დაე, წერტილი ერთდროულად მონაწილეობდეს ერთი და იმავე პერიოდის ორ ჰარმონიულ რხევაში, რომლებიც მიმართულია ერთი სწორი ხაზის გასწვრივ.

რხევების დამატება განხორციელდება ვექტორული დიაგრამების მეთოდით (ნახ. 2.2). მოდით, რხევები მოცემულია განტოლებებით

და

(2.2.1)

დააყენეთ წერტილი ოვექტორი ფ 1 კუთხით მიმართულ ხაზთან და ვექტორი კუთხით φ 2 . ორივე ვექტორი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ერთი და იგივე კუთხური სიჩქარით ω, ამიტომ მათი ფაზური სხვაობა არ არის დამოკიდებული დროზე (). ასეთ ვიბრაციას თანმიმდევრული ეწოდება.

ჩვენ ვიცით, რომ ვექტორის მთლიანი პროექცია უდრის იმავე ღერძზე პროგნოზების ჯამს. აქედან გამომდინარე, მიღებული რხევა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამპლიტუდის ვექტორით, რომელიც ბრუნავს წერტილის გარშემო ოიგივე კუთხური სიჩქარით ω როგორც , და . შედეგად მიღებული რხევა ასევე უნდა იყოს ჰარმონიული ω სიხშირით:

.

ვექტორული შეკრების წესით ვპოულობთ მთლიან ამპლიტუდას:

შედეგად მიღებული ამპლიტუდა გვხვდება ფორმულით

ამრიგად, სხეული, რომელიც მონაწილეობს იმავე მიმართულების და იგივე სიხშირის ორ ჰარმონიულ რხევაში, ასევე ასრულებს ჰარმონიულ რხევას იმავე მიმართულებით და იმავე სიხშირით, როგორც ჯამური რხევები.

(2.2.2)-დან გამომდინარეობს, რომ ამპლიტუდა მაგრამშედეგად მიღებული რხევა დამოკიდებულია საწყის ფაზების განსხვავებაზე. შესაძლო ღირებულებები მაგრამიტყუება დიაპაზონში (ამპლიტუდა არ შეიძლება იყოს უარყოფითი).

განვიხილოთ რამდენიმე მარტივი შემთხვევა.

1. ფაზის განსხვავება არის ნული ან ლუწი რიცხვიπ, ანუ სად . შემდეგ და

,

(2.2.4)

მას შემდეგ, რაც ე.ი. შედეგად მიღებული რხევის ამპლიტუდა მაგრამუდრის დამატებული რხევების ამპლიტუდების ჯამს (რხევები ფაზაში) (ნახ. 2.3).

2. ფაზის სხვაობა კენტი რიცხვიაπ , ე.ი , სადაც . მაშინ . აქედან

.

(2.2.5)

ნახ. 2.4 გვიჩვენებს მიღებული რხევის ამპლიტუდას მაგრამ, უდრის დამატებული რხევების ამპლიტუდების სხვაობას (რხევები in ფაზის გარეთ).

3. ფაზის სხვაობა დროში იცვლება თვითნებურად:

(2.2.6)

(2.2.6) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ და შეიცვლება მნიშვნელობის შესაბამისად. ამიტომ არათანმიმდევრული რხევების დამატებისას აზრი არ აქვს ამპლიტუდების დამატებაზე ლაპარაკს, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში შეინიშნება საკმაოდ გარკვეული შაბლონები. პრაქტიკისთვის განსაკუთრებით საინტერესოა შემთხვევა, როდესაც ერთი და იგივე მიმართულების ორი დამატებული რხევა სიხშირით მცირედ განსხვავდება. ამ რხევების დამატების შედეგად მიიღება პერიოდულად ცვალებადი ამპლიტუდის მქონე რხევები.

რხევის ამპლიტუდის პერიოდული ცვლილებები, რომლებიც წარმოიქმნება ორი ჰარმონიული რხევის დაახლოების სიხშირით., უწოდებენ სცემს . მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს აღარ არის ჰარმონიული რხევები.

დამატებული რხევების ამპლიტუდები იყოს ტოლი მაგრამ, და სიხშირეები ტოლია ω და , და . ჩვენ ვირჩევთ საცნობარო წერტილს ისე, რომ ორივე რხევის საწყისი ფაზა ნულის ტოლი იყოს:

ჩვენ ვამატებთ ამ გამოთქმებს, უგულებელყოფით, რადგან .

