ការចែកចាយធម្មតាគឺជាប្រភេទនៃការចែកចាយទូទៅបំផុត។ វាត្រូវបានជួបប្រទះនៅក្នុងការវិភាគនៃកំហុសរង្វាស់ ការគ្រប់គ្រងនៃដំណើរការបច្ចេកវិជ្ជា និងរបប ក៏ដូចជានៅក្នុងការវិភាគ និងការព្យាករណ៍នៃបាតុភូតផ្សេងៗក្នុងជីវវិទ្យា វេជ្ជសាស្ត្រ និងវិស័យចំណេះដឹងផ្សេងទៀត។

ពាក្យ "ការចែកចាយធម្មតា" ត្រូវបានប្រើក្នុងន័យតាមលក្ខខណ្ឌ ដូចដែលបានទទួលយកជាទូទៅនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ ទោះបីជាមិនជោគជ័យទាំងស្រុងក៏ដោយ។ ដូច្នេះ ការអះអាងថា គុណលក្ខណៈជាក់លាក់មួយ គោរពច្បាប់ចែកចាយធម្មតា មិនមានន័យថា រាល់អត្ថិភាពនៃបទដ្ឋានដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ដែលសន្មតថាជាបាតុភូតនោះទេ ការឆ្លុះបញ្ចាំងដែលជាគុណលក្ខណៈនៅក្នុងសំណួរ ហើយការដាក់ស្នើទៅច្បាប់ចែកចាយផ្សេងទៀត មិនមានន័យថា ប្រភេទនៃភាពមិនធម្មតានៃបាតុភូតនេះ។

លក្ខណៈសំខាន់នៃការចែកចាយធម្មតាគឺថាវាជាដែនកំណត់ដែលការចែកចាយផ្សេងទៀតខិតជិត។ ការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានរកឃើញដំបូងដោយ Moivre ក្នុងឆ្នាំ 1733 ។ មានតែអថេរចៃដន្យបន្តប៉ុណ្ណោះដែលគោរពច្បាប់ធម្មតា។ ដង់ស៊ីតេនៃច្បាប់ចែកចាយធម្មតាមានទម្រង់។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាសម្រាប់ច្បាប់ចែកចាយធម្មតាគឺ . ការបែកខ្ញែកគឺ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃការចែកចាយធម្មតា។

1. អនុគមន៍ដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយត្រូវបានកំណត់នៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល អូ នោះគឺតម្លៃនីមួយៗ X ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អនៃមុខងារ។

2. សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ X (ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន) មុខងារដង់ស៊ីតេយកតម្លៃវិជ្ជមាន ពោលគឺខ្សែកោងធម្មតាមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស អូ .

3. ដែនកំណត់នៃមុខងារដង់ស៊ីតេជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ X ស្មើសូន្យ, ។

4. មុខងារដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតានៅចំណុចមានអតិបរមា។

5. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេគឺស៊ីមេទ្រីអំពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

6. ខ្សែកោងការចែកចាយមានចំនុចបញ្ឆេះពីរដែលមានកូអរដោណេ និង .

7. របៀប និងមធ្យមនៃការបែងចែកធម្មតាស្របគ្នានឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ក .

8. រូបរាងនៃខ្សែកោងធម្មតាមិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ ក .

9. មេគុណនៃការ skewness និង kurtosis នៃការចែកចាយធម្មតាគឺស្មើនឹងសូន្យ។

សារៈសំខាន់នៃការគណនាមេគុណទាំងនេះសម្រាប់ស៊េរីចែកចាយជាក់ស្តែងគឺជាក់ស្តែង ចាប់តាំងពីពួកវាកំណត់លក្ខណៈនៃភាពមិនច្បាស់ និងភាពចោតនៃស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យបើប្រៀបធៀបទៅនឹងស៊េរីធម្មតា។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត ដែលជាកន្លែងដែលជាមុខងារតារាងសេស។

ចូរយើងកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាខុសពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាដោយតម្លៃតិចជាង នោះមានន័យថាយើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃវិសមភាព ឬប្រូបាប៊ីលីតេនៃវិសមភាពទ្វេ។ ការជំនួសទៅក្នុងរូបមន្តយើងទទួលបាន

បង្ហាញពីគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យ X នៅក្នុងប្រភាគនៃគម្លាតស្តង់ដារ ពោលគឺការដាក់សមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបាន។

បន្ទាប់មកសម្រាប់យើងទទួលបាន

នៅពេលដែលយើងទទួលបាន,

នៅពេលយើងទទួល។

វាធ្វើតាមវិសមភាពចុងក្រោយដែលអនុវត្តការខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាស្ថិតនៅក្នុងផ្នែក។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យនឹងមិនធ្លាក់ចូលទៅក្នុងតំបន់នេះគឺតូចណាស់ ពោលគឺវាស្មើនឹង 0.0027 ពោលគឺព្រឹត្តិការណ៍នេះអាចកើតឡើងបានតែបីករណីប៉ុណ្ណោះក្នុងចំណោម 1000។ ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាស្ទើរតែមិនអាចទៅរួចទេ។ ផ្អែកលើហេតុផលខាងលើ ច្បាប់បីដែលត្រូវបានរៀបចំដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យមានការចែកចាយធម្មតា នោះគម្លាតនៃតម្លៃនេះពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាក្នុងតម្លៃដាច់ខាតមិនលើសពីបីដងនៃគម្លាតស្តង់ដារទេ។.

