცხვებისა და ცვლადების ნაცვლად, შეიძლება იყოს ნებისმიერი გამონათქვამი.

და ყურადღება მივაქციოთ კიდევ ერთ პუნქტს, რომელიც ეხება ხსნარის დაწერის თავისებურებებს ფრჩხილების გახსნისას. წინა აბზაცში განვიხილეთ ის, რასაც ფრჩხილების გაფართოება ჰქვია. ამისათვის არსებობს ფრჩხილების გახსნის წესები, რომლებსაც ახლა განვიხილავთ. ეს წესი ნაკარნახევია იმით, რომ მიღებულია დადებითი რიცხვების დაწერა ფრჩხილების გარეშე, ფრჩხილები ამ შემთხვევაში არასაჭიროა. გამოთქმა (−3,7)−(−2)+4+(−9) შეიძლება ჩაიწეროს ფრჩხილების გარეშე, როგორც −3,7+2+4−9.

და ბოლოს, წესის მესამე ნაწილი უბრალოდ გამოსახულებაში მარცხნივ უარყოფითი რიცხვების ჩაწერის თავისებურებებით არის განპირობებული (რომელიც უარყოფითი რიცხვების ჩასაწერად ფრჩხილების განყოფილებაში ვახსენეთ). თქვენ შეიძლება შეხვდეთ გამონათქვამებს, რომლებიც შედგება რიცხვისგან, მინუს ნიშნებისგან და რამდენიმე წყვილი ფრჩხილისგან. თუ გააფართოვებთ ფრჩხილებს, გადაადგილდებით შიდადან გარეზე, მაშინ გამოსავალი იქნება: −(−((−(5)))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები?

აი ახსნა: −(−2 x) არის +2 x და რადგან ეს გამონათქვამი პირველია, მაშინ +2 x შეიძლება დაიწეროს როგორც 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x და −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. ფრჩხილების გახსნის წერილობითი წესის პირველი ნაწილი პირდაპირ გამომდინარეობს უარყოფითი რიცხვების გამრავლების წესიდან. მისი მეორე ნაწილი სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესის შედეგია. მოდით გადავიდეთ გაფართოებული ფრჩხილების მაგალითებზე პროდუქტებში და ორი რიცხვის სხვადასხვა ნიშნით.

ფრჩხილის გახსნა: წესები, მაგალითები, გადაწყვეტილებები.

ზემოაღნიშნული წესი ითვალისწინებს ამ მოქმედებების მთელ ჯაჭვს და მნიშვნელოვნად აჩქარებს ფრჩხილების გახსნის პროცესს. იგივე წესი საშუალებას გაძლევთ გახსნათ ფრჩხილები გამონათქვამებში, რომლებიც წარმოადგენენ პროდუქტებს და ნაწილობრივ გამოსახულებებს მინუს ნიშნით, რომლებიც არ არის ჯამები და განსხვავებები.

განვიხილოთ ამ წესის გამოყენების მაგალითები. ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის წესს. ზემოთ უკვე შეგვხვდა −(a) და −(−a) ფორმის გამონათქვამები, რომლებიც ფრჩხილების გარეშე იწერება შესაბამისად −a და a. მაგალითად, −(3)=3 და. ეს არის მითითებული წესის განსაკუთრებული შემთხვევები. ახლა განიხილეთ ფრჩხილების გახსნის მაგალითები, როდესაც მათში არის თანხები ან განსხვავებები. ჩვენ გაჩვენებთ ამ წესის გამოყენების მაგალითებს. გამოთქმა (b1+b2) აღვნიშნოთ b-ით, რის შემდეგაც ვიყენებთ ფრჩხილის გამრავლების წესს წინა აბზაცის გამოხატულებაზე, გვაქვს (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

ინდუქციით, ეს განცხადება შეიძლება გაფართოვდეს ტერმინების თვითნებურ რაოდენობაზე თითოეულ ფრჩხილში. რჩება გამოსახულებაში ფრჩხილების გახსნა, წინა აბზაცების წესების გამოყენებით, შედეგად მივიღებთ 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

მათემატიკაში წესი არის ფრჩხილების გახსნა, თუ ფრჩხილების წინ არის (+) და (-), ძალიან აუცილებელი წესი.

ეს გამოთქმა არის სამი ფაქტორის ნამრავლი (2+4), 3 და (5+7 8). ფრჩხილები თანმიმდევრულად უნდა გაიხსნას. ახლა ვიყენებთ ფრჩხილის რიცხვზე გამრავლების წესს, გვაქვს ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). გრადუსები, რომელთა საფუძვლები არის ფრჩხილებში ჩაწერილი ზოგიერთი გამონათქვამი, ბუნებრივი მაჩვენებლებით, შეიძლება ჩაითვალოს რამდენიმე ფრჩხილის პროდუქტად.

მაგალითად, გადავცვალოთ გამოთქმა (a+b+c)2. ჯერ ვწერთ ორი ფრჩხილის ნამრავლად (a + b + c) (a + b + c), ახლა ვამრავლებთ ფრჩხილს ფრჩხილებში, მივიღებთ a + a b + a c + b a + b b+b c+. c a+c b+c c.

ჩვენ ასევე ვამბობთ, რომ ორი რიცხვის ჯამისა და სხვაობის ბუნებრივ ხარისხზე ასაყვანად მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა. მაგალითად, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. არანაკლებ მოსახერხებელია გაყოფის წინასწარ შეცვლა გამრავლებით, შემდეგ კი პროდუქტში ფრჩხილების გასახსნელად შესაბამისი წესის გამოყენება.