დამოკიდებულების ბუნება (2.2.8) ნაჩვენებია ნახ. 2.5, სადაც მყარი სქელი ხაზები იძლევა მიღებული რხევის გრაფიკს, ხოლო მათი კონვერტები - ნელ-ნელა ცვალებადი ამპლიტუდის გრაფიკს განტოლების მიხედვით (2.2.7).

მითითებასა და გაზომილ ვიბრაციებს შორის დარტყმების სიხშირის (გარკვეული სიმაღლის ბგერა) განსაზღვრა პრაქტიკაში ყველაზე ფართოდ გამოყენებული მეთოდია გაზომილი მნიშვნელობის მითითებასთან შესადარებლად. Beat მეთოდი გამოიყენება მუსიკალური ინსტრუმენტების ტუნინგისთვის, სმენის ანალიზისთვის და ა.შ.

ზოგადად, სახეობის რხევებს უწოდებენ მოდულირებული . განსაკუთრებული შემთხვევები: ამპლიტუდის მოდულაცია და ფაზის ან სიხშირის მოდულაცია. ცემამოდულირებული რხევების უმარტივესი ფორმაა.

ნებისმიერი რთული პერიოდული რხევები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთდროულად წარმოქმნილი ჰარმონიული რხევების სუპერპოზიცია სხვადასხვა ამპლიტუდებით, საწყისი ფაზებით და ასევე სიხშირეებით, რომლებიც ციკლური სიხშირის ω მრავლობითია:

.

პერიოდული ფუნქციის წარმოდგენა ამ ფორმით ასოცირდება კონცეფციასთან რთული პერიოდული რხევის, ანუ ფურიეს გაფართოების ჰარმონიული ანალიზი(ანუ რთული მოდულირებული რხევების წარმოდგენა მარტივი ჰარმონიული რხევების რიგის (ჯამის) სახით). ფურიეს სერიის ტერმინები, რომლებიც განსაზღვრავენ ჰარმონიულ რხევებს ω, 2ω, 3ω, ... სიხშირეებით, ე.წ. პირველი(ან მთავარი), მეორე, მესამედა ა.შ. ჰარმონიებირთული პერიოდული რხევა.

მექანიკაში სხეულების მთარგმნელობით და ბრუნვით მოძრაობებთან ერთად, რხევითი მოძრაობებიც მნიშვნელოვანი ინტერესია. მექანიკური ვიბრაციები ეწოდება სხეულების მოძრაობას, რომლებიც მეორდება ზუსტად (ან დაახლოებით) რეგულარული ინტერვალებით. რხევადი სხეულის მოძრაობის კანონი მოცემულია დროის გარკვეული პერიოდული ფუნქციით x = ვ (ტ). ამ ფუნქციის გრაფიკული გამოსახულება იძლევა ვიზუალურ წარმოდგენას რხევითი პროცესის მიმდინარეობის დროში.

მარტივი რხევადი სისტემების მაგალითებია დატვირთვა ზამბარაზე ან მათემატიკური გულსაკიდი (ნახ. 2.1.1).

მექანიკური რხევები, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა ფიზიკური ხასიათის რხევითი პროცესები, შეიძლება იყოს უფასოდა იძულებული. უფასო ვიბრაციები მზადდება გავლენის ქვეშ შინაგანი ძალებისისტემა წონასწორობიდან სისტემის გამოყვანის შემდეგ. სიმძიმის რხევები ზამბარზე ან ქანქარის რხევები თავისუფალი რხევებია. ვიბრაციები მოქმედების ქვეშ გარეპერიოდულად ცვალებად ძალებს უწოდებენ იძულებული .

რხევითი პროცესის უმარტივესი ტიპი მარტივია ჰარმონიული ვიბრაციები , რომლებიც აღწერილია განტოლებით

x = x m cos (ω ტ + φ 0).

