ექვსკუთხედის შემოხაზული წრის რადიუსი. რეგულარული ექვსკუთხედი: რატომ არის საინტერესო და როგორ ავაშენოთ იგი

იცით, როგორ გამოიყურება ჩვეულებრივი ექვსკუთხედი?
ეს კითხვა შემთხვევით არ დაისვა. მე-11 კლასის მოსწავლეთა უმეტესობამ არ იცის ამაზე პასუხი.

რეგულარული ექვსკუთხედი არის ის, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია და ყველა კუთხე ასევე თანაბარია..

რკინის კაკალი. ფიფქია. თაფლის უჯრედი, რომელშიც ფუტკრები ცხოვრობენ. ბენზოლის მოლეკულა. რა საერთო აქვთ ამ ობიექტებს? - ის ფაქტი, რომ მათ ყველას აქვს რეგულარული ექვსკუთხა ფორმა.

ბევრი სკოლის მოსწავლე იკარგება, როდესაც ხედავს ამოცანებს ჩვეულებრივი ექვსკუთხედისთვის და თვლიან, რომ მათ გადასაჭრელად სპეციალური ფორმულებია საჭირო. ასეა?

დახაზეთ რეგულარული ექვსკუთხედის დიაგონალები. მივიღეთ ექვსი ტოლგვერდა სამკუთხედი.

ჩვენ ვიცით, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი არის .

მაშინ რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი ექვსჯერ დიდია.

სად არის რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ რეგულარულ ექვსკუთხედში მანძილი მისი ცენტრიდან რომელიმე წვერომდე იგივეა და ტოლია რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდის.

ეს ნიშნავს, რომ წრის რადიუსი, რომელიც შემოიფარგლება რეგულარული ექვსკუთხედის გარშემო, ტოლია მისი მხარის.
ჩვეულებრივ ექვსკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსის პოვნა ადვილია.
ის თანაბარია.
ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გადაჭრათ USE-ის ნებისმიერი პრობლემა, რომელშიც ჩნდება რეგულარული ექვსკუთხედი.

იპოვეთ წრის რადიუსი, რომელიც ჩაწერილია გვერდით სწორ ექვსკუთხედში.

ასეთი წრის რადიუსი არის .

პასუხი:.

რა არის 6-ის რადიუსის მქონე წრეში ჩაწერილი რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდი?

ჩვენ ვიცით, რომ რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდი უდრის მის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსს.

ყველაზე ცნობილი ფიგურა ოთხზე მეტი კუთხით არის რეგულარული ექვსკუთხედი. გეომეტრიაში მას ხშირად იყენებენ პრობლემებში. ცხოვრებაში კი სწორედ ეს არის თაფლის საჭრელი.

რით განსხვავდება ის არასწორისგან?

პირველი, ექვსკუთხედი არის ფიგურა 6 წვერით. მეორეც, ის შეიძლება იყოს ამოზნექილი ან ჩაზნექილი. პირველი განსხვავდება იმით, რომ ოთხი წვერო დევს სწორი ხაზის ერთ მხარეს, რომელიც გავლებულია დანარჩენი ორიდან.

მესამე, რეგულარული ექვსკუთხედი ხასიათდება იმით, რომ მისი ყველა მხარე თანაბარია. უფრო მეტიც, ფიგურის თითოეულ კუთხეს აქვს იგივე მნიშვნელობა. მისი ყველა კუთხის ჯამის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა: 180º * (n - 2). აქ n არის ფიგურის წვეროების რაოდენობა, ანუ 6. მარტივი გამოთვლა იძლევა 720º მნიშვნელობას. ასე რომ, თითოეული კუთხე არის 120 გრადუსი.

ყოველდღიურ საქმიანობაში ჩვეულებრივი ექვსკუთხედი გვხვდება ფიფქსა და თხილში. ქიმიკოსები მას ბენზოლის მოლეკულაშიც კი ხედავენ.

რა თვისებები უნდა იცოდეთ პრობლემების გადაჭრისას?

