ពិចារណាពីបន្ទាត់រាងចតុកោណកែងដែលចងដោយអ័ក្សអុក ខ្សែកោង y \u003d f (x) និងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ៖ x \u003d a និង x \u003d b (រូបភាព 85) ។ យកតម្លៃបំពាននៃ x (មិនមែន a និងមិនមែន b) ។ ចូរយើងផ្តល់ឱ្យវានូវការកើនឡើង h = dx ហើយពិចារណាបន្ទះដែលចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ AB និង CD ដោយអ័ក្សអុក និងដោយធ្នូ BD ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ខ្សែកោងដែលកំពុងពិចារណា។ បន្ទះនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាបន្ទះបឋម។ តំបន់នៃបន្ទះបឋមខុសពីតំបន់នៃចតុកោណកែង ACQB ដោយត្រីកោណកោង BQD ហើយផ្ទៃដីនៃចតុកោណកែង BQDM ដែលមានជ្រុង BQ = =h= dx) QD=Ay និងតំបន់ស្មើនឹង hAy=Ay dx។ នៅពេលដែលផ្នែក h ថយចុះ ចំហៀង Du ក៏ថយចុះ ហើយក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយ h មានទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះតំបន់នៃ BQDM គឺគ្មានដែនកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរ។ ផ្ទៃ​នៃ​បន្ទះ​បឋម​គឺ​ជា​ការ​បង្កើន​ផ្ទៃ ហើយ​ផ្ទៃ​នៃ​ចតុកោណកែង ACQB ស្មើ​នឹង AB-AC==/(x) dx> ជា​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល​ផ្ទៃ។ ដូច្នេះហើយ យើងរកឃើញតំបន់ដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ដោយការរួមបញ្ចូលឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វា។ នៅក្នុងដែនកំណត់នៃតួលេខដែលកំពុងពិចារណា អថេរឯករាជ្យ l: ផ្លាស់ប្តូរពី a ទៅ b ដូច្នេះតំបន់ដែលត្រូវការ 5 នឹងស្មើនឹង 5= \\ f (x) dx ។ (I) ឧទាហរណ៍ 1. គណនាផ្ទៃដែលចងដោយប៉ារ៉ាបូឡា y - 1 -x * បន្ទាត់ត្រង់ X \u003d - Fj-, x \u003d 1 និងអ័ក្ស O * (រូបភាព 86) ។ នៅរូបភព។ 87. រូបភព។ 86. 1 នៅទីនេះ f(x) = 1 - l?, ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល a = - និង t = 1 ដូច្នេះ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* ឧទាហរណ៍ 2. គណនាផ្ទៃដែលជាប់នឹងប្រហោងឆ្អឹង y = sinXy អ័ក្សអុក និងបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាព ៨៧)។ ការអនុវត្តរូបមន្ត (I) យើងទទួលបាន L 2 S = J sinxdx= [-cos x] Q = 0 -(-1) = lf ជាមួយអ័ក្សអុក (ឧទាហរណ៍ រវាងប្រភពដើម និងចំណុចជាមួយ abscissa i)។ ចំណាំថាពីការពិចារណាធរណីមាត្រវាច្បាស់ណាស់ថាតំបន់នេះនឹងមានពីរដងនៃផ្ទៃដីនៃឧទាហរណ៍មុន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងធ្វើការគណនា៖ i 5= | s \nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o ជាការពិត ការសន្មត់របស់យើងបានប្រែទៅជាយុត្តិធម៌។ ឧទាហរណ៍ទី 4. គណនាផ្ទៃដែលចងដោយ sinusoid និងអ័ក្ស ^ Ox នៅលើរយៈពេលមួយ (រូបភាព 88) ។ ការវិនិច្ឆ័យបឋម ras-figure បង្ហាញថាតំបន់នឹងប្រែជាធំជាង pr. 4 ដង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បន្ទាប់ពីធ្វើការគណនា យើងទទួលបាន “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. លទ្ធផលនេះតម្រូវឱ្យមានការបញ្ជាក់។ ដើម្បីបញ្ជាក់ខ្លឹមសារនៃបញ្ហា យើងក៏គណនាផ្ទៃដីដែលជាប់នឹង sinusoid ដូចគ្នា \u003d sin l: និងអ័ក្ស Ox ចាប់ពី l ដល់ 2n ។ ការអនុវត្តរូបមន្ត (I) យើងទទួលបាន ដូច្នេះហើយ យើងឃើញថាតំបន់នេះប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ការប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងផ្ទៃដែលបានគណនាក្នុង Ex. 3 យើងឃើញថាតម្លៃដាច់ខាតរបស់វាដូចគ្នា ប៉ុន្តែសញ្ញាគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិ V (សូមមើល Ch. XI, § 4) នោះយើងទទួលបានដោយចៃដន្យ។ តែងតែជាផ្ទៃខាងក្រោមអ័ក្ស x ផ្តល់ថាការផ្លាស់ប្តូរអថេរឯករាជ្យពីឆ្វេងទៅស្តាំត្រូវបានទទួលដោយការគណនាដោយប្រើអាំងតេក្រាលអវិជ្ជមាន។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានេះ យើងនឹងពិចារណាលើផ្នែកដែលមិនបានចុះហត្ថលេខា។ ដូច្នេះ ចំលើយក្នុងឧទាហរណ៍ដែលទើបតែវិភាគនឹងមានដូចខាងក្រោម៖ ផ្ទៃដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង 2 + |-2| = 4. ឧទាហរណ៍ 5. ចូរយើងគណនាផ្ទៃនៃ BAB ដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ 89. តំបន់នេះត្រូវបានកំណត់ដោយអ័ក្ស Ox ប៉ារ៉ាបូឡា y = − xr និងបន្ទាត់ត្រង់ y − = -x + \\ ។ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid តំបន់ដែលស្វែងរក OAB មានពីរផ្នែកគឺ OAM និង MAB ។ ដោយសារចំនុច A គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់ត្រង់ យើងនឹងរកឃើញកូអរដោនេរបស់វាដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ 3 2 Y \u003d mx ។ (យើងគ្រាន់តែត្រូវការស្វែងរក abscissa នៃចំណុច A) ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធ យើងរកឃើញ l; =~។ ដូច្នេះតំបន់ត្រូវតែត្រូវបានគណនាជាផ្នែក ៗ ដំបូង pl ។ OAM ហើយបន្ទាប់មក pl ។ MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y ២. QAM-^x (មូលដ្ឋាននៃ curvilinear trapezoid) ទៅជា n ផ្នែកស្មើគ្នា; ភាគថាសនេះគឺអាចធ្វើទៅបានដោយមានជំនួយពីចំណុច x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 ។ ចូរ​យើង​គូស​បន្ទាត់​តាម​ចំណុច​ទាំងនេះ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស y ។ បន្ទាប់មក trapezoid curvilinear ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងត្រូវបានបែងចែកជា n ផ្នែកទៅជាជួរឈរតូចចង្អៀត។ តំបន់នៃ trapezoid ទាំងមូលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃជួរឈរ។

ពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានូវជួរឈរ k-th, i.e. curvilinear trapezoid, មូលដ្ឋាននៃការដែលជាផ្នែកមួយ។ ចូរជំនួសវាដោយចតុកោណកែងដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងកម្ពស់ស្មើនឹង f(x k) (សូមមើលរូប)។ ផ្ទៃ​នៃ​ចតុកោណកែង​គឺ \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) ដែល \(\Delta x_k \) ជា​ប្រវែង​នៃ​ផ្នែក។ វាជាធម្មជាតិក្នុងការពិចារណាផលិតផលដែលបានចងក្រងជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃផ្ទៃនៃជួរឈរ kth ។

ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងធ្វើដូចគ្នាជាមួយជួរឈរផ្សេងទៀតទាំងអស់ នោះយើងទៅដល់លទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖ តំបន់ S នៃរាងចតុកោណកែងដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺប្រហែលស្មើនឹងផ្ទៃដី S n នៃតួលេខជំហានដែលបង្កើតឡើងដោយចតុកោណ n (សូមមើលរូប):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \\)
នៅទីនេះ ដើម្បីជាប្រយោជន៍នៃឯកសណ្ឋាននៃការសម្គាល់ យើងពិចារណាថា a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - ប្រវែងចម្រៀក , \(\Delta x_1 \) - ប្រវែងចម្រៀក ។ល។ ខណៈពេលដែល ដូចដែលយើងបានព្រមព្រៀងខាងលើ \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

ដូច្នេះ \(S \approx S_n \) ហើយសមភាពប្រហាក់ប្រហែលនេះគឺត្រឹមត្រូវជាង ធំជាង n ។
តាមនិយមន័យ វាត្រូវបានគេជឿថាតំបន់ដែលចង់បាននៃ curvilinear trapezoid គឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃលំដាប់ (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