Აქ x- სხეულის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან, x m - რხევის ამპლიტუდა, ანუ მაქსიმალური გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან, ω - ციკლური ან წრიული სიხშირე ყოყმანი, ტ- დრო. მნიშვნელობა კოსინუსის ნიშნის ქვეშ φ = ω ტ+ φ 0 ეწოდება ფაზაჰარმონიული პროცესი. ზე ტ= 0 φ = φ 0, ამიტომ ფ 0 ეწოდება საწყისი ეტაპი. მინიმალური დროის ინტერვალი, რომლის შემდეგაც სხეულის მოძრაობა მეორდება, ეწოდება რხევის პერიოდი თ. რხევის პერიოდის საპასუხო ფიზიკურ რაოდენობას ეწოდება რხევის სიხშირე:

რხევის სიხშირე ვგვიჩვენებს რამდენი ვიბრაცია ხდება 1 წამში. სიხშირის ერთეული - ჰერცი(ჰც). რხევის სიხშირე ვდაკავშირებულია ω ციკლურ სიხშირესთან და რხევის პერიოდთან თკოეფიციენტები:

ნახ. 2.1.2 აჩვენებს სხეულის პოზიციებს რეგულარული ინტერვალებით ჰარმონიული ვიბრაციებით. ასეთი სურათის მიღება შესაძლებელია ექსპერიმენტულად, რხევადი სხეულის განათებით სინათლის ხანმოკლე პერიოდული ციმციმებით ( სტრობოსკოპული განათება). ისრები წარმოადგენს სხეულის სიჩქარის ვექტორებს დროის სხვადასხვა მომენტში.

ბრინჯი. 2.1.3 ასახავს ცვლილებებს, რომლებიც ხდება ჰარმონიული პროცესის გრაფიკზე, თუ იცვლება რხევების ამპლიტუდა xმ, ან პერიოდი თ(ან სიხშირე ვ), ან საწყისი ფაზა φ 0 .

როდესაც სხეული მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ (ღერძი ოქსი) სიჩქარის ვექტორი ყოველთვის მიმართულია ამ სწორი ხაზის გასწვრივ. სიჩქარე υ = υ xსხეულის მოძრაობა განისაზღვრება გამოხატულებით

მათემატიკაში შეფარდების ლიმიტის პოვნის პროცედურა Δ-ზე ტ→ 0 ეწოდება ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლას x (ტ) დროის მიხედვით ტდა აღინიშნება როგორც ან როგორც x"(ტ) ან ბოლოს როგორც . მოძრაობის ჰარმონიული კანონისთვის წარმოებულის გამოთვლა იწვევს შემდეგ შედეგს:

ტერმინის + π / 2 გამოჩენა კოსინუს არგუმენტში ნიშნავს ცვლილებას საწყის ფაზაში. სიჩქარის მაქსიმალური მოდულის მნიშვნელობები υ = ω x m მიიღწევა დროის იმ მომენტებში, როდესაც სხეული გადის წონასწორობის პოზიციებს ( x= 0). აჩქარება განისაზღვრება ანალოგიურად ა = აxჰარმონიული ვიბრაციების მქონე სხეულები:

აქედან გამომდინარე აჩქარება აუდრის υ ფუნქციის წარმოებულს ( ტ) დროის მიხედვით ტ, ან ფუნქციის მეორე წარმოებული x (ტ). გამოთვლები იძლევა:

ამ გამოთქმაში მინუს ნიშანი ნიშნავს აჩქარებას ა (ტ) ყოველთვის აქვს ოფსეტის საპირისპირო ნიშანი x (ტ) და, შესაბამისად, ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით, ძალა, რომელიც სხეულს აიძულებს შეასრულოს ჰარმონიული რხევები, ყოველთვის მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ ( x = 0).

ა) სხეული მონაწილეობს ორ ჰარმონიულ რხევაში ერთი და იგივე წრიული სიხშირითვ , მაგრამ განსხვავებული ამპლიტუდებითა და საწყისი ფაზებით.

ამ რხევების განტოლება დაიწერება შემდეგნაირად:

x 1 \u003d a 1 cos (wt + j 1)

x 2 \u003d a 2 cos (wt + j 2),

სადაც x 1და x 2- კომპენსაციები; a 1და a 2- ამპლიტუდები; ვ- ორივე რხევის წრიული სიხშირე; j1და j2- რხევების საწყისი ფაზები.

