នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានបច្ចេកទេសពិសេស ដែលសមីការ quadratic ជាច្រើនអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងគ្មានការរើសអើងណាមួយឡើយ។ លើសពីនេះទៅទៀត ជាមួយនឹងការបណ្តុះបណ្តាលត្រឹមត្រូវ មនុស្សជាច្រើនចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយផ្ទាល់មាត់ តាមព្យញ្ជនៈ "នៅពេលមើលឃើញដំបូង" ។

ជាអកុសលនៅក្នុងវគ្គសិក្សាទំនើបនៃគណិតវិទ្យាសាលា បច្ចេកវិទ្យាបែបនេះស្ទើរតែមិនត្រូវបានសិក្សា។ តែត្រូវដឹង! ហើយថ្ងៃនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលបច្ចេកទេសមួយក្នុងចំណោមបច្ចេកទេសទាំងនេះ - ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ជាដំបូងសូមណែនាំនិយមន័យថ្មី។

សមីការការ៉េនៃទម្រង់ x 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយ។ សូមចំណាំថាមេគុណសម្រាប់ x 2 គឺ 1 ។ មិនមានការរឹតបន្តឹងផ្សេងទៀតលើមេគុណទេ។

1. x 2 + 7x + 12 = 0 គឺជាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - កាត់បន្ថយផងដែរ;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ប៉ុន្តែនេះមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាល់តែសោះព្រោះមេគុណនៃ x 2 គឺស្មើនឹង 2 ។

ជាការពិតណាស់ សមីការការ៉េណាមួយនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ - គ្រាន់តែចែកមេគុណទាំងអស់ដោយលេខ a ។ យើងតែងតែអាចធ្វើដូចនេះបាន ចាប់តាំងពីនិយមន័យនៃសមីការ quadratic មានន័យថា a ≠ 0 ។

ពិត ការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះនឹងមិនតែងតែមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការស្វែងរកឫសនោះទេ។ ខាងក្រោម​នេះ​យើង​នឹង​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​វា​គួរ​តែ​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​តែ​នៅ​ពេល​ដែល​នៅ​ក្នុង​សមីការ​ចុង​ក្រោយ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​ការ​ការ៉េ​មេគុណ​ទាំងអស់​គឺ​ជា​ចំនួន​គត់​។ សម្រាប់ពេលនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត៖

កិច្ចការ។ បំប្លែងសមីការការ៉េទៅជាសមីការកាត់បន្ថយ៖

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ។

ចូរបែងចែកសមីការនីមួយៗដោយមេគុណនៃអថេរ x 2 ។ យើង​ទទួល​បាន:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - ចែកអ្វីៗទាំងអស់ដោយ 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - ចែកនឹង −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - ចែកដោយ 1.5 មេគុណទាំងអស់ក្លាយជាចំនួនគត់;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - ចែកនឹង 2. ក្នុងករណីនេះ មេគុណប្រភាគបានលេចចេញមក។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ សមីការការ៉េខាងលើអាចមានមេគុណចំនួនគត់ ទោះបីជាសមីការដើមមានប្រភាគក៏ដោយ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទចម្បង ដែលតាមពិត គំនិតនៃសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានណែនាំ៖

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ពិចារណាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយនៃទម្រង់ x 2 + bx + c = 0 ។ ឧបមាថាសមីការនេះមានឫសពិត x 1 និង x 2 ។ ក្នុងករណីនេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺពិត៖

1. x 1 + x 2 = −b ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងមេគុណនៃអថេរ x ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ។
2. x 1 x 2 = គ. ផលគុណនៃឫសនៃសមីការ quadratic គឺស្មើនឹងមេគុណទំនេរ។

ឧទាហរណ៍។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ យើងនឹងពិចារណាតែសមីការការ៉េខាងលើប៉ុណ្ណោះ ដែលមិនត្រូវការការបំប្លែងបន្ថែម៖

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; ឫស៖ x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; ឫស៖ x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; ឫស៖ x ១ = −១; x 2 = −4 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផ្តល់ឱ្យយើងនូវព័ត៌មានបន្ថែមអំពីឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាពិបាក ប៉ុន្តែសូម្បីតែជាមួយនឹងការបណ្តុះបណ្តាលតិចតួចក៏ដោយ អ្នកនឹងរៀនដើម្បី "មើល" ឫស ហើយទាយវាដោយព្យញ្ជនៈក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទី។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 ។

ចូរ​ព្យាយាម​សរសេរ​មេគុណ​ដោយ​ប្រើ​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta និង “ទាយ” ឫស៖

