សូម្បីតែការចែកចាយ។ តម្លៃបន្ត X ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នា។នៅចន្លោះពេល ( ក, ខ) ប្រសិនបើតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់របស់វាស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេលនេះ ហើយដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេគឺថេរ៖
សម្រាប់អថេរចៃដន្យ Xចែកចាយស្មើៗគ្នាក្នុងចន្លោះពេល ( ក, ខ) (រូបទី 4) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលណាមួយ ( x 1 , x 2) កុហកនៅខាងក្នុងចន្លោះពេល ( ក, ខ) ស្មើនឹង៖
(30)
អង្ករ។ 4. ក្រាហ្វនៃដង់ស៊ីតេចែកចាយឯកសណ្ឋាន
កំហុសក្នុងការបង្គត់គឺជាឧទាហរណ៍នៃបរិមាណចែកចាយស្មើៗគ្នា។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើតម្លៃតារាងទាំងអស់នៃអនុគមន៍ជាក់លាក់មួយត្រូវបានបង្គត់ទៅជាខ្ទង់ដូចគ្នា នោះការជ្រើសរើសតម្លៃតារាងដោយចៃដន្យ យើងពិចារណាថាកំហុសបង្គត់នៃលេខដែលបានជ្រើសរើសគឺជាអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយស្មើៗគ្នាក្នុងចន្លោះពេល។
ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ Xវាមាន ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
(31)
ក្រាហ្វនៃដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ (31) ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ៥.
អង្ករ។ 5. ក្រាហ្វនៃដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ពេលវេលា ធប្រតិបត្តិការមិនដំណើរការនៃប្រព័ន្ធកុំព្យូទ័រគឺជាអថេរចៃដន្យដែលមានការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ
អត្ថន័យរូបវន្តដែលជាចំនួនមធ្យមនៃការបរាជ័យក្នុងមួយឯកតាពេលវេលា ដោយមិនរាប់បញ្ចូលការផ្អាកប្រព័ន្ធសម្រាប់ការជួសជុល។
ការចែកចាយធម្មតា (Gaussian) ។ តម្លៃចៃដន្យ Xវាមាន ធម្មតា។ (ហ្គូសៀន) ការចែកចាយប្រសិនបើការបែងចែកដង់ស៊ីតេនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយការពឹងផ្អែក៖
(32)
កន្លែងណា ម = ម(X) , .
នៅ ការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា ស្ដង់ដារ.
ក្រាហ្វនៃដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតា (32) ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ៦.
អង្ករ។ 6. ក្រាហ្វនៃដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតា។
ការចែកចាយធម្មតាគឺជាការចែកចាយទូទៅបំផុតនៅក្នុងបាតុភូតចៃដន្យផ្សេងៗនៃធម្មជាតិ។ ដូច្នេះ កំហុសក្នុងការប្រតិបត្តិពាក្យបញ្ជាដោយឧបករណ៍ស្វ័យប្រវត្តិ កំហុសក្នុងការបាញ់បង្ហោះយានអវកាសទៅកាន់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ កំហុសក្នុងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប្រព័ន្ធកុំព្យូទ័រ។ល។ ក្នុងករណីភាគច្រើនមានការចែកចាយធម្មតា ឬជិតនឹងការចែកចាយធម្មតា។ លើសពីនេះទៅទៀត អថេរចៃដន្យដែលបង្កើតឡើងដោយការបូកសរុបនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃពាក្យចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយស្ទើរតែយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា។
ការចែកចាយហ្គាម៉ា។ តម្លៃចៃដន្យ Xវាមាន ការចែកចាយហ្គាម៉ាប្រសិនបើការបែងចែកដង់ស៊ីតេនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្ត៖
(33)
កន្លែងណា 
គឺជាមុខងារអយល័រហ្គាម៉ា។
ជំពូកទី 6. អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់។
§ 1. ដង់ស៊ីតេ និងមុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យបន្ត។
សំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺមិនអាចរាប់បាន ហើយជាធម្មតាតំណាងឱ្យចន្លោះពេលកំណត់ ឬគ្មានកំណត់មួយចំនួន។
អថេរចៃដន្យ x(w) ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ (W, S, P) ត្រូវបានគេហៅថា បន្ត(បន្តទាំងស្រុង) W ប្រសិនបើមានអនុគមន៍មិនអវិជ្ជមាន នោះសម្រាប់ x ណាមួយ មុខងារចែកចាយ Fx(x) អាចត្រូវបានតំណាងជាអាំងតេក្រាល
មុខងារត្រូវបានគេហៅថាមុខងារ ដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ.
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេចែកចាយ ធ្វើតាមនិយមន័យ៖
1..gif" width="97" height="51">
3. នៅចំណុចនៃការបន្ត ដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍ចែកចាយ៖ .
4. ដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយកំណត់ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ ព្រោះវាកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល៖
5. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យបន្តនឹងយកតម្លៃជាក់លាក់គឺសូន្យ៖ . ដូច្នេះ សមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖
គ្រោងនៃអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេចែកចាយត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងការចែកចាយហើយផ្ទៃដែលជាប់នឹងខ្សែកោងចែកចាយ និងអ័ក្ស x គឺស្មើនឹងមួយ។ បន្ទាប់មក តាមធរណីមាត្រ តម្លៃនៃអនុគមន៍ចែកចាយ Fx(x) នៅចំណុច x0 គឺជាតំបន់ដែលចងដោយខ្សែកោងចែកចាយ និងអ័ក្ស x ហើយដេកនៅខាងឆ្វេងនៃចំនុច x0។
កិច្ចការទី 1 ។មុខងារដង់ស៊ីតេនៃអថេរចៃដន្យបន្តមានទម្រង់៖
កំណត់ C ថេរ បង្កើតមុខងារចែកចាយ Fx(x) និងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ។
ដំណោះស្រាយ។ថេរ C ត្រូវបានរកឃើញពីលក្ខខណ្ឌដែលយើងមាន៖
មកពីណា C=3/8 ។
ដើម្បីបង្កើតមុខងារចែកចាយ Fx(x) សូមចំណាំថាចន្លោះពេលបែងចែកជួរនៃអាគុយម៉ង់ x (អ័ក្សលេខ) ជាបីផ្នែក៖ https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49">
ចាប់តាំងពីដង់ស៊ីតេ x នៅលើ semiaxis គឺសូន្យ។ ក្នុងករណីទីពីរ
ចុងក្រោយ ក្នុងករណីចុងក្រោយនៅពេលដែល x>2,
ចាប់តាំងពីដង់ស៊ីតេបាត់នៅលើ semiaxis ។ ដូច្នេះមុខងារចែកចាយត្រូវបានទទួល
ប្រូបាប៊ីលីតេ គណនាតាមរូបមន្ត។ ដូច្នេះ
§ 2. លក្ខណៈជាលេខនៃអថេរចៃដន្យបន្ត
តម្លៃរំពឹងទុកសម្រាប់អថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាបន្តបន្ទាប់ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។
ការបែកខ្ញែក x អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត 
ហើយក៏ដូចជាករណីដាច់ដោយឡែកពីគ្នាដោយយោងតាមរូបមន្ត https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> ។
លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃការរំពឹងទុក និងការប្រែប្រួលដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងជំពូកទី 5 សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកក៏មានសុពលភាពសម្រាប់អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ផងដែរ។
កិច្ចការទី 2. សម្រាប់អថេរចៃដន្យ x ពីបញ្ហាទី 1 សូមគណនាការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យា .
ដំណោះស្រាយ។
ហើយនោះមានន័យថា
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
សម្រាប់ក្រាហ្វនៃដង់ស៊ីតេចែកចាយឯកសណ្ឋាន សូមមើលរូប។ .
រូប ៦.២. មុខងារចែកចាយ និងដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយ។ ច្បាប់ឯកសណ្ឋាន
មុខងារចែកចាយ Fx(x) នៃអថេរចៃដន្យចែកចាយឯកសណ្ឋានគឺ
Fx(x)= 
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានិងការបែកខ្ញែក; .
ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) ។អថេរចៃដន្យ x ដែលយកតម្លៃមិនអវិជ្ជមានមានការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ l>0 ប្រសិនបើដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យស្មើនឹង
px(x)= 
អង្ករ។ ៦.៣. មុខងារចែកចាយ និងដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃច្បាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
មុខងារចែកចាយនៃការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលមានទម្រង់
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> ហើយប្រសិនបើដង់ស៊ីតេចែកចាយរបស់វាស្មើនឹង
.
សំណុំនៃអថេរចៃដន្យទាំងអស់ដែលបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រនិងប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានតំណាងដោយ .
មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យចែកចាយធម្មតាគឺ
.
អង្ករ។ ៦.៤. មុខងារចែកចាយ និងដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃច្បាប់ធម្មតា។
ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយធម្មតាគឺជាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
ក្នុងករណីពិសេសនៅពេល https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> ការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា ស្ដង់ដារហើយថ្នាក់នៃការចែកចាយបែបនេះត្រូវបានកំណត់ https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
ខណៈពេលដែលមុខងារចែកចាយ
អាំងតេក្រាលបែបនេះមិនអាចគណនាតាមការវិភាគបានទេ (វាមិនត្រូវបានគេយកជា "quadratures") ហើយដូច្នេះតារាងត្រូវបានចងក្រងសម្រាប់មុខងារ។ មុខងារគឺទាក់ទងទៅនឹងមុខងារ Laplace ដែលបានណែនាំនៅក្នុងជំពូកទី 4
,
ទំនាក់ទំនងខាងក្រោម 
. នៅក្នុងករណីនៃតម្លៃបំពាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> មុខងារចែកចាយអថេរចៃដន្យទាក់ទងនឹងមុខងារ Laplace ដោយប្រើទំនាក់ទំនង៖
.
ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលមួយ អាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
.
