ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ដែលមានអថេរ n

(1)

ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លីដូចជា៖

ឬក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖ អ័ក្ស = ខ។

នៅក្នុងបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ ប្រព័ន្ធមិនច្បាស់លាស់នៃសមីការត្រូវបានពិចារណា ពោលគឺឧ។ មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ បន្ទាប់មកចំណាត់ថ្នាក់ r នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ

,
តិចជាងចំនួនអថេរ៖ rn ។ នេះមានន័យថាចំនួនអតិបរមានៃសមីការឯករាជ្យលីនេអ៊ែរក្នុង (1) គឺស្មើនឹង r ។ យើងនឹងសន្មត់ថានៅក្នុងប្រព័ន្ធ (1) ចំនួននៃសមីការឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺស្មើនឹង m, i.e. r = m ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីពិជគណិតថាក្នុងករណីនេះមានអថេរ m, មេគុណ ដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធ (1) បង្កើតម៉ាទ្រីសជាមួយនឹងកត្តាកំណត់មិនសូន្យ។ កត្តាកំណត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជនមូលដ្ឋាន ហើយអថេរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋាន។ អថេរ n – m ដែលនៅសេសសល់ត្រូវបានគេហៅថាអថេរឥតគិតថ្លៃ។ អថេរមូលដ្ឋានអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃដោយប្រើសមីការនៃប្រព័ន្ធ (1) កំណត់តម្លៃតាមអំពើចិត្តទៅអថេរទំនេរ និងស្វែងរកតម្លៃនៃអថេរមូលដ្ឋានដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។ លទ្ធផលគឺជាផ្នែកមួយនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ (1) ។

និយមន័យ ១.ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ (1) ដែលទទួលបានជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យនៃអថេរឥតគិតថ្លៃត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន។

អថេរមូលដ្ឋាន ហើយដូច្នេះសមាសធាតុមិនសូន្យនៃដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានត្រូវគ្នាទៅនឹងជួរឈរឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃម៉ាទ្រីសមេគុណនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់និយមន័យផ្សេងគ្នានៃដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

និយមន័យ ២.ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ ដែលសមាសធាតុមិនមែនសូន្យត្រូវគ្នាទៅនឹងជួរឈរឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃម៉ាទ្រីសមេគុណនៃប្រព័ន្ធនេះ។

អថេរមូលដ្ឋានអាចជាក្រុមផ្សេងគ្នាដែលមានអថេរ m ពីអថេរ n ដែលបានបញ្ជាក់ក្នុង (1) ។ ចំនួនអតិបរិមានៃវិធីដែលអាចជ្រើសរើសអថេរ m ពីសំណុំដែលមានអថេរ n គឺស្មើនឹងចំនួនបន្សំ . ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចមានករណីនៅពេលដែលកត្តាកំណត់ដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណសម្រាប់អថេរ m ដែលបានជ្រើសរើសនៅក្នុងប្រព័ន្ធ (1) គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះចំនួនក្រុមនៃអថេរមូលដ្ឋានមិនលើសពី . សម្រាប់ក្រុមនីមួយៗនៃអថេរមូលដ្ឋាន មនុស្សម្នាក់អាចស្វែងរកដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានដែលត្រូវគ្នានៃប្រព័ន្ធ (1) ។ ពីហេតុផលខាងលើទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោមៈ

ទ្រឹស្តីបទ។ ចំនួននៃដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធមិនកំណត់ (1) ដែលក្នុងនោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធr = ម < នមិនលើស .

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធសមីការ (២)៖

(2)

ដំណោះស្រាយ។ ជាក់ស្តែង r = m = 2, n = 4 ។ ចំនួនសរុបនៃក្រុមនៃអថេរមូលដ្ឋានគឺមិនលើសពី = 6. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ជួរទីមួយ ទីពីរ និងទីបួននៃមេគុណនៃអថេរនៅក្នុងម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធគឺសមាមាត្រ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃជួរទាំងពីរនៃជួរទាំងបីនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ឈុតដែលនៅសល់៖
,
និង
.

សម្រាប់សំណុំនៃអថេរ
កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណរបស់ពួកគេ d = = –2 0. អាស្រ័យហេតុនេះ អថេរទាំងនេះអាចចាត់ទុកថាជាអថេរមូលដ្ឋាន
- ឥតគិតថ្លៃ។ ចូរកំណត់តម្លៃសូន្យទៅអថេរទំនេរ៖
យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

(3)
កន្លែងណា
.

ជាទូទៅសមីការលីនេអ៊ែរមានទម្រង់៖

សមីការ​មាន​ដំណោះ​ស្រាយ៖ បើ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​មេគុណ​មួយ​នៃ​ការ​មិន​ស្គាល់​ខុស​ពី​សូន្យ។ ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រ -dimensional ណាមួយត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ប្រសិនបើនៅពេលជំនួសកូអរដោណេរបស់វា សមីការក្លាយជាអត្តសញ្ញាណ។

លក្ខណៈទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការដែលបានដោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ 20.1

ពិពណ៌នាអំពីប្រព័ន្ធសមីការ.

ដំណោះស្រាយ:

1. តើ​មាន​សមីការ​ផ្ទុយ​គ្នា​ពាក់ព័ន្ធ​ឬ​ទេ?(ប្រសិនបើមេគុណ ក្នុងករណីនេះសមីការមានទម្រង់៖ ហើយត្រូវបានគេហៅថា ចម្រូង​ចម្រាស់.)

• ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានអ្វីមួយដែលផ្ទុយគ្នា នោះប្រព័ន្ធបែបនេះមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា និងគ្មានដំណោះស្រាយ។

2. ស្វែងរកអថេរដែលបានអនុញ្ញាតទាំងអស់។. (មិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថាអនុញ្ញាតសម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការ ប្រសិនបើវាត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណ +1 ប៉ុន្តែមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងសមីការដែលនៅសល់ទេ (ឧ. វាត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាមួយមេគុណស្មើនឹងសូន្យ)។

3. តើប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានដោះស្រាយទេ? (ប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានគេហៅថាដោះស្រាយប្រសិនបើសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនស្គាល់ ដែលក្នុងនោះមិនមានការចៃដន្យទេ)

មិនស្គាល់ដែលបានដោះស្រាយ យកមួយចេញពីសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ ទម្រង់ សំណុំពេញលេញនៃដំណោះស្រាយមិនស្គាល់ប្រព័ន្ធ។ (ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងនេះគឺ)

មិនស្គាល់ដែលបានអនុញ្ញាតរួមបញ្ចូលក្នុងសំណុំពេញលេញក៏ត្រូវបានហៅផងដែរ។ មូលដ្ឋាន() និងមិនរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំ - ឥតគិតថ្លៃ ().

ក្នុងករណីទូទៅ ប្រព័ន្ធសមីការដែលបានដោះស្រាយមានទម្រង់៖

នៅដំណាក់កាលនេះរឿងសំខាន់គឺត្រូវយល់ថាវាជាអ្វី ដោះស្រាយមិនស្គាល់(រួមបញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន និងឥតគិតថ្លៃ)។

ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានពិសេសទូទៅ

ដំណោះស្រាយទូទៅប្រព័ន្ធសមីការដែលបានដោះស្រាយគឺជាសំណុំនៃកន្សោមនៃការមិនស្គាល់ដែលបានដោះស្រាយតាមរយៈពាក្យឥតគិតថ្លៃ និងមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ៖

ការសម្រេចចិត្តឯកជនត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយដែលទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់នៃអថេរឥតគិតថ្លៃ និងមិនស្គាល់។

ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានគឺ​ជា​ដំណោះ​ស្រាយ​ពិសេស​មួយ​ដែល​ទទួល​បាន​ពី​ទូទៅ​សម្រាប់​តម្លៃ​សូន្យ​នៃ​អថេរ​ទំនេរ។

• ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន (វ៉ិចទ័រ) ត្រូវបានគេហៅថា degenerateប្រសិនបើចំនួននៃកូអរដោណេមិនសូន្យរបស់វាគឺតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ដែលអនុញ្ញាត។
• ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា មិន degenerateប្រសិនបើចំនួននៃកូអរដោណេមិនមែនសូន្យរបស់វាស្មើនឹងចំនួននៃមិនស្គាល់ដែលអនុញ្ញាតនៃប្រព័ន្ធដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំពេញលេញ។

ទ្រឹស្តីបទ (1)

ប្រព័ន្ធសមីការដែលបានដោះស្រាយគឺតែងតែស្រប(ព្រោះវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ); លើសពីនេះទៅទៀតប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនមានការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ(នោះ​គឺ​នៅ​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​មួយ​ដែល​អនុញ្ញាត​ទាំងអស់​ត្រូវ​បាន​រួម​បញ្ចូល​ក្នុង​មូលដ្ឋាន​) បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកំណត់(មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់); ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មានអថេរឥតគិតថ្លៃមួយ នោះប្រព័ន្ធមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។(មាន​ចំនួន​ដំណោះស្រាយ​គ្មាន​កំណត់)។

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ មូលដ្ឋាន និងជាក់លាក់ណាមួយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ:

1. តើយើងកំពុងពិនិត្យមើលថាតើប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានអនុញ្ញាតដែរឬទេ?

• ប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយ (ដោយសារសមីការនីមួយៗមានដំណោះស្រាយមិនស្គាល់)

2. យើងរួមបញ្ចូលការមិនស្គាល់ដែលត្រូវបានអនុញ្ញាតនៅក្នុងសំណុំ - មួយពីសមីការនីមួយៗ.

3. យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅអាស្រ័យលើអ្វីដែលអនុញ្ញាតឱ្យមិនស្គាល់ដែលយើងរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំ.

4. ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។. ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​ស្មើ​អថេរ​ឥតគិតថ្លៃ​ដែល​យើង​មិន​បាន​រួម​បញ្ចូល​ក្នុង​សំណុំ​ដោយ​លេខ​បំពាន។

ចម្លើយ៖ ដំណោះស្រាយឯកជន(ជម្រើសមួយក្នុងចំណោមជម្រើស)

5. ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន. ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​ស្មើ​អថេរ​ទំនេរ​ដែល​យើង​មិន​បាន​បញ្ចូល​ក្នុង​សំណុំ​ទៅ​សូន្យ។

ការបំប្លែងបឋមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមមូលដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។

ទ្រឹស្តីបទ (2)

បើ​មាន គុណសមីការនៃប្រព័ន្ធដោយចំនួនមិនមែនសូន្យមួយចំនួនហើយទុកសមីការដែលនៅសល់មិនផ្លាស់ប្តូរ បន្ទាប់មក . (នោះគឺប្រសិនបើអ្នកគុណផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការដោយចំនួនដូចគ្នា នោះអ្នកនឹងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងមួយ)

ទ្រឹស្តីបទ (3)

ប្រសិនបើ បន្ថែមមួយទៀតទៅសមីការនៃប្រព័ន្ធហើយបន្ទាប់មកទុកសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់មិនផ្លាស់ប្តូរ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធនេះ។. (នោះគឺប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមសមីការពីរ (ដោយបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំរបស់ពួកគេ) អ្នកនឹងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងទិន្នន័យ)

ទ្រឹស្តីបទ (២ និង ៣)

ប្រសិនបើ បន្ថែមសមីការមួយផ្សេងទៀតទៅសមីការគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់ហើយទុកសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់មិនផ្លាស់ប្តូរ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធនេះ។.

