សមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុតជាមួយនឹងឫសវិជ្ជមាន។ សមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ Method for solving equations n

ពិចារណា ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរមួយដឺក្រេខ្ពស់ជាងទីពីរ។

ដឺក្រេនៃសមីការ P(x) = 0 គឺជាដឺក្រេនៃពហុធា P(x), i.e. អំណាចធំបំផុតនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វាជាមួយនឹងមេគុណមិនសូន្យ។

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ សមីការ (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 មានសញ្ញាប័ត្រទីប្រាំ ពីព្រោះ បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការនៃការបើកតង្កៀបនិងនាំយកស្រដៀងគ្នាយើងទទួលបានសមីការសមមូល x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 នៃដឺក្រេទី 5 ។

រំលឹកឡើងវិញនូវច្បាប់ដែលនឹងត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងទីពីរ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឫសនៃពហុនាម និងការបែងចែករបស់វា៖

1. ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី n មានចំនួនឫសមិនលើសពីចំនួន n ហើយឫសនៃគុណ m កើតឡើងពិតប្រាកដ m ដង។

2. ពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានឫសពិតយ៉ាងតិចមួយ។

3. ប្រសិនបើ α ជាឫសនៃ Р(х) នោះ Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x) ដែល Q n – 1 (x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ (n – 1) .

5. ពហុធាដែលបានកាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់មិនអាចមានឫសសនិទានប្រភាគបានទេ។

6. សម្រាប់ពហុធាដឺក្រេទីបី

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d រឿងមួយក្នុងចំណោមពីរគឺអាចធ្វើទៅបាន៖ ទាំងវារលាយទៅជាផលិតផលនៃ binomials បី

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) ឬ decompose ទៅជាផលិតផលនៃ binomial និង trinomial ការ៉េ P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ) ។

7. ពហុធានៃដឺក្រេទីបួនពង្រីកទៅជាផលគុណនៃត្រីកោណការ៉េពីរ។

8. ពហុធា f(x) ត្រូវបានបែងចែកដោយពហុនាម g(x) ដោយគ្មានសល់ ប្រសិនបើមានពហុនាម q(x) ដូចនេះ f(x) = g(x) q(x)។ ដើម្បីបែងចែកពហុធា ច្បាប់នៃ "ការបែងចែកដោយជ្រុងមួយ" ត្រូវបានអនុវត្ត។

9. ដើម្បីឱ្យពហុនាម P(x) ត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial (x – c) វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលលេខ c ជាឫសនៃ P(x) (Corollary to Bezout's theorem)។

10. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ប្រសិនបើ x 1, x 2, ..., x n គឺជាឫសពិតនៃពហុនាម

P (x) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ... + a n បន្ទាប់មកសមភាពខាងក្រោមមាន៖

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0 ។

ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១

រកសល់បន្ទាប់ពីបែងចែក P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 ដោយ (x - 1/3) ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout៖ "នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial (x - c) គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុនាមនៅក្នុង c" ។ ចូររក P(1/3) = 0។ ដូច្នេះហើយ នៅសល់គឺ 0 ហើយលេខ 1/3 គឺជាឫសគល់នៃពហុធា។

ចម្លើយ៖ R = 0 ។

ឧទាហរណ៍ ២

ចែក "ជ្រុង" 2x 3 + 3x 2 − 2x + 3 ដោយ (x + 2) ។ ស្វែងរកផ្នែកដែលនៅសេសសល់ និងបរិមាណមិនពេញលេញ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2x 3 + 3x 2 − 2x + 3| x + ២

2x 3 + 4x 2 2x 2 − x

X 2 – 2 x

ចម្លើយ៖ R = 3; កូតា៖ 2x 2 - x ។

វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង

1. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីគឺធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយពីឧទាហរណ៍នៃសមីការ biquadratic ។ វាមាននៅក្នុងការពិតដែលថាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ f (x) \u003d 0 អថេរថ្មី (ជំនួស) t \u003d x n ឬ t \u003d g (x) ត្រូវបានណែនាំហើយ f (x) ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ t ទទួលបាន សមីការថ្មី r (t) ។ បន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការ r(t) រកឫស៖

(t 1 , t 2 , …, t n) ។ បន្ទាប់ពីនោះ សំណុំនៃសមីការ n q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n ត្រូវបានទទួល ដែលឫសនៃសមីការដើមត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ ១

(x 2 + x + 1) 2 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

(x 2 + x + 1) 2 − 3 (x 2 + x) − 1 = 0 ។

(x 2 + x + 1) 2 − 3 (x 2 + x + 1) + 3 − 1 = 0 ។

ការជំនួស (x 2 + x + 1) = t ។

t 2 − 3t + 2 = 0 ។

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. ការជំនួសបញ្ច្រាស៖

x 2 + x + 1 = 2 ឬ x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x − 1 = 0 ឬ x 2 + x = 0;

ចំលើយ៖ ពីសមីការទីមួយ៖ x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2 ពីសមីការទីពីរ៖ 0 និង −1 ។

2. ការបំបែកកត្តាដោយវិធីសាស្រ្តនៃការដាក់ជាក្រុម និងរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់

មូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្រ្តនេះក៏មិនមែនជារឿងថ្មីដែរ ហើយមាននៅក្នុងការដាក់ជាក្រុមតាមវិធីដែលក្រុមនីមួយៗមានកត្តារួមមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ពេលខ្លះអ្នកត្រូវប្រើល្បិចសិប្បនិម្មិតមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១

x 4 − 3x 2 + 4x − 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ស្រមៃ - 3x 2 = −2x 2 − x 2 និងក្រុម៖

(x 4 − 2x 2) - (x 2 − 4x + 3) = 0 ។

(x 4 − 2x 2 +1 − 1) - (x 2 − 4x + 3 + 1 − 1) = 0 ។

(x 2 − 1) 2 − 1 − (x − 2) 2 + 1 = 0 ។

(x 2 − 1) 2 - (x − 2) 2 \u003d 0 ។

(x 2 − 1 − x + 2) (x 2 − 1 + x − 2) = 0 ។

(x 2 − x + 1) (x 2 + x − 3) = 0 ។

x 2 - x + 1 \u003d 0 ឬ x 2 + x - 3 \u003d 0 ។

ចម្លើយ៖ មិនមានឫសគល់នៅក្នុងសមីការទីមួយទេ ពីទីពីរ៖ x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2 ។

3. ការបំបែកកត្តាដោយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តគឺថាពហុធាដើមត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាដែលមានមេគុណមិនស្គាល់។ ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិដែលពហុនាមស្មើគ្នា ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាស្មើគ្នានៅថាមពលដូចគ្នា មេគុណពង្រីកដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ ១

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ពហុធានៃដឺក្រេទី 3 អាចត្រូវបានបំបែកទៅជាផលិតផលនៃកត្តាលីនេអ៊ែរ និងការ៉េ។

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, i.e.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2) ។

ឫសគល់នៃសមីការ (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ងាយស្រួលរក។

ចម្លើយ៖ -១; -២.

4. វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសឫសដោយមេគុណខ្ពស់បំផុតនិងឥតគិតថ្លៃ

វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ៖

1) ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់គឺជាផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ។

2) ដើម្បីឱ្យប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន p/q (p ជាចំនួនគត់ q ជាធម្មជាតិ) ជាឫសគល់នៃសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់ វាចាំបាច់ដែលលេខ p គឺជាអ្នកចែកចំនួនគត់នៃពាក្យសេរី a 0 និង q គឺជាការបែងចែកធម្មជាតិនៃមេគុណខ្ពស់បំផុត។

ឧទាហរណ៍ ១

6x 3 + 7x 2 − 9x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

6: q = 1, 2, 3, 6 ។

ដូច្នេះ p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6។

ដោយបានរកឃើញឫសមួយឧទាហរណ៍ - 2 យើងនឹងរកឃើញឫសផ្សេងទៀតដោយប្រើការបែងចែកដោយជ្រុងមួយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់ឬគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

ចម្លើយ៖ -២; 1/2; ១/៣.

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការពិជគណិត ជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវធ្វើកត្តាពហុធា។ កត្តាពហុធា គឺតំណាងឱ្យវាជាផលគុណនៃពហុនាមពីរ ឬច្រើន។ យើងប្រើវិធីសាស្រ្តមួយចំនួននៃការពង្រីកពហុនាមជាញឹកញាប់៖ យកកត្តារួម ដោយប្រើរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ រំលេចការេពេញ ការដាក់ជាក្រុម។ សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនទៀត។

ពេលខ្លះ នៅពេលបង្កើតពហុនាម សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមមានប្រយោជន៍៖

1) ប្រសិនបើពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់មានឫសសនិទាន (កន្លែងណាជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន នោះគឺជាផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យសេរី និងផ្នែកចែកនៃមេគុណខ្ពស់បំផុត៖

2) ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសឫសនៃពហុធានៃដឺក្រេ នោះពហុធាអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់ដែលពហុនាមនៃដឺក្រេ

ពហុនាមអាចត្រូវបានរកឃើញដោយការបែងចែកពហុនាមដោយ "ជួរឈរ" ទ្វេរនាម ឬដោយការដាក់ក្រុមដែលត្រូវគ្នានៃលក្ខខណ្ឌនៃពហុធា ហើយដកកត្តាចេញពីពួកវា ឬដោយវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់។

ឧទាហរណ៍។ ធ្វើកត្តាពហុនាម

ការសម្រេចចិត្ត។ ចាប់តាំងពីមេគុណនៅ x4 គឺស្មើនឹង 1 នោះឫសសនិទាននៃពហុនាមនេះគឺមាន ការបែងចែកនៃលេខ 6 ពោលគឺពួកគេអាចជាចំនួនគត់ ±1, ±2, ±3, ±6។ យើងកំណត់ពហុនាមនេះដោយ P4(x) ។ ចាប់តាំងពី Р Р4 (1) = 4 និង Р4 (-4) = 23 លេខ 1 និង -1 មិនមែនជាឫសគល់នៃពហុធា PA (x) ទេ។ ចាប់តាំងពី P4(2) = 0, បន្ទាប់មក x = 2 គឺជាឫសគល់នៃពហុធា P4(x) ហើយដូច្នេះ ពហុនាមនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial x − 2 ។ ដូច្នេះ x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

៣x៣ +៧x២ −៥x +៦

3x3 + 6x2 x2 − 5x + 6 x2 − 2x

ដូច្នេះ P4(x) = (x − 2)(x3 − 3x2 + x − 3)។ ចាប់តាំងពី xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1) បន្ទាប់មក x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x − 3)(x2 + 1)។

វិធីសាស្ត្របញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

ពេលខ្លះនៅពេលបង្កើតពហុនាម វិធីសាស្ត្រនៃការណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រជួយ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះនឹងត្រូវបានពន្យល់ដោយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍។ x3 − (√3 + 1) x2 + 3 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ពិចារណាពហុនាមដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a: x3 - (a + 1)x2 + a2 ដែលប្រែទៅជាពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ a = √3 ។ យើងសរសេរពហុនាមនេះជាត្រីកោណមាត្រការេដោយគោរពទៅនឹង a: ar - ax2 + (x3 - x2) ។

ចាប់តាំងពីឫសនៃការ៉េត្រីកោណនេះទាក់ទងនឹង a គឺ a1 \u003d x និង a2 \u003d x2 - x បន្ទាប់មកសមភាព a2 - ax2 + (xs - x2) \u003d (a - x) (a - x2 + x) គឺពិត។ ដូច្នេះពហុធា x3 - (√3 + 1)x2 + 3 រលាយទៅជាកត្តា √3 - x និង √3 - x2 + x, i.e.

