ეს სტატია შეიცავს მასალას თემაზე " კვადრატული უტოლობების ამოხსნა". ჯერ ნაჩვენებია რა არის კვადრატული უტოლობა ერთ ცვლადთან, მოცემულია მათი ზოგადი ფორმა. შემდეგ კი დეტალურად არის გაანალიზებული, თუ როგორ უნდა ამოხსნას კვადრატული უტოლობა. ნაჩვენებია ამოხსნის ძირითადი მიდგომები: გრაფიკული მეთოდი, ინტერვალების მეთოდი და უტოლობის მარცხენა მხარეს ბინომის კვადრატის ხაზგასმით. მოცემულია ტიპიური მაგალითების გადაწყვეტილებები.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის კვადრატული უტოლობა?

ბუნებრივია, სანამ კვადრატული უტოლობების ამოხსნაზე ვისაუბრებთ, ნათლად უნდა გვესმოდეს, რა არის კვადრატული უტოლობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა შეგეძლოთ განასხვავოთ კვადრატული უტოლობები სხვა ტიპის უტოლობებისაგან ჩანაწერის ტიპის მიხედვით.

განმარტება.

კვადრატული უტოლობაარის a x 2 +b x+c ფორმის უტოლობა<0 (вместо знака >შეიძლება არსებობდეს ნებისმიერი სხვა უტოლობის ნიშანი ≤, >, ≥), სადაც a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი, და a≠0 და x არის ცვლადი (ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი სხვა ასოთი).

მოდით დაუყოვნებლივ მივცეთ სხვა სახელი კვადრატულ უტოლობებს - მეორე ხარისხის უთანასწორობა. ეს სახელი აიხსნება იმით, რომ უტოლობების მარცხენა მხარეს x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ხანდახან გაიგოთ, რომ კვადრატულ უტოლობას უწოდებენ კვადრატულ უტოლობას. ეს მთლად სწორი არ არის: „კვადრატულის“ განმარტება ეხება y=a x 2 +b x+c ფორმის განტოლებით მოცემულ ფუნქციებს. ასე რომ, არსებობს კვადრატული უტოლობა და კვადრატული ფუნქციები, მაგრამ არა კვადრატული უტოლობები.

ვნახოთ კვადრატული უტოლობების რამდენიმე მაგალითი: 5 x 2 −3 x+1>0 , აქ a=5 , b=−3 და c=1 ; −2,2 z 2 −0,5 z−11≤0, ამ კვადრატული უტოლობის კოეფიციენტებია a=−2,2 , b=−0,5 და c=−11 ; , ამ შემთხვევაში .

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული უტოლობის განსაზღვრისას x 2-ზე a კოეფიციენტი ითვლება არა ნულოვანი. ეს გასაგებია, a კოეფიციენტის ტოლობა ნულამდე რეალურად „ამოიღებს“ კვადრატს და საქმე გვექნება b x + c>0 ფორმის წრფივ უტოლობასთან ცვლადის კვადრატის გარეშე. მაგრამ b და c კოეფიციენტები შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, როგორც ცალკე, ისე ერთდროულად. აი ასეთი კვადრატული უტოლობების მაგალითები: x 2 −5≥0 , აქ კოეფიციენტი b ცვლადის x უდრის ნულს; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 და b და c არის ნული.

როგორ მოვაგვაროთ კვადრატული უტოლობა?

ახლა თქვენ შეიძლება გაგიკვირდეთ კითხვამ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ კვადრატული უტოლობა. ძირითადად, სამი ძირითადი მეთოდი გამოიყენება გადაჭრისთვის:

• გრაფიკული მეთოდი (ან, როგორც A.G. Mordkovich-ში, ფუნქციონალურ-გრაფიკული),
• ინტერვალის მეთოდი,
• და კვადრატული უტოლობების ამოხსნა მარცხენა მხარეს ბინომის კვადრატის ხაზგასმით.