ზემოთ ნათქვამს უნდა დაემატოს:

ცენტრში გამოყვანილი ფიგურის დიაგონალები ყოფს მას ექვს სამკუთხედად, რომლებიც ტოლგვერდაა;
რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდს აქვს მნიშვნელობა, რომელიც ემთხვევა მის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსს;
ასეთი ფიგურის გამოყენებით, შესაძლებელია თვითმფრინავის შევსება და მათ შორის არ იქნება ხარვეზები და გადახურვები.

გააცნო აღნიშვნა

ტრადიციულად, რეგულარული გეომეტრიული ფიგურის მხარე აღინიშნება ლათინური ასო "a"-ით. პრობლემების გადასაჭრელად ასევე საჭიროა ფართობი და პერიმეტრი, ეს არის S და P, შესაბამისად. წრე იწერება რეგულარულ ექვსკუთხედში ან შემოხაზულია მის გარშემო. შემდეგ შეიყვანება მათი რადიუსების მნიშვნელობები. ისინი, შესაბამისად, აღინიშნება ასოებით r და R.

ზოგიერთ ფორმულაში ჩნდება შიდა კუთხე, ნახევარპერიმეტრი და აპოთემა (რომელიც მრავალკუთხედის ცენტრიდან რომელიმე მხარის შუაზე პერპენდიკულარულია). მათთვის გამოიყენება ასოები: α, p, m.

ფორმულები, რომლებიც აღწერენ ფორმას

ჩაწერილი წრის რადიუსის გამოსათვლელად გჭირდებათ ეს: r= (a * √3) / 2, და r = m. ანუ იგივე ფორმულა იქნება აპოთემისთვის.

ვინაიდან ექვსკუთხედის პერიმეტრი ყველა გვერდის ჯამია, ის შემდეგნაირად იქნება განსაზღვრული: P = 6 * ა. იმის გათვალისწინებით, რომ გვერდი უდრის შემოხაზული წრის რადიუსს, პერიმეტრზე არის ასეთი ფორმულა რეგულარული ექვსკუთხედისთვის: P \u003d 6 * R. ჩაწერილი წრის რადიუსისთვის მოცემულიდან, ურთიერთობა ა. და r არის მიღებული. შემდეგ ფორმულა იღებს შემდეგ ფორმას: Р = 4 r * √3.

რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობისთვის, ეს შეიძლება გამოდგება: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Დავალებები

No 1. მდგომარეობა.არის რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა, რომლის თითოეული კიდე 4 სმ-ის ტოლია, მასში ჩაწერილია ცილინდრი, რომლის მოცულობა უნდა განისაზღვროს.

გადაწყვეტილება.ცილინდრის მოცულობა განისაზღვრება, როგორც ფუძის ფართობისა და სიმაღლის პროდუქტი. ეს უკანასკნელი ემთხვევა პრიზმის კიდეს. და ის უდრის რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდს. ანუ ცილინდრის სიმაღლეც 4 სმ-ია.

მისი ფუძის ფართობის გასარკვევად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ექვსკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი. ამის ფორმულა ნაჩვენებია ზემოთ. ასე რომ r = 2√3 (სმ). შემდეგ წრის ფართობი: S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (სმ 2).

უპასუხე. V \u003d 150,72 სმ 3.

No 2. მდგომარეობა.გამოთვალეთ წრის რადიუსი, რომელიც ჩაწერილია ჩვეულებრივ ექვსკუთხედში. ცნობილია, რომ მისი გვერდი √3 სმ. როგორი იქნება მისი პერიმეტრი?

გადაწყვეტილება.ეს ამოცანა მოითხოვს ზემოთ ჩამოთვლილი ორი ფორმულის გამოყენებას. უფრო მეტიც, ისინი უნდა იქნას გამოყენებული თუნდაც ცვლილების გარეშე, უბრალოდ შეცვალეთ მხარის მნიშვნელობა და გამოთვალეთ.

ამგვარად, ჩაწერილი წრის რადიუსი გამოდის 1,5 სმ, პერიმეტრზე მართებულია შემდეგი მნიშვნელობა: 6√3 სმ.

