ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាដែលជំនួសឱ្យក្រាហ្វ "ផ្ទះល្វែង" យើងនឹងពិចារណាលើផ្ទៃលំហទូទៅបំផុតហើយក៏រៀនពីរបៀបបង្កើតវាដោយដៃផងដែរ។ ខ្ញុំបានចំណាយពេលយ៉ាងយូរក្នុងការជ្រើសរើសឧបករណ៍ផ្នែកទន់សម្រាប់បង្កើតគំនូរបីវិមាត្រ ហើយបានរកឃើញកម្មវិធីល្អមួយចំនួន ប៉ុន្តែទោះបីជាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការប្រើប្រាស់ក៏ដោយ កម្មវិធីទាំងនេះមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងសំខាន់មួយបានល្អនោះទេ។ ការពិតគឺថានៅក្នុងអនាគតប្រវត្តិសាស្ត្រដែលមើលឃើញ សិស្សនឹងនៅតែប្រដាប់ដោយបន្ទាត់ និងខ្មៅដៃ ហើយថែមទាំងមានគំនូរ "ម៉ាស៊ីន" ដែលមានគុណភាពខ្ពស់ មនុស្សជាច្រើននឹងមិនអាចផ្ទេរវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវលើក្រដាសគូសធីកនោះទេ។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងសៀវភៅដៃ ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសគឺត្រូវយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះបច្ចេកទេសនៃការសាងសង់ដោយដៃ ហើយផ្នែកសំខាន់នៃរូបភាពទំព័រគឺជាផលិតផលធ្វើដោយដៃ។

តើឯកសារយោងនេះខុសពី analogues យ៉ាងដូចម្តេច?

មានបទពិសោធន៍អនុវត្តជាក់ស្តែងសមរម្យ ខ្ញុំដឹងយ៉ាងច្បាស់ថាតើផ្ទៃណាមួយដែលយើងត្រូវដោះស្រាយជាញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងបញ្ហាពិតនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ហើយខ្ញុំសង្ឃឹមថាអត្ថបទនេះនឹងជួយអ្នកឱ្យបំពេញឥវ៉ាន់របស់អ្នកយ៉ាងឆាប់រហ័សជាមួយនឹងចំណេះដឹងពាក់ព័ន្ធ និងជំនាញអនុវត្តដែលមានចំនួន 90 -95% គួរតែមានករណីគ្រប់គ្រាន់។

តើអ្នកត្រូវការអ្វីខ្លះដើម្បីអាចធ្វើនៅពេលនេះ?

មូលដ្ឋានបំផុត៖

ដំបូងអ្នកត្រូវមានលទ្ធភាព សាងសង់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian លំហ (សូមមើលដើមអត្ថបទ ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ) .

តើអ្នកនឹងទទួលបានអ្វីខ្លះបន្ទាប់ពីអានអត្ថបទនេះ?

ដប បន្ទាប់ពីធ្វើជាម្ចាស់លើសម្ភារៈមេរៀន អ្នកនឹងរៀនកំណត់ប្រភេទនៃផ្ទៃយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយមុខងារ និង/ឬសមីការរបស់វា ស្រមៃមើលថាតើវាស្ថិតនៅលើលំហ ហើយជាការពិតណាស់ បង្កើតគំនូរ។ វាមិនអីទេប្រសិនបើអ្នកមិនទទួលបានអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងក្បាលរបស់អ្នកបន្ទាប់ពីការអានលើកដំបូង - អ្នកតែងតែអាចត្រលប់ទៅកថាខណ្ឌណាមួយនៅពេលក្រោយតាមតម្រូវការ។

ព័ត៌មានស្ថិតនៅក្នុងអំណាចរបស់មនុស្សគ្រប់រូប - ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់វា អ្នកមិនត្រូវការចំណេះដឹងទំនើប ទេពកោសល្យសិល្បៈពិសេស ឬទស្សនៈវិស័យទេ។

ចាប់ផ្តើម!

នៅក្នុងការអនុវត្ត, ផ្ទៃ spatial ជាធម្មតាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ មុខងារនៃអថេរពីរឬសមីការនៃទម្រង់ (ថេរនៅខាងស្តាំគឺភាគច្រើនស្មើនឹងសូន្យឬមួយ). ការរចនាដំបូងគឺមានលក្ខណៈធម្មតាសម្រាប់ការវិភាគគណិតវិទ្យា ទីពីរ - សម្រាប់ ធរណីមាត្រវិភាគ. សមីការគឺសំខាន់ ផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោល។មុខងារនៃអថេរ 2 ដែលក្នុងករណីធម្មតាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាទម្រង់ . ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុតគ៖

–សមីការយន្តហោះប្រភេទ។

- មុខងារយន្តហោះនៅក្នុង យ៉ាងច្បាស់លាស់ .

តោះចាប់ផ្តើមជាមួយវា៖

សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ

ជម្រើសធម្មតាសម្រាប់ការរៀបចំយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតនៅដើមអត្ថបទ។ សមីការយន្តហោះ. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សូមអោយយើងម្តងទៀតអំពីសមីការដែលមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការអនុវត្ត។

ជាដំបូង អ្នកត្រូវតែទទួលស្គាល់ពេញលេញដោយស្វ័យប្រវត្តិនូវសមីការនៃយន្តហោះដែលស្របគ្នាទៅនឹងការសម្របសម្រួលយន្តហោះ។ បំណែកនៃយន្តហោះត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ចតុកោណកែង ដែលក្នុងករណីពីរចុងក្រោយមើលទៅដូចជាប៉ារ៉ាឡែល។ តាមលំនាំដើម អ្នកអាចជ្រើសរើសវិមាត្រណាមួយ (ជាការពិតណាស់ក្នុងដែនកំណត់សមហេតុផល) ប៉ុន្តែវាជាការចង់បានដែលចំណុចដែលអ័ក្សកូអរដោនេ "ទម្លុះ" យន្តហោះគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី៖


និយាយយ៉ាងតឹងរឹង អ័ក្សកូអរដោនេគួរតែត្រូវបានបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចំនុចនៅកន្លែងខ្លះ ប៉ុន្តែដើម្បីជៀសវាងការភាន់ច្រលំ យើងនឹងធ្វេសប្រហែសទៅលើភាពខុសប្លែកគ្នានេះ។

– (គំនូរខាងឆ្វេង)វិសមភាពបញ្ជាក់ចន្លោះពាក់កណ្តាលឆ្ងាយបំផុតពីយើង ដោយមិនរាប់បញ្ចូលយន្តហោះខ្លួនឯង។

– (គំនូរកណ្តាល)វិសមភាពបញ្ជាក់ចន្លោះពាក់កណ្តាលត្រឹមត្រូវ រួមទាំងយន្តហោះ។

– (គំនូរខាងស្តាំ)វិសមភាពទ្វេកំណត់ "ស្រទាប់" ដែលស្ថិតនៅចន្លោះយន្តហោះ រួមទាំងយន្តហោះទាំងពីរ។

សម្រាប់ការឡើងកម្តៅដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ១

គូររាងកាយដែលចងដោយយន្តហោះ
បង្កើតប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពដែលកំណត់រាងកាយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អ្នកស្គាល់គ្នាចាស់គួរតែផុសចេញពីក្រោមការដឹកនាំនៃខ្មៅដៃរបស់អ្នក។ គូប. កុំភ្លេចថាគែម និងមុខដែលមើលមិនឃើញត្រូវតែគូសដោយបន្ទាត់ចំនុច។ បានបញ្ចប់ការគូរនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

សូម កុំធ្វេសប្រហែសកិច្ចការរៀន ទោះបីជាវាហាក់ដូចជាសាមញ្ញពេកក៏ដោយ។ បើមិនដូច្នេះទេ វាអាចកើតឡើងដែលអ្នកខកខានម្តង ខកខានពីរដង ហើយបន្ទាប់មកបានចំណាយពេលអស់មួយម៉ោងដើម្បីព្យាយាមស្វែងយល់ពីគំនូរបីវិមាត្រក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយចំនួន។ លើសពីនេះទៀត ការងារមេកានិកនឹងជួយអ្នកឱ្យរៀនសម្ភារៈកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព និងអភិវឌ្ឍភាពវៃឆ្លាតរបស់អ្នក! វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលនៅក្នុងសាលាមត្តេយ្យ និងសាលាបឋមសិក្សា ផ្ទុកទៅដោយគំនូរ គំរូ ប្រដាប់ប្រដាក្មេងលេងសំណង់ និងការងារផ្សេងៗទៀតសម្រាប់ជំនាញម៉ូតូល្អនៃម្រាមដៃ។ សូមអភ័យទោសចំពោះការធ្វេសប្រហែស ប៉ុន្តែសៀវភៅកត់ត្រាពីររបស់ខ្ញុំស្តីពីចិត្តវិទ្យាអភិវឌ្ឍន៍មិនគួរបាត់ទេ =)

យើងនឹងហៅយន្តហោះក្រុមបន្ទាប់តាមលក្ខខណ្ឌថា "សមាមាត្រផ្ទាល់" - ទាំងនេះគឺជាយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សកូអរដោនេ៖

2) សមីការនៃទម្រង់បញ្ជាក់យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស ;

3) សមីការនៃទម្រង់បញ្ជាក់យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស។

ទោះបីជាសញ្ញាផ្លូវការគឺជាក់ស្តែង (អថេរដែលបាត់ពីសមីការ - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សនោះ)វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង៖

ឧទាហរណ៍ ២

សាងសង់យន្តហោះ

តើអ្វីជាវិធីល្អបំផុតដើម្បីសាងសង់? ខ្ញុំស្នើក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម៖

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ដែលវាត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថា "y" អាចយក ណាមួយ។អត្ថន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជួសជុលតម្លៃ នោះគឺយើងនឹងពិចារណាយន្តហោះកូអរដោនេ។ សមីការដែលបានកំណត់ បន្ទាត់លំហដេកនៅក្នុងយន្តហោះកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរពណ៌នាបន្ទាត់នេះនៅក្នុងគំនូរ។ បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ ដូច្នេះដើម្បីសាងសង់វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកចំណុចមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ។ ដាក់ចំនុចមួយឡែក ហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់។