რჩება ფრჩხილების გახსნის რიგის გარკვევა მაგალითების გამოყენებით. აიღეთ გამოთქმა (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). ჩაანაცვლეთ ეს შედეგები ორიგინალური გამოსახულებით: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . რჩება მხოლოდ ფრჩხილების გახსნის დასრულება, შედეგად გვაქვს −5+3 2:4+6 7. ეს ნიშნავს, რომ ტოლობის მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს გადასვლისას ფრჩხილები გაიხსნა.

გაითვალისწინეთ, რომ სამივე მაგალითში ჩვენ უბრალოდ ამოვიღეთ ფრჩხილები. ჯერ დაამატეთ 445 889-ს. ეს გონებრივი მოქმედება შეიძლება შესრულდეს, მაგრამ ეს არც ისე ადვილია. გავხსნათ ფრჩხილები და ვნახოთ, რომ ოპერაციების შეცვლილი თანმიმდევრობა მნიშვნელოვნად გაამარტივებს გამოთვლებს.

როგორ გავხსნათ ფრჩხილები სხვა ხარისხით

საილუსტრაციო მაგალითი და წესი. განვიხილოთ მაგალითი: . თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2-ისა და 5-ის დამატებით, შემდეგ კი მიღებული რიცხვის საპირისპირო ნიშნით აღებით. წესი არ იცვლება, თუ ფრჩხილებში არის არა ორი, არამედ სამი ან მეტი ტერმინი. კომენტარი. ნიშნები შებრუნებულია მხოლოდ ტერმინების წინ. ფრჩხილების გასახსნელად, ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გახსოვდეთ განაწილების თვისება.

ცალკეული რიცხვები ფრჩხილებში

შენი შეცდომა არა ნიშნებში, არამედ წილადებთან არასწორ მუშაობაშია? მე-6 კლასში გავეცანით დადებით და უარყოფით რიცხვებს. როგორ მოვაგვაროთ მაგალითები და განტოლებები?

რამდენია ფრჩხილებში? რა შეიძლება ითქვას ამ გამონათქვამებზე? რა თქმა უნდა, პირველი და მეორე მაგალითების შედეგი იგივეა, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ მათ შორის დააყენოთ ტოლობის ნიშანი: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. რა გავაკეთეთ ფრჩხილებთან?

მე-6 სლაიდის დემონსტრირება ფრჩხილების გახსნის წესებით. ამრიგად, ფრჩხილების გახსნის წესები დაგვეხმარება მაგალითების ამოხსნაში, გამონათქვამების გამარტივებაში. შემდეგ მოსწავლეებს ეწვევათ წყვილებში სამუშაოდ: აუცილებელია ფრჩხილების შემცველი გამოთქმა შესაბამის გამოსახულებას ისრებით უმაგროდ დააკავშიროთ.

სლაიდი 11 ერთხელ მზიან ქალაქში ზნაიკამ და დუნომ კამათობდნენ, რომელი მათგანი ამოხსნა განტოლება სწორად. შემდეგ მოსწავლეები დამოუკიდებლად ხსნიან განტოლებას ფრჩხილების გახსნის წესების გამოყენებით. განტოლებების ამოხსნა ”გაკვეთილის მიზნები: საგანმანათლებლო (ZUN-ების დაფიქსირება თემაზე:” ფრჩხილების გახსნა.

გაკვეთილის თემა: „გახსნა ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი ფრჩხილებიდან თითოეული წევრი მეორე ფრჩხილების თითოეულ წევრთან და შემდეგ დაამატოთ შედეგები. ჯერ პირველი ორი ფაქტორი აღებულია, კიდევ ერთ ფრჩხილშია ჩასმული და ამ ფრჩხილების შიგნით იხსნება ფრჩხილები ერთ-ერთი უკვე ცნობილი წესით.

rawalan.freezeet.ru

ფრჩხილის გახსნა: წესები და მაგალითები (კლასი 7)

ფრჩხილების მთავარი ფუნქციაა მნიშვნელობების გამოთვლისას მოქმედებების თანმიმდევრობის შეცვლა რიცხვითი გამონათქვამები . Მაგალითად, რიცხვით გამოსახულებაში \(5 3+7\) ჯერ გამოითვლება გამრავლება, შემდეგ კი შეკრება: \(5 3+7 =15+7=22\). მაგრამ გამონათქვამში \(5·(3+7)\) ჯერ ფრჩხილებში შეკრება გამოითვლება და მხოლოდ ამის შემდეგ გამრავლება: \(5·(3+7)=5·10=50\).

თუმცა თუ საქმე გვაქვს ალგებრული გამოხატულებაშემცველი ცვლადი- მაგალითად, ასე: \ (2 (x-3) \) - მაშინ შეუძლებელია ფრჩხილში მნიშვნელობის გამოთვლა, ცვლადი ერევა. ამიტომ, ამ შემთხვევაში, ფრჩხილები "იხსნება", ამისათვის შესაბამისი წესების გამოყენებით.