ឧទាហរណ៍ 28 ។ ផ្នែកដែលផលិតដោយម៉ាស៊ីនស្វ័យប្រវត្តិត្រូវបានគេចាត់ទុកថាសមប្រសិនបើគម្លាតនៃទំហំដែលបានគ្រប់គ្រងរបស់វាពីការរចនាមិនលើសពី 10 មីលីម៉ែត្រ។ គម្លាតចៃដន្យនៃទំហំដែលបានគ្រប់គ្រងពីទំហំរចនាគឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយធម្មតាជាមួយនឹងគម្លាតស្តង់ដារ mm និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។ តើម៉ាស៊ីនផលិតផ្នែកល្អប៉ុន្មានភាគរយ?

ដំណោះស្រាយ។ ពិចារណាអថេរចៃដន្យ X - គម្លាតនៃទំហំពីការរចនា។ ផ្នែកនឹងត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាសម ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផលិតផ្នែកសមស្របត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត។ ដូច្នេះភាគរយនៃផ្នែកល្អដែលផលិតដោយម៉ាស៊ីនគឺ 95.44% ។

ការចែកចាយទ្វេ

Binomial គឺជាការបែងចែកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង ម ចំនួនព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុង ទំ ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ ដែលក្នុងនោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗគឺថេរ និងស្មើនឹង រ . ប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំនួនដែលអាចកើតមាននៃព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត Bernoulli៖ ,

កន្លែងណា។ អចិន្ត្រៃយ៍ ទំ និង រ រួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមនេះ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃច្បាប់ binomial ។ ការចែកចាយ binomial ពិពណ៌នាអំពីការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។

លក្ខណៈជាលេខជាមូលដ្ឋាននៃការបែងចែកលេខពីរ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺ។ ការបែកខ្ញែកគឺ។ មេគុណ skewness និង kurtosis គឺស្មើនឹង និង . ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៃចំនួននៃការសាកល្បង ក និង អ៊ី ទំនោរទៅសូន្យ ដូច្នេះយើងអាចសន្មត់ថាការចែកចាយ binomial ប្រែទៅជាធម្មតាជាមួយនឹងការកើនឡើងចំនួននៃការសាកល្បង។

ឧទាហរណ៍ 29 ។ ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នានៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក នៅរាល់ការធ្វើតេស្ត។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង ក នៅក្នុងការសាកល្បងមួយ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នានៃចំនួននៃការបង្ហាញខ្លួនក្នុងការធ្វើតេស្តចំនួនបីគឺ 0.63។

ដំណោះស្រាយ។ សម្រាប់ការចែកចាយ binomial ។ ជំនួសតម្លៃ យើងទទួលបានពីទីនេះ ឬបន្ទាប់មក និង .

ការចែកចាយ Poisson

ច្បាប់នៃការចែកចាយបាតុភូតដ៏កម្រ

ការចែកចាយ Poisson ពិពណ៌នាអំពីចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ ម កើតឡើងក្នុងចន្លោះពេលស្មើគ្នា ផ្តល់ថាព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមកជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេមធ្យមថេរ។ ទន្ទឹមនឹងនេះចំនួននៃការសាកល្បង ទំ មានទំហំធំ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ រ តូច។ ដូច្នេះការចែកចាយ Poisson ត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់នៃបាតុភូតកម្រឬលំហូរសាមញ្ញបំផុត។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការចែកចាយ Poisson គឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញពីអាំងតង់ស៊ីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុង ទំ ការធ្វើតេស្ត។ រូបមន្តចែកចាយ Poisson ។

ការចែកចាយ Poisson ពិពណ៌នាយ៉ាងល្អអំពីចំនួននៃការទាមទារសម្រាប់ការទូទាត់ប្រាក់ធានារ៉ាប់រងក្នុងមួយឆ្នាំ ចំនួននៃការហៅទូរសព្ទដែលបានទទួលដោយការផ្លាស់ប្តូរទូរស័ព្ទក្នុងពេលជាក់លាក់មួយ ចំនួននៃការបរាជ័យនៃធាតុកំឡុងពេលធ្វើតេស្តភាពជឿជាក់ ចំនួនផលិតផលដែលមានបញ្ហា។ល។ .

លក្ខណៈជាលេខជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការចែកចាយ Poisson ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺស្មើនឹងបំរែបំរួល និងស្មើនឹង ក . នោះគឺជា។ នេះគឺជាលក្ខណៈពិសេសប្លែកនៃការចែកចាយនេះ។ មេគុណ skewness និង kurtosis រៀងគ្នាគឺស្មើនឹង .

