យើងមិនជ្រើសរើសគណិតវិទ្យាទេ។វិជ្ជាជីវៈរបស់នាង ហើយនាងជ្រើសរើសយើង។

គណិតវិទូជនជាតិរុស្សី Yu.I. ម៉ានីន

សមីការម៉ូឌុល

បញ្ហាពិបាកដោះស្រាយបំផុតក្នុងគណិតវិទ្យាសាលាគឺសមីការដែលមានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះដោយជោគជ័យ ចាំបាច់ត្រូវដឹងពីនិយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃម៉ូឌុល។ តាមធម្មជាតិ សិស្សគួរតែមានជំនាញក្នុងការដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទនេះ។

គំនិតជាមូលដ្ឋាននិងលក្ខណៈសម្បត្តិ

ម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) នៃចំនួនពិតតំណាង ហើយត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោមៈ

លក្ខណសម្បត្តិសាមញ្ញរបស់ម៉ូឌុលរួមមានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

ចំណាំ ថា អចលនទ្រព្យទាំងពីរចុងក្រោយមានសម្រាប់កម្រិតគូណាមួយ។

ផងដែរប្រសិនបើ, កន្លែង, បន្ទាប់មកនិង

លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​របស់​ម៉ូឌុល​ស្មុគស្មាញ​បន្ថែម​ទៀត។, ដែលអាចត្រូវបានប្រើយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល, ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោមៈ

ទ្រឹស្តីបទ ១.សម្រាប់មុខងារវិភាគណាមួយ។និង វិសមភាព

ទ្រឹស្តីបទ ២.សមភាពគឺដូចគ្នានឹងវិសមភាពដែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.សមភាព គឺស្មើនឹងវិសមភាព.

ពិចារណាឧទាហរណ៍ធម្មតានៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "សមីការ, មានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។

ការដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល

វិធីសាស្រ្តទូទៅបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យាសាលាសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុលគឺជាវិធីសាស្ត្រ, ផ្អែកលើការពង្រីកម៉ូឌុល។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺមានលក្ខណៈទូទៅ, ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងករណីទូទៅ កម្មវិធីរបស់វាអាចនាំឱ្យមានការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញ។ ក្នុង​ន័យ​នេះ សិស្ស​ក៏​គួរ​យល់​ដឹង​ពី​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត​ដែរ។, វិធីសាស្រ្ត និងបច្ចេកទេសដែលមានប្រសិទ្ធភាពជាងសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះ។ ជាពិសេស, ត្រូវមានជំនាញដើម្បីអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ, ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយសមីការ។ (មួយ)

ដំណោះស្រាយ។ សមីការ (1) នឹងត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ "បុរាណ" - វិធីសាស្ត្រពង្រីកម៉ូឌុល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបំបែកអ័ក្សលេខចំណុច និង ចន្លោះពេលហើយពិចារណាករណីបី។

1. ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , , , និងសមីការ (1) យកទម្រង់ . វាធ្វើតាមពីទីនេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅទីនេះ ដូច្នេះតម្លៃដែលបានរកឃើញមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការ (1) ទេ។

2. ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកពីសមីការ (1) យើងទទួលបានឬ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ឫសគល់នៃសមីការ (១) ។

3. ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកសមីការ (1) ទទួលបានទម្រង់ឬ។ ចំណាំ​ថា ។

ចម្លើយ៖ , ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការខាងក្រោមជាមួយម៉ូឌុល យើងនឹងប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មនូវលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ម៉ូឌុល ដើម្បីបង្កើនប្រសិទ្ធភាពនៃការដោះស្រាយសមីការបែបនេះ។

ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយសមីការ.

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពី និង បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមពីសមីការ. ក្នុង​រឿង​នេះ, , , ហើយសមីការក្លាយជា. ពីទីនេះយើងទទួលបាន. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូច្នេះសមីការដើមមិនមានឫសគល់ទេ។

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយសមីការ.

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ប្រសិនបើ , ហើយសមីការក្លាយជា.

ពីទីនេះយើងទទួលបាន។

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយសមីការ.

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់សមមូល. (2)

សមីការលទ្ធផលជារបស់សមីការនៃប្រភេទ។

ដោយពិចារណាលើទ្រឹស្តីបទទី 2 យើងអាចបញ្ជាក់បានថាសមីការ (2) គឺស្មើនឹងវិសមភាព។ ពីទីនេះយើងទទួលបាន។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ ៥ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ។ សមីការនេះមានទម្រង់. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល , យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ៣, នៅទីនេះយើងមានវិសមភាពឬ។

ឧទាហរណ៍ ៦ដោះស្រាយសមីការ.

ដំណោះស្រាយ។ចូរសន្មតថា។ ដោយសារតែ , បន្ទាប់មកសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យយកទម្រង់នៃសមីការការ៉េ, (3)

កន្លែងណា . ចាប់តាំងពីសមីការ (3) មានឫសវិជ្ជមានតែមួយហើយ​បន្ទាប់​មក . ពីទីនេះយើងទទួលបានឫសពីរនៃសមីការដើម៖និង .

ឧទាហរណ៍ ៧ ដោះស្រាយសមីការ. (4)

ដំណោះស្រាយ។ ចាប់តាំងពីសមីការគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការពីរ៖និង , បន្ទាប់មកនៅពេលដោះស្រាយសមីការ (៤) ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាករណីពីរ។

1. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក ឬ .

ពីទីនេះយើងទទួលបាន និង។

2. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក ឬ .

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។

ចម្លើយ៖ , , , ។

ឧទាហរណ៍ ៨ដោះស្រាយសមីការ . (5)

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ពីទីនេះ និងពី Eq. (5) វាធ្វើតាមនោះ ហើយ i.e. នៅទីនេះយើងមានប្រព័ន្ធសមីការ

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រព័ន្ធសមីការនេះមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាទេ។

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។

ឧទាហរណ៍ ៩ ដោះស្រាយសមីការ. (6)

ដំណោះស្រាយ។ប្រសិនបើយើងកំណត់ ហើយពីសមីការ (6) យើងទទួលបាន

ឬ។ (7)

ដោយសារសមីការ (7) មានទម្រង់ សមីការនេះគឺស្មើនឹងវិសមភាព។ ពីទីនេះយើងទទួលបាន។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ 10ដោះស្រាយសមីការ. (8)

ដំណោះស្រាយ។យោងតាមទ្រឹស្តីបទទី១ យើងអាចសរសេរបាន។

(9)

ដោយពិចារណាលើសមីការ (8) យើងសន្និដ្ឋានថាវិសមភាពទាំងពីរ (9) ប្រែទៅជាសមភាពពោលគឺឧ។ មានប្រព័ន្ធសមីការ

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមទ្រឹស្តីបទ 3 ប្រព័ន្ធនៃសមីការខាងលើគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធវិសមភាព

(10)

ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធវិសមភាព (១០) យើងទទួលបាន។ ដោយសារប្រព័ន្ធនៃវិសមភាព (10) ស្មើនឹងសមីការ (8) សមីការដើមមានឫសតែមួយ។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ 11 ។ ដោះស្រាយសមីការ. (11)

ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យ ហើយបន្ទាប់មកសមីការ (11) បង្កប់ន័យសមភាព។

ពីនេះវាធ្វើតាមនោះនិង។ ដូច្នេះ នៅទីនេះយើងមានប្រព័ន្ធវិសមភាព

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាពនេះគឺនិង .

ចម្លើយ៖ , ។

ឧទាហរណ៍ 12 ។ដោះស្រាយសមីការ. (12)

ដំណោះស្រាយ។ សមីការ (12) នឹងត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តនៃការពង្រីកជាបន្តបន្ទាប់នៃម៉ូឌុល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះពិចារណាករណីជាច្រើន។

1. ប្រសិនបើ .

១.១. ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក និង , .

១.២. ប្រសិនបើនោះ . ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូច្នេះនៅក្នុង ករណីនេះសមីការ (១២) មិនមានឫសគល់ទេ។

2. ប្រសិនបើ .

២.១. ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក និង , .

២.២. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និង។

ចម្លើយ៖ , , , , ។

ឧទាហរណ៍ 13ដោះស្រាយសមីការ. (13)

ដំណោះស្រាយ។ដោយសារផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (13) គឺមិនអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក និង . ក្នុងន័យនេះ , និងសមីការ (១៣)

យកទម្រង់ឬ។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ថាសមីការ គឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការពីរនិង , ដំណោះស្រាយដែលយើងទទួលបាន, . ដោយសារតែ , បន្ទាប់មកសមីការ (១៣) មានឫសតែមួយ.

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ 14 ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (14)

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពី និង , បន្ទាប់មក និង . ដូច្នេះ ពីប្រព័ន្ធសមីការ (១៤) យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការចំនួន ៤៖

ឫសគល់នៃប្រព័ន្ធសមីការខាងលើ គឺជាឫសគល់នៃប្រព័ន្ធសមីការ (១៤)។

ចម្លើយ៖ , , , , , , .

ឧទាហរណ៍ ១៥ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (15)

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ក្នុងន័យនេះ ពីប្រព័ន្ធសមីការ (15) យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការពីរ

ឫសគល់នៃប្រព័ន្ធសមីការទីមួយគឺ និង និងពីប្រព័ន្ធទីពីរនៃសមីការយើងទទួលបាន និង .

ចម្លើយ៖ , , , ។

ឧទាហរណ៍ 16 ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (16)

ដំណោះស្រាយ។វាធ្វើតាមសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (16) ដែល .

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក . ពិចារណាសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ដោយសារតែបន្ទាប់មក , ហើយសមីការក្លាយជា, , ឬ .

ប្រសិនបើយើងជំនួសតម្លៃទៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (16)បន្ទាប់មក ឬ .

ចម្លើយ៖ , ។

សម្រាប់ការសិក្សាកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីវិធីសាស្រ្តដោះស្រាយបញ្ហា, ទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ, មានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល, អ្នកអាចណែនាំការបង្រៀនពីបញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានណែនាំ។

1. ការប្រមូលភារកិច្ចក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស / Ed ។ M.I. ស្កែនវី។ - M. : ពិភពលោកនិងការអប់រំ, 2013. - 608 ទំ។

2. Suprun V.P. គណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ៖ ភារកិច្ចបង្កើនភាពស្មុគស្មាញ។ - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 ទំ។

3. Suprun V.P. គណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ៖ វិធីសាស្ត្រមិនស្តង់ដារសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា។ - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 ទំ។

តើអ្នកមានសំណួរទេ?

ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

Tochilkina Julia

ក្រដាសបង្ហាញវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល។

ទាញយក៖

មើលជាមុន៖

ស្ថាប័នអប់រំថវិកាក្រុង

"អនុវិទ្យាល័យលេខ ៥៩"

សមីការម៉ូឌុល

ការងារអរូបី

សម្តែង សិស្សថ្នាក់ទី ៩

MBOU "អនុវិទ្យាល័យលេខ 59", Barnaul

Tochilkina Julia

អ្នកគ្រប់គ្រង

Zakharova Ludmila Vladimirovna,

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា

MBOU "អនុវិទ្យាល័យលេខ 59", Barnaul

Barnaul ឆ្នាំ 2015

សេចក្តីផ្តើម

ខ្ញុំរៀនថ្នាក់ទីប្រាំបួន។ ឆ្នាំសិក្សានេះ ខ្ញុំត្រូវប្រឡងជាប់សញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាទុតិយភូមិ។ ដើម្បីរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង យើងបានទិញបណ្តុំនៃ D.A. Maltsev Mathematics ។ ថ្នាក់ទី 9 រកមើលតាមរយៈបណ្តុំនេះ ខ្ញុំបានរកឃើញសមីការដែលមានមិនត្រឹមតែមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានម៉ូឌុលជាច្រើនផងដែរ។ គ្រូពន្យល់ខ្ញុំ និងមិត្តរួមថ្នាក់របស់ខ្ញុំថា សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការ "ម៉ូឌុលដែលជាប់គ្នា"។ ឈ្មោះនេះហាក់ដូចជាមិនធម្មតាសម្រាប់ពួកយើង ហើយដំណោះស្រាយនៅ glance ដំបូងគឺស្មុគស្មាញជាង។ នេះជារបៀបដែលប្រធានបទសម្រាប់ការងាររបស់ខ្ញុំ "សមីការជាមួយម៉ូឌុល" បានបង្ហាញខ្លួន។ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តសិក្សាប្រធានបទនេះឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅ ជាពិសេសព្រោះវានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់ខ្ញុំនៅពេលប្រឡងជាប់នៅចុងឆ្នាំសិក្សា ហើយខ្ញុំគិតថាខ្ញុំនឹងត្រូវការវានៅថ្នាក់ទី១០ និងទី១១។ ទាំងអស់ខាងលើកំណត់ពីភាពពាក់ព័ន្ធនៃប្រធានបទដែលខ្ញុំបានជ្រើសរើស។

គោលបំណង៖

1. ពិចារណាវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល។
2. រៀនដោះស្រាយសមីការដែលមានសញ្ញានៃតម្លៃដាច់ខាតដោយប្រើវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗ

ដើម្បីធ្វើការលើប្រធានបទ ភារកិច្ចខាងក្រោមត្រូវបានរៀបចំឡើង៖

ភារកិច្ច:

1. ដើម្បីសិក្សាសម្ភារៈទ្រឹស្តីលើប្រធានបទ "ម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត" ។
2. ពិចារណាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ និងបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងដែលទទួលបានដោយការដោះស្រាយបញ្ហា។
3. អនុវត្តចំណេះដឹងដែលទទួលបានក្នុងការដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗដែលមានសញ្ញានៃម៉ូឌុលនៅវិទ្យាល័យ

កម្មវត្ថុនៃការសិក្សា៖វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល

មុខវិជ្ជាសិក្សា៖សមីការម៉ូឌុល

វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ៖

ទ្រឹស្ដី ៖ ការសិក្សាអក្សរសិល្ប៍លើប្រធានបទស្រាវជ្រាវ;

អ៊ីនធឺណិត - ព័ត៌មាន។

ការវិភាគ ព័ត៌មានដែលទទួលបានក្នុងការសិក្សាអក្សរសិល្ប៍; លទ្ធផលដែលទទួលបានដោយការដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុលតាមវិធីផ្សេងៗ។