მოდით დავამატოთ ეს რყევები ვექტორული დიაგრამის გამოყენებით. მოდით წარმოვადგინოთ ორივე რხევა ამპლიტუდის ვექტორებად. ამისათვის, ღერძზე მდებარე თვითნებური წერტილიდან O X, ჩვენ გამოვყავით ორი ვექტორი 1 და 2, შესაბამისად, კუთხეებზე j1და j2ამ ღერძამდე (ნახ. 2).

ამ ვექტორების პროგნოზები ღერძზე Xგადაადგილების ტოლი იქნება x 1და x 2გამოთქმის (2) მიხედვით. როდესაც ორივე ვექტორი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ კუთხური სიჩქარით ვმათი ბოლოების პროგნოზები ღერძზე Xგააკეთებს ჰარმონიულ ვიბრაციას. ვინაიდან ორივე ვექტორი ბრუნავს ერთი და იგივე კუთხური სიჩქარით ვ, შემდეგ კუთხე მათ შორის j=j 1 -j 2რჩება მუდმივი. პარალელოგრამის წესის მიხედვით 1 და 2 ვექტორების დამატება, მივიღებთ მიღებულ ვექტორს. როგორც ნახ. 2-დან ჩანს, ამ ვექტორის პროექცია ღერძზე Xუდრის ვექტორთა წინადადებების პროგნოზების ჯამს x \u003d x 1 + x 2.Მეორეს მხრივ: x \u003d a cos (wt + j o).

შესაბამისად, ვექტორი ბრუნავს იგივე კუთხური სიჩქარით, როგორც ვექტორები 1 და 2 და ასრულებს ჰარმონიულ რხევას, რომელიც ხდება იმავე სწორი ხაზის გასწვრივ, როგორც რხევების პირობები და სიხშირით, რომელიც უდრის საწყისი რხევების სიხშირეს. Აქ j o -მიღებული რხევის საწყისი ფაზა.

როგორც ნახ. 2-დან ჩანს, მიღებული რხევის ამპლიტუდის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოსინუსების თეორემა, რომლის მიხედვითაც გვაქვს:

a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a \u003d a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos (j 2 - j 1)(3)

გამოთქმიდან (3) ჩანს, რომ მიღებული რხევის ამპლიტუდა დამოკიდებულია საწყის ფაზების განსხვავებაზე ( j 2 - j 1) რხევების პირობები. თუ საწყისი ფაზები თანაბარია ( j 2 = j 1), შემდეგ ფორმულა (3) აჩვენებს, რომ ამპლიტუდა აჯამის ტოლია a 1და a 2. თუ ფაზის განსხვავება ( j 2 - j 1) უდრის ±180 o-ს (ანუ ორივე რხევა ანტიფაზაშია), მაშინ მიღებული რხევის ამპლიტუდა უდრის რხევის ტერმინების ამპლიტუდების სხვაობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. : a = |a 1 - a 2 |.

ბ) სხეული მონაწილეობს ორ რხევაში ერთი და იგივე ამპლიტუდებით, ნულის ტოლი საწყისი ფაზებით და განსხვავებული სიხშირით..

ამ რხევების განტოლებები ასე გამოიყურება:

x 1 \u003d a sinw 1 ტ,

x 2 \u003d a sinw 2 ტ.

ამით, ვარაუდობენ, რომ w 1ზომით ოდნავ განსხვავებული w 2. ამ გამონათქვამების დამატებით მივიღებთ:

x \u003d x 1 + x 2 \u003d 2a cos[(w 1 -w 2)/2]t+ცოდვა[(w 1 +w 2)/2]t=

=2ა cos[(w 1 -w 2)/2]t ცოდვა wt (4)

შედეგად მიღებული მოძრაობა არის რთული რხევა, რომელსაც ე.წ სცემს(ნახ. 3) ვინაიდან მნიშვნელობა w1-w2მცირე ზომის შედარებით w1+w2, მაშინ ეს მოძრაობა შეიძლება ჩაითვალოს ჰარმონიულ რხევად, რომლის სიხშირე უდრის დამატებული რხევების სიხშირეების ჯამის ნახევარს. w=(w1+w2)/2და ცვლადი ამპლიტუდა.