អថេរចៃដន្យ x ដែលមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា log-normalally distribution ប្រសិនបើលោការីត h=lnx គោរពច្បាប់ធម្មតា។ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាគឺ Mx= និង Dx= ។
កិច្ចការទី 3 ។អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃចៃដន្យត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">។
ដំណោះស្រាយ។នៅទីនេះ និង https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
ការចែកចាយ Laplaceត្រូវបានកំណត់ដោយអនុគមន៍ fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> ហើយ kurtosis គឺ gx=3។
រូប ៦.៥. មុខងារដង់ស៊ីតេចែកចាយ Laplace ។
អថេរចៃដន្យ x ត្រូវបានចែកចាយ ច្បាប់ Weibullប្រសិនបើវាមានអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេចែកចាយស្មើនឹង https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
ការចែកចាយ Weibull គោរពតាមពេលវេលានៃប្រតិបត្តិការដែលមិនមានការបរាជ័យនៃឧបករណ៍បច្ចេកទេសជាច្រើន។ នៅក្នុងភារកិច្ចនៃទម្រង់នេះ លក្ខណៈសំខាន់មួយគឺអត្រាបរាជ័យ (អត្រាមរណៈ) l(t) នៃធាតុដែលបានសិក្សានៃអាយុ t ដែលកំណត់ដោយទំនាក់ទំនង l(t)= ។ ប្រសិនបើ a=1 នោះការចែកចាយ Weibull ប្រែទៅជាការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ហើយប្រសិនបើ a=2 - ទៅជាការចែកចាយដែលគេហៅថា រ៉ាយលី។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយ Weibull៖ -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src="> ដែល Г(а) គឺជាអយល័រ មុខងារ..
នៅក្នុងបញ្ហាផ្សេងៗនៃស្ថិតិដែលបានអនុវត្ត ការចែកចាយដែលគេហៅថា "កាត់បន្ថយ" តែងតែជួបប្រទះ។ ជាឧទាហរណ៍ អាជ្ញាធរពន្ធដារចាប់អារម្មណ៍លើការបែងចែកប្រាក់ចំណូលរបស់បុគ្គលទាំងនោះដែលប្រាក់ចំណូលប្រចាំឆ្នាំលើសពីកម្រិតជាក់លាក់ c0 ដែលបង្កើតឡើងដោយច្បាប់ពន្ធដារ។ ការចែកចាយទាំងនេះប្រែទៅជាប្រហាក់ប្រហែលនឹងការចែកចាយ Pareto ។ ការចែកចាយ Paretoផ្តល់ដោយមុខងារ
Fx(x)=P(x
ទីនេះ https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src="> ។
កិច្ចការទី 4 ។អថេរចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើចន្លោះពេល។ ស្វែងរកដង់ស៊ីតេនៃអថេរចៃដន្យ។
ដំណោះស្រាយ។វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានោះ។
បន្ទាប់មកមុខងារ គឺជាអនុគមន៍ monotonic និងខុសគ្នានៅលើចន្លោះពេលហើយមានអនុគមន៍ច្រាស 
ដែលដេរីវេគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះ
§ 5. គូនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់
អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យបន្តពីរ x និង h ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកគូ (x, h) កំណត់ចំណុច "ចៃដន្យ" នៅលើយន្តហោះ។ គូ (x, h) ត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រចៃដន្យឬ អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ។
មុខងារចែកចាយរួមអថេរចៃដន្យ x និង h ហើយមុខងារត្រូវបានគេហៅថា F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">។ ដង់ស៊ីតេរួមការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យ x និង h គឺជាមុខងារដូចនោះ។ 
.
អត្ថន័យនៃនិយមន័យនៃដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយរួមគ្នានេះគឺមានដូចខាងក្រោម។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែល "ចំណុចចៃដន្យ" (x, h) នឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងតំបន់មួយនៅលើយន្តហោះត្រូវបានគណនាជាបរិមាណនៃតួលេខបីវិមាត្រ - ស៊ីឡាំង "កោង" ជាប់នឹងផ្ទៃ https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃការចែកចាយរួមនៃអថេរចៃដន្យពីរគឺវិមាត្រពីរ ការចែកចាយឯកសណ្ឋាននៅលើឈុតក. អនុញ្ញាតឱ្យកំណត់ព្រំដែន M ជាមួយផ្ទៃ។ វាត្រូវបានកំណត់ថាជាការចែកចាយនៃគូ (x, h) ដែលផ្តល់ដោយដង់ស៊ីតេរួមខាងក្រោម៖
កិច្ចការទី 5 ។សូមឲ្យវ៉ិចទ័រចៃដន្យពីរវិមាត្រ (x, h) ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅខាងក្នុងត្រីកោណ។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃវិសមភាព x> h ។
ដំណោះស្រាយ។ផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលបានចង្អុលបង្ហាញគឺស្មើនឹង (សូមមើលរូបភព។ ទេ?) ។ ដោយគុណធម៌នៃនិយមន័យនៃការចែកចាយឯកសណ្ឋានពីរវិមាត្រ ដង់ស៊ីតេរួមនៃអថេរចៃដន្យ x, h គឺស្មើនឹង
ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវនឹងឈុត 
នៅលើយន្តហោះ ពោលគឺយន្តហោះពាក់កណ្តាល។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ
នៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាល B ដង់ស៊ីតេរួមគ្នាគឺស្មើនឹងសូន្យនៅខាងក្រៅសំណុំ https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">។ ដូច្នេះ យន្តហោះពាក់កណ្តាល B ត្រូវបានបែងចែកជាពីរឈុត និង https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> និង ហើយអាំងតេក្រាលទីពីរគឺ សូន្យ ចាប់តាំងពីដង់ស៊ីតេរួមគឺសូន្យនៅទីនោះ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល
ប្រសិនបើដង់ស៊ីតេចែកចាយរួមគ្នាសម្រាប់គូ (x, h) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះដង់ស៊ីតេ និងសមាសធាតុ x និង h ត្រូវបានគេហៅថា ដង់ស៊ីតេឯកជនហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
សម្រាប់អថេរចៃដន្យចែកចាយជាបន្តបន្ទាប់ជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេ px(x), ph(y) ឯករាជ្យមានន័យថា
កិច្ចការទី 6 ។នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាមុន កំណត់ថាតើសមាសធាតុនៃវ៉ិចទ័រចៃដន្យ x និង h ឯករាជ្យឬ?
ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងគណនាដង់ស៊ីតេដោយផ្នែក និង . យើងមាន:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
ជាក់ស្តែង ក្នុងករណីរបស់យើង https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25">គឺជាដង់ស៊ីតេរួមនៃ x និង h និង j(x, y) គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ពីរ បន្ទាប់មក
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
កិច្ចការទី 7 ។នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាមុន គណនា។
ដំណោះស្រាយ។យោងតាមរូបមន្តខាងលើយើងមាន៖
.
តំណាងឱ្យត្រីកោណដូច
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. ដង់ស៊ីតេនៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យបន្តពីរ
សូមឲ្យ x និង h ជាអថេរចៃដន្យឯករាជ្យជាមួយដង់ស៊ីតេ https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">។ ដង់ស៊ីតេនៃអថេរចៃដន្យ x + h ត្រូវបានគណនាពីរូបមន្ត convolutions
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src="> ។ គណនាដង់ស៊ីតេផលបូក។
ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពី x និង h ត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដង់ស៊ីតេរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង
អាស្រ័យហេតុនេះ
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
ប្រសិនបើ x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">គឺអវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានចម្លើយ៖
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41">ជាធម្មតាត្រូវបានចែកចាយជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ 0 និង 1។ អថេរចៃដន្យ x1 និង x2 គឺឯករាជ្យ និងមានលក្ខណៈធម្មតា ការចែកចាយជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a1 និង a2 រៀងគ្នា បង្ហាញថា x1 + x2 មានការចែកចាយធម្មតា អថេរចៃដន្យ x1, x2, ... xn ត្រូវបានចែកចាយ និងឯករាជ្យ និងមានមុខងារដង់ស៊ីតេចែកចាយដូចគ្នា
.
ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ និងដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃបរិមាណ៖
ក) h1 = នាទី (x1, x2, ...xn); ខ) h(2) = អតិបរមា(x1,x2, ... xn)
អថេរចៃដន្យ x1, x2, ... xn គឺឯករាជ្យ និងចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើផ្នែក [а, b] ។ ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ និងមុខងារដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃបរិមាណ
x(1) = min(x1,x2, ... xn) និង x(2)= max(x1, x2, ...xn)។
បង្ហាញថា M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ Cauchy រក៖ ក) មេគុណ a; ខ) មុខងារចែកចាយ; គ) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចុចចន្លោះពេល (-1, 1) ។ បង្ហាញថាការរំពឹងទុកនៃ x មិនមានទេ។ អថេរចៃដន្យគោរពច្បាប់ Laplace ជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ l (l> 0): ស្វែងរកមេគុណ a; បង្កើតក្រាហ្វនៃដង់ស៊ីតេចែកចាយ និងមុខងារចែកចាយ; ស្វែងរក Mx និង Dx; ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
សរសេររូបមន្តសម្រាប់ដង់ស៊ីតេចែកចាយ ស្វែងរក Mx និង Dx ។
កិច្ចការកុំព្យូទ័រ។
ចំនុចចៃដន្យ A មានការចែកចាយឯកសណ្ឋានក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃចំងាយ r នៃចំនុចមួយទៅកណ្តាលរង្វង់។ បង្ហាញថាបរិមាណ r2 ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើចន្លោះពេល។ 
ដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យមានទម្រង់៖ 
គណនា C ថេរ អនុគមន៍ចែកចាយ F(x) និងប្រូបាប៊ីលីតេ 
ដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យមានទម្រង់៖ 
គណនា C ថេរ អនុគមន៍ចែកចាយ F(x) និងប្រូបាប៊ីលីតេ 
ដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យមានទម្រង់៖ 
គណនា C ថេរ មុខងារចែកចាយ F(x) វ៉ារ្យង់ និងប្រូបាប៊ីលីតេ អថេរចៃដន្យមានមុខងារចែកចាយ 
គណនាដង់ស៊ីតេនៃអថេរចៃដន្យ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យង់ និងប្រូបាប៊ីលីតេ ពិនិត្យមើលថាអនុគមន៍ = 
អាចជាមុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ។ ស្វែងរកលក្ខណៈលេខនៃបរិមាណនេះ៖ Mx និង Dx ។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើផ្នែក។ សរសេរពីដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយ។ ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយទៅលើអថេរចៃដន្យនៅលើផ្នែក និងនៅលើផ្នែក។ ដង់ស៊ីតេចែកចាយ x គឺ
.