កិច្ចការទី 2(អំពីការផ្លាស់ប្តូរចំណុចមួយ)
ចំណុចសម្ភារៈផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ការពឹងផ្អែកនៃល្បឿនតាមពេលវេលាត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត v = v(t) ។ ស្វែងរកការផ្លាស់ទីលំនៅរបស់ចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល [a; ខ]។
ការសម្រេចចិត្ត។ប្រសិនបើចលនាមានឯកសណ្ឋាន នោះបញ្ហានឹងត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ៖ s = vt, i.e. s = v (b-a) ។ សម្រាប់ចលនាមិនស្មើគ្នា មនុស្សម្នាក់ត្រូវប្រើគំនិតដូចគ្នា ដែលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាមុនត្រូវបានផ្អែកលើ។
1) បែងចែកចន្លោះពេល [a; b] ទៅជា n ផ្នែកស្មើគ្នា។
2) ពិចារណាចន្លោះពេលមួយ ហើយសន្មតថាក្នុងអំឡុងពេលចន្លោះពេលនេះ ល្បឿនគឺថេរ ដូចជានៅពេល t k ។ ដូច្នេះយើងសន្មតថា v = v (t k) ។
3) ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃការផ្លាស់ទីលំនៅចំណុចក្នុងចន្លោះពេល តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនេះនឹងត្រូវបានតាងដោយ s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃការផ្លាស់ទីលំនៅ s:
\(s \approx S_n \) កន្លែងណា
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) ការផ្លាស់ទីលំនៅដែលត្រូវការគឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃលំដាប់ (S n):
$$s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

ចូរយើងសង្ខេប។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាផ្សេងៗត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាគំរូគណិតវិទ្យាដូចគ្នា។ បញ្ហាជាច្រើនពីវិស័យផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យានាំទៅរកគំរូដូចគ្នានៅក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ​គំរូ​គណិតវិទ្យា​នេះ​គួរ​ត្រូវ​បាន​សិក្សា​ជា​ពិសេស។

គំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

ចូរយើងផ្តល់ការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យានៃគំរូដែលត្រូវបានសាងសង់ក្នុងបញ្ហាបីដែលត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x) ដែលបន្ត (ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់មិនអវិជ្ជមាន ដូចដែលត្រូវបានសន្មត់ក្នុងបញ្ហាដែលបានពិចារណា) នៅលើផ្នែក [ ក; ខ]៖
1) បំបែកផ្នែក [a; b] ចូលទៅក្នុងផ្នែកស្មើគ្នា n;
2) ផលបូក $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) គណនា $$ \lim_(n \ to \infty) S_n $$

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានបង្ហាញថាដែនកំណត់នេះមាននៅក្នុងករណីនៃមុខងារបន្ត (ឬបន្តបន្ទាប់គ្នា)។ គាត់ត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍ y = f(x) លើផ្នែក [a; ខ]ហើយត្រូវបានតំណាងដូចនេះ៖
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
លេខ a និង b ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល (ខាងក្រោម និងខាងលើ រៀងគ្នា)។

ចូរយើងត្រលប់ទៅកិច្ចការដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ និយមន័យនៃតំបន់ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងបញ្ហាទី 1 ឥឡូវនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \\)
នៅទីនេះ S គឺជាតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងលើ។ នេះ​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

និយមន័យនៃការផ្លាស់ទីលំនៅ s នៃចំណុចដែលផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមានល្បឿន v = v (t) ក្នុងរយៈពេលពី t = a ដល់ t = b ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងបញ្ហាទី 2 អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម:

ញូតុន - រូបមន្ត Leibniz

ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងឆ្លើយសំណួរ៖ តើអ្វីជាទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងអង្គបដិប្រាណ?

ចម្លើយអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបញ្ហា 2. នៅលើដៃមួយ ការផ្លាស់ទីលំនៅ s នៃចំណុចមួយដែលផ្លាស់ទីតាមបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមានល្បឿន v = v(t) ក្នុងរយៈពេលមួយពី t = a ទៅ t = b ហើយត្រូវបានគណនាដោយ រូបមន្ត
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \\)

ម៉្យាងទៀត កូអរដោណេនៃចំណុចរំកិល គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ល្បឿន - ចូរយើងសម្គាល់វា s(t); ដូច្នេះការផ្លាស់ទីលំនៅ s ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត s = s (b) - s (a) ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \\)
ដែល s(t) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ v(t)។

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) បន្តនៅលើផ្នែក [a; b] បន្ទាប់មករូបមន្ត
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \\)
ដែល F(x) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ f(x)។

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថាជាធម្មតា រូបមន្ត Newton-Leibnizជាកិត្តិយសដល់រូបវិទូជនជាតិអង់គ្លេស អ៊ីសាក់ ញូតុន (១៦៤៣-១៧២៧) និងទស្សនវិទូអាឡឺម៉ង់ Gottfried Leibniz (១៦៤៦-១៧១៦) ដែលបានទទួលវាដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក និងស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ជំនួសឱ្យការសរសេរ F(b) - F(a) ពួកគេប្រើសញ្ញាណ \(\left. F(x)\right|_a^b\) (ពេលខ្លះវាត្រូវបានគេហៅថា ការជំនួសពីរដង) ហើយយោងទៅតាមរូបមន្ត ញូតុន-លីបនីស សរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់នេះ៖
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx=\left. F(x)\right|_a^b \)

ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ជាដំបូងស្វែងរកអង្គបដិប្រាណ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តការជំនួសទ្វេ។

