សមីការលីនេអ៊ែរអថេរពីរ គឺជាសមីការណាមួយដែលមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ a*x+b*y=c. នៅទីនេះ x និង y គឺជាអថេរពីរ a, b, c គឺជាលេខមួយចំនួន។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ a*x + b*y = c គឺជាគូនៃលេខណាមួយ (x, y) ដែលបំពេញសមីការនេះ ពោលគឺវាប្រែសមីការជាមួយអថេរ x និង y ទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ សមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ប្រសិនបើគូនីមួយៗនៃលេខដែលជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរត្រូវបានតំណាងនៅលើប្លង់កូអរដោណេជាចំនុច នោះចំនុចទាំងអស់នេះបង្កើតជាក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ។ តម្លៃ x និង y របស់យើងនឹងបម្រើជាកូអរដោណេសម្រាប់ចំណុច។ ក្នុង​ករណី​នេះ តម្លៃ x នឹង​ជា abscissa ហើយ​តម្លៃ y នឹង​ជា​ការ​កំណត់។

ក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ

ក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរគឺជាសំណុំនៃចំណុចដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃយន្តហោះកូអរដោណេ កូអរដោនេដែលនឹងជាដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរនេះ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាក្រាហ្វនឹងជាបន្ទាត់ត្រង់។ ដូច្នេះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ។

ក្បួនដោះស្រាយសំណង់

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គូរសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ។

1. គូរអ័ក្សកូអរដោណេ ចុះហត្ថលេខាលើពួកវា ហើយសម្គាល់មាត្រដ្ឋានឯកតា។

2. ក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរ ដាក់ x = 0 ហើយដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់ y ​​។ សម្គាល់ចំណុចលទ្ធផលនៅលើក្រាហ្វ។

3. ក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរ យកលេខ 0 ជា y ហើយដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់ x ។ សម្គាល់ចំណុចដែលទទួលបាននៅលើក្រាហ្វ

4. បើចាំបាច់ យកតម្លៃបំពាននៃ x ហើយដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់ y ​​។ សម្គាល់ចំណុចលទ្ធផលនៅលើក្រាហ្វ។

5. ភ្ជាប់ចំណុចដែលទទួលបាន បន្តក្រាហ្វសម្រាប់ពួកគេ។ ចុះហត្ថលេខាលើបន្ទាត់លទ្ធផល។

ឧទាហរណ៍៖គូរសមីការ 3*x - 2*y = 6;

ចូរដាក់ х=0 បន្ទាប់មក - 2*y=6; y=-3;

ចូរដាក់ y=0 បន្ទាប់មក 3*x=6; x=2;

យើងសម្គាល់ចំណុចដែលទទួលបាននៅលើក្រាហ្វ គូសបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពួកវា ហើយចុះហត្ថលេខាលើវា។ សូមក្រឡេកមើលរូបភាពខាងក្រោម ក្រាហ្វគួរតែមើលទៅដូចនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យផ្តល់ឱ្យ សមីការជាមួយអថេរពីរ F(x; y). អ្នក​បាន​រៀន​រួច​ហើយ​ពី​របៀប​ដោះស្រាយ​សមីការ​បែប​នេះ​ដោយ​វិភាគ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ក្រាហ្វផងដែរ។

ក្រាហ្វនៃសមីការ F(x; y) គឺជាសំណុំនៃចំនុចនៃប្លង់កូអរដោនេ xOy ដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការ។

ដើម្បី​កំណត់​សមីការ​អថេរ​ពីរ ដំបូង​បង្ហាញ​អថេរ y ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​អថេរ x ក្នុង​សមីការ។

ប្រាកដណាស់អ្នកដឹងពីរបៀបបង្កើតក្រាហ្វផ្សេងៗនៃសមីការដែលមានអថេរពីរ៖ ax + b \u003d c គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ yx \u003d k គឺជាអ៊ីពែបូឡា (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 គឺជារង្វង់ដែលកាំគឺ R ហើយកណ្តាលគឺនៅចំណុច O (a; b) ។

ឧទាហរណ៍ ១

គូរសមីការ x 2 − 9y 2 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងធ្វើកត្តាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។

(x − 3y)(x+ 3y) = 0, i.e. y = x/3 ឬ y = -x/3 ។

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ១ ។

កន្លែងពិសេសមួយត្រូវបានកាន់កាប់ដោយការចាត់តាំងនៃតួលេខនៅលើយន្តហោះដោយសមីការដែលមានសញ្ញានៃតម្លៃដាច់ខាតដែលយើងនឹងរស់នៅដោយលម្អិត។ ពិចារណាដំណាក់កាលនៃសមីការគ្រោងនៃទម្រង់ |y| = f(x) និង |y| = |f(x)|។

សមីការទីមួយគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ឬ y = -f(x) ។

នោះគឺក្រាហ្វរបស់វាមានក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ៖ y = f(x) និង y = -f(x) ដែល f(x) ≥ 0 ។

ដើម្បីគូរក្រាហ្វនៃសមីការទីពីរ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ពីរត្រូវបានគ្រោងទុក៖ y = f(x) និង y = -f(x) ។

ឧទាហរណ៍ ២

គូរសមីការ |y| = 2 + x ។

ដំណោះស្រាយ។

សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ

(x + 2 ≥ 0,
( y = x + 2 ឬ y = −x − 2 ។

យើងបង្កើតសំណុំនៃចំណុច។

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ២ ។

ឧទាហរណ៍ ៣

គូរសមីការ |y – x| = ១.

ដំណោះស្រាយ។

ប្រសិនបើ y ≥ x បន្ទាប់មក y = x + 1 ប្រសិនបើ y ≤ x បន្ទាប់មក y = x − 1 ។

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៣ ។

នៅពេលបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល វាងាយស្រួល និងសមហេតុផលក្នុងការប្រើប្រាស់ វិធីសាស្រ្តតំបន់ដោយផ្អែកលើការបំបែកយន្តហោះកូអរដោនេទៅជាផ្នែកដែលកន្សោមម៉ូឌុលរងនីមួយៗរក្សាសញ្ញារបស់វា។

ឧទាហរណ៍ 4

គូរសមីការ x + |x| + y + |y| = ២.

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ សញ្ញា​នៃ​កន្សោម​ម៉ូឌុល​រង​នីមួយៗ​អាស្រ័យ​លើ​កូអរដោណេ​ការ៉េ។

1) នៅក្នុងត្រីមាសទីមួយនៃកូអរដោណេ x ≥ 0 និង y ≥ 0. បន្ទាប់ពីពង្រីកម៉ូឌុល សមីការដែលបានផ្តល់នឹងមើលទៅដូច៖

2x + 2y = 2 ហើយបន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ x + y = 1 ។

2) នៅក្នុងត្រីមាសទីពីរដែលជាកន្លែងដែល x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) នៅត្រីមាសទីបី x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) នៅក្នុងត្រីមាសទី 4 សម្រាប់ x ≥ 0 និង y< 0 получим, что x = 1.

យើងនឹងគូរសមីការនេះជាត្រីមាស។

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៤ ។

ឧទាហរណ៍ 5

គូរសំណុំនៃចំណុចដែលកូអរដោនេបំពេញសមភាព |x – 1| + |y–1| = ១.

ដំណោះស្រាយ។

លេខសូន្យនៃកន្សោមម៉ូឌុលរង x = 1 និង y = 1 បំបែកប្លង់កូអរដោនេជាបួនតំបន់។ ចូរបំបែកម៉ូឌុលតាមតំបន់។ ចូរយើងដាក់វានៅក្នុងទម្រង់នៃតារាង។

តំបន់	សញ្ញាកន្សោមម៉ូឌុលរង	សមីការលទ្ធផលបន្ទាប់ពីពង្រីកម៉ូឌុល
ខ្ញុំ	x ≥ 1 និង y ≥ 1	x + y = ៣
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 និង y< 1	x − y = 1

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៥ ។

នៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ តួលេខអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ និង វិសមភាព.

ក្រាហ្វវិសមភាពជាមួយនឹងអថេរពីរគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះកូអរដោណេដែលកូអរដោនេរបស់វាជាដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពនេះ។

ពិចារណា ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើតគំរូសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយនឹងអថេរពីរ:

1. សរសេរសមីការដែលត្រូវនឹងវិសមភាព។
2. គូរសមីការពីជំហានទី 1 ។
3. ជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពាននៅក្នុងយន្តហោះពាក់កណ្តាលមួយ។ ពិនិត្យមើលថាតើកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបានជ្រើសរើសបំពេញវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យឬអត់។
4. គូរក្រាហ្វិកសំណុំនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃវិសមភាព។

ពិចារណាជាដំបូង វិសមភាព ax + bx + c > 0. សមីការ ax + bx + c = 0 កំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដែលបែងចែកយន្តហោះជាពីរយន្តហោះពាក់កណ្តាល។ នៅក្នុងពួកវានីមួយៗ មុខងារ f(x) = ax + bx + c គឺរក្សាសញ្ញា។ ដើម្បីកំណត់សញ្ញានេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយកចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះពាក់កណ្តាលហើយគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចនេះ។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃមុខងារស្របគ្នាជាមួយនឹងសញ្ញានៃវិសមភាពនោះ យន្តហោះពាក់កណ្តាលនេះនឹងជាដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកចំពោះវិសមភាពទូទៅបំផុតដែលមានអថេរពីរ។

1) ax + bx + c ≥ 0 ។ រូបភាពទី 6.

2) |x| ≤ a, a > 0 ។ រូបភាពទី 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0 ។ រូបភាពទី 8.

4) y ≥ x2 ។ រូបភាពទី 9

5) xy ≤ ១. រូបភាពទី 10 ។

ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរ ឬចង់អនុវត្តការធ្វើគំរូនៃសំណុំនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃវិសមភាពអថេរពីរដោយប្រើគំរូគណិតវិទ្យា អ្នកអាច មេរៀនឥតគិតថ្លៃរយៈពេល 25 នាទីជាមួយអ្នកបង្រៀនតាមអ៊ីនធឺណិតបន្ទាប់ពីអ្នកចុះឈ្មោះ។ សម្រាប់ការងារបន្ថែមជាមួយគ្រូ អ្នកនឹងមានឱកាសជ្រើសរើសផែនការពន្ធដែលសាកសមនឹងអ្នក។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបគូររូបនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេមែនទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវសមីការគ្រោង។ ជាដំបូង ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវអ្វីដែលសមីការសមហេតុផល និងសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់វា ដែលបង្កើតជាក្រាហ្វនៃសមីការ។ សូមក្រឡេកមើលក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ ស្វែងយល់ពីរបៀបអានក្រាហ្វ។ បន្ទាប់មក ពិចារណាក្រាហ្វនៃសមីការការ៉េ និងលក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ការ៉េ។ ពិចារណាមុខងារអ៊ីពែរបូល និងក្រាហ្វរបស់វា និងក្រាហ្វនៃសមីការរង្វង់។ បន្ទាប់​មក យើង​ងាក​ទៅ​ការ​សាងសង់ និង​សិក្សា​សំណុំ​ក្រាហ្វ។

ប្រធានបទ៖ ប្រព័ន្ធសមីការ

មេរៀន៖ ក្រាហ្វសមីការ

យើងពិចារណាសមីការសមហេតុផលនៃទម្រង់ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការសនិទាននៃទម្រង់

យើងបាននិយាយថាសមីការនីមួយៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះមានក្រាហ្វរបស់វា លុះត្រាតែមានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។ យើងបានមើលក្រាហ្វជាច្រើននៃសមីការផ្សេងៗ។

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាជាប្រព័ន្ធនូវសមីការនីមួយៗដែលគេស្គាល់យើង i.e. ធ្វើការពិនិត្យឡើងវិញលើ ក្រាហ្វសមីការ.

1. សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ

x, y - ទៅដឺក្រេទីមួយ; a,b,c - លេខជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍៖

ក្រាហ្វនៃសមីការនេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់។

យើងបានធ្វើសកម្មភាពជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសមមូល - យើងទុក y នៅនឹងកន្លែង អ្វីៗផ្សេងទៀតត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅម្ខាងទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។ សមីការដើម និងលទ្ធផលគឺសមមូល, i.e. មានដំណោះស្រាយដូចគ្នា។ យើងអាចបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការនេះ ហើយវិធីសាស្ត្រសម្រាប់សាងសង់វាមានដូចខាងក្រោម៖ យើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ ហើយបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់តាមពួកវា។

ក្នុងករណី​នេះ

ដោយដឹងពីក្រាហ្វនៃសមីការ យើងអាចប្រាប់បានច្រើនអំពីដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើមគឺ៖ ប្រសិនបើ ប្រសិនបើ

មុខងារនេះកើនឡើង, i.e. នៅពេល x កើនឡើង y កើនឡើង។ យើង​បាន​ទទួល​ដំណោះស្រាយ​ពិសេស​ពីរ​ហើយ ប៉ុន្តែ​ធ្វើ​ដូចម្តេច​ដើម្បី​សរសេរ​សំណុំ​នៃ​ដំណោះស្រាយ​ទាំងអស់?

ប្រសិនបើចំនុចមួយមាន abscissa x នោះការចាត់តាំងនៃចំនុចនោះ។

ដូច្នេះលេខ

យើង​មាន​សមីការ យើង​បាន​បង្កើត​ក្រាហ្វ យើង​បាន​រក​ឃើញ​ដំណោះស្រាយ។ សំណុំនៃគូទាំងអស់ - តើមានប៉ុន្មាន? រាប់មិនអស់។

នេះគឺជាសមីការសមហេតុផល

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញ y ដោយការបំប្លែងសមមូលដែលយើងទទួលបាន

យើងកំណត់ និងទទួលបានមុខងារបួនជ្រុង យើងដឹងពីក្រាហ្វរបស់វា។

ឧទាហរណ៍៖ រៀបចំសមីការសមហេតុផល។

ក្រាហ្វគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា សាខាត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ។

ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ៖

ពិពណ៌នាអំពីក្រាហ្វ ( អង្ករ។ 2).

ដោយមានជំនួយពីក្រាហ្វមួយ យើងទទួលបានព័ត៌មានគ្រប់ប្រភេទអំពីមុខងារ និងដំណោះស្រាយនៃសមីការសនិទាន។ យើង​បាន​កំណត់​ចន្លោះ​ពេល​នៃ​សញ្ញា​ថេរ ឥឡូវ​យើង​នឹង​រក​ឃើញ​កូអរដោនេ​នៃ​កំពូល​ប៉ារ៉ាបូឡា។

សមីការ​មាន​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​ដំណោះ​ស្រាយ, i.e. គូរាប់មិនអស់ដែលបំពេញសមីការ ប៉ុន្តែទាំងអស់ ហើយអ្វីដែលអាចជា x? អ្នកណាៗ!

ប្រសិនបើយើងកំណត់ x ណាមួយ យើងនឹងទទួលបានពិន្ទុ

ដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមគឺជាសំណុំនៃគូ

3. រៀបចំសមីការ

អ្នកត្រូវបង្ហាញ y ។ ចូរយើងពិចារណាជម្រើសពីរ។

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺអ៊ីពែបូឡា មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់

មុខងារកំពុងថយចុះ។

ប្រសិនបើយើងយកចំណុចមួយជាមួយ abscissa នោះការចាត់តាំងរបស់វានឹងស្មើនឹង

ដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមគឺជាសំណុំនៃគូ

អ៊ីពែបូឡាដែលបានសាងសង់អាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

ឧទាហរណ៍ក្រាហ្វនៃមុខងារ - អ៊ីពែបូឡាផងដែរ - នឹងត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរមួយឡើងតាមអ័ក្ស y ។

4. សមីការនៃរង្វង់មួយ។

នេះគឺជាសមីការសមហេតុផលដែលមានអថេរពីរ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយគឺជាចំណុចនៃរង្វង់។ កាំចំណុចកណ្តាលគឺស្មើនឹង R (រូបភាពទី 4) ។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ក.

យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារនៃសមីការរង្វង់ សម្រាប់ការនេះ យើងជ្រើសរើសការេពេញនៃផលបូក៖

- ទទួលបានសមីការនៃរង្វង់មួយនៅកណ្តាល .

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការ (រូបទី 5) ។

ខ. សមីការគ្រោង

សូមចាំថាផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តាគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយទីពីរមាន។

ក្រាហ្វនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានសំណុំនៃក្រាហ្វនៃសមីការទីមួយ និងទីពីរ ពោលគឺឧ។ បន្ទាត់ត្រង់ពីរ។

ចូរយើងសាងសង់វា (រូបភាពទី 6) ។

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ បន្ទាត់ត្រង់នឹងឆ្លងកាត់ចំណុច (0; -1) ។ ប៉ុន្តែតើវានឹងឆ្លងកាត់យ៉ាងដូចម្តេច - តើវានឹងកើនឡើងឬថយចុះ? មេគុណមុំនឹងជួយយើងកំណត់នេះ មេគុណ x វាជាអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាមុខងារកំពុងថយចុះ។ រកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សគោ នេះគឺជាចំណុច (-1; 0) ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការទីពីរ។ បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច (0; 1) ប៉ុន្តែកើនឡើងដោយសារតែ ជម្រាលគឺវិជ្ជមាន។

កូអរដោណេនៃចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ដែលបានសាងសង់ទាំងពីរគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

ដូច្នេះ យើងបានវិភាគក្រាហ្វនៃសមីការសមហេតុផលដ៏សំខាន់បំផុត ពួកវានឹងត្រូវបានប្រើទាំងក្នុងវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិច និងក្នុងការបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

1. Mordkovich A.G. និងផ្សេងៗទៀត ពិជគណិតថ្នាក់ទី 9៖ Proc. សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន - ទី 4 ed ។ - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill ។

2. Mordkovich A.G. et al. ពិជគណិតថ្នាក់ទី 9: សៀវភៅកិច្ចការសម្រាប់សិស្សនៃស្ថាប័នអប់រំ / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - ទី 4 ed ។ - M.: Mnemosyne, 2002.-143 ទំ។ : ឈឺ។

3. Yu. N. Makarychev, ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៩៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់និស្សិតអប់រំទូទៅ។ ស្ថាប័ន / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov ។ - ទី 7 ed ។ , Rev ។ និងបន្ថែម - M. : Mnemosyne, 2008 ។

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 9 ទី 16 ed ។ - M. , 2011. - 287 ទំ។

5. Mordkovich A.G. ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 9 នៅម៉ោង 2 រសៀល ផ្នែកទី 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich, P. V. Semenov ។ - ទី 12 ed ។ , លុប។ - M. : 2010 ។ — 224 ទំ។ : ឈឺ។

6. ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 9 នៅម៉ោង 2 ម៉ោង ផ្នែកទី 2. សៀវភៅកិច្ចការសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina និងអ្នកដទៃ; អេដ។ A.G. Mordkovich ។ - ទី 12 ed ។ , Rev ។ - M. : 2010.-223 ទំ។ : ឈឺ។

1. ផ្នែក College.ru លើគណិតវិទ្យា ().

2. គម្រោងអ៊ីនធឺណិត "កិច្ចការ" () ។

3. វិបផតថលអប់រំ "SOLVE USE" ().

1. Mordkovich A.G. et al. ពិជគណិតថ្នាក់ទី 9: សៀវភៅកិច្ចការសម្រាប់សិស្សនៃស្ថាប័នអប់រំ / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - ទី 4 ed ។ - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill ។ លេខ 95-102 ។

គោលបំណង៖ 1) ដើម្បីណែនាំសិស្សអំពីគំនិតនៃ "សមីការដែលមានអថេរពីរ";

2) រៀនកំណត់កំរិតនៃសមីការដែលមានអថេរពីរ;

3) រៀនកំណត់ដោយអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យថាតួលេខណាមួយជាក្រាហ្វ

សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ;

4) ពិចារណាការបំប្លែងនៃក្រាហ្វដែលមានអថេរពីរ;

សមីការអថេរពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើកម្មវិធី Agrapher;

6) អភិវឌ្ឍការគិតឡូជីខលរបស់សិស្ស។

I. សម្ភារៈថ្មី - ការបង្រៀនពន្យល់ដែលមានធាតុផ្សំនៃការសន្ទនា។

(ការបង្រៀនត្រូវបានធ្វើឡើងដោយប្រើស្លាយរបស់អ្នកនិពន្ធ ការគ្រោងត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងកម្មវិធី Agrapher)

U: ពេលរៀនបន្ទាត់មានបញ្ហាពីរ៖

ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្រនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ស្វែងរកសមីការរបស់វា;

បញ្ហាបញ្ច្រាស៖ យោងតាមសមីការនៃបន្ទាត់ ស៊ើបអង្កេតលក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្ររបស់វា។

យើងបានពិចារណាបញ្ហាដំបូងនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃធរណីមាត្រទាក់ទងនឹងរង្វង់មួយនិងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិចារណាបញ្ហាបញ្ច្រាស។

ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់៖

ក) x(x-y)=4;ខ) 2y-x 2 =-2 ; វី) x(x+y 2 ) = x +1.

គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការដែលមានអថេរពីរ។

សមីការដែលមានអថេរពីរ Xនិង នៅ មានទម្រង់ f(x,y)=(x,y), កន្លែងណា fនិង - កន្សោមជាមួយអថេរ Xនិង y.

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ x(x-y)=4ជំនួសសម្រាប់អថេរមួយ។ Xតម្លៃរបស់វាគឺ -1 ហើយជំនួសឱ្យ នៅ- តម្លៃ 3 បន្ទាប់មកសមភាពត្រឹមត្រូវនឹងចេញ: 1*(-1-3)=4,

គូនៃតម្លៃអថេរ (-1; 3) Xនិង នៅគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x(x-y)=4.

នោះគឺជា ដំណោះស្រាយនៃសមីការ ជាមួយនឹងអថេរពីរត្រូវបានគេហៅថា សំណុំនៃគូលំដាប់នៃតម្លៃអថេរដែលបង្កើតសមីការនេះទៅជាសមភាពពិត។

សមីការដែលមានអថេរពីរជាធម្មតាមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ ករណីលើកលែងបង្កើតជាឧទាហរណ៍សមីការដូចជា X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 ឬ

2x2 + នៅ 2 = 0 .

ទីមួយមានដំណោះស្រាយពីរ (0; -2) និង (0; 2) ទីពីរមានដំណោះស្រាយមួយ (0; 0) ។

សមីការ x 4 + y 4 + 3 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយទាល់តែសោះ។ វាជាការចាប់អារម្មណ៍នៅពេលដែលតម្លៃនៃអថេរនៅក្នុងសមីការគឺជាចំនួនគត់។ ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះជាមួយនឹងអថេរពីរ ស្វែងរកគូនៃចំនួនគត់។ ក្នុងករណីបែបនេះសមីការត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានដោះស្រាយជាចំនួនគត់។

សមីការពីរដែលមានសំណុំដំណោះស្រាយដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា សមីការសមមូល. ឧទាហរណ៍ សមីការ x (x + y 2) \u003d x + 1 គឺជាសមីការនៃដឺក្រេទីបី ព្រោះវាអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការ xy 2 + x 2 - x-1 \u003d 0 ផ្នែកខាងស្តាំនៃ ដែលជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារនៃសញ្ញាបត្រទីបី។

កម្រិតនៃសមីការដែលមានអថេរពីរ តំណាងជា F(x,y) = 0 ដែល F(x, y) ជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ គឺជាកម្រិតនៃពហុនាម F(x, y) ។

ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃសមីការដែលមានអថេរពីរត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅក្នុងប្លង់កូអរដោនេ នោះយើងទទួលបានក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរពីរ។

កាលវិភាគសមីការដែលមានអថេរពីរគឺជាសំណុំនៃចំណុចដែលកូអរដោណេបម្រើជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

ដូច្នេះក្រាហ្វនៃសមីការ ax + ដោយ + c = 0គឺ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់ បើ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​មេគុណ​មួយ​ កឬ ខ មិនស្មើនឹងសូន្យ (រូបភាពទី 1). ប្រសិនបើ a=b=c=0បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃសមីការនេះគឺ យន្តហោះសំរបសំរួល (រូបភាព ២), ប្រសិនបើ a=b=0, ក c0បន្ទាប់មកក្រាហ្វគឺ សំណុំទទេ (រូបភាពទី 3).

ក្រាហ្វសមីការ y = ក x 2 + ដោយ + គគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា (រូបភាពទី 4) ក្រាហ្វនៃសមីការ xy=k (k0) – អ៊ីពែបូល (រូបភាព ៥). ក្រាហ្វសមីការ X 2 + យ 2 = rដែល x និង y ជាអថេរ r គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន រង្វង់ផ្តោតលើប្រភពដើម និងកាំស្មើនឹង r(រូបភាពទី 6) ។ ក្រាហ្វនៃសមីការគឺ ពងក្រពើ, កន្លែងណា កនិង ខ- semiaxes ធំ និងតូចនៃរាងពងក្រពើ (រូបភាព 7) ។

ការធ្វើផែនការសមីការមួយចំនួនត្រូវបានសម្របសម្រួលដោយប្រើការបំប្លែងរបស់ពួកគេ។ ពិចារណា ការបំប្លែងក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរពីរនិងបង្កើតច្បាប់ដែលការបំប្លែងដ៏សាមញ្ញបំផុតនៃក្រាហ្វនៃសមីការត្រូវបានអនុវត្ត

1) ក្រាហ្វនៃសមីការ F (-x, y) = 0 ត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វនៃសមីការ F (x, y) = 0 ដោយប្រើស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y.

2) ក្រាហ្វនៃសមីការ F(x, -y) = 0 ត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វនៃសមីការ F(x, y) = 0 ដោយប្រើស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស X.

3) ក្រាហ្វនៃសមីការ F (-x, -y) = 0 ត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វនៃសមីការ F (x, y) = 0 ដោយប្រើស៊ីមេទ្រីកណ្តាលអំពីប្រភពដើម។

4) ក្រាហ្វនៃសមីការ F (x-a, y) = 0 ត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វនៃសមីការ F (x, y) = 0 ដោយផ្លាស់ទីស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ដោយ |a| ឯកតា (ទៅខាងស្តាំប្រសិនបើ ក> 0 ហើយនៅខាងឆ្វេងប្រសិនបើ ក < 0).

5) ក្រាហ្វនៃសមីការ F (x, y-b) = 0 ត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វនៃសមីការ F (x, y) = 0 ដោយផ្លាស់ទី |b| ឯកតាស្របទៅនឹងអ័ក្ស នៅ(ឡើងប្រសិនបើ ខ> 0 ហើយចុះប្រសិនបើ ខ < 0).

6) ក្រាហ្វនៃសមីការ F (ax, y) = 0 ត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វនៃសមីការ F (x, y) = 0 ដោយបង្រួញទៅអ័ក្ស y និងដងប្រសិនបើ ក> 1 និងដោយលាតសន្ធឹងពីអ័ក្ស y ក្នុងដងប្រសិនបើ 0< ក < 1.

7) ក្រាហ្វនៃសមីការ F(x, ដោយ) = 0 ត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វនៃសមីការ F(x, y) = 0 ដោយប្រើការបង្ហាប់ទៅអ័ក្ស x ក្នុង ខដងប្រសិនបើ ខ> 1 និងដោយលាតសន្ធឹងពីអ័ក្ស x ក្នុងដងប្រសិនបើ 0 < b < 1.

ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃសមីការមួយចំនួនត្រូវបានបង្វិលដោយមុំមួយចំនួននៅជិតប្រភពដើម នោះក្រាហ្វថ្មីនឹងជាក្រាហ្វនៃសមីការមួយផ្សេងទៀត។ ករណីពិសេសនៃការបង្វិលតាមមុំ 90 0 និង 45 0 មានសារៈសំខាន់។

8) ក្រាហ្វនៃសមីការ F (x, y) \u003d 0 ជាលទ្ធផលនៃការបង្វិលជុំវិញប្រភពដើមដោយមុំ 90 0 តាមទ្រនិចនាឡិកាចូលទៅក្នុងក្រាហ្វនៃសមីការ F (-y, x) \u003d 0 និង ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា - ចូលទៅក្នុងក្រាហ្វនៃសមីការ F (y , -x) = 0 ។

9) ក្រាហ្វនៃសមីការ F (x, y) = 0 ជាលទ្ធផលនៃការបង្វិលប្រភពដើមដោយមុំ 45 0 តាមទ្រនិចនាឡិកាចូលទៅក្នុងក្រាហ្វនៃសមីការ F = 0 និងច្រាសទ្រនិចនាឡិកា - ចូលទៅក្នុងក្រាហ្វនៃសមីការ ច = 0.

ពីច្បាប់ដែលយើងបានពិចារណាសម្រាប់ការបំប្លែងក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរពីរ ក្បួនសម្រាប់បំប្លែងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រូវបានទទួលយ៉ាងងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ 1. ចូរបង្ហាញថាក្រាហ្វនៃសមីការ X 2 + យ 2 + 2x − 8y + 8 = 0គឺជារង្វង់មួយ (រូបភាព 17) ។

ចូរយើងបំប្លែងសមីការដូចខាងក្រោម៖

1) ដាក់ក្រុមពាក្យដែលមានអថេរ Xនិងមានអថេរ នៅនិងតំណាងក្រុមពាក្យនីមួយៗជាការ៉េពេញលេញនៃត្រីកោណមាត្រ៖ (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;

2) យើងសរសេរ trinomials ដែលទទួលបានជាការ៉េនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃកន្សោមពីរ៖ (x + 1) 2 + (y − 4) 2 − 9 = 0;

3) វិភាគយោងទៅតាមច្បាប់សម្រាប់បំប្លែងក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរពីរ សមីការ (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \u003d 3 2: ក្រាហ្វនៃសមីការនេះគឺជារង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅ ចំណុច (-1; 4) និងកាំនៃ 3 ឯកតា។

ឧទាហរណ៍ 2. រៀបចំសមីការ X 2 + 4 ឆ្នាំ 2 = 9 .

ចូរតំណាងឱ្យ 4y 2 ក្នុងទម្រង់ (2y) 2 យើងទទួលបានសមីការ x 2 + (2y) 2 \u003d 9 ក្រាហ្វដែលអាចទទួលបានពីរង្វង់ x 2 + y 2 \u003d 9 ដោយការបង្ហាប់ទៅ x - អ័ក្ស 2 ដង។

ចូរយើងគូសរង្វង់មួយនៅចំកណ្តាលដើម ហើយមានកាំ 3 ឯកតា។

ចូរកាត់បន្ថយ 2 ដងនៃចម្ងាយនៃចំនុចនីមួយៗរបស់វាពីអ័ក្ស X យើងទទួលបានក្រាហ្វនៃសមីការ

x 2 + (2y) 2 = 9 ។

យើងទទួលបានតួលេខដោយបង្រួញរង្វង់ទៅអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា (ទៅអង្កត់ផ្ចិតដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្ស x) ។ តួលេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថារាងពងក្រពើ (រូបភាព 18) ។

ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងយល់ថាតើក្រាហ្វនៃសមីការ x 2 - y 2 \u003d 8 តំណាងឱ្យអ្វី។

ចូរយើងប្រើរូបមន្ត F=0 ។

ជំនួសនៅក្នុងសមីការនេះជំនួសឱ្យ X ហើយជំនួសឱ្យ Y យើងទទួលបាន:

U: តើក្រាហ្វនៃសមីការ y = ជាអ្វី?

ឃ៖ ក្រាហ្វនៃសមីការ y = គឺជាអ៊ីពែបូឡា។

Y: យើងបានបំប្លែងសមីការនៃទម្រង់ x 2 − y 2 = 8 ទៅជាសមីការ y = ។

តើបន្ទាត់មួយណានឹងក្លាយជាក្រាហ្វនៃសមីការនេះ?

ឃ៖ ដូច្នេះក្រាហ្វនៃសមីការ x 2 - y 2 \u003d 8 គឺជាអ៊ីពែបូឡា។

Y៖ បន្ទាត់មួយណាជា asymtotes នៃអ៊ីពែបូឡា y = .

ឃ៖ សញ្ញាណនៃអ៊ីពែបូឡា y = គឺជាបន្ទាត់ y = 0 និង x = 0 ។

Y: នៅពេលដែលវេនត្រូវបានធ្វើឡើង បន្ទាត់ទាំងនេះនឹងចូលទៅក្នុងបន្ទាត់ = 0 និង = 0 ពោលគឺចូលទៅក្នុងបន្ទាត់ y \u003d x និង y \u003d - x ។ (រូបភព 19) ។

ឧទាហរណ៍ទី 4៖ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមីការ y \u003d x 2 នៃប៉ារ៉ាបូឡានឹងយកអ្វីនៅពេលបង្វិលជុំវិញប្រភពដើមដោយមុំ 90 0 តាមទ្រនិចនាឡិកា។

ដោយប្រើរូបមន្ត F (-y; x) \u003d 0 យើងជំនួសអថេរ x ជាមួយ - y ក្នុងសមីការ y \u003d x 2 និងអថេរ y ជាមួយ x ។ យើងទទួលបានសមីការ x \u003d (-y) 2, i.e. x \u003d y 2 (រូបភាព 20) ។

យើងបានពិនិត្យឧទាហរណ៍នៃក្រាហ្វនៃសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានអថេរពីរ ហើយបានរកឃើញថាក្រាហ្វនៃសមីការបែបនេះអាចជាប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា ពងក្រពើ (ជាពិសេសរង្វង់)។ លើសពីនេះទៀតក្រាហ្វនៃសមីការនៃដឺក្រេទីពីរអាចជាបន្ទាត់គូ (ប្រសព្វគ្នាឬប៉ារ៉ាឡែល) នេះគឺជាអ្វីដែលគេហៅថា degenerate case ។ ដូច្នេះក្រាហ្វនៃសមីការ x 2 - y 2 \u003d 0 គឺជាគូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា (រូបភាព 21a) ហើយក្រាហ្វនៃសមីការ x 2 - 5x + 6 + 0y \u003d 0 គឺជាបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

II ការបង្រួបបង្រួម។

(សិស្សត្រូវបានផ្តល់ "ប័ណ្ណណែនាំ" សម្រាប់អនុវត្តការស្ថាបនាក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរពីរនៅក្នុងកម្មវិធី Agrapher (ឧបសម្ព័ន្ធទី 2) និង "កិច្ចការជាក់ស្តែង" (ឧបសម្ព័ន្ធទី 3) ជាមួយនឹងការបង្កើតកិច្ចការ 1-8 គ្រូបង្ហាញក្រាហ្វនៃ សមីការសម្រាប់កិច្ចការ ៤-៥ នៅលើស្លាយ) ។

លំហាត់ 1 ។ តើគូមួយណា (5; 4), (1; 0), (-5; -4) និង (-1; -) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ៖

ក) x 2 - y 2 \u003d 0, ខ) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y?

ដំណោះស្រាយ៖

ការជំនួសនៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ នៅក្នុងការបង្វែរកូអរដោណេនៃចំណុចទាំងនេះ យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាមិនមែនគូដែលបានផ្តល់ឱ្យតែមួយគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x 2 - y 2 \u003d 0 និងដំណោះស្រាយនៃសមីការ x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y គឺជាគូ (5; 4), (1;0) និង (-1; -) ។

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (AND)

125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)

1 - 1 = - - (AND)

ចម្លើយ៖ក); ខ) (៥;៤), (១; ០), (-១; -) ។

កិច្ចការទី 2. ស្វែងរកដំណោះស្រាយបែបនេះចំពោះសមីការ xy 2 - x 2 y \u003d 12 ដែលក្នុងនោះតម្លៃ Xស្មើ ៣.

ដំណោះស្រាយ៖ 1) ជំនួសតម្លៃ 3 ជំនួសឱ្យ X ក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

2) យើងទទួលបានសមីការ quadratic ទាក់ទងនឹងអថេរ Y ដែលមានទម្រង់៖

3y 2 − 9y = 12 ។

៤) ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះ៖

3y 2 − 9y − 12 = 0

ឃ \u003d 81 + 144 \u003d 225

ចម្លើយ៖ គូ (៣; ៤) និង (៣; -១) គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ xy 2 - x 2 y \u003d 12

កិច្ចការ៣. កំណត់កំរិតនៃសមីការ៖

ក) 2y 2 - 3x 3 + 4x \u003d 2; គ) (3 x 2 + x) (4x − y 2) = x;

ខ) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; d) (2y − x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4xy + 1) ។

ចម្លើយ៖ ក) ៣; ខ) ៥; នៅ 4; ឃ) ៤.

