អថេរចៃដន្យអថេរត្រូវបានគេហៅថាអថេរដែល ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនីមួយៗ យកតម្លៃដែលមិនស្គាល់ពីមុន អាស្រ័យលើហេតុផលចៃដន្យ។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង៖ $X,\Y,\Z,\dots $ យោងតាមប្រភេទរបស់វា អថេរចៃដន្យអាចជា ដាច់និង បន្ត.

អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក- នេះគឺជាអថេរចៃដន្យ ដែលតម្លៃរបស់វាមិនអាចលើសពីរាប់បាន ពោលគឺកំណត់ ឬរាប់បាន។ តាម​ការ​រាប់​បាន យើង​មាន​ន័យ​ថា​តម្លៃ​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ​អាច​ត្រូវ​បាន​លេខ​រៀង​។

ឧទាហរណ៍ ១ . នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖

ក) ចំនួននៃការវាយទៅលើគោលដៅជាមួយនឹងការបាញ់ $n$ នៅទីនេះតម្លៃដែលអាចមានគឺ $0,\1,\ \dots ,\n$ ។

ខ) ចំនួននិមិត្តសញ្ញាដែលបានធ្លាក់ចុះនៅពេលបោះកាក់ នៅទីនេះតម្លៃដែលអាចមានគឺ $0,\1,\\dots ,\n$។

គ) ចំនួនកប៉ាល់ដែលមកដល់លើនាវា (សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចរាប់បាន) ។

ឃ) ចំនួននៃការហៅមកដល់ PBX (សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចរាប់បាន) ។

1. ច្បាប់នៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។

អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ អាចយកតម្លៃ $x_1,\dots,\x_n$ with probabilities $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$។ ការឆ្លើយឆ្លងរវាងតម្លៃទាំងនេះនិងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក. តាមក្បួនមួយ ការឆ្លើយឆ្លងនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើតារាង បន្ទាត់ទីមួយដែលបង្ហាញពីតម្លៃ $x_1,\dots,\x_n$, និងបន្ទាត់ទីពីរមានប្រូបាប៊ីលីតេ $p_1,\dots,\p_n$ ដែលត្រូវគ្នានឹង តម្លៃទាំងនេះ។

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \\ dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \\ dots & p_n \\
\hline
\end(អារេ)$

ឧទាហរណ៍ ២ . អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ $X$ ជាចំនួនពិន្ទុដែលបានរំកិលនៅពេលបោះចោល។ អថេរចៃដន្យបែបនេះ $X$ អាចយកតម្លៃដូចខាងក្រោម៖ $1,\2,\3,\4,\5,\6$ ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងអស់នេះគឺស្មើនឹង $1/6$។ បន្ទាប់មកច្បាប់នៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យ $X$៖

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(អារេ)$

មតិយោបល់. ដោយសារនៅក្នុងច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ ព្រឹត្តិការណ៍ $1,\2,\dots ,\6$ បង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ នោះផលបូកនៃប្រូបាបត្រូវតែស្មើនឹងមួយ នោះគឺ $ \sum(p_i)=1$។

2. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។

ការរំពឹងទុកនៃអថេរចៃដន្យកំណត់អត្ថន័យ "កណ្តាល" របស់វា។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាត្រូវបានគណនាជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃ $x_1,\dots ,\x_n$ និងប្រូបាប៊ីលីតេ $p_1,\dots,\p_n$ ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃទាំងនេះ នោះគឺ ៖ $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$។ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ជាភាសាអង់គ្លេស សញ្ញាណមួយទៀត $E\left(X\right)$ ត្រូវបានប្រើប្រាស់។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ ស្ថិតនៅចន្លោះតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអថេរចៃដន្យ $X$។
2. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួនថេរគឺស្មើនឹងថេរខ្លួនវា, i.e. $M\left(C\right)=C$។
3. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖ $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$។
4. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖ $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$។
5. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖ $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$។

ឧទាហរណ៍ ៣ . ចូរយើងស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ $X$ ពីឧទាហរណ៍ $2$។

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

យើងអាចសម្គាល់ឃើញថា $M\left(X\right)$ ស្ថិតនៅចន្លោះតម្លៃតូចបំផុត ($1$) និងធំបំផុត ($6$) នៃអថេរចៃដន្យ $X$។

ឧទាហរណ៍ 4 . វាត្រូវបានគេដឹងថាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ $X$ គឺស្មើនឹង $M\left(X\right)=2$។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ $3X+5$។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើ យើងទទួលបាន $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11។

ឧទាហរណ៍ 5 . វាត្រូវបានគេដឹងថាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ $X$ គឺស្មើនឹង $M\left(X\right)=4$។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ $2X-9$ ។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើ យើងទទួលបាន $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$ ។

3. ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។

តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាស្មើគ្នាអាចបំបែកខុសគ្នាជុំវិញតម្លៃមធ្យមរបស់ពួកគេ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងក្រុមសិស្សពីរ ពិន្ទុមធ្យមសម្រាប់ការប្រឡងក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបានប្រែជា 4 ប៉ុន្តែក្នុងក្រុមមួយ គ្រប់គ្នាបានក្លាយទៅជាសិស្សល្អ ហើយក្នុងក្រុមផ្សេងទៀតមានតែសិស្ស C និងសិស្សពូកែប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ វាមានតម្រូវការសម្រាប់លក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យដែលនឹងបង្ហាញពីការរីករាលដាលនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យជុំវិញការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ លក្ខណៈនេះគឺជាការបែកខ្ញែក។

ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។$X$ ស្មើនឹង៖

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)))^2))\$$

នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អង់គ្លេស សញ្ញាណ $V\left(X\right),\Var\left(X\right)$ ត្រូវបានប្រើ។ ជាញឹកញាប់ ភាពប្រែប្រួល $D\left(X\right)$ ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ឆ្វេង(X\right)\right))^2$។

លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក$D\left(X\right)$:

1. វ៉ារ្យង់គឺតែងតែធំជាង ឬស្មើសូន្យ ពោលគឺឧ។ $D\left(X\right)\ge 0$។
2. បំរែបំរួលនៃថេរគឺសូន្យ, i.e. $D\left(C\right)=0$។
3. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃការបែកខ្ញែកដែលផ្តល់ថាវាជាការ៉េ, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$។
4. បំរែបំរួលនៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួលរបស់ពួកគេ i.e. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$។
5. បំរែបំរួលនៃភាពខុសគ្នារវាងអថេរចៃដន្យឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃវ៉ារ្យង់របស់ពួកគេ i.e. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$។

ឧទាហរណ៍ ៦ . ចូរយើងគណនាបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ $X$ ពីឧទាហរណ៍ $2$ ។

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+\dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

ឧទាហរណ៍ ៧ . វាត្រូវបានគេដឹងថាភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ $X$ គឺស្មើនឹង $D\left(X\right)=2$។ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ $4X+1$។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើ យើងរកឃើញ $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2=32$ ។

ឧទាហរណ៍ ៨ . វាត្រូវបានគេដឹងថាភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ $X$ គឺស្មើនឹង $D\left(X\right)=3$។ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ $3-2X$។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើ យើងរកឃើញ $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left (X\right) = 4\cdot 3=12$ ។

4. មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។

វិធីសាស្រ្តតំណាងឱ្យអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាក្នុងទម្រង់នៃស៊េរីចែកចាយគឺមិនមែនតែមួយទេ ហើយសំខាន់បំផុត វាមិនមែនជាសកលទេ ដោយសារអថេរចៃដន្យបន្តមិនអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើស៊េរីចែកចាយ។ មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីតំណាងឱ្យអថេរចៃដន្យ - មុខងារចែកចាយ។

មុខងារចែកចាយអថេរចៃដន្យ $X$ ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារ $F\left(x\right)$ ដែលកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ $X$ នឹងយកតម្លៃតិចជាងតម្លៃថេរមួយចំនួន $x$ នោះគឺ $F\ left(x\right)=P\left(X< x\right)$

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារចែកចាយ:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$។
2. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ $X$ នឹងយកតម្លៃពីចន្លោះពេល $\left(\alpha ;\beta \right)$ គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃមុខងារចែកចាយនៅចុងបញ្ចប់នៃចំនុចនេះ។ ចន្លោះពេល៖ $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - មិនថយចុះ។
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) F\left(x\right)=0\),\(\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \right)=1\)$។

ឧទាហរណ៍ ៩ . អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកមុខងារចែកចាយ $F\left(x\right)$ សម្រាប់ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ ពីឧទាហរណ៍ $2$។

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(អារេ)$

ប្រសិនបើ $x\le 1$ នោះច្បាស់ណាស់ $F\left(x\right)=0$ (រួមទាំង $x=1$$F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

បើ ១ ដុល្លារ< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

បើ ២ ដុល្លារ< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

បើ ៣ ដុល្លារ< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

បើ ៤ ដុល្លារ< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

បើ ៥ ដុល្លារ< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

ប្រសិនបើ $x > 6$ នោះ $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$។

ដូច្នេះ $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ នៅ\x\le 1,\\
1/6 នៅ\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ នៅ\ 2< x\le 3,\\
1/2, នៅ\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ នៅ\ 4< x\le 5,\\
៥/៦,\ នៅ\ ៤< x\le 5,\\
1, \ សម្រាប់\ x > 6 ។
\end(ម៉ាទ្រីស)\right.$

នៅក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ លក្ខណៈបរិមាណនៃការពិសោធន៍មានសារៈសំខាន់ជាចម្បង។ បរិមាណដែលអាចកំណត់ជាបរិមាណ ហើយដែលជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ អាចទទួលយកតម្លៃផ្សេងៗគ្នាអាស្រ័យលើករណីនេះត្រូវបានគេហៅថា អថេរចៃដន្យ។

ឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យ៖

1. ចំនួនដងដែលចំនួនគូនៃពិន្ទុលេចឡើងក្នុងដប់ដងនៃការស្លាប់មួយ។

2. ចំនួននៃការវាយទៅលើគោលដៅដោយអ្នកបាញ់ប្រហារដែលបាញ់ជាបន្តបន្ទាប់។

3. ចំនួនបំណែកនៃសំបកផ្ទុះ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍នីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យ អថេរចៃដន្យអាចទទួលយកបានតែលើតម្លៃដាច់ពីគេប៉ុណ្ណោះ ពោលគឺតម្លៃដែលអាចត្រូវបានដាក់លេខដោយប្រើស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខ។

អថេរចៃដន្យបែបនេះ តម្លៃដែលអាចមានជាលេខឯកោបុគ្គល ដែលអថេរនេះយកជាមួយប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់ ត្រូវបានគេហៅថា ដាច់។

ចំនួន​តម្លៃ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ​ដាច់​ដោយ​ឡែក​អាច​មាន​កំណត់ ឬ​គ្មាន​កំណត់ (រាប់​បាន)។

ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកគឺជាបញ្ជីនៃតម្លៃដែលអាចកើតមានរបស់វា និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់វា។ ច្បាប់នៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាទម្រង់តារាង (ស៊េរីការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ) វិភាគ និងក្រាហ្វិក (ពហុកោណការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ)។

នៅពេលធ្វើការពិសោធន៍ វាចាំបាច់ដើម្បីវាយតម្លៃតម្លៃដែលកំពុងសិក្សា "ជាមធ្យម"។ តួនាទីនៃតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានលេងដោយលក្ខណៈលេខដែលហៅថា ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា,ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

កន្លែងណា x 1 , x 2 ,.. , x ន- តម្លៃអថេរចៃដន្យ X, ក ទំ 1 ,ទំ 2 , ... , ទំ ន- ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះ (ចំណាំថា ទំ 1 + ទំ 2 +…+ ទំ ន = 1).

ឧទាហរណ៍។ ការបាញ់ប្រហារត្រូវបានអនុវត្តនៅគោលដៅ (រូបភាពទី 11) ។

ការវាយនៅក្នុង I ផ្តល់បីពិន្ទុក្នុង II - ពីរពិន្ទុក្នុង III - មួយពិន្ទុ។ ចំនួនពិន្ទុដែលបានស៊ុតបញ្ចូលទីដោយអ្នកបាញ់ម្នាក់មានច្បាប់ចែកចាយនៃទម្រង់

ដើម្បីប្រៀបធៀបជំនាញរបស់អ្នកបាញ់ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីប្រៀបធៀបតម្លៃមធ្យមនៃពិន្ទុដែលបានស៊ុតបញ្ចូលទី i.e. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ម(X) និង ម(យ):

ម(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

ម(យ) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

អ្នកបាញ់ទីពីរផ្តល់ឱ្យជាមធ្យមនូវចំនួនពិន្ទុខ្ពស់ជាងបន្តិចពោលគឺឧ។ វា​នឹង​ផ្តល់​លទ្ធផល​ល្អ​ជាង​នៅពេល​បាញ់​ម្តង​ហើយ​ម្តងទៀត។

ចូរយើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖

1. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងតម្លៃថេរដោយខ្លួនវាផ្ទាល់៖

ម(គ) = គ.

2. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃពាក្យ៖

ម =(X 1 + X 2 +…+ X ន)= ម(X 1)+ ម(X 2)+…+ ម(X ន).

3. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យដោយឯករាជ្យទៅវិញទៅមកគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃកត្តា

ម(X 1 X 2 … X ន) = ម(X 1)ម(X 2)… ម(X ន).

4. ការបដិសេធគណិតវិទ្យានៃការបែងចែក binomial គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃការសាកល្បង និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងមួយ (កិច្ចការ 4.6) ។

ម(X) = pr.

ដើម្បីវាយតម្លៃថាតើអថេរចៃដន្យ "ជាមធ្យម" ខុសពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា ឧ. ក្នុងគោលបំណងដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃការរីករាលដាលនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គោលគំនិតនៃការបែកខ្ញែកត្រូវបានប្រើ។

ភាពខុសប្លែកគ្នា។អថេរចៃដន្យ Xត្រូវបានគេហៅថា ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាតការេ៖

ឃ(X) = ម[(X - ម(X)) 2 ].

ការបែកខ្ញែកគឺជាលក្ខណៈលេខនៃការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យ។ តាមនិយមន័យ វាច្បាស់ណាស់ថាការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យកាន់តែតូច តម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបានរបស់វាស្ថិតនៅជិតការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ពោលគឺតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាកាន់តែប្រសើរ។ .

តាមនិយមន័យវាដូចខាងក្រោមថាវ៉ារ្យង់អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

.

វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាបំរែបំរួលដោយប្រើរូបមន្តផ្សេងទៀត៖

ឃ(X) = ម(X 2) - (ម(X)) 2 .