გრაფიკულად

მოდით, დაუყოვნებლივ გავაკეთოთ დათქმა, რომ კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდს, რომლის განხილვას ვიწყებთ, ალგებრის სასკოლო სახელმძღვანელოებში გრაფიკული არ არის. თუმცა, არსებითად, ეს არის ის, რაც არის. უფრო მეტიც, პირველი გაცნობა უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული გზაჩვეულებრივ იწყება, როდესაც ჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა ამოხსნას კვადრატული უტოლობა.

კვადრატული უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული ხერხი a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) არის y=a x 2 +b x+c კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის ანალიზი, რათა ვიპოვოთ ის ინტერვალები, რომლებშიც მითითებული ფუნქცია იღებს უარყოფით, დადებით, არადადებით ან არაუარყოფით მნიშვნელობებს. ეს ინტერვალები ქმნიან a x 2 +b x+c კვადრატული უტოლობების ამონახსნებს.<0 , a·x 2 +b·x+c>0, x 2 +b x+c≤0 და x 2 +b x+c≥0 შესაბამისად.

ინტერვალის მეთოდი

ერთი ცვლადით კვადრატული უტოლობების ამოსახსნელად, გრაფიკული მეთოდის გარდა, საკმაოდ მოსახერხებელია ინტერვალის მეთოდი, რომელიც თავისთავად ძალიან მრავალმხრივია და შესაფერისია არა მხოლოდ კვადრატული, არამედ სხვადასხვა უტოლობათა გადასაჭრელად. მისი თეორიული მხარე მდგომარეობს მე-8, მე-9 კლასების ალგებრის კურსის მიღმა, როდესაც ისინი სწავლობენ კვადრატული უტოლობების ამოხსნას. აქედან გამომდინარე, აქ არ შევალთ ინტერვალის მეთოდის თეორიულ დასაბუთებაზე, არამედ გავამახვილებთ ყურადღებას იმაზე, თუ როგორ იხსნება კვადრატული უტოლობები მისი დახმარებით.

ინტერვალის მეთოდის არსი კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მიმართ a x 2 +b x + c<0 (≤, >, ≥), მოიცავს იმ ნიშნების განსაზღვრას, რომლებსაც აქვთ კვადრატული ტრინომის a x 2 + b x + c მნიშვნელობები იმ ინტერვალებზე, რომლებშიც კოორდინატთა ღერძი იყოფა ამ ტრინომის ნულებზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). მინუს ნიშნებით უფსკრული ადგენს a x 2 +b x+c კვადრატული უტოლობის ამონახსნებს.<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , ხოლო არამკაცრი უტოლობების ამოხსნისას მითითებულ ინტერვალებს ემატება ტრინომის ნულების შესაბამისი წერტილები.

თქვენ შეგიძლიათ გაეცნოთ ამ მეთოდის ყველა დეტალს, მის ალგორითმს, ნიშნების ინტერვალებზე დაყენების წესებს და განიხილოთ მზა გადაწყვეტილებები ტიპიური მაგალითებისთვის მოცემული ილუსტრაციებით, სტატიის მასალაზე, რომელიც ხსნის კვადრატულ უტოლობას ინტერვალის მეთოდით. .

ბინომის კვადრატის იზოლირებით

გარდა გრაფიკული მეთოდისა და ინტერვალის მეთოდისა, არსებობს სხვა მიდგომები, რომლებიც იძლევა კვადრატული უტოლობების ამოხსნის საშუალებას. და მივედით ერთ-ერთ მათგანთან, რომელიც ეფუძნება ბინომის კვადრატშიკვადრატული უტოლობის მარცხენა მხარეს.

კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ამ მეთოდის პრინციპია უტოლობის ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულება, რაც საშუალებას გაძლევთ გადავიდეთ (x−p) 2 ფორმის ეკვივალენტური უტოლობის ამოხსნაზე. , ≥), სადაც p და q არის რამდენიმე რიცხვი.