ស្វែងរកថេរ c, ដង់ស៊ីតេចែកចាយ h = និងប្រូបាប៊ីលីតេ
P (0.25 ពេលវេលាដំណើរការកុំព្យូទ័រត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ l = 0.05 (បរាជ័យក្នុងមួយម៉ោង) ពោលគឺវាមានមុខងារដង់ស៊ីតេ p(x) = ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាមួយចំនួនតម្រូវឱ្យមានការប្រតិបត្តិការដោយគ្មានបញ្ហារបស់ម៉ាស៊ីនសម្រាប់ 15 នាទី។ ប្រសិនបើការបរាជ័យកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលនៃដំណោះស្រាយនៃបញ្ហានោះ កំហុសត្រូវបានរកឃើញតែនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ ហើយបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយម្តងទៀត។ ស្វែងរក៖ ក) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមានការបរាជ័យនឹងកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា។ ខ) ពេលវេលាជាមធ្យមដែលបញ្ហានឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដំបងប្រវែង 24 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានបំបែកជាពីរផ្នែក; យើងនឹងសន្មត់ថាចំណុចបំបែកត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នាតាមបណ្តោយប្រវែងទាំងមូលនៃដំបង។ តើប្រវែងមធ្យមនៃដំបងភាគច្រើនគឺជាអ្វី? បំណែកនៃប្រវែង 12 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានកាត់ដោយចៃដន្យជាពីរផ្នែក។ ចំនុចកាត់ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នាតាមបណ្តោយប្រវែងទាំងមូលនៃផ្នែក។ តើប្រវែងមធ្យមនៃផ្នែកតូចមួយនៃផ្នែកគឺជាអ្វី? អថេរចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើចន្លោះពេល។ រកដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ a) h1 = 2x + 1; ខ) h2 = -ln(1-x); គ) h3 = ។ បង្ហាញថាប្រសិនបើ x មានមុខងារចែកចាយបន្ត F(x) = P(x ស្វែងរកអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេ និងមុខងារចែកចាយនៃផលបូកនៃបរិមាណឯករាជ្យពីរ x និង h ជាមួយនឹងច្បាប់ចែកចាយឯកសណ្ឋាននៅលើចន្លោះពេល និងរៀងគ្នា។ អថេរចៃដន្យ x និង h គឺឯករាជ្យ និងចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើចន្លោះពេល និងរៀងគ្នា។ គណនាដង់ស៊ីតេនៃផលបូក x + h ។ អថេរចៃដន្យ x និង h គឺឯករាជ្យ និងចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើចន្លោះពេល និងរៀងគ្នា។ គណនាដង់ស៊ីតេនៃផលបូក x + h ។ អថេរចៃដន្យ x និង h គឺឯករាជ្យ និងចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើចន្លោះពេល និងរៀងគ្នា។ គណនាដង់ស៊ីតេនៃផលបូក x + h ។ អថេរចៃដន្យគឺឯករាជ្យ និងមានការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេ អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយមុខងារចែកចាយ f(x). ចូរយើងសន្មតថាតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យជារបស់ចន្លោះ [ ក, ខ]. និយមន័យ។ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាអថេរចៃដន្យ X ដែលជាតម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបានដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ប្រសិនបើតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានពិចារណាលើអ័ក្សចំនួនទាំងមូល នោះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ ក្នុងករណីនេះជាការពិតណាស់វាត្រូវបានសន្មត់ថាអាំងតេក្រាលមិនសមស្របនឹងបញ្ចូលគ្នា។ និយមន័យ។ការបែកខ្ញែកអថេរចៃដន្យបន្តត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃគម្លាតរបស់វា។ ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក រូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការគណនាជាក់ស្តែងនៃបំរែបំរួល៖ និយមន័យ។គម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានគេហៅថាឫសការ៉េនៃភាពខុសគ្នា។ និយមន័យ។ម៉ូដ M 0 នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃដែលទំនងបំផុតរបស់វា។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្ត របៀបគឺជាតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យដែលដង់ស៊ីតេចែកចាយមានអតិបរមា។ ប្រសិនបើពហុកោណចែកចាយសម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ឬខ្សែកោងចែកចាយសម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្តមានអតិបរមាពីរ ឬច្រើននោះ ការចែកចាយបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា bimodalឬ ពហុម៉ូដ. ប្រសិនបើការចែកចាយមានអប្បបរមា ប៉ុន្តែគ្មានអតិបរមា នោះគេហៅថា ថ្នាំប្រឆាំងមេរោគ. និយមន័យ។មធ្យម M D នៃអថេរចៃដន្យ X គឺជាតម្លៃរបស់វា ដែលទាក់ទងទៅនឹងវាទំនងជាស្មើគ្នាក្នុងការទទួលបានតម្លៃធំជាង ឬតូចជាងនៃអថេរចៃដន្យ។ តាមធរណីមាត្រ មធ្យមគឺ abscissa នៃចំណុចដែលតំបន់ដែលចងដោយខ្សែកោងចែកចាយត្រូវបានបែងចែកជាពាក់កណ្តាល។ ចំណាំថាប្រសិនបើការចែកចាយមិនស្មើគ្នា នោះរបៀប និងមធ្យមស្របគ្នានឹងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។ និយមន័យ។ពេលចាប់ផ្តើមលំដាប់ kអថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃ X k. ពេលដំបូងនៃលំដាប់ទីមួយគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ និយមន័យ។ចំណុចកណ្តាលលំដាប់ kអថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃ សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖ . សម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្ត៖ . គ្រាកណ្តាលលំដាប់ទីមួយគឺតែងតែសូន្យ ហើយពេលកណ្តាលលំដាប់ទីពីរគឺស្មើនឹងការបែកខ្ញែក។ ពេលកណ្តាលនៃលំដាប់ទីបីកំណត់លក្ខណៈ asymmetry នៃការចែកចាយ។ និយមន័យ។