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3)។

វិធីសាស្រ្តណែនាំមិនស្គាល់ថ្មី។

ក្នុងករណីខ្លះ ដោយការជំនួសកន្សោម f(x) ដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងពហុនាម Pn(x) តាមរយៈ y នោះគេអាចទទួលបានពហុនាមទាក់ទងនឹង y ដែលអាចត្រូវបានបែងចែកយ៉ាងងាយស្រួលរួចហើយ។ បន្ទាប់មក បន្ទាប់ពីជំនួស y ជាមួយ f(x) យើងទទួលបានកត្តានៃពហុធា Pn(x)។

ឧទាហរណ៍។ កត្តាពហុធា x(x+1)(x+2)(x+3)-15។

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរបំប្លែងពហុនាមនេះដូចខាងក្រោម៖ x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x(x+3)][(x+1)(x+2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) − ១៥.

សម្គាល់ x2 + 3x ដោយ y ។ បន្ទាប់មកយើងមាន y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= ( y + 5) (y − 3) ។

ដូច្នេះ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x − 3) ។

ឧទាហរណ៍។ ធ្វើកត្តាពហុនាម (x-4)4+(x+2)4

ការសម្រេចចិត្ត។ កំណត់សម្គាល់ x − 4 + x + 2 = x − 1 ដោយ y ។

(x − 4)4 + (x + 2)2 = (y − 3)4 + (y + 3)4 = y4 − 12y3 + 54y3 − 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2) )

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នា

ជាញឹកញាប់ ពេលបង្កើតពហុនាម មួយត្រូវអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នូវវិធីសាស្ត្រមួយចំនួនដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។

ឧទាហរណ៍។ ធ្វើកត្តាពហុធា x4 − 3x2 + 4x-3 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយប្រើការដាក់ជាក្រុម យើងសរសេរពហុនាមក្នុងទម្រង់ x4 − 3x2 + 4x − 3 = (x4 − 2x2) - (x2 −4x + 3) ។

អនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសការ៉េពេញទៅតង្កៀបទីមួយ យើងមាន x4 − 3x3 + 4x − 3 = (x4 − 2 1 x2 + 12) - (x2 −4x + 4)។

ដោយប្រើរូបមន្តការេពេញ យើងអាចសរសេរថា x4 − 3x2 + 4x − 3 = (x2 −1)2 − (x − 2)2 ។

ជាចុងក្រោយ ការអនុវត្តភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ យើងទទួលបានថា x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 - x + ១) ។

§ 2. សមីការស៊ីមេទ្រី

1. សមីការស៊ីមេទ្រីនៃដឺក្រេទីបី

សមីការនៃទម្រង់ ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, a ≠ 0 (1) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការស៊ីមេទ្រីនៃដឺក្រេទីបី។ ចាប់តាំងពី ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a) បន្ទាប់មកសមីការ (1) គឺស្មើនឹង សំណុំសមីការ x + 1 \u003d 0 និង ax2 + (b-a) x + a \u003d 0 ដែលមិនពិបាកក្នុងការដោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

ការសម្រេចចិត្ត។ សមីការ (2) គឺជាសមីការស៊ីមេទ្រីនៃដឺក្រេទីបី។

ចាប់តាំងពី 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x + 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) បន្ទាប់មកសមីការ (2) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ x + 1 = 0 និង 3x3 + x +3 = 0 ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការទីមួយគឺ x = −1 សមីការទីពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ចម្លើយ៖ x = −1 ។

2. សមីការស៊ីមេទ្រីនៃដឺក្រេទីបួន

ប្រភេទសមីការ

(3) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការស៊ីមេទ្រីនៃដឺក្រេទីបួន។

ដោយហេតុថា x \u003d 0 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការ (3) ដូច្នេះដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (3) ដោយ x2 យើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងដើម (3)៖

ចូរយើងសរសេរសមីការ (4) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖

នៅក្នុងសមីការនេះ យើងធ្វើការជំនួស បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការការ៉េ

ប្រសិនបើសមីការ (5) មាន 2 ឫស y1 និង y2 នោះសមីការដើមគឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ

ប្រសិនបើសមីការ (5) មានឫសមួយ у0 នោះសមីការដើមគឺស្មើនឹងសមីការ

ជាចុងក្រោយ ប្រសិនបើសមីការ (5) គ្មានឫស នោះសមីការដើមក៏គ្មានឫសដែរ។

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ សមីការនេះគឺជាសមីការស៊ីមេទ្រីនៃដឺក្រេទីបួន។ ដោយសារ x \u003d 0 មិនមែនជា root របស់វា ដូច្នេះហើយ បែងចែកសមីការ (6) ដោយ x2 យើងទទួលបានសមីការសមមូល៖

ការដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌ យើងសរសេរសមីការ (7) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬក្នុងទម្រង់

សន្មតថាយើងទទួលបានសមីការដែលមានឫសពីរ y1 = 2 និង y2 = 3 ។ ដូច្នេះសមីការដើមគឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការទីមួយនៃសំណុំនេះគឺ x1 = 1 ហើយដំណោះស្រាយទីពីរគឺ u ។

ដូច្នេះសមីការដើមមានឫសបីគឺ x1, x2 និង x3 ។

ចម្លើយ៖ x1=1 ។

§៣. សមីការពិជគណិត

1. ការកាត់បន្ថយកម្រិតនៃសមីការ

សមីការពិជគណិតមួយចំនួន ដោយការជំនួសពហុនាមមួយចំនួននៅក្នុងពួកវាដោយអក្សរមួយ អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការពិជគណិតដែលមានកម្រិតទាបជាងកម្រិតនៃសមីការដើម ហើយដំណោះស្រាយរបស់វាគឺសាមញ្ញជាង។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ សម្គាល់ដោយ សមីការ (1) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាសមីការចុងក្រោយមានឫសហើយ ដូច្នេះសមីការ (1) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ និង។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការទីមួយនៃសមីការនេះគឺ និងដំណោះស្រាយនៃសមីការទីពីរគឺ

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) គឺ

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ គុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយ 12 និងតំណាងដោយ,

យើងទទួលបានសមីការ យើងសរសេរសមីការនេះឡើងវិញក្នុងទម្រង់

(3) ហើយការបង្ហាញតាមរយៈយើងសរសេរសមីការឡើងវិញ (3) ក្នុងទម្រង់ សមីការចុងក្រោយមានឫស ហើយដូច្នេះ យើងទទួលបានសមីការនោះ (3) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការពីរ និង 4)

ដំណោះស្រាយនៃសំណុំ (4) គឺ និង ហើយពួកវាជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ (2) ។

2. សមីការនៃទម្រង់

សមីការ

(5) ដែលជាកន្លែងដែលត្រូវបានផ្តល់លេខ អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ biquadratic ដោយជំនួសមិនស្គាល់ ពោលគឺការជំនួស

ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរសម្គាល់ដោយ, ឧ. យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ ឬ បន្ទាប់មកសមីការ (៦) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬដោយប្រើរូបមន្តក្នុងទម្រង់

ចាប់តាំងពីឫសនៃសមីការ quadratic គឺ ហើយបន្ទាប់មក ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (7) គឺជាដំណោះស្រាយនៃសំណុំសមីការ និង។ សំណុំនៃសមីការនេះមានដំណោះស្រាយពីរ ហើយដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃសមីការ (6) គឺ និង

3. សមីការនៃទម្រង់

សមីការ

(8) ដែលលេខ α, β, γ, δ, និង Α គឺដូចជា α

ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរធ្វើការផ្លាស់ប្តូរនៃការមិនស្គាល់ ឧ. y = x + 3 ឬ x = y – 3 ។ បន្ទាប់មក សមីការ (9) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, i.e. ក្នុងទម្រង់

(y2-4)(y2-1)=10(10)

សមីការ Biquadratic (10) មានឫសពីរ។ ដូច្នេះសមីការ (៩) ក៏មានឫសពីរ៖

4. សមីការនៃទម្រង់

សមីការ (១១)

ដែលជាកន្លែងដែលមិនមានឫស x = 0 ដូច្នេះការបែងចែកសមីការ (11) ដោយ x2 យើងទទួលបានសមីការសមមូល

ដែលបន្ទាប់ពីការជំនួសដែលមិនស្គាល់នឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់នៃសមីការការ៉េ ដំណោះស្រាយមិនពិបាកទេ។

ឧទាហរណ៍ 5. ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយហេតុថា h \u003d 0 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការ (12) បន្ទាប់មកចែកវាដោយ x2 យើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងវា

ការធ្វើឱ្យការផ្លាស់ប្តូរមិនស្គាល់ យើងទទួលបានសមីការ (y+1)(y+2)=2 ដែលមានឫសពីរ៖ y1=0 និង y1=-3។ ដូច្នេះសមីការដើម (12) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ

បណ្តុំនេះមានឫសពីរ៖ x1= -1 និង x2 = -2 ។

ចម្លើយ៖ x1 = −1, x2 = −2 ។

មតិយោបល់។ ប្រភេទសមីការ,

ដែលតែងតែអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ (11) ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ពិចារណា α > 0 និង λ > 0 ទៅជាទម្រង់។

5. សមីការនៃទម្រង់

សមីការ

,(13) ដែលលេខ α, β, γ, δ, និង Α មានដូចជា αβ = γδ ≠ 0 អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដោយគុណតង្កៀបទីមួយជាមួយទីពីរ និងទីបីជាមួយទីបួនក្នុងទម្រង់ i.e. សមីការ (13) ឥឡូវនេះត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ (11) ហើយដំណោះស្រាយរបស់វាអាចត្រូវបានអនុវត្តដូចគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ (11) ។

ឧទាហរណ៍ 6. ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ សមីការ (១៤) មានទម្រង់ (១៣) ដូច្នេះយើងសរសេរវាឡើងវិញជា

ដោយសារ x = 0 មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះទេ ដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ x2 យើងទទួលបានសមីការដើមដែលមានសមមូល។ ធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ យើងទទួលបានសមីការបួនជ្រុងដែលដំណោះស្រាយគឺ និង។ ដូច្នេះសមីការដើម (14) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ u ។

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដំបូងនៃសំណុំនេះគឺ

សមីការទីពីរនៃដំណោះស្រាយនេះមិនមានទេ។ ដូច្នេះសមីការដើមមានឫស x1 និង x2 ។

6. សមីការនៃទម្រង់

សមីការ

(15) ដែលលេខ a, b, c, q, A គឺគ្មានឫស x = 0 ដូច្នេះចែកសមីការ (15) ដោយ x2 ។ យើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងវា ដែលបន្ទាប់ពីការជំនួសនៃមិនស្គាល់ នឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់នៃសមីការការ៉េ ដំណោះស្រាយមិនពិបាកទេ។

ឧទាហរណ៍ 7. ដំណោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ចាប់តាំងពី x \u003d 0 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការ (16) ដូច្នេះដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ x2 យើងទទួលបានសមីការ

, (17) ស្មើនឹងសមីការ (16) ។ ដោយបានធ្វើការផ្លាស់ប្តូរនៃមិនស្គាល់ យើងអាចសរសេរសមីការឡើងវិញ (17) ក្នុងទម្រង់

សមីការការ៉េ (18) មានឫស 2៖ y1 = 1 និង y2 = −1 ។ ដូច្នេះសមីការ (១៧) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ និង (១៩)

សំណុំសមីការ (១៩) មាន ៤ ឫស៖ ,.

ពួកគេនឹងក្លាយជាឫសគល់នៃសមីការ (១៦)។

§ 4 ។ សមីការសនិទាន

សមីការនៃទម្រង់ = 0 ដែល H(x) និង Q(x) ជាពហុនាមត្រូវបានគេហៅថា សនិទានភាព។

ដោយបានរកឃើញឫសនៃសមីការ H(x) = 0 បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវពិនិត្យមើលថាតើមួយណាមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការ Q(x) = 0។ ឫសទាំងនេះហើយមានតែពួកវាប៉ុណ្ណោះដែលនឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។

ពិចារណាវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ = 0 ។

1. សមីការនៃទម្រង់

សមីការ

(1) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួននៅលើលេខអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម។ ការដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃសមីការ (1) ដោយពីរ ហើយបូកសរុបគូនីមួយៗ ត្រូវតែទទួលបាននៅក្នុងពហុនាមភាគយកនៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយ ឬសូន្យ ខុសគ្នាតែនៅក្នុងកត្តាលេខ ហើយនៅក្នុងភាគបែង - ត្រីកោណមាត្រដែលមានពាក្យពីរដូចគ្នាដែលមាន x បន្ទាប់មក បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរអថេរ សមីការនឹងមានទម្រង់ (1) ផងដែរ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងចំនួនតិចនៃពាក្យ ឬនឹងស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការពីរ ដែលមួយនឹងជាដឺក្រេទីមួយ និង ទីពីរនឹងជាសមីការនៃទម្រង់ (1) ប៉ុន្តែជាមួយនឹងចំនួនតិចនៃពាក្យ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ការដាក់ជាក្រុមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (2) ពាក្យទីមួយជាមួយពាក្យចុងក្រោយ និងទីពីរជាមួយនឹងចំនុចចុងក្រោយ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញ (2) ក្នុងទម្រង់

ដោយសង្ខេបពាក្យនៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ យើងសរសេរឡើងវិញ Eq. (3) as

ដោយសារមិនមានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (4) ដូច្នេះហើយ បែងចែកសមីការនេះដោយ យើងទទួលបានសមីការ

, (5) សមមូលនឹងសមីការ (4). អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរនៃមិនស្គាល់ បន្ទាប់មកសមីការ (5) នឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃសមីការ (2) ដែលមានប្រាំពាក្យនៅខាងឆ្វេងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ (6) នៃទម្រង់ដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានបីពាក្យនៅខាងឆ្វេង។ សង្ខេបពាក្យទាំងអស់នៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ (6) យើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់

វាក៏មានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការផងដែរ។ គ្មានលេខទាំងនេះណាដែលបាត់ភាគបែងនៃអនុគមន៍សនិទាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (7)។ ដូច្នេះសមីការ (៧) មានឫសគល់ទាំងពីរនេះហើយ សមីការដើម (២) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការដំបូងនៃសំណុំនេះគឺ

ដំណោះស្រាយនៃសមីការទីពីរពីសំណុំនេះគឺ

ដូច្នេះសមីការដើមមានឫសគល់

2. សមីការនៃទម្រង់

សមីការ

(8) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនលើលេខអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម: វាចាំបាច់ក្នុងការជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់នៅក្នុងប្រភាគនីមួយៗនៃសមីការពោលគឺជំនួសសមីការ (8) ជាមួយសមីការ។

កាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់ (1) ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយវាតាមរបៀបដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងសរសេរសមីការ (9) ក្នុងទម្រង់ ឬក្នុងទម្រង់

ដោយសង្ខេបពាក្យក្នុងវង់ក្រចក យើងសរសេរឡើងវិញ Eq. (10) as

ធ្វើឱ្យការផ្លាស់ប្តូរនៃមិនស្គាល់ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញ (11) ក្នុងទម្រង់

សង្ខេបពាក្យនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ (12) យើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់

វាងាយស្រួលមើលថាសមីការ (១៣) មានឫសពីរ៖ និង។ ដូច្នេះ សមីការដើម (៩) មានឫស ៤៖

3) សមីការនៃទម្រង់។

សមីការនៃទម្រង់ (14) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនលើលេខអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម: ដោយការពង្រីក (ប្រសិនបើជាការពិតណាស់វាអាចទៅរួច) ប្រភាគនីមួយៗនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ (14) ចូលទៅក្នុងផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញ។

កាត់បន្ថយសមីការ (14) ទៅជាទម្រង់ (1) បន្ទាប់មកដោយបានអនុវត្តការរៀបចំឡើងវិញដ៏ងាយស្រួលនៃលក្ខខណ្ឌនៃសមីការលទ្ធផល ដោះស្រាយវាតាមវិធីដែលបានពិពណ៌នាក្នុងកថាខណ្ឌទី 1)។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ចាប់ពីពេលនោះមក គុណភាគយកនៃប្រភាគនីមួយៗក្នុងសមីការ (15) ដោយ 2 ហើយចំណាំថាសមីការ (15) អាចត្រូវបានសរសេរជា

សមីការ (១៦) មានទម្រង់ (៧)។ ការចងក្រងពាក្យនៅក្នុងសមីការនេះឡើងវិញ យើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬក្នុងទម្រង់

សមីការ (១៧) ស្មើនឹងសំណុំសមីការ និង

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការទីពីរនៃសំណុំ (18) យើងនឹងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរនៃការមិនស្គាល់ បន្ទាប់មកវានឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងសំណុំបែបបទ ឬក្នុងសំណុំបែបបទ

សង្ខេបពាក្យទាំងអស់នៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ (19) សរសេរវាឡើងវិញជា

ដោយសារសមីការមិនមានឫសគល់ សមីការ (២០) ក៏មិនមានពួកវាដែរ។

សមីការដំបូងនៃសំណុំ (18) មានឫសតែមួយ ចាប់តាំងពីឫសនេះត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង ODZ នៃសមីការទីពីរនៃសំណុំ (18) វាគឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសំណុំ (18) ដូច្នេះហើយសមីការដើម។

4. សមីការនៃទម្រង់

សមីការ

(21) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់លើលេខ និង A បន្ទាប់ពីតំណាងពាក្យនីមួយៗនៅផ្នែកខាងឆ្វេងក្នុងទម្រង់ វាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ (1)។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងសរសេរសមីការ (22) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬក្នុងទម្រង់

ដូច្នេះសមីការ (23) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ (1) ។ ឥឡូវនេះ ដោយដាក់ជាក្រុមពាក្យទីមួយជាមួយពាក្យចុងក្រោយ ហើយទីពីរជាមួយទីបី យើងសរសេរសមីការឡើងវិញ (23) ក្នុងទម្រង់

សមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការ និង។ (24)

សមីការសំណុំចុងក្រោយ (24) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា

មានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ ហើយចាប់តាំងពីវាត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង ODZ នៃសមីការទីពីរនៃសំណុំ (30) បន្ទាប់មកសំណុំ (24) មានឫសបី៖ ពួកគេទាំងអស់គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការដើម។

5. សមីការនៃទម្រង់។

សមីការនៃទម្រង់ (25)

នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនលើលេខ ដោយការជំនួសមិនស្គាល់ មនុស្សម្នាក់អាចកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃទម្រង់

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយសារវាមិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (26) បន្ទាប់មកការបែងចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗនៅខាងឆ្វេងដោយ យើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់

ដោយបានធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញ (27) ក្នុងទម្រង់

សមីការដោះស្រាយ (28) គឺ និង។ ដូច្នេះសមីការ (27) គឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការ u ។ (29)

"វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង"

( ការអាន Kiselevsky)

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា Afanasyeva L.A.