រូបមន្តសម្រាប់គណនាឡើងវិញនូវមេគុណប្រព័ន្ធ

ប្រសិនបើយើងមានប្រព័ន្ធសមីការ ហើយយើងចង់បំប្លែងវាទៅជាប្រព័ន្ធសមីការដែលបានដោះស្រាយ នោះវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss នឹងជួយយើងក្នុងរឿងនេះ។

ហ្សកដានីផ្លាស់ប្តូរជាមួយ​នឹង​ធាតុ​ដោះស្រាយ​មួយ​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​ទទួល​បាន​សម្រាប់​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​ដែល​មិន​ស្គាល់​បាន​ដោះស្រាយ​ក្នុង​សមីការ​ជាមួយ​នឹង​លេខ ។ (ឧទាហរណ៍ 2) ។

ការបំប្លែងហ្ស៊កដានីមានការបំប្លែងបឋមពីរប្រភេទ៖

ឧបមាថាយើងចង់ធ្វើឱ្យមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការខាងក្រោមទៅជាមិនស្គាល់ដែលបានដោះស្រាយ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវបែងចែកដោយ ដូច្នេះផលបូកគឺ .

ឧទាហរណ៍ទី 2 ចូរយើងគណនាមេគុណប្រព័ន្ធឡើងវិញ

នៅពេលចែកសមីការជាមួយចំនួនដោយ មេគុណរបស់វាត្រូវបានគណនាឡើងវិញដោយប្រើរូបមន្ត៖

ដើម្បីដកចេញពីសមីការជាមួយលេខ អ្នកត្រូវគុណសមីការជាមួយចំនួនដោយ ហើយបន្ថែមទៅសមីការនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ (៤) ស្តីពីការកាត់បន្ថយចំនួនសមីការនៃប្រព័ន្ធ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការមានសមីការមិនសំខាន់ នោះវាអាចត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ ហើយប្រព័ន្ធដែលស្មើនឹងសមីការដើមនឹងត្រូវបានទទួល។

ទ្រឹស្តីបទ (៥) ស្តីពីភាពមិនស៊ីគ្នានៃប្រព័ន្ធសមីការ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការមានសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា នោះវាមិនស៊ីគ្នាទេ។

ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss មានជំហានស្រដៀងគ្នាមួយចំនួន ដែលសកម្មភាពនីមួយៗត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ

1. ពិនិត្យ​មើល​ថា​តើ​ប្រព័ន្ធ​មិន​ស៊ីសង្វាក់​គ្នា​ឬ​អត់។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា នោះវាមិនស៊ីគ្នាទេ។
2. លទ្ធភាពនៃការកាត់បន្ថយចំនួនសមីការត្រូវបានពិនិត្យ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានសមីការមិនសំខាន់ វាត្រូវបានកាត់ចេញ។
3. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានដោះស្រាយ បន្ទាប់មកសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ ហើយបើចាំបាច់ ដំណោះស្រាយពិសេស។
4. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនត្រូវបានដោះស្រាយ នោះនៅក្នុងសមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយមិនស្គាល់ ធាតុដោះស្រាយត្រូវបានជ្រើសរើស ហើយការបំប្លែងហ្ស៊កដានីត្រូវបានអនុវត្តជាមួយធាតុនេះ។
5. បន្ទាប់មកត្រឡប់ទៅចំណុច 1

ឧទាហរណ៍ទី 3 ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ។

ស្វែងរក៖ ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានចំនួនពីរ និងពីរដែលត្រូវគ្នា។

ដំណោះស្រាយ:

ការគណនាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងតារាងខាងក្រោម៖

នៅខាងស្តាំតារាងគឺជាសកម្មភាពលើសមីការ។ សញ្ញាព្រួញបង្ហាញពីសមីការណាដែលសមីការជាមួយធាតុដោះស្រាយត្រូវបានបន្ថែម គុណនឹងកត្តាសមស្រប។

បីជួរដំបូងនៃតារាងមានមេគុណនៃមិនស្គាល់ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធដើម។ លទ្ធផលនៃការបំប្លែងហ្ស៊កដានីទីមួយដែលមានធាតុដោះស្រាយស្មើនឹងមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងជួរទី 4, 5, 6 ។ លទ្ធផលនៃការបំប្លែងហ្ស៊កដានីទីពីរដែលមានធាតុដោះស្រាយស្មើនឹង (-1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងជួរទី 7, 8, 9 ដោយហេតុថាសមីការទី 3 គឺជាសមីការមិនច្បាស់លាស់ វាមិនអាចពិចារណាបានទេ។

ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតនេះរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ។ ដំណោះស្រាយលម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីគណនា សូមជ្រើសរើសចំនួនសមីការ និងចំនួនអថេរ។ បន្ទាប់មកបញ្ចូលទិន្នន័យទៅក្នុងក្រឡាហើយចុចលើប៊ូតុង "គណនា" ។

សូមមើលខាងក្រោមសម្រាប់ផ្នែកទ្រឹស្តីនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ។

x ១ +x ២ +x ៣ x ១ +x ២ +x ៣ x ១ +x ២ +x ៣ = = =

តំណាងលេខ៖

លេខទាំងមូល និង/ឬប្រភាគទូទៅ
លេខទាំងមូល និង/ឬទសភាគ

ចំនួនកន្លែងបន្ទាប់ពីសញ្ញាបំបែកទសភាគ

×

ការព្រមាន

ជម្រះក្រឡាទាំងអស់?