ដោយផ្អែកលើរូបមន្ត Newton-Leibniz មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានលក្ខណៈសម្បត្តិពីរនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ទ្រព្យ ១.អាំងតេក្រាលនៃផលបូកនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាល៖
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \\)

ទ្រព្យ ២.កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖
\(\int\limits_a^b kf(x)dx=k \int\limits_a^b f(x)dx \)

ការគណនាតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

ដោយប្រើអាំងតេក្រាល អ្នកអាចគណនាផ្ទៃមិនត្រឹមតែនៃរាងពងក្រពើ curvilinear ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានតួរលេខនៃប្រភេទស្មុគ្រស្មាញផងដែរ ដូចជារូបភាពដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប។ តួលេខ P ត្រូវបានចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ x = a, x = b និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បន្ត y = f(x), y = g(x) និងនៅលើផ្នែក [a; b] វិសមភាព \(g(x) \leq f(x) \) រក្សា។ ដើម្បីគណនាផ្ទៃ S នៃតួលេខបែបនេះ យើងនឹងបន្តដូចខាងក្រោម៖
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \\)

ដូច្នេះផ្ទៃ S នៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ x = a, x = b និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x), y = g(x) បន្តលើផ្នែក និងសម្រាប់ x ណាមួយពី ផ្នែក [a; b] វិសមភាព \(g(x) \leq f(x) \\) ពេញចិត្ត ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \\)

តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (អង់ទីករ) នៃមុខងារមួយចំនួន

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C ;\; (a>0, \;\;a \neq 1) $$$$ \int \cos x dx = \sin x +C$$$$$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$$ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$$$$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C$$$$$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$$$ \int \text(ch) x dx=\text(sh) x +C$$$$$ \int \text(sh) x dx=\text(ch ) x+C $$

ថយក្រោយ

យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលស្លាយជាមុនគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យវិសាលភាពពេញលេញនៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍លើការងារនេះ សូមទាញយកកំណែពេញលេញ។

ពាក្យ​គន្លឹះ៖អាំងតេក្រាល, curvilinear trapezoid, តំបន់នៃតួលេខដែលចងដោយផ្កាលីលី

បរិក្ខារ: whiteboard, computer, multimedia projector

ប្រភេទមេរៀន: មេរៀន-ការបង្រៀន

គោលបំណងនៃមេរៀន:

• អប់រំ៖បង្កើតវប្បធម៌នៃការងារផ្លូវចិត្ត បង្កើតស្ថានភាពជោគជ័យសម្រាប់សិស្សម្នាក់ៗ បង្កើតការលើកទឹកចិត្តជាវិជ្ជមានសម្រាប់ការសិក្សា។ អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការនិយាយ និងស្តាប់អ្នកដទៃ។
• អភិវឌ្ឍន៍៖ការបង្កើតភាពឯករាជ្យនៃការគិតរបស់សិស្សក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងក្នុងស្ថានភាពផ្សេងៗ សមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ និងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន ការអភិវឌ្ឍន៍តក្កវិជ្ជា ការអភិវឌ្ឍន៍សមត្ថភាពក្នុងការបង្កើតសំណួរត្រឹមត្រូវ និងស្វែងរកចម្លើយចំពោះពួកគេ។ ធ្វើអោយប្រសើរឡើងនូវការបង្កើតជំនាញគណនា ការអភិវឌ្ឍន៍ការគិតរបស់សិស្ស ក្នុងការអនុវត្តការងារដែលបានស្នើឡើង អភិវឌ្ឍវប្បធម៌ algorithmic ។
• អប់រំ៖ បង្កើតគំនិតអំពីរាងជារង្វង់មូល អំពីអាំងតេក្រាល ដើម្បីស្ទាត់ជំនាញក្នុងការគណនាតំបន់នៃតួលេខរាបស្មើ

វិធីសាស្រ្តបង្រៀន៖ការពន្យល់និងឧទាហរណ៍។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

នៅក្នុងថ្នាក់មុនៗ យើងបានរៀនពីរបៀបគណនាផ្នែកនៃតួលេខដែលព្រំដែនរបស់វាខូច។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានវិធីសាស្រ្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយខ្សែកោង។ តួលេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា curvilinear trapezoids ហើយតំបន់របស់វាត្រូវបានគណនាដោយប្រើ antiderivatives ។

Curvilinear trapezoid ( ស្លាយ 1)

រាងចតុកោណកែង គឺជាតួរលេខដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វមុខងារ ( w.m.), ត្រង់ x = កនិង x = ខនិង abscissa

ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃ curvilinear trapezoids ( ស្លាយ 2)

យើងពិចារណាប្រភេទផ្សេងៗនៃ curvilinear trapezoids និងការកត់សម្គាល់: បន្ទាត់មួយត្រូវបាន degenerate ទៅជាចំណុចមួយ, តួនាទីនៃមុខងារកំណត់ត្រូវបានលេងដោយបន្ទាត់