და როგორ ხდება გადასვლა უტოლობაზე (x−p) 2 , ≥) და როგორ ამოხსნათ იგი, სტატიის მასალა ხსნის კვადრატული უტოლობების ამოხსნას ბინომის კვადრატის ხაზგასმით. ასევე მოცემულია კვადრატული უტოლობების ამ გზით ამოხსნის მაგალითები და მოცემულია საჭირო გრაფიკული ილუსტრაციები.

კვადრატული უტოლობები

პრაქტიკაში, ძალიან ხშირად უწევთ საქმე უტოლობებს, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს x 2 +b x + c ფორმის კვადრატულ უტოლობამდე ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით.<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

დავიწყოთ უმარტივესი უტოლობების მაგალითებით, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს კვადრატამდე. ზოგჯერ კვადრატულ უტოლობაზე გადასასვლელად საკმარისია ამ უტოლობაში ტერმინების გადალაგება ან ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანა. მაგალითად, თუ ყველა წევრს 5≤2 x−3 x 2 უტოლობის მარჯვენა მხრიდან გადავიტანთ მარცხენა მხარეს, მაშინ მივიღებთ კვადრატულ უტოლობას ზემოთ მითითებული სახით 3 x 2 −2 x+5≤0. . კიდევ ერთი მაგალითი: 5+0,6 x 2 −x უტოლობის გადაწყობა მარცხენა მხარეს<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

სკოლაში, ალგებრის გაკვეთილებზე, როდესაც სწავლობენ კვადრატული უტოლობების ამოხსნას, ერთდროულად უმკლავდებიან რაციონალური უტოლობების ამოხსნაკვადრატამდე შემცირება. მათი ამოხსნა გულისხმობს ყველა ტერმინის მარცხენა მხარეს გადატანას იქ წარმოქმნილი გამოხატვის შემდგომი გარდაქმნით x 2 +b x + c სახით შესრულებით. განვიხილოთ მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ უტოლობის ამონახსნების ნაკრები 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .ირაციონალური უთანასწორობა უდრის x 2 −6 x−9 კვადრატულ უტოლობას<0 , а ლოგარითმული უტოლობა – უტოლობა x 2 +x−2≥0 .

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, სრ. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
• მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ .: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.

სანამ გაარკვიე როგორ ამოხსნათ კვადრატული უტოლობა, განვიხილოთ რა უტოლობას ჰქვია კვადრატი.

გახსოვდეს!

უთანასწორობა ეწოდება კვადრატი, თუ უცნობი "x"-ის უმაღლესი (უდიდესი) ძალა უდრის ორს.

მოდით ვივარჯიშოთ მაგალითების გამოყენებით უტოლობის ტიპის განსაზღვრაში.

როგორ ამოხსნათ კვადრატული უტოლობა

წინა გაკვეთილებზე განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ წრფივი უტოლობა. მაგრამ წრფივი უტოლობებისგან განსხვავებით, კვადრატული უტოლობები სულ სხვაგვარად წყდება.

Მნიშვნელოვანი!

შეუძლებელია კვადრატული უტოლობის ამოხსნა ისევე, როგორც წრფივი!

კვადრატული უტოლობის ამოსახსნელად გამოიყენება სპეციალური მეთოდი, რომელსაც ე.წ ინტერვალის მეთოდი.

რა არის ინტერვალის მეთოდი

ინტერვალის მეთოდიკვადრატული უტოლობების ამოხსნის სპეციალურ ხერხს უწოდებენ. ქვემოთ განვმარტავთ, როგორ გამოვიყენოთ ეს მეთოდი და რატომ არის ასე დასახელებული.

გახსოვდეს!

კვადრატული უტოლობის გადასაჭრელად ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით, საჭიროა:

ჩვენ გვესმის, რომ ზემოთ აღწერილი წესები ძნელია მხოლოდ თეორიულად აღქმადი, ამიტომ დაუყოვნებლივ განვიხილავთ კვადრატული უტოლობის ამოხსნის მაგალითს ზემოთ მოცემული ალგორითმის გამოყენებით.