បិទជម្រះ

ការណែនាំអំពីការបញ្ចូលទិន្នន័យ។លេខត្រូវបានបញ្ចូលជាចំនួនគត់ (ឧទាហរណ៍៖ 487, 5, -7623 ។ល។) ទសភាគ (ឧ. 67., 102.54 ។ល។) ឬប្រភាគ។ ប្រភាគត្រូវតែបញ្ចូលក្នុងទម្រង់ a/b ដែល a និង b (b>0) ជាចំនួនគត់ ឬទសភាគ។ ឧទាហរណ៍ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ។ល។

វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss

វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss គឺជាវិធីសាស្រ្តមួយសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ហើយក៏ជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសផងដែរ។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺជាការកែប្រែនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ដំណាក់កាលដំបូងនៃវិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រ Gauss (ការផ្លាស់ទី Gauss ដោយផ្ទាល់) ដែលអាចមើលបានលម្អិតនៅលើទំព័រ "វិធីសាស្ត្រ Gauss តាមអ៊ីនធឺណិត" ។ ដំណាក់កាលទីពីរ (បញ្ច្រាស) នៃវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss មាននៅក្នុងសូន្យធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសមេគុណនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរខាងលើធាតុនាំមុខ។ ចំណាំថានៅទីនេះយើងកំពុងពិចារណាប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលចំនួនអថេរអាចមិនស្មើនឹងចំនួនឧបសគ្គ។

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរខាងក្រោម៖

(1)

ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធ (1) ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖

អ័ក្ស = ខ

(2)

(3)

ក- ហៅថាម៉ាទ្រីសមេគុណនៃប្រព័ន្ធ ខ- ផ្នែកខាងស្តាំនៃការរឹតបន្តឹង x- វ៉ិចទ័រនៃអថេរដែលត្រូវរក។ សូមឱ្យចំណាត់ថ្នាក់ ( ក)=ទំ.

ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ប្រសិនបើ ,..., ស្មើសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះខុសពីសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រព័ន្ធ (2) គឺស្របប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស កស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ( ក|ខ).

អនុញ្ញាតឱ្យ . បន្ទាប់មកនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាសដោយចាប់ផ្តើមពីធាតុនាំមុខយើងអនុវត្តចលនាបញ្ច្រាស Gaussian ។ ខ្លឹមសារនៃចលនាបញ្ច្រាសគឺដើម្បីកំណត់ឡើងវិញនូវធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកដែលខ្ពស់ជាងធាតុនាំមុខ។

ដូច្នេះ ចូរយើងកំណត់ធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរឈរឡើងវិញ ទំ, ខាងលើធាតុ។ ចាប់តាំងពី ≠0 យើងបន្ថែមបន្ទាត់ 1,2,... ទំ- 1 ជាមួយបន្ទាត់ ទំ, គុណ​នឹង រៀងៗខ្លួន។

ម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ចែកជួរនីមួយៗដោយធាតុនាំមុខដែលត្រូវគ្នារបស់វា (ប្រសិនបើមានធាតុនាំមុខ):

បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ប្រភេទ​ថត​ម៉ាទ្រីស៖ អ័ក្ស = ខ, កន្លែងណា

ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ អាយធាតុ ខ្ញុំ- បន្ទាត់ទី និង j th ជួរឈរ។

ដំណាក់កាលដំបូង។ ឆ្ពោះទៅមុខការផ្លាស់ប្តូរ Gaussian

កដប់មួយ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមបន្ទាត់ 2.3 ជាមួយបន្ទាត់ 1 គុណនឹង 1/2,-3/2 រៀងគ្នា៖

ចូរដកធាតុនៃជួរទី 3 នៃម៉ាទ្រីសខាងលើធាតុ ក៣៣. ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមបន្ទាត់ 1, 2 ជាមួយបន្ទាត់ 3 គុណនឹង -3/2, -5/4 រៀងគ្នា៖

យើងបែងចែកជួរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដោយធាតុនាំមុខដែលត្រូវគ្នា (ប្រសិនបើធាតុនាំមុខមាន)៖

ប្រភេទ​ថត​ម៉ាទ្រីស៖ អ័ក្ស = ខ, កន្លែងណា

ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ អាយធាតុ ខ្ញុំ- បន្ទាត់ទី និង j th ជួរឈរ។

ដំណាក់កាលដំបូង។ ចលនា Gauss ផ្ទាល់។

ចូរដកធាតុនៃជួរទី 1 នៃម៉ាទ្រីសខាងក្រោមធាតុ កដប់មួយ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមបន្ទាត់ 2.3 ជាមួយបន្ទាត់ 1 គុណនឹង 4/3, 5/3 រៀងគ្នា៖

ដំណាក់កាលទីពីរ។ ការបញ្ច្រាស Gaussian

ចូរដកធាតុនៃជួរទី 2 នៃម៉ាទ្រីសខាងលើធាតុ ក២២. ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមបន្ទាត់ទី 1 ជាមួយជួរទី 2 គុណនឹង -3/10៖

ចូរបង្ហាញពីអថេរ x 1 , x 2 ទាក់ទងទៅនឹងអថេរផ្សេងទៀត។

បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម:

,

x 3 គឺជាចំនួនពិតដែលបំពាន។

§១. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

មើលប្រព័ន្ធ

ហៅថាប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។

នៅទីនេះ
- មិនស្គាល់, - មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់,
- លក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃនៃសមីការ។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងអស់នៃសមីការគឺស្មើនឹងសូន្យនោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នា.ដោយការសម្រេចចិត្តប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថាបណ្តុំនៃលេខ
នៅពេលជំនួសពួកវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធជំនួសឱ្យមិនស្គាល់ សមីការទាំងអស់ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ ប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា រួមប្រសិនបើវាយ៉ាងហោចណាស់មានដំណោះស្រាយមួយ។ ប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នាដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់. ប្រព័ន្ធទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមមូលប្រសិនបើសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេស្របគ្នា។

ប្រព័ន្ធ (1) អាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដោយប្រើសមីការ

(2)

.

§២. ភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ចូរយើងហៅម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ (1) ម៉ាទ្រីស

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli. ប្រព័ន្ធ (1) គឺស្របប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក៖

.

§៣. ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធន សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយន មិនស្គាល់។

ពិចារណាប្រព័ន្ធមិនស្មើគ្នា នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់៖

(3)

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer.ប្រសិនបើកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ (3)
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ទាំងនោះ។
,

កន្លែងណា - កត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់ ការជំនួស th column ទៅជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើ
និងយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោម ≠0 បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ប្រព័ន្ធ (3) អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើទម្រង់ម៉ាទ្រីសរបស់វា (2) ។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស កស្មើ ន, i.e.
បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស កមានបញ្ច្រាស
. ការគុណសមីការម៉ាទ្រីស
ទៅម៉ាទ្រីស
នៅខាងឆ្វេងយើងទទួលបាន៖

.

សមភាពចុងក្រោយបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ដំណោះស្រាយ។ ម៉ាទ្រីស
មិន degenerate, ចាប់តាំងពី
ដែលមានន័យថាមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ចូរយើងគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
.

,

លំហាត់ប្រាណ. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។

§ 4 ។ ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធមិនដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ (1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធគឺស្រប, i.e. លក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli គឺពេញចិត្ត៖
. ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស
(ចំនួនមិនស្គាល់) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។ អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំពន្យល់។

សូមឱ្យចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស r(ក)= r< ន. ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកមានអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ r. ចូរហៅវាថាអនីតិជនមូលដ្ឋាន។ មិនស្គាល់ដែលមេគុណបង្កើតជាអនីតិជនមូលដ្ឋាននឹងត្រូវបានគេហៅថាអថេរមូលដ្ឋាន។ យើងហៅអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលនៅសល់។ ចូរយើងរៀបចំសមីការឡើងវិញ ហើយដាក់លេខអថេរ ដូច្នេះអនីតិជននេះមានទីតាំងនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ៖

.

ទីមួយ rបន្ទាត់គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នៅសល់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវា។ ដូច្នេះបន្ទាត់ទាំងនេះ (សមីការ) អាចត្រូវបានលុបចោល។ យើង​ទទួល​បាន:

ចូរ​ផ្តល់​តម្លៃ​ជា​លេខ​តាម​អំពើ​ចិត្ត​របស់​អថេរ​ឥតគិតថ្លៃ៖ . អនុញ្ញាតឱ្យយើងទុកតែអថេរមូលដ្ឋាននៅខាងឆ្វេង ហើយផ្លាស់ទីអថេរទៅខាងស្តាំ។

បានទទួលប្រព័ន្ធ rសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ rមិនស្គាល់ ដែលកត្តាកំណត់ខុសពី 0។ វាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ (1) ។ បើមិនដូច្នេះទេ៖ ការបញ្ចេញមតិនៃអថេរមូលដ្ឋានតាមរយៈ free ត្រូវបានគេហៅថា ការសម្រេចចិត្តទូទៅប្រព័ន្ធ។ ពីវាអ្នកអាចទទួលបានចំនួនគ្មានកំណត់ ដំណោះស្រាយឯកជនផ្តល់តម្លៃអថេរឥតគិតថ្លៃ។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលទទួលបានពីទូទៅមួយសម្រាប់តម្លៃសូន្យនៃអថេរឥតគិតថ្លៃត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន. ចំនួននៃដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នាមិនលើសពីទេ។
. ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានដែលមានសមាសធាតុមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា គាំទ្រដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍.

,r=2.

អថេរ
- មូលដ្ឋាន,
- ឥតគិតថ្លៃ។

ចូរយើងបន្ថែមសមីការ; សូមបង្ហាញ
តាមរយៈ
:

- ការសម្រេចចិត្តទូទៅ។

- ដំណោះស្រាយឯកជនសម្រាប់
.

- ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន, ឯកសារយោង។

§ ៥. វិធីសាស្រ្ត Gauss ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺជាវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់សិក្សា និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វាមានការកាត់បន្ថយប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូង (ឬរាងត្រីកោណ) ដោយលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមដែលមិនបំពានលើសមមូលនៃប្រព័ន្ធ។ អថេរត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនរាប់បញ្ចូលប្រសិនបើវាមាននៅក្នុងសមីការតែមួយនៃប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណ 1 ។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋមប្រព័ន្ធគឺ៖

គុណសមីការដោយលេខក្រៅពីសូន្យ;

ការបន្ថែមសមីការគុណនឹងចំនួនណាមួយជាមួយនឹងសមីការមួយផ្សេងទៀត;

ការរៀបចំសមីការឡើងវិញ;

ច្រានចោលសមីការ 0 = 0 ។

ការបំប្លែងបឋមអាចត្រូវបានអនុវត្តមិនមែនលើសមីការទេ ប៉ុន្តែនៅលើម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធសមមូលលទ្ធផល។

ឧទាហរណ៍.

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

.

ដោយអនុវត្តការបំប្លែងបឋម យើងនឹងកាត់បន្ថយផ្នែកខាងឆ្វេងនៃម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ឯកតា៖ យើងនឹងបង្កើតមួយនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ ហើយសូន្យនៅខាងក្រៅវា។

មតិយោបល់. ប្រសិនបើនៅពេលអនុវត្តការបំប្លែងបឋម សមីការនៃទម្រង់ 0 ត្រូវបានទទួល = គ(កន្លែងណា ទៅ0), បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ តុ.

ជួរឈរខាងឆ្វេងនៃតារាងមានព័ត៌មានអំពីអថេរដែលមិនរាប់បញ្ចូល (មូលដ្ឋាន) ។ ជួរឈរដែលនៅសល់មានមេគុណនៃមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃនៃសមីការ។

ម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកត់ត្រានៅក្នុងតារាងប្រភព។ បន្ទាប់​មក យើង​ចាប់​ផ្តើម​ធ្វើ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ហ្សកដានី៖

1. ជ្រើសរើសអថេរមួយ។ ដែលនឹងក្លាយជាមូលដ្ឋាន។ ជួរឈរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថាជួរឈរគន្លឹះ។ ជ្រើសរើសសមីការដែលអថេរនេះនឹងនៅតែត្រូវបានដកចេញពីសមីការផ្សេងទៀត។ ជួរតារាងដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ជួរគន្លឹះ។ មេគុណ ឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេកគន្លឹះ និងជួរឈរគន្លឹះ ត្រូវបានគេហៅថាកូនសោ។

2. ធាតុខ្សែអក្សរគន្លឹះត្រូវបានបែងចែកទៅជាធាតុគន្លឹះ។

3. ជួរឈរគន្លឹះត្រូវបានបំពេញដោយលេខសូន្យ។

4. ធាតុដែលនៅសល់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើក្បួនចតុកោណ។ បង្កើតជាចតុកោណកែង ត្រង់ចំនុចទល់មុខ ដែលមានធាតុសំខាន់ និងធាតុគណនាឡើងវិញ។ ពីផលិតផលនៃធាតុដែលមានទីតាំងនៅលើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណជាមួយនឹងធាតុសំខាន់ផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងផ្សេងទៀតត្រូវបានដកហើយភាពខុសគ្នាលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុសំខាន់។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ៖

ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន៖
.

ការផ្លាស់ប្តូរការជំនួសតែមួយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកផ្លាស់ទីពីមូលដ្ឋានមួយនៃប្រព័ន្ធទៅមួយផ្សេងទៀត: ជំនួសឱ្យអថេរចម្បងមួយ អថេរឥតគិតថ្លៃមួយត្រូវបានណែនាំទៅក្នុងមូលដ្ឋាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមជ្រើសរើសធាតុសំខាន់មួយនៅក្នុងជួរឈរអថេរឥតគិតថ្លៃ ហើយអនុវត្តការបំប្លែងដោយយោងតាមក្បួនដោះស្រាយខាងលើ។

§៦. ស្វែងរកដំណោះស្រាយគាំទ្រ

ដំណោះស្រាយយោងនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានដែលមិនមានសមាសធាតុអវិជ្ជមាន។

ដំណោះស្រាយយោងនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ។

1. នៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម លក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងអស់ត្រូវតែមិនអវិជ្ជមាន៖
.

2. ធាតុសំខាន់ត្រូវបានជ្រើសរើសក្នុងចំណោមមេគុណវិជ្ជមាន។

3. ប្រសិនបើអថេរដែលបានណែនាំទៅក្នុងមូលដ្ឋានមានមេគុណវិជ្ជមានជាច្រើន នោះបន្ទាត់សំខាន់គឺជាផ្នែកមួយដែលសមាមាត្រនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃទៅមេគុណវិជ្ជមានគឺតូចបំផុត។

ចំណាំ ១. ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ សមីការមួយលេចឡើងដែលមេគុណទាំងអស់មិនវិជ្ជមាន និងរយៈពេលទំនេរ
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយដែលមិនអវិជ្ជមានទេ។

ចំណាំ ២. ប្រសិនបើមិនមានធាតុវិជ្ជមានតែមួយនៅក្នុងជួរឈរនៃមេគុណសម្រាប់អថេរឥតគិតថ្លៃ នោះការផ្លាស់ប្តូរទៅដំណោះស្រាយយោងមួយផ្សេងទៀតគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួននៃប្រព័ន្ធ

ដំណោះស្រាយយើងធ្វើវាដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសពង្រីក និងសំខាន់ៗ៖

ម៉ាទ្រីសចម្បង A ត្រូវបានបំបែកដោយបន្ទាត់ចំនុច។ យើងសរសេរប្រព័ន្ធដែលមិនស្គាល់នៅខាងលើ ដោយរក្សាទុកក្នុងចិត្តអំពីការរៀបចំឡើងវិញនៃពាក្យនៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ តាមរយៈការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក យើងរកឃើញចំណាត់ថ្នាក់នៃលេខសំខាន់ក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ នៅក្នុងម៉ាទ្រីស B ជួរឈរទីមួយ និងទីពីរគឺសមាមាត្រ។ ក្នុង​ចំណោម​ជួរ​ឈរ​សមាមាត្រ​ពីរ មាន​តែ​មួយ​គត់​អាច​ធ្លាក់​ចូល​ក្នុង​អនីតិជន​មូលដ្ឋាន ដូច្នេះ​សូម​ផ្លាស់ទី​ឧទាហរណ៍ ជួរ​ឈរ​ទី​មួយ​ហួស​ពី​បន្ទាត់​ចំនុច​ដែល​មាន​សញ្ញា​ផ្ទុយ។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធ នេះមានន័យថាផ្ទេរលក្ខខណ្ឌពី x 1 ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។

ចូរកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។ យើងនឹងធ្វើការតែជាមួយជួរដេកប៉ុណ្ណោះ ចាប់តាំងពីការគុណជួរម៉ាទ្រីសដោយលេខក្រៅពីសូន្យ ហើយបន្ថែមវាទៅជួរផ្សេងទៀតសម្រាប់ប្រព័ន្ធមានន័យថាគុណសមីការដោយលេខដូចគ្នា ហើយបន្ថែមវាជាមួយសមីការមួយផ្សេងទៀត ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃ ប្រព័ន្ធ។ យើងធ្វើការជាមួយជួរទីមួយ៖ គុណជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសដោយ (-3) ហើយបន្ថែមទៅជួរទីពីរនិងទីបីជាវេន។ បន្ទាប់មកគុណជួរទីមួយដោយ (-2) ហើយបន្ថែមវាទៅទីបួន។

បន្ទាត់ទីពីរនិងទីបីគឺសមាមាត្រ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេឧទាហរណ៍ទីពីរអាចត្រូវបានកាត់ចេញ។ នេះគឺស្មើនឹងការឆ្លងកាត់សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ ព្រោះវាជាផលវិបាកនៃសមីការទីបី។

ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជាមួយជួរទីពីរ: គុណវាដោយ (-1) ហើយបន្ថែមវាទៅទីបី។

អនីតិជនដែលគូសរង្វង់ដោយបន្ទាត់ចំនុចមានលំដាប់ខ្ពស់បំផុត (នៃអនីតិជនដែលអាចមាន) និងមិនមែនសូន្យ (វាស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ) ហើយអនីតិជននេះជារបស់ទាំងម៉ាទ្រីសមេ និងផ្នែកបន្ថែម ដូច្នេះ rangA = rangB = 3 ។
អនីតិជន គឺជាមូលដ្ឋាន។ វារួមបញ្ចូលមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ x 2 , x 3 , x 4 ដែលមានន័យថាមិនស្គាល់ x 2 , x 3 , x 4 គឺអាស្រ័យ ហើយ x 1 , x 5 គឺឥតគិតថ្លៃ។
ចូរបំប្លែងម៉ាទ្រីសដោយបន្សល់ទុកតែមូលដ្ឋានតូចនៅខាងឆ្វេង (ដែលត្រូវនឹងចំណុចទី 4 នៃក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយខាងលើ)។

ប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណនៃម៉ាទ្រីសនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើម និងមានទម្រង់

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់មិនស្គាល់យើងរកឃើញ:
, ,

យើងទទួលបានទំនាក់ទំនងដែលបង្ហាញពីអថេរអាស្រ័យ x 2, x 3, x 4 តាមរយៈឥតគិតថ្លៃ x 1 និង x 5 នោះគឺយើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅមួយ៖

តាមរយៈការកំណត់តម្លៃណាមួយទៅ មិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយ។ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយពិសេសពីរ៖
1) ទុក x 1 = x 5 = 0 បន្ទាប់មក x 2 = 1, x 3 = −3, x 4 = 3;
2) ដាក់ x 1 = 1, x 5 = −1 បន្ទាប់មក x 2 = 4, x 3 = −7, x 4 = 7 ។
ដូច្នេះដំណោះស្រាយពីរត្រូវបានរកឃើញ៖ (0,1,-3,3,0) - ដំណោះស្រាយមួយ (1,4,-7,7,-1) - ដំណោះស្រាយមួយផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ២. ស្វែងរកភាពឆបគ្នា ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់មួយចំពោះប្រព័ន្ធ

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងរៀបចំសមីការទីមួយ និងទីពីរឡើងវិញដើម្បីឱ្យមានមួយនៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយសរសេរម៉ាទ្រីស ខ។

យើងទទួលបានសូន្យនៅក្នុងជួរទីបួនដោយប្រតិបត្តិការជាមួយជួរទីមួយ៖

ឥឡូវនេះយើងទទួលបានលេខសូន្យនៅក្នុងជួរទីបីដោយប្រើបន្ទាត់ទីពីរ:

ជួរទី 3 និងទី 4 គឺសមាមាត្រ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចត្រូវបានកាត់ចេញដោយមិនផ្លាស់ប្តូរចំណាត់ថ្នាក់:
គុណជួរទីបីដោយ (–2) ហើយបន្ថែមវាទៅទីបួន៖

យើងឃើញថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បង និងពង្រីកគឺស្មើនឹង 4 ហើយចំណាត់ថ្នាក់ត្រូវគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់៖
;
x 4 = 10− 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11 ។

ឧទាហរណ៍ ៣. ពិនិត្យប្រព័ន្ធសម្រាប់ភាពឆបគ្នា និងស្វែងរកដំណោះស្រាយប្រសិនបើវាមាន។

ដំណោះស្រាយ. យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ។

យើងរៀបចំសមីការពីរដំបូងឡើងវិញដើម្បីឱ្យមាន 1 នៅជ្រុងខាងលើខាងឆ្វេង៖
គុណជួរទីមួយដោយ (-1) បន្ថែមវាទៅទីបី៖

គុណជួរទីពីរដោយ (-2) ហើយបន្ថែមវាទៅទីបី៖

ប្រព័ន្ធនេះមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាទេ ព្រោះនៅក្នុងម៉ាទ្រីសចម្បង យើងបានទទួលជួរដេកដែលមានលេខសូន្យ ដែលត្រូវបានកាត់ចេញនៅពេលដែលរកឃើញចំណាត់ថ្នាក់ ប៉ុន្តែនៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ជួរចុងក្រោយនៅសល់ នោះគឺ r B > r A ។

លំហាត់ប្រាណ. ស៊ើបអង្កេតប្រព័ន្ធសមីការនេះសម្រាប់ភាពឆបគ្នា និងដោះស្រាយវាដោយប្រើការគណនាម៉ាទ្រីស។
ដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍. បង្ហាញភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងដោះស្រាយវាតាមពីរវិធី៖ 1) ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss; 2) វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។ (បញ្ចូលចម្លើយក្នុងទម្រង់៖ x1,x2,x3)
ដំណោះស្រាយ :doc :doc :xls
ចម្លើយ៖ 2,-1,3.

ឧទាហរណ៍. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បញ្ជាក់ពីភាពឆបគ្នារបស់វា។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។
ដំណោះស្រាយ
ចម្លើយ៖ x 3 = − 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 − x 4 ; x 1 = 2 + x 4 − 3x 5

លំហាត់ប្រាណ. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់នៃប្រព័ន្ធនីមួយៗ។
ដំណោះស្រាយ។យើងសិក្សាប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។
ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសពង្រីក និងសំខាន់ៗ៖

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x ១	x ២	x ៣	x ៤	x ៥

នៅទីនេះម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានបន្លិចជាដិត។
ចូរកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។ យើងនឹងធ្វើការតែជាមួយជួរដេកប៉ុណ្ណោះ ចាប់តាំងពីការគុណជួរម៉ាទ្រីសដោយលេខក្រៅពីសូន្យ ហើយបន្ថែមវាទៅជួរផ្សេងទៀតសម្រាប់ប្រព័ន្ធមានន័យថាគុណសមីការដោយលេខដូចគ្នា ហើយបន្ថែមវាជាមួយសមីការមួយផ្សេងទៀត ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃ ប្រព័ន្ធ។
ចូរគុណជួរទី ១ ដោយ (៣)។ គុណជួរទី 2 ដោយ (-1) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 2 ទៅទី 1៖

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

ចូរគុណជួរទី ២ ដោយ (២)។ គុណជួរទី ៣ ដោយ (-៣) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 3 ទៅទី 2៖

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

គុណជួរទី 2 ដោយ (-1) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 2 ទៅទី 1៖

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

អនីតិជនដែលបានជ្រើសរើសមានលំដាប់ខ្ពស់បំផុត (នៃអនីតិជនដែលអាចមាន) និងមិនសូន្យ (វាស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងបញ្ច្រាស) ហើយអនីតិជននេះជារបស់ទាំងម៉ាទ្រីសចម្បង និងផ្នែកបន្ថែម ដូច្នេះជួរ ( A) = rang(B) = 3 ដោយហេតុថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនោះ ប្រព័ន្ធគឺសហការ.
អនីតិជននេះគឺជាមូលដ្ឋាន។ វារួមបញ្ចូលមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ x 1 , x 2 , x 3 ដែលមានន័យថាមិនស្គាល់ x 1 , x 2 , x 3 គឺអាស្រ័យ (មូលដ្ឋាន) និង x 4 , x 5 គឺឥតគិតថ្លៃ។
ចូរបំប្លែងម៉ាទ្រីស ដោយបន្សល់ទុកតែអនីតិជននៅខាងឆ្វេង។

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x ១	x ២	x ៣		x ៤	x ៥

ប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណនៃម៉ាទ្រីសនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើម និងមានទម្រង់៖
២៧ គុណ ៣ =
− x 2 + 13x 3 = − 1 + 3x 4 − 6x 5
2x 1 + 3x 2 − 3x 3 = 1 − 3x 4 + 2x 5
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់មិនស្គាល់យើងរកឃើញ:
យើងទទួលបានទំនាក់ទំនងដែលបង្ហាញពីអថេរអាស្រ័យ x 1 , x 2 , x 3 តាមរយៈលេខឥតគិតថ្លៃ x 4 , x 5 ពោលគឺយើងបានរកឃើញ ការសម្រេចចិត្តទូទៅ:
x 3 = 0
x 2 = 1 − 3x 4 + 6x 5
x 1 = − 1 + 3x 4 − 8x 5
មិនប្រាកដប្រជា, ដោយសារតែ មានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ។

លំហាត់ប្រាណ. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។
ចម្លើយ៖x 2 = 2 − 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 − 3.67x 3 + 0.67x 4
តាមរយៈការកំណត់តម្លៃណាមួយទៅ មិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយ។ ប្រព័ន្ធគឺ មិនប្រាកដប្រជា