ფრჩხილის გაფართოების წესები

თუ ფრჩხილის წინ არის პლუსის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილი უბრალოდ ამოღებულია, მასში გამოთქმა უცვლელი რჩება. Სხვა სიტყვებით:

აქვე უნდა განვმარტოთ, რომ მათემატიკაში, ჩანაწერების შესამცირებლად, ჩვეულებრივად არ უნდა დაწეროთ პლუს ნიშანი, თუ ის პირველია გამოხატულებაში. მაგალითად, თუ დავამატებთ ორ დადებით რიცხვს, მაგალითად, შვიდს და სამს, მაშინ არ ვწერთ \(+7+3\), არამედ უბრალოდ \(7+3\), მიუხედავად იმისა, რომ შვიდი ასევე დადებითია. ნომერი. ანალოგიურად, თუ ხედავთ, მაგალითად, გამონათქვამს \((5+x)\) - იცოდეთ ეს ფრჩხილის წინ არის პლუსი, რომელიც არ წერია.

მაგალითი . გახსენით ფრჩხილი და მიეცით მსგავსი ტერმინები: \((x-11)+(2+3x)\).
გამოსავალი : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

თუ ფრჩხილის წინ არის მინუს ნიშანი, მაშინ როდესაც ფრჩხილი ამოღებულია, მის შიგნით გამოხატვის თითოეული წევრი ცვლის საპირისპირო ნიშანს:

აქვე უნდა განვმარტოთ, რომ a-ს ფრჩხილებში ყოფნისას ჰქონდა პლუსის ნიშანი (უბრალოდ არ დაწერეს) და ფრჩხილის ამოღების შემდეგ ეს პლუსი შეიცვალა მინუსზე.

მაგალითი : გაამარტივე გამოთქმა \(2x-(-7+x)\).
გამოსავალი : ფრჩხილის შიგნით არის ორი ტერმინი: \(-7\) და \(x\), ხოლო ფრჩხილის წინ არის მინუსი. ეს ნიშნავს, რომ ნიშნები შეიცვლება - და შვიდი ახლა იქნება პლუსით, ხოლო x მინუსით. გახსენით სამაგრი და მოიყვანეთ მსგავსი პირობები .

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილი და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
გამოსავალი : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

თუ ფრჩხილის წინ არის ფაქტორი, მაშინ ფრჩხილის თითოეული წევრი მრავლდება მასზე, ანუ:

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \(5(3-x)\).
გამოსავალი : ფრჩხილებში გვაქვს \(3\) და \(-x\), ხოლო ფრჩხილის წინ ხუთი. ეს ნიშნავს, რომ ფრჩხილის თითოეული წევრი მრავლდება \ (5 \)-ზე - შეგახსენებთ ამას რიცხვსა და ფრჩხილს შორის გამრავლების ნიშანი მათემატიკაში არ იწერება ჩანაწერების ზომის შესამცირებლად.

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \(-2(-3x+5)\).
გამოსავალი : როგორც წინა მაგალითში, ფრჩხილი \(-3x\) და \(5\) მრავლდება \(-2\-ზე).

რჩება ბოლო სიტუაციის განხილვა.

ფრჩხილების ფრჩხილებზე გამრავლებისას, პირველი ფრჩხილის ყოველი წევრი მრავლდება მეორის თითოეულ წევრზე:

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \((2-x)(3x-1)\).
გამოსავალი : ჩვენ გვაქვს ფრჩხილების პროდუქტი და მისი გახსნა დაუყოვნებლივ შესაძლებელია ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით. მაგრამ იმისათვის, რომ არ დავიბნეთ, მოდით ყველაფერი გავაკეთოთ ეტაპობრივად.
ნაბიჯი 1. ჩვენ ვხსნით პირველ ფრჩხილს - მისი თითოეული წევრი მრავლდება მეორე ფრჩხილზე:

ნაბიჯი 2. გააფართოვეთ სამაგრის პროდუქტები ზემოთ აღწერილი ფაქტორით:
- ჯერ პირველი...

ნაბიჯი 3. ახლა ვამრავლებთ და მოვიყვანთ მსგავს ტერმინებს:

არ არის აუცილებელი ყველა ტრანსფორმაციის დეტალურად დახატვა, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაამრავლოთ. მაგრამ თუ უბრალოდ სწავლობთ ფრჩხილების გახსნას - დაწერეთ დეტალურად, შეცდომის დაშვების შანსი ნაკლები იქნება.

შენიშვნა მთელი განყოფილებისთვის.სინამდვილეში, თქვენ არ გჭირდებათ ოთხივე წესის დამახსოვრება, საჭიროა მხოლოდ ერთი, ეს ერთი: \(c(a-b)=ca-cb\) . რატომ? რადგან თუ c-ის ნაცვლად ერთს შევცვლით, მივიღებთ წესს \((a-b)=a-b\) . და თუ ჩავანაცვლებთ მინუს ერთის, მივიღებთ წესს \(-(a-b)=-a+b\) . თუ c-ის ნაცვლად სხვა ფრჩხილს ჩაანაცვლებთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ბოლო წესი.

ფრჩხილები ფრჩხილებში

ზოგჯერ პრაქტიკაში არის პრობლემები სხვა ფრჩხილებში მოთავსებულ ფრჩხილებთან დაკავშირებით. აი ასეთი დავალების მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება \(7x+2(5-(3x+y))\).

ამ ამოცანებში წარმატების მისაღწევად, თქვენ უნდა:
- ყურადღებით გააცნობიერე ფრჩხილების ბუდე - რომელი რომელშია;
- გახსენით ფრჩხილები თანმიმდევრულად, დაწყებული, მაგალითად, ყველაზე შიდადან.

მნიშვნელოვანია ერთ-ერთი სამაგრის გახსნისას არ შეეხოთ დანარჩენ გამონათქვამს, უბრალოდ გადაწერე როგორც არის.
მაგალითისთვის ავიღოთ ზემოთ მოცემული დავალება.

მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(7x+2(5-(3x+y))\).
გამოსავალი:

დავიწყოთ დავალება შიდა სამაგრის (შიგნიდან) გახსნით. მისი გახსნისას, საქმე გვაქვს მხოლოდ იმასთან, რომ ის პირდაპირ კავშირშია მასთან - ეს არის თავად ფრჩხილი და მინუსი მის წინ (მონიშნულია მწვანეში). ყველაფერი დანარჩენი (არ არის შერჩეული) გადაწერილია ისე, როგორც იყო.

ამოცანების გადაჭრა მათემატიკაში ონლაინ

ონლაინ კალკულატორი.
პოლინომიური გამარტივება.
მრავალწევრების გამრავლება.

ამ მათემატიკური პროგრამით შეგიძლიათ გაამარტივოთ პოლინომი.
სანამ პროგრამა მუშაობს:
- ამრავლებს მრავალწევრებს
- აჯამებს მონომიებს (აძლევს მსგავსებს)
- ხსნის ფრჩხილებს
- ამაღლებს მრავალწევრს ხარისხში

პოლინომური გამარტივების პროგრამა არ იძლევა მხოლოდ პასუხს პრობლემაზე, ის იძლევა დეტალურ ამოხსნას განმარტებებით, ე.ი. აჩვენებს ამოხსნის პროცესს, რათა შეამოწმოთ თქვენი ცოდნა მათემატიკაში და/ან ალგებრაში.

ეს პროგრამა შეიძლება სასარგებლო იყოს ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლების სტუდენტებისთვის ტესტებისა და გამოცდებისთვის მომზადებისას, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამდე და მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში გაიზრდება.

იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
გთხოვთ დაელოდოთ წამს.

ცოტა თეორია.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი. მრავალწევრის ცნება

ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:

მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრის ტერმინებს მრავალწევრის წევრები ეწოდება. მონონომები ასევე მოიხსენიება როგორც მრავალწევრები, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს სტანდარტული ფორმის მონომიებად:

მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:

შედეგი არის მრავალწევრი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.

პერ მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ამრიგად, ბინომს აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს აქვს მეორე.

ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:

რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:

თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.

თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეიძლება მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის გადაქცევა (გამარტივება) მრავალწევრად. Მაგალითად:

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.

ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.

მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.

მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.

ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.

მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები

ალგებრული გარდაქმნების ზოგიერთ გამონათქვამს უფრო ხშირად უნდა შევეხოთ, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია და, ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და კვადრატების სხვაობა. თქვენ შენიშნეთ, რომ ამ გამოთქმების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, - ეს, რა თქმა უნდა, არ არის მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ a და b-ის ჯამის კვადრატი. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად, შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.

გამონათქვამები ადვილად გარდაიქმნება (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეხვდით ასეთ ამოცანას მრავალწევრების გამრავლებისას:

შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.

- ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ნამრავლის ორჯერ.

- სხვაობის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს ორმაგი ნამრავლის გარეშე.

- კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობის ნამრავლს ჯამით.

ეს სამი იდენტობა საშუალებას აძლევს ტრანსფორმაციას შეცვალოს მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

წიგნები (სახელმძღვანელოები) აბსტრაქტები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და OGE ტესტების ონლაინ თამაშები, თავსატეხები ფუნქციების გრაფიკა რუსული ენის მართლწერის ლექსიკონი ახალგაზრდული ჟარგონის ლექსიკონი რუსული სკოლების კატალოგი რუსეთის ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლების კატალოგი რუსეთის უნივერსიტეტების კატალოგი რიცხვითი წილადები ამოცანების ამოხსნა პროცენტებისთვის რთული რიცხვები: ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი 2 წრფივი განტოლების სისტემები ორი ცვლადით კვადრატული განტოლების ამოხსნა ბინომის კვადრატის დალაგება და კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება წილადი წრფივი ფუნქციის არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების ამოხსნა ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა ლიმიტების, წარმოებულების, ტანგენტების გამოთვლა ინტეგრალი, ანტიწარმოებული სამკუთხედების ამოხსნა მოქმედებების გამოთვლა ვექტორებით მოქმედებების გამოთვლა მოქმედებები ხაზებითა და სიბრტყეებით გეომეტრიული ფორმების ფართობი გეომეტრიული ფორმების პერიმეტრი გეომეტრიული სხეულების მოცულობა გეომეტრიული სხეულების ზედაპირის ფართობი
საგზაო სიტუაციების კონსტრუქტორი
ამინდი - სიახლე - ჰოროსკოპები

www.mathsolution.ru

სამაგრის გაფართოება

ჩვენ ვაგრძელებთ ალგებრის საფუძვლების შესწავლას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით როგორ გავხსნათ ფრჩხილები გამონათქვამებში. ფრჩხილების გაფართოება ნიშნავს ამ ფრჩხილების გამოხატვის მოცილებას.

ფრჩხილების გასახსნელად, ზეპირად უნდა ისწავლოთ მხოლოდ ორი წესი. რეგულარული ვარჯიშით, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები დახუჭული თვალებით და ის წესები, რომლებიც ზეპირად უნდა დაიმახსოვროთ, შეიძლება უსაფრთხოდ დაივიწყოთ.