ការបែកខ្ញែកមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

1. បំរែបំរួលនៃថេរគឺសូន្យ៖

ឃ(គ) = 0.

2. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការបំបែកវា:

ឃ(CX) = គ 2 ឃ(X).

3. វ៉ារ្យង់នៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃវ៉ារ្យង់នៃពាក្យ៖

ឃ(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X ន)= ឃ(X 1)+ ឃ(X 2)+…+ ឃ(X ន)

4. ភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយ binomial គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃការសាកល្បង និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង និងការមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការសាកល្បងមួយ៖

ឃ(X) = npq.

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ លក្ខណៈលេខដែលស្មើនឹងឫសការ៉េនៃបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។ លក្ខណៈលេខនេះត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតការ៉េមធ្យម ហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា

.

វាកំណត់លក្ខណៈទំហំប្រហាក់ប្រហែលនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យពីតម្លៃមធ្យមរបស់វា ហើយមានវិមាត្រដូចគ្នាទៅនឹងអថេរចៃដន្យ។

4.1. ខ្មាន់កាំភ្លើងបាញ់ចំនួនបីគ្រាប់ ចំគោលដៅ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅជាមួយនឹងការបាញ់នីមួយៗគឺ 0.3 ។

បង្កើតស៊េរីចែកចាយសម្រាប់ចំនួននៃការទស្សនា។

ដំណោះស្រាយ. ចំនួននៃការចុចគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X. តម្លៃនីមួយៗ x ន អថេរចៃដន្យ Xទាក់ទងទៅនឹងប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់មួយ។ ទំ ន .

ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកក្នុងករណីនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ នៅជិតការចែកចាយ.

នៅក្នុងបញ្ហានេះ Xយកតម្លៃ 0, 1, 2, 3. យោងតាមរូបមន្តរបស់ Bernoulli

,

ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ៖

រ 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

រ 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

រ 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

រ 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

ដោយ​ការ​រៀបចំ​តម្លៃ​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ  Xនៅក្នុងលំដាប់កើនឡើងយើងទទួលបានស៊េរីចែកចាយ:

X ន

ចំណាំថាចំនួនទឹកប្រាក់

មានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ Xនឹងយកយ៉ាងហោចណាស់តម្លៃមួយពីក្នុងចំណោមតម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបាន ហើយព្រឹត្តិការណ៍នេះអាចទុកចិត្តបាន។

.

4.2 មានបាល់បួននៅក្នុងកោដ្ឋដែលមានលេខពី 1 ដល់ 4 ។ បាល់ពីរត្រូវបានយកចេញ។ តម្លៃចៃដន្យ X- ផលបូកនៃលេខបាល់។ បង្កើតស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ X.

ដំណោះស្រាយ។តម្លៃអថេរចៃដន្យ Xគឺ 3, 4, 5, 6, 7។ ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ តម្លៃអថេរចៃដន្យ ៣ Xអាចទទួលយកបានក្នុងករណីតែមួយគត់នៅពេលដែលបាល់មួយក្នុងចំនោមបាល់ដែលបានជ្រើសរើសមានលេខ 1 និងលេខ 2 ផ្សេងទៀត។

ដោយប្រើរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេបុរាណដែលយើងទទួលបាន

ដូចគ្នានេះដែរ

រ(X= 4) =រ(X= 6) =រ(X= 7) = 1/6.

ផលបូក 5 អាចលេចឡើងក្នុងករណីពីរ: 1 + 4 និង 2 + 3 ដូច្នេះ

.

Xមានទម្រង់៖

ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ ច(x) អថេរចៃដន្យ Xនិងគ្រោងវា។ គណនាសម្រាប់ Xការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងភាពខុសគ្នារបស់វា។

ដំណោះស្រាយ. ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយមុខងារចែកចាយ

ច(x) = ភី(X x).

មុខងារចែកចាយ ច(x) គឺជាមុខងារបន្តបន្ទាប់ឆ្វេងដែលមិនថយចុះ ដែលកំណត់នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល ខណៈ

ច (- )= 0,ច (+ )= 1.

សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក មុខងារនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្ត

.

ដូច្នេះក្នុងករណីនេះ

ក្រាហ្វនៃមុខងារចែកចាយ ច(x) ជា​បន្ទាត់​ជំហាន (រូបភាព 12)

	ច(x)

តម្លៃរំពឹងទុកម(X) គឺជាមធ្យមនព្វន្ធទម្ងន់នៃតម្លៃ X 1 , X 2 ,……X នអថេរចៃដន្យ Xជាមួយនឹងជញ្ជីង ρ 1, ρ 2, …… , ρ ន ហើយត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ X. យោងតាមរូបមន្ត

ម(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 ……+ x ន ρ ន

ម(X) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72 ។

ការបែកខ្ញែកកំណត់លក្ខណៈកម្រិតនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យពីតម្លៃមធ្យមរបស់វា ហើយត្រូវបានតាង ឃ(X):

ឃ(X)= ម[(HM(X)) 2 ]= ម(X 2) –[ម(X)] 2 .

សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក វ៉ារ្យ៉ង់មានទម្រង់

ឬវាអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

ការជំនួសទិន្នន័យជាលេខនៃបញ្ហាទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបាន៖

ម(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

ឃ(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. គ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរត្រូវបានរមៀលពីរដងក្នុងពេលតែមួយ។ សរសេរច្បាប់ binomial នៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ X- ចំនួននៃការកើតឡើងនៃចំនួនពិន្ទុសរុបនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរ។

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងណែនាំព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយ។

ក= (គ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរជាមួយនឹងការបោះមួយបានលទ្ធផលសរុបចំនួនគូ)។

ដោយប្រើនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ យើងរកឃើញ

រ(ក)= ,

កន្លែងណា ន - ចំនួននៃលទ្ធផលតេស្តដែលអាចធ្វើបានត្រូវបានរកឃើញយោងទៅតាមច្បាប់

គុណ៖

ន = 6∙6 =36,

ម - ចំនួនមនុស្សដែលចូលចិត្តព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ កលទ្ធផល - ស្មើគ្នា

ម= 3∙6=18.

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងមួយគឺ

ρ = ភី(ក)= 1/2.

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើគ្រោងការណ៍តេស្ត Bernoulli ។ បញ្ហាប្រឈមមួយនៅទីនេះគឺត្រូវក្រឡុកគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ម្តង។ ចំនួននៃការធ្វើតេស្តបែបនេះ ន = 2. អថេរចៃដន្យ Xយកតម្លៃ 0, 1, 2 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ

រ 2 (0) =,រ 2 (1) =∙,រ 2 (2) =

ការចែកចាយ binomial ដែលត្រូវការនៃអថេរចៃដន្យមួយ។ Xអាចត្រូវបានតំណាងជាស៊េរីចែកចាយ៖

X ន
ρ ន

4.5 . នៅក្នុងបណ្តុំនៃប្រាំមួយផ្នែក មានស្តង់ដារចំនួនបួន។ បីផ្នែកត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ បង្កើតការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ X- ចំនួនផ្នែកស្តង់ដារក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានជ្រើសរើស និងស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។

ដំណោះស្រាយ។តម្លៃអថេរចៃដន្យ Xគឺជាលេខ 0,1,2,3។ វាច្បាស់ណាស់។ រ(X=0)=0 ដោយហេតុថាមានតែផ្នែកមិនស្តង់ដារពីរប៉ុណ្ណោះ។

រ(X=1) =
=1/5,

រ(X= 2) =
= 3/5,

រ(X=3) =
= 1/5.

ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ Xសូមបង្ហាញវាជាទម្រង់នៃស៊េរីចែកចាយ៖

X ន
ρ ន

តម្លៃរំពឹងទុក

ម(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . បង្ហាញថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X- ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កវ នការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលក្នុងនោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងគឺស្មើនឹង ρ - ស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃការសាកល្បងដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការសាកល្បងមួយ ពោលគឺដើម្បីបង្ហាញថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយ binomial

ម(X) =ន . ρ ,

និងការបែកខ្ញែក

ឃ(X) =n.p. .

ដំណោះស្រាយ។តម្លៃចៃដន្យ Xអាចយកតម្លៃ 0, 1, 2..., ន. ប្រូបាប៊ីលីតេ រ(X= k) ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli៖

រ(X=k)= រ ន(k)= ρ ទៅ (1-ρ ) n-ទៅ

ស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ Xមានទម្រង់៖

X ន
ρ ន	q ន	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ ន

កន្លែងណា q= 1- ρ .

សម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា យើងមានកន្សោម៖

ម(X)=ρq ន - 1 +2 ρ 2 q ន - 2 +…+.ន ρ ន

នៅក្នុងករណីនៃការធ្វើតេស្តមួយ, នោះគឺ, ជាមួយ n= 1 សម្រាប់អថេរចៃដន្យ X 1 - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក- ស៊េរីចែកចាយមានទម្រង់៖

X ន
ρ ន

ម(X 1)= 0∙q + 1 ∙ ទំ = ទំ

ឃ(X 1) = ទំ – ទំ 2 = ទំ(1- ទំ) = pq.

ប្រសិនបើ X k - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កនៅក្នុងការសាកល្បងណា រ(X ទៅ)= ρ និង

X=X 1 +X 2 +….+X ន .

ពីទីនេះយើងទទួលបាន

ម(X)= ម(X 1 )+ ម(X 2)+ … + ម(X ន)= nρ,

ឃ(X)=D(X 1)+ ឃ(X 2)+ ... + ឃ(X ន)=npq.

4.7. នាយកដ្ឋានត្រួតពិនិត្យគុណភាពត្រួតពិនិត្យផលិតផលសម្រាប់ស្តង់ដារ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផលិតផលមានស្តង់ដារគឺ 0.9 ។ កញ្ចប់នីមួយៗមាន 5 ផលិតផល។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X- ចំនួនបណ្តុំដែលនីមួយៗនឹងមានផលិតផលស្តង់ដារចំនួន 4 - ប្រសិនបើ 50 បាច់ត្រូវត្រួតពិនិត្យ។

ដំណោះស្រាយ. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនឹងមានផលិតផលស្តង់ដារចំនួន 4 នៅក្នុងបណ្តុំដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនីមួយៗគឺថេរ។ ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ ρ .បន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ Xស្មើ ម(X)= 50∙ρ.

ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ ρ យោងតាមរូបមន្តរបស់ Bernoulli៖

ρ=ព 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

ម(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . គ្រាប់ឡុកឡាក់បីត្រូវបានបោះចោល។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃពិន្ទុដែលបានធ្លាក់ចុះ។

ដំណោះស្រាយ។អ្នកអាចរកឃើញការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យមួយ។ X- ផលបូកនៃពិន្ទុធ្លាក់ចុះ ហើយបន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយផ្លូវនេះគឺពិបាកពេក។ វាកាន់តែងាយស្រួលប្រើបច្ចេកទេសមួយទៀត ដែលតំណាងឱ្យអថេរចៃដន្យ Xការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលចាំបាច់ត្រូវគណនាក្នុងទម្រង់ជាផលបូកនៃអថេរចៃដន្យដ៏សាមញ្ញមួយចំនួន ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាដែលងាយស្រួលគណនា។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X ខ្ញុំគឺជាចំនួនពិន្ទុដែលបានដាក់ ខ្ញុំ- ឆ្អឹង ( ខ្ញុំ= 1, 2, 3) បន្ទាប់មកផលបូកនៃពិន្ទុ Xនឹងត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់

X = X 1 + X 2 + X 3 .

ដើម្បីគណនាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដើម អ្វីទាំងអស់ដែលនៅសល់គឺត្រូវប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា

ម(X 1 + X 2 + X 3 )= ម(X 1 )+ ម(X 2)+ ម(X 3 ).

វាច្បាស់ណាស់។

រ(X ខ្ញុំ = គ)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, ខ្ញុំ= 1, 2, 3.

ដូច្នេះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X ខ្ញុំមើល​ទៅ​ដូច​ជា

ម(X ខ្ញុំ) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

ម(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. កំណត់ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃចំនួនឧបករណ៍ដែលបរាជ័យអំឡុងពេលធ្វើតេស្ត ប្រសិនបើ៖

ក) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យសម្រាប់ឧបករណ៍ទាំងអស់គឺដូចគ្នា។ រហើយចំនួនឧបករណ៍ដែលកំពុងធ្វើតេស្តគឺស្មើនឹង ន;

ខ) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យ ខ្ញុំ – នៃឧបករណ៍គឺស្មើនឹង ទំ ខ្ញុំ , ខ្ញុំ= 1, 2, … , ន.

ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ Xគឺជាចំនួនឧបករណ៍ដែលបរាជ័យ

X = X 1 + X 2 + … + X ន ,

X ខ្ញុំ =

វាច្បាស់ណាស់។

រ(X ខ្ញុំ = 1)= រ ខ្ញុំ , រ(X ខ្ញុំ = 0)= 1– រ ខ្ញុំ ,ខ្ញុំ= 1, 2, … ,ន.

ម(X ខ្ញុំ)= 1∙រ ខ្ញុំ + 0∙(1- រ ខ្ញុំ)= ភី ខ្ញុំ ,

ម(X)= ម(X 1)+ ម(X 2)+ … + ម(X ន)= ភី 1 + ភី 2 + … + ភី ន .

ក្នុងករណី "a" ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យឧបករណ៍គឺដូចគ្នា នោះគឺ

រ ខ្ញុំ = ទំ,ខ្ញុំ= 1, 2, … ,ន.

ម(X)= n.p..

ចម្លើយនេះអាចទទួលបានភ្លាមៗ ប្រសិនបើយើងកត់សំគាល់ថាអថេរចៃដន្យ Xមានការចែកចាយ binomial ជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ( ន, ទំ).

4.10. គ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរត្រូវបានបោះចោលក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីរដង។ សរសេរច្បាប់ binomial នៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ X -ចំនួននៃការវិលនៃចំនួនគូនៃពិន្ទុនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរ។

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ

ក=(រមៀលលេខគូលើការស្លាប់ដំបូង),

ខ =(រមៀលលេខគូនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ទីពីរ) ។

ការទទួលបានលេខគូលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរក្នុងមួយគ្រាប់ត្រូវបានបង្ហាញដោយផលិតផល ABបន្ទាប់មក

រ (AB) = រ(ក)∙រ(IN) =
.

លទ្ធផលនៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ទីពីរមិនអាស្រ័យលើលើកទីមួយទេ ដូច្នេះរូបមន្តរបស់ Bernoulli ត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែល

ន = 2,p = 1/4, q = 1– ទំ = 3/4.

តម្លៃចៃដន្យ Xអាចយកតម្លៃ 0, 1, 2 , ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli:

រ(X= 0)= ភី 2 (0) = q 2 = 9/16,

រ(X= 1)= ភី 2 (1)= គ ,រ∙q = 6/16,

រ(X= 2)= ភី 2 (2)= គ , រ 2 = 1/16.

ស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ X៖

4.11. ឧបករណ៍នេះមានធាតុប្រតិបត្តិការឯករាជ្យមួយចំនួនធំដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេតិចតួចដូចគ្នានៃការបរាជ័យនៃធាតុនីមួយៗក្នុងរយៈពេល t. ស្វែងរកចំនួនមធ្យមនៃការបដិសេធតាមពេលវេលា tធាតុ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយនឹងបរាជ័យក្នុងអំឡុងពេលនេះគឺ 0.98 ។

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួនមនុស្សដែលបដិសេធតាមពេលវេលា tធាតុ - អថេរចៃដន្យ Xដែលត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Poisson ចាប់តាំងពីចំនួនធាតុមានទំហំធំ ធាតុដំណើរការដោយឯករាជ្យ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យនៃធាតុនីមួយៗគឺតូច។ ចំនួនជាមធ្យមនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុង នការធ្វើតេស្តស្មើគ្នា

ម(X) = n.p..

ចាប់តាំងពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យ TOធាតុពី នបង្ហាញដោយរូបមន្ត

រ ន (TO)
,

កន្លែងណា  = n.p.បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមានធាតុតែមួយនឹងបរាជ័យក្នុងអំឡុងពេលនោះ។ t យើងទទួលបាននៅ K = 0:

រ ន (0)= អ៊ី -  .

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺនៅក្នុងពេលវេលា t យ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយបរាជ័យ - ស្មើនឹង 1 - អ៊ី -  យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេនេះគឺ 0.98 ។ ពី Eq ។

1 - អ៊ី -  = 0,98,

អ៊ី -  = 1 – 0,98 = 0,02,

ពីទីនេះ  = -ln 0,02  4.

ដូច្នេះនៅក្នុងពេលវេលា tប្រតិបត្តិការនៃឧបករណ៍ជាមធ្យម 4 ធាតុនឹងបរាជ័យ។

4.12 . គ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រូវបានរមៀលរហូតដល់ "ពីរ" លេចឡើង។ ស្វែងរកចំនួនមធ្យមនៃការបោះ។

ដំណោះស្រាយ. សូមណែនាំអថេរចៃដន្យ X- ចំនួននៃការធ្វើតេស្តដែលត្រូវធ្វើរហូតដល់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងកើតឡើង។ ប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ X= 1 គឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងអំឡុងពេលមួយនៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ "ពីរ" នឹងលេចឡើង ពោលគឺឧ។

រ(X= 1) = 1/6.

ព្រឹត្តិការណ៍ X= 2 មាន​ន័យ​ថា​នៅ​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​តេ​ស្ត​លើក​ដំបូង "ពីរ​" មិន​បាន​មក​, ប៉ុន្តែ​នៅ​លើ​ទីពីរ​វា​បាន​ធ្វើ​។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ X= 2 ត្រូវបានរកឃើញដោយក្បួនគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ៖

រ(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

ដូចគ្នានេះដែរ

រ(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, រ(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

ល។ យើងទទួលបានស៊េរីនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ៖

					(5/6) ទៅ ∙1/6

ចំនួនមធ្យមនៃការបោះ (សាកល្បង) គឺជាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា

ម(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

ចូរយើងស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី៖

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

អាស្រ័យហេតុនេះ

ម(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

ដូច្នេះ អ្នកត្រូវធ្វើការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ជាមធ្យមចំនួន 6 ដងរហូតដល់ "ពីរ" ចេញមក។

4.13. ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នានៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ កនៅរាល់ការធ្វើតេស្ត។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង កប្រសិនបើភាពខុសគ្នានៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយនៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យចំនួនបីគឺ 0.63 .

ដំណោះស្រាយ។ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយនៅក្នុងការសាកល្បងបីគឺជាអថេរចៃដន្យ X, ចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial ។ ភាពខុសគ្នានៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យ (ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នានៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ) គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃការសាកល្បងដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង និងការមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍។ (បញ្ហា 4.6)

ឃ(X) = npq.

តាមលក្ខខណ្ឌ ន = 3, ឃ(X) = 0.63 ដូច្នេះអ្នកអាច រស្វែងរកពីសមីការ

0,63 = 3∙រ(1- រ),

ដែលមានដំណោះស្រាយពីរ រ 1 = 0.7 និង រ 2 = 0,3.

ផ្តាច់មុខ ហៅថា អថេរចៃដន្យ ដែលអាចទទួលយកតម្លៃឯកោបុគ្គល ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ ១.ចំនួនដងនៃអាវធំលេចឡើងក្នុងការបោះកាក់បី។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន៖ 0, 1, 2, 3 ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា៖

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = ។

ឧទាហរណ៍ ២.ចំនួនធាតុដែលបរាជ័យនៅក្នុងឧបករណ៍ដែលមានធាតុប្រាំ។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន: 0, 1, 2, 3, 4, 5; ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេអាស្រ័យលើភាពជឿជាក់នៃធាតុនីមួយៗ។

អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយស៊េរីចែកចាយឬមុខងារចែកចាយ (ច្បាប់ចែកចាយអាំងតេក្រាល) ។

នៅជិតការចែកចាយ គឺជាសំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ Xខ្ញុំនិងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ។ រខ្ញុំ = ភី(X = xខ្ញុំ), វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាតារាង៖

x ខ្ញុំ				x ន
ទំ				р n

ទន្ទឹមនឹងនេះប្រូបាប៊ីលីតេ រខ្ញុំបំពេញលក្ខខណ្ឌ

រខ្ញុំ= 1 ព្រោះ

តើចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៅឯណា នអាចមានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។

តំណាងក្រាហ្វិកនៃស៊េរីចែកចាយ ហៅថាពហុកោណចែកចាយ . ដើម្បី​បង្កើត​វា តម្លៃ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ ( Xខ្ញុំ) ត្រូវបានគ្រោងតាមអ័ក្ស x និងប្រូបាប៊ីលីតេ រខ្ញុំ- តាមអ័ក្សតម្រៀប; ពិន្ទុ កខ្ញុំជាមួយកូអរដោនេ ( Xខ្ញុំ, рខ្ញុំ) ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយខ្សែដែលខូច។

មុខងារចែកចាយ អថេរចៃដន្យ Xហៅថាមុខងារ ច(X), តម្លៃរបស់ពួកគេនៅចំណុច Xគឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ Xនឹងតិចជាងតម្លៃនេះ។ Xនោះគឺ

F(x) = P(X< х).

មុខងារ ច(X) សម្រាប់ អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកគណនាដោយរូបមន្ត

ច(X) = រខ្ញុំ , (1.10.1)

ដែលជាកន្លែងដែលការបូកសរុបត្រូវបានអនុវត្តលើតម្លៃទាំងអស់។ ខ្ញុំសម្រាប់ការដែល Xខ្ញុំ< х.

ឧទាហរណ៍ ៣.ពីបណ្តុំដែលមានផលិតផលចំនួន 100 ដែលក្នុងនោះមាន 10 ខូចគុណភាព ផលិតផល 5 ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យដើម្បីត្រួតពិនិត្យគុណភាពរបស់វា។ បង្កើតស៊េរីនៃការចែកចាយនៃចំនួនចៃដន្យ Xផលិតផលខូចដែលមាននៅក្នុងគំរូ។

ដំណោះស្រាយ. ដោយសារនៅក្នុងគំរូចំនួនផលិតផលដែលមានបញ្ហាអាចជាចំនួនគត់ចាប់ពី 0 ដល់ 5 រាប់បញ្ចូល បន្ទាប់មកតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន Xខ្ញុំអថេរចៃដន្យ Xគឺស្មើគ្នា៖

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5 ។

ប្រូបាប៊ីលីតេ រ(X = k) ដែលគំរូមានយ៉ាងពិតប្រាកដ k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) ផលិតផលខូច, ស្មើ

P (X = k) = .

ជាលទ្ធផលនៃការគណនាដោយប្រើរូបមន្តនេះជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.001 យើងទទួលបាន:

រ 1 = ភី(X = 0) @ 0,583;រ 2 = ភី(X = 1) @ 0,340;រ 3 = ភី(X = 2) @ 0,070;

រ 4 = ភី(X = 3) @ 0,007;រ 5 = ភី(X= 4) @ 0;រ 6 = ភី(X = 5) @ 0.

ដោយប្រើសមភាពដើម្បីពិនិត្យ រk=1 យើង​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​ការ​គណនា​និង​ការ​បង្គត់​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​បាន​ត្រឹម​ត្រូវ (មើល​តារាង)។

x ខ្ញុំ
ទំ

ឧទាហរណ៍ ៤.បានផ្តល់ឱ្យស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យមួយ។ X :

x ខ្ញុំ
ទំ

ស្វែងរកមុខងារចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ ច(X) នៃអថេរចៃដន្យនេះហើយបង្កើតវា។

ដំណោះស្រាយ. ប្រសិនបើ X£10 បន្ទាប់មក ច(X)= ភី(X<X) = 0;

ប្រសិនបើ 10<X£20 បន្ទាប់មក ច(X)= ភី(X<X) = 0,2 ;

ប្រសិនបើ 20<X£30 បន្ទាប់មក ច(X)= ភី(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

ប្រសិនបើ 30<X£40 បន្ទាប់មក ច(X)= ភី(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

ប្រសិនបើ 40<X£50 បន្ទាប់មក ច(X)= ភី(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

ប្រសិនបើ X> 50 បន្ទាប់មក ច(X)= ភី(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.