უპასუხე. r = 1,5 სმ, Р = 6√3 სმ.

No 3. მდგომარეობა.შემოხაზული წრის რადიუსი 6 სმ. რა მნიშვნელობა ექნება ამ შემთხვევაში წესიერი ექვსკუთხედის გვერდს?

გადაწყვეტილება.ექვსკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსის ფორმულიდან ადვილად მიიღება ის, რომლითაც გვერდი უნდა გამოითვალოს. გასაგებია, რომ რადიუსი მრავლდება ორზე და იყოფა სამზე ფესვზე. აუცილებელია მნიშვნელში არსებული ირაციონალურობის მოშორება. ამრიგად, მოქმედებების შედეგი იღებს შემდეგ ფორმას: (12 √3) / (√3 * √3), ანუ 4√3.

უპასუხე. a = 4√3 სმ.

ჩვენ ვიცით, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი არის .

მაშინ რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი ექვსჯერ დიდია.

სად არის რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდი.

იპოვეთ წრის რადიუსი, რომელიც ჩაწერილია გვერდით სწორ ექვსკუთხედში.

ასეთი წრის რადიუსი არის .

პასუხი:.

რა არის 6-ის რადიუსის მქონე წრეში ჩაწერილი რეგულარული ექვსკუთხედის გვერდი?

შენთან ახლოს არის ფანქარი? შეხედეთ მის მონაკვეთს - ეს არის რეგულარული ექვსკუთხედი ან, როგორც მას ასევე უწოდებენ, ექვსკუთხედი. ასეთი ფორმა აქვს თხილის, ექვსკუთხა ჭადრაკის ველს, ნახშირბადის ზოგიერთ რთულ მოლეკულას (მაგალითად, გრაფიტს), ფიფქს, თაფლის ნაწილს და სხვა საგნებს. ახლახანს აღმოაჩინეს გიგანტური რეგულარული ექვსკუთხედი. არ გამოიყურება უცნაური, რომ ბუნება ასე ხშირად იყენებს ამ კონკრეტული ფორმის სტრუქტურებს თავისი შემოქმედებისთვის? მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ.

რეგულარული ექვსკუთხედი არის მრავალკუთხედი ექვსი თანაბარი გვერდით და თანაბარი კუთხით. სკოლის კურსიდან ჩვენ ვიცით, რომ მას აქვს შემდეგი თვისებები:

მისი გვერდების სიგრძე შეესაბამება შემოხაზული წრის რადიუსს. ყველაფერში მხოლოდ ჩვეულებრივ ექვსკუთხედს აქვს ეს თვისება.
კუთხეები ერთმანეთის ტოლია და თითოეულის სიდიდე 120 °.
ექვსკუთხედის პერიმეტრი შეიძლება ვიპოვოთ ფორმულით Р=6*R, თუ ცნობილია მის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი, ან Р=4*√(3)*r, თუ წრე ჩაწერილია მასში. R და r არის შემოხაზული და შემოხაზული წრეების რადიუსი.
რეგულარული ექვსკუთხედის მიერ დაკავებული ფართობი განისაზღვრება შემდეგნაირად: S=(3*√(3)*R 2)/2. თუ რადიუსი უცნობია, მის ნაცვლად ერთ-ერთი გვერდის სიგრძეს ვცვლით - მოგეხსენებათ, ის შეესაბამება შემოხაზული წრის რადიუსის სიგრძეს.

რეგულარულ ექვსკუთხედს აქვს ერთი საინტერესო თვისება, რის გამოც იგი ასე გავრცელდა ბუნებაში - მას შეუძლია შეავსოს თვითმფრინავის ნებისმიერი ზედაპირი გადახურვებისა და ხარვეზების გარეშე. არსებობს თუნდაც ეგრეთ წოდებული პალ ლემა, რომლის მიხედვითაც რეგულარული ექვსკუთხედი, რომლის გვერდი უდრის 1/√(3) არის უნივერსალური საბურავი, ანუ მას შეუძლია დაფაროს ნებისმიერი ნაკრები, რომლის დიამეტრი ერთი ერთეულია.