ფრჩხილების გაფართოების პირველი წესი

განვიხილოთ შემდეგი გამოთქმა:

ამ გამოთქმის მნიშვნელობა არის 2 . გავხსნათ ფრჩხილები ამ გამოთქმაში. ფრჩხილების გაფართოება ნიშნავს მათგან თავის დაღწევას გამოხატვის მნიშვნელობაზე გავლენის გარეშე. ანუ ფრჩხილების მოშორების შემდეგ გამოხატვის მნიშვნელობა 8+(−9+3) მაინც უნდა იყოს ორის ტოლი.

პირველი ფრჩხილის გაფართოების წესი ასე გამოიყურება:

ფრჩხილების გახსნისას, თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსი, მაშინ ეს პლუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად.

ასე რომ, ჩვენ ამას ვხედავთ გამონათქვამში 8+(−9+3) ფრჩხილების წინ არის პლუსი. ეს პლუსი უნდა გამოტოვოთ ფრჩხილებთან ერთად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფრჩხილები გაქრება იმ პლუსთან ერთად, რომელიც მათ წინ იდგა. და რაც იყო ფრჩხილებში უცვლელად ჩაიწერება:

8−9+3 . ეს გამოთქმა უდრის 2 , ისევე როგორც წინა ფრჩხილებში გამოსახული გამონათქვამი ტოლი იყო 2 .

8+(−9+3) და 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

მაგალითი 2გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში 3 + (−1 − 4)

ფრჩხილების წინ არის პლუსი, ამიტომ ფრჩხილებთან ერთად ეს პლიუსი გამოტოვებულია. რაც იყო ფრჩხილებში უცვლელი დარჩება:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

მაგალითი 3გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში 2 + (−1)

ამ მაგალითში, ფრჩხილების გაფართოება გახდა გამოკლების შეკრებით ჩანაცვლების ერთგვარი შებრუნებული ოპერაცია. Რას ნიშნავს?

გამოთქმაში 2−1 გამოკლება ხდება, მაგრამ ის შეიძლება შეიცვალოს მიმატებით. შემდეგ მიიღებთ გამოხატვას 2+(−1) . მაგრამ თუ გამოთქმაში 2+(−1) გახსენით ფრჩხილები, მიიღებთ ორიგინალს 2−1 .

ამიტომ, პირველი ფრჩხილის გაფართოების წესი შეიძლება გამოყენებულ იქნას გამონათქვამების გასამარტივებლად გარკვეული ტრანსფორმაციის შემდეგ. ანუ გაათავისუფლე ფრჩხილები და გააადვილე.

მაგალითად, გავამარტივოთ გამოთქმა 2a+a−5b+b .

ამ გამოთქმის გასამარტივებლად, შეგვიძლია დავამატოთ მსგავსი ტერმინები. შეგახსენებთ, რომ მსგავსი ტერმინების შესამცირებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მსგავსი ტერმინების კოეფიციენტები და გაამრავლოთ შედეგი საერთო ასოების ნაწილზე:

გამოთქმა მიიღო 3a+(−4b). ამ გამოთქმაში გახსენით ფრჩხილები. ფრჩხილების წინ არის პლიუსი, ამიტომ ფრჩხილების გასახსნელად ვიყენებთ პირველ წესს, ანუ ვტოვებთ ფრჩხილებს იმ პლიუსთან ერთად, რომელიც ამ ფრჩხილების წინ მოდის:

ასე რომ გამოხატულება 2a+a−5b+bგამარტივებული 3a−4b .

ერთი ფრჩხილის გახსნის შემდეგ, შეიძლება სხვები შეხვდნენ გზაზე. ჩვენ ვიყენებთ მათ იგივე წესებს, როგორც პირველს. მაგალითად, გავაფართოვოთ ფრჩხილები შემდეგ გამონათქვამში:

არის ორი ადგილი, სადაც საჭიროა ფრჩხილების გაფართოება. ამ შემთხვევაში მოქმედებს ფრჩხილების გაფართოების პირველი წესი, კერძოდ, ფრჩხილების გამოტოვება პლიუსთან ერთად, რომელიც მოდის ამ ფრჩხილების წინ:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

მაგალითი 3გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში 6+(−3)+(−2)

ორივე ადგილას, სადაც არის ფრჩხილები, მათ წინ უსწრებს პლუს ნიშანი. აქ კვლავ მოქმედებს ფრჩხილების გაფართოების პირველი წესი:

ზოგჯერ ფრჩხილებში პირველი ტერმინი იწერება ნიშნის გარეშე. მაგალითად, გამონათქვამში 1+(2+3−4) პირველი ტერმინი ფრჩხილებში 2 დაწერილი ნიშნის გარეშე. ჩნდება კითხვა, რა ნიშანი მოვა დუსის წინ ფრჩხილისა და ფრჩხილების წინ პლუსის გამოტოვების შემდეგ? პასუხი თავისთავად გვთავაზობს - დუსის წინ იქნება პლუსი.

ფაქტიურად ფრჩხილებში ყოფნისაც დუსის წინ არის პლიუსი, მაგრამ ჩანაწერის გამო ვერ ვხედავთ. ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ დადებითი რიცხვების სრული აღნიშვნა ასე გამოიყურება +1, +2, +3. მაგრამ პლიუსები ტრადიციულად არ იწერება, რის გამოც ჩვენ ვხედავთ ჩვენთვის ნაცნობ დადებით ციფრებს. 1, 2, 3 .