តំបន់​នៃ​រាង​ចតុកោណកែង (ស្លាយទី ៣)

ជួសជុលចុងខាងឆ្វេងនៃចន្លោះពេល ក,ហើយត្រូវ Xយើងនឹងផ្លាស់ប្តូរ ពោលគឺ យើងផ្លាស់ទីជញ្ជាំងខាងស្តាំនៃរាងចតុកោណកែង ហើយទទួលបានតួលេខផ្លាស់ប្តូរ។ ផ្ទៃនៃអថេរ curvilinear trapezoid ដែលត្រូវបានចងដោយក្រាហ្វមុខងារគឺជា antiderivative ចសម្រាប់មុខងារ f

ហើយនៅលើផ្នែក [ ក; ខ] ផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ដែលបង្កើតឡើងដោយមុខងារ f,គឺស្មើនឹងការកើនឡើងនៃ antiderivative នៃមុខងារនេះ៖

លំហាត់ទី១៖

ស្វែងរកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលចងដោយក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ៖ f (x) = x 2និងដោយផ្ទាល់ y=0, x=1, x=2 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ ( នេះ​បើ​តាម​ស្លាយ 3 algorithm)

គូរក្រាហ្វនៃមុខងារ និងបន្ទាត់

ស្វែងរកមួយនៃ antiderivatives នៃមុខងារ f (x) = x 2 :

ស្លាយ ការត្រួតពិនិត្យខ្លួនឯង

អាំងតេក្រាល។

ពិចារណាលើរាងពងក្រពើដែលផ្តល់ដោយមុខងារ fនៅលើផ្នែក [ ក; ខ] ចូរបំបែកផ្នែកនេះទៅជាផ្នែកជាច្រើន។ តំបន់នៃ trapezoid ទាំងមូលនឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជាផលបូកនៃតំបន់នៃ trapezoids curvilinear តូចជាង។ ( ស្លាយ 5). trapezoid នីមួយៗអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាចតុកោណ។ ផលបូកនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងទាំងនេះផ្តល់នូវគំនិតប្រហាក់ប្រហែលនៃផ្ទៃទាំងមូលនៃ curvilinear trapezoid ។ តូចជាងយើងបំបែកផ្នែក [ ក; ខ] យើងគណនាផ្ទៃដីបានកាន់តែត្រឹមត្រូវ

យើងសរសេរការពិចារណាទាំងនេះក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត។

បែងចែកផ្នែក [ ក; ខ] ទៅជា n ផ្នែកដែលមានចំនុច x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d ខ។ប្រវែង k-ទី តំណាងដោយ xk = xk − xk-1. ចូរសរុបមក

តាមធរណីមាត្រ ផលបូកនេះគឺជាផ្ទៃនៃរូបដែលមានស្រមោលក្នុងរូប ( sh.m.)

ផលបូកនៃទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់អនុគមន៍ f. (sch.m.)

ផលបូកអាំងតេក្រាលផ្តល់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃផ្ទៃ។ តម្លៃពិតប្រាកដត្រូវបានទទួលដោយការឆ្លងដល់ដែនកំណត់។ ស្រមៃថាយើងកែលម្អភាគថាសនៃផ្នែក [ ក; ខ] ដូច្នេះប្រវែងនៃផ្នែកតូចៗទាំងអស់មានទំនោរទៅសូន្យ។ បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួរលេខដែលបានផ្សំនឹងចូលទៅជិតតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ។ យើងអាចនិយាយបានថាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid គឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាល។ Sk.t. (sch.m.)ឬអាំងតេក្រាល ឧ.

និយមន័យ៖

អាំងតេក្រាលមុខងារ f(x)ពី កពីមុន ខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាល

= (sch.m.)

រូបមន្ត Newton-Leibniz ។

សូមចងចាំថាដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ដូច្នេះយើងអាចសរសេរបាន៖

Sk.t. = (sch.m.)

ម៉្យាងវិញទៀត តំបន់នៃ curvilinear trapezoid ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

S ទៅ. t. (sch.m.)

ប្រៀបធៀបរូបមន្តទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖

= (sch.m.)

សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Newton-Leibniz ។

ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការគណនា រូបមន្តត្រូវបានសរសេរជា៖

= = (sch.m.)

កិច្ចការ៖ (sch.m.)

1. គណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz: ( ពិនិត្យមើលស្លាយ 5)

2. ចងក្រងអាំងតេក្រាលយោងទៅតាមគំនូរ ( ពិនិត្យមើលស្លាយ 6)

3. រក​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​បន្ទាត់៖ y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( ស្លាយ ៧)

ស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ ( ស្លាយ ៨)

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដែលមិនមែនជា curvilinear trapezoids?

