თემის „სწორი წრფის განტოლება სიბრტყეზე“ ერთ-ერთი ქვეპუნქტია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი წრფის პარამეტრული განტოლებების შედგენის საკითხი. ქვემოთ მოცემულ სტატიაში განხილულია გარკვეული ცნობილი მონაცემებისთვის ასეთი განტოლებების შედგენის პრინციპი. ვნახოთ, როგორ გადავიდეთ პარამეტრული განტოლებიდან სხვადასხვა ფორმის განტოლებაზე; გავაანალიზოთ ტიპიური პრობლემების გადაწყვეტა.

კონკრეტული ხაზი შეიძლება განისაზღვროს წერტილის მითითებით, რომელიც ეკუთვნის ამ ხაზს და მიმართულების ვექტორს ხაზისთვის.

ვთქვათ, მოგვცეს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y. ასევე მოცემულია სწორი ხაზი a, სადაც მითითებულია M 1 წერტილი მასზე (x 1, y 1) და მოცემული სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი. a → = (a x, a y) . ჩვენ ვაძლევთ მოცემული ხაზის აღწერას განტოლებების გამოყენებით.

ვიყენებთ თვითნებურ წერტილს M (x, y) და ვიღებთ ვექტორს M 1 M →; გამოთვალეთ მისი კოორდინატები საწყისი და ბოლო წერტილების კოორდინატებიდან: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . მოდით აღვწეროთ შედეგი: წრფე მოცემულია M წერტილების სიმრავლით (x, y), გადის M 1 წერტილში (x 1, y 1) და აქვს მიმართულების ვექტორი. a → = (a x, a y) . მითითებული სიმრავლე განსაზღვრავს სწორ ხაზს მხოლოდ მაშინ, როდესაც ვექტორები M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) და a → = (a x , a y) თანამიმართულია.

ვექტორების კოლინარობისთვის არსებობს აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომელიც ამ შემთხვევაში ვექტორებისთვის M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) და a → = (ax , ay) შეიძლება დაიწეროს როგორც განტოლება:

M 1 M → = λ · a → , სადაც λ არის რეალური რიცხვი.

განმარტება 1

განტოლებას M 1 M → = λ · a → ეწოდება წრფის ვექტორულ-პარამეტრულ განტოლებას.

კოორდინატთა სახით, ასე გამოიყურება:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

მიღებული სისტემის განტოლებებს x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ეწოდება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს. სახელის არსი ასეთია: სწორი ხაზის ყველა წერტილის კოორდინატები შეიძლება განისაზღვროს x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ფორმის სიბრტყეზე პარამეტრული განტოლებებით ყველა რეალურ მნიშვნელობაზე გამეორებისას. პარამეტრის λ

ზემოაღნიშნულის მიხედვით, სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + ay λ განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც მოცემულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, გადის M 1 წერტილში. (x 1, y 1) და აქვს სახელმძღვანელო ვექტორი a → = (a x, a y) . მაშასადამე, თუ მოცემულია სწორი ხაზის გარკვეული წერტილის კოორდინატები და მისი მართვითი ვექტორის კოორდინატები, მაშინ შესაძლებელია მოცემული სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების დაუყოვნებლივ ჩაწერა.

მაგალითი 1

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების შედგენა აუცილებელია, თუ მოცემულია მის კუთვნილი წერტილი M 1 (2, 3) და მისი მიმართულების ვექტორი. a → = (3 , 1) .

გამოსავალი

საწყისი მონაცემებიდან გამომდინარე, ვიღებთ: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. პარამეტრული განტოლებები ასე გამოიყურება:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

მოდი ნათლად ავხსნათ:

პასუხი: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

უნდა აღინიშნოს: თუ ვექტორი a → = (a x , a y) ემსახურება a წრფის მიმართულ ვექტორს, ხოლო M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) წერტილები ეკუთვნის ამ წრფეს, შემდეგ მისი დადგენა შესაძლებელია ფორმის პარამეტრული განტოლებების დაყენებით: x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ , ისევე როგორც ეს ვარიანტი: x = x 2 + ax λ y = y 2 + ay λ .

მაგალითად, ჩვენ გვეძლევა სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი a → \u003d (2, - 1), ასევე M 1 (1, - 2) და M 2 (3, - 3) წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება ამ ხაზს. მაშინ სწორი ხაზი განისაზღვრება პარამეტრული განტოლებებით: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ან x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

ყურადღება უნდა მიექცეს შემდეგ ფაქტსაც: თუ a → = (a x, a y) არის a სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი, მაშინ რომელიმე ვექტორი ასევე იქნება მისი მიმართული ვექტორი μ a → = (μ a x, μ a y) , სადაც μ ϵ R , μ ≠ 0 .

ამრიგად, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის სიბრტყეზე სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს პარამეტრული განტოლებებით: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ μ-ის ნებისმიერი არანულოვანი მნიშვნელობისთვის.

დავუშვათ a წრფე მოცემულია x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ პარამეტრული განტოლებებით. მერე a → = (2, - 5) - ამ ხაზის მიმართულების ვექტორი. და ასევე ნებისმიერი ვექტორი μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 გახდება მიმართულების ვექტორი მოცემული სწორი ხაზისთვის. სიცხადისთვის განიხილეთ კონკრეტული ვექტორი - 2 · a → = (- 4 , 10) , ის შეესაბამება μ = - 2 მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში მოცემული სწორი ხაზი ასევე შეიძლება განისაზღვროს პარამეტრული განტოლებებით x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებიდან გადასვლა მოცემული სწორი ხაზის სხვა განტოლებებზე და პირიქით

ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრისას, პარამეტრული განტოლებების გამოყენება არ არის ყველაზე ოპტიმალური ვარიანტი, მაშინ საჭირო ხდება სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების თარგმნა სხვა ტიპის სწორი ხაზის განტოლებად. ვნახოთ, როგორ გავაკეთოთ ეს.