ឧទាហរណ៍ 30 ។ ចំនួនជាមធ្យមនៃការទូទាត់នៃផលបូកធានារ៉ាប់រងក្នុងមួយថ្ងៃគឺពីរ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងរយៈពេលប្រាំថ្ងៃអ្នកនឹងត្រូវបង់: 1) 6 ផលបូកធានារ៉ាប់រង; 2) ចំនួនតិចជាងប្រាំមួយ; 3) មិនតិចជាង six.distribution ។

ការចែកចាយនេះត្រូវបានគេសង្កេតឃើញជាញឹកញាប់នៅពេលសិក្សាពីអាយុកាលសេវាកម្មនៃឧបករណ៍ផ្សេងៗ ពេលវេលាដំណើរការនៃធាតុបុគ្គល ផ្នែកនៃប្រព័ន្ធ និងប្រព័ន្ធទាំងមូល នៅពេលពិចារណាចន្លោះពេលចៃដន្យរវាងការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍កម្របន្តបន្ទាប់គ្នាពីរ។

ដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវបានគេហៅថា អត្រា​ធ្លាក់. ពាក្យនេះត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតំបន់ជាក់លាក់នៃការអនុវត្ត - ទ្រឹស្តីនៃភាពអាចជឿជាក់បាន។

កន្សោមសម្រាប់អនុគមន៍អាំងតេក្រាលនៃការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល វ៉ារ្យ៉ង់ គម្លាតស្តង់ដារ។ ដូច្នេះ វាជាតួយ៉ាងសម្រាប់ការចែកចាយនេះ ដែលគម្លាតស្តង់ដារគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ សម្រាប់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយ មេគុណ skewness និង kurtosis គឺជាតម្លៃថេរ។

ឧទាហរណ៍ 31 ។ រយៈពេលប្រតិបត្តិការជាមធ្យមរបស់ទូរទស្សន៍មុនពេលបរាជ័យដំបូងគឺ 500 ម៉ោង។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលទូរទស្សន៍ដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនឹងដំណើរការដោយគ្មានការបំបែកអស់រយៈពេលជាង 1000 ម៉ោង។

ដំណោះស្រាយ។ ចាប់តាំងពីពេលជាមធ្យមដល់ការបរាជ័យដំបូងគឺ 500 បន្ទាប់មក។ យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានដោយរូបមន្ត។

នៅក្នុងបញ្ហាជាច្រើនដែលទាក់ទងនឹងអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតា វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យមួយ គោរពច្បាប់ធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលពីទៅ . ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនេះ យើងប្រើរូបមន្តទូទៅ

តើមុខងារចែកចាយបរិមាណនៅឯណា។

ចូរ​យើង​ស្វែងរក​មុខងារ​ចែកចាយ​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ​ដែល​ចែកចាយ​ដោយ​យោង​ទៅ​តាម​ច្បាប់​ធម្មតា​ដែល​មាន​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃតម្លៃគឺ៖

. (6.3.2)

ពីទីនេះយើងរកឃើញមុខងារចែកចាយ

. (6.3.3)

ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាល (6.3.3)

ហើយយកវាទៅទម្រង់៖

(6.3.4)

អាំងតេក្រាល (6.3.4) មិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋមទេ ប៉ុន្តែវាអាចត្រូវបានគណនាក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារពិសេសដែលបង្ហាញពីអាំងតេក្រាលជាក់លាក់នៃកន្សោម ឬ (ហៅថាអាំងតេក្រាលប្រូបាប៊ីលីតេ) ដែលតារាងត្រូវបានចងក្រង . មានមុខងារបែបនេះជាច្រើនប្រភេទ ឧទាហរណ៍៖

;

ល។ តើមុខងារទាំងនេះមួយណាដែលត្រូវប្រើគឺជាបញ្ហានៃរសជាតិ។ យើងនឹងជ្រើសរើសមុខងារបែបនេះ

. (6.3.5)

វាងាយស្រួលមើលថាមុខងារនេះគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីមុខងារចែកចាយសម្រាប់អថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

យើងយល់ព្រមហៅមុខងារនេះថាជាមុខងារចែកចាយធម្មតា។ ឧបសម្ព័ន្ធ (តារាងទី 1) បង្ហាញតារាងនៃតម្លៃមុខងារ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីមុខងារចែកចាយ (6.3.3) នៃបរិមាណជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនិងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារចែកចាយធម្មតា។ ជាក់ស្តែង

. (6.3.6)

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយអថេរចៃដន្យនៅលើផ្នែកពីទៅ . យោងតាមរូបមន្ត (6.3.1)

ដូច្នេះ យើងបានបង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ ចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយនឹងធ្លាក់លើគ្រោងក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារចែកចាយស្តង់ដារ ដែលត្រូវគ្នានឹងច្បាប់ធម្មតាសាមញ្ញបំផុតដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ 0.1 ។ ចំណាំថាអាគុយម៉ង់មុខងារនៅក្នុងរូបមន្ត (6.3.7) មានអត្ថន័យសាមញ្ញណាស់: មានចម្ងាយពីចុងខាងស្តាំនៃផ្នែកទៅកណ្តាលនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងគម្លាតស្តង់ដារ; - ចម្ងាយដូចគ្នាសម្រាប់ចុងខាងឆ្វេងនៃផ្នែក ហើយចម្ងាយនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិជ្ជមាន ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់ស្ថិតនៅខាងស្តាំនៃមជ្ឈមណ្ឌលខ្ចាត់ខ្ចាយ ហើយអវិជ្ជមានប្រសិនបើនៅខាងឆ្វេង។

