1. ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ និយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍នៃអថេរស្មុគស្មាញមួយស្របគ្នានឹងនិយមន័យដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់មុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដតែមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ w = f(z) = និង + ivបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួន យូពិន្ទុ ហ្សូចូរយើងផ្តល់អថេរឯករាជ្យ z = x + ហ្គូបង្កើន A z= A.g + ហ្គាវមិនដឹកនាំនៅខាងក្រៅតំបន់ជុំវិញនោះទេ។ យូបន្ទាប់មកមុខងារ w = f(z)នឹងទទួលបានការកើនឡើងដែលត្រូវគ្នា។ Aw = = f(z 0 +ឃ) - f(z 0)។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ w = f(z) នៅចំណុច zqត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុបាតមុខងារ អេដល់ការបង្កើនអាគុយម៉ង់ A zខណៈពេលកំពុងព្យាយាម Azដល់សូន្យ (តាមអំពើចិត្ត)។

ដេរីវេត្រូវបានបង្ហាញ f "(z Q), wឬ y- ។ និយមន័យនៃដេរីវេអាចត្រូវបានសរសេរជា

ដែនកំណត់ក្នុង (6.1) ប្រហែលជាមិនមានទេ។ បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាមុខងារ w = f(z)មិនមានដេរីវេនៅចំណុច zq ។

មុខងារ វ = f(z)ហៅ ភាពខុសគ្នាអំពីចំណុច Zqប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួន យូពិន្ទុ zq និងការកើនឡើងរបស់វា។ អេអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់

តើលេខស្មុគស្មាញនៅឯណា អិលមិនអាស្រ័យលើ Ag ទេ ហើយមុខងារ a(Ag) គឺគ្មានកំណត់នៅ Az-» ០, ឧ. Pm a(Ag) = 0 ។

ដូចគ្នានឹងមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដ វាត្រូវបានបង្ហាញថាមុខងារ f(z)ខុសគ្នាត្រង់ចំណុច zq ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែវាមានដេរីវេនៅក្នុង ហ្សូ. និង A = f "(zo) ។កន្សោម f"(zo)Azហៅ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ f(z) នៅចំណុច Zqនិងត្រូវបានកំណត់ dwឬ df(zo) ។ក្នុងករណីនេះការកើនឡើង Azនៃអថេរឯករាជ្យ -r ត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរ r និង

តំណាងដោយ dzដូច្នេះ

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាផ្នែកលីនេអ៊ែរសំខាន់នៃការបង្កើនមុខងារ។

ឧទាហរណ៍ 6.1 ។ ស៊ើបអង្កេតថាតើមុខងារមាន វ=/(r)=R អ៊ីសដេរីវេនៅចំណុចបំពាន Zq ។

ដំណោះស្រាយ។ តាមលក្ខខណ្ឌ w = Rea = X.ដោយសារនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដែនកំណត់ (C.1) មិនគួរអាស្រ័យលើផ្លូវណាទេ។

ចំណុច z = Zq + Azខិតជិត ទីនៅ A z-? 0. ចូរយើងយក A ជាមុនសិន z - អា(រូបទី 15, ក) ។ ដោយសារតែ អា = អា។បន្ទាប់មក = 1. ប្រសិនបើ

យក A z = អាយ(រូបទី ១៥, ខ), នោះ។ អូ= 0 ហើយដូច្នេះ អេ = 0.

នេះមានន័យថា u = 0. ដូច្នេះទំនាក់ទំនងនឹងត្រូវបានក្បត់នៅពេល Az-> 0 មិនមែន A zក z

មានហើយដូច្នេះមុខងារ វ= Re g = Xមិនមានដេរីវេនៅចំណុចណាមួយឡើយ។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នាមុខងារ w = z = X + អាយ,ជាក់ស្តែងមានដេរីវេនៅចំណុចណាមួយ r និង /"(th) = 1. ពីទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃមុខងារផ្សេងគ្នា f(r) មិនអាចបំពានបានទេ។ ពួកគេត្រូវតែភ្ជាប់ដោយទំនាក់ទំនងបន្ថែមមួយចំនួន។ ទំនាក់ទំនងទាំងនេះកើតឡើងដោយសារតែលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃដេរីវេ /"(0) មានភាពតឹងរ៉ឹងជាងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៃអថេរពិតប្រាកដមួយ ឬដេរីវេភាគនៃមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដជាច្រើន៖ វាត្រូវបានទាមទារថា ដែនកំណត់ក្នុង (6.1) មានហើយមិនអាស្រ័យលើផ្លូវទេ យោងទៅតាមចំនុច r = r + Ar ចូលទៅជិត r ជា Ar 0។ ដើម្បីទាញយកទំនាក់ទំនងទាំងនេះ សូមរំលឹកនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៃអថេរពីរ។

មុខងារពិត u = u(x,y)អថេរពិតប្រាកដ Xនិង នៅហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ។ រ៉ូ (ហូ, អូ),ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច D> ហើយចំនួនសរុបរបស់វាគឺ A និង = របស់ពួកគេ។ o + អូ!+ ក y) - និង (ហូ, អ៊ូ)តំណាងក្នុងទម្រង់

កន្លែងណា INនិង ជាមួយ- ចំនួនពិតឯករាជ្យនៃ J , អាយក {3 អូនិង អាយទំនោរទៅសូន្យនៅ អូ -» 0, អាយ-> 0.

ប្រសិនបើមុខងារ និងគឺខុសគ្នាត្រង់ចំនុច Po បន្ទាប់មកវាមាន a

G, " ឌី(P 0)^ ឌី(រ៉ូ) gt ,

ny និស្សន្ទវត្ថុនៅក្នុង Po និង IN=---, គ=---។ ប៉ុន្តែ (ខុសគ្នា

អូ អូ

ពីមុខងារនៃអថេរមួយ) ពីអត្ថិភាពនៃដេរីវេមួយផ្នែកនៃអនុគមន៍ u(x,y)ភាពខុសគ្នារបស់វាមិនទាន់ធ្វើតាមទេ។

2. លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ។

ទ្រឹស្តីបទ 6.1 ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ w = f(z) នៃអថេរស្មុគស្មាញ z=(f, y) ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុច, zq= (យ៉ូ, y o) និង f(z) = u(x,y) +iv(x, y)។ ដើម្បីឱ្យ f(z) មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុច Zq វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលមុខងារ u(x, y) XI v(x, y) អាចខុសគ្នានៅចំណុច(ចូ oo) ហើយថានៅចំណុចនេះលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ

សមភាព (៦.៤) ត្រូវបានគេហៅថា លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann .

ភស្តុតាង។ ភាព​ចាំបាច់។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ w = f(z)គឺខុសគ្នាត្រង់ចំនុច zq, i.e.

ចូរយើងសម្គាល់ f"(zo) = ក + ib a(Dg) = fi(Ax, Ау)+ g7(J, អាយ); អាស = អា + (អេ!កន្លែងណា /3 និង 7 - មុខងារពិតនៃអថេរ អូ!ទំនោរទៅសូន្យដូចជា J -> 0, អេ -> 0. ការជំនួសសមភាពទាំងនេះទៅជា (6.5) និងការបំបែកផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃ យើងទទួលបាន៖

ដោយសារសមភាពនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺស្មើនឹងសមភាពនៃផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេ ដូច្នេះ (6.6) គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធសមភាព។

សមភាព (៦.៧) មានន័យថា អនុគមន៍ u(x,y), v(x,y)បំពេញលក្ខខណ្ឌ (6.3) ហើយដូច្នេះវាអាចខុសគ្នា។ ចាប់តាំងពីមេគុណសម្រាប់ J និង អាយគឺស្មើនឹងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង w និង នៅយោងទៅតាម (6.7) យើងទទួលបាន

លក្ខខណ្ឌ (៦.៤) ធ្វើតាម។

ភាពគ្រប់គ្រាន់។ ចូរយើងសន្មតថាមុខងារ u(x, y)និង v(x,y)ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ។ (ហូ.oo)និង u(x,y)និងលក្ខខណ្ឌ (6.4) ត្រូវបានពេញចិត្ត។

កំណត់ a = ^, 6 = -^ ហើយអនុវត្ត (6.4) យើងមកដល់សមភាព (6.8) ។ ពី (6.8) និងលក្ខខណ្ឌនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ u(x,y), v(x,y)យើង​មាន

កន្លែងណា ft, 7i, ft, ឃ-2 - មុខងារទំនោរទៅសូន្យដូច អា -> 0, អេ ->-> 0. ពីទីនេះ

ក + iAv= (o + ib)(អេ + អាយ)+ (ft + ift) ពូថៅ + (71 + * 72) អាយ។(6.9) ចូរយើងកំណត់មុខងារ a(Dr) ដោយសមភាព

ហើយដាក់ ក = ក 4- ib.បន្ទាប់មក (6.9) នឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាសមភាព

ដែលស្របគ្នានឹង (6.2) ។ ថ្ងៃនៃភស្តុតាងនៃភាពខុសគ្នា

មុខងារ f(z)វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញថា lim a(Az) = 0. ពីសមភាព

ធ្វើតាមនោះ។ អូ^ |Dg|, អាយ^ |Dg| ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ប្រសិនបើ Az-? 0 បន្ទាប់មក អូ-? 0, អាយ-> 0 ដែលមានន័យថាអនុគមន៍ ft, ft, 71, 72 ទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះ a(Dr) -> 0 នៅ Az-> 0 ហើយភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 6.1 ត្រូវបានបញ្ចប់។

ឧទាហរណ៍ 6.2 ។ រកមើលថាតើមុខងារមួយឬអត់ វ = z 2 ខុសគ្នា; បើដូច្នេះ តើនៅចំណុចណា?

ដំណោះស្រាយ, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2xy,កន្លែងណា និង = = x 2 − y 2, V = 2xy ។អាស្រ័យហេតុនេះ

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann (6.4) ត្រូវបានគេពេញចិត្តនៅចំណុចនីមួយៗ; នោះមានន័យថាមុខងារ w = g 2 នឹងមានភាពខុសគ្នានៅក្នុង C ។

ឧទាហរណ៍ 6.3 ។ សិក្សាពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារមួយ។ វ = - z - x - អាយ។

ដំណោះស្រាយ។ w = u + iv = x - iy,កន្លែងណា u = x, v = -yនិង

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann មិនពេញចិត្តនៅចំណុចណាមួយទេហើយដូច្នេះមុខងារ w = zមិនខុសគ្នានៅកន្លែងណាទេ។

អ្នក​អាច​ពិនិត្យ​មើល​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​អនុគមន៍ និង​ស្វែង​រក​និស្សន្ទវត្ថុ​ដោយ​ផ្ទាល់​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត (6.1)។

ឧទាហរណ៍ 6.4 ។ ដោយប្រើរូបមន្ត (6.1) ស៊ើបអង្កេតភាពខុសគ្នានៃមុខងារ IV = z ២.

ដំណោះស្រាយ។ ក w- (zq + ក z) ២- Zq = 2 zqAz -I- (A z) 2 ,កន្លែងណា

ដូច្នេះមុខងារ វ = zrគឺអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយ 2o និងដេរីវេរបស់វា។ f"(zo) =2 ហ្សូ-

ដោយសារទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗលើដែនកំណត់ត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់មុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ ហើយនិយមន័យនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ ក៏មិនខុសពីនិយមន័យដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់មុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដ នោះច្បាប់ល្បីសម្រាប់ ភាពខុសគ្នានៃផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល គុណតម្លៃ និងអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៅតែមានសុពលភាពសម្រាប់មុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ។ ដូចគ្នានេះដែរវាក៏អាចបញ្ជាក់បានថាប្រសិនបើមុខងារ f(z)ខុសគ្នាត្រង់ចំណុច ហ្សូបន្ទាប់មកវាបន្តនៅចំណុចនេះ; ការសន្ទនាគឺមិនពិតទេ។

3. មុខងារវិភាគ។ មុខងារ វ= /(^ ខុសគ្នាតែត្រង់ចំណុចខ្លួនវាប៉ុណ្ណោះ។ zq, ប៉ុន្តែក៏នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ, ត្រូវបានហៅ ការវិភាគនៅចំណុច zq ។ប្រសិនបើ f(z)ត្រូវបានវិភាគនៅគ្រប់ចំណុចនៃតំបន់ ឃបន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថា ការវិភាគ (ធម្មតា, holomorphic) នៅក្នុងដែន D.

ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃនិស្សន្ទវត្ថុ វាធ្វើតាមភ្លាមៗថា if f(z)និង g(z)- មុខងារវិភាគក្នុងវិស័យ ឃបន្ទាប់មកមុខងារ f(z) + g(z), f(z) - g(z), f(z) g(z)ការវិភាគក្នុងវិស័យផងដែរ។ ឃនិងកូតា f(z)/g(z)មុខងារវិភាគនៅគ្រប់ចំណុចនៃតំបន់ ឃ.នៅក្នុងនោះ។ g(z) f 0. ឧទាហរណ៍មុខងារ

គឺជាការវិភាគនៅក្នុងយន្តហោះ C ជាមួយនឹងចំណុចធ្លាក់ចុះ z= = 1 និង z - ខ្ញុំ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមបានមកពីទ្រឹស្តីបទស្តីពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ៖ ប្រសិនបើអនុគមន៍ និង = u(z) គឺជាការវិភាគនៅក្នុងដែន ឃនិងការបង្ហាញ ឃទៅកាន់តំបន់ ឃ"អថេរ និង និងមុខងារ វ = f(u)ការវិភាគក្នុងវិស័យ ឃ"បន្ទាប់មកមុខងារស្មុគស្មាញ វ = f(u(z))អថេរ zការវិភាគនៅក្នុង ឃ.

ចូរយើងណែនាំពីគំនិតនៃមុខងារដែលវិភាគក្នុងដែនបិទជិត ឃ.ភាពខុសគ្នាពីតំបន់បើកចំហនៅទីនេះគឺថាចំណុចព្រំដែនត្រូវបានបន្ថែមដែលមិនមានសង្កាត់ជាកម្មសិទ្ធិ ឃ;ដូច្នេះ ដេរីវេនៅចំណុចទាំងនេះមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ មុខងារ f(z)ហៅ វិភាគ (ទៀង​ទា​ត, ហូឡូម៉ូហ្វីក) នៅក្នុងតំបន់បិទ Dប្រសិនបើមុខងារនេះអាចត្រូវបានពង្រីកទៅតំបន់ធំទូលាយមួយចំនួន ឃខ្ញុំ​មាន ឃទៅការវិភាគ ឃមុខងារ។

• លក្ខខណ្ឌ (6.4) ត្រូវបានសិក្សានៅសតវត្សទី 18 ។ d'Alembert និងអយល័រ។ ដូច្នេះហើយ ពេលខ្លះពួកគេក៏ត្រូវបានគេហៅថាលក្ខខណ្ឌ d'Alembert-Euler ដែលត្រឹមត្រូវជាងតាមទស្សនៈប្រវត្តិសាស្ត្រ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ វ = f(Z) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើសំណុំមួយចំនួននិង Z 0 , ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់ អ៊ីចំណុចកំណត់នៃសំណុំនេះ។ តោះបន្ថែម Z 0 = x 0 + ខ្ញុំ· y 0 បង្កើន Δ Z = Δ x+ ខ្ញុំ· Δ yចង្អុល Z = Z 0 + Δ Zជាកម្មសិទ្ធិរបស់មនុស្សជាច្រើន។ អ៊ី. បន្ទាប់មកមុខងារ វ = យូ+ ខ្ញុំ· v = f(Z) = យូ(x, y)+ ខ្ញុំ· v(x, y). យើងទទួលបានការកើនឡើង Δ វ = Δ យូ+ ខ្ញុំ· Δ v = f(Z 0 + Δ Z) - f(Z 0 ) = Δ f(Z 0 ) ,
.

ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់
បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។f(Z) នៅចំណុចZ 0 ដោយមនុស្សជាច្រើនអ៊ី, និងត្រូវបានតំណាង
,
,
, វ" .

ជាផ្លូវការ អនុគមន៍ដេរីវេនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ ត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងអនុគមន៍ដេរីវេនៃអថេរពិតប្រាកដ ប៉ុន្តែខ្លឹមសាររបស់វាខុសគ្នា។

នៅក្នុងនិយមន័យនៃដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ f(x) អថេរពិតប្រាកដនៅចំណុចមួយ។ X 0 , x→ x 0 តាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់។ ក្នុងករណីមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ f(Z), Zអាចខិតខំ Z 0 តាមបណ្តោយផ្លូវយន្តហោះដែលនាំទៅដល់ចំណុចមួយ។ Z 0 .

ដូច្នេះតម្រូវការសម្រាប់អត្ថិភាពនៃដេរីវេនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញគឺតឹងរ៉ឹងណាស់។ នេះពន្យល់ថាសូម្បីតែមុខងារសាមញ្ញនៃអថេរស្មុគស្មាញក៏មិនមានដេរីវេដែរ។

ឧទាហរណ៍។

ពិចារណាមុខងារ វ = = x- ខ្ញុំ· y. ចូរយើងបង្ហាញថាមុខងារនេះមិនមានដេរីវេនៅចំណុចណាមួយឡើយ។ ចូរយើងយកចំណុចណាមួយ។ Z 0 = x 0 + ខ្ញុំ· y 0 , អនុញ្ញាតឱ្យវាបង្កើន Δ Z = Δ x+ ខ្ញុំ· Δ yបន្ទាប់មកមុខងារនឹងទទួលបានការកើនឡើង។ មធ្យោបាយ

,
,

ដំបូងយើងនឹងពិចារណា Δ Z = Δ x + ខ្ញុំ· Δ yបែបនេះ Δ x → 0 , និង Δ y = 0 , ឧ. ចំណុច Z 0 + Δ Z → Z 0 តាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ផ្ដេក។ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាការបង្កើន ∆ Zបែបនេះ ∆ x = 0 , និង ∆ y → 0 , i.e. ពេលណា​ Z 0 + ∆ Z→ Z 0 តាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់បញ្ឈរ ហើយវានឹងច្បាស់
.

ដែនកំណត់លទ្ធផលគឺខុសគ្នាដូច្នេះសមាមាត្រ មិនមានដែនកំណត់នៅ ∆ Z → 0 នោះគឺមុខងារ
មិនមានដេរីវេនៅចំណុចណាមួយឡើយ។ Z 0 .

ចូរ​យើង​ស្វែង​រក​អត្ថន័យ​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​សំណុំ។ អនុញ្ញាតឱ្យ អ៊ីគឺជាអ័ក្សពិត និង វ = f(Z) = xបន្ទាប់មកនេះគឺជាមុខងារពិតធម្មតានៃអថេរពិតប្រាកដ f(x) = xហើយដេរីវេរបស់វានឹងស្មើគ្នា 1 (
).