អនុវិទ្យាល័យ MKOU Verkhnekarachanskaya

ស្រុក Gribanovsky តំបន់ Voronezh

ឆ្នាំ 2015

ការអប់រំគណិតវិទ្យាដែលទទួលបាននៅក្នុងសាលាអប់រំទូទៅគឺជាធាតុផ្សំដ៏សំខាន់នៃការអប់រំទូទៅ និងវប្បធម៌ទូទៅរបស់មនុស្សសម័យទំនើប។

គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីឈ្មោះ Courant បានសរសេរថា “អស់រយៈពេលជាងពីរពាន់ឆ្នាំមកនេះ ការកាន់កាប់របស់មួយចំនួន មិនមែនហួសហេតុពេកទេ ចំណេះដឹងក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាគឺចាំបាច់ណាស់។ ផ្នែកសំខាន់ទៅក្នុងសារពើភ័ណ្ឌបញ្ញារបស់មនុស្សគ្រប់រូបដែលមានការអប់រំ”។ ហើយក្នុងចំណោមចំណេះដឹងនេះ មិនមែនកន្លែងចុងក្រោយជាកម្មសិទ្ធិរបស់សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការទេ។

រួចហើយនៅសម័យបុរាណ មនុស្សបានដឹងថាវាមានសារៈសំខាន់យ៉ាងណាក្នុងការរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការពិជគណិត។ ប្រហែល 4,000 ឆ្នាំមុន អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របាប៊ីឡូនបានស្ទាត់ជំនាញដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ និងប្រព័ន្ធដោះស្រាយនៃសមីការពីរ ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះជាសញ្ញាប័ត្រទីពីរ។ ដោយមានជំនួយពីសមីការ បញ្ហាផ្សេងៗនៃការវាស់វែងដីធ្លី ស្ថាបត្យកម្ម និងកិច្ចការយោធាត្រូវបានដោះស្រាយ បញ្ហាជាច្រើន និងផ្សេងៗគ្នានៃការអនុវត្ត និងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដោយសារភាសាពិតប្រាកដនៃគណិតវិទ្យាធ្វើឱ្យវាអាចបង្ហាញការពិត និងទំនាក់ទំនងបានយ៉ាងសាមញ្ញ។ ត្រូវបានគេនិយាយជាភាសាសាមញ្ញ អាចមើលទៅហាក់ដូចជាច្របូកច្របល់ និងស្មុគស្មាញ។ សមីការគឺជាគោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ការបង្កើតវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ ចាប់ផ្តើមពីកំណើតនៃគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រ។ យូរគឺជាប្រធានបទសំខាន់នៃការសិក្សាពិជគណិត។ ហើយសព្វថ្ងៃនេះ នៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា ចាប់ផ្តើមពីដំណាក់កាលដំបូងនៃការអប់រំ ការយកចិត្តទុកដាក់ច្រើនគឺត្រូវយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទផ្សេងៗ។

មិនមានរូបមន្តសកលសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទី 1 នោះទេ។ ជាការពិតណាស់ មនុស្សជាច្រើនបានចេញមកជាមួយនឹងគំនិតដែលគួរឱ្យចង់ស្វែងរកសម្រាប់កម្រិតណាមួយ។ នរូបមន្តដែលនឹងបង្ហាញពីឫសគល់នៃសមីការនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា ពោលគឺនឹងដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ "យុគសម័យកណ្តាលដ៏អាប់អួរ" ប្រែទៅជាអាប់អួរតាមដែលអាចធ្វើទៅបានទាក់ទងនឹងបញ្ហាដែលកំពុងពិភាក្សា - អស់រយៈពេលប្រាំពីរសតវត្សទាំងមូលគ្មាននរណាម្នាក់បានរកឃើញរូបមន្តដែលត្រូវការ! មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 16 ប៉ុណ្ណោះដែលគណិតវិទូអ៊ីតាលីគ្រប់គ្រងដើម្បីបន្ត - ដើម្បីស្វែងរករូបមន្ត ន =3 និង ន =4 . ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ Scipio Dal Ferro សិស្សរបស់គាត់ Fiori និង Tartaglia បានដោះស្រាយជាមួយនឹងសំណួរនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 3 ។ នៅឆ្នាំ 1545 សៀវភៅរបស់គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី D Cardano "សិល្បៈដ៏អស្ចារ្យ ឬនៅលើច្បាប់ពិជគណិត" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលរួមជាមួយនឹងបញ្ហាផ្សេងទៀតនៃពិជគណិត វិធីសាស្ត្រទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបត្រូវបានពិចារណា ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយ។ សមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 4 ត្រូវបានរកឃើញដោយសិស្សរបស់គាត់ L. Ferrari ។ ការបង្ហាញពេញលេញនៃបញ្ហាទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ F. Viet ។ ហើយនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 20 នៃសតវត្សទី 19 គណិតវិទូជនជាតិន័រវេស N. Abel បានបង្ហាញថាឫសនៃសមីការនៃដឺក្រេទី 5 និងខ្ពស់ជាងនេះមិនអាចបង្ហាញតាមរយៈរ៉ាឌីកាល់បានទេ។

ដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការជាធម្មតាមាននៅក្នុងការជំនួសសមីការជាមួយនឹងសមមូលមួយ។ ការជំនួសសមីការជាមួយនឹងសមមូលមួយគឺផ្អែកលើការអនុវត្តនៃ axioms បួន៖

1. ប្រសិនបើតម្លៃស្មើគ្នាត្រូវបានកើនឡើងដោយចំនួនដូចគ្នានោះលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។

2. ប្រសិនបើលេខដូចគ្នាត្រូវបានដកចេញពីតម្លៃស្មើគ្នា នោះលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។

3. ប្រសិនបើតម្លៃស្មើគ្នាត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នានោះលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។

4. ប្រសិនបើតម្លៃស្មើគ្នាត្រូវបានបែងចែកដោយលេខដូចគ្នានោះលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។

ដោយសារផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ P(x) = 0 គឺជាពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រទី n វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការរំលឹកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម៖

សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឫសនៃពហុនាម និងការបែងចែករបស់វា៖

2. ពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានឫសពិតយ៉ាងតិចមួយ។

3. ប្រសិនបើ α ជាឫសនៃ Р(х) បន្ទាប់មក Р n (х) = (х - α) · Q n - 1 (x) ដែល Q n - 1 (x) គឺជាពហុធានៃដឺក្រេ (n - 1) .

4. ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់គឺជាផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ។

6. សម្រាប់ពហុធាដឺក្រេទីបី

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) ឬ decompose ទៅជាផលិតផលនៃ binomial និង trinomial ការ៉េ P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ) ។

7. ពហុធានៃដឺក្រេទីបួនពង្រីកទៅជាផលគុណនៃត្រីកោណការ៉េពីរ។

9. ដើម្បីឱ្យពហុនាម P(x) ត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial (x – c) វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល c ជាឫសគល់នៃ P(x) (Corollary to Bezout's theorem)។

10. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ប្រសិនបើ x 1, x 2, ..., x n គឺជាឫសពិតនៃពហុនាម

P (x) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ... + a n បន្ទាប់មកសមភាពខាងក្រោមមាន៖

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0 ។

ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១ . រកសល់បន្ទាប់ពីបែងចែក P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 ដោយ (x - 1/3) ។

ការសម្រេចចិត្ត។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout៖ "នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial (x - c) គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុនាមនៅក្នុង c" ។ ចូររក P(1/3) = 0។ ដូច្នេះហើយ នៅសល់គឺ 0 ហើយលេខ 1/3 គឺជាឫសគល់នៃពហុធា។

ចម្លើយ៖ R = 0 ។

ឧទាហរណ៍ ២ . ចែក "ជ្រុង" 2x 3 + 3x 2 − 2x + 3 ដោយ (x + 2) ។ ស្វែងរកផ្នែកដែលនៅសេសសល់ និងបរិមាណមិនពេញលេញ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2x 3 + 3x 2 − 2x + 3| x + ២

2x 3 + 4x 2 2x 2 − x

X 2 - 2x

ចម្លើយ៖ R = 3; កូតា៖ 2x 2 - x ។

វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង

1. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីគឺថា ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ f (x) \u003d 0 អថេរថ្មី (ជំនួស) t \u003d x n ឬ t \u003d g (x) ត្រូវបានណែនាំ ហើយ f (x) ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ t ការទទួលបានសមីការថ្មី r (t) ។ ដោះស្រាយសមីការ r(t) រកឫស៖ (t 1, t 2, …, t n) ។ បន្ទាប់ពីនោះ សំណុំនៃសមីការ n q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n ត្រូវបានទទួល ដែលឫសនៃសមីការដើមត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍;(x 2 + x + 1) 2 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ៖ (x 2 + x + 1) 2 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 ។

(x 2 + x + 1) 2 − 3 (x 2 + x + 1) + 3 − 1 = 0 ។

ការជំនួស (x 2 + x + 1) = t ។

t 2 − 3t + 2 = 0 ។

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. ការជំនួសបញ្ច្រាស៖

x 2 + x + 1 = 2 ឬ x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 ឬ x 2 + x \u003d 0;

ពីសមីការទីមួយ: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, ពីទីពីរ: 0 និង -1 ។

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីស្វែងរកកម្មវិធីក្នុងការដោះស្រាយ អាចត្រឡប់មកវិញបាន។ សមីការ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0 ដែលមេគុណនៃលក្ខខណ្ឌនៃសមីការមានគម្លាតស្មើគ្នាពីដើម និងចុង។ , គឺស្មើគ្នា។

មូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺដើម្បីដាក់លក្ខខណ្ឌជាក្រុមតាមរបៀបដែលក្រុមនីមួយៗមានកត្តារួមមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ពេលខ្លះអ្នកត្រូវប្រើល្បិចសិប្បនិម្មិតមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍៖ x 4 − 3x 2 + 4x − 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ស្រមៃ - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 និងក្រុម៖

(x 4 − 2x 2) - (x 2 − 4x + 3) = 0 ។

(x 4 − 2x 2 +1 − 1) - (x 2 − 4x + 3 + 1 − 1) = 0 ។

(x 2 − 1) 2 − 1 − (x − 2) 2 + 1 = 0 ។

(x 2 − 1) 2 - (x − 2) 2 \u003d 0 ។

(x 2 − 1 − x + 2) (x 2 − 1 + x − 2) = 0 ។

(x 2 − x + 1) (x 2 + x − 3) = 0 ។

x 2 - x + 1 \u003d 0 ឬ x 2 + x - 3 \u003d 0 ។

មិនមានឫសនៅក្នុងសមីការទី 1 ពីទីពីរ: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2 ។

3. កត្តាកត្តាដោយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់

ឧទាហរណ៍៖ x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ពហុធានៃដឺក្រេទី 3 អាចត្រូវបានបំបែកទៅជាផលិតផលនៃកត្តាលីនេអ៊ែរ និងការ៉េ។

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b − a) x 2 + (c − ab) x − ac ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

យើងទទួលបាន

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2) ។

ឫសគល់នៃសមីការ (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ងាយស្រួលរក។

ចម្លើយ៖ -១; -២.

4. វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសឫសដោយមេគុណខ្ពស់បំផុតនិងឥតគិតថ្លៃ

វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ៖

1) ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់ គឺជាអ្នកចែកនៃពាក្យសេរី។

2) ដើម្បីឱ្យប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន p/q (p ជាចំនួនគត់ q ជាធម្មជាតិ) ជាឫសគល់នៃសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់ វាចាំបាច់ដែលលេខ p គឺជាអ្នកចែកចំនួនគត់នៃពាក្យសេរី a 0 ហើយ q គឺជាការបែងចែកធម្មជាតិនៃមេគុណខ្ពស់បំផុត។

ឧទាហរណ៍៖ 6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2: ទំ = ± 1, ± 2

6: q = 1, 2, 3, 6 ។

ដូច្នេះ p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6។

ចម្លើយ៖ -២; 1/2; ១/៣.

5. វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក។

វិធីសាស្រ្តនេះមាននៅក្នុងការគូសវាសក្រាហ្វ និងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ។

ឧទាហរណ៍៖ x 5 + x − 2 = 0

ចូរតំណាងឱ្យសមីការក្នុងទម្រង់ x 5 \u003d - x + 2 ។ មុខងារ y \u003d x 5 កំពុងកើនឡើង ហើយមុខងារ y \u003d - x + 2 កំពុងថយចុះ។ នេះមានន័យថាសមីការ x 5 + x - 2 \u003d 0 មានឫសតែមួយ -1 ។

6. គុណនៃសមីការដោយអនុគមន៍មួយ។

ជួនកាលដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតត្រូវបានសម្របសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដោយការគុណផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយមុខងារមួយចំនួន - ពហុធានៅក្នុងមិនស្គាល់។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះវាត្រូវតែចងចាំថាឫសបន្ថែមអាចលេចឡើង - ឫសនៃពហុធាដែលសមីការត្រូវបានគុណ។ ដូច្នេះ គេត្រូវតែគុណនឹងពហុនាមដែលមិនមានឫស និងទទួលបានសមីការសមមូល ឬគុណដោយពហុធាជាមួយឬស ហើយបន្ទាប់មកឫសនីមួយៗត្រូវជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម ហើយកំណត់ថាតើលេខនេះគឺជាឫសរបស់វា។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

ការសម្រេចចិត្ត៖ ការគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយពហុធា X 2 + 1 ដែលមិនមានឫសគល់ យើងទទួលបានសមីការ៖

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
សមីការ (១). សមីការ (២) អាចសរសេរជា៖

X 10 + 1 = 0 (3)
វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការ (3) មិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ដូច្នេះសមីការ (1) មិនមានពួកវាទេ។

ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

បន្ថែមពីលើវិធីសាស្រ្តខាងលើសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះមានផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ការជ្រើសរើសការ៉េពេញ គ្រោងការណ៍របស់ Horner តំណាងនៃប្រភាគក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគពីរ។ នៃវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ដែលត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតពួកគេប្រើ: វិធីសាស្រ្តនៃកត្តានៃផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាកត្តា;

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ (វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី); វិធីក្រាហ្វិក។ យើងណែនាំវិធីសាស្រ្តទាំងនេះដល់សិស្សថ្នាក់ទី 9 នៅពេលសិក្សាលើប្រធានបទ "សមីការទាំងមូល និងឫសគល់របស់វា"។ នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតទី 9 (អ្នកនិពន្ធ Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk និងអ្នកដទៃ) នៃឆ្នាំចុងក្រោយនៃការបោះពុម្ពផ្សាយ វិធីសាស្ត្រសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងត្រូវបានពិចារណាលម្អិតគ្រប់គ្រាន់។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងផ្នែក "សម្រាប់អ្នកដែលចង់ដឹងបន្ថែម" តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ សម្ភារៈត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងវិធីដែលអាចចូលដំណើរការបានលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទលើឫសនៃពហុធា និងចំនួនគត់នៃសមីការទាំងមូលនៅពេលដោះស្រាយសមីការខ្ពស់ជាង។ ដឺក្រេ។ សិស្សដែលរៀបចំបានល្អសិក្សាសម្ភារៈនេះដោយចំណាប់អារម្មណ៍ ហើយបន្ទាប់មកបង្ហាញសមីការដែលបានដោះស្រាយទៅមិត្តរួមថ្នាក់របស់ពួកគេ។

ស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញយើងត្រូវបានភ្ជាប់ក្នុងវិធីមួយឬមួយផ្សេងទៀតជាមួយនឹងគណិតវិទ្យា។ សមិទ្ធិផលក្នុងរូបវិទ្យា វិស្វកម្ម បច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មានគ្រាន់តែបញ្ជាក់ពីរឿងនេះប៉ុណ្ណោះ។ ហើយអ្វីដែលសំខាន់ - ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើនមកដោះស្រាយសមីការប្រភេទផ្សេងៗដែលអ្នកត្រូវរៀនពីរបៀបដោះស្រាយ។

អត្ថបទនៃការងារត្រូវបានដាក់ដោយគ្មានរូបភាពនិងរូបមន្ត។
កំណែពេញលេញនៃការងារមាននៅក្នុងផ្ទាំង "ឯកសារការងារ" ជាទម្រង់ PDF

សេចក្តីផ្តើម

ដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងដោយមិនស្គាល់គឺជាបញ្ហាគណិតវិទ្យាដ៏លំបាកបំផុតមួយ និងបុរាណបំផុត។ គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញបំផុតនៅសម័យបុរាណបានដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ។

ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទី 3 គឺជាកិច្ចការសំខាន់សម្រាប់គណិតវិទ្យាសម័យទំនើបផងដែរ។ ចំណាប់អារម្មណ៍លើពួកវាគឺមានទំហំធំណាស់ ចាប់តាំងពីសមីការទាំងនេះទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការដែលមិនត្រូវបានពិចារណាដោយកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាក្នុងគណិតវិទ្យា។

បញ្ហា៖កង្វះជំនាញក្នុងការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់តាមវិធីផ្សេងៗក្នុងចំណោមសិស្សានុសិស្សរារាំងពួកគេពីការរៀបចំដោយជោគជ័យសម្រាប់វិញ្ញាបនបត្រចុងក្រោយផ្នែកគណិតវិទ្យា និងអូឡាំព្យាដគណិតវិទ្យា ការបណ្តុះបណ្តាលក្នុងថ្នាក់ឯកទេសគណិតវិទ្យា។

អង្គហេតុខាងលើបានកំណត់ ភាពពាក់ព័ន្ធនៃការងាររបស់យើង "ដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង" ។

ការមានវិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទី 9 កាត់បន្ថយពេលវេលាដើម្បីបញ្ចប់កិច្ចការដែលលទ្ធផលនៃការងារនិងគុណភាពនៃដំណើរការសិក្សាអាស្រ័យ។

គោលបំណង៖ការសិក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តដែលគេស្គាល់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង និងការកំណត់អត្តសញ្ញាណដែលអាចចូលដំណើរការបានច្រើនបំផុតសម្រាប់ការអនុវត្តជាក់ស្តែង។

ដោយផ្អែកលើគោលដៅនេះដូចខាងក្រោម ភារកិច្ច:

ដើម្បីសិក្សាធនធានអក្សរសិល្ប៍ និងអ៊ីនធឺណិតលើប្រធានបទនេះ;

ស្វែងយល់ពីការពិតប្រវត្តិសាស្ត្រទាក់ទងនឹងប្រធានបទនេះ;

ពិពណ៌នាអំពីវិធីផ្សេងៗដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។

ប្រៀបធៀបកម្រិតនៃការលំបាករបស់ពួកគេម្នាក់ៗ;

ដើម្បីស្គាល់មិត្តរួមថ្នាក់ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ;

បង្កើតសំណុំនៃសមីការសម្រាប់ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃវិធីសាស្រ្តនីមួយៗដែលបានពិចារណា។

វត្ថុនៃការសិក្សា- សមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងជាមួយនឹងអថេរមួយ។

ប្រធានបទនៃការសិក្សា- វិធីនៃការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។

សម្មតិកម្ម៖មិនមានវិធីទូទៅ និងក្បួនដោះស្រាយតែមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី n ក្នុងចំនួនជំហានកំណត់។

វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ៖

- វិធីសាស្រ្តគន្ថនិទ្ទេស (ការវិភាគអក្សរសិល្ប៍លើប្រធានបទស្រាវជ្រាវ);

- វិធីសាស្រ្តចាត់ថ្នាក់;

- វិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគគុណភាព។

សារៈសំខាន់ទ្រឹស្តីការស្រាវជ្រាវមាននៅក្នុងការរៀបចំជាប្រព័ន្ធសម្រាប់វិធីដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង និងការពិពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

សារៈសំខាន់ជាក់ស្តែង- បង្ហាញសម្ភារៈលើប្រធានបទនេះ និងការអភិវឌ្ឍន៍ជំនួយការបង្រៀនសម្រាប់សិស្សានុសិស្សលើប្រធានបទនេះ។

1. សមីការនៃអំណាចខ្ពស់ជាង

1.1 គំនិតនៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 1

និយមន័យ ១.សមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទី 1 គឺជាសមីការនៃទម្រង់

ក 0 xⁿ+a 1 xន -1 + ក 2 xⁿ - ²+…+កន -1 x+a n = 0 ដែលមេគុណ ក 0, ក 1, ក 2…, កន -1, ក n - ចំនួនពិតណាមួយ និង , ក 0 ≠ 0 .