សមាមាត្រនៃពេលកណ្តាលនៃលំដាប់ទីបីទៅនឹងគម្លាតស្តង់ដារនៅក្នុងដឺក្រេទីបីត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ asymmetry. និយមន័យ។
ដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃភាពមុតស្រួច និងសំប៉ែតនៃការចែកចាយ បរិមាណហៅថា kurtosis. បន្ថែមពីលើបរិមាណដែលបានពិចារណា អ្វីដែលគេហៅថា គ្រាដាច់ខាតក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរ៖ ពេលចាប់ផ្តើមដាច់ខាត៖ . ពេលកណ្តាលដាច់ខាត៖ . ពេលកណ្តាលដាច់ខាតនៃលំដាប់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតលេខនព្វន្ធ. ឧទាហរណ៍។សម្រាប់ឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាខាងលើ កំណត់ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងភាពប្រែប្រួលនៃអថេរ X។ ឧទាហរណ៍។កោដ្ឋមួយមានគ្រាប់ពណ៌ស៦ និងគ្រាប់ខ្មៅ៤ ។ បាល់មួយត្រូវបានដកចេញពីវា 5 ដងជាប់ៗគ្នា ហើយរាល់ពេលដែលបាល់ដែលដកចេញនោះត្រូវត្រលប់មកវិញ ហើយបាល់ត្រូវបានលាយបញ្ចូលគ្នា។ ដោយយកចំនួនគ្រាប់បាល់ពណ៌សដែលបានស្រង់ចេញជាអថេរ X ចៃដន្យ បង្កើតច្បាប់នៃការបែងចែកបរិមាណនេះ កំណត់ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលរបស់វា។ ដោយសារតែ បាល់នៅក្នុងការពិសោធន៍នីមួយៗត្រូវបានត្រលប់មកវិញ និងលាយបញ្ចូលគ្នា បន្ទាប់មកការសាកល្បងអាចចាត់ទុកថាឯករាជ្យ (លទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ពីមុនមិនប៉ះពាល់ដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង ឬការមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការពិសោធន៍មួយផ្សេងទៀត)។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃបាល់ពណ៌សដែលលេចឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍នីមួយៗគឺថេរនិងស្មើនឹង ដូច្នេះ ជាលទ្ធផលនៃការសាកល្បងចំនួនប្រាំជាបន្តបន្ទាប់ បាល់ពណ៌សប្រហែលជាមិនលេចឡើងទាល់តែសោះ លេចឡើងម្តង ពីរដង បី បួន ឬប្រាំដង។ ដើម្បីបង្កើតច្បាប់ចែកចាយ អ្នកត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ។ 1) បាល់ពណ៌សមិនលេចឡើងទាល់តែសោះ: ២) បាល់ពណ៌សបានលេចចេញមកម្តង៖ 3) បាល់ពណ៌សនឹងលេចឡើងពីរដង: . តាមលក្ខណៈរូបវន្តរបស់ពួកគេ អថេរចៃដន្យអាចកំណត់ និងចៃដន្យ។ Discrete គឺជាអថេរចៃដន្យដែលតម្លៃនីមួយៗអាចត្រូវបានប្តូរលេខ (ចំនួនផលិតផល ចំនួនផ្នែក - ខូច និងល្អ ។ល។)។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាជាបន្ត តម្លៃដែលអាចធ្វើបានដែលបំពេញចន្លោះជាក់លាក់មួយ (គម្លាតនៃទំហំនៃផ្នែកដែលផលិតចេញពីតម្លៃនាមករណ៍ កំហុសរង្វាស់ គម្លាតនៃរូបរាងផ្នែក កម្ពស់នៃ microroughness ។ល។)។ អថេរចៃដន្យមិនអាចត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយតម្លៃតែមួយទេ។ សម្រាប់វា វាចាំបាច់ក្នុងការចង្អុលបង្ហាញពីសំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន និងលក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើសំណុំនេះ។ ក្នុងករណីដែលព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យត្រូវបានបង្ហាញជាលេខ យើងអាចនិយាយអំពីអថេរចៃដន្យមួយ។ ចៃដន្យពួកគេហៅតម្លៃដែល ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនឹងយកតម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបាន មិនស្គាល់ជាមុន និងអាស្រ័យលើមូលហេតុចៃដន្យដែលមិនអាចយកមកពិចារណាជាមុន។ ការបាត់បង់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរចៃដន្យ Xនេះជាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ៖ X \u003d x i ។ក្នុងចំណោមអថេរចៃដន្យ អថេរដាច់ដោយឡែក និងអថេរចៃដន្យបន្តត្រូវបានសម្គាល់។ អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា ដែល ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត យកតម្លៃបុគ្គលជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់។ ចំនួនតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាអាចមានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖ ការកត់ត្រាការអានឧបករណ៍វាស់ល្បឿន ឬវាស់សីតុណ្ហភាពនៅចំណុចជាក់លាក់ក្នុងពេលវេលា។ អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា ដែល ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត យកតម្លៃទាំងអស់ពីចន្លោះលេខជាក់លាក់មួយ។ ចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺគ្មានកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យបន្ត៖ ការវាស់ល្បឿននៃចលនានៃប្រភេទនៃការដឹកជញ្ជូន ឬសីតុណ្ហភាពណាមួយក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។ អថេរចៃដន្យណាមួយមានច្បាប់ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា និងមុខងារចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា។ មុននឹងកំណត់មុខងារចែកចាយ ចូរយើងពិចារណាអថេរដែលកំណត់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យខ្លះ Xគឺជាចំនួនពិត ហើយអថេរចៃដន្យត្រូវបានទទួល X, ម្ល៉ោះ x > X. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ Xនឹងតិចជាងតម្លៃថេរនេះ។ X. មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ Xហៅថាមុខងារ F(x)ដែលកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរ X ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនឹងយកតម្លៃតិចជាងតម្លៃនៃ x នោះគឺ៖ អថេរចៃដន្យត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ច្បាប់នៃការចែកចាយរបស់វា។