ამიტომ, ფრჩხილების გახსნა გამონათქვამში 1+(2+3−4) , თქვენ უნდა გამოტოვოთ ფრჩხილები ჩვეულებისამებრ ამ ფრჩხილების წინ პლიუსთან ერთად, მაგრამ დაწერეთ პირველი ტერმინი, რომელიც იყო ფრჩხილებში პლუსის ნიშნით:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

მაგალითი 4გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში −5 + (2 − 3)

ფრჩხილების წინ არის პლიუსი, ამიტომ ვიყენებთ ფრჩხილების გახსნის პირველ წესს, კერძოდ, გამოვტოვებთ ფრჩხილებს იმ პლიუსთან ერთად, რომელიც ამ ფრჩხილების წინ მოდის. მაგრამ პირველი ტერმინი, რომელიც იწერება ფრჩხილებში პლუს ნიშნით:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

მაგალითი 5გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში (−5)

ფრჩხილის წინ არის პლუსი, მაგრამ არ წერია იმის გამო, რომ მანამდე სხვა რიცხვები ან გამოთქმები არ იყო. ჩვენი ამოცანაა ფრჩხილების ამოღება ფრჩხილების გაფართოების პირველი წესის გამოყენებით, კერძოდ, ამ პლიუსთან ერთად ფრჩხილების გამოტოვებით (თუნდაც ის უხილავი იყოს)

მაგალითი 6გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში 2a + (−6a + b)

ფრჩხილების წინ არის პლუსი, ამიტომ ფრჩხილებთან ერთად ეს პლიუსი გამოტოვებულია. რაც იყო ფრჩხილებში უცვლელად ჩაიწერება:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

მაგალითი 7გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

ამ გამოთქმაში არის ორი ადგილი, სადაც ფრჩხილების გახსნა გჭირდებათ. ორივე განყოფილებაში ფრჩხილების წინ არის პლიუსი, რაც იმას ნიშნავს, რომ ეს პლუსი ფრჩხილებთან ერთად გამოტოვებულია. რაც იყო ფრჩხილებში უცვლელად ჩაიწერება:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

ფრჩხილების გახსნის მეორე წესი

ახლა მოდით შევხედოთ მეორე ფრჩხილების გაფართოების წესს. იგი გამოიყენება, როდესაც ფრჩხილების წინ არის მინუსი.

თუ ფრჩხილების წინ არის მინუსი, მაშინ ეს მინუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად, მაგრამ ტერმინები, რომლებიც იყო ფრჩხილებში, ცვლის მათ ნიშანს საპირისპიროდ.

მაგალითად, გავაფართოვოთ ფრჩხილები შემდეგ გამონათქვამში

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფრჩხილების წინ არის მინუსი. ასე რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ გაფართოების მეორე წესი, კერძოდ, გამოტოვოთ ფრჩხილები ამ ფრჩხილების წინ მინუსთან ერთად. ამ შემთხვევაში, ფრჩხილებში მოთავსებული ტერმინები შეცვლის თავის ნიშანს საპირისპიროდ:

მივიღეთ გამოთქმა ფრჩხილების გარეშე 5+2+3 . ეს გამოხატულება უდრის 10-ს, ისევე როგორც წინა გამონათქვამი ფრჩხილებით იყო 10-ის ტოლი.

ამრიგად, გამონათქვამებს შორის 5−(−2−3) და 5+2+3 თქვენ შეგიძლიათ დააყენოთ თანაბარი ნიშანი, რადგან ისინი უდრის იგივე მნიშვნელობას:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

მაგალითი 2გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში 6 − (−2 − 5)

ფრჩხილების წინ არის მინუსი, ამიტომ ვიყენებთ ფრჩხილების გახსნის მეორე წესს, კერძოდ, გამოვტოვებთ ფრჩხილებს მინუსთან ერთად, რომელიც მოდის ამ ფრჩხილების წინ. ამ შემთხვევაში ფრჩხილებში მოთავსებული ტერმინები საპირისპირო ნიშნებით იწერება:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

მაგალითი 3გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში 2 − (7 + 3)

ფრჩხილების წინ არის მინუსი, ამიტომ ფრჩხილების გახსნის მეორე წესს ვიყენებთ:

მაგალითი 4გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში −(−3 + 4)

მაგალითი 5გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

არის ორი ადგილი, სადაც საჭიროა ფრჩხილების გაფართოება. პირველ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მეორე წესი ფრჩხილების გასახსნელად და როდესაც ჯერი მოდის გამოხატვაზე +(−9−2) თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი წესი:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

მაგალითი 6გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში −(−a−1)

მაგალითი 7გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში −(4a + 3)

მაგალითი 8გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში ა −(4b + 3) + 15

მაგალითი 9გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში 2ა + (3b − b) − (3c + 5)

არის ორი ადგილი, სადაც საჭიროა ფრჩხილების გაფართოება. პირველ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი წესი ფრჩხილების გაფართოებისთვის და როდესაც ჯერი მოდის გამოხატვაზე −(3c+5)თქვენ უნდა გამოიყენოთ მეორე წესი:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

მაგალითი 10გააფართოვეთ ფრჩხილები გამონათქვამში -ა − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

არის სამი ადგილი, სადაც საჭიროა ფრჩხილების გაფართოება. ჯერ უნდა გამოიყენოთ მეორე წესი ფრჩხილების გაფართოებისთვის, შემდეგ პირველი და შემდეგ ისევ მეორე:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

ფრჩხილების გაფართოების მექანიზმი

ფრჩხილების გახსნის წესები, რომლებიც ახლა განვიხილეთ, ეფუძნება გამრავლების კანონს:

Სინამდვილეში გასახსნელი ფრჩხილებიმოვუწოდებთ პროცედურას, როდესაც საერთო კოეფიციენტი მრავლდება თითოეულ წევრზე ფრჩხილებში. ასეთი გამრავლების შედეგად ფრჩხილები ქრება. მაგალითად, გავაფართოვოთ გამონათქვამის ფრჩხილები 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

ამიტომ, თუ საჭიროა რიცხვის გამრავლება ფრჩხილებში გამოსახულებით (ან ფრჩხილებში გამოსახულების რიცხვზე), უნდა თქვათ გახსენით ფრჩხილები.

მაგრამ როგორ არის დაკავშირებული გამრავლების გამანაწილებელი კანონი ფრჩხილების გახსნის წესებთან, რომლებიც ადრე განვიხილეთ?

ფაქტია, რომ ნებისმიერი ფრჩხილის წინ არის საერთო ფაქტორი. მაგალითში 3×(4+5)საერთო ფაქტორია 3 . და მაგალითში a(b+c)საერთო ფაქტორი არის ცვლადი ა.

თუ ფრჩხილების წინ არ არის რიცხვები ან ცვლადები, მაშინ საერთო ფაქტორია 1 ან −1 , იმის მიხედვით, თუ რომელი სიმბოლო მოდის ფრჩხილებზე წინ. თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსი, მაშინ საერთო ფაქტორია 1 . თუ ფრჩხილების წინ არის მინუსი, მაშინ საერთო ფაქტორია −1 .

მაგალითად, გავაფართოვოთ გამონათქვამის ფრჩხილები −(3b−1). ფრჩხილების წინ არის მინუსი, ამიტომ ფრჩხილების გასახსნელად უნდა გამოიყენოთ მეორე წესი, ანუ გამოტოვოთ ფრჩხილები ფრჩხილების წინ მინუსთან ერთად. და გამოთქმა, რომელიც იყო ფრჩხილებში, ჩაწერეთ საპირისპირო ნიშნებით:

ჩვენ გავაფართოვეთ ფრჩხილები ფრჩხილების გაფართოების წესის გამოყენებით. მაგრამ იგივე ფრჩხილები შეიძლება გაიხსნას გამრავლების კანონის გამოყენებით. ამისათვის ჯერ ფრჩხილების წინ ვწერთ საერთო ფაქტორს 1, რომელიც არ იყო ჩაწერილი:

მინუსი, რომელიც ადრე იდგა ფრჩხილების წინ, მიუთითებდა ამ ერთეულზე. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები გამრავლების განაწილების კანონის გამოყენებით. ამისათვის საერთო ფაქტორი −1 თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული წევრი ფრჩხილებში და დაამატოთ შედეგები.

მოხერხებულობისთვის ფრჩხილებში განსხვავებას ვცვლით ჯამით:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

როგორც წინა ჯერზე, ჩვენ მივიღეთ გამოხატულება −3b+1. ყველა დამეთანხმება, რომ ამჯერად მეტი დრო დაეთმო ასეთი მარტივი მაგალითის ამოხსნას. ამიტომ, უფრო გონივრული იქნება ფრჩხილების გახსნის მზა წესების გამოყენება, რომლებიც ამ გაკვეთილზე განვიხილეთ:

მაგრამ ეს არ არის ცუდი იმის ცოდნა, თუ როგორ მუშაობს ეს წესები.

ამ გაკვეთილზე ვისწავლეთ კიდევ ერთი იდენტური ტრანსფორმაცია. ფრჩხილების გახსნასთან, ზოგადის ფრჩხილებიდან ამოღებასთან და მსგავსი ტერმინების მოტანასთან ერთად, შესაძლებელია გადასაჭრელი ამოცანების დიაპაზონის ოდნავ გაფართოება. Მაგალითად:

აქ თქვენ უნდა შეასრულოთ ორი მოქმედება - ჯერ გახსენით ფრჩხილები და შემდეგ მოიყვანეთ მსგავსი პირობები. ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) გააფართოვეთ ფრჩხილები:

2) ჩვენ ვაძლევთ მსგავს პირობებს:

მიღებულ გამონათქვამში −10b+(−1)შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები:

მაგალითი 2გახსენით ფრჩხილები და დაამატეთ მსგავსი ტერმინები შემდეგ გამოხატულებაში:

1) გააფართოვეთ ფრჩხილები:

2) წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.ამჯერად დროისა და სივრცის დაზოგვის მიზნით არ დავწერთ, თუ როგორ მრავლდება კოეფიციენტები საერთო ასოების ნაწილზე

მაგალითი 3გამოხატვის გამარტივება 8მ+3მდა იპოვნეთ მისი ღირებულება m=−4

1) ჯერ გავამარტივოთ გამოთქმა. გამოხატვის გასამარტივებლად 8მ+3მ, შეგიძლიათ მასში საერთო ფაქტორი ამოიღოთ მფრჩხილებისთვის:

2) იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა მ(8+3)ზე m=−4. ამისთვის გამოთქმაში მ(8+3)ცვლადის ნაცვლად მშეცვალეთ ნომერი −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

ფრჩხილების მთავარი ფუნქციაა მნიშვნელობების გამოთვლისას მოქმედებების თანმიმდევრობის შეცვლა. Მაგალითად, რიცხვით გამოსახულებაში \(5 3+7\) ჯერ გამოითვლება გამრავლება, შემდეგ კი შეკრება: \(5 3+7 =15+7=22\). მაგრამ გამონათქვამში \(5·(3+7)\) ჯერ ფრჩხილებში შეკრება გამოითვლება და მხოლოდ ამის შემდეგ გამრავლება: \(5·(3+7)=5·10=50\).

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილი: \(-(4მ+3)\).
გამოსავალი : \(-(4მ+3)=-4მ-3\).

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილი და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
გამოსავალი : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \(5(3-x)\).
გამოსავალი : ჩვენ გვაქვს \(3\) და \(-x\) ფრჩხილში, ხოლო ხუთი ფრჩხილის წინ. ეს ნიშნავს, რომ ფრჩხილის თითოეული წევრი მრავლდება \ (5 \)-ზე - შეგახსენებთ ამას რიცხვსა და ფრჩხილს შორის გამრავლების ნიშანი მათემატიკაში არ იწერება ჩანაწერების ზომის შესამცირებლად.

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \(-2(-3x+5)\).
გამოსავალი : როგორც წინა მაგალითში, ფრჩხილი \(-3x\) და \(5\) მრავლდება \(-2\-ზე).

მაგალითი. გაამარტივე გამოთქმა: \(5(x+y)-2(x-y)\).
გამოსავალი : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

რჩება ბოლო სიტუაციის განხილვა.

ფრჩხილების ფრჩხილებზე გამრავლებისას, პირველი ფრჩხილის ყოველი წევრი მრავლდება მეორის თითოეულ წევრზე:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები \((2-x)(3x-1)\).
გამოსავალი : ჩვენ გვაქვს ფრჩხილების პროდუქტი და მისი გახსნა დაუყოვნებლივ შესაძლებელია ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით. მაგრამ იმისათვის, რომ არ დავიბნეთ, მოდით ყველაფერი გავაკეთოთ ეტაპობრივად.
ნაბიჯი 1. ამოიღეთ პირველი ფრჩხილი - მისი თითოეული წევრი მრავლდება მეორე ფრჩხილზე:

ნაბიჯი 2. გააფართოვეთ სამაგრის პროდუქტები ზემოთ აღწერილი ფაქტორით:
- ჯერ პირველი...

მერე მეორე.

ნაბიჯი 3. ახლა ვამრავლებთ და მოვიყვანთ მსგავს ტერმინებს:

არ არის აუცილებელი ყველა ტრანსფორმაციის დეტალურად დახატვა, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაამრავლოთ. მაგრამ თუ უბრალოდ სწავლობთ ფრჩხილების გახსნას - დაწერეთ დეტალურად, შეცდომის დაშვების შანსი ნაკლები იქნება.

შენიშვნა მთელი განყოფილებისთვის.სინამდვილეში, თქვენ არ გჭირდებათ ოთხივე წესის დამახსოვრება, საჭიროა მხოლოდ ერთი, ეს ერთი: \(c(a-b)=ca-cb\) . რატომ? რადგან თუ c-ის ნაცვლად ერთს შევცვლით, მივიღებთ წესს \((a-b)=a-b\) . და თუ ჩავანაცვლებთ მინუს ერთის, მივიღებთ წესს \(-(a-b)=-a+b\) . თუ c-ის ნაცვლად სხვა ფრჩხილს ჩაანაცვლებთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ბოლო წესი.

ფრჩხილები ფრჩხილებში

ზოგჯერ პრაქტიკაში არის პრობლემები სხვა ფრჩხილებში მოთავსებულ ფრჩხილებთან დაკავშირებით. აი ასეთი დავალების მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება \(7x+2(5-(3x+y))\).

ამ ამოცანებში წარმატების მისაღწევად, თქვენ უნდა:
- ყურადღებით გააცნობიერე ფრჩხილების ბუდე - რომელი რომელშია;
- გახსენით ფრჩხილები თანმიმდევრულად, დაწყებული, მაგალითად, ყველაზე შიდადან.

მნიშვნელოვანია ერთ-ერთი სამაგრის გახსნისას არ შეეხოთ დანარჩენ გამონათქვამს, უბრალოდ გადაწერე როგორც არის.
მაგალითისთვის ავიღოთ ზემოთ მოცემული დავალება.

მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(7x+2(5-(3x+y))\).
გამოსავალი:

მაგალითი. გააფართოვეთ ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
გამოსავალი :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		ეს არის ფრჩხილების სამმაგი ბუდე. ჩვენ ვიწყებთ ყველაზე შიგნიდან (მონიშნულია მწვანეში). ფრჩხილის წინ არის პლუსი, ამიტომ ის უბრალოდ ამოღებულია.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		ახლა თქვენ უნდა გახსნათ მეორე ფრჩხილი, შუალედური. მაგრამ მანამდე ჩვენ გავამარტივებთ გამოხატვას ამ მეორე ფრჩხილში მსგავსი ტერმინების მოჩვენებითი გამოსახვით.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		ახლა ჩვენ ვხსნით მეორე ფრჩხილს (მონიშნულია ლურჯად). ფრჩხილის წინ არის მულტიპლიკატორი - ამიტომ ფრჩხილებში ყოველი წევრი მრავლდება მასზე.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		და გახსენით ბოლო ფრჩხილები. ფრჩხილამდე მინუს - ასე რომ, ყველა ნიშანი შებრუნებულია.

ფრჩხილის გახსნა არის ძირითადი უნარი მათემატიკაში. ამ უნარის გარეშე შეუძლებელია მე-8 და მე-9 კლასებში სამზე მაღალი შეფასება. ამიტომ გირჩევთ ამ თემის კარგად გაგებას.