ការប្រៀបធៀប វិធីនៃការដោះស្រាយសមីការ ប្រធានបទនៃសនិទានភាពនៃការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេក្នុងការដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗជាមួយនឹងម៉ូឌុលមួយ។

“យើង​ចាប់​ផ្តើម​គិត​នៅ​ពេល​យើង​ប៉ះ​ពាល់​អ្វី​មួយ”។ Paul Valerie ។

1. គំនិត និងនិយមន័យ។

គោលគំនិតនៃ "ម៉ូឌុល" ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា ឧទាហរណ៍ ក្នុងការសិក្សាអំពីកំហុសដាច់ខាត និងទាក់ទងនៃចំនួនប្រហាក់ប្រហែល។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ និងរូបវិទ្យា គោលគំនិតនៃវ៉ិចទ័រ និងប្រវែងរបស់វា (ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ) ត្រូវបានសិក្សា។ គោលគំនិតនៃម៉ូឌុលមួយត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្របច្ចេកទេសខ្ពស់ដែលសិក្សានៅក្នុងគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា។

ពាក្យ "ម៉ូឌុល" មកពីពាក្យឡាតាំង "modulus" ដែលមានន័យថា "វាស់" នៅក្នុងការបកប្រែ។ ពាក្យនេះមានអត្ថន័យជាច្រើន ហើយត្រូវបានគេប្រើមិនត្រឹមតែនៅក្នុងគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា និងបច្ចេកវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងស្ថាបត្យកម្ម ការសរសេរកម្មវិធី និងវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដផ្សេងទៀតផងដែរ។

វាត្រូវបានគេជឿថាពាក្យនេះត្រូវបានស្នើឱ្យប្រើដោយ Kots ដែលជាសិស្សរបស់ញូវតុន។ សញ្ញាម៉ូឌុលត្រូវបានណែនាំនៅសតវត្សទី 19 ដោយ Weierstrass ។

នៅក្នុងស្ថាបត្យកម្ម ម៉ូឌុលគឺជាឯកតាដំបូងនៃរង្វាស់ដែលបានបង្កើតឡើងសម្រាប់រចនាសម្ព័ន្ធស្ថាបត្យកម្មដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅក្នុងវិស្វកម្ម នេះគឺជាពាក្យដែលប្រើក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃបច្ចេកវិទ្យា ដែលបម្រើឱ្យការបញ្ជាក់អំពីមេគុណ និងបរិមាណផ្សេងៗ ឧទាហរណ៍ ម៉ូឌុលនៃការបត់បែន ម៉ូឌុលនៃការភ្ជាប់...

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ម៉ូឌុលមួយមានអត្ថន័យជាច្រើន ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងចាត់ទុកវាជាតម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនមួយ។

និយមន័យ ១៖ ម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) នៃចំនួនពិតក លេខខ្លួនឯងត្រូវបានគេហៅថាប្រសិនបើក ≥0 ឬលេខផ្ទុយ -ចុះបើ ក ម៉ូឌុលនៃសូន្យគឺសូន្យ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល វាងាយស្រួលប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ម៉ូឌុល។

ពិចារណាលើភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ 5,6,7 ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 5. សមភាព │ គឺពិតប្រសិនបើ av ≥ 0 ។

ភស្តុតាង។ ជាការពិត បន្ទាប់ពីការបំបែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពនេះ យើងទទួលបាន │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ ទៅ │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b² ពីកន្លែង │ av │ = av

ហើយសមភាពចុងក្រោយនឹងជាការពិតសម្រាប់ av ≥0។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 6. សមភាព │ a-c │=│ a │+│ គ │ ជាការពិតនៅពេលណា av ≤0។

ភស្តុតាង។ ដើម្បីបញ្ជាក់វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងសមភាព

│ a + in │=│ a │+│ ក្នុង │ ជំនួសដោយ - in បន្ទាប់មក a (- in) ≥0, wherece av ≤0។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 7. សមភាព │ a │ + │ ក្នុង │ = a + ក្នុង បានសម្តែងនៅ a ≥0 និង b ≥0 ។

ភស្តុតាង . ពិចារណាករណីបួន a ≥0 និង b ≥0; a ≥0 និង b ក នៅ≥0; ក ក្នុង a ≥0 និង b ≥0 ។

(a-c) ក្នុង ≥0 ។

ការបកស្រាយធរណីមាត្រ

|a| គឺជាចម្ងាយនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេពីចំណុចដែលមានកូអរដោណេក ទៅប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ។

|-a| |a|

ក 0 ក x

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃអត្ថន័យ |a| បញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ថា |-a|=|a|

ប្រសិនបើ ក 0 បន្ទាប់មកនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេមានចំណុចពីរ a និង -a ដែលសមមូលពីសូន្យ ដែលម៉ូឌុលរបស់វាស្មើគ្នា។

ប្រសិនបើ a=0 បន្ទាប់មកនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ |a| តំណាងដោយចំណុច 0 ។

និយមន័យ ២៖ សមីការដែលមានម៉ូឌុលគឺជាសមីការដែលមានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាត (នៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល)។ ឧទាហរណ៍៖ |x +3|=1

និយមន័យ ៣៖ ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​មាន​ន័យ​ថា​ការ​ស្វែង​រក​ឫស​គល់​ទាំង​អស់​របស់​វា ឬ​បញ្ជាក់​ថា​គ្មាន​ឫស។

2. វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយ

ពីនិយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ូឌុល វិធីសាស្ត្រសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុលមានដូចខាងក្រោម៖

1. "ពង្រីក" ម៉ូឌុល (ឧ. ប្រើនិយមន័យ);
2. ការប្រើប្រាស់អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុល (ទ្រព្យសម្បត្តិ 2);
3. វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក;
4. ការប្រើប្រាស់បំប្លែងសមមូល (លក្ខណសម្បត្តិ ៤.៦);
5. ការជំនួសអថេរ (នេះប្រើលក្ខណសម្បត្តិ 5) ។
6. វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល។

ខ្ញុំបានដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួនធំដោយស្មើភាព ប៉ុន្តែនៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំ ខ្ញុំបង្ហាញជូនអ្នកនូវការចាប់អារម្មណ៍តែពីរបីប៉ុណ្ណោះ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ ឧទាហរណ៍ធម្មតាត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីផ្សេងៗ ពីព្រោះនៅសល់ចម្លងគ្នាទៅវិញទៅមក និងដើម្បីយល់ពីរបៀបដោះស្រាយសមីការជាមួយ ម៉ូឌុល មិនចាំបាច់ពិចារណាឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយទាំងអស់នោះទេ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ | f(x)| =ក

ពិចារណាសមីការ | f(x)| = a, និង R

សមីការនៃប្រភេទនេះអាចដោះស្រាយបានដោយកំណត់ម៉ូឌុល៖

ប្រសិនបើ ក ក បន្ទាប់មកសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។

ប្រសិនបើ a = 0 បន្ទាប់មកសមីការគឺស្មើនឹង f(x)=0។

ប្រសិនបើ a> 0, បន្ទាប់មកសមីការគឺស្មើនឹងសំណុំ

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ |3x+2|=4 ។

ដំណោះស្រាយ។

|3x+2|=4 បន្ទាប់មក 3x+2=4,

3x+2= −4;