1. x 2 − 9x + 14 = 0 គឺជាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ។
   តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. ងាយមើលថាឫសគឺជាលេខ 2 និង 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - កាត់បន្ថយផងដែរ។
   តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. ដូេចនះឫស៖ ៣ និង ៩;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - សមីការនេះមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងកែតម្រូវវាឥឡូវនេះដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយមេគុណ a = 3 ។ យើងទទួលបាន: x 2 + 11x + 10 = 0 ។
   យើងដោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ឫស៖ −10 និង −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - ម្តងទៀត មេគុណសម្រាប់ x 2 មិនស្មើនឹង 1 ពោលគឺឧ។ សមីការមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងបែងចែកអ្វីៗទាំងអស់ដោយលេខ a = −7 ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 − 11x + 30 = 0 ។
   តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; ពីសមីការទាំងនេះវាងាយស្រួលក្នុងការទាយឫស៖ 5 និង 6 ។

ពីហេតុផលខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ពីរបៀបដែលទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រួលដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។ គ្មានការគណនាស្មុគស្មាញ គ្មានឫសនព្វន្ធ និងប្រភាគ។ ហើយ​យើង​ក៏​មិន​ត្រូវ​ការ​អ្នក​រើស​អើង​ដែរ (សូម​មើល​មេរៀន "ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ")។

ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងការឆ្លុះបញ្ចាំងរបស់យើងទាំងអស់ យើងបានបន្តពីការសន្មត់សំខាន់ៗចំនួនពីរ ដែលជាទូទៅ មិនមែនតែងតែជួបក្នុងបញ្ហាពិតប្រាកដនោះទេ៖

1. សមីការ quadratic ត្រូវបានកាត់បន្ថយ, i.e. មេគុណសម្រាប់ x 2 គឺ 1;
2. សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ តាមទស្សនៈពិជគណិត ក្នុងករណីនេះ អ្នករើសអើងគឺ D > 0 - តាមពិតដំបូងឡើយ យើងសន្មត់ថាវិសមភាពនេះគឺពិត។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាធម្មតាលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានបំពេញ។ ប្រសិនបើការគណនាបណ្តាលឱ្យមានសមីការបួនជ្រុង "អាក្រក់" (មេគុណនៃ x 2 ខុសពី 1) នេះអាចកែតម្រូវបានយ៉ាងងាយស្រួល - មើលឧទាហរណ៍នៅដើមមេរៀន។ ជាទូទៅខ្ញុំនៅស្ងៀមអំពីឫស៖ តើបញ្ហាបែបណាដែលមិនមានចម្លើយ? ជាការពិតណាស់នឹងមានឫស។

ដូច្នេះ គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta មានដូចខាងក្រោម៖

1. កាត់បន្ថយសមីការ quadratic ទៅមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ, ប្រសិនបើនេះមិនទាន់ត្រូវបានធ្វើរួចនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា;
2. ប្រសិនបើមេគុណនៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើជាប្រភាគ យើងដោះស្រាយដោយប្រើការរើសអើង។ អ្នកថែមទាំងអាចត្រលប់ទៅសមីការដើមដើម្បីធ្វើការជាមួយលេខ "ងាយស្រួល" បន្ថែមទៀត។
3. ក្នុងករណីមេគុណចំនួនគត់ យើងដោះស្រាយសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។
4. ប្រសិនបើអ្នកមិនអាចទស្សន៍ទាយឫសគល់ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទី ភ្លេចអំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ហើយដោះស្រាយដោយប្រើការរើសអើង។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ 5x 2 − 35x + 50 = 0 ។

ដូច្នេះ យើងមានសមីការមួយ ដែលមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយ ពីព្រោះ មេគុណ a = 5. ចែកអ្វីៗទាំងអស់ដោយ 5 យើងទទួលបាន: x 2 − 7x + 10 = 0 ។

មេគុណទាំងអស់នៃសមីការការ៉េគឺជាចំនួនគត់ - តោះព្យាយាមដោះស្រាយវាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. ក្នុងករណីនេះឫសគឺងាយស្រួលទាយ - ពួកគេគឺ 2 និង 5 ។ មិនចាំបាច់រាប់ដោយប្រើអ្នករើសអើងទេ។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ។

សូមក្រឡេកមើល៖ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - សមីការនេះមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ ចូរបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណ a = −5 ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - សមីការដែលមានមេគុណប្រភាគ។

វាជាការប្រសើរក្នុងការត្រលប់ទៅសមីការដើមវិញ ហើយរាប់តាមការរើសអើង៖ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4 ។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ 2x 2 + 10x − 600 = 0 ។

ដំបូងយើងបែងចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយមេគុណ a = 2 ។ យើងទទួលបានសមីការ x 2 + 5x − 300 = 0 ។