ឥឡូវនេះយើងត្រលប់ទៅសមីការនៃយន្តហោះ។ ចាប់តាំងពី "Y" ទទួលយក ណាមួយ។តម្លៃបន្ទាប់មកបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានសាងសង់នៅក្នុងយន្តហោះត្រូវបានបន្ត "ចម្លង" ទៅខាងឆ្វេងនិងទៅខាងស្តាំ។ នេះគឺជារបៀបដែលយន្តហោះរបស់យើងត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលឆ្លងកាត់អ័ក្ស។ ដើម្បីបញ្ចប់គំនូរ យើងដាក់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ ហើយ "បិទ" ប៉ារ៉ាឡែលនិមិត្តសញ្ញាជាមួយនឹងផ្នែកផ្ដេកឆ្លងកាត់៖

ដោយសារលក្ខខណ្ឌមិនដាក់កម្រិតបន្ថែម បំណែកនៃយន្តហោះអាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទំហំតូចជាង ឬធំជាងបន្តិច។

ចូរយើងនិយាយម្តងទៀតនូវអត្ថន័យនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរ spatial ដោយប្រើឧទាហរណ៍។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ចន្លោះពាក់កណ្តាលដែលវាកំណត់? សូមលើកយកចំណុចខ្លះ មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ឧទាហរណ៍ ចំណុចមួយពីចន្លោះពាក់កណ្តាលដែលនៅជិតយើងបំផុត ហើយជំនួសកូអរដោនេរបស់វាទៅជាវិសមភាព៖

បានទទួល វិសមភាពពិតដែលមានន័យថា វិសមភាពបញ្ជាក់លំហទាប (ទាក់ទងទៅនឹងយន្តហោះ) ពាក់កណ្តាល ខណៈពេលដែលយន្តហោះខ្លួនឯងមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៣

សាងសង់យន្តហោះ
ក) ;
ខ) ។

ទាំងនេះគឺជាភារកិច្ចសម្រាប់ការសាងសង់ដោយខ្លួនឯងក្នុងករណីមានការលំបាកសូមប្រើហេតុផលស្រដៀងគ្នា។ ការណែនាំខ្លីៗ និងគំនូរនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្សគឺជារឿងធម្មតាជាពិសេស។ ករណីពិសេសនៅពេលដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សទើបតែត្រូវបានពិភាក្សាក្នុងកថាខណ្ឌ “be” ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគបញ្ហាទូទៅបន្ថែមទៀត៖

ឧទាហរណ៍ 4

សាងសង់យន្តហោះ

ដំណោះស្រាយ៖ អថេរ “z” មិន​ត្រូវ​បាន​រួម​បញ្ចូល​ក្នុង​សមីការ​ដែល​មាន​ន័យ​ថា​យន្តហោះ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​អនុវត្ត។ ចូរយើងប្រើបច្ចេកទេសដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ពីមុន។

ចូរយើងសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឡើងវិញក្នុងទម្រង់ វាច្បាស់ណាស់ថា "zet" អាចទទួលយកបាន។ ណាមួយ។អត្ថន័យ។ ចូរជួសជុលវា ហើយគូរបន្ទាត់ត្រង់ "រាបស្មើ" ធម្មតានៅក្នុងយន្តហោះ "ដើម" ។ ដើម្បីសាងសង់វាងាយស្រួលយកចំណុចយោង។

ចាប់តាំងពី "Z" ទទួលយក ទាំងអស់។តម្លៃបន្ទាប់មកបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានសាងសង់បន្ត "គុណ" ឡើងលើចុះក្រោមដោយហេតុនេះបង្កើតជាយន្តហោះដែលចង់បាន . យើងគូរដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវប្រលេឡូក្រាមនៃទំហំសមហេតុផល៖

រួចរាល់។

សមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងផ្នែក

ពូជដែលបានអនុវត្តសំខាន់បំផុត។ ប្រសិនបើ ទាំងអស់។ហាងឆេង សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ មិនមែនសូន្យបន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ ដែលត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងផ្នែក. វាច្បាស់ណាស់ថាយន្តហោះកាត់អ័ក្សកូអរដោនេនៅចំណុច ហើយអត្ថប្រយោជន៍ដ៏អស្ចារ្យនៃសមីការបែបនេះគឺភាពងាយស្រួលនៃការសាងសង់គំនូរ៖

ឧទាហរណ៍ 5

សាងសង់យន្តហោះ

ដំណោះស្រាយ៖ ដំបូង​យើង​បង្កើត​សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ជា​ចម្រៀក។ ចូរបោះពាក្យសេរីទៅខាងស្តាំ ហើយចែកទាំងសងខាងដោយ 12៖

ទេ គ្មានការវាយអក្សរនៅទីនេះទេ ហើយអ្វីៗទាំងអស់កើតឡើងនៅក្នុងលំហ! យើងពិនិត្យមើលផ្ទៃដែលបានស្នើឡើងដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដូចគ្នាដែលថ្មីៗនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់សម្រាប់យន្តហោះ។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ពីដែលវាធ្វើតាម "zet" យក ណាមួយ។អត្ថន័យ។ ចូរយើងជួសជុល និងបង្កើតពងក្រពើនៅក្នុងយន្តហោះ។ ចាប់តាំងពី "zet" ទទួលយក ទាំងអស់។តម្លៃ បន្ទាប់មកពងក្រពើដែលបានសាងសង់ត្រូវបាន "ចម្លង" ឡើងលើចុះក្រោមជាបន្តបន្ទាប់។ វាងាយស្រួលក្នុងការយល់ថាផ្ទៃ គ្មានកំណត់:

ផ្ទៃនេះត្រូវបានគេហៅថា ស៊ីឡាំងរាងអេលីប. ពងក្រពើ (នៅកម្ពស់ណាមួយ) ត្រូវបានគេហៅថា ណែនាំស៊ីឡាំង និងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលឆ្លងកាត់ចំណុចនីមួយៗនៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើតស៊ីឡាំង (ដែលបង្កើតវាតាមន័យត្រង់) ។ អ័ក្សគឺ អ័ក្សស៊ីមេទ្រីផ្ទៃ (ប៉ុន្តែមិនមែនជាផ្នែកមួយនៃវាទេ!)

កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យចាំបាច់បំពេញសមីការ .

លំហវិសមភាពកំណត់ "ខាងក្នុង" នៃ "បំពង់" ដែលគ្មានកំណត់ រួមទាំងផ្ទៃស៊ីឡាំងដោយខ្លួនឯង ហើយអាស្រ័យហេតុនេះ វិសមភាពផ្ទុយកំណត់សំណុំនៃចំណុចនៅខាងក្រៅស៊ីឡាំង។

នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងករណីពិសេសដែលពេញនិយមបំផុតគឺនៅពេលណា ណែនាំស៊ីឡាំងគឺ រង្វង់:

ឧទាហរណ៍ ៨

សាងសង់ផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការពណ៌នាអំពី "បំពង់" ដែលគ្មានទីបញ្ចប់ ដូច្នេះសិល្បៈត្រូវបានកំណត់ជាធម្មតាចំពោះ "ការកាត់" ។

ទីមួយ វាងាយស្រួលក្នុងការសាងសង់រង្វង់កាំនៅក្នុងយន្តហោះ ហើយបន្ទាប់មករង្វង់ពីរទៀតខាងលើ និងខាងក្រោម។ រង្វង់លទ្ធផល ( មគ្គុទ្ទេសក៍ស៊ីឡាំង) ភ្ជាប់ដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែលចំនួនបួន ( ការបង្កើតស៊ីឡាំង):

កុំភ្លេចប្រើបន្ទាត់ចំនុចសម្រាប់បន្ទាត់ដែលមិនអាចមើលឃើញដោយពួកយើង។

កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ស៊ីឡាំងដែលបានផ្តល់ឱ្យបំពេញសមីការ . កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅខាងក្នុង "បំពង់" បំពេញនូវវិសមភាព និងវិសមភាព កំណត់សំណុំនៃចំណុចនៃផ្នែកខាងក្រៅ។ សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែច្បាស់ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យពិចារណាចំណុចជាក់លាក់មួយចំនួននៅក្នុងលំហ និងមើលឃើញដោយខ្លួនឯង។

ឧទាហរណ៍ ៩

សាងសង់ផ្ទៃមួយ ហើយស្វែងរកការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះ

ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ដែលវាធ្វើតាមដែល "x" យក ណាមួយ។អត្ថន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជួសជុលនិងពណ៌នានៅក្នុងយន្តហោះ រង្វង់- ជាមួយកណ្តាលនៅដើម, កាំឯកតា។ ចាប់តាំងពី "x" បន្តទទួលយក ទាំងអស់។តម្លៃបន្ទាប់មករង្វង់ដែលបានសាងសង់បង្កើតស៊ីឡាំងរាងជារង្វង់ដែលមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រី។ គូររង្វង់មួយទៀត ( ណែនាំស៊ីឡាំង) ហើយភ្ជាប់ពួកវាដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ ( ការបង្កើតស៊ីឡាំង) ។ នៅកន្លែងខ្លះមានការត្រួតស៊ីគ្នា ប៉ុន្តែអ្វីដែលអ្នកអាចធ្វើបាន វាមានជម្រាលបែបនេះ៖

លើកនេះខ្ញុំដាក់កម្រិតខ្លួនខ្ញុំទៅផ្នែកមួយនៃស៊ីឡាំងនៅក្នុងគម្លាត ហើយនេះមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេ។ នៅក្នុងការអនុវត្តវាជាញឹកញាប់ចាំបាច់ដើម្បីពណ៌នាតែបំណែកតូចមួយនៃផ្ទៃ។

នៅទីនេះដោយវិធីនេះមាន 6 ជំនាន់ - បន្ទាត់ត្រង់ពីរបន្ថែមទៀត "គ្របដណ្តប់" ផ្ទៃខាងលើពីជ្រុងខាងស្តាំខាងលើនិងខាងក្រោម។