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក្រាហ្វដែលអ្នកឃើញនៅលើស្លាយ . (sch.m.)ស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដែលមានស្រមោល . (sch.m.). តើ​តួលេខ​ដែល​ចោទ​ជា​សំណួរ​ជា​រាង​ចតុកោណកែង​ឬ? ហើយ​តើ​អ្នក​អាច​រក​ឃើញ​តំបន់​របស់​វា​ដោយ​របៀប​ណា​ដោយ​ប្រើ​ទ្រព្យសម្បត្តិ​បន្ថែម​នៃ​តំបន់? ពិចារណា​រាង​ជ្រុង​ពីរ ហើយ​ដក​ផ្ទៃ​ម្ខាង​ទៀត​ចេញ​ពី​ផ្ទៃ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួកវា ( w.m.)

ចូរបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតំបន់ពីចលនានៅលើស្លាយ៖

1. មុខងារគ្រោង
2. ព្យាករចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វលើអ័ក្ស x
3. ដាក់ស្រមោលតួលេខដែលទទួលបានដោយឆ្លងកាត់ក្រាហ្វ
4. ស្វែងរករាងចតុកោណកែងដែលចំនុចប្រសព្វ ឬសហជីពគឺជាតួលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
5. គណនាផ្ទៃដីនីមួយៗ
6. ស្វែងរកភាពខុសគ្នា ឬផលបូកនៃតំបន់

កិច្ចការផ្ទាល់មាត់៖ របៀបដើម្បីទទួលបានផ្ទៃនៃតួរលេខដែលមានស្រមោល (ប្រាប់ដោយប្រើចលនា, ស្លាយ ៨ និង ៩)

កិច្ចការ​ផ្ទះ:ធ្វើអរូបី លេខ ៣៥៣(ក) លេខ៣៦៤(ក)។

គន្ថនិទ្ទេស

1. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ៩-១១ ពេលល្ងាច (ប្តូរវេន) សាលារៀន / ed. G.D. កញ្ចក់។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ១៩៨៣។
2. Bashmakov M.I. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១០-១១ នៃសាលាមធ្យមសិក្សា / Bashmakov M.I. - M: ការត្រាស់ដឹង, ឆ្នាំ ១៩៩១ ។
3. Bashmakov M.I. គណិតវិទ្យា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នចាប់ផ្តើម។ និងជាមធ្យម សាស្រ្តាចារ្យ ការអប់រំ / M.I. Bashmakov ។ - M: Academy, ឆ្នាំ 2010 ។
4. Kolmogorov A.N. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់កោសិកា ១០-១១។ ស្ថាប័នអប់រំ / A.N. Kolmogorov ។ - M: ការត្រាស់ដឹង, ឆ្នាំ ២០១០ ។
5. Ostrovsky S.L. របៀបធ្វើបទបង្ហាញសម្រាប់មេរៀន? / S.L. Ostrovsky ។ - អិមៈ ដើមខែកញ្ញា ឆ្នាំ២០១០។

ស្នាដៃដែលបានបញ្ចប់

ការងារទាំងនេះ

ភាគច្រើនគឺនៅពីក្រោយរួចហើយ ហើយឥឡូវនេះអ្នកគឺជានិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សា ប្រសិនបើជាការពិត អ្នកសរសេរនិក្ខេបបទរបស់អ្នកទាន់ពេល។ ប៉ុន្តែជីវិតគឺបែបនេះ ដែលមានតែពេលនេះទេ ទើបដឹងច្បាស់ថា ឈប់ធ្វើជាសិស្ស អ្នកនឹងបាត់បង់សេចក្តីរីករាយរបស់សិស្សទាំងអស់ ដែលអ្នកមិនបានព្យាយាម បោះបង់អ្វីៗទាំងអស់ចោល ហើយទុកវាចោលនៅពេលក្រោយ។ ហើយឥឡូវនេះ ជំនួសឱ្យការចាប់ឡើង អ្នកកំពុង tinkering ជាមួយនិក្ខេបបទរបស់អ្នក? មានវិធីដ៏ល្អមួយចេញ៖ ទាញយកនិក្ខេបបទដែលអ្នកត្រូវការពីគេហទំព័ររបស់យើង ហើយអ្នកនឹងមានពេលទំនេរច្រើនភ្លាមៗ!
ការងារសញ្ញាប័ត្រត្រូវបានការពារដោយជោគជ័យនៅក្នុងសាកលវិទ្យាល័យឈានមុខគេនៃសាធារណរដ្ឋកាហ្សាក់ស្ថាន។
តម្លៃការងារពី 20 000 tenge