ដូចជាមុខងារចែកចាយណាមួយ មុខងារមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោម៖

3. - មុខងារមិនថយចុះ។

លើសពីនេះទៀតពីស៊ីមេទ្រីនៃការចែកចាយធម្មតាជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រអំពីប្រភពដើមវាធ្វើតាមនោះ។

ការប្រើប្រាស់លក្ខណសម្បត្តិនេះ តាមពិតទៅ វាអាចកំណត់តារាងអនុគមន៍ត្រឹមតែតម្លៃវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ ប៉ុន្តែដើម្បីជៀសវាងប្រតិបត្តិការដែលមិនចាំបាច់ (ដកពីមួយ) តារាងទី 1 នៃឧបសម្ព័ន្ធផ្តល់តម្លៃសម្រាប់ ទាំងអាគុយម៉ង់វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ជារឿយៗគេជួបប្រទះនឹងបញ្ហានៃការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតានឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងតំបន់ដែលស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុចកណ្តាលនៃការបែកខ្ញែក។ ពិចារណាផ្នែកនៃប្រវែងបែបនេះ (រូបភាព 6.3.1) ។ ចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយគេហទំព័រនេះដោយប្រើរូបមន្ត (6.3.7)៖

ដោយគិតពីទ្រព្យសម្បត្តិ (6.3.8) នៃអនុគមន៍ និងផ្តល់ឱ្យផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត (6.3.9) នូវទម្រង់បង្រួមកាន់តែច្រើន យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុង ផ្នែកស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងមជ្ឈមណ្ឌលរាយប៉ាយ៖

. (6.3.10)

តោះដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ផ្នែកបន្តបន្ទាប់គ្នានៃប្រវែងពីមជ្ឈមណ្ឌលចែកចាយ (រូបភាព 6.3.2) ហើយគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យនឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងពួកវានីមួយៗ។ ដោយសារខ្សែកោងនៃច្បាប់ធម្មតាគឺស៊ីមេទ្រី វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពន្យារពេលផ្នែកបែបនេះក្នុងទិសដៅតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

យោងតាមរូបមន្ត (៦.៣.៧) យើងរកឃើញ៖

(6.3.11)

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីទិន្នន័យទាំងនេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយទៅលើផ្នែកខាងក្រោមនីមួយៗ (ទីប្រាំ ទីប្រាំមួយ ។ល។) ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.001 គឺស្មើនឹងសូន្យ។

ការបង្គត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយផ្នែកដល់ 0.01 (រហូតដល់ 1%) យើងទទួលបានលេខបីដែលងាយស្រួលចងចាំ៖

0,34; 0,14; 0,02.

ផលបូកនៃតម្លៃទាំងបីនេះគឺ 0.5 ។ នេះមានន័យថាសម្រាប់អថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតា ការបែកខ្ញែកទាំងអស់ (រហូតដល់ប្រភាគនៃភាគរយ) សមនឹងផ្នែក។

នេះអនុញ្ញាតឱ្យដឹងពីគម្លាតស្តង់ដារ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ ដើម្បីបង្ហាញអំពីជួរនៃតម្លៃដែលអាចអនុវត្តបានរបស់វា។ វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ប្រមាណជួរនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងស្ថិតិគណិតវិទ្យាថាជា "ច្បាប់នៃបី sigma" ។ ច្បាប់នៃបី sigma ក៏បង្កប់ន័យវិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់កំណត់គម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យមួយ៖ ពួកគេយកគម្លាតដែលអាចអនុវត្តបានអតិបរមាពីមធ្យមភាគ ហើយចែកវាដោយបី។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់ វិធីសាស្ត្រ​រដុប​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​ណែនាំ​លុះត្រា​តែ​គ្មាន​វិធី​ផ្សេង​ទៀត​ដែល​ត្រឹមត្រូវ​ជាង​ក្នុង​ការ​កំណត់។

ឧទាហរណ៍ 1. អថេរចៃដន្យ ចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា គឺជាកំហុសក្នុងការវាស់ចម្ងាយជាក់លាក់មួយ។ នៅពេលវាស់ កំហុសជាប្រព័ន្ធត្រូវបានអនុញ្ញាតក្នុងទិសដៅនៃការប៉ាន់ប្រមាណលើសដោយ 1.2 (m); គម្លាតស្តង់ដារនៃកំហុសវាស់គឺ 0.8 (m) ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគម្លាតនៃតម្លៃវាស់ពីតម្លៃពិតមិនលើសពី 1.6 (m) ក្នុងតម្លៃដាច់ខាត។

ដំណោះស្រាយ។ កំហុសរង្វាស់គឺជាអថេរចៃដន្យដែលគោរពច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និង . យើងត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលបរិមាណនេះធ្លាក់លើចន្លោះពេលពីទៅ . តាមរូបមន្ត (៦.៣.៧) យើងមាន៖

ដោយប្រើតារាងមុខងារ (ឧបសម្ព័ន្ធតារាងទី ១) យើងរកឃើញ៖

; ,

ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដូចក្នុងឧទាហរណ៍មុន ប៉ុន្តែនៅលើលក្ខខណ្ឌថាមិនមានកំហុសជាប្រព័ន្ធ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយរូបមន្ត (6.3.10) សន្មតថាយើងរកឃើញ:

.