ឥឡូវនេះសូមមើលការព្យាករនៃស៊ីឡាំងនៅលើយន្តហោះមួយ។ អ្នកអានជាច្រើនយល់ថាអ្វីជាការព្យាករ ប៉ុន្តែទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងធ្វើលំហាត់រាងកាយរយៈពេលប្រាំនាទីទៀត។ សូមឈរ ហើយអោនក្បាលរបស់អ្នកពីលើគំនូរ ដើម្បីឱ្យចំនុចអ័ក្សកាត់កែងទៅនឹងថ្ងាសរបស់អ្នក។ អ្វី​ដែល​ស៊ីឡាំង​លេច​ចេញ​ពី​មុំ​នេះ​គឺ​ការ​ព្យាករ​របស់​វា​ទៅ​លើ​យន្តហោះ។ ប៉ុន្តែវាហាក់ដូចជាបន្ទះគ្មានទីបញ្ចប់ ដែលរុំព័ទ្ធរវាងបន្ទាត់ត្រង់ រួមទាំងបន្ទាត់ត្រង់ខ្លួនឯងផងដែរ។ ការព្យាករណ៍នេះគឺពិតប្រាកដ ដែនមុខងារ (“ បំពង់ទឹក” ខាងលើនៃស៊ីឡាំង), (“ លូទឹក” ខាងក្រោម) ។

និយាយអីញ្ចឹង យើងពន្យល់ពីស្ថានភាពជាមួយការព្យាករលើយន្តហោះសម្របសម្រួលផ្សេងទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យកាំរស្មីព្រះអាទិត្យរះនៅលើស៊ីឡាំងពីចុងនិងតាមអ័ក្ស។ ស្រមោល (ការព្យាករ) នៃស៊ីឡាំងនៅលើយន្តហោះគឺជាបន្ទះគ្មានកំណត់ស្រដៀងគ្នា - ផ្នែកមួយនៃយន្តហោះដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ (-ណាមួយ) រួមទាំងបន្ទាត់ត្រង់ខ្លួនឯង។

ប៉ុន្តែ​ការ​ព្យាករ​លើ​យន្តហោះ​មាន​លក្ខណៈ​ខុស​គ្នា​ខ្លះ​។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលស៊ីឡាំងពីចុងអ័ក្ស នោះវានឹងត្រូវបានព្យាករទៅជារង្វង់នៃកាំឯកតា ជាមួយនឹងការដែលយើងបានចាប់ផ្តើមការសាងសង់។

ឧទាហរណ៍ 10

សាងសង់ផ្ទៃមួយ ហើយស្វែងរកការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះសម្របសម្រួល

នេះ​ជា​កិច្ចការ​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមិនច្បាស់ទេ ចូរធ្វើការ៉េទាំងសងខាង ហើយវិភាគលទ្ធផល។ ស្វែងយល់ថាតើផ្នែកណាមួយនៃស៊ីឡាំងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយមុខងារ។ ប្រើបច្ចេកទេសសំណង់ដែលបានប្រើម្តងហើយម្តងទៀតខាងលើ។ ដំណោះស្រាយខ្លីៗ ការគូរ និងមតិយោបល់នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ផ្ទៃរាងអេលីប និងផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានអុហ្វសិតទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេឧទាហរណ៍៖

(ផ្អែកលើការជម្រុញដែលធ្លាប់ស្គាល់នៃអត្ថបទអំពី លំដាប់ទីពីរ) - ស៊ីឡាំងនៃកាំឯកតាដែលមានបន្ទាត់ស៊ីមេទ្រីឆ្លងកាត់ចំណុចស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង ស៊ីឡាំងបែបនេះត្រូវបានជួបប្រទះកម្រណាស់ ហើយវាពិតជាមិនគួរឱ្យជឿក្នុងការជួបប្រទះផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងដែលមានលក្ខណៈ "oblique" ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

ស៊ីឡាំងប៉ារ៉ាបូល

ដូចដែលឈ្មោះបានបង្ហាញ, ណែនាំស៊ីឡាំងបែបនេះ ប៉ារ៉ាបូឡា.

ឧទាហរណ៍ 11

សាងសង់ផ្ទៃមួយ ហើយស្វែងរកការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះសម្របសម្រួល។

ខ្ញុំមិនអាចទប់ទល់នឹងឧទាហរណ៍នេះទេ =)

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងដើរតាមផ្លូវដែលគេវាយដំ។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ដែលវាធ្វើតាមថា "zet" អាចយកតម្លៃណាមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជួសជុល និងសាងសង់ប៉ារ៉ាបូឡាធម្មតានៅលើយន្តហោះ ដោយបានសម្គាល់ចំណុចជំនួយតិចតួចពីមុនមក។ ចាប់តាំងពី "Z" ទទួលយក ទាំងអស់។តម្លៃ បន្ទាប់មកប៉ារ៉ាបូឡាដែលបានសាងសង់ត្រូវបានបន្ត "ចម្លង" ឡើងលើ និងចុះក្រោមរហូតដល់គ្មានកំណត់។ យើងដាក់ប៉ារ៉ាបូឡាដូចគ្នា និយាយថានៅកម្ពស់មួយ (ក្នុងយន្តហោះ) ហើយភ្ជាប់ពួកវាដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែល ( បង្កើតស៊ីឡាំង):

ខ្ញុំរំលឹកអ្នក។ បច្ចេកទេសមានប្រយោជន៍៖ ប្រសិនបើអ្នកមិនប្រាកដពីគុណភាពនៃគំនូរដំបូងឡើយ វាជាការប្រសើរក្នុងការគូសបន្ទាត់ស្តើងបំផុតដោយប្រើខ្មៅដៃជាមុនសិន។ បន្ទាប់មកយើងវាយតម្លៃគុណភាពនៃគំនូរព្រាង រកមើលកន្លែងដែលផ្ទៃត្រូវបានលាក់ពីភ្នែករបស់យើង ហើយគ្រាន់តែដាក់សម្ពាធទៅលើស្ទីលឡូសប៉ុណ្ណោះ។

ការព្យាករណ៍។

1) ការព្យាករណ៍នៃស៊ីឡាំងលើយន្តហោះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាក្នុងករណីនេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការនិយាយអំពី ដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារនៃអថេរពីរ- សម្រាប់ហេតុផលដែលសមីការស៊ីឡាំងមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មុខងារ។

2) ការព្យាករនៃស៊ីឡាំងលើយន្តហោះគឺពាក់កណ្តាលយន្តហោះ រួមទាំងអ័ក្ស

3) ហើយចុងក្រោយ ការព្យាករនៃស៊ីឡាំងទៅលើយន្តហោះ គឺជាយន្តហោះទាំងមូល។

ឧទាហរណ៍ 12

បង្កើតស៊ីឡាំងប៉ារ៉ាបូល៖

ក) កំណត់ខ្លួនអ្នកទៅនឹងបំណែកនៃផ្ទៃនៅក្នុងចន្លោះជិតពាក់កណ្តាល;

ខ) នៅចន្លោះពេល

ក្នុង​ករណី​មាន​ការ​លំបាក យើង​មិន​ប្រញាប់​ប្រញាល់​រក​ហេតុផល​ដោយ​ការ​ប្រៀប​ធៀប​ជាមួយ​នឹង​ឧទាហរណ៍​មុនៗ ជា​សំណាង​ល្អ បច្ចេកវិទ្យា​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​យ៉ាង​ហ្មត់ចត់។ វាមិនសំខាន់ទេប្រសិនបើផ្ទៃខាងក្រៅមានភាពច្របូកច្របល់បន្តិច - វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញរូបភាពមូលដ្ឋានឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់ពិតជាមិនធុញថប់នឹងភាពស្រស់ស្អាតនៃបន្ទាត់នោះទេ ប្រសិនបើខ្ញុំទទួលបានគំនូរដែលអាចឆ្លងកាត់បានជាមួយនឹងកម្រិត C នោះ ជាធម្មតាខ្ញុំមិនធ្វើវាឡើងវិញទេ។ ដោយវិធីនេះ ដំណោះស្រាយគំរូប្រើបច្ចេកទេសមួយផ្សេងទៀតដើម្បីកែលម្អគុណភាពនៃគំនូរ ;-)

ស៊ីឡាំងអ៊ីពែរបូល

មគ្គុទ្ទេសក៍ស៊ីឡាំងបែបនេះគឺអ៊ីពែបូឡា។ ប្រភេទនៃផ្ទៃនេះ យោងទៅតាមការសង្កេតរបស់ខ្ញុំ គឺជារឿងធម្មតាតិចជាងប្រភេទមុនៗ ដូច្នេះខ្ញុំនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនខ្ញុំទៅនឹងការគូរប្លង់តែមួយនៃស៊ីឡាំងអ៊ីពែរបូល៖

គោលការណ៍នៃហេតុផលនៅទីនេះគឺដូចគ្នា - ធម្មតា។ hyperbole សាលាពីយន្តហោះបន្ត “គុណ” ឡើងលើ និងចុះក្រោមរហូតដល់គ្មានកំណត់។

ស៊ីឡាំងដែលត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ្វីដែលគេហៅថា ផ្ទៃលំដាប់ទី 2ហើយឥឡូវនេះ យើងនឹងបន្តស្គាល់អ្នកតំណាងផ្សេងទៀតនៃក្រុមនេះ៖

រាងពងក្រពើ។ ស្វ៊ែរនិងបាល់

សមីការ Canonical នៃ ellipsoid នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមានទម្រង់ តើលេខវិជ្ជមាននៅឯណា ( អ័ក្សអ័ក្ស ellipsoid) ដែលក្នុងករណីទូទៅ ខុសគ្នា. រាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា ផ្ទៃដូច្នេះ រាងកាយកំណត់ដោយផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ រាងកាយ ដូចដែលមនុស្សជាច្រើនបានទាយ ត្រូវបានកំណត់ដោយវិសមភាព ហើយកូអរដោនេនៃចំណុចខាងក្នុងណាមួយ (ក៏ដូចជាចំណុចផ្ទៃណាមួយ) ចាំបាច់បំពេញនូវវិសមភាពនេះ។ ការរចនាគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងអ័ក្សសំរបសំរួល និងប្លង់យន្តហោះ៖