. ច្បាប់នេះបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរបស់ពួកគេដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃទាំងនេះ។ មានទម្រង់ពីរនៃការពិពណ៌នាអំពីច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ - ឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល។
. លើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុងម៉ាទ្រីសទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានប្រើជាចម្បង - ច្បាប់ចែកចាយ ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ
អថេរចៃដន្យ។ ច្បាប់ចែកចាយឌីផេរ៉ង់ស្យែលលក្ខណៈ ដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ f(x)
អថេរចៃដន្យ X. ប្រូបាប៊ីលីតេ រវាយអថេរចៃដន្យក្នុងចន្លោះពេលពី x ១ពីមុន x ២ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត៖ តាមក្រាហ្វិក ប្រូបាប៊ីលីតេនេះគឺជាសមាមាត្រនៃផ្ទៃក្រោមខ្សែកោង f (x) ក្នុងចន្លោះពី x 1 ដល់ x 2 ដល់ផ្ទៃដីសរុបដែលកំណត់ដោយខ្សែកោងចែកចាយទាំងមូល។ តាមក្បួនមួយ តំបន់ដែលស្ថិតនៅក្រោមខ្សែកោងការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេទាំងមូលត្រូវបានធ្វើឱ្យធម្មតាទៅជាមួយ។ ក្នុងករណីនេះការចែកចាយ បន្តអថេរចៃដន្យ។ បន្ថែមពីលើពួកគេមាន ដាច់អថេរចៃដន្យដែលយកលើតម្លៃជាក់លាក់មួយចំនួនដែលអាចត្រូវបានលេខរៀង។ ច្បាប់ចែកចាយអាំងតេក្រាលនៃអថេរចៃដន្យគឺជាមុខងារមួយ។ F(x),កំណត់ដោយរូបមន្ត ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យនឹងមានតិចជាង x 1 ត្រូវបានផ្តល់ដោយតម្លៃនៃអនុគមន៍ F(x) នៅ x = x 1: ទោះបីជាច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យគឺជាលក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីស្តពេញលេញរបស់ពួកគេក៏ដោយ ការស្វែងរកច្បាប់នេះគឺជាកិច្ចការដ៏លំបាកមួយ ហើយតម្រូវឱ្យមានការវាស់វែងជាច្រើន។ ដូច្នេះក្នុងការអនុវត្ត ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអថេរចៃដន្យ ផ្សេងៗ លក្ខណៈលេខនៃការចែកចាយ. ទាំងនេះរួមបញ្ចូលទាំង គ្រាអថេរចៃដន្យ៖ បឋម និងកណ្តាលដែលខ្លះ តម្លៃមធ្យម. ជាងនេះទៅទៀត ប្រសិនបើតម្លៃដែលបានរាប់ពីប្រភពដើមគឺជាមធ្យម នោះគ្រាត្រូវបានគេហៅថា ដំបូងហើយប្រសិនបើមកពីមជ្ឈមណ្ឌលចែកចាយ កណ្តាល. មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ X គឺជាអនុគមន៍ F(x) ដែលបង្ហាញសម្រាប់រាល់ x ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរ X យកតម្លៃ, x តូចជាង
ឧទាហរណ៍ 2.5 ។ បានផ្តល់ឱ្យស៊េរីនៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យមួយ។ ស្វែងរក និងពណ៌នាក្រាហ្វិកមុខងារចែកចាយរបស់វា។ ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមនិយមន័យ F(jc) = 0 សម្រាប់ X X F(x) = 0.4 + 0.1 = 0.5 នៅ 4 F(x) = 0.5 + 0.5 = 1 នៅ X > 5. ដូច្នេះ (សូមមើលរូប ២.១)៖ មុខងារចែកចាយ៖ 1. មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យគឺជាអនុគមន៍មិនអវិជ្ជមានដែលព័ទ្ធជុំវិញរវាងសូន្យ និងមួយ៖ 2. មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យគឺជាអនុគមន៍មិនបន្ថយនៅលើអ័ក្សលេខទាំងមូល i.e. នៅ X 2
> x 3. នៅដក infinity អនុគមន៍ចែកចាយគឺស្មើសូន្យ នៅ plus infinity វាស្មើនឹងមួយ i.e. 4. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយតំលៃអថេរចៃដន្យ Xក្នុងចន្លោះពេលគឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាចាប់ពី កពីមុន ខ(សូមមើលរូប 2.2), i.e. អង្ករ។ ២.២ 3. មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យបន្តមួយ (សូមមើលរូប 2.3) អាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេដោយប្រើរូបមន្ត៖ F(x)= Jp(*)*។ (2.10) 4. អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៅក្នុងដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺស្មើនឹងមួយ៖ លក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្រ / និង 4
ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេមានន័យថាគ្រោងរបស់វាគឺ ខ្សែកោងការចែកចាយ - មិនស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x ទេ។, និងផ្ទៃដីសរុបនៃតួលេខ, ខ្សែកោងការចែកចាយមានកំណត់ និងអ័ក្ស x, គឺស្មើនឹងមួយ។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្ត Xតម្លៃរំពឹងទុក M(X)និងភាពខុសប្លែកគ្នា។ D(X)ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ (ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ); ឬ (ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលកាត់បន្ថយបញ្ចូលគ្នា) ។ រួមជាមួយនឹងលក្ខណៈលេខដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើ គោលគំនិតនៃបរិមាណ និងពិន្ទុភាគរយត្រូវបានប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអថេរចៃដន្យមួយ។ q កម្រិតបរិមាណ(ឬ q-quantile) គឺជាតម្លៃបែបនេះx qអថេរចៃដន្យ, ដែលមុខងារចែកចាយរបស់វាយកតម្លៃ, ស្មើនឹង q, i.e. យោងតាមឧទាហរណ៍ 2.6 ស្វែងរកបរិមាណ xqj និង 30% ចំណុចអថេរចៃដន្យ x.