ឧទាហរណ៍ 3. នៅគោលដៅដែលមើលទៅដូចជាបន្ទះ (ផ្លូវហាយវេ) ដែលមានទទឹង 20 ម៉ែត្រ ការបាញ់ប្រហារត្រូវបានអនុវត្តក្នុងទិសដៅកាត់កែងទៅនឹងផ្លូវហាយវេ។ គោលដៅត្រូវបានអនុវត្តតាមខ្សែកណ្តាលនៃផ្លូវហាយវេ។ គម្លាតស្តង់ដារក្នុងទិសដៅបាញ់គឺស្មើនឹង m ។ មានកំហុសជាប្រព័ន្ធក្នុងទិសដៅបាញ់៖ ការបាញ់ក្រោមគឺ 3 ម៉ែត្រ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបុកផ្លូវហាយវេដោយបាញ់មួយគ្រាប់។

(ពិត, វិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹង)

ការចែកចាយធម្មតា។ហៅផងដែរថា ការចែកចាយ Gaussianឬ Gauss - Laplace- ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលនៅក្នុងករណីមួយវិមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលស្របគ្នានឹងអនុគមន៍ Gaussian :

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\ displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))))

ដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ μ គឺជាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា (តម្លៃមធ្យម) មធ្យម និងរបៀបនៃការចែកចាយ ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ σ គឺជាគម្លាតស្តង់ដារ ( σ ² - វ៉ារ្យង់) នៃការចែកចាយ។

ដូច្នេះ ការចែកចាយធម្មតាមួយវិមាត្រគឺជាគ្រួសារនៃការបែងចែកដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រពីរ។ ករណីពហុបំរែបំរួលត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងអត្ថបទ "ការចែកចាយពហុវ៉ារ្យង់ធម្មតា" ។

ការចែកចាយធម្មតា។ត្រូវបានគេហៅថាការចែកចាយធម្មតាដែលមានមធ្យម μ = 0 និងគម្លាតស្តង់ដារ σ = 1 ។

សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube

• 1 / 5

  សារៈសំខាន់នៃការចែកចាយធម្មតានៅក្នុងវិស័យជាច្រើននៃវិទ្យាសាស្ត្រ (ឧទាហរណ៍នៅក្នុងស្ថិតិគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យាស្ថិតិ) កើតឡើងពីទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃការសង្កេតគឺជាផលបូកនៃអថេរដែលអាស្រ័យគ្នាទៅវិញទៅមកដោយចៃដន្យជាច្រើន ដែលនីមួយៗមានការរួមចំណែកតិចតួចទាក់ទងទៅនឹងផលបូកសរុប នោះនៅពេលដែលចំនួនពាក្យកើនឡើង ការចែកចាយលទ្ធផលកណ្តាល និងធម្មតាមាននិន្នាការទៅធម្មតា។ ច្បាប់នៃទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេនេះ មានផលវិបាកដល់ការចែកចាយយ៉ាងទូលំទូលាយនៃការចែកចាយធម្មតា ដែលជាហេតុផលមួយសម្រាប់ឈ្មោះរបស់វា។

  ទ្រព្យសម្បត្តិ

  គ្រា

  ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X 1 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ X_(1))និង X 2 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ X_(2))គឺឯករាជ្យ និងមានការចែកចាយធម្មតាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា μ 1 (\ រចនាប័ទ្ម\mu _(1))និង μ 2 (\ រចនាប័ទ្ម\mu _(2))និងការបែកខ្ញែក σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))និង σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))រៀងៗខ្លួន X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))ក៏មានការចែកចាយធម្មតាជាមួយនឹងតម្លៃរំពឹងទុក μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))និងការបែកខ្ញែក σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2))នេះបញ្ជាក់ថាអថេរចៃដន្យធម្មតាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃចំនួនបំពាននៃអថេរចៃដន្យធម្មតាឯករាជ្យ។

  entropy អតិបរមា

  ការចែកចាយធម្មតាមាន entropy ឌីផេរ៉ង់ស្យែលអតិបរមាក្នុងចំណោមការចែកចាយបន្តទាំងអស់ដែលវ៉ារ្យង់មិនលើសពីតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

  ការធ្វើគំរូអថេរ Pseudo-Random ធម្មតា។

  វិធីសាស្រ្តគំរូប្រហាក់ប្រហែលដ៏សាមញ្ញបំផុតគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ ទំ។ មានន័យថា ប្រសិនបើយើងបន្ថែមបរិមាណចែកចាយដែលដូចគ្នាបេះបិទដោយឯករាជ្យមួយចំនួនជាមួយនឹងការប្រែប្រួលកំណត់ នោះផលបូកនឹងត្រូវបានចែកចាយ ប្រមាណល្អ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមស្តង់ដារឯករាជ្យ 100 ស្មើៗគ្នា។បែងចែកអថេរចៃដន្យ បន្ទាប់មកការចែកចាយផលបូកនឹងមានប្រមាណ ធម្មតា។.