កិច្ចការទី 4 ។ តើតួលេខមួយណាជាក្រាហ្វនៃសមីការ៖

ក) 2x \u003d 5 + 3y; ខ) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; គ) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x − 1.5) (x − 4) = 0; e) xy - 1.2 = 0; f) x 2 + y 2 = 9 ។

កិច្ចការទី 5 ។ សរសេរសមីការដែលក្រាហ្វគឺស៊ីមេទ្រីទៅនឹងក្រាហ្វនៃសមីការ x 2 - xy + 3 \u003d 0 (រូបភាព 24) ទាក់ទងនឹង៖ ក) អ័ក្ស X; ខ) អ័ក្ស នៅ; គ) បន្ទាត់ត្រង់ y \u003d x; ឃ) បន្ទាត់ត្រង់ y \u003d -x ។

កិច្ចការទី៦ បង្កើតសមីការ ក្រាហ្វដែលទទួលបានដោយការពង្រីកក្រាហ្វនៃសមីការ y \u003d x 2 -3 (រូបភាព 25):

ក) ពីអ័ក្ស x 2 ដង; ខ) ពីអ័ក្ស y 3 ដង។

ប្រើកម្មវិធី Agrapher ដើម្បីពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃកិច្ចការ។

ចម្លើយ៖ ក) y − x 2 + 3 = 0 (រូប 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (រូប 25b) ។

ខ) បន្ទាត់ស្របគ្នា ផ្លាស់ទីស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ដោយ 1 ឯកតាទៅខាងស្តាំ និងស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ដោយ 3 ឯកតាចុះក្រោម (រូបភាព 26b);

គ) បន្ទាត់ប្រសព្វ ការបង្ហាញស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x (រូបភាព 26c);

ឃ) បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា ការបង្ហាញស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y (រូបភាព 26d);

ង) បន្ទាត់គឺស្របគ្នា ការបង្ហាញស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើម (រូបភាព 26e);

f) បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា បង្វែរប្រភពដើមតាមទ្រនិចនាឡិកា 90 ហើយបង្ហាញស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x (រូបភាព 26f) ។

III. ការងារឯករាជ្យនៃធម្មជាតិនៃការបង្រៀន។

(សិស្សត្រូវបានផ្តល់កាត "ការងារឯករាជ្យ" និង "តារាងរបាយការណ៍លទ្ធផលនៃការងារឯករាជ្យ" ដែលក្នុងនោះសិស្សសរសេរចម្លើយរបស់ពួកគេហើយបន្ទាប់ពីការពិនិត្យដោយខ្លួនឯងវាយតម្លៃការងារនេះបើយោងតាមគ្រោងការណ៍ដែលបានស្នើ) ឧបសម្ព័ន្ធទី 4 ..

I. ជម្រើស។

ក) 5x 3 −3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \u003d 2 (x + y) ។

ក) x 3 + y 3 -5x 2 \u003d 0; ខ) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \u003d ១.

x 4 + y 4 −8x 2 + 16 = 0 ។

ក) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

ខ) x 2 -y 2 \u003d 1;

គ) x - y 2 \u003d ៩.

x 2 - 2x + y 2 - 4y \u003d ២០.

បញ្ជាក់កូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ និងកាំរបស់វា។

6. តើអ៊ីពែបូឡា y \u003d គួរតែត្រូវបានផ្លាស់ទីដោយរបៀបណានៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ ដើម្បីឱ្យសមីការរបស់វាទទួលបានទម្រង់ x 2 - y 2 \u003d 16?

ពិនិត្យចម្លើយរបស់អ្នកដោយគូសក្រាហ្វិកដោយប្រើ Agrapher ។

7. របៀបផ្លាស់ទីប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d x 2 នៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ ដូច្នេះសមីការរបស់វាទទួលបានទម្រង់ x \u003d y 2 - 1

ជម្រើសទី II ។

1. កំណត់កំរិតនៃសមីការ៖

ក) 3xy \u003d (y-x 3) (x 2 + y); ខ) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \u003d 0 ។

2. ជាគូនៃលេខ (-2; 3) ដំណោះស្រាយនៃសមីការ៖

ក) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; ខ) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \u003d -1 ។

3. ស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ៖

x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \u003d 0 ។

4. ខ្សែកោងមួយណា (hyperbola, circle, parabola) គឺជាសំណុំនៃចំនុច ប្រសិនបើសមីការនៃខ្សែកោងនេះមានទម្រង់៖

ក) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \u003d ៩

ខ) y 2 - x 2 \u003d ១

គ) x \u003d y 2 - 1 ។

(ពិនិត្យដោយជំនួយពីកម្មវិធី Agrapher នូវភាពត្រឹមត្រូវនៃកិច្ចការ)

5. Plot ដោយប្រើកម្មវិធី Agrapher ក្រាហ្វនៃសមីការ៖

x 2 + y 2 − 6x + 10y = 2 ។

6. តើអ៊ីពែបូឡា y \u003d គួរតែត្រូវបានផ្លាស់ទីដោយរបៀបណានៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ ដើម្បីឱ្យសមីការរបស់វាទទួលបានទម្រង់ x 2 - y 2 \u003d 28?

7. របៀបផ្លាស់ទីប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d x 2 នៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ ដើម្បីឱ្យសមីការរបស់វាទទួលបានទម្រង់ x \u003d y 2 + 9 ។