ახლა განიხილეთ რეგულარული ექვსკუთხედის აგება. არსებობს რამდენიმე გზა, რომელთაგან უმარტივესი კომპასის, ფანქრისა და სახაზავის გამოყენებაა. ჯერ კომპასით ვხატავთ თვითნებურ წრეს, შემდეგ ამ წრეზე თვითნებურ ადგილას ვაკეთებთ წერტილს. კომპასის ამონახსნის შეუცვლელად ვასხამთ ამ წერტილს წვერი, ვნიშნავთ წრეზე მომდევნო ჭრილს, ვაგრძელებთ ასე სანამ არ მივიღებთ 6-ვე ქულას. ახლა რჩება მხოლოდ მათი ერთმანეთთან დაკავშირება სწორი სეგმენტებით და სასურველი ფიგურა გამოვა.

პრაქტიკაში, არის დრო, როდესაც საჭიროა დიდი ექვსკუთხედის დახატვა. მაგალითად, ორდონიანი თაბაშირის მუყაოს ჭერზე, ცენტრალური ჭაღის მიმაგრების ადგილის გარშემო, ქვედა დონეზე უნდა დააყენოთ ექვსი პატარა ნათურა. ამ ზომის კომპასის პოვნა ძალიან, ძალიან რთული იქნება. როგორ მოვიქცეთ ამ შემთხვევაში? როგორ დავხატოთ დიდი წრე? Ძალიან მარტივი. თქვენ უნდა აიღოთ სასურველი სიგრძის ძლიერი ძაფი და მიამაგროთ მისი ერთი ბოლო ფანქრის საპირისპიროდ. ახლა რჩება მხოლოდ ასისტენტის პოვნა, რომელიც სწორ წერტილში დააჭერს ძაფის მეორე ბოლოს ჭერზე. რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში შესაძლებელია მცირე შეცდომები, მაგრამ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ისინი შესამჩნევი იქნება აუტსაიდერისთვის.

წრეში ჩაწერილი რეგულარული ექვსკუთხედის კონსტრუქცია.ექვსკუთხედის აგება ემყარება იმ ფაქტს, რომ მისი გვერდი უდრის შემოხაზული წრის რადიუსს. ამიტომ ასაგებად საკმარისია წრე ექვს თანაბარ ნაწილად გავყოთ და ნაპოვნი წერტილები ერთმანეთს დავუკავშიროთ (სურ. 60, ა).

რეგულარული ექვსკუთხედის აგება შესაძლებელია T-კვადრატისა და 30X60° კვადრატის გამოყენებით. ამ კონსტრუქციის შესასრულებლად ვიღებთ წრის ჰორიზონტალურ დიამეტრს 1 და 4 კუთხეების ბისექტრად (სურ. 60, ბ), ვაშენებთ გვერდებს 1-6, 4-3, 4-5 და 7-2, რის შემდეგაც ვაკეთებთ. გააფორმეთ მხარეები 5-6 და 3-2.

წრეში ჩაწერილი ტოლგვერდა სამკუთხედის აგება. ასეთი სამკუთხედის წვეროები შეიძლება აშენდეს კომპასისა და კვადრატის გამოყენებით 30 და 60 ° კუთხით, ან მხოლოდ ერთი კომპასით.

განვიხილოთ წრეში ჩაწერილი ტოლგვერდა სამკუთხედის აგების ორი გზა.

პირველი გზა(ნახ. 61, ა) ემყარება იმ ფაქტს, რომ 7, 2, 3 სამკუთხედის სამივე კუთხე შეიცავს 60 °-ს, ხოლო 7 წერტილის გავლით გავლებული ვერტიკალური ხაზი არის 1 კუთხის სიმაღლეც და ბისექტრიც. ვინაიდან კუთხე 0-1-2 უდრის 30°-ს, შემდეგ გვერდის პოვნა

1-2, საკმარისია 30 ° კუთხის აშენება 1 წერტილზე და 0-1 მხარეს. ამისათვის დააყენეთ T-კვადრატი და კვადრატი, როგორც ნაჩვენებია ფიგურაში, დახაზეთ ხაზი 1-2, რომელიც იქნება სასურველი სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი. 2-3 მხარის ასაგებად დააყენეთ T-კვადრატი იმ პოზიციაზე, რომელიც ნაჩვენებია წყვეტილი ხაზებით და გაავლეთ სწორი ხაზი მე-2 წერტილში, რომელიც განსაზღვრავს სამკუთხედის მესამე წვეროს.