វគ្គសិក្សាការងារ

គម្រោងវគ្គសិក្សាគឺជាការងារអនុវត្តជាក់ស្តែងដំបូងបង្អស់។ វាគឺជាមួយនឹងការសរសេរក្រដាសពាក្យដែលការរៀបចំសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍគម្រោងបញ្ចប់ការសិក្សាចាប់ផ្តើម។ ប្រសិនបើសិស្សរៀននិយាយឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវខ្លឹមសារនៃប្រធានបទនៅក្នុងគម្រោងវគ្គសិក្សា ហើយគូរវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ នោះនៅពេលអនាគតគាត់នឹងមិនមានបញ្ហាជាមួយនឹងការសរសេររបាយការណ៍ ឬការចងក្រងអត្ថបទទាំងនេះ ឬជាមួយការអនុវត្តការងារជាក់ស្តែងផ្សេងទៀត។ ដើម្បីជួយសិស្សក្នុងការសរសេរការងារសិស្សប្រភេទនេះ និងដើម្បីបញ្ជាក់សំណួរដែលកើតឡើងនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការរៀបចំរបស់វា តាមពិតផ្នែកព័ត៌មាននេះត្រូវបានបង្កើតឡើង។
តម្លៃការងារពី 2 500 ទំ

ថ្នាក់អនុបណ្ឌិត

នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះនៅក្នុងស្ថាប័នអប់រំខ្ពស់នៃកាហ្សាក់ស្ថាននិងបណ្តាប្រទេស CIS ដំណាក់កាលនៃការអប់រំវិជ្ជាជីវៈខ្ពស់ដែលធ្វើតាមបន្ទាប់ពីបរិញ្ញាបត្រ - ថ្នាក់អនុបណ្ឌិតគឺជារឿងធម្មតាណាស់។ ក្នុងអង្គចៅក្រម និស្សិតសិក្សាក្នុងគោលបំណងទទួលបានបរិញ្ញាបត្រជាន់ខ្ពស់ ដែលត្រូវបានទទួលស្គាល់នៅក្នុងប្រទេសភាគច្រើននៃពិភពលោក ច្រើនជាងបរិញ្ញាបត្រ ហើយក៏ត្រូវបានទទួលស្គាល់ដោយនិយោជកបរទេសផងដែរ។ លទ្ធផល​នៃ​ការ​ហ្វឹកហ្វឺន​ក្នុង​អង្គ​ចៅក្រម គឺ​ការ​ការពារ​និក្ខេបបទ​ថ្នាក់​អនុបណ្ឌិត។
យើង​នឹង​ផ្តល់​ឱ្យ​អ្នក​នូវ​សម្ភារៈ​វិភាគ និង​អត្ថបទ​ទាន់សម័យ តម្លៃ​រួម​បញ្ចូល​ទាំង​អត្ថបទ​វិទ្យាសាស្ត្រ 2 និង​អរូបី។
តម្លៃការងារពី 35 000 ទំ

របាយការណ៍អនុវត្ត

បន្ទាប់ពីបញ្ចប់ការអនុវត្តន៍សិស្សប្រភេទណាមួយ (ការអប់រំ ឧស្សាហកម្ម បរិញ្ញាបត្រ) របាយការណ៍ត្រូវបានទាមទារ។ ឯកសារនេះនឹងជាការបញ្ជាក់អំពីការងារជាក់ស្តែងរបស់សិស្ស និងជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបង្កើតការវាយតម្លៃសម្រាប់ការអនុវត្ត។ ជាធម្មតា ដើម្បីចងក្រងរបាយការណ៍កម្មសិក្សា អ្នកត្រូវប្រមូល និងវិភាគព័ត៌មានអំពីសហគ្រាស ពិចារណាលើរចនាសម្ព័ន្ធ និងកាលវិភាគការងាររបស់ស្ថាប័នដែលកម្មសិក្សាកើតឡើង រៀបចំផែនការប្រតិទិន និងពិពណ៌នាអំពីសកម្មភាពជាក់ស្តែងរបស់អ្នក។
យើងនឹងជួយអ្នកក្នុងការសរសេររបាយការណ៍ស្តីពីកម្មសិក្សាដោយគិតគូរពីភាពជាក់លាក់នៃសកម្មភាពរបស់សហគ្រាសជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១ . គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖ x + 2y − 4 = 0, y = 0, x = −3, និង x = 2

ចូរយើងបង្កើតតួរលេខ (សូមមើលរូបភព) យើងបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ x + 2y - 4 \u003d 0 តាមពីរចំនុច A (4; 0) និង B (0; 2) ។ បង្ហាញ y ក្នុងន័យ x យើងទទួលបាន y \u003d -0.5x + 2 ។ យោងតាមរូបមន្ត (1) ដែល f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, យើង ស្វែងរក

S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 sq ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ ២ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់៖ x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 និង y \u003d 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងបង្កើតតួរលេខ។

ចូរសង់បន្ទាត់ត្រង់ x − 2y + 4 = 0: y = 0, x = − 4, A (−4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2) ។

ចូរសង់បន្ទាត់ត្រង់ x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5) ។

រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

x = 2, y = 3; M(2; 3) ។

ដើម្បីគណនាផ្ទៃដែលត្រូវការ យើងបែងចែកត្រីកោណ AMC ទៅជាត្រីកោណពីរ AMN និង NMC ចាប់តាំងពីពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរពី A ទៅ N តំបន់ត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយនៅពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរពី N ទៅ C វាគឺជាបន្ទាត់ត្រង់។

សម្រាប់ត្រីកោណ AMN យើងមាន៖ ; y \u003d 0.5x + 2, i.e. f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d ២.