អនុញ្ញាតឱ្យវាឥឡូវនេះ អ៊ី- នេះគឺជាយន្តហោះទាំងមូល (Z). ចូរយើងបង្ហាញមុខងារនោះ។ f(Z) = xក្នុងករណីនេះវាមិនមានដេរីវេនៅចំណុចណាមួយឡើយ។ ជាការពិតក្នុងករណីនេះ
វាច្បាស់ណាស់ពីនេះថាប្រសិនបើ
ក
, នោះ។
. ប្រសិនបើ
, ក
, នោះ។
ដូច្នេះ ឥរិយាបទ គ្មានដែនកំណត់នៅ
ដូច្នេះមុខងារ f(Z) = xមិនមានដេរីវេនៅចំណុចណាមួយឡើយ។
.

ចំណាំថាប្រសិនបើអនុគមន៍តម្លៃស្មុគ្រស្មាញនៃអថេរពិតប្រាកដមួយត្រូវបានពិចារណា នោះវាកើតឡើងភ្លាមៗពីនិយមន័យនៃដេរីវេដែល
ដូច្នេះ (នេះគឺជាដេរីវេតាមអ័ក្សពិត)។

រូបមន្តសម្រាប់បង្កើនមុខងារ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ វ = f(Z) មាននៅចំណុច Z 0 ដេរីវេ
. ចូរយើងបង្ហាញថាតំណាង (1) កាន់កាប់, ដែលជាកន្លែងដែលបរិមាណ
, ពេលណា​
.

ជាការពិតតាមនិយមន័យនៃដេរីវេយើងមាន
ដូច្នេះតម្លៃ
, ពេលណា​
. ដូច្នេះតំណាង (1) កើតឡើង (គុណភាគីទាំងពីរដោយ
ហើយផ្លាស់ទីវា។
ទៅខាងឆ្វេង) ។

មេរៀនទី ៨ ភាពខុសគ្នា និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។

មុខងារ វ = f(Z) ហៅ ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចZ 0 ប្រសិនបើនៅចំណុចនេះតំណាង (2) កើតឡើង កន្លែងណា ក គឺជាចំនួនកុំផ្លិចថេរ និងបរិមាណ
ទំនោរទៅសូន្យនៅពេល
.

ប្រសិនបើមុខងារ វ = f(Z) ខុសគ្នាត្រង់ចំណុច Z 0 បន្ទាប់មក លីនេអ៊ែរ សំខាន់ ដែលទាក់ទងទៅ
ផ្នែករបស់វា។ ក·
ការកើនឡើង
នៅចំណុច Z 0 ហៅ មុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល f(Z) នៅចំណុច និងត្រូវបានកំណត់
.

ទ្រឹស្តីបទកាន់។

ទ្រឹស្តីបទ។

ដើម្បីឱ្យមុខងារវ = f(Z) គឺខុសគ្នាត្រង់ចំណុចZ 0 វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាមាននិស្សន្ទវត្ថុកំណត់នៅចំណុចនេះ។
ហើយវាតែងតែប្រែថានៅក្នុងតំណាង (2)
.

ភស្តុតាង.

ភាព​ចាំបាច់។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុច Z 0 . អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាវាមានដេរីវេទីកំណត់នៅចំណុចនេះ ហើយថាដេរីវេនេះស្មើនឹងចំនួន ក. ដោយសារតែភាពខុសគ្នា f(Z) នៅចំណុច Z 0 ការតំណាង (2) កើតឡើងដែលមានន័យថា
(៣). ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នៅទីនេះ
យើងទទួលបាននោះ។
, មានន័យថា
.

ភាពគ្រប់គ្រាន់។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(Z) មាននៅចំណុច Z 0 ដេរីវេចុងក្រោយ
. ចូរយើងបង្ហាញថាតំណាង (2) កាន់។ ដោយសារតែអត្ថិភាពនៃដេរីវេ
តំណាង (1) កើតឡើង ប៉ុន្តែនេះក៏ជាតំណាង (2) ដែលក្នុងនោះ ក =
. ភាពគ្រប់គ្រាន់ត្រូវបានបង្កើតឡើង។

ដូចដែលយើងដឹង ឌីផេរ៉ង់ស្យែល យកជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរឯករាជ្យ Z ការកើនឡើងរបស់វា។
នោះគឺសន្មត់
យើងអាចសរសេរបាន។
ហើយ​ដូច្នេះ
(នេះគឺជាទំនាក់ទំនងនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល មិនមែនជានិមិត្តសញ្ញាតែមួយទេ)។

អនុញ្ញាតឱ្យមានមុខងារ = យូ(x, y)+iv(x, y) ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងបរិវេណនៃចំណុច z = x+អាយ. ប្រសិនបើអថេរ zការកើនឡើង  z= x+ខ្ញុំ yបន្ទាប់មកមុខងារ
នឹងទទួលបានការកើនឡើង


= (z+ z)–
=យូ(x+ x, y+ y)+

+ iv(x+ x, y+ y) - យូ(x, y) - iv(x, y) = [យូ(x+ x, y+ y) –

– យូ(x, y)] + ខ្ញុំ[v(x+ x, y+ y) - v(x, y)] =

= យូ(x, y) + ខ្ញុំ v(x, y).

និយមន័យ។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់

=

,

បន្ទាប់មកដែនកំណត់នេះត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃមុខងារ
នៅចំណុច zនិងត្រូវបានតំណាងដោយ f(z) ឬ
. ដូច្នេះតាមនិយមន័យ

=

=

. (1.37)

ប្រសិនបើមុខងារ
មានដេរីវេនៅចំណុច zបន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាមុខងារ
ខុសគ្នាត្រង់ចំណុច z. ជាក់ស្តែងសម្រាប់មុខងារអាចខុសគ្នា
វាចាំបាច់សម្រាប់មុខងារ យូ(x, y) និង v(x, y) ខុសគ្នា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដេរីវេទេ។ f(z) ឧទាហរណ៍សម្រាប់មុខងារ វ== x–អាយមុខងារ យូ(x, y)=x

និង v(x, y)=–yខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុច M ( x, y) ប៉ុន្តែដែនកំណត់នៃសមាមាត្រ
នៅ  x0,  y0 មិនមានទេព្រោះប្រសិនបើ  y= 0,  x 0 បន្ទាប់មក  វ/ z= 1,

ប្រសិនបើ  x = 0,  y 0 បន្ទាប់មក  វ/z = -1.