საჭიროა კვადრატული უტოლობის ამოხსნა.

ახლა, როგორც ნათქვამია, დახაზეთ "თაღები" მონიშნულ წერტილებს შორის ინტერვალებზე.

ჩავდოთ ნიშნები ინტერვალებში. მარჯვნიდან მარცხნივ, მონაცვლეობით, დაწყებული "+", ჩვენ აღვნიშნავთ ნიშნებს.

ჩვენ უბრალოდ უნდა შევასრულოთ, ანუ შევარჩიოთ სასურველი ინტერვალები და ჩავწეროთ პასუხად. დავუბრუნდეთ ჩვენს უთანასწორობას.

ვინაიდან ჩვენს უთანასწორობაში x 2 + x − 12", ამიტომ გვჭირდება უარყოფითი ინტერვალები. მოდით დავჩრდილოთ ყველა უარყოფითი მხარე რიცხვით ღერძზე და ჩავწეროთ მათ პასუხში.

მხოლოდ ერთი ინტერვალი აღმოჩნდა უარყოფითი, რომელიც არის " −3" და "4" რიცხვებს შორის, ამიტომ პასუხად ვწერთ ორმაგ უტოლობად.
"-3".

ჩამოვწეროთ კვადრატული უტოლობის პასუხი.

პასუხი: -3

სხვათა შორის, ზუსტად იმიტომ, რომ კვადრატული უტოლობის ამოხსნისას ვითვალისწინებთ რიცხვებს შორის ინტერვალებს, რომ ინტერვალების მეთოდმა მიიღო სახელი.

პასუხის მიღების შემდეგ აზრი აქვს მის შემოწმებას, რათა დარწმუნდეთ, რომ გამოსავალი სწორია.

ავირჩიოთ ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც არის მიღებული პასუხის დაჩრდილულ ზონაში " −3" და ჩაანაცვლეთ "x"-ის ნაცვლად თავდაპირველ უტოლობაში. თუ მივიღებთ სწორ უტოლობას, მაშინ აღმოვაჩინეთ, რომ კვადრატულ უტოლობაზე პასუხი სწორია.

აიღეთ, მაგალითად, რიცხვი "0" ინტერვალიდან. ჩაანაცვლეთ იგი თავდაპირველი უტოლობით "x 2 + x − 12".

X 2 + x − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (სწორი)

სწორი უტოლობა მივიღეთ ამონახსნის ფართობიდან რიცხვის ჩანაცვლებისას, რაც ნიშნავს, რომ პასუხი სწორად იქნა ნაპოვნი.

ამოხსნის მოკლე აღნიშვნა ინტერვალების მეთოდით

კვადრატული უტოლობის ამოხსნის შემოკლებული ჩანაწერი " x 2 + x − 12” ინტერვალების მეთოდი ასე გამოიყურება:

X 2 + x − 12
x2 + x − 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2

x 2 = 1 − 7 2

x 1 = 8 2

x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x2 = 0 პასუხი: x ≤ 0 ; x ≥ 1 2 განვიხილოთ მაგალითი, სადაც არის უარყოფითი კოეფიციენტი "x 2"-ის წინ კვადრატულ უტოლობაში. ამ განყოფილებაში ჩვენ შევიკრიბეთ ინფორმაცია კვადრატული უტოლობებისა და მათი გადაჭრის ძირითადი მიდგომების შესახებ. ჩვენ გავაერთიანებთ მასალას მაგალითების ანალიზით. რა არის კვადრატული უტოლობა ვნახოთ, როგორ განვასხვავოთ სხვადასხვა ტიპის უტოლობები ჩანაწერის ტიპის მიხედვით და ავარჩიოთ მათ შორის კვადრატები. განმარტება 1 კვადრატული უტოლობაარის უთანასწორობა, რომელიც ჰგავს a x 2 + b x + c< 0 , სადაც a , b და გარის რამდენიმე რიცხვი და აარ არის ნულის ტოლი. x არის ცვლადი და ნიშნის ადგილზე < შეიძლება იყოს ნებისმიერი სხვა უთანასწორობის ნიშანი. კვადრატული განტოლებების მეორე სახელწოდებაა „მეორე ხარისხის უტოლობის“ სახელი. მეორე სახელის არსებობა შეიძლება აიხსნას შემდეგნაირად. უტოლობის მარცხენა მხარეს არის მეორე ხარისხის მრავალწევრი - კვადრატული ტრინომი. ტერმინის „კვადრატული უტოლობა“ გამოყენება კვადრატულ უტოლობაზე არასწორია, რადგან კვადრატული ფუნქციები მოცემულია ფორმის განტოლებით. y = a x 2 + b x + c. აქ არის კვადრატული უტოლობის მაგალითი: მაგალითი 1 Მოდი ავიღოთ 5 x 2 − 3 x + 1 > 0. ამ შემთხვევაში a = 5 , b = − 3 და c = 1. ან ეს უთანასწორობა: მაგალითი 2 − 2 , 2 z 2 − 0 , 5 z − 11 ≤ 0, სადაც a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 და c = − 11. მოდით ვაჩვენოთ კვადრატული უტოლობების რამდენიმე მაგალითი: მაგალითი 3 განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს იმ ფაქტს, რომ კოეფიციენტი x2ითვლება ნულად. ეს აიხსნება იმით, რომ წინააღმდეგ შემთხვევაში მივიღებთ ფორმის წრფივ უტოლობას b x + c > 0, ვინაიდან კვადრატული ცვლადი ნულზე გამრავლებისას თავად გახდება ნულის ტოლი. ამავე დროს, კოეფიციენტები ბდა გშეიძლება იყოს ნულის ტოლი როგორც ერთად, ასევე ცალ-ცალკე. მაგალითი 4 ასეთი უთანასწორობის მაგალითი x 2 − 5 ≥ 0. კვადრატული უტოლობების ამოხსნის გზები არსებობს სამი ძირითადი მეთოდი: განმარტება 2 გრაფიკული; ინტერვალის მეთოდი; მარცხენა მხარეს ბინომის კვადრატის შერჩევის გზით. გრაფიკული მეთოდი მეთოდი მოიცავს კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის აგებას და ანალიზს y = a x 2 + b x + cკვადრატული უტოლობებისთვის a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥). კვადრატული უტოლობის ამოხსნა არის ის ინტერვალები ან ინტერვალები, რომლებზეც მითითებული ფუნქცია იღებს დადებით და უარყოფით მნიშვნელობებს. დაშორების მეთოდი თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ კვადრატული უტოლობა ერთი ცვლადით ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით. მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი სახის უტოლობის გადასაჭრელად და არა მხოლოდ კვადრატული. მეთოდის არსი არის იმ ინტერვალების ნიშნების დადგენა, რომლებშიც კოორდინატთა ღერძი იყოფა ტრინომის ნულებით. a x 2 + b x + cთუ არის შესაძლებელი. უთანასწორობისთვის a x 2 + b x + c< 0 ამონახსნები არის ინტერვალები მინუს ნიშნით, უტოლობისთვის a x 2 + b x + c > 0, ინტერვალები პლუს ნიშნით. თუ საქმე გვაქვს არამკაცრ უტოლობასთან, მაშინ ამონახსნი ხდება ინტერვალი, რომელიც მოიცავს წერტილებს, რომლებიც შეესაბამება ტრინომის ნულებს. ბინომის კვადრატის შერჩევა კვადრატული უტოლობის მარცხენა მხარეს ბინომის კვადრატის არჩევის პრინციპი არის ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულება, რაც საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ფორმის ეკვივალენტური უტოლობის ამოხსნაზე (x − p) 2.