X=-2,

X = 2/3

ចម្លើយ៖ -២; ២/៣ ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុល។

ឧទាហរណ៍ ១ ដោះស្រាយសមីការ /x-1/+/x-3/=6 ។

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះមានន័យថាត្រូវស្វែងរកចំណុចទាំងអស់នៅលើអ័ក្សលេខ Ox ដែលផលបូកនៃចម្ងាយពីវាទៅចំនុចដែលមានកូអរដោនេ 1 និង 3 គឺស្មើនឹង 6 ។

គ្មានចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ទេ។មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះទេព្រោះ ផលបូកនៃចម្ងាយដែលបានបញ្ជាក់គឺ 2. នៅខាងក្រៅផ្នែកនេះមានពីរចំណុច៖ 5 និង -1 ។

1 1 3 5

ចម្លើយ៖ -១; ៥

ឧទាហរណ៍ ២ ដោះស្រាយសមីការ |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10 ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្គាល់ x 2 + x-5 \u003d a បន្ទាប់មក / a / + / a-4 // ១០. ចូរយើងស្វែងរកចំណុចនៅលើអ័ក្ស x ដែលសម្រាប់ពួកគេនីមួយៗ ផលបូកនៃចម្ងាយទៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេ 0 និង 4 គឺស្មើនឹង 10។ លក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយ -4 និង 7 ។

3 0 4 7

ដូច្នេះ x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 ចម្លើយ៖ -4; -2; មួយ; ៣.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ | f(x)| = | g(x)|

1. តាំងពី | a |=|b|, បើ a=b, បន្ទាប់មកសមីការនៃទម្រង់ | f(x)| = | g(x )| គឺស្មើនឹងចំនួនសរុប

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយសមីការ | x–2| = |3 − x |

ដំណោះស្រាយ។

សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការពីរ៖

x - 2 \u003d 3 - x (1) និង x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - មិនត្រឹមត្រូវ

X = 2.5 សមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ចម្លើយ៖ ២.៥ ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ |x 2 + 3x − 20|= |x 2 −3x+ 2| ។

ដំណោះស្រាយ។

ដោយសារផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការគឺមិនអវិជ្ជមាន ដូច្នេះការ​ការ៉េ​គឺ​ជា​ការ​បំប្លែង​សមមូល៖

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 ឬ 2x 2 −18=0;

X=22/6, x=3, x=-3 ។

X = 11/3

ចម្លើយ៖ -៣; ៣; ១១/៣.

ដំណោះស្រាយនៃសមភាពនៃទិដ្ឋភាព | f(x)| = g(x) ។

ភាពខុសគ្នារវាងសមីការទាំងនេះ និង| f(x)| = ក នៅក្នុងនោះផ្នែកខាងស្តាំក៏ជាអថេរផងដែរ។ ហើយវាអាចមានទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ អ្នក​ត្រូវ​ប្រាកដ​ថា​វា​មិន​អវិជ្ជមាន​ទេ ព្រោះ​ម៉ូឌុល​មិន​អាច​ស្មើ​នឹង​លេខ​អវិជ្ជមាន​បាន​ទេ (property№1 )

1 វិធី

ដំណោះស្រាយសមីការ | f(x)| = g(x ) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនិងពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃវិសមភាព g(x )>0 សម្រាប់តម្លៃដែលបានរកឃើញរបស់មិនស្គាល់។

2 វិធី (តាមនិយមន័យម៉ូឌុល)

តាំងពី | f(x)| = g (x) បើ f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) ប្រសិនបើ f(x)

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ |៣ x −10| = x − ២.

ដំណោះស្រាយ។

សមីការនេះគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រព័ន្ធពីរ៖

O t e t: 3; បួន។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃទម្រង់ |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n(x)|=g(x)

ដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃប្រភេទនេះគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃម៉ូឌុល។ សម្រាប់មុខងារនីមួយៗ f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ ចំណុចសូន្យ និងចំណុចមិនបន្តរបស់វា ដោយបែងចែកដែនទូទៅនៃនិយមន័យទៅជាចន្លោះពេល ដែលមុខងារនីមួយៗ f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) រក្សាសញ្ញារបស់ពួកគេ។ លើសពីនេះទៀត ដោយប្រើនិយមន័យនៃម៉ូឌុល សម្រាប់ផ្នែកនីមួយៗនៃផ្នែកដែលបានរកឃើញ យើងទទួលបានសមីការដែលត្រូវតែដោះស្រាយនៅចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថា "វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល»

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ |x-2|-3|x+4|=1 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរស្វែងរកចំណុចដែលកន្សោមម៉ូឌុលរងស្មើនឹងសូន្យ

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4 ។

ចូរបំបែកបន្ទាត់លេខទៅជាចន្លោះពេល x

ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបី៖

ចម្លើយ៖ -15, -1.8 ។

វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិចសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដែលមានសញ្ញាម៉ូឌុល។

វិធីក្រាហ្វិកនៃការដោះស្រាយសមីការគឺប្រហាក់ប្រហែល ព្រោះភាពត្រឹមត្រូវអាស្រ័យទៅលើផ្នែកឯកតាដែលបានជ្រើសរើស កម្រាស់នៃខ្មៅដៃ មុំដែលបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា។ល។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប៉ាន់ស្មានថាតើមានដំណោះស្រាយប៉ុន្មានដែលសមីការជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការតាមក្រាហ្វិច |x − 2| + |x − ៣| + |2x − 8| = ៩

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ។

y=|x − 2| + |x − ៣| + |2x − 8| និង y=9 ។

ដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វ ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាមុខងារនេះនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ (-∞; 2); [ ៣/២ ; ∞)

ចម្លើយ៖ (-∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

យើងក៏បានប្រើវិធីសាស្រ្តបំប្លែងសមមូលក្នុងការដោះស្រាយសមីការ | f(x)| = | g(x)|

សមីការជាមួយ "ម៉ូឌុលស្មុគស្មាញ"

ប្រភេទមួយទៀតនៃសមីការគឺសមីការដែលមានម៉ូឌុល "ស្មុគស្មាញ" ។ សមីការបែបនេះរួមមានសមីការដែលមាន "ម៉ូឌុលនៅក្នុងម៉ូឌុលមួយ" ។ សមីការនៃប្រភេទនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ ||||x| – |–2| –1| –2| = ២.

ដំណោះស្រាយ។

តាមនិយមន័យនៃម៉ូឌុលយើងមាន៖

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការទីមួយ។

1. ||| x |–2| –1| = ៤

| x | - 2 = 5;

| x | = ៧;

x = ៧.

តោះដោះស្រាយសមីការទីពីរ។

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 និង | x | = 1,

x = 3; x = ១.

O n e t: 1; ៣; ៧.

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ |2 – |x + 1|| = ៣.

ដំណោះស្រាយ។

ចូរដោះស្រាយសមីការដោយណែនាំអថេរថ្មីមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យ | x + 1| = y បន្ទាប់មក |2 – y | = 3 ដូច្នេះ

ចូរ​ធ្វើ​ការ​ជំនួស​បញ្ច្រាស៖

(1) | x + ១| = -1 - គ្មានដំណោះស្រាយ។

(2) | x + 1| = ៥

A n e t: -6; បួន។

ឧទាហរណ៍ ៣.

តើសមីការមានឫសប៉ុន្មាន | ២ | x | -៦ | = 5 − x ?

ដំណោះស្រាយ។ ចូរដោះស្រាយសមីការដោយប្រើគ្រោងការណ៍សមមូល។

សមីការ | ២ | x | -៦ | = 5 -x គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ៖

ម៉ូឌុលគឺជាតម្លៃដាច់ខាតនៃកន្សោម។ យ៉ាងហោចណាស់ដើម្បីចាត់តាំងម៉ូឌុលណាមួយ វាជាទម្លាប់ក្នុងការប្រើតង្កៀបត្រង់។ តម្លៃដែលត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបគូគឺជាតម្លៃដែលត្រូវបានយកម៉ូឌុល។ ដំណើរការនៃការដោះស្រាយម៉ូឌុលណាមួយមាននៅក្នុងការបើកតង្កៀបផ្ទាល់ដូចគ្នាទាំងនោះដែលត្រូវបានគេហៅថាតង្កៀបម៉ូឌុលនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា។ ការបង្ហាញរបស់ពួកគេកើតឡើងយោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន។ ដូចគ្នានេះផងដែរនៅក្នុងលំដាប់នៃដំណោះស្រាយម៉ូឌុលក៏មានសំណុំនៃតម្លៃនៃកន្សោមទាំងនោះដែលមាននៅក្នុងតង្កៀបម៉ូឌុល។ ក្នុងករណីភាគច្រើន ម៉ូឌុលត្រូវបានពង្រីកតាមរបៀបដែលកន្សោមដែលជាម៉ូឌុលរងទទួលបានទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន រួមទាំងតម្លៃសូន្យ។ ប្រសិនបើយើងចាប់ផ្តើមពីលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបង្កើតឡើងនៃម៉ូឌុល នោះនៅក្នុងដំណើរការសមីការ ឬវិសមភាពផ្សេងៗពីកន្សោមដើមត្រូវបានចងក្រង ដែលបន្ទាប់មកចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដោះស្រាយម៉ូឌុល។

ដំណើរការដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយនៃម៉ូឌុលចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការសរសេរសមីការដើមជាមួយនឹងម៉ូឌុល។ ដើម្បីឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល អ្នកត្រូវបើកវាទាំងស្រុង។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ ម៉ូឌុលត្រូវបានពង្រីក។ កន្សោមម៉ូឌុលទាំងអស់ត្រូវតែយកមកពិចារណា។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់តម្លៃនៃបរិមាណដែលមិនស្គាល់រួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមាសភាពរបស់វាកន្សោមម៉ូឌុលនៅក្នុងតង្កៀបបាត់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការសមីការកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបម៉ូឌុលទៅសូន្យ ហើយបន្ទាប់មកគណនាដំណោះស្រាយនៃសមីការលទ្ធផល។ តម្លៃដែលបានរកឃើញត្រូវតែកត់ត្រា។ ដូចគ្នាដែរ វាក៏ចាំបាច់ក្នុងការកំណត់តម្លៃនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់សម្រាប់ម៉ូឌុលទាំងអស់នៅក្នុងសមីការនេះ។ បន្ទាប់មកទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយជាមួយនឹងនិយមន័យ និងការពិចារណាលើករណីទាំងអស់នៃអត្ថិភាពនៃអថេរនៅក្នុងកន្សោម នៅពេលដែលវាខុសពីតម្លៃសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវសរសេរប្រព័ន្ធវិសមភាពមួយចំនួនដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ូឌុលទាំងអស់នៅក្នុងវិសមភាពដើម។ វិសមភាពត្រូវតែត្រូវបានគូរឡើង ដើម្បីឱ្យពួកគេគ្របដណ្តប់តម្លៃដែលមាន និងអាចធ្វើទៅបានទាំងអស់សម្រាប់អថេរដែលត្រូវបានរកឃើញនៅលើបន្ទាត់លេខ។ បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគូរសម្រាប់ការមើលឃើញបន្ទាត់លេខដូចគ្នានេះ ដែលត្រូវដាក់តម្លៃដែលទទួលបានទាំងអស់នាពេលអនាគត។

ឥឡូវនេះ អ្វីៗស្ទើរតែទាំងអស់អាចធ្វើបានតាមអ៊ីនធឺណិត។ ម៉ូឌុលមិនមានករណីលើកលែងចំពោះច្បាប់ទេ។ អ្នកអាចដោះស្រាយវាតាមអ៊ីនធឺណិតលើធនធានទំនើបមួយក្នុងចំណោមធនធានទំនើបៗជាច្រើន។ តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរដែលមាននៅក្នុងម៉ូឌុលសូន្យនឹងជាឧបសគ្គពិសេសដែលនឹងត្រូវបានប្រើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការម៉ូឌុល។ នៅក្នុងសមីការដើម វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពង្រីកតង្កៀបម៉ូឌុលដែលមានទាំងអស់ ខណៈពេលដែលការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃកន្សោម ដូច្នេះតម្លៃនៃអថេរដែលចង់បានស្របគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃទាំងនោះដែលអាចមើលឃើញនៅលើបន្ទាត់លេខ។ សមីការលទ្ធផលត្រូវតែដោះស្រាយ។ តម្លៃនៃអថេរដែលនឹងត្រូវបានទទួលក្នុងវគ្គនៃការដោះស្រាយសមីការ ត្រូវតែពិនិត្យប្រឆាំងនឹងការរឹតបន្តឹងដែលត្រូវបានកំណត់ដោយម៉ូឌុលខ្លួនឯង។ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអថេរបំពេញលក្ខខណ្ឌយ៉ាងពេញលេញ នោះវាត្រឹមត្រូវ។ ឫសគល់ទាំងអស់ដែលនឹងទទួលបានក្នុងដំណើរនៃការដោះស្រាយសមីការ ប៉ុន្តែនឹងមិនសមនឹងឧបសគ្គនោះ ត្រូវតែបោះបង់ចោល។

ការគណនាគណិតវិទ្យាតាមអ៊ីនធឺណិតនេះនឹងជួយអ្នក។ ដោះស្រាយសមីការ ឬវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល. កម្មវិធីសម្រាប់ ដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុលមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ វានាំអោយ ដំណោះស្រាយលម្អិតជាមួយនឹងការពន្យល់, i.e. បង្ហាញដំណើរការនៃការទទួលបានលទ្ធផល។

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡង នៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡង Unified State សម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកដើម្បីជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលដោយខ្លួនឯង និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលរបស់បងប្អូនប្រុសស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យការងារដែលត្រូវដោះស្រាយត្រូវបានកើនឡើង។

|x| ឬ abs(x) - ម៉ូឌុល x

បញ្ចូលសមីការ ឬវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល

ដោះស្រាយសមីការ ឬវិសមភាព

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការនេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

អ្នកបានបិទ JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
JavaScript ត្រូវតែបើកដំណើរការដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង។
នេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនដែលចង់ដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
បន្ទាប់ពីពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូម​មេត្តា​រង់ចាំ វិ...

ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីវានៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញកិច្ចការណាមួយ។អ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីបន្តិច។

សមីការ និងវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល

នៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលាមូលដ្ឋាន អ្នកអាចជួបសមីការ និងវិសមភាពសាមញ្ញបំផុតជាមួយនឹងម៉ូឌុល។ ដើម្បីដោះស្រាយពួកវា អ្នកអាចអនុវត្តវិធីសាស្ត្រធរណីមាត្រដោយផ្អែកលើការពិតដែលថា \(|x-a| \) គឺជាចម្ងាយនៅលើបន្ទាត់លេខរវាងចំនុច x និង a: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \) ឧទាហរណ៍ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ \(|x-3|=2\) អ្នកត្រូវស្វែងរកចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខដែលមានចំងាយ 2 ពីចំណុច 3។ មានចំណុចពីរបែបនេះ៖ \(x_1=1 \\) និង \\(x_2=5 \\) ។

ការដោះស្រាយវិសមភាព \(|2x+7|

ប៉ុន្តែវិធីចម្បងដើម្បីដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុលគឺទាក់ទងទៅនឹងអ្វីដែលគេហៅថា "ការពង្រីកម៉ូឌុលតាមនិយមន័យ"៖
ប្រសិនបើ \(a \geq 0 \) បន្ទាប់មក \(|a|=a \);
ប្រសិនបើ \(a តាមក្បួនមួយ សមីការ (វិសមភាព) ដែលមានម៉ូឌុលកាត់បន្ថយទៅជាសំណុំនៃសមីការ (វិសមភាព) ដែលមិនមានសញ្ញានៃម៉ូឌុល។

បន្ថែមពីលើនិយមន័យខាងលើ ការអះអាងខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖
១) ប្រសិនបើ \(c> 0 \) នោះសមីការ \(|f(x)|=c \\) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ៖ \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) ប្រសិនបើ \(c> 0 \) នោះវិសមភាព \(|f(x)| 3) ប្រសិនបើ \(c \geq 0 \) នោះវិសមភាព \(|f(x)|> c \) គឺ ស្មើនឹងសំណុំនៃវិសមភាព៖ \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right។\)
4) ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព \(f(x)) ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \) ។

ប្រសិនបើ \(x-1 \geq 0 \) បន្ទាប់មក \(|x-1| = x-1 \) ហើយសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យក្លាយជា
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \) ។
ប្រសិនបើ \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) ។
ដូច្នេះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគួរតែត្រូវបានពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានៅក្នុងករណីនីមួយៗដែលបានចង្អុលបង្ហាញទាំងពីរ។
1) អនុញ្ញាតឱ្យ \(x-1 \geq 0 \), i.e. \\ (x \\ geq ១ \\) ។ ពីសមីការ \(x^2 + 2x -8 = 0 \) យើងរកឃើញ \(x_1=2, \; x_2=-4\) ។ លក្ខខណ្ឌ \(x \geq 1 \) ត្រូវបានពេញចិត្តដោយតម្លៃ \(x_1=2\) ប៉ុណ្ណោះ។
2) អនុញ្ញាតឱ្យ \(x-1 ចម្លើយ៖ \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \) ។

វិធីទីមួយ(ការពង្រីកម៉ូឌុលតាមនិយមន័យ) ។
ការជជែកវែកញែកដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 យើងសន្និដ្ឋានថាសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវតែត្រូវបានពិចារណាដោយឡែកពីគ្នាក្រោមលក្ខខណ្ឌពីរ៖ \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ឬ \(x^2-6x+7

1) ប្រសិនបើ \(x^2-6x+7 \geq 0 \) បន្ទាប់មក \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ហើយសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យក្លាយជា \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \)។ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េនេះ យើងទទួលបាន៖ \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \)។
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើតម្លៃ \(x_1=6 \) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសតម្លៃដែលបានចង្អុលបង្ហាញទៅជាវិសមភាពការ៉េ។ យើងទទួលបាន៖ \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0\), i.e. \(7 \geq 0 \) គឺជាវិសមភាពត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះ \(x_1=6 \) គឺជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើតម្លៃ \(x_2=\frac(5)(3) \) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសតម្លៃដែលបានចង្អុលបង្ហាញទៅជាវិសមភាពការ៉េ។ យើងទទួលបាន៖ \(\left(\frac(5)(3)\right)^2 -\frac(5)(3)\cdot 6+7 \geq 0\), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) គឺជាវិសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះ \(x_2=\frac(5)(3)\) មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ។

២) ប្រសិនបើ \(x^2-6x+7 តម្លៃ \(x_3=3\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(x^2-6x+7 តម្លៃ \(x_4=\frac(4)(3) \) ធ្វើ មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ \(x^2-6x+7 ដូច្នេះ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសពីរ៖ \(x=6, \; x=3 \\) ។

វិធីទីពីរ។ផ្តល់សមីការ \(|f(x)|= h(x) \) បន្ទាប់មកសម្រាប់ \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7=\frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right។\)
សមីការទាំងពីរនេះត្រូវបានដោះស្រាយខាងលើ (ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តដំបូងនៃការដោះស្រាយសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ឫសរបស់ពួកគេមានដូចខាងក្រោម៖ \(6,\; \frac(5)(3),\;3,\; \frac(4 ) (៣) \\) ។ លក្ខខណ្ឌ \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) នៃតម្លៃទាំងបួននេះត្រូវបានពេញចិត្តត្រឹមតែពីរ៖ 6 និង 3។ ដូច្នេះហើយ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសពីរ៖ \(x=6, \\ x = ៣ \\) ។

វិធីទីបី(ក្រាហ្វិក) ។
1) ចូរយើងកំណត់មុខងារ \(y = |x^2-6x+7| \) ។ ដំបូងយើងបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡា \(y = x^2-6x+7\) ។ យើងមាន \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \\) ។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(y = (x-3)^2-2 \\) អាចទទួលបានពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(y = x^2 \\) ដោយផ្លាស់ប្តូរវា 3 ខ្នាតមាត្រដ្ឋានទៅខាងស្តាំ (នៅលើ x-axis) និង 2 ខ្នាតមាត្រដ្ឋានចុះក្រោម (តាមអ័ក្ស y)។ បន្ទាត់ត្រង់ x=3 គឺជាអ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលយើងចាប់អារម្មណ៍។ ក្នុងនាមជាចំណុចត្រួតពិនិត្យសម្រាប់ការគូសវាសកាន់តែត្រឹមត្រូវ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយកចំណុច (3; -2) - កំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡា ចំណុច (0; 7) និងចំណុច (6; 7) ស៊ីមេទ្រីទៅវាទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស នៃប៉ារ៉ាបូឡា។
ដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(y = |x^2-6x+7| \) អ្នកត្រូវទុកផ្នែកទាំងនោះនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលបានសាងសង់ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរដែលមិនស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x ហើយឆ្លុះផ្នែកនៃ ប៉ារ៉ាបូឡាដែលស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x អំពីអ័ក្ស x ។
2) ចូរយើងរៀបចំអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ \(y = \frac(5x-9)(3)\) ។ វាងាយស្រួលក្នុងការយកពិន្ទុ (0; –3) និង (3; 2) ជាចំណុចត្រួតពិនិត្យ។

វាចាំបាច់ណាស់ដែលចំនុច x = 1.8 នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស abscissa មានទីតាំងនៅខាងស្តាំនៃចំនុចប្រសព្វខាងឆ្វេងនៃ parabola ជាមួយអ័ក្ស abscissa - នេះគឺជាចំនុច \(x=3-\sqrt (2) \) (ព្រោះ \(3-\sqrt(2) 3) វិនិច្ឆ័យដោយគំនូរ ក្រាហ្វប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ - A (3; 2) និង B (6; 7) ។ ការជំនួស abscissas នៃចំណុចទាំងនេះ x \u003d 3 និង x \u003d 6 ក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងប្រាកដថាតម្លៃទាំងពីរផ្សេងទៀតផ្តល់នូវសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះសម្មតិកម្មរបស់យើងត្រូវបានបញ្ជាក់ - សមីការមានឫសពីរ៖ x \u003d 3 និង x \u003d 6 ។ ចម្លើយ៖ ៣; ៦.