ដំណោះស្រាយ។ តាមនិយមន័យ (2.16) F(xo t3) = 0.3, i.e. ~Y~= 0.3, បរិមាណ x 0 3 = 0.6 ។ 30% ចំណុចអថេរចៃដន្យ X, ឬបរិមាណ Х)_о,з = ចច» ត្រូវបានរកឃើញស្រដៀងគ្នាពីសមីការ ^ = 0.7 ។ ពេលណា *,= 1.4 ។ ? ក្នុងចំណោមលក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យមាន ដំបូង v * និង កណ្តាល R* k-th ពេលវេលាបញ្ជាកំណត់សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក និងបន្តដោយរូបមន្ត៖
.
. ស្វែងរកដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃផលបូករបស់ពួកគេ។ ស្វែងរកការចែកចាយផលបូកនៃអថេរចៃដន្យ x និង h ដែល x មានការចែកចាយឯកសណ្ឋាននៅលើចន្លោះពេល ហើយ h មានការបែងចែកអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ l ។ រក P 
ប្រសិនបើ x មាន៖ ក) ការចែកចាយធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a និង s2 ; ខ) ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ l; គ) ការចែកចាយឯកសណ្ឋាននៅលើចន្លោះពេល [-1;1] ។ ការចែកចាយរួមនៃ x, h គឺជាការ៉េឯកសណ្ឋាន
K = (x, y): |x| +|y|£2)។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ 
. តើ x និង h ឯករាជ្យទេ? គូនៃអថេរចៃដន្យ x និង h ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅក្នុងត្រីកោណ K = ។ គណនាដង់ស៊ីតេ x និង h ។ តើអថេរចៃដន្យទាំងនេះឯករាជ្យទេ? ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ។ អថេរចៃដន្យ x និង h គឺឯករាជ្យ និងចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើចន្លោះពេល និង [-1,1] ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ។ អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ (x, h) ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នាក្នុងការ៉េដែលមានចំនុចកំពូល (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2)។ រកតម្លៃនៃអនុគមន៍ចែកចាយរួមនៅចំណុច (1, -1)។ វ៉ិចទ័រចៃដន្យ (x, h) ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅក្នុងរង្វង់នៃកាំ 3 ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម។ សរសេរកន្សោមសម្រាប់ដង់ស៊ីតេចែកចាយរួម។ កំណត់ថាតើអថេរចៃដន្យទាំងនេះអាស្រ័យឬអត់។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេ។ គូនៃអថេរចៃដន្យ x និង h ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅខាងក្នុង trapezoid ដែលមានចំនុចកំពូលនៅចំនុច (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0)។ ស្វែងរកដង់ស៊ីតេចែកចាយរួមគ្នាសម្រាប់អថេរចៃដន្យគូនេះ និងដង់ស៊ីតេនៃសមាសធាតុ។ តើ x និង h ពឹងផ្អែកទេ? គូចៃដន្យ (x, h) ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅក្នុងរង្វង់ពាក់កណ្តាល។ ស្វែងរកដង់ស៊ីតេ x និង h ស៊ើបអង្កេតសំណួរនៃការពឹងផ្អែករបស់ពួកគេ។ ដង់ស៊ីតេរួមនៃអថេរចៃដន្យពីរ x និង h គឺ 
.
រកដង់ស៊ីតេ x, h ។ រកមើលសំណួរនៃការពឹងផ្អែកនៃ x និង h ។ គូចៃដន្យ (x, h) ត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នានៅលើសំណុំ។ ស្វែងរកដង់ស៊ីតេ x និង h ស៊ើបអង្កេតសំណួរនៃការពឹងផ្អែករបស់ពួកគេ។ ស្វែងរក M(xh) ។ អថេរចៃដន្យ x និង h គឺឯករាជ្យ ហើយត្រូវបានចែកចាយដោយយោងតាមច្បាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ Find