  សម្រាប់ការបង្កើតកម្មវិធីនៃអថេរ pseudo-random ដែលត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើការបំប្លែង អុិនធឺណិត-មឺល័រ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើតតម្លៃចែកចាយធម្មតាមួយដោយផ្អែកលើតម្លៃដែលបានចែកចាយស្មើៗគ្នា។

  ការចែកចាយធម្មតានៅក្នុងធម្មជាតិ និងកម្មវិធី

  ការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងធម្មជាតិ។ ឧទាហរណ៍ អថេរចៃដន្យខាងក្រោមត្រូវបានយកគំរូតាមយ៉ាងល្អដោយការបែងចែកធម្មតា៖

  • ការបាញ់ផ្លោង។
  • កំហុសក្នុងការវាស់វែង (ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ កំហុសនៃឧបករណ៍វាស់មួយចំនួនមានការចែកចាយមិនប្រក្រតី)។
  • លក្ខណៈមួយចំនួននៃសារពាង្គកាយមានជីវិតនៅក្នុងប្រជាជន។

  ការចែកចាយនេះគឺរីករាលដាលខ្លាំងណាស់ ព្រោះវាគឺជាការចែកចាយបន្តដែលមិនអាចបំបែកបានដោយគ្មានកំណត់ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាកំណត់។ ដូច្នេះហើយ អ្នកខ្លះទៀតចូលទៅជិតវានៅក្នុងដែនកំណត់ ដូចជា binomial និង Poisson ។ ដំណើរការរូបវន្តមិនកំណត់ជាច្រើនត្រូវបានយកគំរូតាមការចែកចាយនេះ។

  ទំនាក់ទំនងជាមួយការចែកចាយផ្សេងទៀត។

  • ការចែកចាយធម្មតាគឺជាការចែកចាយប្រភេទ XI Pearson ។
  • សមាមាត្រនៃស្តង់ដារឯករាជ្យមួយគូដែលជាធម្មតាចែកចាយអថេរចៃដន្យមានការចែកចាយ Cauchy ។ នោះគឺប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)តំណាងឱ្យទំនាក់ទំនង X = Y / Z (\ displaystyle X = Y / Z)(កន្លែងណា Y (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម Y)និង Z (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម Z)គឺជាអថេរចៃដន្យធម្មតាស្តង់ដារឯករាជ្យ) បន្ទាប់មកវានឹងមានការចែកចាយ Cauchy ។
  • ប្រសិនបើ z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))គឺជាអថេរចៃដន្យធម្មតាស្តង់ដារឯករាជ្យរួមគ្នា i.e. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right))បន្ទាប់មក អថេរចៃដន្យ x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))មានការចែកចាយ chi-square ជាមួយ k ដឺក្រេនៃសេរីភាព។
  • ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)ជាកម្មវត្ថុនៃការចែកចាយតក្កវិជ្ជា បន្ទាប់មកលោការីតធម្មជាតិរបស់វាមានការចែកចាយធម្មតា។ នោះគឺប្រសិនបើ X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), នោះ។ Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). ហើយផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើ Y ∼ N (μ , σ 2) (\ ការបង្ហាញរចនាប័ទ្ម Y \\ ស៊ីម \\ mathrm (N) \\ ឆ្វេង (\ mu , \ sigma ^ (2) \ ស្តាំ)), នោះ។ X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) ស្តាំ)).
  • សមាមាត្រនៃការ៉េនៃអថេរចៃដន្យធម្មតាស្តង់ដារពីរមាន

  នៅក្នុងការអនុវត្ត អថេរចៃដន្យភាគច្រើន ដែលរងផលប៉ះពាល់ដោយកត្តាចៃដន្យមួយចំនួនធំ គោរពច្បាប់ធម្មតានៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងកម្មវិធីផ្សេងៗនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ច្បាប់នេះមានសារៈសំខាន់ជាពិសេស។

  អថេរចៃដន្យ $X$ គោរពច្បាប់ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេធម្មតា ប្រសិនបើដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi)))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma)^2)))$$

  តាមគ្រោងការណ៍ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $f\left(x\right)$ ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប ហើយមានឈ្មោះ "ខ្សែកោង Gaussian"។ នៅខាងស្ដាំនៃក្រាហ្វិកនេះគឺជាក្រដាសប្រាក់ 10 Mark របស់អាល្លឺម៉ង់ ដែលត្រូវបានប្រើសូម្បីតែមុនពេលការណែនាំនៃប្រាក់អឺរ៉ូ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឱ្យជិត នោះនៅលើក្រដាសប្រាក់នេះ អ្នកអាចមើលឃើញខ្សែកោង Gaussian និងអ្នករកឃើញរបស់វា ដែលជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុត Carl Friedrich Gauss ។