სწორი წრფის პარამეტრული განტოლებები x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ შეესატყვისება სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებას x - x 1 a x = y - y 1 a y სიბრტყეზე.

ვხსნით თითოეულ პარამეტრულ განტოლებას λ პარამეტრთან მიმართებაში, ვაიგივებთ მიღებული ტოლობების სწორ ნაწილებს და ვიღებთ მოცემული სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებას:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

ამ შემთხვევაში, არ უნდა იყოს უხერხული, თუ x ან y იქნება ნულის ტოლი.

მაგალითი 2

აუცილებელია x = 3 y = - 2 - 4 · λ სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებებიდან კანონიკურ განტოლებაზე გადასვლა.

გამოსავალი

მოცემულ პარამეტრულ განტოლებებს ვწერთ შემდეგი სახით: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ.

გამოვხატავთ პარამეტრს λ თითოეულ განტოლებაში: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

ჩვენ ვაიგივებთ განტოლებათა სისტემის სწორ ნაწილებს და ვიღებთ სიბრტყეში სწორი ხაზის საჭირო კანონიკურ განტოლებას:

x - 3 0 = y + 2 - 4

პასუხი: x - 3 0 = y + 2 - 4

იმ შემთხვევაში, როდესაც საჭიროა A x + B y + C = 0 ფორმის სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა, ხოლო სიბრტყეზე სწორი წრფის პარამეტრული განტოლებები მოცემულია, ჯერ უნდა გააკეთოთ გადასვლა კანონიკურ განტოლებაზე, შემდეგ კი სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაზე. მოდით ჩამოვწეროთ მოქმედებების მთელი თანმიმდევრობა:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay (x - x 1) = ცული (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

მაგალითი 3

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ჩაწერა აუცილებელია, თუ მოცემულია მისი განმსაზღვრელი პარამეტრული განტოლებები: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ.

გამოსავალი

პირველი, მოდით გადავიდეთ კანონიკურ განტოლებაზე:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

მიღებული პროპორცია ტოლობის იდენტურია - 3 · (x + 1) = 2 · y. გავხსნათ ფრჩხილები და მივიღოთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

პასუხი: 3x + 2y + 3 = 0

მოქმედებების ზემოაღნიშნული ლოგიკის მიხედვით, სწორი ხაზის განტოლების დახრილობის, სწორი ხაზის განტოლების სეგმენტებში ან სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების მისაღებად აუცილებელია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების მიღება. , და მისგან განახორციელოს შემდგომი გადასვლა.

ახლა განიხილეთ საპირისპირო მოქმედება: ჩაწერეთ სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები ამ სწორი ხაზის განტოლებების სხვადასხვა მოცემული ფორმისთვის.

უმარტივესი გადასვლა: კანონიკური განტოლებიდან პარამეტრულ განტოლებაზე. მოცემული იყოს ფორმის კანონიკური განტოლება: x - x 1 a x = y - y 1 a y . ჩვენ ვიღებთ ამ თანასწორობის თითოეულ მიმართებას λ პარამეტრის ტოლი:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

მოდით ამოხსნათ მიღებული განტოლებები x და y ცვლადებისთვის:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

მაგალითი 4

აუცილებელია სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების ჩაწერა, თუ ცნობილია სიბრტყეზე სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება: x - 2 5 = y - 2 2.

გამოსავალი

გავაიგივოთ ცნობილი განტოლების ნაწილები λ პარამეტრს: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . მიღებული ტოლობიდან ვიღებთ სწორი წრფის პარამეტრულ განტოლებებს: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2. ლ

პასუხი: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

როდესაც აუცილებელია პარამეტრულ განტოლებაზე გადასვლა სწორი ხაზის მოცემული ზოგადი განტოლებიდან, სწორი ხაზის განტოლებიდან დახრილობით ან სწორი ხაზის განტოლებიდან სეგმენტებში, აუცილებელია ორიგინალური განტოლება მივიყვანოთ კანონიკური და შემდეგ გადავიდეთ პარამეტრულ განტოლებებზე.

მაგალითი 5

აუცილებელია სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების ჩაწერა ამ სწორი წრფის ცნობილი ზოგადი განტოლებით: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

გამოსავალი

მოცემულ ზოგად განტოლებას ვაქცევთ კანონიკური ფორმის განტოლებად:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

ტოლობის ორივე ნაწილს ვაიგივებთ პარამეტრს λ და ვიღებთ სწორი ხაზის საჭირო პარამეტრულ განტოლებებს:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

პასუხი: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების მაგალითები და ამოცანები

მოდით განვიხილოთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების გამოყენებით.

1. პირველი ტიპის ამოცანებში მოცემულია წერტილების კოორდინატები, მიეკუთვნება თუ არა ისინი პარამეტრული განტოლებებით აღწერილ სწორ ხაზს.

ასეთი ამოცანების გადაწყვეტა ემყარება შემდეგ ფაქტს: რიცხვები (x, y), რომლებიც განსაზღვრულია პარამეტრული განტოლებიდან x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + ay λ ზოგიერთი რეალური მნიშვნელობისთვის λ არის a-ს კოორდინატები. წერტილი, რომელიც ეკუთვნის სწორ ხაზს, რომელშიც აღწერილია ეს პარამეტრული განტოლებები.

მაგალითი 6

საჭიროა განვსაზღვროთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც დევს პარამეტრული განტოლებებით მოცემულ სწორ ხაზზე x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ λ = 3-სთვის.

გამოსავალი

ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობას λ = 3 მოცემულ პარამეტრულ განტოლებებში და გამოვთვლით სასურველ კოორდინატებს: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

პასუხი: 1 1 2 , 5

შესაძლებელია შემდეგი ამოცანაც: მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე მიცემული იყოს M 0 წერტილი (x 0, y 0) და უნდა განისაზღვროს, ეკუთვნის თუ არა ეს წერტილი x = x პარამეტრული განტოლებით აღწერილ ხაზს. 1 + ცული λ y = y 1 + ay λ .