ប្រភពដើមនៃពាក្យ "ellipsoid" គឺច្បាស់ផងដែរ: ប្រសិនបើផ្ទៃត្រូវបាន "កាត់" ដោយយន្តហោះសំរបសំរួលនោះផ្នែកនឹងបណ្តាលឱ្យមានបីផ្សេងគ្នា (ក្នុងករណីទូទៅ) ។

១.៧.១. យន្តហោះ។

ពិចារណាក្នុងមូលដ្ឋាន Cartesian យន្តហោះបំពាន P និងវ៉ិចទ័រធម្មតា (កាត់កែង) ទៅវា `n (A, B, C) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកចំណុចថេរដោយបំពាន M0(x0, y0, z0) និងចំណុចបច្ចុប្បន្ន M(x, y, z) នៅក្នុងយន្តហោះនេះ។

វាច្បាស់ណាស់ថា ?`n = 0 (1.53)

(សូមមើល (1.20) សម្រាប់ j = p /2) ។ នេះគឺជាសមីការនៃយន្តហោះក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ។ បន្តទៅកូអរដោនេ យើងទទួលបានសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54)។

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0) ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានៅក្នុងកូអរដោណេ Cartesian យន្តហោះនីមួយៗត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ ហើយផ្ទុយទៅវិញ រាល់សមីការនៃដឺក្រេទីមួយកំណត់យន្តហោះមួយ (ឧទាហរណ៍ យន្តហោះគឺជាផ្ទៃនៃលំដាប់ទីមួយ និងផ្ទៃនៃ ការបញ្ជាទិញដំបូងគឺយន្តហោះ) ។

ចូរយើងពិចារណាករណីពិសេសមួយចំនួននៃទីតាំងនៃយន្តហោះដែលបានបញ្ជាក់ដោយសមីការទូទៅ៖

A = 0 - ស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក; B = 0 - ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy; C = 0 - ស្របទៅនឹងអ័ក្សអូហ្ស។ (យន្តហោះបែបនេះកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះសម្របសម្រួលមួយ ត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះបញ្ចាំង); D = 0 - ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម; A = B = 0 – កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស Oz (ស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOy); A = B = D = 0 – ស្របគ្នានឹងយន្តហោះ xOy (z = 0) ។ ករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានវិភាគស្រដៀងគ្នា។

បើ D? 0 បន្ទាប់មកដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃ (1.54) ដោយ -D យើងអាចនាំយកសមីការនៃយន្តហោះទៅជាទម្រង់: (1.55)

a = – D / A, b = –D/ B, c = –D / C ។ ទំនាក់ទំនង (1.55) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងផ្នែក; a, b, c – abscissa ចាត់តាំង និងអនុវត្តចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះជាមួយអ័ក្ស Ox, Oy, Oz និង |a|, |b|, |c| - ប្រវែងនៃផ្នែកកាត់ដោយយន្តហោះនៅលើអ័ក្សដែលត្រូវគ្នាពីប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។

គុណទាំងសងខាង (1.54) ដោយកត្តាធម្មតា (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

ដែល cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm គឺជាទិសដៅនៃ cosines ធម្មតាទៅយន្តហោះ, p គឺជាចម្ងាយទៅយន្តហោះពីដើម។

ចូរយើងពិចារណាពីទំនាក់ទំនងជាមូលដ្ឋានដែលប្រើក្នុងការគណនា។ មុំរវាងយន្តហោះ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 និង A2x + B2y + C2z + D2 = 0 អាចកំណត់បានយ៉ាងងាយស្រួលថាជាមុំរវាងធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ `n1 (A1, B1, C1) និង

`n2 (A2, B2, C2)៖ (1.57)

ពី (1.57) វាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានលក្ខខណ្ឌកាត់កែង

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1.58)

និងភាពស្របគ្នា។ (1.59) យន្តហោះ និងលក្ខណៈធម្មតា។

ចម្ងាយពីចំណុចបំពាន M0(x0, y0, z0) ទៅយន្តហោះ (1.54)

ត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម៖ (1.60)

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) ត្រូវបានសរសេរយ៉ាងងាយស្រួលបំផុតដោយប្រើលក្ខខណ្ឌ coplanarity (1.25) នៃវ៉ិចទ័រ ដែល M (x, y, z) - ចំណុចបច្ចុប្បន្ននៃយន្តហោះ។

(1.61)

ចូរយើងបង្ហាញសមីការនៃបណ្តុំនៃយន្តហោះ (ឧ.

សំណុំនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់មួយ) - វាងាយស្រួលប្រើក្នុងកិច្ចការមួយចំនួន។

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1.62)

ដែល l О R និងក្នុងតង្កៀបគឺជាសមីការនៃយន្តហោះទាំងពីរនៃធ្នឹម។

ត្រួតពិនិត្យសំណួរ។

1) តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពិនិត្យមើលថាចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យស្ថិតនៅលើផ្ទៃដែលបានបញ្ជាក់ដោយសមីការនេះ?

2) តើអ្វីជាលក្ខណៈពិសេសដែលបែងចែកសមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ពីសមីការនៃផ្ទៃផ្សេងទៀត?

3) តើយន្តហោះមានទីតាំងដោយរបៀបណាដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ប្រសិនបើសមីការរបស់វាមិនមាន៖ ក) រយៈពេលឥតគិតថ្លៃ។ ខ) មួយនៃកូអរដោនេ; គ) កូអរដោនេពីរ; ឃ) មួយនៃកូអរដោនេនិងរយៈពេលឥតគិតថ្លៃ; ឃ) កូអរដោណេពីរ និងរយៈពេលទំនេរ?

1) ពិន្ទុ M1(0,-1,3) និង M2(1,3,5)។ សរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M1 និងកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ ជ្រើសរើសចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវ៖

ក) ; ខ) ។

2) រកមុំរវាងយន្តហោះនិង . ជ្រើសរើសចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវ៖

a) 135o, ខ) 45o

១.៧.២. ត្រង់។ យន្តហោះដែលជាធម្មតាមិនជាប់គ្នា។ ឬប្រសព្វ កំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដោយមិនច្បាស់លាស់ថាជាបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ ដែលត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

ចំនួនយន្តហោះគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានគូរតាមបន្ទាត់នេះ (បណ្តុំនៃយន្តហោះ (1.62)) រួមទាំងយន្តហោះដែលគ្រោងវានៅលើយន្តហោះសម្របសម្រួល។ ដើម្បីទទួលបានសមីការរបស់ពួកគេ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបំប្លែង (1.63) ដោយបំបាត់នូវអ្វីដែលមិនស្គាល់ពីសមីការនីមួយៗ ហើយកាត់បន្ថយវាឧទាហរណ៍ទៅជាទម្រង់ (1.63`).

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ភារកិច្ច - ដើម្បីគូរតាមរយៈចំណុច M0(x0,y0,z0) បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ `S (l, m, n) (វាត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ដឹកនាំ) ។ ចូរយើងយកចំណុចបំពាន M(x,y,z) នៅលើបន្ទាត់ដែលចង់បាន។ វ៉ិចទ័រ និង ត្រូវតែជា collinear ដែលយើងទទួលបានសមីការ canonical នៃបន្ទាត់។

(1.64) ឬ (1.64`)

ដែល cosa, cosb, cosg គឺជាទិសដៅ cosines នៃវ៉ិចទ័រ `S ។ ពី (1.64) វាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M1(x1, y1, z1) និង M2(x2, y2, z2) (វាស្របគ្នា )

ឬ (1.64``)

(តម្លៃនៃប្រភាគក្នុង (1.64) គឺស្មើគ្នាសម្រាប់ចំណុចនីមួយៗនៅលើបន្ទាត់ ហើយអាចត្រូវបានតាងដោយ t ដែល t ។ R. នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ចូលសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់

តម្លៃនីមួយៗនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ត្រូវគ្នាទៅនឹងសំណុំនៃកូអរដោនេ x, y, z នៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់មួយ ឬ (បើមិនដូច្នេះទេ) - តម្លៃនៃមិនស្គាល់ដែលពេញចិត្តនឹងសមីការនៃបន្ទាត់មួយ) ។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានស្គាល់រួចហើយនៃវ៉ិចទ័រ និងប្រតិបត្តិការលើពួកវា និងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ វាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់៖ (1.65)

លក្ខខណ្ឌប៉ារ៉ាឡែល (១.៦៦) ។

កាត់កែង l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) បន្ទាត់ត្រង់។

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់ (ងាយស្រួលរកបានដោយការស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះ ដែលបន្ថែមរហូតដល់ p/2 ដែលចង់បាន)

(1.68)

ពី (1.66) យើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌប៉ារ៉ាឡែល Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

និងកាត់កែង (1.70) នៃបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ខ្សែពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយអាចទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួលពីលក្ខខណ្ឌនៃ coplanarity (1.25) ។

(1.71)

ត្រួតពិនិត្យសំណួរ។

១) តើ​វិធី​ណា​ខ្លះ​ក្នុង​ការ​កំណត់​បន្ទាត់​ត្រង់​ក្នុង​លំហ?

1) សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច A(4,3,0) ហើយស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ បញ្ជាក់ចម្លើយត្រឹមត្រូវ៖

ក) ; ខ) .

2) សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A(2,-1,3) និង B(2,3,3) ។ ចង្អុលបង្ហាញចម្លើយត្រឹមត្រូវ។

ក) ; ខ) ។

៣) រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយយន្តហោះ៖ , . បញ្ជាក់ចម្លើយត្រឹមត្រូវ៖

ក) (៦,៤,៥); ខ) (៦,-៤,៥)។

១.៧.៣. ផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរ។ ប្រសិនបើសមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងមូលដ្ឋាន Cartesian បីវិមាត្រកំណត់ប្លង់តែមួយ សមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរដែលមាន x, y, z ពិពណ៌នាផ្ទៃផ្សេងទៀត។ ប្រសិនបើសមីការមានទម្រង់

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 បន្ទាប់មកវាពិពណ៌នាអំពីផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ (សមីការទូទៅនៃផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ)។ តាមរយៈការជ្រើសរើស ឬបំប្លែងកូអរដោនេ Cartesian សមីការអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ដែលនាំទៅដល់ទម្រង់មួយក្នុងចំណោមទម្រង់ខាងក្រោមដែលពិពណ៌នាអំពីផ្ទៃដែលត្រូវគ្នា។

1. សមីការ Canonical នៃស៊ីឡាំងលំដាប់ទីពីរ ម៉ាស៊ីនភ្លើងដែលស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oz និងខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរដែលត្រូវគ្នាដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ xOy បម្រើជាការណែនាំ៖

(1.72), (1.73), y2 = 2px (1.74)

រាងពងក្រពើ អ៊ីពែរបូល និងស៊ីឡាំងប៉ារ៉ាបូលរៀងៗខ្លួន។

(សូមចាំថាផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងគឺជាផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការផ្លាស់ទីបន្ទាត់ត្រង់មួយហៅថា generatrix ស្របទៅនឹងខ្លួនវា។ ផ្ទៃ) ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នា យើងអាចសរសេរសមីការនៃផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងដូចគ្នាជាមួយនឹង generatrices ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy និងអ័ក្ស Ox ។ មគ្គុទ្ទេសក៍អាចត្រូវបានកំណត់ថាជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃផ្ទៃនៃស៊ីឡាំងនិងយន្តហោះកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នា i.e. ប្រព័ន្ធសមីការនៃទម្រង់៖

2. សមីការនៃកោណលំដាប់ទីពីរដែលមានចំនុចកំពូលនៅប្រភពដើម៖

(1.75)

(អ័ក្សនៃកោណគឺអ័ក្ស Oz, Oy និង Ox រៀងគ្នា)

3. សមីការ Canonical នៃ ellipsoid: (1.76);

ករណីពិសេសគឺ ellipsoids នៃបដិវត្តន៍ ឧទាហរណ៍ - ផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលរាងពងក្រពើ ជុំវិញអ័ក្ស Oz (At

a > c រាងពងក្រពើត្រូវបានបង្ហាប់ដោយ x2 + y2 + z2 + = r2 – សមីការនៃរង្វង់នៃកាំ r ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅដើម)។

4. សមីការ Canonical នៃ hyperboloid មួយសន្លឹក

(សញ្ញា “–” អាច​បង្ហាញ​នៅ​ពី​មុខ​ពាក្យ​ណា​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពាក្យ​ទាំង​បី​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង - វា​គ្រាន់​តែ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ទីតាំង​ផ្ទៃ​ក្នុង​លំហ)។ ករណីពិសេសគឺជាសន្លឹកអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតនៃបដិវត្តន៍តែមួយសន្លឹក - ផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលអ៊ីពែបូឡា ជុំវិញអ័ក្សអូហ្ស (អ័ក្សស្រមៃនៃអ៊ីពែបូឡា) ។

5. សមីការ Canonical នៃ hyperboloid ពីរសន្លឹក

(សញ្ញា “–” អាច​បង្ហាញ​នៅ​ពី​មុខ​ពាក្យ​ណា​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពាក្យ​ទាំង​បី​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង)។

ករណីពិសេសគឺអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតពីរសន្លឹកនៃបដិវត្តន៍ ឧទាហរណ៍ ផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលអ៊ីពែបូឡាជុំវិញអ័ក្សអុក (អ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា)។

6. សមីការ Canonical នៃ paraboloid រាងអេលីប

(p >0, q >0) (1.79)

7. សមីការ Canonical នៃ paraboloid អ៊ីពែរបូល

(p >0, q >0) (1.80)

(អថេរ z អាចផ្លាស់ប្តូរទីកន្លែងជាមួយអថេរ x និង y - ទីតាំងនៃផ្ទៃក្នុងលំហនឹងផ្លាស់ប្តូរ)។

ចំណាំថាគំនិតនៃលក្ខណៈពិសេស (រូបរាង) នៃផ្ទៃទាំងនេះអាចទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយពិចារណាផ្នែកនៃផ្ទៃទាំងនេះដោយយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

ត្រួតពិនិត្យសំណួរ។

១) តើ​ចំណុច​ណា​ខ្លះ​ក្នុង​លំហ​ដែល​កំណត់​សមីការ?

2) តើអ្វីទៅជាសមីការ Canonical នៃស៊ីឡាំងលំដាប់ទីពីរ; កោណលំដាប់ទីពីរ; រាងពងក្រពើ; អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតែមួយសន្លឹក; អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក; paraboloid រាងអេលីប; អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូអ៊ីត?

1) ស្វែងរកកណ្តាល និងកាំនៃស្វ៊ែរ ហើយចង្អុលបង្ហាញចម្លើយត្រឹមត្រូវ៖

ក) C(1.5;-2.5;2), ; ខ) C(1.5;2.5;2), ;

2) កំណត់ប្រភេទនៃផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ: . បញ្ជាក់ចម្លើយត្រឹមត្រូវ៖

ក) អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតែមួយសន្លឹក; អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត; paraboloid រាងអេលីប; កោណ។

ខ) អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក; អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត; paraboloid រាងអេលីប; កោណ។

នៅ​ក្នុង​លំហ ធរណីមាត្រ​វិភាគ​សិក្សា​ផ្ទៃ​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ក្នុង​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​កែង​ដោយ​សមីការ​ពិជគណិត​ទីមួយ ទីពីរ។ល។ ដឺក្រេទាក់ទងនឹង X, Y, Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

កx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

ល​ល។ លំដាប់នៃសមីការត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់នៃផ្ទៃដែលវាកំណត់។ យើងបានឃើញសមីការនេះរួចហើយ លំដាប់ដំបូង(លីនេអ៊ែរ) (១) បញ្ជាក់ជានិច្ច យន្តហោះគឺជាផ្ទៃលំដាប់ទីមួយតែមួយគត់។ មានផ្ទៃលំដាប់ទីពីរជាច្រើនរួចទៅហើយ។ សូមក្រឡេកមើលអ្វីដែលសំខាន់បំផុតនៃពួកគេ។

§២. ផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងដែលមាន generatrices ស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេមួយ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមអោយបន្ទាត់ជាក់លាក់មួយ L ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងយន្តហោះ XOY សមីការរបស់វាគឺ F(x,y)=0 (1) ។ បន្ទាប់មកសំណុំនៃបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្សអោន (ម៉ាស៊ីនភ្លើង) ហើយឆ្លងកាត់ចំនុចនៅលើ L បង្កើតបានជាផ្ទៃ S ហៅថា ផ្ទៃស៊ីឡាំង។

ចូរយើងបង្ហាញថាសមីការ (1) ដែលមិនមានអថេរ z គឺជាសមីការនៃផ្ទៃរាងស៊ីឡាំង S. យកចំណុចបំពាន M(x,y,z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ S. អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាស៊ីនភ្លើងឆ្លងកាត់ M, ប្រសព្វ L នៅចំណុច N. ចំណុច N មានកូអរដោនេ N(x,y,0) ពួកគេបំពេញសមីការ (1) ពីព្រោះ (·)N ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ L. ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកកូអរដោណេ (x,y,z,) ក៏ពេញចិត្ត (1) ពីព្រោះ វាមិនមាន z ។ នេះមានន័យថាកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៃផ្ទៃស៊ីឡាំង S បំពេញសមីការ (1) ។ នេះមានន័យថា F(x,y)=0 គឺជាសមីការនៃផ្ទៃស៊ីឡាំងនេះ។ ខ្សែកោង L ត្រូវបានគេហៅថា មគ្គុទ្ទេសក៍ (ខ្សែកោង)ផ្ទៃស៊ីឡាំង។ ចំណាំថានៅក្នុងប្រព័ន្ធលំហ L គួរតែត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាទូទៅដោយសមីការពីរ F(x,y)=0, z=0 ជាបន្ទាត់ប្រសព្វ។

ឧទាហរណ៍:

មគ្គុទ្ទេសក៍នៅក្នុងយន្តហោះ Howe មានពងក្រពើ ប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា។ ជាក់ស្តែង សមីការ F=(y,z)=0 និង F(x,z)=0 កំណត់រៀងគ្នា ផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងដែលមានម៉ាស៊ីនភ្លើងស្របទៅនឹងអ័ក្ស OX និង OY ។ មគ្គុទ្ទេសក៍របស់ពួកគេស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ YOZ និង XOZ រៀងគ្នា។

មតិយោបល់។ផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងមិនចាំបាច់ជាផ្ទៃលំដាប់ទីពីរទេ។ ឧទាហរណ៍ មានផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងនៃលំដាប់ទី 3 ហើយសមីការ y=sin(x) បញ្ជាក់ស៊ីឡាំង sinusoidal ដែលគ្មានលំដាប់ណាមួយត្រូវបានចាត់ចែង នេះមិនមែនជាផ្ទៃពិជគណិតទាល់តែសោះ។

§៣. សមីការនៃផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍។

ផ្ទៃលំដាប់ទី 2 មួយចំនួនគឺជាផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍។ អនុញ្ញាតឱ្យខ្សែកោងមួយចំនួន L F(y,z)=0(1) ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ YOZ ។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមីការនៃផ្ទៃ S នឹងទៅជាយ៉ាងណា ដែលបង្កើតឡើងដោយខ្សែកោងបង្វិល (1) ជុំវិញអ័ក្សអោន។

ចូរយើងយកចំណុចបំពាន M(x,y,z) លើផ្ទៃ S ។ វាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាទទួលបានពី (.) N ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ L បន្ទាប់មកកម្មវិធីនៃចំណុច M និង N គឺស្មើគ្នា (=z) ។ ការចាត់តាំងនៃចំណុច N គឺនៅទីនេះកាំនៃការបង្វិល ពីព្រោះ .ប៉ុន្តែ C(0,0,z) និងដោយសារតែ . ប៉ុន្តែចំនុច N ស្ថិតនៅលើខ្សែកោង ហើយដូច្នេះកូអរដោនេរបស់វាបំពេញវា។ មធ្យោបាយ (2) . សមីការ (2) ត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃផ្ទៃនៃបដិវត្ត S. មានន័យថា (2) គឺជាសមីការនៃផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍។ សញ្ញា "+" ឬ "-" ត្រូវបានគេយកអាស្រ័យលើផ្នែកណាមួយនៃខ្សែកោងយន្តហោះ YOZ (1) ដែលមានទីតាំងនៅកន្លែងដែល y>0 ឬ .