  តោះត្រឡប់ទៅមុខងារដង់ស៊ីតេរបស់យើង $f\left(x\right)$ ហើយផ្តល់ការពន្យល់ខ្លះៗអំពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ $a,\(\sigma )^2$។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ កំណត់លក្ខណៈកណ្តាលនៃការបែកខ្ញែកនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ ពោលគឺវាមានអត្ថន័យនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ នៅពេលដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ ផ្លាស់ប្តូរ ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $(\sigma )^2$ នៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ យើងអាចសង្កេតមើលការផ្លាស់ប្តូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $f\left(x\right)$ តាមអ័ក្ស abscissa ខណៈពេលដែលដង់ស៊ីតេ ក្រាហ្វខ្លួនឯងមិនផ្លាស់ប្តូររូបរាងរបស់វាទេ។

  

  ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $(\sigma )^2$ គឺជាបំរែបំរួល និងកំណត់រូបរាងរបស់ខ្សែកោងដង់ស៊ីតេ $f\left(x\right)$។ នៅពេលផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $(\sigma )^2$ ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ មិនផ្លាស់ប្តូរ យើងអាចសង្កេតមើលពីរបៀបដែលក្រាហ្វដង់ស៊ីតេផ្លាស់ប្តូររូបរាង រួញ ឬលាតសន្ធឹង ខណៈពេលដែលមិនផ្លាស់ប្តូរតាម abscissa ។

  

  ប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ

  ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ $X$ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល $\left(\alpha ;\\beta \right)$ អាចត្រូវបានគណនា $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  នៅទីនេះមុខងារ $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi)))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ គឺជា មុខងារ Laplace ។ តម្លៃនៃអនុគមន៍នេះត្រូវបានយកចេញពី . មុខងារខាងក្រោមនៃមុខងារ $\Phi \left(x\right)$ អាចត្រូវបានគេកត់សម្គាល់។

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, i.e. មុខងារ $\Phi \left(x\right)$ គឺសេស។

  2 . $\Phi \left(x\right)$ គឺជាមុខងារបង្កើនឯកតា។

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) \Phi \left(x\right)\)=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ ឆ្វេង(x\right)\)=-0.5$។

  ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $\Phi \left(x\right)$ អ្នកក៏អាចប្រើមុខងារ $f_x$ អ្នកជំនួយការនៃកញ្ចប់ Excel៖ $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\right)-0.5$ ។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $\Phi \left(x\right)$ សម្រាប់ $x=2$ ។

  

  ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យចែកចាយជាធម្មតា $X\in N\left(a;\(\sigma)^2\right)$ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងស៊ីមេទ្រីចន្លោះពេលទាក់ទងទៅនឹងការរំពឹងទុក $a$ អាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

  $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  ច្បាប់បី. វាប្រាកដណាស់ថាអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតា $X$ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ ។

  ឧទាហរណ៍ ១ . អថេរចៃដន្យ $X$ គឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a=2,\sigma =3$។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល $X$ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល $\left(0,5;1\right)$ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលវិសមភាព $\left|X-a\right|< 0,2$.

  ដោយប្រើរូបមន្ត

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  ស្វែងរក $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over(3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ លើ (3))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(0.33\right) =0.191-0.129=0.062 ដុល្លារ។

  $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  ឧទាហរណ៍ ២ . ឧបមាថាក្នុងកំឡុងឆ្នាំតម្លៃភាគហ៊ុនរបស់ក្រុមហ៊ុនជាក់លាក់មួយគឺជាអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាស្មើនឹង 50 ឯកតារូបិយវត្ថុធម្មតា និងគម្លាតស្តង់ដារស្មើនឹង 10 ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅលើការជ្រើសរើសដោយចៃដន្យគឺជាអ្វី ថ្ងៃនៃអំឡុងពេលដែលកំពុងពិភាក្សា តម្លៃសម្រាប់ភាគហ៊ុននឹងមានៈ

  ក) ច្រើនជាង 70 ឯកតារូបិយវត្ថុសាមញ្ញ?

  ខ) ក្រោម 50 ក្នុងមួយហ៊ុន?

  គ) រវាង 45 និង 58 ឯកតារូបិយវត្ថុធម្មតាក្នុងមួយហ៊ុន?

  សូមឲ្យអថេរចៃដន្យ $X$ ជាតម្លៃភាគហ៊ុនរបស់ក្រុមហ៊ុនមួយចំនួន។ តាមលក្ខខណ្ឌ $X$ ជាកម្មវត្ថុនៃការចែកចាយធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a=50$ - ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា $\sigma =10$ - គម្លាតស្តង់ដារ។ ប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ លើស (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

  $$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  ច្បាប់នៃការចែកចាយធម្មតានៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យបន្តកាន់កាប់កន្លែងពិសេសមួយក្នុងចំណោមច្បាប់ទ្រឹស្តីផ្សេងៗព្រោះវាជាច្បាប់សំខាន់ក្នុងការសិក្សាជាក់ស្តែងជាច្រើន។ គាត់ពិពណ៌នាអំពីបាតុភូតចៃដន្យភាគច្រើនដែលទាក់ទងនឹងដំណើរការផលិតកម្ម។

  បាតុភូតចៃដន្យដែលគោរពច្បាប់ចែកចាយធម្មតារួមមាន កំហុសរង្វាស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រផលិតកម្ម ការចែកចាយកំហុសក្នុងការផលិតបច្ចេកវិទ្យា កម្ពស់ និងទម្ងន់នៃវត្ថុជីវសាស្រ្តភាគច្រើន។ល។