ასეთი პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა მოცემული წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლება სწორი ხაზის ცნობილ პარამეტრულ განტოლებებში. თუ დადგინდა, რომ შესაძლებელია λ = λ 0 პარამეტრის ისეთი მნიშვნელობა, რომელშიც ორივე პარამეტრული განტოლება იქნება ჭეშმარიტი, მაშინ მოცემული წერტილი მიეკუთვნება მოცემულ სწორ ხაზს.

მაგალითი 7

მოყვანილია ქულები M 0 (4, - 2) და N 0 (- 2, 1). აუცილებელია განვსაზღვროთ, ეკუთვნის თუ არა ისინი პარამეტრული განტოლებებით განსაზღვრულ სწორ ხაზს x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

გამოსავალი

ჩვენ ვცვლით M 0 (4, - 2) წერტილის კოორდინატებს მოცემულ პარამეტრულ განტოლებებში:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

დავასკვნით, რომ წერტილი M 0 ეკუთვნის მოცემულ წრფეს, რადგან შეესაბამება მნიშვნელობა λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

აშკარაა, რომ არ არსებობს ისეთი პარამეტრი λ, რომელსაც N 0 წერტილი შეესატყვისება. ანუ მოცემული წრფე არ გადის N 0 (- 2 , 1) წერტილში.

პასუხი:წერტილი M 0 ეკუთვნის მოცემულ წრფეს; წერტილი N 0 არ ეკუთვნის მოცემულ წრფეს.

1. მეორე ტიპის ამოცანებში საჭიროა მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების შედგენა. ასეთი ამოცანის უმარტივესი მაგალითი (წრფის წერტილისა და მიმართულების ვექტორის ცნობილი კოორდინატებით) ზემოთ იყო განხილული. ახლა მოდით გადავხედოთ მაგალითებს, რომლებშიც ჯერ უნდა იპოვოთ მიმართულების ვექტორის კოორდინატები, შემდეგ კი ჩაწეროთ პარამეტრული განტოლებები.

მაგალითი 8

მოყვანილია წერტილი M 1 1 2 , 2 3. აუცილებელია ამ წერტილის გავლით სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების შედგენა და პარალელური სწორი ხაზი x 2 \u003d y - 3 - 1.

გამოსავალი

პრობლემის პირობის მიხედვით, სწორი ხაზი, რომლის განტოლებაც უნდა გავუსწროთ, პარალელურია სწორი ხაზის x 2 \u003d y - 3 - 1. შემდეგ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის მიმართულ ვექტორად შესაძლებელია გამოვიყენოთ სწორი წრფის ვექტორი x 2 = y - 3 - 1, რომელსაც ვწერთ სახით: a → = (2, - 1). ახლა ცნობილია ყველა საჭირო მონაცემი სასურველი პარამეტრული განტოლებების შესაქმნელად:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

პასუხი: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ.

მაგალითი 9

მოყვანილია ქულა M 1 (0, - 7). აუცილებელია ამ წერტილში გამავალი სწორი წრფის პარამეტრული განტოლებების დაწერა 3 x – 2 y – 5 = 0 .

გამოსავალი

სწორი ხაზის მიმართულ ვექტორად, რომლის განტოლებაც უნდა იყოს შედგენილი, შესაძლებელია სწორი წრფის ნორმალური ვექტორის აღება 3 x - 2 y - 5 = 0 . მისი კოორდინატებია (3 , - 2) . ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის საჭირო პარამეტრულ განტოლებებს:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

პასუხი: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. მესამე ტიპის ამოცანებში საჭიროა მოცემული სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებიდან გადასვლა განტოლებათა სხვა ტიპებზე, რომლებიც განსაზღვრავენ მას. ზემოთ განვიხილეთ ასეთი მაგალითების ამოხსნა, კიდევ ერთს მოგცემთ.

მაგალითი 10

მოცემულია სწორი ხაზი სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რომელიც განისაზღვრება პარამეტრული განტოლებებით x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . აუცილებელია ამ წრფის რომელიმე ნორმალური ვექტორის კოორდინატების პოვნა.

გამოსავალი

ნორმალური ვექტორის სასურველი კოორდინატების დასადგენად, პარამეტრული განტოლებიდან გადავიტანთ ზოგად განტოლებაზე:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

x და y ცვლადების კოეფიციენტები გვაძლევს ნორმალური ვექტორის საჭირო კოორდინატებს. ამრიგად, x = 1 - 3 4 წრფის ნორმალურ ვექტორს · λ y = - 1 + λ აქვს კოორდინატები 1, 3 4.

პასუხი: 1 , 3 4 .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

აქამდე ჩვენ განვიხილეთ ზედაპირის განტოლება სივრცეში საკოორდინაციო ღერძებით X, Y, Z აშკარა ფორმით ან იმპლიციტური ფორმით.

ზედაპირის განტოლებები შეიძლება დაწეროს პარამეტრულ ფორმაში, მისი წერტილების კოორდინატების გამოხატვა, როგორც ორი დამოუკიდებელი ცვლადი პარამეტრის ფუნქცია და

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ეს ფუნქციები არის ერთმნიშვნელოვანი, უწყვეტი და აქვთ უწყვეტი წარმოებულები მეორე რიგის პარამეტრების გარკვეულ დიაპაზონში.

თუ ჩვენ ჩავანაცვლებთ ამ კოორდინატთა გამონათქვამებს u-ს და v-ის მიხედვით განტოლების მარცხენა მხარეს (37), მაშინ უნდა მივიღოთ იდენტობა u-სა და V-ის მიმართ.

თუ განვიხილავთ ამ განტოლებებს, როგორც ორ ერთგვაროვან განტოლებას ში მოხსენიებული ალგებრული ლემის მიმართ და გამოყენებით, მივიღებთ

სადაც k არის პროპორციულობის გარკვეული კოეფიციენტი.

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ k კოეფიციენტი და ბოლო ფორმულების მარჯვენა მხარეს ერთ-ერთი განსხვავება მაინც არ არის ნულოვანი.

მოკლედ აღვნიშნოთ დაწერილი სამი განსხვავება შემდეგნაირად:

მოგეხსენებათ, ჩვენს ზედაპირზე ტანგენტის სიბრტყის განტოლება გარკვეულ წერტილში (x, y, z) შეიძლება დაიწეროს როგორც

ან, პროპორციული სიდიდეებით ჩანაცვლებით, შეგვიძლია გადავიწეროთ ტანგენტის სიბრტყის განტოლება შემდეგნაირად:

ამ განტოლების კოეფიციენტები, როგორც ცნობილია, პროპორციულია ნორმალურის მიმართულების კოსინუსების მიმართ ზედაპირის მიმართ.

ზედაპირზე M ცვლადი წერტილის პოზიციას ახასიათებს u და v პარამეტრების მნიშვნელობები და ამ პარამეტრებს ჩვეულებრივ უწოდებენ ზედაპირული წერტილების კოორდინატებს ან კოორდინატთა პარამეტრებს.

u და v პარამეტრების მუდმივი მნიშვნელობების მიცემით, ზედაპირზე ვიღებთ ხაზების ორ ოჯახს, რომლებსაც ზედაპირის კოორდინატებს დავარქმევთ: კოორდინატთა ხაზები, რომლებზეც მხოლოდ v იცვლება და კოორდინატთა ხაზები, რომლებზეც მხოლოდ u იცვლება. კოორდინატთა ხაზების ეს ორი ოჯახი იძლევა კოორდინატთა ბადეს ზედაპირზე.

მაგალითად, განვიხილოთ სფერო, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე და R რადიუსზე. ასეთი სფეროს პარამეტრული განტოლებები შეიძლება დაიწეროს როგორც

კოორდინატთა ხაზები ამ შემთხვევაში, ცხადია, ჩვენი სფეროს პარალელები და მერიდიანებია.

კოორდინატთა ღერძებიდან აბსტრაქტივით, ზედაპირი შეგვიძლია დავახასიათოთ ცვლადი რადიუს-ვექტორით, რომელიც გადადის ჩვენი ზედაპირის მუდმივი O წერტილიდან M ცვლად წერტილამდე. ამ რადიუს-ვექტორის ნაწილობრივი წარმოებულები პარამეტრებთან მიმართებაში აშკარად მისცემს ვექტორებს, რომლებიც მიმართულია კოორდინატთა ხაზების ტანგენტების გასწვრივ. ამ ვექტორების კომპონენტები ღერძების გასწვრივ

შესაბამისად და შესაბამისად, ტანგენტის სიბრტყის (39) განტოლების კოეფიციენტები არის ვექტორული ნამრავლის კომპონენტები.ეს ვექტორული ნამრავლი არის ტანგენტების პერპენდიკულარული ვექტორი, ე.ი. ზედაპირი. ამ ვექტორის სიგრძის კვადრატი აშკარად გამოიხატება ვექტორის და საკუთარი თავის სკალარული ნამრავლით, ანუ სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ ვექტორის კვადრატით 1). შემდეგში, მნიშვნელოვან როლს ითამაშებს ზედაპირის ერთეული ნორმალური ვექტორი, რომელიც აშკარად შეგვიძლია დავწეროთ სახით

დაწერილ ვექტორულ ნამრავლში ფაქტორების რიგის შეცვლით ვექტორისთვის (40) საპირისპირო მიმართულებას ვიღებთ. შემდეგში ჩვენ დავაფიქსირებთ ფაქტორების თანმიმდევრობას გარკვეული გზით, ანუ ნორმალის მიმართულებას ზედაპირის მიმართ გარკვეული გზით დავაფიქსირებთ.

ავიღოთ M წერტილი ზედაპირზე და ამ წერტილში გავავლოთ მრუდი (L), რომელიც დევს ზედაპირზე. ეს მრუდი, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის კოორდინატთა ხაზი და H და v შეიცვლება მის გასწვრივ. ამ მრუდის ტანგენტის მიმართულება განისაზღვრება ვექტორით, თუ დავუშვებთ, რომ წერტილის სიახლოვეს (L) გასწვრივ, პარამეტრი v არის ფუნქცია, რომლის წარმოებული აქვს. აქედან ჩანს, რომ ტანგენტის მიმართულება მრუდის მიმართ, რომელიც შედგენილია ზედაპირზე, ამ მრუდის რაღაც M წერტილში, სრულად ხასიათდება იმ წერტილის მნიშვნელობით. ტანგენტის სიბრტყის განსაზღვრისას და მისი განტოლების (39) გამოყვანისას, ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ ფუნქციებს (38) განხილულ წერტილში და მის სამეზობლოში აქვთ უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები და რომ განტოლების (39) ერთ-ერთი კოეფიციენტი მაინც განსხვავდება ნულისაგან. განხილული წერტილი.

სიბრტყის ვექტორული და პარამეტრული განტოლებები.მოდით r 0 და r იყოს M 0 და M წერტილების რადიუსის ვექტორები, შესაბამისად. შემდეგ M 0 M = r - r 0 , და პირობა (5.1), რომ წერტილი M ეკუთვნის M 0 წერტილში პერპენდიკულარულად გამავალ სიბრტყეს. არანულოვანი ვექტორი n (ნახ. 5.2, ა), შეიძლება დაიწეროს გამოყენებით წერტილოვანი პროდუქტიროგორც თანაფარდობა

n(r - r 0) = 0, (5.4)

რომელსაც ქვია თვითმფრინავის ვექტორული განტოლება.

სივრცეში ფიქსირებული სიბრტყე შეესაბამება მის პარალელურ ვექტორთა სიმრავლეს, ე.ი. სივრცე V2. მოდით ავირჩიოთ ამ სივრცეში საფუძველი e 1 , e 2 , ე.ი. არასწორხაზოვანი ვექტორების წყვილი განხილული სიბრტყის პარალელურად და წერტილი M 0 სიბრტყეზე. თუ წერტილი M სიბრტყეს ეკუთვნის, მაშინ ეს უდრის იმ ფაქტს, რომ ვექტორი M 0 M არის მის პარალელურად (ნახ. 5.2, ბ), ე.ი. იგი ეკუთვნის მითითებულ V 2 სივრცეს. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ვექტორის M 0 M დაშლა საფუძველში e 1 , e 2 , ე.ი. არის რიცხვები t 1 და t 2, რომლებისთვისაც M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . ამ განტოლების მარცხენა მხარის ჩაწერა M 0 და M წერტილების r 0 და r რადიუსის ვექტორების მიხედვით, მივიღებთ სიბრტყის ვექტორული პარამეტრული განტოლება

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2, t 1, t 1 ∈ R. (5.5)

(5.5) ვექტორების ტოლობიდან მათ ტოლობაზე გადასვლა კოორდინატები, აღინიშნება (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) წერტილის კოორდინატები M 0 , M და (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x ; e 2y ; e 2z ) ვექტორების e 1 , e 2 კოორდინატების მეშვეობით. ვექტორების r და r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 იმავე სახელწოდების კოორდინატების ტოლფასი, მივიღებთ პარამეტრული სიბრტყის განტოლებები

თვითმფრინავი, რომელიც გადის სამ წერტილს.დავუშვათ, რომ სამი წერტილი M 1, M 2 და M 3 არ დევს ერთ სწორ ხაზზე. შემდეგ არის უნიკალური სიბრტყე π, რომელსაც ეს წერტილები ეკუთვნის. ვიპოვოთ ამ სიბრტყის განტოლება კრიტერიუმის ფორმულირებით, რომ თვითნებური წერტილი M მიეკუთვნებოდეს მოცემულ π სიბრტყეს. შემდეგ ამ კრიტერიუმს ვწერთ წერტილების კოორდინატების მიხედვით. მითითებული კრიტერიუმი არის სიბრტყის π აღწერა, როგორც იმ წერტილების M სიმრავლე, რომლებისთვისაც ვექტორები M 1 M 2 , M 1 M 3 და M 1 M თანაპლენარული. სამი ვექტორის თანაბარობის კრიტერიუმია მათი ნულის ტოლობა შერეული პროდუქტი(იხ. 3.2). შერეული პროდუქტი გამოითვლება გამოყენებით მესამე რიგის განმსაზღვრელი, რომლის სტრიქონები არის ვექტორების კოორდინატები ორთონორალური საფუძველი. ამიტომ, თუ (xi ; yx i ; Zx i) არის Mx i წერტილების კოორდინატები, i = 1, 2, 3 და (x; y; z) არის M წერტილის კოორდინატები, მაშინ M 1 M = (xx 1; yy 1; zz 1), M 1 M 2 = (x 2 -x 1; y 2 ​​-y 1; z 2 -z 1), M 1 M 3 = (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) და ამ ვექტორების შერეული ნამრავლის ნულის ტოლობის პირობას აქვს ფორმა

დეტერმინანტის გამოთვლით, ვიღებთ ხაზოვანი x, y, z-თან შედარებით განტოლება, რომელიც სასურველი სიბრტყის ზოგადი განტოლება. მაგალითად, თუ გააფართოვეთ განმსაზღვრელი 1 რიგის გასწვრივ, შემდეგ მივიღებთ

ეს ტოლობა, დეტერმინანტების გამოთვლისა და ფრჩხილების გახსნის შემდეგ, გარდაიქმნება სიბრტყის ზოგად განტოლებაში.

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო განტოლებაში ცვლადების კოეფიციენტები ემთხვევა კოორდინატებს ვექტორული პროდუქტი M 1 M 2 × M 1 M 3 . ეს ჯვარედინი ნამრავლი, რომელიც არის π სიბრტყის პარალელურად ორი არასწორხაზოვანი ვექტორის ნამრავლი, იძლევა π-ზე პერპენდიკულარულ არანულოვან ვექტორს, ე.ი. მისი ნორმალური ვექტორი. ასე რომ, ვექტორული ნამრავლის კოორდინატების გამოჩენა სიბრტყის ზოგადი განტოლების კოეფიციენტებად საკმაოდ ბუნებრივია.

განვიხილოთ თვითმფრინავის შემდეგი კონკრეტული შემთხვევა, რომელიც გადის სამ წერტილში. წერტილები M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, არ დაწექი ერთ სწორ ხაზზე და განსაზღვრე სიბრტყე, რომელიც წყვეტს სეგმენტებს კოორდინატთა ღერძებზე არანულოვანი სიგრძე (სურ. 5.3). აქ „სეგმენტების სიგრძე“ ნიშნავს M i, i = 1,2,3 წერტილების რადიუსის ვექტორების არანულოვანი კოორდინატების მნიშვნელობას.

ვინაიდან M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), განტოლება (5.7) იღებს ფორმას

განმსაზღვრელი გამოთვლის შემდეგ ვპოულობთ bc(x - a) + acy + abz = 0, ვყოფთ მიღებულ განტოლებას abc-ზე და გადავაადგილებთ თავისუფალ წევრს მარჯვენა მხარეს,

x/a + y/b + z/c = 1.

ეს განტოლება ე.წ სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში.

მაგალითი 5.2.ვიპოვოთ სიბრტყის ზოგადი განტოლება, რომელიც გადის წერტილში კოორდინატებით (1; 1; 2) და წყვეტს იმავე სიგრძის სეგმენტებს კოორდინატთა ღერძებიდან.

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში, იმ პირობით, რომ ის წყვეტს თანაბარი სიგრძის სეგმენტებს კოორდინატთა ღერძებიდან, ვთქვათ a ≠ 0, აქვს ფორმა x/a + y/b + z/c = 1. ეს განტოლება უნდა აკმაყოფილებდეს კოორდინატებს. (1; 1; 2) ცნობილი წერტილი თვითმფრინავზე, ე.ი. მოქმედებს ტოლობა 4/a = 1. მაშასადამე, a = 4 და სასურველი განტოლებაა x + y + z - 4 = 0.

თვითმფრინავის ნორმალური განტოლება.განვიხილოთ π სიბრტყე სივრცეში. ჩვენ ვასწორებთ მას ერთეულინორმალური ვექტორი n მიმართულია წარმოშობა„სიბრტყისკენ“ და p-ით აღვნიშნოთ მანძილი კოორდინატთა სისტემის O საწყისიდან π სიბრტყემდე (სურ. 5.4). თუ სიბრტყე გადის კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, მაშინ p = 0 და ორი შესაძლო მიმართულებიდან რომელიმე შეიძლება აირჩეს ნორმალური ვექტორის მიმართულებად n.

თუ წერტილი M ეკუთვნის π სიბრტყეს, მაშინ ეს უდრის იმ ფაქტს, რომ ვექტორული ორთოგონალური პროექცია OM მიმართულებისკენვექტორი n უდრის p, ე.ი. პირობა nOM = pr n OM = p დაკმაყოფილებულია, ვინაიდან ვექტორის სიგრძე n უდრის ერთს.

აღვნიშნოთ M წერტილის კოორდინატები (x; y; z)-ით და ვთქვათ n = (cosα; cosβ; cosγ) (გავიხსენოთ, რომ n ერთეული ვექტორისთვის მისი მიმართულების კოსინუსები cosα, cosβ, cosγ ასევე მისი კოორდინატებია). სკალარული ნამრავლის ჩაწერა nOM = p ტოლობით კოორდინატის სახით, მივიღებთ თვითმფრინავის ნორმალური განტოლება

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

სიბრტყეში სწორი ხაზის მსგავსად, სივრცის სიბრტყის ზოგადი განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას მის ნორმალურ განტოლებად ნორმალიზებულ ფაქტორზე გაყოფით.

სიბრტყის განტოლებისთვის Ax + By + Cz + D = 0, ნორმალიზებადი ფაქტორია რიცხვი ±√(A 2 + B 2 + C 2), რომლის ნიშანი არჩეულია D-ის ნიშნის საპირისპიროდ. აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, ნორმალიზების ფაქტორი არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის (A; B; C) სიგრძე და ნიშანი შეესაბამება სიბრტყის ერთეული ნორმალური ვექტორის სასურველ მიმართულებას. თუ თვითმფრინავი გადის კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, ე.ი. D = 0, მაშინ ნორმალიზების ფაქტორის ნიშანი შეიძლება შეირჩეს ნებისმიერი ნიშნით.

პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება კოორდინატებთან მიმართებაში x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

განსაზღვრავს სიბრტყეს და პირიქით: ნებისმიერი სიბრტყე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებით (3.1), რომელიც ე.წ. სიბრტყის განტოლება.

ვექტორი ნ(A, B, C) სიბრტყეზე ორთოგონალური ეწოდება ნორმალური ვექტორითვითმფრინავები. განტოლებაში (3.1) კოეფიციენტები A, B, C არ არის ერთდროულად 0-ის ტოლი.

განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევები (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - თვითმფრინავი გადის საწყისზე.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - სიბრტყე ოზის ღერძის პარალელურია.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - თვითმფრინავი გადის ოზის ღერძზე.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - სიბრტყე პარალელურია Oyz სიბრტყის პარალელურად.

სიბრტყის საკოორდინაციო განტოლებები: x = 0, y = 0, z = 0.

სივრცეში სწორი ხაზი შეიძლება იყოს მოცემული:

1) როგორც ორი სიბრტყის გადაკვეთის წრფე, ე.ი. განტოლებათა სისტემა:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) მისი ორი წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), მაშინ მათზე გამავალი სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებებით:

3) მას ეკუთვნის წერტილი M 1 (x 1 , y 1 , z 1) და ვექტორი ა(m, n, p), s კოლინარული. შემდეგ სწორი ხაზი განისაზღვრება განტოლებებით:

განტოლებები (3.4) ეწოდება წრფის კანონიკური განტოლებები.

ვექტორი ადაურეკა სახელმძღვანელო ვექტორი სწორი.

სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებებიჩვენ ვიღებთ თითოეული მიმართულების (3.4) t პარამეტრთან გატოლებით:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3.5)

ამოხსნის სისტემა (3.2), როგორც წრფივი განტოლებათა სისტემა უცნობებში xდა წ, მივდივართ სწორი ხაზის განტოლებამდე პროგნოზებიან რომ შემცირებული სწორი ხაზის განტოლებები :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

(3.6) განტოლებებიდან შეიძლება გადავიდეთ კანონიკურ განტოლებებზე, პოვნაში ზთითოეული განტოლებიდან და მიღებული მნიშვნელობების გათანაბრება:

ზოგადი განტოლებებიდან (3.2) კანონიკურ განტოლებაზე სხვა გზით გადასვლა შეიძლება, თუ ამ წრფის რომელიმე წერტილი და მისი მიმართულების ვექტორი იპოვება. ნ= [ნ 1 , ნ 2], სადაც ნ 1 (A 1, B 1, C 1) და ნ 2 (A 2 , B 2 , C 2) - მოცემული სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები. თუ ერთ-ერთი მნიშვნელი მ, ნან რგანტოლებებში (3.4) გამოდის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი წილადის მრიცხველი უნდა დადგეს ნულის ტოლი, ე.ი. სისტემა

სისტემის ტოლფასია; ასეთი ხაზი x-ღერძის პერპენდიკულარულია.

სისტემა ექვივალენტურია სისტემის x = x 1, y = y 1; სწორი ხაზი ოზის ღერძის პარალელურია.

მაგალითი 1.15. დაწერეთ სიბრტყის განტოლება, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი A (1, -1,3) ემსახურება საწყისიდან ამ სიბრტყემდე გამოყვანილი პერპენდიკულურის ფუძეს.

გამოსავალი.პრობლემის პირობით ვექტორი OA(1,-1,3) არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი, მაშინ მისი განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც
x-y+3z+D=0. სიბრტყის კუთვნილი A(1,-1,3) წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით ვპოულობთ D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. ასე რომ x-y+3z-11=0.

მაგალითი 1.16. დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის ოზის ღერძზე და ქმნის 60 გრადუსიან კუთხეს 2x+y-z-7=0 სიბრტყით.

გამოსავალი.ოზის ღერძზე გამავალი სიბრტყე მოცემულია განტოლებით Ax+By=0, სადაც A და B ერთდროულად არ ქრება. დაე B არა
არის 0, A/Bx+y=0. ორ სიბრტყეს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის მიხედვით

3m 2 + 8m - 3 = 0 კვადრატული განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ მის ფესვებს
m 1 = 1/3, m 2 = -3, საიდანაც ვიღებთ ორ სიბრტყეს 1/3x+y = 0 და -3x+y = 0.

მაგალითი 1.17.დაწერეთ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

გამოსავალი.სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებებს აქვს ფორმა:

სადაც მ, ნ, გვ- სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატები, x1, y1, z1- ხაზის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები. სწორი ხაზი განისაზღვრება, როგორც ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი. სწორი ხაზის კუთვნილი წერტილის საპოვნელად ფიქსირდება ერთ-ერთი კოორდინატი (უმარტივესი გზაა მაგ. x=0 დაყენება) და მიღებული სისტემა იხსნება, როგორც წრფივი განტოლებათა სისტემა ორი უცნობით. ასე რომ, მოდით x=0, მაშინ y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, საიდანაც y=-1, z=1. ვიპოვეთ ამ წრფის კუთვნილი M წერტილის (x 1, y 1, z 1) კოორდინატები: M (0,-1,1). სწორი ხაზის სამართავი ვექტორის პოვნა მარტივია, ორიგინალური სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების ცოდნა ნ 1 (5,1,1) და ნ 2 (2,3,-2). მერე

წრფის კანონიკური განტოლებებია: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

არის სიბრტყის ზოგადი განტოლება სივრცეში

ნორმალური სიბრტყის ვექტორი

სიბრტყის ნორმალური ვექტორი არის არანულოვანი ვექტორი ორთოგონალური სიბრტყეში მდებარე თითოეული ვექტორის მიმართ.

მოცემული ნორმალური ვექტორის მქონე წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება

არის M0 წერტილში მოცემული ნორმალური ვექტორის მქონე სიბრტყის განტოლება

სიბრტყის მიმართულების ვექტორები

სიბრტყის პარალელურად ორ არასწორხაზოვან ვექტორს სიბრტყის მიმართულების ვექტორები ეწოდება

პარამეტრული სიბრტყის განტოლებები

– სიბრტყის პარამეტრული განტოლება ვექტორული სახით

არის სიბრტყის პარამეტრული განტოლება კოორდინატებში

სიბრტყის განტოლება მოცემულ წერტილში და ორი მიმართულების ვექტორებში

- ფიქსირებული წერტილი

უბრალოდ წერტილი lol

თანაპლენარულია, ამიტომ მათი შერეული პროდუქტი არის 0.

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს

– სიბრტყის განტოლება სამ წერტილში

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში

- სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში

მტკიცებულება

ამის დასამტკიცებლად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ჩვენი თვითმფრინავი გადის A, B, C და ნორმალურ ვექტორზე

მოდით შევცვალოთ n წერტილის და ვექტორის კოორდინატები სიბრტყის განტოლებაში ნორმალური ვექტორით.

გაყავით ყველაფერი და მიიღეთ

ასე მიდის.

ნორმალური სიბრტყის განტოლება

არის კუთხე ox-სა და ნორმალურ ვექტორს შორის სიბრტყესთან, რომელიც გამოდის O-დან.

არის კუთხე oy-სა და ნორმალურ ვექტორს შორის სიბრტყესთან, გამავალი O-დან.

არის კუთხე oz-სა და ნორმალურ ვექტორს შორის სიბრტყესთან, O-დან გამავალი.

არის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან სიბრტყემდე.

მტკიცებულებები ან ასეთი სისულელე

ნიშანი არის საპირისპირო D.

ანალოგიურად სხვა კოსინუსებისთვის. Დასასრული.

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე

წერტილი S, თვითმფრინავი

არის ორიენტირებული მანძილი S წერტილიდან სიბრტყემდე

თუ , მაშინ S და O დევს სიბრტყის მოპირდაპირე მხარეს

თუ , მაშინ S და O დევს ერთ მხარეს

გავამრავლოთ n-ზე

სივრცეში ორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

კუთხე თვითმფრინავებს შორის

გადაკვეთაზე იქმნება ორი წყვილი ვერტიკალური დიჰედრული კუთხე, ყველაზე პატარას სიბრტყეებს შორის კუთხე ეწოდება.

სწორი ხაზი სივრცეში

ხაზი სივრცეში შეიძლება იყოს მოცემული როგორც

ორი სიბრტყის კვეთა:

სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები

- ვექტორული სახით სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლება

არის სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლება კოორდინატებში

კანონიკური განტოლება

არის სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება.

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება

– ვექტორული სახით სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება;

სივრცეში ორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

სწორი ხაზისა და სიბრტყის ურთიერთგანლაგება სივრცეში

კუთხე ხაზსა და სიბრტყეს შორის

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სივრცეში

a არის ჩვენი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

არის თვითნებური წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება მოცემულ ხაზს

- წერტილი, სადაც ჩვენ ვეძებთ მანძილს.

მანძილი ორ ხაზს შორის

მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის

M1 - წერტილი, რომელიც ეკუთვნის პირველ ხაზს

M2 არის წერტილი, რომელიც ეკუთვნის მეორე ხაზს

მეორე რიგის მრუდები და ზედაპირები

ელიფსი არის სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, მანძილების ჯამი, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე (ფოკუსი) არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ელიფსის კანონიკური განტოლება

მოდით შევცვალოთ იგი

გაყავით

ელიფსის თვისებები

გადაკვეთა კოორდინატთა ღერძებით

სიმეტრია შესახებ

1. წარმოშობა

ელიფსი არის მრუდი, რომელიც მდებარეობს თვითმფრინავის შეზღუდულ ნაწილში

ელიფსის მიღება შესაძლებელია წრიდან მისი დაჭიმვით ან შეკუმშვით

ელიფსის პარამეტრული განტოლება:

- რეჟისორები

ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლა არის სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომლისთვისაც 2 მოცემულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a).

ჩვენ ყველაფერს ისე ვაკეთებთ, როგორც ელიფსით, ვიღებთ

Შეცვლა

გაყავით

ჰიპერბოლის თვისებები

;

- რეჟისორები

ასიმპტოტი

ასიმპტოტი არის სწორი ხაზი, რომელსაც მრუდი უსასრულოდ უახლოვდება, უსასრულობამდე მიდის.

პარაბოლა

პარაბოტის თვისებები

კავშირი ელიფსს, ჰიპერბოლასა და პარაბოლას შორის.

ამ მრუდებს შორის ურთიერთობას აქვს ალგებრული ახსნა: ისინი ყველა მოცემულია მეორე ხარისხის განტოლებით. ნებისმიერ კოორდინატულ სისტემაში ამ მრუდების განტოლებებს აქვს ფორმა: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, სადაც a, b, c, d, e, f რიცხვებია.

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემების ტრანსფორმირება

კოორდინატთა სისტემის პარალელური თარგმანი

– O’ ძველ კოორდინატულ სისტემაში

– წერტილის კოორდინატები ძველ კოორდინატულ სისტემაში

– წერტილის კოორდინატები ახალ კოორდინატულ სისტემაში

წერტილოვანი კოორდინატები ახალ კოორდინატულ სისტემაში.

როტაცია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში

- ახალი კოორდინატთა სისტემა

გარდამავალი მატრიცა ძველიდან ახალზე

- (პირველი სვეტის ქვეშ მე’ , მეორის ქვეშ ჯ’ ) გადასვლის მატრიცა საფუძვლიდან მე,ჯსაფუძველი მე’ ,ჯ’

ზოგადი შემთხვევა

1 ვარიანტი

1. კოორდინატთა სისტემის როტაცია

ვარიანტი 2

1. კოორდინატთა სისტემის როტაცია

   წარმოშობის პარალელური თარგმანი

მეორე რიგის ხაზების ზოგადი განტოლება და მისი გადაყვანა კანონიკურ ფორმამდე

არის მეორე რიგის მრუდის განტოლებების ზოგადი ფორმა

მეორე რიგის მრუდების კლასიფიკაცია

ელიფსოიდი

ელიფსოიდის ჯვარი მონაკვეთები

- ელიფსი

- ელიფსი

რევოლუციის ელიფსოიდები

რევოლუციის ელიფსოიდები არის ან ბრტყელი ან პროლატის სფეროიდები, იმისდა მიხედვით, თუ რის გარშემო ვტრიალებთ.

ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდი

ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდის სექციები

- ჰიპერბოლა რეალური ღერძით oy

არის ჰიპერბოლა რეალური x ღერძით

გამოდის ელიფსი ნებისმიერი თ. ასე მიდის.

რევოლუციის ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდები

რევოლუციის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის მიღება შესაძლებელია მისი წარმოსახვითი ღერძის გარშემო ჰიპერბოლის ბრუნვით.

ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი

ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის სექციები

- ჰიპერბოლა მოქმედებით. axisoz

არის ჰიპერბოლა რეალური ღერძით oz

კონუსი

- გადამკვეთი ხაზების წყვილი

- გადამკვეთი ხაზების წყვილი

ელიფსური პარაბოლოიდი

- პარაბოლა

- პარაბოლა

როტაციები

თუ , მაშინ ელიფსური პარაბოლოიდი არის ბრუნვის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება პარაბოლის ბრუნვის შედეგად მისი სიმეტრიის ღერძის გარშემო.

ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი

პარაბოლა

- პარაბოლა

h>0 ჰიპერბოლა x-ის პარალელურად რეალური ღერძით

თ<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

ცილინდრის ქვეშ ვგულისხმობთ ზედაპირს, რომელიც მიიღება სივრცეში სწორი ხაზის გადაადგილებისას, რომელიც არ იცვლის მიმართულებას, თუ სწორი ხაზი მოძრაობს oz-ის მიმართ, მაშინ ცილინდრის განტოლება არის სიბრტყის მონაკვეთის განტოლება. xoy.

ელიფსური ცილინდრი

ჰიპერბოლური ცილინდრი

პარაბოლური ცილინდრი

მეორე რიგის ზედაპირების სწორხაზოვანი გენერატორები

ხაზებს, რომლებიც მთლიანად ზედაპირზე დევს, ზედაპირის სწორხაზოვან გენერატორებს უწოდებენ.

რევოლუციის ზედაპირები

ჯანდაბა შენ lol

ჩვენება

ჩვენებითდავარქვათ წესი, რომლის მიხედვითაც A სიმრავლის თითოეული ელემენტი ასოცირდება B სიმრავლის ერთ ან რამდენიმე ელემენტთან. თუ თითოეულს ენიჭება B სიმრავლის ერთი ელემენტი, მაშინ გამოძახება გამოიძახება ცალსახა, წინააღმდეგ შემთხვევაში ორაზროვანი.

ტრანსფორმაციაკომპლექტს ეწოდება კომპლექტის ერთ-ერთზე საკუთარ თავზე გამოსახვა

ინექცია

ინექცია ან A კომპლექტის B კომპლექტში ერთი-ერთზე შეყვანა

(a-ს სხვადასხვა ელემენტები შეესაბამება B-ის სხვადასხვა ელემენტებს) მაგალითად y=x^2

სერჟექცია

A კომპლექტის შეყვანა ან რუკების დახატვა B სიმრავლეზე

ყოველ B-სთვის არის მინიმუმ ერთი A (მაგალითად, სინუსი)

B სიმრავლის თითოეულ ელემენტს შეესაბამება A სიმრავლის მხოლოდ ერთ ელემენტს (მაგალითად, y=x)