ពហុនាម ក 0 xⁿ+a 1 xន -1 + ក 2 xⁿ - ²+…+កន -1 x+a n ត្រូវបានគេហៅថាពហុធានៃសញ្ញាបត្រ n ។ មេគុណត្រូវបានសម្គាល់ដោយឈ្មោះ៖ ក 0 - មេគុណជាន់ខ្ពស់; ក n គឺជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

និយមន័យ 2. ដំណោះស្រាយ ឬឫសគល់សម្រាប់សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាតម្លៃទាំងអស់នៃអថេរ Xដែលប្រែក្លាយសមីការនេះទៅជាសមភាពលេខពិត ឬសម្រាប់ពហុនាម ក 0 xⁿ+a 1 xន -1 + ក 2 xⁿ - ²+…+កន -1 x+a n ទៅសូន្យ។ តម្លៃអថេរបែបនេះ Xហៅផងដែរថាឫសនៃពហុធា។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការមានន័យថា ស្វែងរកឫសគល់របស់វាទាំងអស់ ឬកំណត់ថាគ្មាន។

ប្រសិនបើ ក ក 0 = 1 បន្ទាប់មកសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការចំនួនគត់ដែលកាត់បន្ថយ ទីសញ្ញាបត្រ។

សម្រាប់សមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 3 និងទី 4 មានរូបមន្ត Cardano និង Ferrari ដែលបង្ហាញពីឫសគល់នៃសមីការទាំងនេះទាក់ទងនឹងរ៉ាឌីកាល់។ វាបានប្រែក្លាយថានៅក្នុងការអនុវត្តពួកគេកម្រត្រូវបានគេប្រើ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ n ≥ 3 និងមេគុណនៃពហុនាមគឺជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត នោះការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការមិនមែនជាកិច្ចការងាយស្រួលនោះទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងករណីពិសេសជាច្រើនបញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយដល់ទីបញ្ចប់។ ចូរយើងរស់នៅលើពួកគេខ្លះ។

1.2 ការពិតប្រវត្តិសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។

រូបមន្តសកលសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃសមីការពិជគណិត n-thគ្មានសញ្ញាបត្រ។ ជាការពិតណាស់ មនុស្សជាច្រើនបានបង្កើតគំនិតដ៏គួរឱ្យទាក់ទាញ ដើម្បីស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់អំណាចណាមួយនៃ n ដែលនឹងបង្ហាញពីឫសគល់នៃសមីការនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា ពោលគឺនឹងដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។

មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 16 ប៉ុណ្ណោះដែលគណិតវិទូអ៊ីតាលីអាចផ្លាស់ទីបន្ថែមទៀត - ដើម្បីស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ n \u003d 3 និង n \u003d 4 ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ Scipio, Dahl, Ferro និងសិស្សរបស់គាត់ Fiori និង Tartaglia បានចូលរួមក្នុងសំណួរនៃ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដឺក្រេទី 3 ។

នៅឆ្នាំ 1545 សៀវភៅរបស់គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី D. Cardano "សិល្បៈដ៏អស្ចារ្យ ឬនៅលើក្បួនពិជគណិត" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលរួមជាមួយនឹងសំណួរផ្សេងទៀតនៃពិជគណិត វិធីសាស្ត្រទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបត្រូវបានពិចារណា ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 4 ត្រូវបានរកឃើញដោយសិស្សរបស់គាត់ L. Ferrari ។

ការបង្ហាញពេញលេញនៃសំណួរទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ F. Viet ។

ក្នុងទសវត្សរ៍ទី 20 នៃសតវត្សទី 19 គណិតវិទូជនជាតិន័រវេស N. Abel បានបង្ហាញថាឫសគល់នៃសមីការដឺក្រេទីប្រាំមិនអាចបង្ហាញតាមរយៈរ៉ាឌីកាល់បានទេ។

ក្នុងអំឡុងពេលនៃការសិក្សា វាត្រូវបានបង្ហាញថា វិទ្យាសាស្រ្តសម័យទំនើបដឹងពីវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទី 3 ។

លទ្ធផលនៃការស្វែងរកវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង ដែលមិនអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រដែលបានពិចារណាក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា គឺជាវិធីសាស្រ្តផ្អែកលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Vieta (សម្រាប់សមីការដឺក្រេ n> ២) ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout គ្រោងការណ៍របស់ Horner ក៏ដូចជារូបមន្ត Cardano និង Ferrari សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប និងត្រីមាស។

ក្រដាសបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ និងប្រភេទរបស់វា ដែលបានក្លាយជារបកគំហើញមួយសម្រាប់យើង។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូល - វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់, ការបែងចែកសញ្ញាបត្រពេញលេញ, សមីការស៊ីមេទ្រី។

2. ដំណោះស្រាយនៃសមីការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអំណាចខ្ពស់ជាមួយនឹងសហសមិទ្ធិផលរួមបញ្ចូលគ្នា

2.1 ដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេទី 3 ។ រូបមន្ត D. Cardano

ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់ x 3 +px+q=0។យើងបំប្លែងសមីការទូទៅទៅជាទម្រង់៖ x 3 +px 2 +qx+r=0។ចូរយើងសរសេររូបមន្តគូបបូក; ចូរបន្ថែមវាទៅសមភាពដើម ហើយជំនួសវាដោយ y. យើងទទួលបានសមីការ៖ y 3 + (q −) (y −) + (r − = 0.បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ យើងមាន៖ y 2 +py + q=0 ។ឥឡូវនេះ ចូរយើងសរសេររូបមន្តគូបបូកម្តងទៀត៖

(a+b) 3 = ក 3 + 3 ក 2 b+3ab 2 + ខ 3 = ក 3 + ខ 3 + 3ab (a + b),ជំនួស ( a+b)នៅលើ xយើងទទួលបានសមីការ x 3 - 3abx - (ក 3 + ខ 3) = 0. ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាសមីការដើមគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ៖ ហើយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖

យើងបានទទួលរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការខាងលើនៃដឺក្រេទី 3 ។ វាមានឈ្មោះរបស់គណិតវិទូអ៊ីតាលី Cardano ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ .

យើងមាន រ= 15 និង q= 124 បន្ទាប់មកដោយប្រើរូបមន្ត Cardano យើងគណនាឫសនៃសមីការ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រូបមន្តនេះគឺល្អ ប៉ុន្តែមិនស័ក្តិសមសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបទាំងអស់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាមានសំពីងសំពោង។ ដូច្នេះវាកម្រត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្ត។

ប៉ុន្តែអ្នកដែលស្ទាត់ជំនាញរូបមន្តនេះអាចប្រើវានៅពេលដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបីក្នុងការប្រឡង។

2.2 ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

ពីមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា យើងស្គាល់ទ្រឹស្តីបទនេះសម្រាប់សមីការការ៉េ ប៉ុន្តែមានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថាវាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះផងដែរ។

ពិចារណាសមីការ៖

បែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ចែកដោយ ≠ 0 ។

យើងបំប្លែងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅជាទម្រង់

; ពីនេះវាដូចខាងក្រោមដែលយើងអាចសរសេរសមភាពដូចខាងក្រោមទៅក្នុងប្រព័ន្ធ:

រូបមន្តដែលចេញដោយ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ និងបង្ហាញដោយពួកយើងសម្រាប់សមីការនៃដឺក្រេទី 3 ក៏ជាការពិតសម្រាប់ពហុនាមនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។

តោះដោះស្រាយសមីការគូប៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ វិធីសាស្រ្តនេះគឺមានលក្ខណៈជាសកល និងងាយស្រួលគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សិស្សានុសិស្សក្នុងការយល់ ចាប់តាំងពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ស្គាល់ពួកគេពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាសម្រាប់ n = 2. ទន្ទឹមនឹងនោះ ដើម្បីស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនេះ ចាំបាច់ត្រូវមានជំនាញគណនាបានល្អ។

2.3 ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout

ទ្រឹស្ដីនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូជនជាតិបារាំងនៅសតវត្សទី 18 លោក J. Bezout ។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើសមីការ ក 0 xⁿ+a 1 xន -1 + ក 2 xⁿ - ²+…+កន -1 x+a n = 0 ដែលមេគុណទាំងអស់ជាចំនួនគត់ ហើយពាក្យសេរីខុសពីសូន្យ មានឫសចំនួនគត់ បន្ទាប់មកឫសនេះគឺជាផ្នែកចែកនៃពាក្យសេរី។

ដោយពិចារណាថាពហុធានៃសញ្ញាបត្រទី n គឺនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ ទ្រឹស្តីបទមានការបកស្រាយមួយផ្សេងទៀត។

ទ្រឹស្តីបទ។នៅពេលបែងចែកពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី n ដោយគោរព xទៅជា binomial x-aនៅសល់គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃភាគលាភនៅពេល x = ក. (លិខិត កអាចបញ្ជាក់លេខពិត ឬស្រមើស្រមៃណាមួយ ពោលគឺឧ។ ចំនួនកុំផ្លិច) ។

ភស្តុតាង៖អនុញ្ញាតឱ្យមាន f(x) តំណាងឱ្យពហុនាមបំពាននៃសញ្ញាប័ត្រទី n ដោយគោរពទៅនឹងអថេរ x ហើយអនុញ្ញាតឱ្យនៅពេលចែកវាដោយទ្វេនាម ( x-a) បានកើតឡើងនៅក្នុងឯកជន q(x) និងនៅសេសសល់ រ. វាច្បាស់ណាស់។ q(x)វានឹងមានពហុនាមមួយចំនួន (n - 1) សញ្ញាបត្រដែលទាក់ទង xនិងនៅសល់ រនឹងជាតម្លៃថេរ, i.e. ឯករាជ្យនៃ x.