  ធម្មតា។ ហៅទៅច្បាប់នៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

  a - ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ;

  គម្លាតស្តង់ដារនៃការចែកចាយធម្មតា។

  ក្រាហ្វនៃមុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងធម្មតា (ខ្សែកោង Gaussian) (រូបភាព 7) ។

  

  អង្ករ។ 7 ខ្សែកោង Gaussian

  លក្ខណៈសម្បត្តិនៃខ្សែកោងធម្មតា (ខ្សែកោង Gaussian):

  1. ខ្សែកោងគឺស៊ីមេទ្រីអំពីបន្ទាត់ត្រង់ x = a;

  2. ខ្សែកោងធម្មតាមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស X ពោលគឺសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ X មុខងារ f(x) គឺតែងតែវិជ្ជមាន។

  3. អ័ក្សគោគឺជា asymptote ផ្ដេកនៃក្រាហ្វ ពីព្រោះ

  4. សម្រាប់ x = a អនុគមន៍ f(x) មានអតិបរមាស្មើនឹង

  ,

  នៅចំនុច A និង B នៅ ហើយខ្សែកោងមានចំនុចបញ្ឆេះ ដែលការចាត់តាំងគឺស្មើគ្នា។

  

  ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វានឹងមិនលើសពីគម្លាតស្តង់ដារគឺស្មើនឹង 0.6826 ។

  នៅចំនុច E និង G សម្រាប់ និង តម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) គឺស្មើនឹង

  

  ហើយប្រូបាប៊ីលីតេដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វានឹងមិនលើសពីពីរដងនៃគម្លាតស្តង់ដារគឺ 0.9544 ។

  Asymptotically ខិតជិតអ័ក្ស abscissa ខ្សែកោង Gaussian នៅចំណុច C និង D នៅ និង , ខិតមកជិតអ័ក្ស abscissa ។ នៅចំណុចទាំងនេះ តម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) គឺតូចណាស់។

  

  ហើយប្រូបាប៊ីលីតេដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វានឹងមិនលើសពីបីដងនៃគម្លាតស្តង់ដារគឺ 0.9973 ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃខ្សែកោង Gaussian នេះត្រូវបានគេហៅថា " ច្បាប់បី".

  
  
  

  ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា នោះតម្លៃដាច់ខាតនៃគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាមិនលើសពីបីដងនៃគម្លាតស្តង់ដារនោះទេ។

  ការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a (ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ) មិនផ្លាស់ប្តូររូបរាងនៃខ្សែកោងធម្មតានោះទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែនាំទៅរកការផ្លាស់ប្តូររបស់វាតាមអ័ក្ស X៖ ទៅខាងស្តាំប្រសិនបើការកើនឡើង និងទៅខាងឆ្វេងប្រសិនបើ a ថយចុះ។

  នៅពេល a=0 ខ្សែកោងធម្មតាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។

  ការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (គម្លាតស្តង់ដារ) ផ្លាស់ប្តូររូបរាងនៃខ្សែកោងធម្មតា: ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃការថយចុះនៃខ្សែកោងធម្មតា ខ្សែកោងត្រូវបានលាតសន្ធឹងតាមអ័ក្ស X ហើយចុចប្រឆាំងនឹងវា។ នៅពេលដែលមានការថយចុះ ការចាត់ចែងនៃខ្សែកោងធម្មតាកើនឡើង ខ្សែកោងបង្រួមតាមអ័ក្ស X ហើយក្លាយជា "កំពូល" កាន់តែច្រើន។

  នៅពេលដំណាលគ្នានោះ សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ និងតំបន់ដែលកំណត់ដោយខ្សែកោងធម្មតា ហើយអ័ក្ស X នៅតែស្មើនឹងមួយ (ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យចែកចាយជាធម្មតានឹងយកតម្លៃដែលកំណត់ដោយខ្សែកោងធម្មតានៅលើ អ័ក្ស X គឺស្មើនឹង 1) ។

  ការចែកចាយធម្មតាជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្របំពាន និង ឧ. ពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

  

  ហៅ ការចែកចាយធម្មតា។.

  ការចែកចាយធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រនិងត្រូវបានគេហៅថា ការចែកចាយធម្មតា។(រូបភាពទី 8) ។ នៅក្នុងការចែកចាយធម្មតា មុខងារចែកចាយឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺ៖

  

  អង្ករ។ 8 ខ្សែកោងធម្មតា។

  មុខងារអាំងតេក្រាលនៃការចែកចាយធម្មតាទូទៅមានទម្រង់៖

  សូមឱ្យអថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាក្នុងចន្លោះពេល (c, d) ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែល X យកតម្លៃដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល (c, d) គឺស្មើនឹង

  

  ឧទាហរណ៍។អថេរ X ត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យនេះគឺ a=30 និង . ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល X យកតម្លៃក្នុងចន្លោះពេល (10, 50)។

  តាមលក្ខខណ្ឌ៖ ។ បន្ទាប់មក

  ដោយប្រើតារាង Laplace ដែលត្រៀមរួចជាស្រេច (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធទី 3) យើងមាន។