មិនមានដែនកំណត់តែមួយទេ។ នេះមានន័យថាមុខងារ

វ= មិនមានដេរីវេនៅចំណុចណាមួយឡើយ។ z. សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៃអថេរស្មុគស្មាញ លក្ខខណ្ឌបន្ថែមត្រូវបានទាមទារ។ មួយណាពិតប្រាកដ? ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ យូ(x, y) និង v(x, y) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុច M ( x, y) បន្ទាប់មកសម្រាប់មុខងារ

= យូ(x, y) + iv(x, y)

មានដេរីវេនៅចំណុច z = x+អាយវាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សមភាពក្នុងការកាន់

សមភាព (1.38) ត្រូវបានគេហៅថាលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ។

ភស្តុតាង. 1) ភាពចាំបាច់។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
មានដេរីវេនៅចំណុច z ពោលគឺមានដែនកំណត់

=

=
.(1.39)

ដែនកំណត់នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (1.39) មិនអាស្រ័យលើផ្លូវដែលចំណុចត្រូវដើរនោះទេ។  z =  x+ខ្ញុំ yខិតខំ

ទៅ 0. ជាពិសេស ប្រសិនបើ y = 0, x  0 (រូបភាព 1.10) បន្ទាប់មក

ប្រសិនបើ x = 0, y  0 (រូបភាព 1.11) នោះ

(1.41)

Fig.1.10 រូប។ ១.១១

ផ្នែកខាងឆ្វេងក្នុងសមភាព (1.40) និង (1.41) គឺស្មើគ្នា។ នេះមានន័យថាភាគីខាងស្តាំក៏ស្មើគ្នាដែរ។

វាធ្វើតាមនោះ។

ដូច្នេះពីការសន្មតនៃអត្ថិភាពនៃដេរីវេ f(z) សមភាព (1.38) ដូចខាងក្រោម ពោលគឺលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann គឺចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដេរីវេ។ f(z).

1) ភាពគ្រប់គ្រាន់។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងសន្មត់ថា សមភាព (1.38) ពេញចិត្ត៖

ហើយបញ្ជាក់ថាក្នុងករណីនេះមុខងារ
មានដេរីវេនៅចំណុច z= x+អាយនោះគឺដែនកំណត់ (1.39)

=

មាន។

ចាប់តាំងពីមុខងារ យូ(x, y) និង v(x, y) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុច M ( x, y) បន្ទាប់មកការកើនឡើងសរុបនៃមុខងារទាំងនេះនៅចំណុច M ( x, y) អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់

,

ដែល  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 នៅ  x0, y0.

ចាប់តាំងពីដោយគុណធម៌នៃ (1.38)

អាស្រ័យហេតុនេះ

=
,

 1 =  1 +ខ្ញុំ 1 0,  2 =  2 +ខ្ញុំ 2 0 នៅ z =  x+ខ្ញុំy0.

ដូច្នេះ

ចាប់តាំងពី  z 2 =  x 2 + y 2 បន្ទាប់មក  x/ z1,  y/z១. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

នៅ  z  0.

វាដូចខាងក្រោមថាផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (1.42) មានដែនកំណត់នៅ  z 0 ដូច្នេះផ្នែកខាងឆ្វេងក៏មានដែនកំណត់នៅ  z 0 ហើយដែនកំណត់នេះមិនអាស្រ័យលើផ្លូវមួយណាទេ។  zទំនោរទៅ 0. ដូច្នេះ វាត្រូវបានបង្ហាញថា ប្រសិនបើនៅចំណុច M(x,y) លក្ខខណ្ឌ (1.38) ពេញចិត្ត បន្ទាប់មកមុខងារ
មានដេរីវេនៅចំណុច z = x+អាយ, និង

.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុង។

នៅក្នុងដំណើរការនៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ រូបមន្តពីរ (1.40) និង (1.42) ត្រូវបានទទួលសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។

,

.

ដោយប្រើរូបមន្ត (1.38) យើងអាចទទួលបានរូបមន្តពីរបន្ថែមទៀត

, (1.43)

. (1.44)

ប្រសិនបើមុខងារ f(z) មានដេរីវេនៅគ្រប់ចំនុចនៃតំបន់ D បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាអនុគមន៍
មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅក្នុងដែន D. សម្រាប់បញ្ហានេះ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ត្រូវបានពេញចិត្តនៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៃដែន D ។

ឧទាហរណ៍។ពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann សម្រាប់

មុខងារ អ៊ី z .

ដោយសារតែ អ៊ី z = អ៊ី x+iy = អ៊ី x(cos y + ខ្ញុំអំពើបាប y),

នោះ។ យូ(x, y) = Re អ៊ី z = អ៊ី x cos y, v(x, y) = អ៊ឹម អ៊ី z = អ៊ី xអំពើបាប y,

,
,

,
,

ហេតុនេះ

លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann សម្រាប់មុខងារមួយ។ អ៊ី zបំពេញគ្រប់ចំណុច z ។ ដូច្នេះមុខងារ អ៊ី zគឺខុសគ្នានៅលើប្លង់ទាំងមូលនៃអថេរស្មុគស្មាញ និង

ភាពផ្សេងគ្នាត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញតាមវិធីដូចគ្នា។

មុខងារ z ន , cos z, អំពើបាប z, ឆ z, ស z, ល zនិងសុពលភាពនៃរូបមន្ត

(z ន) = n z n-1, (cos z) = -sin z, (អំពើបាប z) = cos z,

(ឆ z) = sh z, (ស z) = ច z, (ល z) = 1/z.