ដូច្នេះក្បួន៖ ដើម្បីស្វែងរកសមីការនៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលខ្សែកោង L ជុំវិញអ័ក្ស OZ អ្នកត្រូវជំនួសអថេរ y ក្នុងសមីការនៃខ្សែកោង

សមីការសម្រាប់ផ្ទៃនៃបដិវត្តជុំវិញអ័ក្ស OX និង OY ត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ការបង្រៀន 2. យន្តហោះជាផ្ទៃនៃលំដាប់ទីមួយ។ សមីការយន្តហោះ និងការសិក្សារបស់ពួកគេ។ បន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ ទីតាំងទាក់ទងនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ យន្តហោះ និងបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។ បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។ ខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ; ដេរីវេនៃសមីការ Canonical ការសិក្សាសមីការ និងការសាងសង់ខ្សែកោង។ ផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរ ការសិក្សានៃសមីការ Canonical នៃផ្ទៃ។ វិធីសាស្រ្តផ្នែក។ ១

ធាតុនៃធរណីមាត្រវិភាគ § 1. យន្តហោះ។ យើងមាន OXYZ និងផ្ទៃមួយចំនួន S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y និយមន័យ 1: សមីការដែលមានអថេរបីត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃផ្ទៃ S ក្នុងលំហ ប្រសិនបើសមីការនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោណេនីមួយៗ។ ចំណុច​ដែល​ស្ថិត​នៅ​លើ​ផ្ទៃ ហើយ​មិន​ពេញ​ចិត្ត​ដោយ​កូអរដោណេ មិន​មែន​ជា​ចំណុច​មួយ​ដែល​ស្ថិត​នៅ​លើ​វា​ទេ។ ២

ឧទាហរណ៍។ សមីការ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 (R > 0) យើងកំណត់ស្វ៊ែរដែលមានចំនុចកណ្តាលនៅចំនុច C(a, b, c) និងកាំ R. M M (x, y, z) – ចំណុចអថេរ M ϵ (S) |CM| = R C ៣

និយមន័យទី 2៖ ផ្ទៃ S ត្រូវបានគេហៅថាផ្ទៃនៃលំដាប់ទី n ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian មួយចំនួនវាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទី F(x, y, z) = 0 (1) ក្នុងឧទាហរណ៍ (S) - រង្វង់មួយ ផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរ។ ប្រសិនបើ S ជាផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 1 នោះ F (x, y, z) គឺជាពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រទី 9 ទាក់ទងនឹង (x, y, z) ពិចារណាលើផ្ទៃតែមួយគត់នៃលំដាប់ទី 1 - យន្តហោះមួយ។ ចូរបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M (x, y, z) ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតា 4

អនុញ្ញាតឱ្យ M(x, y, z) ជាចំណុចបំពាន (បច្ចុប្បន្ន) នៃយន្តហោះ។ M M 0 O α ឬក្នុងទម្រង់ជាកូអរដោណេ៖ (2) សមីការ (2) គឺជាសមីការនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ៥

D (*) (3) - សមីការពេញលេញនៃយន្តហោះ សមីការមិនពេញលេញនៃយន្តហោះ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (3) មេគុណជាច្រើន (ប៉ុន្តែមិនមែន A, B, C ក្នុងពេលតែមួយ) = 0 នោះសមីការត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ ហើយយន្តហោះ α មានលក្ខណៈពិសេសនៅក្នុងទីតាំងរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ D = 0 នោះ α ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ៦

ចម្ងាយពីចំណុច M 1 ដល់យន្តហោះ α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 ត្រូវបានអនុវត្តទៅចំណុច M 0 K 7

- ចម្ងាយពីចំណុច M 1 ទៅប្លង់ α សមីការនៃយន្តហោះ "ជាផ្នែក" ចូរបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះកាត់ផ្នែកដែលមិនមែនជាសូន្យនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេជាមួយនឹងតម្លៃ C(0, 0, c) a, b, គ. ចូរយក B(0, b, 0) ជាតម្លៃ ចូរយើងបង្កើតសមីការសម្រាប់ចំនុច A ជាមួយ A(a, 0, 0) 8

-សមីការនៃយន្តហោះ α "នៅក្នុងផ្នែក" -សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច A កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតា 9

§ 2. សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហអាចត្រូវបានកំណត់ដោយចំនុចប្រសព្វនៃ 2 យន្តហោះ។ 10

សមីការ​ប៉ារ៉ាមេទ្រិច និង​កាណូនិក​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់ - ចំណុច​បំពាន​នៃ​ចំណុច​បន្ទាត់​ត្រង់ M M 0 សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ 11

ការលុបបំបាត់ t យើងទទួលបាន: - ប្រព័ន្ធសមីការ Canonical (3) កំណត់ចលនានៃចំណុចសម្ភារៈមួយ rectilinear និងឯកសណ្ឋានពីទីតាំងដំបូង M 0 (x 0, y 0, z 0) ជាមួយនឹងល្បឿនក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ។ ១២

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។ លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែង។ អនុញ្ញាតឱ្យមានបន្ទាត់ពីរ L 1, L 2 នៅក្នុងលំហដែលផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ Canonical របស់ពួកគេ: បន្ទាប់មកភារកិច្ចនៃការកំណត់មុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីកំណត់មុំ

វ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេ៖ ដោយប្រើនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន និងកន្សោមក្នុងកូអរដោនេនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានដែលបានបញ្ជាក់ និងប្រវែងវ៉ិចទ័រ q 1 និង q 2 យើងទទួលបានដើម្បីស្វែងរក៖ 15

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ l 1 និង l 2 ត្រូវគ្នាទៅនឹងភាពជាប់គ្នានៃ q 1 និង q 2 ស្ថិតនៅក្នុងសមាមាត្រនៃកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ ពោលគឺវាមានទម្រង់៖ លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងតាមពីនិយមន័យនៃ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន និងសមភាពរបស់វាទៅសូន្យ (នៅ cos = 0) ហើយមានទម្រង់ : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប្លង់៖ លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់ ពិចារណាប្លង់ P ដែលកំណត់ដោយសមីការទូទៅ៖ Ax + By + Cz + D = 0 និងបន្ទាត់ត្រង់ L ដែលកំណត់ដោយ សមីការ Canonical៖ ១៧

ដោយសារមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ L និងប្លង់ P គឺជាការបំពេញបន្ថែមទៅនឹងមុំរវាងវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់ q = (l, m, n) និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ n = (A, B, C) បន្ទាប់មកពីនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន q n = q n cos និងសមភាព cos = sin (= 90 -) យើងទទួលបាន: 18

លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ L និងប្លង់ П (រួមទាំងការពិតដែលថា L ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ П) គឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ q និង n ហើយត្រូវបានបង្ហាញដោយ = 0 ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ត្រង់ L និងប្លង់ P គឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃវ៉ិចទ័រ n និង q ហើយត្រូវបានបង្ហាញដោយសមាមាត្រនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ: 19

លក្ខខណ្ឌ​សម្រាប់​បន្ទាត់​ពីរ​ជា​របស់​យន្តហោះ​ដូចគ្នា​ពីរ​បន្ទាត់​ក្នុង​លំហ L 1 និង L 2 អាច​: 1) ប្រសព្វ; 2) ស្របគ្នា; 3) បង្កាត់ពូជ។ ក្នុងករណីពីរដំបូង ខ្សែ L 1 និង L 2 ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលក្ខខណ្ឌសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលកំណត់ដោយសមីការ Canonical ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដូចគ្នា: 20

ជាក់ស្តែងសម្រាប់បន្ទាត់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញទាំងពីរជារបស់ប្លង់តែមួយ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវ៉ិចទ័របី = (x2 − x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) និង q 2 = (l 2, m 2, n 2) គឺជា coplanar ដែលវាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះ = 0. ២១

ការសរសេរផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងកូអរដោណេ យើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ពីរ L 1 និង L 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដូចគ្នា៖ 22

លក្ខខណ្ឌ​សម្រាប់​បន្ទាត់​ត្រង់​ជា​របស់​យន្តហោះ សូម​ឲ្យ​មាន​បន្ទាត់​ត្រង់ និង​យន្តហោះ Ax + Bi + Cz + D = 0 លក្ខខណ្ឌ​ទាំងនេះ​មាន​ទម្រង់៖ Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 និង Al + Bm + Cn = 0 ដែលទីមួយមានន័យថាចំនុច M 1(x1, y1, z 1) ដែលឆ្លងកាត់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ ហើយទីពីរគឺជាលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។ ២៣

ខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ។ § 1. គំនិតនៃសមីការនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះមួយ។ សមីការ f (x, y) = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃបន្ទាត់ L នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានជ្រើសរើស ប្រសិនបើវាត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ ហើយមិនពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើវា។ ២៤

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="ឧទាហរណ៍៖ (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

បន្ទាត់ L ត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់នៃលំដាប់ទី n ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian មួយចំនួនវាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រ n ទាក់ទងទៅនឹង x និង y ។ យើងស្គាល់បន្ទាត់តែមួយនៃលំដាប់ទី 1 - បន្ទាត់ត្រង់មួយ: Ax + By + D = 0 យើងនឹងពិចារណាខ្សែកោងនៃលំដាប់ទី 2: ពងក្រពើ, អ៊ីពែបូឡា, ប៉ារ៉ាបូឡា។ សមីការទូទៅនៃជួរលំដាប់ទី 2 គឺ៖ Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

អេលីប (អ៊ី) និយមន័យ។ រាងពងក្រពើគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរនៃយន្តហោះ F 1 និង F 2 ដែលហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ និងចម្ងាយធំរវាង foci ។ ចូរយើងកំណត់តម្លៃថេរជា 2 a ចម្ងាយរវាង foci ជា 2 គ គូរអ័ក្ស X តាមរយៈ foci (a > c, a > 0, c > 0)។ អ័ក្ស Y ឆ្លងកាត់ពាក់កណ្តាលនៃប្រវែងប្រសព្វ។ អនុញ្ញាតឱ្យ M ជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើ, t.

ចូរសរសេរ (1) ជាទម្រង់កូអរដោណេ៖ (2) នេះគឺជាសមីការនៃរាងពងក្រពើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានជ្រើសរើស។ ការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ (2) យើងទទួលបាន: b 2 = a 2 - c 2 (3) - សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា (2) និង (3) ស្មើនឹង: 28

ការសិក្សាអំពីរាងពងក្រពើដោយប្រើសមីការ Canonical 1) Ellipse គឺជាខ្សែកោងនៃលំដាប់ទី 2 2) Symmetry of the ellipse ។ ដោយហេតុថា x និង y ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុង (3) តែនៅក្នុងអំណាចគូ ពងក្រពើមានអ័ក្ស 2 និង 1 កណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី ដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានជ្រើសរើសស្របគ្នានឹងអ័ក្សកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើស និងចំណុច O. 29

3) ទីតាំងនៃរាងពងក្រពើ នោះគឺ E ទាំងមូលមានទីតាំងនៅក្នុងចតុកោណកែង ដែលជ្រុងនៃ x = ± a និង y = ± b ។ 4) ប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស។ A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: ចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); ដោយសារភាពស៊ីមេទ្រីនៃពងក្រពើ យើងនឹងពិចារណាអំពីអាកប្បកិរិយារបស់វា (↓) តែនៅក្នុងត្រីមាសទីមួយប៉ុណ្ណោះ។ សាមសិប

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" ការដោះស្រាយ (3) ទាក់ទងនឹង y យើងទទួលបាន៖ ក្នុងត្រីមាសទីមួយ x > 0 និងរាងពងក្រពើ ថយចុះ។"> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

អ៊ីពែបូឡា (Г) និយមន័យ៖ Г គឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅ 2 ចំណុចថេរនៃយន្តហោះ F 1, F 2 គឺជាតម្លៃថេរ និង

ភាពសាមញ្ញ (1): (2) គឺជាសមីការ Canonical នៃ G. (1) និង (2) គឺសមមូល។ ការសិក្សាអំពីអ៊ីពែបូឡា ដោយប្រើសមីការ Canonical 1) Г គឺជាបន្ទាត់នៃលំដាប់ទី 2 2) Г មានអ័ក្សពីរ និងកណ្តាលមួយនៃស៊ីមេទ្រី ដែលនៅក្នុងករណីរបស់យើងស្របគ្នាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ និងប្រភពដើម។ 3) ទីតាំងនៃអ៊ីពែបូឡា។ ៣៤

អ៊ីពែបូឡាមានទីតាំងនៅខាងក្រៅបន្ទះរវាងបន្ទាត់ x = a, x = -a ។ 4) ចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស។ OX: OY: មិនមានដំណោះស្រាយ A 1(-a; 0); A 2(a; 0) - កំពូលពិត Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – បញ្ឈរស្រមើលស្រមៃ Г 2 a – អ័ក្សពិត Г 2 ខ – អ័ក្សស្រមើស្រមៃ Г 35

5) រោគសញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា។ ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីនៃ Г យើងពិចារណាផ្នែករបស់វានៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ។ ដោយបានដោះស្រាយ (2) ទាក់ទងនឹង y យើងទទួលបាន: សមីការ Г ក្នុងត្រីមាសទី 1 x ≥ 0 ពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់: ចាប់តាំងពីក្នុងត្រីមាសទី 1 x> 0 នោះគឺនៅក្នុងត្រីមាសទី 1 ដែលមាន abscissa ដូចគ្នានោះអ្នកចាត់តាំង នៃបន្ទាត់ > ចាត់តាំងចំណុចដែលត្រូវគ្នា Г ពោលគឺនៅត្រីមាសទីមួយ Г ស្ថិតនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ត្រង់នេះ។ G ទាំងមូលស្ថិតនៅក្នុងមុំបញ្ឈរមួយដែលមានជ្រុង 36

6) វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានៅក្នុងផ្នែកទីមួយ G កើនឡើង 7) ផែនការសម្រាប់ការសាងសង់ G ក) សាងសង់ចតុកោណកែង 2 a, 2 ខ) គូសអង្កត់ទ្រូងរបស់វា c) សម្គាល់ A 1, A 2 - ចំនុចកំពូលពិតនៃ G និង 38 សរសេរ សាខាទាំងនេះ

Parabola (P) ពិចារណា d (directrix) និង F (ផ្តោត) នៅលើយន្តហោះ។ និយមន័យ។ П - សំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលស្មើគ្នាពីបន្ទាត់ ឃ និងចំណុច F (ផ្តោត) 39

d-directrix F-ផ្តោត XOY ចំណុច М П បន្ទាប់មក |MF| = |MN| (1) សមីការ P, ជ្រើសរើសក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ (1) យើងទទួលបាន y 2 = 2 px (2) – សមីការ Canonical នៃ P. (1) និង (2) គឺសមមូល 40 ។

សិក្សា P ដោយប្រើសមីការ Canonical x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. ស៊ីឡាំង។ ផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងដែលមាន generatrices ស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ តាមរយៈចំនុច x នៃបន្ទាត់ L យើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស OZ ។ ផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងឬស៊ីឡាំង (C) ។ បន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលស្របទៅនឹងអ័ក្ស OZ ត្រូវបានគេហៅថា generatrix ។ l គឺជាមគ្គុទ្ទេសក៍នៃផ្ទៃស៊ីឡាំងនៃយន្តហោះ XOY ។ Z(x, y) = 0 (1) 42

អនុញ្ញាតឱ្យ M(x, y, z) ជាចំណុចបំពាននៃផ្ទៃរាងស៊ីឡាំង។ ចូរយើងធ្វើគម្រោងវាទៅលើ L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 នោះគឺ កូអរដោនេ M ពេញចិត្ត (1) វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើ M C នោះវាមិនត្រូវបានព្យាករទៅចំណុច M 0 ϵ L ហើយដូច្នេះកូអរដោនេនៃ M នឹងមិនបំពេញសមីការ (1) ដែលកំណត់ C ជាមួយ generatrix ស្របគ្នា ទៅអ័ក្ស OZ ក្នុងលំហ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា៖ Ф(x, z) = 0 ក្នុងចន្លោះ Г || OY 43 (y,z) = 0 កំណត់ក្នុងចន្លោះ C || OX

ការព្យាករនៃបន្ទាត់លំហនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ បន្ទាត់ក្នុងលំហអាចត្រូវបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងដោយប្រសព្វនៃផ្ទៃ។ បន្ទាត់ដូចគ្នាអាចត្រូវបានកំណត់ថាជា ∩ នៃផ្ទៃផ្សេងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់លំហ L ត្រូវបានផ្តល់∩នៃផ្ទៃពីរ α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 សមីការ L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 ចូរយើងស្វែងរកការព្យាកររបស់ L ទៅលើយន្តហោះ XOY ពីសមីការ (1) ហើយមិនរាប់បញ្ចូល Z។ យើងទទួលបានសមីការ៖ Z(x, y) = 0 – ក្នុងលំហ នេះគឺជាសមីការ Ε ជាមួយម៉ាស៊ីនភ្លើង || OZ និងណែនាំ L. 46

ការព្យាករណ៍៖ L xy Z(x, y) = 0 Z=0 ផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ Ellipsoid - សមីការ Canonical នៃផ្ទៃមួយមានទម្រង់៖ 1) Ellipsoid - ផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ។ 2) X, Y, Z បញ្ចូលសមីការតែក្នុងអំណាចគូ => ផ្ទៃមាន 3 ប្លង់ និង 1 កណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី ដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើសស្របគ្នានឹងប្លង់កូអរដោនេ និងប្រភពដើម។ ៤៧

3) ទីតាំងនៃរាងពងក្រពើផ្ទៃត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាង || ប្លង់ដែលមានសមីការ x = a, x = -a ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ពោលគឺផ្ទៃទាំងមូលត្រូវបានផ្ទុកនៅខាងក្នុងរាងចតុកោណ parallelepiped ។ x = ± a, y = ± b, z = ± គ។ យើងនឹងពិនិត្យមើលផ្ទៃដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃផ្នែក - ប្រសព្វផ្ទៃជាមួយនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ || សំរបសំរួល។ នៅក្នុងផ្នែកយើងនឹងទទួលបានបន្ទាត់ដោយរូបរាងដែលយើងនឹងវិនិច្ឆ័យរូបរាងនៃផ្ទៃ។ ៤៨

ចូរប្រសព្វផ្ទៃជាមួយនឹងយន្តហោះ XOY ។ នៅក្នុងផ្នែកយើងទទួលបានបន្ទាត់មួយ។ - រាងពងក្រពើ a និង b – អ័ក្សពាក់កណ្តាល ស្រដៀងទៅនឹងយន្តហោះ YOZ - រាងពងក្រពើពាក់កណ្តាលអ័ក្ស b និង c Plane || XOY ប្រសិនបើ h(0, c) បន្ទាប់មកអ័ក្សពងក្រពើថយចុះពី a និង b ដល់ 0. 49

a = b = c - ស្វ៊ែរ Paraboloids ក) អ៊ីពែបូល ប៉ារ៉ាបូអ៊ីត - ផ្ទៃដែលមានសមីការ Canonical: 1) ផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ 2) ចាប់តាំងពី x, y ចូលទៅក្នុងសមីការតែក្នុងអំណាចគូប៉ុណ្ណោះ ផ្ទៃមានប្លង់ស៊ីមេទ្រី ដែលស្របគ្នា។ សម្រាប់ជម្រើសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃកូអរដោនេជាមួយនឹងយន្តហោះចំនួន 50 XOZ, YOZ ។

3) យើងពិនិត្យផ្ទៃដោយប្រើវិធីសាស្រ្ដផ្នែកអាប។ XOZ នៅក្នុងផ្នែកឆ្លងកាត់ ប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីទៅនឹងអ័ក្ស OZ ឡើង។ pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" តំបន់ ||XOY សម្រាប់ h > 0 អ៊ីពែបូឡាស ដែលមានអ័ក្សពាក់កណ្តាលពិតប្រាកដតាម OX សម្រាប់ h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

ខ) អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក 1) ផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរ 2) មានយន្តហោះ 3 និង 1 កណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី 3) ទីតាំងផ្ទៃ x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a ; (a, b, c> 0) ផ្ទៃមានពីរផ្នែកដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រៅបន្ទះរវាងយន្តហោះដែលមានសមីការ x = a, x = -a 4) យើងសិក្សាវិធីសាស្រ្តនៃផ្នែក (ដោយខ្លួនឯង!) 57

កោណលំដាប់ទីពីរ កោណលំដាប់ទីពីរគឺជាផ្ទៃដែលសមីការ Canonical មានទម្រង់៖ 1) ផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ 2) មានប្លង់ 3 និង 1 កណ្តាលស៊ីមេទ្រី 3) យើងសិក្សាវិធីសាស្រ្តនៃផ្នែកការ៉េ។ XOY ៥៨

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" square ||XOY |h|–>∞ ពី 0 ទៅ ∞ ការេ YOZ គូនៃបន្ទាត់ត្រង់, ឆ្លងកាត់"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

§៧. យន្តហោះជាផ្ទៃនៃលំដាប់ទីមួយ។ សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ។ សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​កាត់​តាម​ចំណុច​ដែល​កាត់​កែង​ទៅ​វ៉ិចទ័រ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​យើង​ណែនាំ​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​រាង​ចតុកោណ​ Oxyz ក្នុង​លំហ ហើយ​ពិចារណា​សមីការ​នៃ​ដឺក្រេ​ទី​មួយ (ឬ​សមីការ​លីនេអ៊ែរ) សម្រាប់ x, y, z: (7.1) អ័ក្ស។  ដោយ  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . ទ្រឹស្តីបទ ៧.១. យន្តហោះណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណកែង Cartesian ដោយសមីការនៃទម្រង់ (7.1) ។ តាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងករណីនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ ការសន្ទនានៃទ្រឹស្តីបទ 7.1 មានសុពលភាព។ ទ្រឹស្តីបទ ៧.២. សមីការណាមួយនៃទម្រង់ (7.1) កំណត់យន្តហោះក្នុងលំហ។ ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 7.1 និង 7.2 អាចត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 2.1, 2.2 ។ ពីទ្រឹស្តីបទ 7.1 និង 7.2 វាធ្វើតាមថាយន្តហោះ ហើយមានតែផ្ទៃនៃលំដាប់ទីមួយប៉ុណ្ណោះ។ សមីការ (7.1) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការយន្តហោះទូទៅ។ មេគុណ  A, B, C របស់វាត្រូវបានបកស្រាយតាមធរណីមាត្រថាជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ n កាត់កែងទៅនឹងប្លង់ដែលកំណត់ដោយសមីការនេះ។ វ៉ិចទ័រនេះ  n(A, B, C) ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សមីការ (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 សម្រាប់តម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃមេគុណ A, B, C កំណត់ប្លង់ទាំងអស់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច M 0 ( x0, y0, z0) ។ វាត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃក្រុមនៃយន្តហោះ។ ជម្រើសនៃតម្លៃជាក់លាក់នៃ A, B, C ក្នុង (7.2) មានន័យថាជម្រើសនៃយន្តហោះ P ពីតំណភ្ជាប់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ n (A, B, C) (រូបភាព 7.1 ។ ) ឧទាហរណ៍ 7.1 ។ សរសេរសមីការនៃយន្តហោះ P ឆ្លងកាត់ចំនុច   A(1, 2, 0) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) ។    វ៉ិចទ័រធម្មតា n ដល់ P គឺរាងពងក្រពើទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b (រូបភាព 7.2)   ដូច្នេះសម្រាប់ n យើងអាចយកផលិតផលវ៉ិចទ័រ n របស់ពួកគេ៖ A    P i j k    2 1  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a     b 4 k 3 j . ចូរជំនួសកូអរដោនេនៃរូបភព។ ៧.២. ឧទាហរណ៍ 7.1 P M0  ចំណុច M 0 និងវ៉ិចទ័រ n ចូលទៅក្នុងសមីការ (7.2) យើងទទួលបានរូបភព។ ៧.១. ទៅសមីការនៃយន្តហោះនៃបណ្តុំនៃយន្តហោះ P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 ឬ P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 ប្រសិនបើមេគុណពីរ A, B, C នៃសមីការ (7.1) គឺស្មើនឹងសូន្យ វាបញ្ជាក់ប្លង់ស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេមួយ។ ឧទហរណ៍ េពល A  B  0 , C  0 − plane P1 : Cz  D  0 ឬ P1 : z   D / C (រូប 7.3)។ វាស្របទៅនឹងយន្តហោះ Oxy ពីព្រោះវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វា  n1(0, 0, C) គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនេះ។ សម្រាប់ A  C  0, B  0 ឬ B  C  0, A  0 សមីការ (7 . 1) កំណត់ប្លង់ P2: ដោយ  D  0 និង P3: Ax  D  0 ស្របទៅនឹងប្លង់កូអរដោនេ Oxz និង Oyz ចាប់តាំងពី   វ៉ិចទ័រធម្មតារបស់ពួកគេ n2(0, B, 0) និង n3(A, 0)។ , 0 ) កាត់កែងទៅនឹងពួកវា (រូបភាព 7.3) ។ ប្រសិនបើមានតែមេគុណ A, B, C នៃសមីការ (7.1) ស្មើនឹងសូន្យ នោះវាបញ្ជាក់ប្លង់ស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេមួយ (ឬមានវាប្រសិនបើ D  0) ។ ដូចនេះ ប្លង់ P: Ax  By  D  0 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x រូប។ ៧.៤. Plane P: Ax  B y  D  0 ស្របនឹងអ័ក្ស Oz រូប។ ៧.៣. យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងប្លង់កូអរដោនេ  ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វា n(A, B, 0) កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស Oz ។ ចំណាំថាវាឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់ L: Ax  By  D  0 ដេកក្នុងយន្តហោះ Oxy (រូបភាព 7.4) ។ សម្រាប់ D  0 សមីការ (7.1) បញ្ជាក់យន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ឧទាហរណ៍ 7.2 ។ រកតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ  ដែលសមីការ x  ( 2  2 ) y  ( 2    2)z    3  0 កំណត់ប្លង់ P: a) ប៉ារ៉ាឡែលទៅមួយ នៃយន្តហោះកូអរដោនេ; ខ) ស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេមួយ; គ) ឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។ ចូរយើងសរសេរសមីការនេះក្នុងទម្រង់ x  (  2) y  (   2)(   1) z    3  0 ។ (7.3) សម្រាប់តម្លៃណាមួយ  សមីការ (7.3) កំណត់ប្លង់ជាក់លាក់មួយ ដោយហេតុថាមេគុណនៃ x, y, z ក្នុង (7.3) មិនរលាយបាត់ក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ a) សម្រាប់   0 សមីការ (7.3) កំណត់ប្លង់មួយ P ស្របទៅនឹងប្លង់ Oxy, P: z  3/2 ហើយសម្រាប់   2 វាកំណត់ប្លង់មួយ P 2 ស្របនឹងយន្តហោះ Oyz, P: x  5/ 2 ។ សម្រាប់គ្មានតម្លៃនៃ  យន្តហោះ P ដែលកំណត់ដោយសមីការ (7.3) គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ Oxz ចាប់តាំងពីមេគុណនៃ x, z ក្នុង (7.3) មិនរលាយក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ b) សម្រាប់   1 សមីការ (7.3) កំណត់ប្លង់មួយ P ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oz, P: x  3y  2  0 ។ ចំពោះតម្លៃផ្សេងទៀតនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ  វាមិនកំណត់ប្លង់ស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេតែមួយទេ។ គ) សម្រាប់   3 សមីការ (7.3) កំណត់ប្លង់ P ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម P : 3x  15 y  10 z  0 ។ ◄ ឧទាហរណ៍ ៧.៣។ សរសេរសមីការនៃយន្តហោះ P ឆ្លងកាត់៖ ក) ចំណុច M (1,  3, 2) ស្របទៅនឹងអ័ក្សយន្តហោះ Oxy; ខ) អ័ក្សអុក និងចំណុច M (2, – 1, 3) ។   a) សម្រាប់វ៉ិចទ័រធម្មតា n ដល់ P នៅទីនេះយើងអាចយកវ៉ិចទ័រ k (0, 0,1) - វ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្ស Oz ព្រោះវាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ Oxy ។ ជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច  M (1,  3, 2) និងវ៉ិចទ័រ n ទៅជាសមីការ (7.2) យើងទទួលបានសមីការនៃប្លង់ P: z 3  0.   ខ) វ៉ិចទ័រធម្មតា n ទៅ P ជាអ័រតូហ្គោនទៅនឹងវ៉ិចទ័រ i (1, 0, 0) និង OM (2,  1, 3),  ដូច្នេះយើងអាចយកផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេជា n:    i j k       n  i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  ជំនួសកូអរដោណេចំណុច O និងវ៉ិចទ័រ n ទៅជាសមីការ (7.2) យើងទទួលបានសមីការនៃប្លង់ P:  3(y  0)  (z  0)  0 ឬ P: 3 y  z  0 .◄ ៣