< q (≤ , >, ≥), სადაც გვდა ქ- რამდენიმე რიცხვი. შესაძლებელია კვადრატულ უტოლობამდე მისვლა სხვა ტიპის უტოლობების ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით. ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით. მაგალითად, მოცემულ უტოლობაში ტერმინების გადალაგებით ან ტერმინების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანით. ავიღოთ მაგალითი. განვიხილოთ უტოლობის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია 5 ≤ 2 x − 3 x2. თუ ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, მაშინ მივიღებთ ფორმის კვადრატულ უტოლობას. 3 x 2 − 2 x + 5 ≤ 0. მაგალითი 5 აუცილებელია ვიპოვოთ ამონახსნთა სიმრავლე უტოლობაზე 3 (x − 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 . გადაწყვეტილება პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებს. ამისათვის ჩვენ ვაგროვებთ ყველა პირობას უტოლობის მარცხენა მხარეს, ვხსნით ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს: 3 (x − 1) (x + 1) − (x − 2) 2 − x 2 − 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 . ჩვენ მივიღეთ ეკვივალენტური კვადრატული უტოლობა, რომლის ამოხსნა შესაძლებელია გრაფიკულად დისკრიმინაციული და გადაკვეთის წერტილების განსაზღვრით. D' = 2 2 − 1 (− 12) = 16, x 1 = − 6, x 2 = 2 გრაფიკის აგების შემდეგ, ჩვენ ვხედავთ, რომ ამონახსნების სიმრავლე არის ინტერვალი (− 6, 2). პასუხი: (− 6 , 2) . ირაციონალური და ლოგარითმული უტოლობები არის უტოლობების მაგალითი, რომლებიც ხშირად მცირდება კვადრატებად. ასე, მაგალითად, უტოლობა 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14 უდრის კვადრატულ უტოლობას x 2 − 6 x − 9< 0 , და ლოგარითმული უტოლობა log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 უტოლობამდე x 2 + x − 2 ≥ 0. თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter ამ გაკვეთილზე განვაგრძობთ რაციონალური უტოლობების და მათი სისტემების განხილვას, კერძოდ: წრფივი და კვადრატული უტოლობების სისტემას. ჯერ გავიხსენოთ, რა არის ორი წრფივი უტოლობის სისტემა ერთი ცვლადით. შემდეგი, განვიხილავთ კვადრატული უტოლობების სისტემას და მათი გადაჭრის მეთოდს კონკრეტული ამოცანების მაგალითის გამოყენებით. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ სახურავის მეთოდის ე.წ. გავაანალიზებთ სისტემების ტიპურ ამონახსნებს და გაკვეთილის ბოლოს განვიხილავთ სისტემის ამონახსნებს წრფივი და კვადრატული უტოლობებით. 2. ელექტრონული საგანმანათლებლო და მეთოდური კომპლექსი 10-11 კლასების მოსამზადებლად მისაღები გამოცდებისთვის კომპიუტერულ მეცნიერებაში, მათემატიკაში, რუსულ ენაში (). 3. განათლების ცენტრი „განათლების ტექნოლოგია“ (). 4. College.ru განყოფილება მათემატიკაზე (). 1. მორდკოვიჩი ა.გ. და სხვ. ალგებრა მე-9 კლასი: სამუშაო წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 გვ.: ill. No58 (ა, გ); 62; 63. კვადრატული უტოლობის განმარტება შენიშვნა 1 კვადრატულ უტოლობას იმიტომ უწოდებენ. ცვლადი არის კვადრატში. ასევე უწოდებენ კვადრატულ უტოლობას მეორე ხარისხის უტოლობები. მაგალითი 1 მაგალითი. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ არის კვადრატული უტოლობა. როგორც მაგალითიდან ჩანს, $ax^2+bx+c > 0$ ფორმის უტოლობის ყველა ელემენტი არ არის წარმოდგენილი. მაგალითად, $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ არ არის თავისუფალი ტერმინი (ტერმინი $c$), მაგრამ უტოლობაში $11z^2+8. \le 0$ არ არსებობს ტერმინი $b$ კოეფიციენტით. ასეთი უტოლობები ასევე არის კვადრატული უტოლობები, მაგრამ მათ ასევე უწოდებენ არასრული კვადრატული უტოლობა. ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ კოეფიციენტები $b$ ან $c$ უდრის ნულს. კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდები კვადრატული უტოლობების ამოხსნისას გამოიყენება შემდეგი ძირითადი მეთოდები: გრაფიკული; ინტერვალის მეთოდი; ბინომის კვადრატის შერჩევა. გრაფიკული გზა შენიშვნა 2 კვადრატული უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული გზა $ax^2+bx+c > 0$ (ან $ ნიშნით ეს ინტერვალები არის კვადრატული უტოლობის ამოხსნა. დაშორების მეთოდი შენიშვნა 3 $ax^2+bx+c > 0$ ფორმის კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ინტერვალის მეთოდი (უტოლობის ნიშანი ასევე შეიძლება იყოს $ კვადრატული უტოლობის ამონახსნებინიშნით $""$ - დადებითი ინტერვალებით, ნიშნებით $"≤"$ და $"≥"$ - უარყოფითი და დადებითი ინტერვალებით (შესაბამისად), წერტილების ჩათვლით, რომლებიც შეესაბამება ტრინომის ნულებს. ბინომის კვადრატის შერჩევა კვადრატული უტოლობის ამოხსნის მეთოდი ბინომის კვადრატის არჩევით არის $(x-n)^2 > m$ (ან $ ნიშნით) ფორმის ეკვივალენტურ უტოლობაზე გადასვლა. უტოლობები, რომლებიც მცირდება კვადრატამდე შენიშვნა 4 ხშირად, უტოლობების ამოხსნისას, ისინი უნდა დაიყვანონ $ax^2+bx+c ფორმის კვადრატულ უტოლობამდე > 0$ (უტოლობის ნიშანი ასევე შეიძლება იყოს $ უტოლობა, რომელიც მცირდება კვადრატამდე. შენიშვნა 5 უტოლობების კვადრატამდე შემცირების უმარტივესი გზა შეიძლება იყოს ტერმინების თავდაპირველი უტოლობის გადალაგება ან მათი გადატანა, მაგალითად, მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ. მაგალითად, $7x > 6-3x^2$ უტოლობის ყველა პირობის მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს გადატანისას, მიიღება $3x^2+7x-6 > 0$ ფორმის კვადრატული უტოლობა. თუ $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ უტოლობის მარცხენა მხარეს არსებულ ტერმინებს გადავაწყობთ $y$ ცვლადის ხარისხის კლებადობით, მაშინ ეს გამოიწვევს ფორმის ეკვივალენტურ კვადრატულ უტოლობას. $5.3x^2+1.5y-2 \ge $0. რაციონალური უტოლობების ამოხსნისას ხშირად გამოიყენება მათი შემცირება კვადრატულ უტოლობამდე. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ყველა ტერმინის მარცხენა მხარეს გადატანა და მიღებული გამონათქვამის კვადრატული ტრინომის სახით გადაყვანა. მაგალითი 2 მაგალითი. უტოლობის კვადრატი $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$. გადაწყვეტილება. ჩვენ ყველა ტერმინს გადავიტანთ უტოლობის მარცხენა მხარეს: $7 \cdot (x+0.5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$. შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით და ფრჩხილების გაფართოებით, ჩვენ ვამარტივებთ გამონათქვამს უტოლობის მარცხენა მხარეს: $7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21,5x-19 > 0$. უპასუხე: $x^2-21,5x-19 > 0$. ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ კავშირი საიტის რუკა საიტის შესახებ