(4)დან გამომდინარეობს, რომ მიღებული რხევის ამპლიტუდა იცვლება პერიოდული კოსინუსების კანონის მიხედვით. კოსინუსური ფუნქციის მნიშვნელობების შეცვლის სრული ციკლი ხდება მაშინ, როდესაც არგუმენტი იცვლება 360 0-ით, ხოლო ფუნქცია გადასცემს მნიშვნელობებს +1-დან -1-მდე. სისტემის მდგომარეობა, რომელიც სცემს დროის მომენტებში, რომელიც შეესაბამება ფორმულაში (4) კოსინუს ფუნქციის მითითებულ მნიშვნელობებს, არანაირად არ განსხვავდება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დარტყმის ციკლები ხდება სიხშირით, რომელიც შეესაბამება (4) ფორმულაში კოსინუსის არგუმენტის ცვლილებას 180 0-ით. ასე რომ პერიოდი თ აამპლიტუდის ცვლილებები დარტყმების დროს (ცემის პერიოდი) განისაზღვრება მდგომარეობიდან:

T a \u003d 2p / (w 1 - w 2).

Იმის გათვალისწინებით, რომ w=2pn,ჩვენ ვიღებთ:

T a \u003d 2 p / 2 p (n 1 - n 2) \u003d 1 / (n 1 - n 2). (5)

შედეგად მიღებული რხევის ამპლიტუდის ცვლილების სიხშირე უდრის დამატებული რხევების სიხშირეების სხვაობას:

n=1/T a =n 1 -n 2.

ერთი მიმართულების ჰარმონიული რხევების დამატება.

სცემს

განვიხილოთ რხევითი სისტემა ერთი ხარისხის თავისუფლებით, რომლის მდგომარეობა განისაზღვრება გარკვეული რაოდენობის დროზე დამოკიდებულებით. მოდით, რხევა ამ სისტემაში იყოს ორი ჰარმონიული რხევის ჯამი ერთი და იგივე სიხშირით, მაგრამ განსხვავებული ამპლიტუდებითა და საწყისი ფაზებით, ე.ი.

ვინაიდან წონასწორული პოზიციიდან რხევითი სისტემის „გადანაცვლება“ ხდება ერთი „მიმართულების“ გასწვრივ, ამ შემთხვევაში საუბარია ერთი მიმართულების ჰარმონიული რხევების დამატებაზე. ვექტორულ დიაგრამაზე დამატებული რხევები ნაჩვენები იქნება ორი ვექტორის სახით და კუთხით ბრუნავს ერთმანეთთან მიმართებაში. (ნახ. 6.1). ვინაიდან დამატებული რხევების სიხშირეები ერთნაირია, მათი ურთიერთ პოზიცია ნებისმიერ დროს უცვლელი დარჩება და შედეგად მიღებული რხევა წარმოდგენილი იქნება ვექტორების ჯამის ტოლი ვექტორით და . პარალელოგრამის წესის მიხედვით ვექტორების დამატება და კოსინუსების თეორემის გამოყენებით მივიღებთ

. (6.3)

ამრიგად, ერთი და იგივე მიმართულების ორი ჰარმონიული რხევის ერთსა და იმავე სიხშირეებთან დამატებისას მიიღება იგივე სიხშირის ჰარმონიული რხევა, რომლის ამპლიტუდა და საწყისი ფაზა განისაზღვრება გამონათქვამებით.(6.2), (6.3).

ორ ჰარმონიულ რხევას, რომლებიც ხდება ერთსა და იმავე სიხშირეზე და აქვთ მუდმივი ფაზის სხვაობა, ეწოდება თანმიმდევრული. შესაბამისად, თანმიმდევრული რხევების დამატებისას მიიღება იმავე სიხშირის ჰარმონიული რხევა, რომლის ამპლიტუდა და საწყისი ფაზა განისაზღვრება დამატებული რხევების ამპლიტუდებითა და საწყისი ფაზებით.

თუ დამატებულ რხევებს აქვთ სხვადასხვა სიხშირე და , მაგრამ იგივე ამპლიტუდა , შემდეგ, ორი კუთხის კოსინუსების ჯამისთვის ტრიგონომეტრიიდან ცნობილი გამოხატვის გამოყენებით, მივიღებთ

მიღებული გამოხატულებიდან ჩანს, რომ მიღებული რხევა არ არის ჰარმონიული.