នេះគឺជាសមីការកាត់បន្ថយ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300 ។ វាពិបាកក្នុងការទស្សន៍ទាយឫសគល់នៃសមីការ quadratic ក្នុងករណីនេះ - ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំបានជាប់គាំងយ៉ាងខ្លាំងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

អ្នកនឹងត្រូវរកមើលឫសតាមរយៈអ្នករើសអើង៖ D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនចាំឫសគល់នៃអ្នករើសអើងទេ ខ្ញុំគ្រាន់តែចំណាំថា 1225: 25 = 49 ដូច្នេះហើយ 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 ។

ឥឡូវនេះឫសគល់នៃអ្នករើសអើងត្រូវបានដឹង ការដោះស្រាយសមីការមិនពិបាកទេ។ យើងទទួលបាន: x 1 = 15; x 2 = −20 ។

នៅក្នុងការបង្រៀននេះ យើងនឹងស្គាល់ពីទំនាក់ទំនងដែលចង់ដឹងចង់ឃើញរវាងឫសនៃសមីការការ៉េ និងមេគុណរបស់វា។ ទំនាក់ទំនងទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង François Viète (1540-1603)។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ 3x 2 - 8x - 6 = 0 ដោយមិនបានស្វែងរកឫសរបស់វា អ្នកអាចដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និយាយភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹង ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹង
i.e. - 2. ហើយសម្រាប់សមីការ x 2 - 6x + 8 = 0 យើងសន្និដ្ឋាន: ផលបូកនៃឫសគឺ 6, ផលិតផលនៃឫសគឺ 8; ដោយវិធីនេះ វាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាតើឫសអ្វីស្មើនឹង៖ 4 និង 2 ។
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការ quadratic ax 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

ដែល D = b 2 − 4ac គឺជាការរើសអើងនៃសមីការ។ ដោយបានដាក់ឫសទាំងនេះរួមគ្នា។
យើង​ទទួល​បាន

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាផលគុណនៃឫស x 1 និង x 2។ យើងមាន

ទំនាក់ទំនងទីពីរត្រូវបានបញ្ជាក់៖
មតិយោបល់។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក៏មានសុពលភាពផងដែរក្នុងករណីដែលសមីការការ៉េមានឫសមួយ (នោះគឺនៅពេលដែល D=0) វាត្រូវបានសន្មត់យ៉ាងសាមញ្ញក្នុងករណីនេះថាសមីការមានឫសដូចគ្នាពីរ ដែលទំនាក់ទំនងខាងលើត្រូវបានអនុវត្ត។
ទំនាក់ទំនងដែលបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0 យកទម្រង់សាមញ្ញពិសេសមួយ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន៖

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
ទាំងនោះ។ ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អ្នកអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមអោយ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0 ។ បន្ទាប់មក

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គោលបំណងសំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺមិនមែនថាវាបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងមួយចំនួនរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការបួនជ្រុងនោះទេ។ សំខាន់ជាងនេះទៅទៀតនោះគឺថា ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta រូបមន្តសម្រាប់បង្កើតត្រីកោណមាត្របួនជ្រុងត្រូវបានយកមក ដែលយើងនឹងមិនធ្វើដោយគ្មាននៅពេលអនាគត។

ភស្តុតាង។ យើង​មាន

ឧទាហរណ៍ ១. កត្តាត្រីកោណមាត្រ 3x 2 - 10x + 3 ។
ដំណោះស្រាយ។ ដោយបានដោះស្រាយសមីការ 3x 2 - 10x + 3 = 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 យើងទទួលបាន

វាសមហេតុផលក្នុងការសរសេរ 3x − 1 ជំនួសវិញ ទីបំផុតយើងទទួលបាន 3x 2 – 10x + 3 = (x − 3)(3x − 1)។
សូមចំណាំថា ត្រីកោណមាល ចតុកោណ ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អាចត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណដោយមិនចាំបាច់អនុវត្តទ្រឹស្តីបទ 2 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុម៖

3x 2 − 10x + 3 = 3x 2 − 9x − x + 3 =
= 3x (x − 3) − (x − 3) = (x − 3) (3x − 1)។

ប៉ុន្តែដូចដែលអ្នកឃើញហើយ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះជោគជ័យគឺអាស្រ័យលើថាតើយើងអាចស្វែងរកក្រុមជោគជ័យបានឬអត់ ចំណែកឯវិធីសាស្ត្រទីមួយជោគជ័យត្រូវបានធានា។
ឧទាហរណ៍ ១. កាត់បន្ថយប្រភាគ