សម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរស្មុគស្មាញ ច្បាប់ទាំងអស់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដនៅតែមានជាធរមាន។ ភ័ស្តុតាងនៃច្បាប់ទាំងនេះធ្វើតាមនិយមន័យនៃដេរីវេតាមវិធីដូចគ្នានឹងមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដ។

ទ្រឹស្តីបទ

ដើម្បីឱ្យមុខងារ វ = f(z) កំណត់នៅក្នុងតំបន់មួយចំនួន ឃយន្តហោះស្មុគស្មាញ អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុច z 0 = x 0 + ខ្ញុំy 0 ជាមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ zវាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់វា។ យូនិង vមានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុច ( x 0 ,y 0) ជាមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដ xនិង yហើយលើសពីនេះទៀត នៅចំណុចនេះ លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ត្រូវបានពេញចិត្ត៖

; ;

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ពេញចិត្ត នោះនិស្សន្ទវត្ថុ f"(z) អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ណាមួយខាងក្រោម៖

ភស្តុតាង

ផលវិបាក

រឿង

លក្ខខណ្ឌទាំងនេះបានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូងនៅក្នុងការងាររបស់ d'Alembert (1752) នៅក្នុងការងាររបស់ Euler បានរាយការណ៍ទៅបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រ St. Petersburg ក្នុងឆ្នាំ 1777 លក្ខខណ្ឌដំបូងបានទទួលលក្ខណៈនៃសញ្ញាទូទៅនៃការវិភាគមុខងារ បានប្រើទំនាក់ទំនងទាំងនេះដើម្បីបង្កើតទ្រឹស្ដីមុខងារ ដោយចាប់ផ្តើមពីសៀវភៅអនុស្សាវរីយ៍ដែលបានបង្ហាញទៅកាន់បណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រទីក្រុងប៉ារីសក្នុងឆ្នាំ 1814 ។ និក្ខេបបទដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Riemann ស្តីពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីមុខងារមានតាំងពីឆ្នាំ 1851 ។

អក្សរសិល្ប៍

• Shabbat B.V.ការណែនាំអំពីការវិភាគស្មុគស្មាញ។ - M. : វិទ្យាសាស្រ្ត, ។ - 577 ទំ។
• Titchmarsh E.ទ្រឹស្តីនៃមុខងារ៖ បកប្រែ។ ពីភាសាអង់គ្លេស - បោះពុម្ពលើកទី ២ កែប្រែ។ - M. : វិទ្យាសាស្រ្ត, ។ - ៤៦៤ ស.
• Privalov I.I.សេចក្តីណែនាំអំពីទ្រឹស្ដីមុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ៖ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់ឧត្តមសិក្សា។ - M.-L. : គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយរដ្ឋ, . - 316 ទំ។
• Evgrafov M. A.មុខងារវិភាគ។ - បោះពុម្ពលើកទី ២ កែប្រែ។ និងបន្ថែម - M. : វិទ្យាសាស្រ្ត, ។ - ៤៧២ ស.

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

សូមមើលអ្វីដែល "លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

Riemann ហៅផងដែរថាលក្ខខណ្ឌ d'Alembert Euler ទំនាក់ទំនងដែលភ្ជាប់ផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃនៃមុខងារផ្សេងគ្នានៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។ ខ្លឹមសារ ១ ពាក្យ ... វិគីភីឌា

លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ឬលក្ខខណ្ឌ D'Alembert Euler លក្ខខណ្ឌនៅលើពិត u = u(x,y) និងការស្រមើលស្រមៃ v = v(x,y) ផ្នែកនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ ធានានូវភាពខុសគ្នាឥតឈប់ឈរនៃ f( z) ជាមុខងារនៃស្មុគស្មាញមួយ ... ... វិគីភីឌា

D Alembert Euler លក្ខខណ្ឌ លក្ខខណ្ឌនៅលើពិត u=u(x, y) និងការស្រមើលស្រមៃ v=v(x, y) ផ្នែកនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញដែលធានានូវភាពឯកកោ និងការវិភាគនៃ f(z) ជាមុខងារ នៃអថេរស្មុគស្មាញ។ សម្រាប់មុខងារ w=f(z),…… សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... វិគីភីឌា

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (បារាំង Augustin Louis Cauchy; ថ្ងៃទី 21 ខែសីហា ឆ្នាំ 1789 ទីក្រុងប៉ារីស ថ្ងៃទី 23 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1857 Saux (Eau de Seine)) គណិតវិទូជនជាតិបារាំង សមាជិកនៃបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រប៉ារីស បានបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានបង្កើត ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងចំពោះការវិភាគ ... វិគីភីឌា

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (បារាំង Augustin Louis Cauchy; ថ្ងៃទី 21 ខែសីហា ឆ្នាំ 1789 ទីក្រុងប៉ារីស ថ្ងៃទី 23 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1857 Saux (Eau de Seine)) គណិតវិទូជនជាតិបារាំង សមាជិកនៃបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រប៉ារីស បានបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានបង្កើត ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងចំពោះការវិភាគ ... វិគីភីឌា

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (បារាំង Augustin Louis Cauchy; ថ្ងៃទី 21 ខែសីហា ឆ្នាំ 1789 ទីក្រុងប៉ារីស ថ្ងៃទី 23 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1857 Saux (Eau de Seine)) គណិតវិទូជនជាតិបារាំង សមាជិកនៃបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រប៉ារីស បានបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានបង្កើត ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងចំពោះការវិភាគ ... វិគីភីឌា

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (បារាំង Augustin Louis Cauchy; ថ្ងៃទី 21 ខែសីហា ឆ្នាំ 1789 ទីក្រុងប៉ារីស ថ្ងៃទី 23 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1857 Saux (Eau de Seine)) គណិតវិទូជនជាតិបារាំង សមាជិកនៃបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រប៉ារីស បានបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានបង្កើត ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងចំពោះការវិភាគ ... វិគីភីឌា

គំនិតនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។

ជាដំបូង យើងនឹងធ្វើឱ្យចំណេះដឹងរបស់យើងឡើងវិញអំពីមុខងារសាលានៃអថេរមួយ៖

អនុគមន៍​នៃ​អថេរ​មួយ​គឺ​ជា​ច្បាប់​មួយ​ដែល​តម្លៃ​នីមួយៗ​នៃ​អថេរ​ឯករាជ្យ (ពី​ដែន​និយមន័យ) ត្រូវ​នឹង​តម្លៃ​មួយ​និង​តែ​មួយ​នៃ​អនុគមន៍។ តាមធម្មជាតិ "x" និង "y" គឺជាចំនួនពិត។

ក្នុងករណីស្មុគ្រស្មាញ ការពឹងផ្អែកមុខងារត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នា៖

អនុគមន៍តម្លៃតែមួយនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ គឺជាច្បាប់មួយដែលតម្លៃស្មុគស្មាញនីមួយៗនៃអថេរឯករាជ្យ (ពីដែននៃនិយមន័យ) ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃស្មុគស្មាញមួយ និងតែមួយគត់នៃអនុគមន៍។ ទ្រឹស្ដីនេះក៏ចាត់ទុកមុខងារពហុគុណ និងប្រភេទមួយចំនួនទៀត ប៉ុន្តែសម្រាប់ភាពសាមញ្ញ ខ្ញុំនឹងផ្តោតលើនិយមន័យមួយ។

តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងអនុគមន៍អថេរស្មុគស្មាញ?

ភាពខុសគ្នាសំខាន់៖ ចំនួនកុំផ្លិច។ ខ្ញុំ​មិន​មែន​ជា​រឿង​ហួស​ចិត្ត​ទេ។ សំណួរបែបនេះច្រើនតែធ្វើឱ្យមនុស្សស្រងាកចិត្ត នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកពីរឿងគួរឱ្យអស់សំណើចមួយ។ នៅមេរៀន លេខស្មុគស្មាញសម្រាប់អត់ចេះសោះយើងបានពិចារណាចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់។ ចាប់តាំងពីពេលនេះអក្សរ "z" បានក្លាយជាអថេរ យើងនឹងសម្គាល់វាដូចខាងក្រោម: ខណៈពេលដែល "x" និង "y" អាចទទួលយកតម្លៃពិតផ្សេងគ្នា។ និយាយដោយប្រយោល មុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញគឺអាស្រ័យទៅលើអថេរ និង ដែលទទួលយកតម្លៃ "ធម្មតា"។ ចំណុច​ខាង​ក្រោម​នេះ​តាម​តក្កវិជ្ជា​ពី​ការពិត​នេះ៖

ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។

មុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញអាចសរសេរជា៖
ដែលជាកន្លែងដែល និងជាមុខងារពីរនៃអថេរពិតប្រាកដពីរ។

មុខងារត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃអនុគមន៍។
អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ផ្នែក​ស្រមើស្រមៃ​នៃ​អនុគមន៍។

នោះគឺមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញអាស្រ័យទៅលើមុខងារពិតពីរ និង . ដើម្បី​បញ្ជាក់​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ជា​ចុង​ក្រោយ សូម​មើល​ឧទាហរណ៍​ជាក់ស្តែង៖

ដំណោះស្រាយ៖ អថេរឯករាជ្យ "zet" ដូចដែលអ្នកចងចាំត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ដូច្នេះ៖

(1​) យើង​បាន​ជំនួស​។

(2) សម្រាប់ពាក្យទីមួយ រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ត្រូវបានប្រើប្រាស់។ នៅក្នុងពាក្យ វង់ក្រចកត្រូវបានបើក។

(៣) ធ្វើការ៉េដោយប្រុងប្រយ័ត្ន កុំភ្លេចថា

(4) ការដាក់ជាក្រុមឡើងវិញនៃលក្ខខណ្ឌ៖ ដំបូងយើងសរសេរឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌដែលមិនមានឯកតាស្រមើលស្រមៃ (ក្រុមទីមួយ) បន្ទាប់មកពាក្យដែលមាន (ក្រុមទីពីរ) ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការសាប់លក្ខខណ្ឌគឺមិនចាំបាច់ទេហើយជំហាននេះអាចត្រូវបានរំលង (ដោយគ្រាន់តែធ្វើវាដោយផ្ទាល់មាត់) ។

(5) សម្រាប់ក្រុមទីពីរ យើងយកវាចេញពីតង្កៀប។

ជាលទ្ធផល មុខងាររបស់យើងត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់

ចម្លើយ៖
- ផ្នែកពិតនៃមុខងារ។
- ផ្នែកស្រមៃនៃមុខងារ។

តើ​មុខងារ​ទាំង​នេះ​បាន​ក្លាយ​ទៅ​ជា​ប្រភេទ​អ្វី? មុខងារធម្មតាបំផុតនៃអថេរពីរដែលអ្នកអាចរកឃើញការពេញនិយមបែបនេះ និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក. បើ​គ្មាន​សេចក្ដី​មេត្តា​ទេ យើង​នឹង​រក​ឃើញ។ ប៉ុន្តែបន្តិចក្រោយមក។

ដោយសង្ខេប ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បញ្ហាដែលបានដោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: យើងជំនួស ចូលទៅក្នុងមុខងារដើម អនុវត្តភាពសាមញ្ញ និងបែងចែកពាក្យទាំងអស់ជាពីរក្រុម - ដោយគ្មានឯកតាស្រមើលស្រមៃ (ផ្នែកពិត) និងជាមួយឯកតាស្រមើលស្រមៃ (ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ) .

ស្វែងរកផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ មុនពេលដែលអ្នកប្រញាប់ប្រញាល់ចូលទៅក្នុងសមរភូមិនៅលើយន្តហោះដ៏ស្មុគស្មាញជាមួយនឹងអ្នកត្រួតពិនិត្យរបស់អ្នក ខ្ញុំសូមផ្តល់ដំបូន្មានដ៏សំខាន់បំផុតដល់អ្នកអំពីប្រធានបទ៖

ត្រូវ​ប្រុងប្រយ័ត្ន! ជាការពិតណាស់ អ្នកត្រូវតែប្រយ័ត្នគ្រប់ទីកន្លែង ប៉ុន្តែក្នុងលេខស្មុគស្មាញ អ្នកគួរតែប្រយ័ត្នជាងពេលណាៗទាំងអស់! សូមចាំថាបើកតង្កៀបដោយប្រុងប្រយ័ត្នកុំបាត់បង់អ្វីទាំងអស់។ យោងទៅតាមការសង្កេតរបស់ខ្ញុំកំហុសទូទៅបំផុតគឺការបាត់បង់សញ្ញា។ កុំប្រញាប់!

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ឥឡូវនេះគូប។ ដោយប្រើរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ យើងទទួលបាន៖
.