მეორე გზაემყარება იმ ფაქტს, რომ თუ თქვენ ააგებთ წრიულად ჩაწერილ რეგულარულ ექვსკუთხედს და შემდეგ დააკავშირებთ მის წვეროებს ერთის მეშვეობით, მიიღებთ ტოლგვერდა სამკუთხედს.

სამკუთხედის ასაგებად (სურ. 61, ბ), დიამეტრზე ვნიშნავთ წვერო-პუნქტს 1 და ვხაზავთ დიამეტრულ ხაზს 1-4. გარდა ამისა, მე-4 წერტილიდან D/2-ის ტოლი რადიუსით, ჩვენ აღვწერთ რკალს, სანამ ის არ გადაიკვეთება წრესთან მე-3 და მე-2 წერტილებში. შედეგად მიღებული წერტილები იქნება სასურველი სამკუთხედის ორი სხვა წვერო.

წრეში ჩაწერილი კვადრატის აგება. ეს მშენებლობა შეიძლება გაკეთდეს კვადრატისა და კომპასის გამოყენებით.

პირველი მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ კვადრატის დიაგონალები იკვეთება შემოხაზული წრის ცენტრში და მიდრეკილია მისი ღერძებისკენ 45° კუთხით. ამის საფუძველზე ჩვენ ვამონტაჟებთ T-კვადრატს და კვადრატს 45 ° კუთხით, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 62, a და მონიშნეთ 1 და 3 წერტილები. შემდგომ ამ წერტილების მეშვეობით ვხატავთ კვადრატის ჰორიზონტალურ გვერდებს 4-1 და 3-2 T კვადრატის დახმარებით. შემდეგ, კვადრატის ფეხის გასწვრივ T-კვადრატის გამოყენებით, ვხატავთ კვადრატის ვერტიკალურ გვერდებს 1-2 და 4-3.

მეორე მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ კვადრატის წვეროები კვეთს დიამეტრის ბოლოებს შორის შემოსაზღვრული წრის რკალებს (სურ. 62, ბ). ჩვენ აღვნიშნავთ A, B და C წერტილებს ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული დიამეტრის ბოლოებზე და მათგან y რადიუსით აღვწერთ რკალებს, სანამ ისინი არ იკვეთება.

გარდა ამისა, რკალების გადაკვეთის წერტილების მეშვეობით ვხატავთ დამხმარე ხაზებს, რომლებიც ფიგურაზე აღინიშნება მყარი ხაზებით. მათი გადაკვეთის წერტილები წრესთან განსაზღვრავს წვეროებს 1 და 3; 4 და 2. ამ გზით მიღებული სასურველი კვადრატის წვეროები სერიულად არის დაკავშირებული ერთმანეთთან.

წრეში ჩაწერილი რეგულარული ხუთკუთხედის კონსტრუქცია.

რეგულარული ხუთკუთხედის წრეში ჩასაწერად (სურ. 63) ვაკეთებთ შემდეგ კონსტრუქციებს.

წრეზე აღვნიშნავთ 1 წერტილს და ვიღებთ მას ხუთკუთხედის ერთ-ერთ წვეროდ. გაყავით სეგმენტი AO შუაზე. ამისთვის A წერტილიდან AO რადიუსით აღვწერთ რკალს მანამ, სანამ ის არ გადაიკვეთება წრესთან M და B წერტილებში. ამ წერტილების სწორ ხაზთან შეერთებით მივიღებთ K წერტილს, რომელსაც შემდეგ ვუკავშირებთ 1 წერტილს. A7 სეგმენტის ტოლი რადიუსით, ჩვენ აღვწერთ რკალს K წერტილიდან AO დიამეტრული ხაზის კვეთამდე H წერტილში. 1 წერტილის შეერთებით H წერტილით, ვიღებთ ხუთკუთხედის მხარეს. შემდეგ, კომპასის გახსნით, რომელიც ტოლია 1H სეგმენტის, აღწერით რკალი 1 წვეროდან წრეზე კვეთამდე, ვპოულობთ 2 და 5 წვეროებს. 2 და 5 წვეროებიდან სერიების გაკეთება იმავე კომპასის გახსნით, ვიღებთ დარჩენილი წვეროები 3 და 4. ნაპოვნ წერტილებს თანმიმდევრულად ვაკავშირებთ ერთმანეთთან.