ដំណោះស្រាយ។ ពីសមីការ 2x 2 + 5x + 2 = 0 យើងរកឃើញ x 1 = − 2,

ពីសមីការ x2 − 4x − 12 = 0 យើងរកឃើញ x 1 = 6, x 2 = −2 ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
x 2 − 4x − 12 = (x − 6) (x − (− 2)) = (x − 6) (x + 2)។
ឥឡូវនេះសូមកាត់បន្ថយប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៣. កំណត់​កន្សោម៖
ក) x4 + 5x 2 +6; ខ) 2x+-3
ដំណោះស្រាយ ក) សូមណែនាំអថេរថ្មី y = x2 ។ វា​នឹង​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​សរសេរ​កន្សោម​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ឡើង​វិញ​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​ត្រីកោណមាត្រ​រាង​បួន​ជ្រុង​ទាក់ទង​នឹង​អថេរ y គឺ​ក្នុង​ទម្រង់ y 2 + bу + 6 ។
ដោយបានដោះស្រាយសមីការ y 2 + bу + 6 = 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណមាត្រ y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3 ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងប្រើទ្រឹស្តីបទ 2; យើង​ទទួល​បាន

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3) ។
វានៅតែត្រូវចាំថា y = x 2, i.e. ត្រឡប់ទៅកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3) ។
ខ) សូមណែនាំអថេរថ្មី y = . វា​នឹង​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​សរសេរ​កន្សោម​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ឡើង​វិញ​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​ត្រីកោណមាត្រ​រាង​បួន​ជ្រុង​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​អថេរ y គឺ​ក្នុង​ទម្រង់ 2y 2 + y - 3 ។ ដោយ​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ
2y 2 + y − 3 = 0 រកឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ 2y 2 + y − 3៖
y 1 = 1, y 2 = ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ ២ យើងទទួលបាន៖

វានៅតែត្រូវចាំថា y = , i.e. ត្រឡប់ទៅកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ

នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក - ការវែកញែកមួយចំនួនដែលទាក់ទងនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ឬផ្ទុយទៅវិញចំពោះសេចក្តីថ្លែងការសន្ទនា៖
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2 គឺដូចជា x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q នោះលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ
ដោយប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការ quadratic ជាច្រើនដោយផ្ទាល់មាត់ ដោយមិនប្រើរូបមន្ត root ដ៏លំបាក ហើយថែមទាំងសរសេរសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

1) x 2 − 11x + 24 = 0. នៅទីនេះ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. ងាយស្មានថា x 1 = 8, x 2 = 3 ។

2) x 2 + 11x + 30 = 0. នៅទីនេះ x 1 + x 2 = −11, x 1 x 2 = 30. ងាយទាយថា x 1 = −5, x 2 = −6 ។
ចំណាំថាប្រសិនបើពាក្យអត់ចេះសោះនៃសមីការគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន នោះឫសទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណានៅពេលជ្រើសរើសឫស។

3) x 2 + x − 12 = 0. េនះ x 1 + x 2 = −1, x 1 x 2 = −12 ។ វាងាយស្រួលទាយថា x 1 = 3, x2 = −4 ។
សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើពាក្យសេរីនៃសមីការគឺជាលេខអវិជ្ជមាន នោះឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណានៅពេលជ្រើសរើសឫស។

4) 5x 2 + 17x − 22 = 0. ងាយមើលឃើញថា x = 1 បំពេញសមីការ i.e. x 1 = 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ចាប់តាំងពី x 1 x 2 = − និង x 1 = 1 យើងទទួលបាន x 2 = − ។

5) x 2 − 293x + 2830 = 0. េនេនះ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. េបើអនកយកចិត្តទុកដក់លើការពិតថា 2830 = 283 ។ 10 និង 293 = 283 + 10 បន្ទាប់មកវាច្បាស់ថា x 1 = 283, x 2 = 10 (ឥឡូវស្រមៃមើលថាតើការគណនាអ្វីខ្លះនឹងត្រូវអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េនេះដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ)។

6) ចូរបង្កើតសមីការការ៉េដើម្បីឱ្យឫសរបស់វាជាលេខ x 1 = 8, x 2 = − 4 ។ ជាធម្មតានៅក្នុងករណីបែបនេះ យើងបង្កើតសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0 ។
យើងមាន x 1 + x 2 = -p ដូច្នេះ 8 − 4 = -p, i.e. p = −4 ។ បន្ទាប់ x 1 x 2 = q, i.e. 8 « (−4) = q ដែលយើងទទួលបាន q = −32 ។ ដូច្នេះ p = -4, q = -32 ដែលមានន័យថាសមីការការ៉េដែលត្រូវការមានទម្រង់ x 2 -4x-32 = 0 ។

សមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។ ax 2 + bx + c = 0អាចត្រូវបាននាំយកមកក្នុងចិត្ត x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកពាក្យនីមួយៗដោយមេគុណ a មុន x ២. ហើយប្រសិនបើយើងណែនាំសញ្ញាណថ្មី។ (b/a) = ទំនិង (c/a) = qបន្ទាប់មកយើងនឹងមានសមីការ x 2 + px + q = 0ដែលនៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​.