រូបមន្តគឺងាយស្រួលប្រើក្នុងការអនុវត្ត ព្រោះវាបង្កើនល្បឿនដំណើរការដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។

ភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ។
លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann

ខ្ញុំមានដំណឹងពីរ៖ ល្អ និងអាក្រក់។ ខ្ញុំនឹងចាប់ផ្តើមជាមួយអ្វីដែលល្អ។ សម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរស្មុគស្មាញ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមមានសុពលភាព។ ដូច្នេះ ដេរីវេត្រូវ​បាន​យក​តាម​វិធី​ដូច​គ្នា​នឹង​ករណី​អនុគមន៍​នៃ​អថេរ​ពិត។

ដំណឹងអាក្រក់គឺថាសម្រាប់មុខងារជាច្រើននៃអថេរស្មុគស្មាញមិនមានដេរីវេទាល់តែសោះ ហើយអ្នកត្រូវស្វែងយល់ថាតើមុខងារជាក់លាក់មួយអាចខុសគ្នាឬអត់។ ហើយ "ការស្វែងយល់" ពីអារម្មណ៍របស់អ្នកគឺត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាបន្ថែម។

ចូរយើងពិចារណាអំពីមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។ ដើម្បីឱ្យមុខងារនេះមានភាពខុសប្លែកគ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់៖

1) ដូច្នេះ និស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីមួយមាន។ ភ្លេចអំពីសញ្ញាណទាំងនេះភ្លាមៗ ព្រោះនៅក្នុងទ្រឹស្ដីមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ សញ្ញាណផ្សេងគ្នាត្រូវបានប្រើជាប្រពៃណី៖ .

2) ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដែលគេហៅថា Cauchy-Riemann ត្រូវបានពេញចិត្ត:

មានតែនៅក្នុងករណីនេះទេ ដេរីវេនឹងមាន!

កំណត់ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃមុខងារមួយ។ . ពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ត្រូវបានបំពេញ សូមស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។

ដំណោះស្រាយចែកចេញជាបីដំណាក់កាលបន្តបន្ទាប់គ្នា៖

1) ចូរយើងស្វែងរកផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃមុខងារ។ កិច្ចការនេះត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន ដូច្នេះខ្ញុំនឹងសរសេរវាដោយគ្មានយោបល់៖

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក៖

ដូចនេះ៖
- ផ្នែកពិតនៃមុខងារ;
- ផ្នែកស្រមៃនៃមុខងារ។

ខ្ញុំ​សូម​លើក​ឡើង​ពី​ចំណុច​បច្ចេកទេស​មួយ​ទៀត៖ តើ​យើង​គួរ​សរសេរ​ពាក្យ​ក្នុង​ផ្នែក​ពិត និង​ស្រមើស្រមៃ​តាម​លំដាប់​អ្វី? បាទ ជាគោលការណ៍វាមិនសំខាន់ទេ។ ឧទាហរណ៍ ផ្នែកពិតអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖ និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃដូចនេះ៖ .

3) អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ។ មានពីរនាក់ក្នុងចំណោមពួកគេ។

ចូរចាប់ផ្តើមដោយពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ។ យើង​ស្វែងរក និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក:

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ដំណឹង​ល្អ​គឺ​ថា​និស្សន្ទវត្ថុ​ដោយ​ផ្នែក​គឺ​តែង​តែ​សាមញ្ញ​បំផុត។

យើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌទីពីរ៖

លទ្ធផលគឺដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយ ពោលគឺលក្ខខណ្ឌក៏ត្រូវបានបំពេញផងដែរ។

លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ត្រូវបានពេញចិត្ត ដូច្នេះមុខងារគឺខុសគ្នា។

3) ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។ និស្សន្ទវត្ថុក៏សាមញ្ញណាស់ដែរ ហើយត្រូវបានរកឃើញដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា៖

ឯកតាស្រមើលស្រមៃត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរកំឡុងពេលខុសគ្នា។

ចម្លើយ៖ - ផ្នែកពិត, - ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។
លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ពេញចិត្ត។

អាំងតេក្រាល FKP ។ ទ្រឹស្តីបទ Cauchy ។

រូបមន្ត ( 52 ) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តអាំងតេក្រាល Cauchy ឬអាំងតេក្រាល Cauchy ។ ប្រសិនបើជាវណ្ឌវង្កនៅក្នុង ( 52 ) ជ្រើសរើសរង្វង់មួយ បន្ទាប់មកជំនួស និងយកទៅក្នុងគណនីដែលជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រវែងធ្នូ អាំងតេក្រាល Cauchy អាចត្រូវបានតំណាងជារូបមន្តសម្រាប់តម្លៃមធ្យម៖

បន្ថែមពីលើអត្ថន័យឯករាជ្យនៃរូបមន្តអាំងតេក្រាល Cauchy ( 52 ), (54 ) ពិតជាផ្តល់នូវវិធីងាយស្រួលបំផុតក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលវណ្ឌវង្ក ដែលដូចអាចមើលឃើញ នឹងត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈតម្លៃនៃ "នៅសល់" នៃអាំងតេក្រាលនៅចំណុចដែលមុខងារនេះមានឯកវចនៈ។

ឧទាហរណ៍ 3-9 ។ គណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ នៅតាមបណ្តោយវណ្ឌវង្ក (Fig.20).

ដំណោះស្រាយ។ ចំនុចដែលអនុគមន៍មានឯកវចនៈ មិនដូចឧទាហរណ៍ 4-1 ស្ថិតនៅខាងក្នុងរង្វង់។ ចូរយើងតំណាងឱ្យអាំងតេក្រាលក្នុងទម្រង់ ( 52 ):

រូបមន្តរបស់ Cauchy ។

ទុកជាតំបន់មួយនៅលើយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញដែលមានព្រំប្រទល់រលោងជាដុំៗ មុខងារគឺ holomorphic និងជាចំណុចមួយនៅខាងក្នុងតំបន់។ បន្ទាប់មករូបមន្ត Cauchy ខាងក្រោមមានសុពលភាព៖

រូបមន្តក៏មានសុពលភាពផងដែរ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាវាជា holomorphic នៅខាងក្នុង និងបន្តនៅលើការបិទ ហើយប្រសិនបើព្រំដែនមិនរលោងជាដុំៗ ប៉ុន្តែអាចកែតម្រូវបានតែប៉ុណ្ណោះ (មុខងារ Holomorphic គឺជាមុខងារនៃចំនួនកុំផ្លិច ភាពរលោងជាបំណែក ចំនួនពិត)

FKP បឋម៖ អនុគមន៍ Taylor, អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ, អនុគមន៍អ៊ីពែរបូល, អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស, អនុគមន៍លោការីត, រូបមន្ត Cauchy ។