មតិយោបល់. វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកសម្រាប់ភាពឆើតឆាយរបស់វាគឺមិនគួរឱ្យទុកចិត្តខ្លាំងណាស់។ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាដំណើរការតែដោយសារឫសនៃសមីការគឺជាចំនួនគត់។

ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ \(|2x-4|+|x+3|=8 \)

វិធីទីមួយ
កន្សោម 2x–4 ក្លាយជា 0 នៅចំណុច x = 2 ហើយកន្សោម x + 3 នៅចំណុច x = –3 ។ ចំណុចទាំងពីរនេះបែងចែកបន្ទាត់លេខជាបីចន្លោះ៖ \(x

ពិចារណាចន្លោះពេលដំបូង៖ \((-\infty; \; -3) \\) ។
ប្រសិនបើ x ពិចារណាចន្លោះពេលទីពីរ៖ \([-3; \; 2) \) ។
ប្រសិនបើ \(-3 \leq x ពិចារណាចន្លោះពេលទីបី៖ \( ចម្លើយ៖ ប្រវែងនៃគម្លាតគឺ 6 ។№3 . ដោះស្រាយសមីការ ក្នុងចំលើយបង្ហាញពីចំនួននៃដំណោះស្រាយចំនួនគត់៖ │2 + x − x 2 │ = 2 + x − x 2 2 + x − x 2 ≥ 0 x 2 − x − 2 ≤ 0 [ − 1 ; 2] ចម្លើយ៖ ៤ ដំណោះស្រាយទាំងមូល។№4 . ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីឫសធំបំផុត៖
│4 - x -
│ = 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

ចម្លើយ៖ x = ៣.

លំហាត់៖ №12. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីឫសទាំងមូល៖ │x 2 + 6x + 8 │ = x 2 + 6x + 8 №13. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីចំនួននៃដំណោះស្រាយចំនួនគត់៖ │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីចំនួនគត់ដែលមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការ៖

ផ្នែកទី 5. សមីការនៃទម្រង់ │F(x)│= │G(x)│

ដោយសារផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការគឺមិនអវិជ្ជមាន ដំណោះស្រាយពាក់ព័ន្ធនឹងការពិចារណាលើករណីពីរ៖ កន្សោម submodular គឺស្មើគ្នា ឬផ្ទុយគ្នានៅក្នុងសញ្ញា។ ដូច្នេះសមីការដើមគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការពីរ៖ │ ច(x)│= │ ជី(x)│
ឧទាហរណ៍: №1. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីឫសទាំងមូល៖ │x + 3│ \u003d │2x - 1│
ចម្លើយ៖ ចំនួនគត់ root x = 4 ។№2. ដោះស្រាយសមីការ៖ │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
ចម្លើយ៖ x = ២.№3 . ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីផលនៃឫស៖




ឫសគល់នៃសមីការ 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 ចម្លើយ៖ ផលិតផលឫសគឺ ០.២៥ ។ លំហាត់៖ №15 . ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីដំណោះស្រាយទាំងមូល៖ │x 2 - 3x + 2│= │x 2 + 6x - 1│ №16. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីឫសតូច៖ │5x - 3│=│7 - x│ №17 . ដោះស្រាយសមីការ ក្នុងចម្លើយសរសេរផលបូកនៃឫស៖

ផ្នែកទី 6. ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការមិនស្តង់ដារ

នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃសមីការមិនស្តង់ដារ នៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃការបញ្ចេញមតិត្រូវបានបង្ហាញតាមនិយមន័យ។ ឧទាហរណ៍:

№1. ដោះស្រាយសមីការ ក្នុងចម្លើយបង្ហាញពីផលបូកនៃឫស៖ x │x│- 5x - 6 \u003d 0
ចម្លើយ៖ ផលបូកនៃឫសគឺ ១ №2. . ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីឫសតូចជាង៖ x 2 - 4x
- 5 = 0
ចម្លើយ៖ ឫសតូច x = − ៥ ។ №3. ដោះស្រាយសមីការ៖

ចម្លើយ៖ x = −1 ។ លំហាត់៖ №18. ដោះស្រាយសមីការ ហើយសរសេរផលបូកនៃឫស៖ x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. ដោះស្រាយសមីការ៖ x 2 - 3x \u003d

№20. ដោះស្រាយសមីការ៖

ផ្នែកទី 7. សមីការនៃទម្រង់ │F(x)│+│G(x)│=0

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រភេទនេះ ផលបូកនៃបរិមាណមិនអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ សមីការដើមមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពាក្យទាំងពីរក្នុងពេលដំណាលគ្នាស្មើនឹងសូន្យ។ សមីការគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធសមីការ៖ │ ច(x)│+│ ជី(x)│=0
ឧទាហរណ៍: №1 . ដោះស្រាយសមីការ៖
ចម្លើយ៖ x = ២. №2. ដោះស្រាយសមីការ៖ ចម្លើយ៖ x = ១. លំហាត់៖ №21. ដោះស្រាយសមីការ៖ №22 . ដោះស្រាយសមីការ ក្នុងចម្លើយសរសេរផលបូកនៃឫស៖ №23 . ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីចំនួននៃដំណោះស្រាយ៖