ឫសគល់នៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមេគុណ ទំនិង qភ្ជាប់ទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតាដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Francois Vieta ដែលរស់នៅចុងសតវត្សទី១៦។

ទ្រឹស្តីបទ. ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0ស្មើនឹងមេគុណទីពីរ ទំយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយនិងផលិតផលនៃឫស - ទៅពាក្យឥតគិតថ្លៃ q.

ចូរយើងសរសេរទំនាក់ទំនងទាំងនេះក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

អនុញ្ញាតឱ្យ x ១និង x ២ឫសផ្សេងគ្នានៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ x 2 + px + q = 0. នេះ​បើ​តាម​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta x 1 + x 2 = -pនិង x 1 x 2 = q.

ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ ចូរយើងជំនួសឫស x 1 និង x 2 ទៅក្នុងសមីការ។ យើងទទួលបានសមភាពពិតពីរ៖

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

ចូរយើងដកទីពីរចេញពីសមភាពទីមួយ។ យើង​ទទួល​បាន:

x 1 2 − x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

យើងពង្រីកពាក្យពីរដំបូងដោយប្រើភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

តាមលក្ខខណ្ឌ ឫស x 1 និង x 2 គឺខុសគ្នា។ ដូច្នេះយើងអាចកាត់បន្ថយសមភាពទៅជា (x 1 – x 2) ≠ 0 និង express p ។

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p ។

សមភាពដំបូងត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដើម្បីបញ្ជាក់សមភាពទីពីរ យើងជំនួសសមីការទីមួយ

x 1 2 + px 1 + q = 0 ជំនួសឱ្យមេគុណ p ចំនួនស្មើគ្នាគឺ (x 1 + x 2):

x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

ការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ យើងទទួលបាន៖

x 1 2 − x 2 2 − x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺល្អព្រោះ ទោះបីជាមិនបានដឹងពីឫសគល់នៃសមីការការ៉េក៏ដោយ យើងអាចគណនាផលបូក និងផលរបស់វា។ .

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជួយកំណត់ឫសចំនួនគត់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់សិស្សានុសិស្សជាច្រើន នេះបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកដោយសារតែពួកគេមិនស្គាល់ក្បួនដោះស្រាយច្បាស់លាស់នៃសកម្មភាព ជាពិសេសប្រសិនបើឫសគល់នៃសមីការមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។

ដូច្នេះសមីការការ៉េខាងលើមានទម្រង់ x 2 + px + q = 0 ដែល x 1 និង x 2 ជាឫសរបស់វា។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta x 1 + x 2 = -p និង x 1 · x 2 = q ។

ការសន្និដ្ឋានខាងក្រោមអាចត្រូវបានទាញ.

ប្រសិនបើពាក្យចុងក្រោយនៅក្នុងសមីការត្រូវបាននាំមុខដោយសញ្ញាដក នោះឫស x 1 និង x 2 មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ លើសពីនេះទៀតសញ្ញានៃឫសតូចជាងនេះស្របគ្នាជាមួយនឹងសញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៅក្នុងសមីការ។

ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថានៅពេលបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នាម៉ូឌុលរបស់ពួកគេត្រូវបានដកហើយលទ្ធផលលទ្ធផលត្រូវបាននាំមុខដោយសញ្ញានៃលេខធំជាងនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតអ្នកគួរតែបន្តដូចខាងក្រោម:

1. កំណត់កត្តានៃចំនួន q ដែលភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងលេខ p ។
2. ដាក់សញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៃសមីការនៅពីមុខលេខតូចនៃលេខលទ្ធផល។ ឫសទីពីរនឹងមានសញ្ញាផ្ទុយ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយសមីការ x 2 – 2x – 15 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ.

ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើច្បាប់ដែលបានស្នើឡើងខាងលើ។ បន្ទាប់មកយើងអាចនិយាយបានច្បាស់ថាសមីការនេះនឹងមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ពីព្រោះ D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (−15) = 64 > 0 ។

ឥឡូវនេះពីកត្តាទាំងអស់នៃលេខ 15 (1 និង 15, 3 និង 5) យើងជ្រើសរើសអ្នកដែលខុសគ្នាគឺ 2 ។ ទាំងនេះនឹងជាលេខ 3 និង 5 ។ យើងដាក់សញ្ញាដកនៅពីមុខលេខតូចជាង i.e. សញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៃសមីការ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានឫសនៃសមីការ x 1 = −3 និង x 2 = 5 ។

ចម្លើយ។ x 1 = −3 និង x 2 = 5 ។

ឧទាហរណ៍ ២.

ដោះស្រាយសមីការ x 2 + 5x − 6 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ.

សូមពិនិត្យមើលថាតើសមីការនេះមានឫសគល់ឬអត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញអ្នករើសអើង៖

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

កត្តាដែលអាចកើតមាននៃលេខ 6 គឺ 2 និង 3, 6 និង 1។ ភាពខុសគ្នាគឺ 5 សម្រាប់គូទី 6 និង 1។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មេគុណនៃពាក្យទីពីរមានសញ្ញាបូក ដូច្នេះលេខតូចនឹងមានសញ្ញាដូចគ្នា . ប៉ុន្តែមុនពេលលេខទីពីរនឹងមានសញ្ញាដក។

ចម្លើយ៖ x 1 = −6 និង x 2 = 1 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក៏អាចត្រូវបានសរសេរសម្រាប់សមីការ quadratic ពេញលេញមួយ។ ដូច្នេះប្រសិនបើសមីការ quadratic ax 2 + bx + c = 0មានឫស x 1 និង x 2 បន្ទាប់មកសមភាពរក្សាសម្រាប់ពួកគេ។

x 1 + x 2 = -(b/a)និង x 1 x 2 = (c/a). ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះនៅក្នុងសមីការការ៉េពេញលេញគឺមានបញ្ហាណាស់ ពីព្រោះ ប្រសិនបើមានឫស យ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺជាចំនួនប្រភាគ។ ហើយការធ្វើការជាមួយការជ្រើសរើសប្រភាគគឺពិបាកណាស់។ ប៉ុន្តែនៅតែមានផ្លូវចេញ។

ពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ ax 2 + bx + c = 0. គុណផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាដោយមេគុណ a ។ សមីការនឹងយកទម្រង់ (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ។ ឥឡូវសូមណែនាំអថេរថ្មី ឧទាហរណ៍ t = ax ។

ក្នុងករណីនេះ សមីការលទ្ធផលនឹងប្រែទៅជាសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយនៃទម្រង់ t 2 + bt + ac = 0 ឫសដែល t 1 និង t 2 (ប្រសិនបើមាន) អាចត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

ក្នុងករណីនេះឫសនៃសមីការ quadratic ដើមនឹងមាន

x 1 = (t 1/a) និង x 2 = (t 2/a) ។

ឧទាហរណ៍ ៣.

ដោះស្រាយសមីការ 15x 2 – 11x + 2 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ.

តោះបង្កើតសមីការជំនួយ។ ចូរគុណពាក្យនីមួយៗនៃសមីការដោយ ១៥៖

15 2 x 2 − 11 15x + 15 2 = 0 ។

យើងធ្វើការជំនួស t = 15x ។ យើង​មាន:

t 2 − 11t + 30 = 0 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ឫសនៃសមីការនេះនឹងមាន t 1 = 5 និង t 2 = 6 ។

យើងត្រលប់ទៅការជំនួស t = 15x:

5 = 15x ឬ 6 = 15x ។ ដូច្នេះ x 1 = 5/15 និង x 2 = 6/15 ។ យើងកាត់បន្ថយ និងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ៖ x 1 = 1/3 និង x 2 = 2/5 ។

ចម្លើយ។ x 1 = 1/3 និង x 2 = 2/5 ។

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សិស្សត្រូវអនុវត្តឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ នេះពិតជាអាថ៌កំបាំងនៃភាពជោគជ័យ។

គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

2.5 រូបមន្ត Vieta សម្រាប់ពហុនាម (សមីការ) នៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង

រូបមន្តដែលចេញដោយ Viète សម្រាប់សមីការបួនជ្រុងក៏ជាការពិតសម្រាប់ពហុនាមនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យពហុនាម

P(x) = a 0 x n + a 1 x n −1 + … +a n

មានឫសផ្សេងគ្នា x 1, x 2..., x n ។

ក្នុងករណីនេះ វាមានកត្តាកំណត់ទម្រង់៖

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

ចូរបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះដោយ 0 ≠ 0 ហើយបើកតង្កៀបនៅផ្នែកទីមួយ។ យើងទទួលបានសមភាព៖

x n + ( )x n −1 + … + ( ) = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n −1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n −1 x n)x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n

ប៉ុន្តែពហុនាមពីរគឺដូចគ្នាបេះបិទ ប្រសិនបើមេគុណនៃអំណាចដូចគ្នាគឺស្មើគ្នា។ វាធ្វើតាមសមភាព

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n −1 x n =

x 1 x 2 … x n = (−1) n

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីបី

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

យើង​មាន​អត្តសញ្ញាណ

x 1 + x 2 + x 3 = −

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = −

ចំពោះសមីការការ៉េ រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តរបស់ Vieta ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្តទាំងនេះគឺជាពហុនាមស៊ីមេទ្រីពីឫស x 1, x 2 ..., x n នៃសមីការនេះ ហើយផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈមេគុណនៃពហុនាម។

2.6 សមីការ​អាច​កាត់​បន្ថយ​ទៅ​ជា​បួន​ជ្រុង (biquadratic)

សមីការនៃដឺក្រេទីបួនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការបួនជ្រុង៖

ax 4 + bx 2 + c = 0,

ហៅថា biquadratic និង a ≠ 0 ។

វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការដាក់ x 2 = y ក្នុងសមីការនេះ

ay² + ដោយ + c = 0

ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ quadratic លទ្ធផល

y 1,2 =

ដើម្បីស្វែងរកឫស x 1, x 2, x 3, x 4 ជំនួស y ដោយ x និងទទួលបាន

x² =

x 1,2,3,4 = .

ប្រសិនបើសមីការដឺក្រេទីបួនមាន x 1 នោះវាក៏មានឫស x 2 = −x 1,

បើមាន x 3 នោះ x 4 = − x 3 ។ ផលបូកនៃឫសនៃសមីការបែបនេះគឺសូន្យ។

2x 4 − 9x² + 4 = 0

ចូរជំនួសសមីការទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការ biquadratic៖

x 1,2,3,4 = ,

ដោយដឹងថា x 1 = −x 2 និង x 3 = −x 4 បន្ទាប់មក៖

x 3.4 =

ចម្លើយ៖ x 1.2 = ±2; x 1.2 =

2.7 ការសិក្សាសមីការ biquadratic

ចូរយើងយកសមីការ biquadratic

ax 4 + bx 2 + c = 0,

ដែល a, b, c គឺជាចំនួនពិត និង a > 0 ។ ដោយការណែនាំជំនួយមិនស្គាល់ y = x² យើងពិនិត្យមើលឫសនៃសមីការនេះហើយបញ្ចូលលទ្ធផលទៅក្នុងតារាង (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធទី 1)

2.8 រូបមន្ត Cardano

ប្រសិនបើយើងប្រើនិមិត្តសញ្ញាទំនើប ការចេញមកពីរូបមន្ត Cardano អាចមើលទៅដូចនេះ៖

x =

រូបមន្តនេះកំណត់ឫសនៃសមីការដឺក្រេទីបីទូទៅ៖

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0 ។

រូបមន្តនេះគឺពិបាកនិងស្មុគស្មាញណាស់ (វាមានរ៉ាឌីកាល់ស្មុគស្មាញជាច្រើន) ។ វានឹងមិនតែងតែអនុវត្តទេព្រោះ ... ពិបាកបំពេញណាស់។

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

រាយ ឬជ្រើសរើសកន្លែងដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតពី 2-3 អត្ថបទ។ ដូច្នេះហើយ យើងបានពិនិត្យលើបទប្បញ្ញត្តិទូទៅសម្រាប់ការបង្កើត និងដំណើរការវគ្គសិក្សាជ្រើសរើស ដែលនឹងត្រូវយកមកពិចារណានៅពេលបង្កើតវគ្គសិក្សាជ្រើសរើសនៅក្នុងពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 “សមីការបួនជ្រុង និងវិសមភាពជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ”។ ជំពូក II ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណើរការវគ្គសិក្សាជ្រើសរើស “សមីការបួនជ្រុង និងវិសមភាពជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ” ១.១. ជារឿងធម្មតា...

ដំណោះស្រាយពីវិធីសាស្ត្រគណនាលេខ។ ដើម្បីកំណត់ឫសនៃសមីការ ចំនេះដឹងនៃទ្រឹស្ដីរបស់ Abel, Galois, Lie, ជាក្រុម និងការប្រើប្រាស់វាក្យស័ព្ទគណិតវិទ្យាពិសេស៖ ចិញ្ចៀន, វាល, ឧត្តមគតិ, isomorphisms ជាដើម មិនត្រូវបានទាមទារទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាប័ត្រទី n អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ និងស្រង់ឫសចេញពីចំនួនកុំផ្លិច។ ឫសអាចត្រូវបានកំណត់ដោយ ...