დამატებული რხევების სიხშირეები იყოს ერთმანეთთან ახლოს ისე, რომ და . ამ საქმეს ე.წ ორი სიხშირის ცემა.

აღმნიშვნელი , და , შეიძლება დაიწეროს

. (6.5)

გამოთქმიდან (6.5) გამომდინარეობს, რომ მიღებული რხევა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჰარმონიული რხევის სახით გარკვეული საშუალო სიხშირით, რომლის ამპლიტუდა ნელა (სიხშირით) იცვლება დროში. დრო დაურეკა დარტყმის პერიოდი, ა – დარტყმის სიხშირე. ბიტის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 6.2. დარტყმები ხდება მაშინ, როდესაც ერთი და იგივე გასაღების ორი მარეგულირებელი ჩანგლის ერთდროული გახმოვანება. მათი დაკვირვება შესაძლებელია ოსილოსკოპის გამოყენებით, როდესაც ერთსა და იმავე სიხშირეზე მორგებული ორი გენერატორის ჰარმონიული რხევების დამატებისას. ორივე შემთხვევაში, რხევის წყაროების სიხშირე ოდნავ განსხვავდებიან, რაც გამოიწვევს დარტყმას.

ვინაიდან რხევები ხდება სხვადასხვა სიხშირეზე, დამატებული რხევების ფაზური სხვაობა იცვლება დროთა განმავლობაში, შესაბამისად, რხევები არ არის თანმიმდევრული. შედეგად მიღებული რხევების ამპლიტუდის დროში ცვლილება დამატებული რხევების არათანმიმდევრულობის დამახასიათებელი შედეგია..

რხევების დამატება ძალიან ხშირად შეინიშნება ელექტრულ სქემებში და, კერძოდ, რადიოკავშირის მოწყობილობებში. ზოგიერთ შემთხვევაში, ეს კეთდება მიზანმიმართულად, რათა მიიღოთ სიგნალი მითითებული პარამეტრებით. ასე, მაგალითად, ჰეტეროდინულ მიმღებში მიღებულ სიგნალს ემატება (ურევა) ლოკალური ოსცილატორის სიგნალი, რათა შემდგომი დამუშავების შედეგად მივიღოთ შუალედური სიხშირის რხევა. სხვა შემთხვევებში, რხევების დამატება ხდება სპონტანურად, როდესაც სასარგებლო სიგნალის გარდა, მოწყობილობის შეყვანისას მიიღება რაიმე სახის ჩარევა. სინამდვილეში, ელექტრული სიგნალების ფორმის მთელი მრავალფეროვნება არის ორი ან მეტი ჰარმონიული რხევის დამატების შედეგი.

ერთსა და იმავე სხეულს შეუძლია ერთდროულად მონაწილეობა მიიღოს ორ ან მეტ მოძრაობაში. მარტივი მაგალითია ჰორიზონტის კუთხით აგდებული ბურთის მოძრაობა. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ბურთი მონაწილეობს ორ დამოუკიდებელ ურთიერთ პერპენდიკულარულ მოძრაობაში: ჰორიზონტალურად ერთგვაროვანი და ვერტიკალურად თანაბრად ცვლადი. ერთსა და იმავე სხეულს (მატერიალურ წერტილს) შეუძლია მონაწილეობა მიიღოს რხევითი ტიპის ორ (ან მეტ) მოძრაობაში.

ქვეშ ვიბრაციების დამატებაგაიგეთ მიღებული რხევის კანონის განმარტება, თუ რხევითი სისტემა ერთდროულად მონაწილეობს რამდენიმე რხევის პროცესში. არსებობს ორი შემზღუდველი შემთხვევა - ერთი მიმართულების რხევების დამატება და ურთიერთ პერპენდიკულარული რხევების დამატება.

2.1. ერთი მიმართულების ჰარმონიული რხევების დამატება

1. ერთი და იმავე მიმართულების ორი რხევის შეკრება(თანმიმართული ვიბრაციები)

შეიძლება გაკეთდეს ვექტორული დიაგრამის მეთოდის გამოყენებით (სურათი 9) ორი განტოლების დამატების ნაცვლად.