რეგულარული ხუთკუთხედის მშენებლობა მისი მხრიდან.

მისი მოცემული მხარის გასწვრივ რეგულარული ხუთკუთხედის ასაგებად (სურ. 64), AB სეგმენტს ვყოფთ ექვს თანაბარ ნაწილად. A და B წერტილებიდან AB რადიუსით აღვწერთ რკალებს, რომელთა გადაკვეთა მიიღება წერტილი K. ამ წერტილის და AB წრფეზე 3 გაყოფის გავლით ვხატავთ ვერტიკალურ ხაზს.

ვიღებთ ხუთკუთხედის 1 წვეროს. შემდეგ, AB-ის ტოლი რადიუსით, 1 წერტილიდან აღვწერთ რკალს A და B წერტილებიდან ადრე გამოყვანილ რკალებთან კვეთამდე. რკალის გადაკვეთის წერტილები განსაზღვრავს 2 და 5 ხუთკუთხედის წვეროებს. ვაკავშირებთ ნაპოვნი წვეროები სერიებში ერთმანეთთან.

წრეში ჩაწერილი რეგულარული შვიდკუთხედის კონსტრუქცია.

მოცემული იყოს D დიამეტრის წრე; თქვენ უნდა ჩაწეროთ მასში რეგულარული შვიდკუთხედი (სურ. 65). წრის ვერტიკალური დიამეტრი გაყავით შვიდ თანაბარ ნაწილად. მე-7 წერტილიდან D წრის დიამეტრის ტოლი რადიუსით აღვწერთ რკალს, სანამ ის არ გადაიკვეთება F წერტილში ჰორიზონტალური დიამეტრის გაგრძელებასთან. F წერტილს მრავალკუთხედის პოლუსი ეწოდება. VII წერტილის შვიდკუთხედის ერთ-ერთ წვეროდ ავიღებთ სხივებს F პოლუსიდან ვერტიკალური დიამეტრის ლუწი განყოფილებების გავლით, რომელთა გადაკვეთა წრესთან განსაზღვრავს შვიდკუთხედის VI, V და IV წვეროებს. IV, V და VI წერტილებიდან წვეროების მისაღებად / - // - /// ვხაზავთ ჰორიზონტალურ ხაზებს, სანამ ისინი არ გადაიკვეთება წრეზე. ნაპოვნი წვეროებს სერიულად ვუკავშირებთ ერთმანეთს. შვიდკუთხედი შეიძლება აშენდეს F პოლუსიდან სხივების დახატვით და ვერტიკალური დიამეტრის უცნაური განყოფილებებით.

ზემოაღნიშნული მეთოდი შესაფერისია ნებისმიერი რაოდენობის გვერდით რეგულარული მრავალკუთხედების ასაგებად.

წრის დაყოფა ნებისმიერი რაოდენობის თანაბარ ნაწილად ასევე შეიძლება განხორციელდეს ცხრილის მონაცემების გამოყენებით. 2, რომელიც აჩვენებს კოეფიციენტებს, რომლებიც შესაძლებელს ხდის განისაზღვროს რეგულარული ჩაწერილი მრავალკუთხედების გვერდების ზომები.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

რით განსხვავდება ის არასწორისგან?

რა თვისებები უნდა იცოდეთ პრობლემების გადაჭრისას?

გააცნო აღნიშვნა

ფორმულები, რომლებიც აღწერენ ფორმას

Დავალებები

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