ជាមួយនឹងឯកតានៃការវាស់វែងនៃបរិមាណរូបវន្តនៅក្នុងប្រព័ន្ធ MathCAD? 11. ពិពណ៌នាលម្អិតអំពីប្លុកអត្ថបទ ក្រាហ្វិក និងគណិតវិទ្យា។ បាឋកថាលេខ ២។ បញ្ហាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងបរិយាកាស MathCAD នៅក្នុងបញ្ហាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ តែងតែមានតម្រូវការដើម្បីធ្វើប្រតិបត្តិការផ្សេងៗជាមួយម៉ាទ្រីស។ បន្ទះប្រតិបត្តិករដែលមានម៉ាទ្រីសមានទីតាំងនៅក្នុងបន្ទះគណិតវិទ្យា។ ...

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកាត់បន្ថយពេលវេលាសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវដឹងពីរបៀបប្រើវា។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរៀនដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta? វាមិនពិបាកទេ បើអ្នកគិតបន្តិច។

ឥឡូវនេះយើងនឹងនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការការ៉េកាត់បន្ថយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សមីការការ៉េកាត់បន្ថយគឺជាសមីការដែល a នោះគឺជាមេគុណនៃ x² គឺស្មើនឹងមួយ។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់ឫសមួយមិនមែនជាចំនួនគត់ទេ។ ពួកគេកាន់តែពិបាកទាយ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ប្រសិនបើលេខ x1 និង x2 គឺដូចនោះ

បន្ទាប់មក x1 និង x2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta មានតែជម្រើស 4 ប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប្រសិនបើអ្នកចងចាំបន្ទាត់នៃហេតុផល អ្នកអាចរៀនស្វែងរកឫសគល់ទាំងមូលបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

I. ប្រសិនបើ q ជាចំនួនវិជ្ជមាន

នេះមានន័យថាឫស x1 និង x2 គឺជាលេខនៃសញ្ញាដូចគ្នា (ចាប់តាំងពីការគុណលេខដែលមានសញ្ញាដូចគ្នាបង្កើតបានចំនួនវិជ្ជមាន)។

I.a. ប្រសិនបើ -p គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន (រៀងគ្នា, ទំ<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. ប្រសិនបើ -p ជាលេខអវិជ្ជមាន (រៀងគ្នា p>0) បន្ទាប់មកឫសទាំងពីរគឺជាលេខអវិជ្ជមាន (យើងបានបន្ថែមលេខនៃសញ្ញាដូចគ្នា និងទទួលបានលេខអវិជ្ជមាន)។

II. ប្រសិនបើ q ជាលេខអវិជ្ជមាន

នេះមានន័យថាឫស x1 និង x2 មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា (នៅពេលគុណលេខ លេខអវិជ្ជមានត្រូវបានទទួលតែនៅពេលដែលសញ្ញានៃកត្តាខុសគ្នា)។ ក្នុងករណីនេះ x1 + x2 មិនមែនជាផលបូកទៀតទេ ប៉ុន្តែភាពខុសគ្នាមួយ (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ នៅពេលបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា យើងដកលេខតូចពីធំជាងក្នុងតម្លៃដាច់ខាត)។ ដូច្នេះ x1+x2 បង្ហាញថាតើឫស x1 និង x2 ខុសគ្នាប៉ុន្មាន ពោលគឺថាតើឫសមួយធំជាងអ្វីផ្សេងទៀត (គិតជាតម្លៃដាច់ខាត)។

II.a. ប្រសិនបើ -p គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន (នោះគឺទំ<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. ប្រសិនបើ -p ជាលេខអវិជ្ជមាន (p>0) បន្ទាប់មកឫសធំជាង (modulo) គឺជាលេខអវិជ្ជមាន។

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ដោយប្រើឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

នៅទីនេះ q=12>0 ដូច្នេះឫស x1 និង x2 គឺជាលេខនៃសញ្ញាដូចគ្នា។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺ -p=7>0 ដូច្នេះឫសទាំងពីរគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ យើងជ្រើសរើសចំនួនគត់ដែលផលិតផលរបស់វាស្មើនឹង 12។ ទាំងនេះគឺ 1 និង 12, 2 និង 6, 3 និង 4 ។ ផលបូកគឺ 7 សម្រាប់គូ 3 និង 4 ។ នេះមានន័យថា 3 និង 4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ q=16>0 ដែលមានន័យថា ឫស x1 និង x2 គឺជាលេខនៃសញ្ញាដូចគ្នា។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺ -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

នៅទីនេះ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 បន្ទាប់មកចំនួនធំជាងគឺវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះឫសគឺ 5 និង -3 ។

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.