ផ្នែកទី 8. សមីការនៃទម្រង់

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទនេះ វិធីសាស្ត្រនៃចន្លោះពេលត្រូវបានប្រើ។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយការពង្រីកជាបន្តបន្ទាប់នៃម៉ូឌុល នោះយើងទទួលបាន នសំណុំនៃប្រព័ន្ធ ដែលស្មុគស្មាញ និងរអាក់រអួល។ ពិចារណាអំពីក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល៖ ១). ស្វែងរកតម្លៃអថេរ Xដែលម៉ូឌុលនីមួយៗស្មើនឹងសូន្យ (សូន្យនៃកន្សោមម៉ូឌុលរង)៖
២). តម្លៃ​ដែល​បាន​រក​ឃើញ​ត្រូវ​បាន​សម្គាល់​លើ​បន្ទាត់​លេខ​ដែល​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ចន្លោះ​ពេល (ចំនួន​ចន្លោះ​ពេល​រៀង​គ្នា​គឺ​ស្មើ​នឹង ន+1 ) ៣). កំណត់ជាមួយនឹងសញ្ញាណាមួយដែលម៉ូឌុលនីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញនៅចន្លោះពេលនីមួយៗដែលទទួលបាន (នៅពេលបង្កើតដំណោះស្រាយអ្នកអាចប្រើបន្ទាត់លេខសម្គាល់សញ្ញានៅលើវា) 4). សមីការដើមគឺស្មើនឹងសំណុំ ន+1 ប្រព័ន្ធនីមួយៗ ដែលសមាជិកភាពនៃអថេរត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ Xចន្លោះពេលមួយ។ ឧទាហរណ៍: №1 . ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីឫសធំបំផុត៖
មួយ) ចូរយើងស្វែងរកលេខសូន្យនៃកន្សោមម៉ូឌុលរង៖ x = 2; x = −3 ២). យើងសម្គាល់តម្លៃដែលបានរកឃើញនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយកំណត់ជាមួយនឹងសញ្ញាអ្វីដែលម៉ូឌុលនីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញនៅលើចន្លោះពេលដែលទទួលបាន៖
x – 2 x – 2 x – 2 – - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- គ្មានដំណោះស្រាយ សមីការមានឫសពីរ។ ចម្លើយ៖ ឫសធំបំផុតគឺ x = 2 ។ №2. ដោះស្រាយសមីការ សរសេរឫសទាំងមូលនៅក្នុងចម្លើយ៖
មួយ) ចូររកលេខសូន្យនៃកន្សោមម៉ូឌុល៖ x = 1.5; x = − 1 2). យើងសម្គាល់តម្លៃដែលបានរកឃើញនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយកំណត់ជាមួយនឹងសញ្ញាអ្វីដែលម៉ូឌុលនីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញនៅលើចន្លោះពេលដែលទទួលបាន៖ x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1.5 х 2х − 3 2х − 3 2х − 3 - - +
3).
ប្រព័ន្ធចុងក្រោយមិនមានដំណោះស្រាយទេ ដូច្នេះសមីការមានឫសពីរ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការ អ្នកគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើសញ្ញា "-" នៅពីមុខម៉ូឌុលទីពីរ។ ចម្លើយ៖ ចំនួនគត់ root x = 7 ។ №3. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីផលបូកនៃឫស៖ ១). ចូរយើងស្វែងរកលេខសូន្យនៃកន្សោមម៉ូឌុល៖ x = 5; x = 1; x = − 2 ២). យើងសម្គាល់តម្លៃដែលបានរកឃើញនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយកំណត់ជាមួយនឹងសញ្ញាអ្វីដែលម៉ូឌុលនីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញនៅលើចន្លោះពេលដែលទទួលបាន៖ x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
−2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 – − + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
សមីការមានឫសពីរ x = 0 និង 2 ។ ចម្លើយ៖ ផលបូកនៃឫសគឺ ២. №4 . ដោះស្រាយសមីការ៖ ១). ចូរយើងស្វែងរកលេខសូន្យនៃកន្សោមម៉ូឌុល៖ x = 1; x = 2; x = 3. 2). អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់សញ្ញាដែលម៉ូឌុលនីមួយៗត្រូវបានពង្រីកនៅលើចន្លោះពេលដែលទទួលបាន។ ៣).
យើងរួមបញ្ចូលគ្នានូវដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបីដំបូង។ ចម្លើយ៖ ; x = ៥.
លំហាត់៖ №24. ដោះស្រាយសមីការ៖
№25. ដោះស្រាយសមីការ ក្នុងចម្លើយសរសេរផលបូកនៃឫស៖ №26. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីឫសតូចជាង៖ №27. ដោះស្រាយសមីការ ផ្តល់ឫសធំនៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក៖

ផ្នែកទី 9. សមីការដែលមានម៉ូឌុលច្រើន។

សមីការដែលមានម៉ូឌុលច្រើនសន្មតថាវត្តមាននៃតម្លៃដាច់ខាតនៅក្នុងកន្សោមម៉ូឌុលរង។ គោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃការដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទនេះគឺការបង្ហាញជាបន្តបន្ទាប់នៃម៉ូឌុលដោយចាប់ផ្តើមជាមួយ "ខាងក្រៅ" ។ នៅក្នុងវគ្គនៃដំណោះស្រាយ បច្ចេកទេសដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកលេខ 1 លេខ 3 ត្រូវបានគេប្រើ។

ឧទាហរណ៍: №1. ដោះស្រាយសមីការ៖
ចម្លើយ៖ x = 1; - ដប់មួយ №2. ដោះស្រាយសមីការ៖
ចម្លើយ៖ x = 0; បួន; - បួន។ №3. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីផលនៃឫស៖
ចំលើយ៖ ផលិតផលឫសគឺ ៨. №4. ដោះស្រាយសមីការ៖
សម្គាល់សមីការប្រជាជន (1) និង (2) ហើយពិចារណាដំណោះស្រាយនៃពួកវានីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នាសម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការរចនា។ ដោយសារសមីការទាំងពីរមានម៉ូឌុលច្រើនជាងមួយ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរសមមូលទៅសំណុំនៃប្រព័ន្ធ។ (1)

(2)


ចម្លើយ៖
លំហាត់៖ №36. ដោះស្រាយសមីការ ក្នុងចម្លើយបង្ហាញពីផលបូកនៃឫស៖ 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. ដោះស្រាយសមីការប្រសិនបើមានឫសច្រើនជាងមួយ ក្នុងចម្លើយបង្ហាញពីផលបូកនៃឫស៖ │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. ដោះស្រាយសមីការ៖ 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីចំនួនឫសសម្រាប់៖ 2 │ sin x │ = √2 №40 . ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីចំនួនឫស៖

ផ្នែកទី 3. សមីការលោការីត។

មុននឹងដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត និងអនុគមន៍លោការីត។ ឧទាហរណ៍: №1. ដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងចម្លើយបង្ហាញពីផលិតផលនៃឫស៖ កំណត់ហេតុ 2 (x + 1) 2 + កំណត់ហេតុ 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ − 1

ករណីទី 1៖ ប្រសិនបើ x ≥ − 1 បន្ទាប់មក log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – បំពេញលក្ខខណ្ឌ x ≥ − 1 2 ករណី៖ ប្រសិនបើ x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 កំណត់ហេតុ 2 (-(x+1) 3) = កំណត់ហេតុ 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = − 5– បំពេញលក្ខខណ្ឌ x - 1
ចំលើយ៖ ផលិតផលឫសគឺ ១៥.
№2. ដោះស្រាយសមីការ ចម្លើយបង្ហាញពីផលបូកនៃឫស៖ lg
O.D.Z.

ចម្លើយ៖ ផលបូកនៃឫសគឺ ០.៥។
№3. ដោះស្រាយសមីការ៖ កំណត់ហេតុ ៥
O.D.Z.

ចម្លើយ៖ x = ៩ ។ №4. ដោះស្រាយសមីការ៖ │2 + log 0.2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 ចូរយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត។ │2 - កំណត់ហេតុ 5 x│+ 3 = │1 + កំណត់ហេតុ 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= − 3 ចូររកលេខសូន្យនៃកន្សោមម៉ូឌុល៖ x = 25; x \u003d លេខទាំងនេះបែងចែកតំបន់នៃតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបានទៅជាបីចន្លោះ ដូច្នេះសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនសរុបនៃប្រព័ន្ធទាំងបី។
ចម្លើយ :)