ប្រសិនបើនៅសល់ រគឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេទី 1 នៅក្នុង x បន្ទាប់មកនេះមានន័យថាការបែងចែកមិនត្រូវបានអនុវត្តទេ។ ដូច្នេះ រពី xមិនអាស្រ័យ។ តាមនិយមន័យនៃការបែងចែក យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ៖ f(x)=(x-a)q(x)+R.

សមភាពគឺពិតសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x ដូច្នេះវាក៏ពិតសម្រាប់ x=a, យើងទទួលបាន: f(a)=(a-a)q(a)+R. និមិត្តសញ្ញា f(ក) បង្ហាញពីតម្លៃនៃពហុនាម f (x) នៅ x=a, q(a)តំណាងឱ្យតម្លៃមួយ។ q(x) នៅ x=a ។នៅសល់ រនៅតែដូចពីមុន រពី xមិនអាស្រ័យ។ ការងារ ( x-a) q(a) = 0ចាប់តាំងពីមេគុណ ( x-a) = 0,និងមេគុណ q(a)មានលេខជាក់លាក់។ ដូច្នេះពីសមភាពយើងទទួលបាន៖ f(a)=R, h.t.d.

ឧទាហរណ៍ ១រកផ្នែកដែលនៅសល់នៃការបែងចែកពហុធា x 3 - 3x 2 + 6x- 5 ក្នុងមួយ binomial

x- 2. ដោយទ្រឹស្តីបទ Bezout ៖ R=f(2) = 23-322 + 62 −5=3 ។ ចម្លើយ៖ R = 3.

ចំណាំថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout មិនសូវសំខាន់នៅក្នុងខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែដោយសារតែផលវិបាករបស់វា។ (ឧបសម្ព័ន្ធទី ១)

ចូរយើងពិចារណាលើវិធីសាស្រ្តមួយចំនួននៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដោះស្រាយសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Bezout វាចាំបាច់:

ស្វែងរកផ្នែកចែកចំនួនគត់ទាំងអស់នៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ។

នៃការបែងចែកទាំងនេះ រកយ៉ាងហោចណាស់ឫសមួយនៃសមីការ។

ចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដោយ (ហា);

សរសេរផលគុណចែកនិងកូតានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ;

ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

ដំណោះស្រាយ៖ ស្វែងរកផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. គណនាតម្លៃសម្រាប់ x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0 ។ ចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដោយ ( X- 1). យើងអនុវត្តការបែងចែកជាមួយ "ជ្រុង" យើងទទួលបាន:

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ដែលជាវិធីមួយដែលយើងពិចារណាក្នុងការងាររបស់យើង ត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងកម្មវិធីនៃសកម្មភាពក្រៅកម្មវិធីសិក្សា។ វាពិបាកយល់ណាស់ ព្រោះដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់វា អ្នកត្រូវដឹងពីផលវិបាកទាំងអស់ពីវា ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានោះ ទ្រឹស្តីបទ Bezout គឺជាជំនួយការដ៏សំខាន់មួយសម្រាប់សិស្សក្នុងការប្រឡង។

2.4 គ្រោងការណ៍របស់ Horner

ដើម្បីបែងចែកពហុធាដោយទ្វេនាម x-αអ្នកអាចប្រើល្បិចសាមញ្ញពិសេសមួយដែលបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូអង់គ្លេសនៃសតវត្សទី 17 ដែលក្រោយមកគេហៅថា Horner's scheme។ បន្ថែមពីលើការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ គ្រោងការណ៍របស់ Horner ធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគណនាតម្លៃរបស់ពួកគេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសតម្លៃនៃអថេរទៅជាពហុធា Pn (x) = ក 0 xn+a 1 x n-1 + ក 2 xⁿ - ²+…++ កន -1 x+aន. (មួយ)

ពិចារណាការបែងចែកពហុធា (1) ដោយ binomial x-α.

យើងបង្ហាញពីមេគុណនៃកូតាមិនពេញលេញ ខ 0 xⁿ - ¹+ ខ 1 xⁿ - ²+ ខ 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 និងនៅសល់ rនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណនៃពហុធា Pn ( x) និងលេខ α. ខ 0 = ក 0 , ខ 1 = α ខ 0 + ក 1 , ខ 2 = α ខ 1 + ក 2 …, bn -1 =

= α bn -2 + កន -1 = α bn -1 + កន .

ការគណនាយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Horner ត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់តារាងខាងក្រោម៖

	ក 0	ក 1	ក 2 ,
	ខ 0 = ក 0	ខ 1 = α ខ 0 + ក 1	ខ 2 = α ខ 1 + ក 2		r=αខ n-1 + កន

ដរាបណា r=Pn(α),បន្ទាប់មក α គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើ α គឺជាឫសច្រើនឬអត់ គ្រោងការណ៍របស់ Horner អាចត្រូវបានអនុវត្តរួចហើយចំពោះ quotient b 0 x+ខ 1 x+…+ bn -1 នេះបើយោងតាមតារាង។ ប្រសិនបើនៅក្នុងជួរឈរក្រោម bn -1 យើងទទួលបាន 0 ម្តងទៀត ដូច្នេះ α គឺជាឫសច្រើន។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ៖ ដោះស្រាយសមីការ X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

ចូរយើងអនុវត្តទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ កត្តាកត្តានៃពហុធា នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ គ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

ដំណោះស្រាយ៖ ស្វែងរកផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ ± 1; ±2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

មេគុណនៃកូតាគឺលេខ 1, 5, 6 ហើយនៅសល់គឺ r = 0 ។

មានន័យថា X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

ពីទីនេះ: X- 1 = 0 ឬ X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. ចម្លើយ៖ 1,- 2, - 3.

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដូច្នេះនៅលើសមីការមួយ យើងបានបង្ហាញការប្រើប្រាស់វិធីពីរផ្សេងគ្នានៃកត្តាពហុនាម។ តាមគំនិតរបស់យើង គ្រោងការណ៍របស់ Horner គឺជាក់ស្តែង និងសន្សំសំចៃបំផុត។

2.5 ដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេទី 4 ។ វិធីសាស្រ្ត Ferrari

និស្សិត Ludovic Ferrari របស់ Cardano បានរកឃើញវិធីមួយដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី 4 ។ វិធីសាស្រ្ត Ferrari មានពីរជំហាន។

ដំណាក់កាលទី 1៖ សមីការនៃទម្រង់ត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃត្រីកោណការ៉េពីរ វាកើតឡើងពីការពិតដែលថាសមីការគឺដឺក្រេទី 3 និងដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។

ដំណាក់កាលទី II៖ សមីការលទ្ធផលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើកត្តា ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីស្វែងរកកត្តាចាំបាច់ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការគូប។

គំនិតគឺតំណាងឱ្យសមីការដូចជា A 2 = B 2 ដែល A = x 2+s,

មុខងារ B-linear នៃ x. បន្ទាប់មកវានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ A = ±B ។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ សូមពិចារណាសមីការ៖ យើងបំបែកសញ្ញាបត្រទី ៤ យើងទទួលបាន៖ សម្រាប់ណាមួយ។ ឃកន្សោមនឹងក្លាយជាការ៉េដ៏ល្អឥតខ្ចោះ។ បន្ថែមទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដែលយើងទទួលបាន

នៅផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាការ៉េពេញអ្នកអាចយកបាន។ ឃដូច្នេះជ្រុងខាងស្តាំនៃ (2) ក្លាយជាការ៉េដ៏ល្អឥតខ្ចោះ។ ស្រមៃថាយើងបានសម្រេចរឿងនេះ។ បន្ទាប់មកសមីការរបស់យើងមើលទៅដូចនេះ៖

ការស្វែងរកឫសនៅពេលក្រោយនឹងមិនពិបាកទេ។ ដើម្បីជ្រើសរើសត្រឹមត្រូវ។ ឃវាចាំបាច់ដែលការរើសអើងនៃផ្នែកខាងស្តាំនៃ (3) បាត់ខ្លួនពោលគឺឧ។

ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរក ឃវាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេទី 3 នេះ។ សមីការជំនួយនេះត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយ.

យើងអាចស្វែងរកឫសចំនួនគត់នៃដំណោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល៖ d= 1

ការជំនួសសមីការទៅជា (1) យើងទទួលបាន

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ វិធីសាស្ត្រ Ferrari គឺមានលក្ខណៈជាសកល ប៉ុន្តែមានភាពស្មុគស្មាញ និងស្មុគស្មាញ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ប្រសិនបើក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយមានភាពច្បាស់លាស់ នោះសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 4 អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រនេះ។

2.6 វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។

ភាពជោគជ័យនៃការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទី 4 ដោយវិធីសាស្ត្រ Ferrari អាស្រ័យលើថាតើយើងដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី 3 ដែលតាមដែលយើងដឹងគឺមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានទេ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់គឺថា ប្រភេទនៃកត្តាដែលពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបាន decomposed ត្រូវបានទាយ ហើយមេគុណនៃកត្តាទាំងនេះ (ក៏ពហុនាម) ត្រូវបានកំណត់ដោយគុណកត្តា និងសមភាពមេគុណនៅថាមពលដូចគ្នានៃ អថេរ។

ឧទាហរណ៍៖ ដោះស្រាយសមីការ៖

ចូរយើងសន្មត់ថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការរបស់យើងអាចត្រូវបានបំបែកទៅជាត្រីកោណការ៉េពីរដែលមានមេគុណចំនួនគត់ ដូច្នេះសមភាពដូចគ្នាគឺពិត។

វាច្បាស់ណាស់ថាមេគុណនៅពីមុខពួកវាត្រូវតែស្មើនឹង 1 ហើយលក្ខខណ្ឌទំនេរត្រូវតែស្មើនឹងមួយ + 1, ផ្សេងទៀតមាន 1 ។

មេគុណប្រឈមមុខ X. ចូរយើងសម្គាល់ពួកវាដោយ កហើយដើម្បីកំណត់ពួកវា យើងគុណត្រីកោណទាំងពីរនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

សមីការមេគុណនៅថាមពលដូចគ្នា។ Xនៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាព (1) យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសម្រាប់ការស្វែងរក និង

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះយើងនឹងមាន

ដូច្នេះសមីការរបស់យើងគឺស្មើនឹងសមីការ

ការដោះស្រាយវា យើងទទួលបានឫសខាងក្រោម៖

វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់គឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដូចខាងក្រោម: ពហុធានៃសញ្ញាបត្រទី 4 នៅក្នុងសមីការអាចត្រូវបាន decomposed ទៅជាផលិតផលនៃពហុនាមពីរនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ; ពហុនាមពីរគឺដូចគ្នាបេះបិទ ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាស្មើគ្នាក្នុងអំណាចដូចគ្នា។ X.