សម្រាប់ត្រីកោណ NMC យើងមាន៖ y = − x + 5, i.e. f(x) = − x + 5, a = 2, b = 5 ។

ការគណនាផ្ទៃដីនៃត្រីកោណនីមួយៗ និងបន្ថែមលទ្ធផល យើងរកឃើញ៖

sq ។ ឯកតា

sq ។ ឯកតា

9 + 4, 5 = 13.5 sq ។ ឯកតា ពិនិត្យ: = 0.5AC = 0.5 sq ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ ៣ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់៖ y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3 ។

អេ ករណីនេះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ចងដោយប៉ារ៉ាបូឡា y = x 2 , បន្ទាត់ត្រង់ x \u003d 2 និង x \u003d 3 និងអ័ក្សអុក (សូមមើលរូបភព។ ) យោងតាមរូបមន្ត (1) យើងរកឃើញតំបន់នៃ trapezoid curvilinear

= = 6kv ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ 4 គណនា​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​ចង​ដោយ​បន្ទាត់៖ y \u003d - x 2 + 4 និង y = 0

ចូរយើងបង្កើតតួរលេខ។ តំបន់ដែលចង់បានត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាងប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d - x 2 + 4 និងអ័ក្សអូ។

រកចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយអ័ក្ស x ។ សន្មត់ថា y \u003d 0 យើងរកឃើញ x \u003d ដោយសារតួលេខនេះគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស Oy យើងគណនាផ្ទៃដីនៃរូបដែលស្ថិតនៅខាងស្តាំអ័ក្ស Oy ហើយលទ្ធផលទ្វេដង៖ \u003d + 4x] sq ។ ឯកតា 2 = 2 sq ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ ៥ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖ y 2 = x, yx = 1, x = 4

នៅទីនេះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ចងដោយសាខាខាងលើនៃ parabola y 2 \u003d x អ័ក្សអុក និងបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d 1x \u003d 4 (សូមមើលរូបភព។ )

យោងតាមរូបមន្ត (1) ដែល f(x) = a = 1 និង b = 4 យើងមាន = (= sq ។

ឧទាហរណ៍ ៦ . គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់៖ y = sinx, y = 0, x = 0, x= ។

តំបន់ដែលចង់បានត្រូវបានកំណត់ដោយពាក់កណ្តាលរលក sinusoid និងអ័ក្សអុក (សូមមើលរូបភព) ។

យើងមាន - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 ម៉ែត្រការ៉េ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ ៧ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់៖ y \u003d - 6x, y \u003d 0 និង x \u003d 4 ។

តួលេខមានទីតាំងនៅក្រោមអ័ក្សអុក (សូមមើលរូបភព) ។

ដូច្នេះតំបន់របស់វាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត (3)

= =

ឧទាហរណ៍ ៨ គណនា​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​ចង​ដោយ​បន្ទាត់៖ y \u003d និង x \u003d 2. យើង​នឹង​បង្កើត​ខ្សែ​កោង y \u003d ដោយ​ពិន្ទុ (មើល​រូប)។ ដូច្នេះ ផ្ទៃនៃតួលេខត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត (4)

ឧទាហរណ៍ ៩ .

X 2 + យ 2 = r 2 .

នៅទីនេះអ្នកត្រូវគណនាផ្ទៃដែលចងដោយរង្វង់ x 2 + យ 2 = r 2 ពោលគឺ​តំបន់​នៃ​រង្វង់​កាំ r ដែល​ស្ថិតនៅ​កណ្តាល​ដើម​។ ចូរយើងស្វែងរកផ្នែកទីបួននៃតំបន់នេះ ដោយយកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលពី 0

ឌ័រ; យើង​មាន: 1 = = [

អាស្រ័យហេតុនេះ 1 =

ឧទាហរណ៍ 10 គណនា​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​ចង​ដោយ​បន្ទាត់៖ y \u003d x 2 និង y = 2x

តួលេខនេះត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d x 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d 2x (សូមមើលរូបភព។ ) ដើម្បីកំណត់ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការ: x 2 – 2x = 0 x = 0 និង x = 2

ដោយប្រើរូបមន្ត (5) ដើម្បីស្វែងរកតំបន់យើងទទួលបាន

= }