ნახაზი 2.1 გვიჩვენებს ამპლიტუდის ვექტორებს მაგრამ 1(t) და მაგრამ 2 (t) ჯამური რხევები თვითნებურ დროს t, როდესაც ამ რხევების ფაზები შესაბამისად ტოლია და . რხევების დამატება მცირდება განსაზღვრებამდე . გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ ვექტორულ დიაგრამაში დამატებული ვექტორების პროგნოზების ჯამი უდრის ამ ვექტორების ვექტორული ჯამის პროექციას.

შედეგად მიღებული რხევა ვექტორულ დიაგრამაზე შეესაბამება ამპლიტუდის ვექტორს და ფაზას.

სურათი 2.1 - თანამიმართული ვიბრაციების დამატება.

ვექტორული სიდიდე მაგრამ(t) შეიძლება მოიძებნოს კოსინუსების თეორემის გამოყენებით:

შედეგად მიღებული რხევის ფაზა მოცემულია ფორმულით:

.

თუ დამატებული რხევების ω 1 და ω 2 სიხშირეები არ არის ტოლი, მაშინ ფაზა φ(t) და ამპლიტუდა მაგრამ(ტ) შედეგად მიღებული რყევა დროთა განმავლობაში შეიცვლება. დამატებულ ვიბრაციას ე.წ არათანმიმდევრულიამ შემთხვევაში.

2. ორი ჰარმონიული რხევა x 1 და x 2 ეწოდება თანმიმდევრულითუ მათი ფაზური განსხვავება დროზე არ არის დამოკიდებული:

მაგრამ რადგან ამ ორი რხევის თანმიმდევრულობის პირობის შესასრულებლად მათი ციკლური სიხშირეები ტოლი უნდა იყოს.

მიღებული რხევის ამპლიტუდა, რომელიც მიღებულია თანამიმართული რხევების მიმატებით თანაბარი სიხშირით (თანმიმდევრული რხევები) უდრის:

შედეგად მიღებული რხევის საწყისი ფაზა ადვილად შეიძლება ვიპოვოთ ვექტორების პროექციის გზით მაგრამ 1 და მაგრამ 2 კოორდინატთა ღერძებზე OX და OY (იხ. სურათი 9):

.

Ისე, შედეგად მიღებული რხევა, რომელიც მიღებულია ორი ჰარმონიული თანამიმართული რხევის მიმატებით თანაბარი სიხშირით, ასევე ჰარმონიული რხევა.

3. ვიკვლევთ მიღებული რხევის ამპლიტუდის დამოკიდებულებას დამატებული რხევების საწყის ფაზების სხვაობაზე.

თუ , სადაც n არის ნებისმიერი არაუარყოფითი მთელი რიცხვი

(n = 0, 1, 2…), შემდეგ მინიმალური. დამატებული ვიბრაციები დამატების მომენტში იყო ფაზის გარეთ. ზე, შედეგად ამპლიტუდა არის ნული.

Თუ , მაშინ , ე.ი. შედეგად ამპლიტუდა იქნება მაქსიმუმ. დამატების მომენტში დამატებული რხევები იყო ერთ ფაზაში, ე.ი. ფაზაში იყვნენ. თუ დამატებული რხევების ამპლიტუდები ერთნაირია , მაშინ .

4. თანამიმართული ვიბრაციების დამატება არათანაბარი, მაგრამ ახლო სიხშირეებით.

დამატებული რხევების სიხშირეები არა ტოლია, არამედ სიხშირის სხვაობა ორივე ω 1 და ω 2 გაცილებით მცირეა. დამატებული სიხშირეების სიახლოვის პირობა იწერება მიმართებით.

ახლო სიხშირეებით თანამიმართული რხევების დამატების მაგალითია ჰორიზონტალური ზამბარის ქანქარის მოძრაობა, რომლის ზამბარის სიმტკიცე ოდნავ განსხვავდება k 1 და k 2 .

დაე, დამატებული რხევების ამპლიტუდები იყოს იგივე და საწყისი ფაზები ნულის ტოლია. შემდეგ დამატებული რხევების განტოლებებს აქვთ ფორმა:

, .

შედეგად მიღებული რხევა აღწერილია განტოლებით:

მიღებული რხევის განტოლება დამოკიდებულია ორი ჰარმონიული ფუნქციის ნამრავლზე: ერთი სიხშირით , მეორე - სიხშირით , სადაც ω ახლოსაა დამატებული რხევების სიხშირეებთან (ω 1 ან ω 2). შედეგად მიღებული რხევა შეიძლება ჩაითვალოს როგორც ჰარმონიული რხევა ჰარმონიულად ცვალებადი ამპლიტუდით.ამ რხევის პროცესს ე.წ სცემს. მკაცრად რომ ვთქვათ, შედეგად მიღებული რხევა ზოგადად არ არის ჰარმონიული რხევა.

კოსინუსის აბსოლუტური მნიშვნელობა აღებულია, რადგან ამპლიტუდა დადებითი მნიშვნელობაა. დამოკიდებულების ბუნება x res. დარტყმებისთვის ნაჩვენებია სურათზე 2.2.

სურათი 2.2 - გადაადგილების დამოკიდებულება დროზე დარტყმების დროს.

დარტყმის ამპლიტუდა ნელა იცვლება სიხშირით. კოსინუსის აბსოლუტური მნიშვნელობა მეორდება, თუ მისი არგუმენტი იცვლება π-ით, მაშინ მიღებული ამპლიტუდის მნიშვნელობა განმეორდება გარკვეული პერიოდის შემდეგ τ b, ე.წ. დარტყმის პერიოდი(იხ. სურათი 12). დარტყმის პერიოდის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ურთიერთობიდან:

ღირებულება არის დარტყმის პერიოდი.

ღირებულება არის მიღებული რხევის პერიოდი (სურათი 2.4).

2.2. ორმხრივი პერპენდიკულარული ვიბრაციების დამატება

1. მოდელი, რომელსაც შეუძლია ორმხრივი პერპენდიკულარული ვიბრაციების დამატების დემონსტრირება, ნაჩვენებია ნახაზზე 2.3. ქანქარას (მასობრივი წერტილის m) შეუძლია რხევა OX და OY ღერძების გასწვრივ ორი ​​დრეკადი ძალის მოქმედებით, რომლებიც მიმართულია ერთმანეთის პერპენდიკულურად.

სურათი 2.3

შეჯამებულ რხევებს აქვთ ფორმა:

რხევის სიხშირეები განისაზღვრება როგორც , , სადაც , არის ზამბარის სიხისტის კოეფიციენტები.

2. განვიხილოთ ორის მიმატების შემთხვევა ორმხრივი პერპენდიკულარული ვიბრაციები იგივე სიხშირეებით , რომელიც შეესაბამება მდგომარეობას (იგივე ზამბარები). შემდეგ დამატებული რხევების განტოლებები მიიღებს ფორმას:

როდესაც წერტილი მონაწილეობს ორ მოძრაობაში ერთდროულად, მისი ტრაექტორია შეიძლება იყოს განსხვავებული და საკმაოდ რთული. OXY სიბრტყეზე მიღებული ვიბრაციების ტრაექტორიის განტოლება, როდესაც ემატება ორი ერთმანეთის პერპენდიკულური თანაბარი სიხშირით, შეიძლება განისაზღვროს x და y საწყისი განტოლებიდან t დროის გამოკლებით:

ტრაექტორიის ტიპი განისაზღვრება დამატებული რხევების საწყის ფაზების სხვაობით, რაც დამოკიდებულია საწყის პირობებზე (იხ. § 1.1.2). განიხილეთ შესაძლო ვარიანტები.

და თუ , სადაც n = 0, 1, 2…, ე.ი. ჯამური რხევები ფაზაშია, მაშინ ტრაექტორიის განტოლება მიიღებს ფორმას:

(სურათი 2.3 ა).

სურათი 2.3.ა	სურათი 2.3 ბ

ბ) თუ (n = 0, 1, 2…), ე.ი. ჯამური რხევები ანტიფაზაშია, მაშინ ტრაექტორიის განტოლება იწერება შემდეგნაირად:

(სურათი 2.3b).

ორივე შემთხვევაში (a, b) წერტილის შედეგად მოძრაობა ირხევა სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელიც გადის O წერტილში. შედეგად მიღებული რხევის სიხშირე უდრის დამატებული რხევების სიხშირეს ω 0, ამპლიტუდა განისაზღვრება თანაფარდობა.