ვიდეოკურსი „მიიღე A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. მათემატიკაში პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ყველა დავალება 1-13 სრულად. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში ძირითადი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა მოაგვაროთ!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 1 ნაწილის (პირველი 12 ამოცანის) და მე-13 ამოცანის (ტრიგონომეტრია) გადასაჭრელად. და ეს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე 70 ქულაზე მეტია და მათ გარეშე არც 100-ქულიანი და არც ჰუმანიტარული სტუდენტი არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხარვეზები და საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI Task Bank-ის პირველი ნაწილის ყველა მიმდინარე დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება 2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დავალება. სიტყვის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. რთული გადაწყვეტილებები, სასარგებლო მოტყუების ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან ამოცანამდე 13. გაგება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების მკაფიო ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის საფუძველი.

მტკიცებულება:

• მოცემულია სამკუთხედი ABC.
• B წვერის მეშვეობით ვხაზავთ სწორ ხაზს DK AC ფუძის პარალელურად.
• \კუთხე CBK= \კუთხე C, როგორც შიდა ჯვარედინი, რომელიც მდებარეობს პარალელურად DK და AC, და სეკანტი BC.
• \კუთხე DBA = \კუთხე შიდა ჯვარედინი დევს DK \პარალელური AC და სეკანტი AB. კუთხე DBK შებრუნებულია და ტოლია
• \ კუთხე DBK = \ კუთხე DBA + \ კუთხე B + \ კუთხე CBK
• ვინაიდან გაშლილი კუთხე უდრის 180 ^\circ-ს და \კუთხე CBK = \კუთხე C და \კუთხე DBA = \კუთხე A, მივიღებთ 180 ^\circ = \კუთხე A + \კუთხე B + \კუთხე C.

თეორემა დადასტურებულია

დასკვნა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემიდან:

1. მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი ტოლია 90°.
2. ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედში თითოეული მახვილი კუთხე უდრის 45°.
3. ტოლგვერდა სამკუთხედში თითოეული კუთხე ტოლია 60°.
4. ნებისმიერ სამკუთხედში ან ყველა კუთხე არის მახვილი, ან ორი კუთხე არის მახვილი, ხოლო მესამე არის ბლაგვი ან მართი.
5. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არის მის გვერდით.

სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემა

სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი დარჩენილი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან ამ გარე კუთხის მიმდებარედ.

მტკიცებულება:

• მოცემულია სამკუთხედი ABC, სადაც BCD არის გარე კუთხე.
• \კუთხე BAC + \კუთხე ABC +\კუთხე BCA = 180^0
• ტოლობებიდან კუთხე \ კუთხე BCD + \კუთხე BCA = 180^0
• ვიღებთ \კუთხე BCD = \კუთხე BAC+\კუთხე ABC.

წინასწარი ინფორმაცია

პირველ რიგში, მოდით პირდაპირ გადავხედოთ სამკუთხედის კონცეფციას.

განმარტება 1

სამკუთხედს დავარქმევთ გეომეტრიულ ფიგურას, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც ერთმანეთთან დაკავშირებულია სეგმენტებით (სურ. 1).

განმარტება 2

განმარტება 1-ის ფარგლებში ჩვენ წერტილებს დავარქმევთ სამკუთხედის წვეროებს.

განმარტება 3

განმარტება 1-ის ფარგლებში, სეგმენტებს სამკუთხედის გვერდები დაერქმევა.

ცხადია, ნებისმიერ სამკუთხედს ექნება 3 წვერო, ასევე სამი გვერდი.

თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ

შემოვიღოთ და დავამტკიცოთ სამკუთხედებთან დაკავშირებული ერთ-ერთი მთავარი თეორემა, კერძოდ თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ.

თეორემა 1

ნებისმიერ თვითნებურ სამკუთხედში კუთხეების ჯამი არის $180^\circ$.

მტკიცებულება.

განვიხილოთ სამკუთხედი $EGF$. დავამტკიცოთ, რომ ამ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი $180^\circ$-ის ტოლია. მოდით გავაკეთოთ დამატებითი კონსტრუქცია: გავავლოთ სწორი ხაზი $XY||EG$ (ნახ. 2)

ვინაიდან $XY$ და $EG$ წრფეები პარალელურია, მაშინ $∠E=∠XFE$ დევს ჯვარედინად $FE$ სექანტზე და $∠G=∠YFG$ ჯვარედინად დევს $FG$ სკანტზე.

კუთხე $XFY$ იქნება შებრუნებული და, შესაბამისად, უდრის $180^\circ$-ს.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

აქედან გამომდინარე

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

თეორემა დადასტურდა.

სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემა

კიდევ ერთი თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ შეიძლება ჩაითვალოს თეორემა გარე კუთხისთვის. პირველ რიგში, მოდით გააცნოთ ეს კონცეფცია.

განმარტება 4

სამკუთხედის გარე კუთხეს დავარქმევთ კუთხეს, რომელიც მიმდებარე იქნება სამკუთხედის ნებისმიერ კუთხესთან (ნახ. 3).

ახლა პირდაპირ განვიხილოთ თეორემა.

თეორემა 2

სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის მიმდებარედ.

მტკიცებულება.

განვიხილოთ თვითნებური სამკუთხედი $EFG$. დაე მას ჰქონდეს $FGQ$ სამკუთხედის გარე კუთხე (ნახ. 3).

თეორემა 1-ით გვექნება $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, შესაბამისად,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

ვინაიდან კუთხე $FGQ$ გარეგანია, ის $∠G$ კუთხის მიმდებარედ არის

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

თეორემა დადასტურდა.

ამოცანების ნიმუში

მაგალითი 1

იპოვეთ სამკუთხედის ყველა კუთხე, თუ ის ტოლგვერდა.

ვინაიდან ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა გვერდი ტოლია, გვექნება, რომ მასში არსებული ყველა კუთხეც ერთმანეთის ტოლია. მოდით ავღნიშნოთ მათი ხარისხის ზომები $α$-ით.

შემდეგ, თეორემა 1-ით ვიღებთ

$α+α+α=180^\circ$

პასუხი: ყველა კუთხე უდრის $60^\circ$-ს.

მაგალითი 2

იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედის ყველა კუთხე, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე უდრის $100^\circ$-ს.

მოდით შემოვიტანოთ შემდეგი აღნიშვნა კუთხეების ტოლფერდა სამკუთხედში:

ვინაიდან ჩვენ არ გვაქვს მოცემული პირობით ზუსტად რა კუთხით არის $100^\circ$, მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა:

კუთხე $100^\circ$-ის ტოლია არის კუთხე სამკუთხედის ფუძესთან.

ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძეზე მდებარე კუთხეების თეორემის გამოყენებით ვიღებთ

$∠2=∠3=100^\circ$

მაგრამ მაშინ მხოლოდ მათი ჯამი იქნება $180^\circ$-ზე მეტი, რაც ეწინააღმდეგება თეორემა 1-ის პირობებს. ეს ნიშნავს, რომ ეს შემთხვევა არ ხდება.

კუთხე $100^\circ$-ის ტოლი არის კუთხე ტოლ გვერდებს შორის, ანუ

გუშინდელის შემდეგ:

მოდით ვითამაშოთ მოზაიკა გეომეტრიული ზღაპრის მიხედვით:

ერთხელ იყო სამკუთხედები. იმდენად მსგავსია, რომ ისინი უბრალოდ ერთმანეთის ასლებია.
ისინი რატომღაც გვერდიგვერდ იდგნენ სწორ ხაზზე. და რადგან ისინი ყველა ერთნაირი სიმაღლეები იყვნენ -
მაშინ მათი მწვერვალები იმავე დონეზე იყო, მმართველის ქვეშ:



სამკუთხედებს უყვარდათ ცურვა და თავზე დგომა. ზედა რიგში ავიდნენ და კუთხეში აკრობატებივით იდგნენ.
და ჩვენ უკვე ვიცით - როდესაც ისინი დგანან თავიანთი ზევით ზუსტად რიგში,
მაშინ მათი ძირებიც მიჰყვება სახაზავს - რადგან თუ ვინმე ერთნაირი სიმაღლისაა, მაშინ ისინიც იმავე სიმაღლეზეა თავდაყირა!



ისინი ყველაფერში ერთნაირი იყვნენ - იგივე სიმაღლე და იგივე ძირები,
ხოლო გვერდებზე სლაიდები - ერთი უფრო ციცაბო, მეორე უფრო ბრტყელი - სიგრძით იგივეა
და მათ აქვთ იგივე დახრილობა. აბა, უბრალოდ ტყუპები! (მხოლოდ სხვადასხვა ტანსაცმელში, თითოეულს თავსატეხის საკუთარი ნაწილი).



- სად აქვთ სამკუთხედებს იდენტური გვერდები? სად არის იგივე კუთხეები?

სამკუთხედები თავზე დადგნენ, იქვე იდგნენ და გადაწყვიტეს გასრიალდნენ და დაწოლილიყვნენ ქვედა რიგში.
სრიალდნენ და სრიალდნენ გორაზე; მაგრამ მათი სლაიდები იგივეა!
ასე რომ, ისინი ზუსტად ერგებიან ქვედა სამკუთხედებს შორის, ხარვეზების გარეშე და არავის გვერდი არ უწევს.



თვალი მოვავლეთ სამკუთხედებს და შევნიშნეთ საინტერესო თვისება.
სადაც არ უნდა იყოს მათი კუთხეები ერთად, სამივე კუთხე აუცილებლად შეხვდება:
ყველაზე დიდი არის „თავის კუთხე“, ყველაზე მწვავე კუთხე და მესამე, საშუალო სიდიდით კუთხე.
ფერად ლენტებსაც კი აკრავდნენ, რომ მაშინვე ცხადი ყოფილიყო, რომელი იყო.

და აღმოჩნდა, რომ სამკუთხედის სამი კუთხე, თუ მათ დააკავშირებთ -
შეადგინეთ ერთი დიდი კუთხე, "ღია კუთხე" - როგორც ღია წიგნის ყდა,

______________________________

მას ბრუნვის კუთხე ჰქვია.

ნებისმიერი სამკუთხედი პასპორტს ჰგავს: სამი კუთხე ერთად უდრის გაშლილ კუთხეს.
ვიღაც კარზე აკაკუნებს: - კაკ-კაკუ, მე სამკუთხედი ვარ, ღამე გავათიო!
და შენ უთხარი მას - მაჩვენე კუთხეების ჯამი გაფართოებული სახით!
და მაშინვე ნათელია, არის ეს ნამდვილი სამკუთხედი თუ მატყუარა.
ვერ გადამოწმება - შემობრუნდი ას ოთხმოცი გრადუსით და წადი სახლში!



როცა ამბობენ "180°-ით შემობრუნებას" ნიშნავს უკან შემობრუნებას და
წადით საპირისპირო მიმართულებით.

იგივე უფრო ნაცნობ გამონათქვამებში, "ერთხელ" გარეშე:



მოდით შევასრულოთ ABC სამკუთხედის პარალელური გადათარგმნა OX ღერძის გასწვრივ
ვექტორამდე AB AB ფუძის სიგრძის ტოლია.
ხაზი DF, რომელიც გადის სამკუთხედების C და C 1 წვეროებზე
OX ღერძის პარალელურად, იმის გამო, რომ OX ღერძის პერპენდიკულარულია
სეგმენტები h და h 1 (ტოლი სამკუთხედების სიმაღლეები) ტოლია.
ამრიგად, სამკუთხედის A 2 B 2 C 2 ფუძე პარალელურია AB ფუძისა
და მისი ტოლია სიგრძით (რადგან C 1 წვერო გადაადგილებულია C-სთან შედარებით AB რაოდენობით).
სამკუთხედები A 2 B 2 C 2 და ABC ტოლია სამ მხარეს.
მაშასადამე, კუთხეები ∠A 1 ∠B ∠C 2, რომლებიც ქმნიან სწორ კუთხეს, უდრის ABC სამკუთხედის კუთხეებს.
=> სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°

მოძრაობებით - „თარგმანები“, ე.წ. მტკიცებულება უფრო მოკლე და ნათელია,
ბავშვსაც კი შეუძლია გაიგოს მოზაიკის ნაწილები.

მაგრამ ტრადიციული სკოლა:



პარალელურ ხაზებზე მოწყვეტილი შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობის საფუძველზე



ღირებული იმით, რომ იძლევა წარმოდგენას იმის შესახებ, თუ რატომ არის ასე,
რატომსამკუთხედის კუთხეების ჯამი უკუკუთხედის ტოლია?

რადგან სხვაგვარად პარალელურ ხაზებს არ ექნებოდათ ჩვენი სამყაროსთვის ნაცნობი თვისებები.

თეორემები მუშაობს ორივე მიმართულებით. პარალელური წრფეების აქსიომიდან გამომდინარეობს
განივი დაწოლის და ვერტიკალური კუთხეების თანასწორობა და მათგან - სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

მაგრამ ასევე მართალია საპირისპირო: სანამ სამკუთხედის კუთხეები 180°-ია, არსებობს პარალელური ხაზები.
(ისეთი, რომ წრფეზე არ მყოფი წერტილის მეშვეობით შეიძლება მოცემული ||-ის უნიკალური ხაზის დახატვა).
თუ ერთ დღეს სამყაროში გამოჩნდება სამკუთხედი, რომლის კუთხეების ჯამი არ არის გაშლილი კუთხის ტოლი -
მაშინ პარალელები შეწყვეტენ პარალელურობას, მთელი სამყარო დახრილი და დახრილი იქნება.

თუ სამკუთხედის ნიმუშებით ზოლები მოთავსებულია ერთმანეთის ზემოთ -
თქვენ შეგიძლიათ დაფაროთ მთელი ველი განმეორებადი ნიმუშით, როგორიცაა იატაკი ფილებით:




ასეთ ბადეზე შეგიძლიათ სხვადასხვა ფორმის კვალი - ექვსკუთხედები, რომბები,
ვარსკვლავი პოლიგონები და მიიღეთ სხვადასხვა პარკეტი






თვითმფრინავის პარკეტით მოპირკეთება არა მხოლოდ გასართობი თამაშია, არამედ შესაბამისი მათემატიკური პრობლემაც:



________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

ვინაიდან ყოველი ოთხკუთხედი არის მართკუთხედი, კვადრატი, რომბი და ა.შ.
შეიძლება შედგებოდეს ორი სამკუთხედისგან,
შესაბამისად, ოთხკუთხედის კუთხეების ჯამი: 180° + 180° = 360°


იდენტური ტოლფერდა სამკუთხედები იკეცება კვადრატებად სხვადასხვა გზით.
პატარა კვადრატი 2 ნაწილისგან. საშუალოდ 4. და ყველაზე დიდი 8-დან.
რამდენი ფიგურაა ნახაზზე, რომელიც შედგება 6 სამკუთხედისგან?