2.7 សមីការស៊ីមេទ្រី

និយមន័យ។សមីការនៃទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថាស៊ីមេទ្រី ប្រសិនបើមេគុណទីមួយនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺស្មើនឹងមេគុណទីមួយនៅខាងស្តាំ។

យើងឃើញថាមេគុណទីមួយនៅខាងឆ្វេងគឺស្មើនឹងមេគុណទីមួយនៅខាងស្តាំ។

ប្រសិនបើសមីការបែបនេះមានកម្រិតសេស នោះវាមានឫសគល់ X= - 1. បន្ទាប់មក យើងអាចបន្ថយកម្រិតនៃសមីការដោយបែងចែកវាដោយ ( x+មួយ) វាប្រែថានៅពេលបែងចែកសមីការស៊ីមេទ្រីដោយ ( x+ 1) សមីការស៊ីមេទ្រីនៃដឺក្រេគូត្រូវបានទទួល។ ភស្តុតាងនៃភាពស៊ីមេទ្រីនៃមេគុណត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។ (ឧបសម្ព័ន្ធទី ៦) ភារកិច្ចរបស់យើងគឺរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការស៊ីមេទ្រីនៃដឺក្រេគូ។

ឧទាហរណ៍៖ (1)

យើងដោះស្រាយសមីការ (1) ចែកដោយ X 2 (ដល់កម្រិតមធ្យម) = 0 ។

យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌដោយស៊ីមេទ្រី

) + 3(x+. បញ្ជាក់ នៅ= x+ ចូរយើងធ្វើការការ៉េទាំងពីរផ្នែក ដូច្នេះ = នៅ 2 ដូច្នេះ 2( នៅ 2 ឬ ២ នៅ 2 + 3 ការដោះស្រាយសមីការ យើងទទួលបាន នៅ = , នៅ= 3. បន្ទាប់យើងត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ។ x+ = និង x+ = 3. យើងទទួលបានសមីការ ហើយទីមួយមិនមានដំណោះស្រាយទេ ហើយទីពីរមានឫសពីរ។ ចម្លើយ៖ ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ សមីការប្រភេទនេះមិនត្រូវបានគេជួបប្រទះញឹកញាប់ទេ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកឆ្លងកាត់វានោះ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួល និងសាមញ្ញដោយមិនចាំបាច់ងាកទៅរកការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញនោះទេ។

2.8 ការទាញយកសញ្ញាបត្រពេញលេញ

ពិចារណាសមីការ។

ផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាគូបនៃផលបូក (x + 1) i.e.

យើងដកឫសនៃសញ្ញាបត្រទីបីពីផ្នែកទាំងពីរ៖ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

តើឫសតែមួយគត់នៅឯណា។

លទ្ធផលនៃការសិក្សា

ជាលទ្ធផលនៃការងារយើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម:

សូមអរគុណចំពោះទ្រឹស្តីដែលបានសិក្សា យើងបានស្គាល់វិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូលនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។

រូបមន្តរបស់ D. Cardano ពិបាកប្រើ និងផ្តល់ប្រូបាបខ្ពស់ក្នុងការបង្កើតកំហុសក្នុងការគណនា។

- វិធីសាស្រ្តនៃ L. Ferrari អនុញ្ញាតឱ្យកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេទីបួនទៅគូបមួយ;

- ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout អាចប្រើបានទាំងសមីការគូប និងសមីការនៃដឺក្រេទីបួន។ វាកាន់តែអាចយល់បាន និងជាឧទាហរណ៍នៅពេលអនុវត្តចំពោះការដោះស្រាយសមីការ។

គ្រោងការណ៍របស់ Horner ជួយកាត់បន្ថយ និងសម្រួលការគណនាយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ។ បន្ថែមពីលើការស្វែងរកឫស គ្រោងការណ៍របស់ Horner ធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគណនាតម្លៃនៃពហុនាមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ;

ការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសគឺដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ ដំណោះស្រាយនៃសមីការស៊ីមេទ្រី។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការងារស្រាវជ្រាវ គេបានរកឃើញថា សិស្សបានស្គាល់វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតក្នុងការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងថ្នាក់ជ្រើសរើសក្នុងគណិតវិទ្យា ដោយចាប់ផ្តើមពីថ្នាក់ទី 9 ឬទី 10 ក៏ដូចជានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិសេសនៃការទស្សនាគណិតវិទ្យា។ សាលារៀន។ ការពិតនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការស្ទង់មតិរបស់គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅ MBOU "អនុវិទ្យាល័យលេខ 9" និងសិស្សដែលបង្ហាញពីការចាប់អារម្មណ៍កើនឡើងលើមុខវិជ្ជា "គណិតវិទ្យា" ។

វិធីសាស្រ្តដ៏ពេញនិយមបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង ដែលត្រូវបានជួបប្រទះក្នុងការដោះស្រាយកីឡាអូឡាំពិក បញ្ហាប្រកួតប្រជែង និងជាលទ្ធផលនៃការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងដោយសិស្ស គឺជាវិធីសាស្ត្រផ្អែកលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout គ្រោងការណ៍របស់ Horner និងការណែនាំអថេរថ្មីមួយ។ .

ការបង្ហាញលទ្ធផលនៃការស្រាវជ្រាវ, i.e. វិធីដោះស្រាយសមីការដែលមិនបានសិក្សាក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាផ្នែកគណិតវិទ្យា មិត្តរួមថ្នាក់ចាប់អារម្មណ៍។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ដោយបានសិក្សាអក្សរសិល្ប៍អប់រំ និងវិទ្យាសាស្ត្រ ធនធានអ៊ីនធឺណិតក្នុងវេទិកាអប់រំយុវជន

ពិចារណា ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរមួយដឺក្រេខ្ពស់ជាងទីពីរ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឫសនៃពហុនាម និងការបែងចែករបស់វា៖

2. ពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានឫសពិតយ៉ាងតិចមួយ។

3. ប្រសិនបើ α ជាឫសនៃ Р(х) នោះ Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x) ដែល Q n – 1 (x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ (n – 1) .

6. សម្រាប់ពហុធាដឺក្រេទីបី

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) ឬ decompose ទៅជាផលិតផលនៃ binomial និង trinomial ការ៉េ P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ) ។

7. ពហុធានៃដឺក្រេទីបួនពង្រីកទៅជាផលគុណនៃត្រីកោណការ៉េពីរ។

10. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ប្រសិនបើ x 1, x 2, ..., x n គឺជាឫសពិតនៃពហុនាម

P (x) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ... + a n បន្ទាប់មកសមភាពខាងក្រោមមាន៖

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0 ។

ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១

រកសល់បន្ទាប់ពីបែងចែក P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 ដោយ (x - 1/3) ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចម្លើយ៖ R = 0 ។

ឧទាហរណ៍ ២

ចែក "ជ្រុង" 2x 3 + 3x 2 − 2x + 3 ដោយ (x + 2) ។ ស្វែងរកផ្នែកដែលនៅសេសសល់ និងបរិមាណមិនពេញលេញ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2x 3 + 3x 2 − 2x + 3| x + ២

2x 3 + 4x 2 2x 2 − x

X 2 – 2 x

ចម្លើយ៖ R = 3; កូតា៖ 2x 2 - x ។

វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង

1. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ

ឧទាហរណ៍ ១

(x 2 + x + 1) 2 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

(x 2 + x + 1) 2 − 3 (x 2 + x) − 1 = 0 ។

(x 2 + x + 1) 2 − 3 (x 2 + x + 1) + 3 − 1 = 0 ។

ការជំនួស (x 2 + x + 1) = t ។

t 2 − 3t + 2 = 0 ។

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. ការជំនួសបញ្ច្រាស៖

x 2 + x + 1 = 2 ឬ x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x − 1 = 0 ឬ x 2 + x = 0;

ចំលើយ៖ ពីសមីការទីមួយ៖ x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2 ពីសមីការទីពីរ៖ 0 និង −1 ។

ឧទាហរណ៍ ១

x 4 − 3x 2 + 4x − 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ស្រមៃ - 3x 2 = −2x 2 − x 2 និងក្រុម៖

(x 4 − 2x 2) - (x 2 − 4x + 3) = 0 ។

(x 4 − 2x 2 +1 − 1) - (x 2 − 4x + 3 + 1 − 1) = 0 ។

(x 2 − 1) 2 − 1 − (x − 2) 2 + 1 = 0 ។

(x 2 − 1) 2 - (x − 2) 2 \u003d 0 ។

(x 2 − 1 − x + 2) (x 2 − 1 + x − 2) = 0 ។

(x 2 − x + 1) (x 2 + x − 3) = 0 ។

x 2 - x + 1 \u003d 0 ឬ x 2 + x - 3 \u003d 0 ។

ចម្លើយ៖ មិនមានឫសគល់នៅក្នុងសមីការទីមួយទេ ពីទីពីរ៖ x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2 ។

3. ការបំបែកកត្តាដោយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់

ឧទាហរណ៍ ១

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ពហុធានៃដឺក្រេទី 3 អាចត្រូវបានបំបែកទៅជាផលិតផលនៃកត្តាលីនេអ៊ែរ និងការ៉េ។

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, i.e.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2) ។

ឫសគល់នៃសមីការ (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ងាយស្រួលរក។

ចម្លើយ៖ -១; -២.

4. វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសឫសដោយមេគុណខ្ពស់បំផុតនិងឥតគិតថ្លៃ

វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ៖

ឧទាហរណ៍ ១

6x 3 + 7x 2 − 9x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

6: q = 1, 2, 3, 6 ។

ដូច្នេះ p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6។

ចម្លើយ៖ -២; 1/2; ១/៣.

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង