ដោយបានពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈសំខាន់ៗមួយចំនួននៃបញ្ហាកុំព្យូទ័រ សូមឲ្យយើងបង្វែរការយកចិត្តទុកដាក់របស់យើងទៅវិធីសាស្ត្រទាំងនោះដែលប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាគណនា ដើម្បីបំប្លែងបញ្ហាទៅជាទម្រង់ងាយស្រួលសម្រាប់ការអនុវត្តលើកុំព្យូទ័រ និងអនុញ្ញាតឱ្យបង្កើតក្បួនដោះស្រាយគណនា។ យើងនឹងហៅវិធីសាស្រ្តទាំងនេះថាជាការគណនា។ ជាមួយនឹងកម្រិតនៃអនុសញ្ញាមួយចំនួន វិធីសាស្ត្រគណនាអាចត្រូវបានបែងចែកជាថ្នាក់ដូចខាងក្រោមៈ 1) វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរសមមូល; 2)

វិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែល; 3) ដោយផ្ទាល់ (ពិតប្រាកដ) វិធីសាស្រ្ត; 4) វិធីសាស្រ្តដដែលៗ; 5) វិធីសាស្រ្តធ្វើតេស្តស្ថិតិ (វិធីសាស្រ្ត Monte Carlo) ។ វិធីសាស្រ្តដែលគណនាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាជាក់លាក់មួយអាចមានរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញ ប៉ុន្តែជំហានបឋមរបស់វាគឺការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រដែលបានបញ្ជាក់។ ចូរយើងផ្តល់គំនិតទូទៅអំពីពួកគេ។

1. វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរសមមូល។

វិធីសាស្រ្តទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជំនួសបញ្ហាដើមជាមួយនឹងវិធីមួយផ្សេងទៀតដែលមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា។ ការ​អនុវត្ត​ការ​បំប្លែង​សមមូល​ប្រែ​ជា​មាន​ប្រយោជន៍​ប្រសិន​បើ​បញ្ហា​ថ្មី​គឺ​សាមញ្ញ​ជាង​បញ្ហា​ដើម​ ឬ​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ល្អ​ជាង​ ឬ​មាន​វិធីសាស្ត្រ​ដំណោះស្រាយ​ដែល​គេ​ស្គាល់​សម្រាប់​វា​ ឬ​ប្រហែល​ជា​កម្មវិធី​ដែល​បាន​ធ្វើ​រួច។

ឧទាហរណ៍ 3.13 ។ ការបំប្លែងសមមូលនៃសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់ (ជ្រើសរើសការេពេញលេញ) កាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាបញ្ហានៃការគណនាឫសការ៉េ ហើយនាំទៅរករូបមន្ត (3.2) ដែលស្គាល់ពីឫសរបស់វា។

ការបំប្លែងសមមូល ជួនកាលធ្វើឱ្យវាអាចកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាកុំព្យូទ័រដើមទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាកុំព្យូទ័រនៃប្រភេទខុសគ្នាទាំងស្រុង។

ឧទាហរណ៍ 3.14 ។ បញ្ហានៃការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការមិនលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបញ្ហាសមមូលនៃការស្វែងរកចំណុចអប្បបរមាសកលនៃអនុគមន៍។ ជាការពិត អនុគមន៍គឺមិនអវិជ្ជមាន ហើយឈានដល់តម្លៃអប្បបរមាស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់អ្នក ហើយមានតែ x ប៉ុណ្ណោះដែល

2. វិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែល។

វិធីសាស្រ្តទាំងនេះធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណ (ប្រហាក់ប្រហែល) បញ្ហាដើមជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយផ្សេងទៀតដែលនៅក្នុងន័យជាក់លាក់មួយជិតស្និទ្ធទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាដើម។ កំហុសដែលកើតឡើងពីការជំនួសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា កំហុសប្រហាក់ប្រហែល។ តាមក្បួនមួយ បញ្ហាប្រហាក់ប្រហែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកែតម្រូវទំហំនៃកំហុសប្រហាក់ប្រហែល ឬមានឥទ្ធិពលលើលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃបញ្ហា។ វាជាទម្លាប់ក្នុងការនិយាយថា វិធីសាស្ត្រប្រហាក់ប្រហែលនឹងបញ្ចូលគ្នា ប្រសិនបើកំហុសប្រហាក់ប្រហែលមានទំនោរទៅសូន្យ ដោយសារប៉ារ៉ាម៉ែត្រវិធីសាស្ត្រមានទំនោរទៅរកតម្លៃកំណត់ជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ 3.15 ។ វិធីសាមញ្ញបំផុតមួយក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលគឺត្រូវប៉ាន់ប្រមាណអាំងតេក្រាលដោយផ្អែកលើរូបមន្តសម្រាប់ចតុកោណនៃទំហំ

ជំហានគឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រវិធីសាស្រ្តនៅទីនេះ។ ដោយសារវាជាផលបូកអាំងតេក្រាលដែលបានបង្កើតជាពិសេស វាកើតឡើងពីនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដែលនៅពេលដែលវិធីសាស្ត្រចតុកោណចូលគ្នា

ឧទាហរណ៍ 3.16 ។ ដោយគិតពីនិយមន័យនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ សម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលរបស់វា អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត កំហុសប្រហាក់ប្រហែលនៃរូបមន្តបែងចែកលេខនេះមានទំនោរទៅសូន្យនៅពេលដែល

វិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែលទូទៅមួយគឺការមិនយល់ស្រប - ការជំនួសប្រហាក់ប្រហែលនៃបញ្ហាដើមជាមួយនឹងបញ្ហាកំណត់វិមាត្រ i.e. បញ្ហាដែលទិន្នន័យបញ្ចូល និងដំណោះស្រាយដែលចង់បានអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយឡែកដោយសំណុំលេខកំណត់។ ចំពោះបញ្ហាដែលមិនមានកម្រិតកំណត់ ជំហាននេះគឺចាំបាច់សម្រាប់ការអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នៅលើកុំព្យូទ័រ ដោយសារកុំព្យូទ័រអាចដំណើរការបានតែជាមួយនឹងចំនួនកំណត់ប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ 3.15 និង 3.16 ខាងលើ គំរូត្រូវបានប្រើ។ ថ្វីបើការគណនាពិតប្រាកដនៃអាំងតេក្រាលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់នៃតម្លៃគ្មានកំណត់ (សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់វាអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃតម្លៃនៅចំណុច ក) ដូចគ្នាដែរ។ ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដដែលពាក់ព័ន្ធនឹងប្រតិបត្តិការនៃការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់នៅ (ហើយដូច្នេះ ការប្រើប្រាស់ចំនួនគ្មានកំណត់នៃតម្លៃនៃអនុគមន៍កាត់បន្ថយទៅជាការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃដេរីវេដោយគោរពទៅនឹងតម្លៃពីរនៃអនុគមន៍។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមិនមែនលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្ត្រលីនេអ៊ែរផ្សេងៗត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ ដែលមាននៅក្នុងការជំនួសប្រហាក់ប្រហែលនៃបញ្ហាដើមជាមួយនឹងបញ្ហាលីនេអ៊ែរសាមញ្ញជាង។ ឧទាហរណ៍ 3.17 ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាតម្លៃសម្រាប់នៅលើកុំព្យូទ័រដែលមានសមត្ថភាពធ្វើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញ។ សូមចំណាំថា តាមនិយមន័យ x គឺជាឫសវិជ្ជមាននៃសមីការដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ អនុញ្ញាតឱ្យមានការប្រហាក់ប្រហែលដែលគេស្គាល់ថាអនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសប៉ារ៉ាបូឡាដោយបន្ទាត់ត្រង់ដែលជាតង់សង់ដែលទាញទៅវានៅ។

ចំណុចជាមួយ abscissa ចំនុចប្រសព្វនៃតង់សង់នេះជាមួយអ័ក្សផ្តល់នូវការប្រហាក់ប្រហែលល្អជាង ហើយត្រូវបានរកឃើញពីសមីការលីនេអ៊ែរ ដោះស្រាយវា យើងទទួលបានរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែល

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកយកសម្រាប់ អ្នកទទួលបានតម្លៃចម្រាញ់

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាថ្នាក់ផ្សេងៗនៃការគណនា វិធីសាស្ត្រប្រហាក់ប្រហែលផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានប្រើ។ ទាំងនេះរាប់បញ្ចូលទាំងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ធ្វើឱ្យទៀងទាត់នូវដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាមិនល្អ។ ចំណាំថា វិធីសាស្ត្រធ្វើទៀងទាត់ ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាមិនល្អ។

3. វិធីសាស្រ្តផ្ទាល់។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានគេហៅថាដោយផ្ទាល់ប្រសិនបើវាអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទទួលបានដំណោះស្រាយបន្ទាប់ពីអនុវត្តចំនួនកំណត់នៃប្រតិបត្តិការបឋម។

ឧទាហរណ៍ 3.18 ។ វិធីសាស្រ្តនៃការគណនាឫសនៃសមីការ quadratic ដោយប្រើរូបមន្តគឺជាវិធីសាស្ត្រផ្ទាល់។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធទាំងបួន និងប្រតិបត្តិការឫសការ៉េត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបឋមនៅទីនេះ។

ចំណាំថាប្រតិបត្តិការបឋមនៃវិធីសាស្ត្រផ្ទាល់អាចស្មុគស្មាញ (ការគណនាតម្លៃនៃមុខងារបឋម ឬមុខងារពិសេស ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ល។)។ ការពិតដែលថាវាត្រូវបានទទួលយកជាបឋមបង្កប់ន័យក្នុងករណីណាក៏ដោយដែលថាការអនុវត្តរបស់វាគឺសាមញ្ញជាងការគណនាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទាំងមូល។

នៅពេលសាងសង់វិធីសាស្រ្តដោយផ្ទាល់ការយកចិត្តទុកដាក់យ៉ាងសំខាន់គឺត្រូវបានបង់ដើម្បីកាត់បន្ថយចំនួនប្រតិបត្តិការបឋម។

ឧទាហរណ៍ 3.19 (ដ្យាក្រាម Horner) ។ សូមឱ្យបញ្ហាគឺដើម្បីគណនាតម្លៃនៃពហុធា

យោងទៅតាមមេគុណដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x ។ ប្រសិនបើអ្នកគណនាពហុនាមដោយផ្ទាល់ដោយប្រើរូបមន្ត (3.12) ហើយរកវាដោយការគុណបន្តបន្ទាប់គ្នាដោយ x នោះអ្នកនឹងត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការគុណ និងបូក។

វិធីសាស្ត្រគណនាសន្សំសំចៃច្រើនត្រូវបានគេហៅថា គ្រោងការណ៍ Horner ។ វាផ្អែកលើការសរសេរពហុនាមក្នុងទម្រង់សមមូលខាងក្រោម៖

ការដាក់វង់ក្រចកកំណត់តាមលំដាប់នៃការគណនាខាងក្រោម៖ នៅទីនេះ ការគណនាតម្លៃដែលទាមទារអនុវត្តតែការគុណ និងបូក។

គ្រោងការណ៍របស់ Horner គឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ព្រោះវាផ្តល់នូវឧទាហរណ៍នៃវិធីសាស្ត្រដែលល្អបំផុតទាក់ទងនឹងចំនួនប្រតិបត្តិការបឋម។ ជាទូទៅ តម្លៃមិនអាចទទួលបានដោយវិធីសាស្ត្រណាមួយឡើយ ដែលជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តប្រតិបត្តិការគុណ និងបូកតិច។

ពេលខ្លះវិធីសាស្ត្រផ្ទាល់ត្រូវបានគេហៅថាពិតប្រាកដ មានន័យថាប្រសិនបើមិនមានកំហុសនៅក្នុងទិន្នន័យបញ្ចូល ហើយប្រសិនបើប្រតិបត្តិការបឋមត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងត្រឹមត្រូវនោះលទ្ធផលលទ្ធផលក៏នឹងត្រឹមត្រូវផងដែរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៅលើកុំព្យូទ័រ រូបរាងនៃកំហុសក្នុងការគណនាគឺជៀសមិនរួច ទំហំនៃភាពប្រែប្រួលអាស្រ័យលើភាពប្រែប្រួលនៃវិធីសាស្ត្រចំពោះកំហុសក្នុងការបង្គត់។ វិធីសាស្រ្តផ្ទាល់ (ពិតប្រាកដ) ជាច្រើនដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងសម័យមុនម៉ាស៊ីនបានប្រែក្លាយថាមិនស័ក្តិសមសម្រាប់ការគណនាម៉ាស៊ីនដោយជាក់លាក់ ដោយសារតែភាពរសើបខ្លាំងពេកចំពោះកំហុសក្នុងការបង្គត់។ មិនមែនគ្រប់វិធីសាស្រ្តពិតប្រាកដទាំងអស់សុទ្ធតែដូចនេះទេ ប៉ុន្តែគួរកត់សម្គាល់ថាពាក្យ "ពិតប្រាកដ" មិនជោគជ័យទាំងស្រុងបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការអនុវត្តដ៏ល្អនៃវិធីសាស្ត្រ ប៉ុន្តែមិនមែនគុណភាពនៃលទ្ធផលដែលទទួលបានពីការគណនាពិតប្រាកដនោះទេ។

4. វិធីសាស្រ្តដដែលៗ។

ទាំងនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តពិសេសសម្រាប់បង្កើតការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។ ការ​អនុវត្ត​វិធីសាស្ត្រ​ចាប់​ផ្ដើម​ដោយ​ការ​ជ្រើស​រើស​ការ​ប៉ាន់​ប្រមាណ​ដំបូង​មួយ​ឬ​ច្រើន។ ដើម្បីទទួលបានការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ សំណុំសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើការប៉ាន់ស្មានដែលបានរកឃើញពីមុន - ការធ្វើម្តងទៀត។ ការបន្តគ្មានដែនកំណត់នៃដំណើរការដដែលៗនេះតាមទ្រឹស្ដីអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលំដាប់លំដោយនៃចំនួនប្រហាក់ប្រហែលទៅនឹងដំណោះស្រាយ

លំដាប់លំដោយ។ ប្រសិនបើលំដាប់នេះបង្រួបបង្រួមទៅនឹងដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានោះ វិធីសាស្ត្រដដែលៗត្រូវបានគេនិយាយថានឹងបង្រួបបង្រួម។ សំណុំនៃការប៉ាន់ប្រមាណដំបូងដែលវិធីសាស្រ្តបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានគេហៅថាតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្ត។

ចំណាំថា វិធីសាស្ត្រដដែលៗត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនដោយប្រើប្រាស់កុំព្យូទ័រ។

ឧទាហរណ៍ 3.20 ។ ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តដដែលៗដែលគេស្គាល់ច្បាស់ដែលត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីគណនា (ដែលវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។ ចូរកំណត់ការប៉ាន់ស្មានដំបូងដោយបំពាន។ យើងគណនាការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ដោយប្រើរូបមន្តដែលបានមកពីដោយប្រើវិធីសាស្ត្រលីនេអ៊ែរក្នុងឧទាហរណ៍ 3.17 (មើលរូបមន្ត (3.11)) ។ បន្តដំណើរការនេះ។ បន្ថែមទៀត យើងទទួលបានលំដាប់ដដែលៗ ដែលការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តដដែលៗ

វាត្រូវបានគេដឹងថាវិធីសាស្រ្តនេះបង្រួបបង្រួមនៅការប៉ាន់ប្រមាណដំបូងណាមួយ ដូច្នេះតំបន់បញ្ចូលគ្នារបស់វាគឺជាសំណុំនៃចំនួនវិជ្ជមានទាំងអស់។

ចូរយើងប្រើវាដើម្បីគណនាតម្លៃនៅលើកុំព្យូទ័រទសភាគ -bit ។ ចូរកំណត់ (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ ៣.១៧)។ បន្ទាប់មកការគណនាបន្ថែមទៀតគឺគ្មានន័យទេ ព្រោះដោយសារតែលក្ខណៈមានកម្រិតនៃក្រឡាចត្រង្គប៊ីត ការកែលម្អជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នឹងផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងតម្លៃពិតប្រាកដបង្ហាញថា តួលេខសំខាន់ចំនួន 6 ត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួលរួចហើយនៅឯការបំប្លែងទីបី។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តរបស់ញូវតុនជាឧទាហរណ៍ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីបញ្ហាធម្មតាមួយចំនួនសម្រាប់វិធីសាស្រ្តដដែលៗ (និងមិនត្រឹមតែសម្រាប់ពួកគេប៉ុណ្ណោះទេ)។ វិធីសាស្រ្តដដែលៗគឺប្រហាក់ប្រហែល; គ្មានការប៉ាន់ស្មានលទ្ធផលណាមួយជាតម្លៃពិតប្រាកដនៃដំណោះស្រាយនោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រនៃការធ្វើឡើងវិញជាគោលការណ៍ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានជាគោលការណ៍ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវណាមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដូច្នេះនៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រដដែលៗ ភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការគឺតែងតែត្រូវបានបញ្ជាក់ ហើយដំណើរការដដែលៗត្រូវបានរំខានភ្លាមៗនៅពេលដែលវាសម្រេច។

ថ្វីបើការពិតដែលថាវិធីសាស្រ្តបញ្ចូលគ្នាគឺពិតជាមានសារៈសំខាន់ក៏ដោយ វាមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីណែនាំវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តនោះទេ។ ប្រសិនបើវិធីសាស្រ្តបង្រួបបង្រួមយឺតណាស់ (ឧទាហរណ៍ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមានភាពត្រឹមត្រូវ 1% អ្នកត្រូវធ្វើម្តងទៀត) នោះវាមិនស័ក្តិសមសម្រាប់ការគណនាកុំព្យូទ័រទេ។ វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងឆាប់រហ័ស ដែលរួមបញ្ចូលវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន មានតម្លៃជាក់ស្តែង (សូមចាំថាភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាត្រូវបានសម្រេចត្រឹមតែបីដងប៉ុណ្ណោះ)។ ដើម្បីសិក្សាតាមទ្រឹស្ដីអំពីអត្រានៃការបញ្ចូលគ្នា និងលក្ខខណ្ឌនៃការអនុវត្តនៃវិធីសាស្រ្តដដែលៗ អ្វីដែលគេហៅថាការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសអាទិភាពត្រូវបានយកមក ដែលធ្វើឱ្យវាអាចផ្តល់ការសន្និដ្ឋានខ្លះៗអំពីគុណភាពនៃវិធីសាស្ត្រ សូម្បីតែមុនពេលគណនាក៏ដោយ។

ចូរយើងបង្ហាញការប៉ាន់ប្រមាណអាទិភាពពីរសម្រាប់វិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។ អនុញ្ញាតឱ្យវាដឹងថាបន្ទាប់មកសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា និងកំហុសនៃការប៉ាន់ប្រមាណបន្តបន្ទាប់គ្នាពីរគឺទាក់ទងដោយវិសមភាពដូចខាងក្រោម:

នេះ​ជា​តម្លៃ​ដែល​បញ្ជាក់​អំពី​កំហុស​ទាក់ទង​នឹង​ការ​ប៉ាន់ស្មាន។ វិសមភាពនេះបង្ហាញពីអត្រាការបង្រួបបង្រួមរាងបួនជ្រុងខ្ពស់នៃវិធីសាស្ត្រ៖ នៅពេលធ្វើម្តងទៀតនីមួយៗ "កំហុស" ត្រូវបានដាក់ជាការ៉េ។ ប្រសិនបើយើងបង្ហាញវាតាមរយៈកំហុសនៃការប៉ាន់ស្មានដំបូង យើងទទួលបានវិសមភាព

ពីនោះគឺជាតួនាទីនៃជម្រើសដ៏ល្អនៃការប៉ាន់ស្មានដំបូង។ តម្លៃកាន់តែតូច វិធីសាស្ត្រនឹងបញ្ចូលគ្នាកាន់តែលឿន។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃវិធីសាស្រ្តដដែលៗតែងតែត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតម្រូវការក្នុងការជ្រើសរើសលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការបញ្ចប់ដំណើរការដដែលៗ។ ការគណនាមិនអាចបន្តដោយគ្មានកំណត់ ហើយត្រូវតែត្រូវបានរំខានដោយអនុលោមតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យមួយចំនួនដែលទាក់ទងគ្នា ឧទាហរណ៍ ដើម្បីសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការប្រើប្រាស់ការប៉ាន់ប្រមាណអាទិភាពសម្រាប់គោលបំណងនេះ ច្រើនតែប្រែទៅជាមិនអាចទៅរួច ឬគ្មានប្រសិទ្ធភាព។ ទោះបីជាមានគុណភាពពិពណ៌នាយ៉ាងត្រឹមត្រូវអំពីអាកប្បកិរិយានៃវិធីសាស្រ្តក៏ដោយ ការប៉ាន់ប្រមាណបែបនេះត្រូវបានគេប៉ាន់ស្មានថាហួសហេតុ និងផ្តល់ព័ត៌មានបរិមាណដែលមិនគួរឱ្យទុកចិត្តបំផុត។ ជារឿយៗការប៉ាន់ប្រមាណអាទិភាពមានមិនស្គាល់

បរិមាណ (ឧទាហរណ៍ ការប៉ាន់ប្រមាណ (3.14), (3.15) មានបរិមាណ a) ឬបញ្ជាក់ពីវត្តមាន និងការប្រើប្រាស់យ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរនៃព័ត៌មានបន្ថែមមួយចំនួនអំពីដំណោះស្រាយ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ព័ត៌មានបែបនេះមិនមានទេ ហើយការទិញរបស់វាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបន្ថែម ដែលជារឿយៗស្មុគស្មាញជាងព័ត៌មានដើម។

ដើម្បីបង្កើតជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចប់នៅពេលសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ ជាក្បួន អ្វីដែលគេហៅថាការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសក្រោយខ្នងត្រូវបានប្រើ - វិសមភាពដែលទំហំនៃកំហុសត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណតាមរយៈតម្លៃដែលគេស្គាល់ ឬទទួលបានក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការគណនា។ ទោះបីជាការប៉ាន់ប្រមាណបែបនេះមិនអាចប្រើមុនពេលចាប់ផ្តើមការគណនាក៏ដោយ ពួកគេបានផ្តល់នូវបរិមាណជាក់ស្តែងនៃភាពមិនច្បាស់លាស់ក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការគណនា។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់វិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុន (3.13) ការប៉ាន់ប្រមាណក្រោយការប៉ាន់ស្មានមានសុពលភាព៖

S. Ulam បានប្រើលេខចៃដន្យដើម្បីកុំព្យូទ័រក្លែងធ្វើឥរិយាបទនឺត្រុងហ្វាលនៅក្នុងរ៉េអាក់ទ័រនុយក្លេអ៊ែរ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះអាចមិនអាចខ្វះបាននៅពេលធ្វើគំរូប្រព័ន្ធធំៗ ប៉ុន្តែការបង្ហាញលម្អិតរបស់ពួកគេពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់ឧបករណ៍នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា ហើយលើសពីវិសាលភាពនៃសៀវភៅនេះ។

កត្តាកំណត់

គំនិតនៃកត្តាកំណត់

ម៉ាទ្រីសការ៉េណាមួយនៃលំដាប់ទី 1 អាចត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយលេខដែលហៅថា កំណត់ (កំណត់) ម៉ាទ្រីស A និងត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោមៈ , ឬ , ឬ det A.

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីមួយឬកត្តាកំណត់លំដាប់ទីមួយ គឺជាធាតុ

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ(កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីពីរ) ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

អង្ករ។ គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ

ដូច្នេះ កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរគឺផលបូក 2=2! ពាក្យដែលនីមួយៗជាផលិតផលនៃកត្តា 2 - ធាតុនៃម៉ាទ្រីស A មួយពីជួរនីមួយៗ និងជួរឈរនីមួយៗ។ លក្ខខណ្ឌមួយត្រូវបានយកដោយសញ្ញា "+" មួយទៀតមានសញ្ញា "-" ។

ស្វែងរកកត្តាកំណត់

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី (កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនៃម៉ាទ្រីសការ៉េ) ត្រូវបានផ្តល់ដោយ៖

ដូច្នេះ កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីគឺផលបូក 6=3! ពាក្យដែលនីមួយៗជាផលិតផលនៃកត្តា 3 - ធាតុនៃម៉ាទ្រីស A មួយពីជួរនីមួយៗ និងជួរឈរនីមួយៗ។ ពាក់កណ្តាលនៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានយកដោយសញ្ញា "+" ពាក់កណ្តាលទៀតមានសញ្ញា "-" ។

វិធីសាស្រ្តសំខាន់សម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីគឺអ្វីដែលគេហៅថា ច្បាប់ត្រីកោណ (ច្បាប់របស់ Sarrus)៖ ទីមួយនៃពាក្យទាំងបីដែលបានបញ្ចូលក្នុងផលបូកជាមួយនឹងសញ្ញា "+" គឺជាផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ ទីពីរ និងទីបីគឺជាផលិតផលនៃធាតុដែលមានទីតាំងនៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណពីរ។ មូលដ្ឋានស្របទៅនឹងអង្កត់ទ្រូងសំខាន់; ពាក្យទាំងបីដែលរួមបញ្ចូលក្នុងផលបូកជាមួយនឹងសញ្ញា "-" ត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែទាក់ទងទៅនឹងអង្កត់ទ្រូងទីពីរ (ចំហៀង) ។ ខាងក្រោមនេះគឺជាគ្រោងការណ៍ចំនួន 2 សម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី

ខ)

អង្ករ។ គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទី 3

ស្វែងរកកត្តាកំណត់៖

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទី (n 4) ត្រូវបានគណនាដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃកត្តាកំណត់។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់

កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានដូចខាងក្រោមៈ

1. កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលម៉ាទ្រីសត្រូវបានបញ្ជូន។

2. ប្រសិនបើជួរដេកពីរ (ឬជួរឈរ) ត្រូវបានប្តូរនៅក្នុងកត្តាកំណត់ នោះកត្តាកំណត់នឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។

3. កត្តាកំណត់ដែលមានសមាមាត្រពីរ (ជាពិសេសស្មើគ្នា) ជួរដេក (ជួរឈរ) គឺស្មើនឹងសូន្យ។

4. ប្រសិនបើជួរ (ជួរ) ក្នុងកត្តាកំណត់មានសូន្យ នោះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងសូន្យ។

5. កត្តាទូទៅនៃធាតុនៃជួរណាមួយ (ឬជួរឈរ) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាកំណត់។

6. កត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើចំពោះធាតុទាំងអស់នៃជួរដេកមួយ (ឬជួរឈរ) យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកមួយទៀត (ឬជួរឈរ) គុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។

7. កត្តាកំណត់នៃអង្កត់ទ្រូងនិងត្រីកោណ (ខាងលើនិងខាងក្រោម) ម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុអង្កត់ទ្រូង។

8. កត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសការ៉េគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាកំណត់របស់វា។

សេចក្តីណែនាំសម្រាប់និស្សិតឆ្នាំទី១

Bazey Alexander Anatolievich

Odessa ឆ្នាំ ២០០៨

អក្សរសាស្ត្រ

1 ហេមមីង R.V. វិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស្វករ។ – M.: Nauka, 1968. – 400 p.

2 Blazhko S.N. វគ្គសិក្សានៃតារាសាស្ត្រស្វ៊ែរ។ – មូស្គូ, លេនីងរ៉ាត, OGIZ, ឆ្នាំ 1948។ – 416 ទំ។

3 Shchigolev B.M. ដំណើរការគណិតវិទ្យានៃការសង្កេត។ – អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៦៩ – ៣៤៤ ទំ។

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. វិធីសាស្រ្តគណនា។ - M. : Nauka, 1977. បរិមាណ I, ភាគ II - 400 ទំ។

5 Hudson D. ស្ថិតិសម្រាប់អ្នករូបវិទ្យា។ - M.: Mir, 1967. - 244 ទំ។

៦.Berman G.N. បច្ចេកទេសគណនេយ្យ។ – ម៉ូស្គូ ឆ្នាំ ១៩៥៣ – ៨៨ ទំ។

៧.Rumshinsky L.Z. ដំណើរការគណិតវិទ្យានៃលទ្ធផលពិសោធន៍។ – ម៉ូស្គូ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧១ – ១៩២ ទំ។

8. Kalitkin N.N. វិធីសាស្រ្តលេខ។ – ម៉ូស្គូ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧៨ – ៥១២ ទំ។

9. Filchakov P.F. វិធីសាស្រ្តលេខ និងក្រាហ្វិកនៃគណិតវិទ្យាអនុវត្ត។ – Kyiv, “Naukova Dumka”, ឆ្នាំ 1970 – 800 ទំ។

10. Fikhtengolts G.M. វគ្គសិក្សានៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល វ៉ុល ១-៣។ - ទីក្រុងមូស្គូ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៦៦។

ការគណនាប្រហាក់ប្រហែល 2

អំពីគ្រោង

រលោង 10

ការប៉ាន់ស្មាន 12

ការធ្វើឱ្យត្រង់ (លីនេអ៊ែរ) 13

វិធីសាស្រ្តការ៉េតិចបំផុត។ 15

អន្តរប៉ូល។ 24

Lagrange interpolation polynomial ២៦

រយៈពេលសំណល់នៃរូបមន្ត Lagrange 29

ពហុវចនៈអន្តរប៉ូលរបស់ញូតុនសម្រាប់តារាងដែលមានជំហានអថេរនៃ 30

Interpolation ពីតារាងដែលមានជំហានថេរនៃ 34

Interpolation polynomials of Stirling, Bessel, Newton ៣៧

Interpolating ពីតារាងអនុគមន៍នៃអាគុយម៉ង់ពីរ 42

ភាពខុសគ្នាតាមតារាង 44

ដំណោះស្រាយជាលេខនៃសមីការ 46

Dichotomy (វិធី bisection) ៤៦

វិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ ៤៧

វិធីសាស្ត្រញូតុន ៥០

ស្វែងរកអប្បបរមានៃអនុគមន៍នៃអថេរមួយ។ 51

វិធីសាស្រ្តសមាមាត្រមាស ៥១

វិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា ៥៤

ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ 56

រូបមន្ដចតុកោណ ៥៩

រូបមន្តមធ្យម ឬរូបមន្តនៃចតុកោណកែង ៦១

រូបមន្តរបស់ Simpson 62

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ បញ្ហារសើប 64

វិធីសាស្ត្រអយល័របុរាណ ៦៦

វិធីសាស្រ្តអយល័រចម្រាញ់ ៦៧

វិធីសាស្រ្តព្យាករណ៍ និងការកែតម្រូវ ៦៩

វិធីសាស្រ្ត Runge-Kutta ៧១

ការវិភាគអាម៉ូនិក 74

ប្រព័ន្ធមុខងារអ័រតូហ្គោន ៧៨

វិធីសាស្រ្ត ១២ ប្រការ ៧៩

ការគណនាប្រហាក់ប្រហែល

តោះដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញមួយ។ ចូរនិយាយថាសិស្សម្នាក់រស់នៅចម្ងាយ 1247 ម៉ែត្រពីស្ថានីយ៍។ រថភ្លើងចាកចេញនៅម៉ោង ១៧:៣៨ ។ តើរយៈពេលប៉ុន្មានមុនពេលរថភ្លើងចេញដំណើរ សិស្សគួរចាកចេញពីផ្ទះ ប្រសិនបើល្បឿនជាមធ្យមរបស់គាត់គឺ 6 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង?

យើងទទួលបានដំណោះស្រាយភ្លាមៗ៖

.

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនទំនងថានរណាម្នាក់នឹងប្រើដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវតាមគណិតវិទ្យានេះទេ ហើយនេះជាមូលហេតុ។ ការគណនាត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែតើចម្ងាយទៅស្ថានីយត្រូវបានវាស់វែងត្រឹមត្រូវដែរឬទេ? តើ​វា​អាច​វាស់​ផ្លូវ​អ្នក​ថ្មើរ​ជើង​ដោយ​មិន​មាន​កំហុស​ដែរ​ឬ​ទេ? តើ​អ្នក​ថ្មើរជើង​អាច​ដើរ​តាម​បន្ទាត់​ដែល​បាន​កំណត់​យ៉ាង​តឹងរ៉ឹង​ក្នុង​ទីក្រុង​ដែល​ពោរពេញ​ទៅ​ដោយ​មនុស្ស និង​រថយន្ត​ធ្វើ​ដំណើរ​គ្រប់​ទិស​ទី​បាន​ទេ? ហើយល្បឿន 6 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង - តើវាត្រូវបានកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់ទេ? ល​ល។

វាច្បាស់ណាស់ថាអ្នកគ្រប់គ្នានឹងផ្តល់ចំណូលចិត្តក្នុងករណីនេះមិនមែន "គណិតវិទ្យាពិតប្រាកដ" ប៉ុន្តែជាដំណោះស្រាយ "ជាក់ស្តែង" ចំពោះបញ្ហានេះ ពោលគឺពួកគេនឹងប៉ាន់ស្មានថាការដើរនឹងចំណាយពេល 12-15 នាទី ហើយបន្ថែមពីរបីទៀត។ នាទីដើម្បីឱ្យប្រាកដ។

ដូច្នេះ ហេតុអ្វី​បាន​ជា​គណនា​វិនាទី និង​ប្រភាគ​របស់​វា ហើយ​ខិតខំ​រក​កម្រិត​នៃ​ភាពត្រឹមត្រូវ​បែប​នេះ​ដែល​មិន​អាច​ប្រើ​ក្នុង​ការអនុវត្ត​បាន?

គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដមួយ ប៉ុន្តែគោលគំនិតនៃ "ភាពជាក់លាក់" ខ្លួនវាទាមទារឱ្យមានការបញ្ជាក់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងគោលគំនិតនៃលេខ ព្រោះភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលគណនាភាគច្រើនអាស្រ័យទៅលើភាពត្រឹមត្រូវនៃលេខ និងភាពជឿជាក់នៃទិន្នន័យដំបូង។

មានប្រភពបីសម្រាប់ការទទួលបានលេខ៖ ការរាប់ ការវាស់វែង និងការអនុវត្តប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាផ្សេងៗ

ប្រសិនបើចំនួនធាតុដែលត្រូវរាប់មានចំនួនតិច ហើយប្រសិនបើវាថេរតាមពេលវេលា នោះយើងនឹងទទួលបាន ពិតជាត្រឹមត្រូវណាស់។លទ្ធផល។ ឧទាហរណ៍ មានម្រាមដៃចំនួន 5 នៅលើដៃមួយ ហើយមានសត្វខ្លាឃ្មុំចំនួន 300 នៅក្នុងប្រអប់មួយ។ ស្ថានភាពគឺខុសគ្នានៅពេលដែលពួកគេនិយាយថា: នៅ Odessa ក្នុងឆ្នាំ 1979 មានប្រជាជន 1,000,000 នាក់។ ម្នាលភិក្ខុ​ទាំងឡាយ កើត​ឡើង​ហើយ ស្លាប់​ទៅ​ហើយ កើត​ឡើង​ហើយ កើត​ឡើង​ស្លាប់​ទៅ។ លេខរបស់ពួកគេផ្លាស់ប្តូរគ្រប់ពេលវេលា សូម្បីតែក្នុងអំឡុងពេលដែលការរាប់ត្រូវបានបញ្ចប់ក៏ដោយ។ ដូច្នេះ​អ្វី​ដែល​យើង​ពិត​ជា​ចង់​បាន​គឺ​ថា មាន​ប្រជាជន​ប្រហែល 1,000,000 នាក់ ប្រហែល 999,125 ឬ 1,001,263 ឬ​ចំនួន​មួយ​ចំនួន​ទៀត​ជិត 1,000,000 ក្នុង​ករណី​នេះ 1,000,000 ផ្តល់ ប្រហាក់ប្រហែលចំនួនអ្នករស់នៅទីក្រុង។

ការវាស់វែងណាមួយមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងត្រឹមត្រូវនោះទេ។ ឧបករណ៍នីមួយៗផ្តល់នូវប្រភេទនៃកំហុសមួយចំនួន។ លើសពីនេះ អ្នកសង្កេតការណ៍ពីរនាក់ដែលវាស់បរិមាណដូចគ្នាជាមួយនឹងឧបករណ៍ដូចគ្នាជាធម្មតាទទួលបានលទ្ធផលខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចនៃកិច្ចព្រមព្រៀងពេញលេញនៃលទ្ធផលគឺជាករណីលើកលែងដ៏កម្រមួយ។

សូម្បីតែឧបករណ៍វាស់ស្ទង់ដ៏សាមញ្ញបែបនេះជាអ្នកគ្រប់គ្រងមាន "កំហុសឧបករណ៍" - គែមនិងប្លង់របស់បន្ទាត់គឺខុសគ្នាខ្លះពីបន្ទាត់ត្រង់និងប្លង់ដ៏ល្អ ការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅលើបន្ទាត់មិនអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅចម្ងាយស្មើគ្នាទេហើយការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលខ្លួនឯង។ មានកម្រាស់ជាក់លាក់មួយ; ដូច្នេះនៅពេលវាស់ យើងមិនអាចទទួលបានលទ្ធផលត្រឹមត្រូវជាងកម្រាស់នៃស្នាមដាច់នោះទេ។

ប្រសិនបើអ្នកវាស់ប្រវែងតារាង ហើយទទួលបានតម្លៃ 1360.5 ម.ម វាមិនមានន័យទាល់តែសោះថា ប្រវែងតារាងគឺ 1360.5 ម.ម - ប្រសិនបើតារាងនេះវាស់មួយទៀត ឬអ្នកវាស់ម្តងទៀត នោះអ្នកអាចទទួលបាន តម្លៃទាំង 1360.4 mm និង 1360.6 mm ។ លេខ 1360.5 មមបង្ហាញពីប្រវែងនៃតារាង ប្រមាណ.

មិនមែនប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទាំងអស់អាចត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្មានកំហុសនោះទេ។ វាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្រង់ឫស ស្វែងរកស៊ីនុស ឬលោការីត សូម្បីតែបែងចែកដោយភាពជាក់លាក់ដាច់ខាត។

ការវាស់វែងទាំងអស់ដោយគ្មានករណីលើកលែងនាំឱ្យមានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃបរិមាណដែលបានវាស់. ក្នុងករណីខ្លះការវាស់វែងត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងម៉ត់ចត់បន្ទាប់មកកំហុសធំត្រូវបានទទួលដោយមានការវាស់វែងយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្នកំហុសគឺតូចជាង។ ភាពត្រឹមត្រូវដាច់ខាតក្នុងការវាស់វែងគឺមិនដែលសម្រេចបានទេ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាផ្នែកទីពីរនៃសំណួរ។ តើភាពត្រឹមត្រូវដាច់ខាតចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្ត ហើយតើតម្លៃអ្វីជាលទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែល?

នៅពេលគណនាខ្សែថាមពលឬបំពង់បង្ហូរឧស្ម័នគ្មាននរណាម្នាក់នឹងកំណត់ចម្ងាយរវាងការគាំទ្រជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃមីលីម៉ែត្រឬអង្កត់ផ្ចិតនៃបំពង់ដែលមានភាពត្រឹមត្រូវនៃមីក្រូ។ នៅក្នុងបច្ចេកវិជ្ជា និងសំណង់ ផ្នែក ឬរចនាសម្ព័ន្ធនីមួយៗអាចផលិតបានតែក្នុងភាពត្រឹមត្រូវជាក់លាក់មួយ ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយអ្វីដែលគេហៅថា ភាពអត់ធ្មត់។ ភាពអត់ធ្មត់ទាំងនេះមានចាប់ពីផ្នែកនៃមីក្រូមួយទៅមីលីម៉ែត្រ និងសង់ទីម៉ែត្រ អាស្រ័យលើសម្ភារៈ ទំហំ និងគោលបំណងនៃផ្នែក ឬរចនាសម្ព័ន្ធ។ ដូច្នេះដើម្បីកំណត់វិមាត្រនៃផ្នែកមួយ វាគ្មានន័យទេក្នុងការអនុវត្តការគណនាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវធំជាងអ្វីដែលចាំបាច់។

1) ទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ការគណនា, ជាក្បួន, មានកំហុស, នោះគឺ, ពួកគេគឺប្រហាក់ប្រហែល;

2) កំហុសទាំងនេះកើនឡើងជាញឹកញាប់ចូលទៅក្នុងលទ្ធផលគណនា។ ប៉ុន្តែការអនុវត្តមិនតម្រូវឱ្យមានទិន្នន័យត្រឹមត្រូវនោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវពេញចិត្តជាមួយនឹងលទ្ធផលជាមួយនឹងកំហុសដែលអាចទទួលយកបានមួយចំនួន ដែលទំហំដែលត្រូវតែកំណត់ទុកជាមុន។

3) វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធានានូវភាពត្រឹមត្រូវចាំបាច់នៃលទ្ធផលតែនៅពេលដែលទិន្នន័យប្រភពមានភាពត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ហើយនៅពេលដែលកំហុសទាំងអស់ដែលបានណែនាំដោយការគណនាខ្លួនឯងត្រូវបានគេយកមកពិចារណា។

4) ការគណនាជាមួយចំនួនប្រហាក់ប្រហែលត្រូវតែអនុវត្តប្រមាណ ដោយព្យាយាមសម្រេចបាននូវការចំណាយអប្បបរមានៃកម្លាំងពលកម្ម និងពេលវេលានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។

ជាធម្មតានៅក្នុងការគណនាបច្ចេកទេស កំហុសដែលអាចអនុញ្ញាតបានមានចាប់ពី 0.1 ដល់ 5% ប៉ុន្តែចំពោះបញ្ហាវិទ្យាសាស្ត្រ ពួកគេអាចកាត់បន្ថយបានដល់ពាន់ភាគរយនៃភាគរយ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលបាញ់បង្ហោះផ្កាយរណបសិប្បនិម្មិតដំបូងនៃព្រះច័ន្ទ (ថ្ងៃទី 31 ខែមីនា ឆ្នាំ 1966) ល្បឿននៃការបាញ់បង្ហោះប្រហែល 11,200 m/s ត្រូវបានធានាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវជាច្រើនសង់ទីម៉ែត្រក្នុងមួយវិនាទីដើម្បីឱ្យផ្កាយរណបចូលទៅក្នុងរង្វង់តាមច័ន្ទគតិ។ ជាងគន្លង circumsolar ។

ចំណាំ បន្ថែម​ពី​លើ​នេះ ច្បាប់​នព្វន្ធ​ត្រូវ​បាន​ចេញ​មក​ក្រោម​ការ​សន្មត​ថា​លេខ​ទាំងអស់​គឺ​ពិត​ប្រាកដ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើការគណនាជាមួយចំនួនប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានអនុវត្តដូចទៅនឹងចំនួនពិតប្រាកដនោះ ចំណាប់អារម្មណ៍ដ៏គ្រោះថ្នាក់ និងគ្រោះថ្នាក់នៃភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលនៅក្នុងការពិតមិនមាន។ វិទ្យាសាស្ត្រពិត និងជាពិសេសភាពត្រឹមត្រូវគណិតវិទ្យាមានយ៉ាងជាក់លាក់ក្នុងការចង្អុលបង្ហាញអំពីវត្តមាននៃកំហុសដែលជៀសមិនរួចស្ទើរតែជានិច្ច និងកំណត់ដែនកំណត់របស់វា។

ដោយផ្អែកលើគោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ និងទីបី យើងអាចណែនាំស្រដៀងគ្នាអំពីគោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ ន. ការកំណត់នៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងទីបីត្រូវបានគណនាជាក្បួនដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ដែលបានបង្កើតក្នុងកថាខណ្ឌ 1.3 ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ការកំណត់នៃការបញ្ជាទិញណាមួយ។

ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់លេខ 9 0 យើងណែនាំនិយមន័យនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទី 4៖

ឧទាហរណ៍ ២.គណនាដោយប្រើការពង្រីកសមស្រប។

ដូចគ្នានេះដែរ គោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់នៃ ទី៥ ទី៦ ជាដើម ត្រូវបានណែនាំ។ លំដាប់។ ដូច្នេះកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ n:

.

ទ្រព្យសម្បត្តិទាំងអស់នៃកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទី 2 និងទី 3 ដែលបានពិភាក្សាពីមុនក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ការកំណត់នៃលំដាប់ទី 9 ផងដែរ។

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់ ន- លំដាប់។

មតិយោបល់៖មុនពេលអនុវត្តវិធីសាស្ត្រនេះ វាមានប្រយោជន៍ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃកត្តាកំណត់ ដើម្បីបង្វែរទៅសូន្យទាំងអស់ លើកលែងតែធាតុមួយនៃជួរ ឬជួរឈរជាក់លាក់មួយ។ (វិធីសាស្ត្រកាត់បន្ថយការបញ្ជាទិញប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព)

វិធីសាស្រ្តនៃការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ មាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរនៃកត្តាកំណត់នៅពេលដែលធាតុទាំងអស់របស់វានៅម្ខាងនៃអង្កត់ទ្រូងមេក្លាយជាស្មើសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់របស់វា។

ឧទាហរណ៍ ៣.គណនាដោយកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។គណនាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកាត់បន្ថយលំដាប់ដែលមានប្រសិទ្ធភាព

.

ដំណោះស្រាយ៖ យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ 4 0 យើងនឹងដកកត្តា 10 ចេញពីជួរទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងគុណជួរទីពីរជាបន្តបន្ទាប់ដោយ 2 ដោយ 2 ដោយ 1 ហើយបន្ថែមវាជាមួយទីមួយ ទីបី និងទីបួន។ ជួររៀងគ្នា (ទ្រព្យសម្បត្តិ 8 0) ។

.

កត្តាកំណត់លទ្ធផលអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាធាតុនៃជួរទីមួយ។ វានឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី ដែលត្រូវបានគណនាដោយប្រើក្បួន Sarrus (ត្រីកោណ)។

ឧទាហរណ៍ 5 ។គណនាកត្តាកំណត់ដោយកាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។

.

ឧទាហរណ៍ ៣.គណនាដោយប្រើទំនាក់ទំនងកើតឡើងវិញ។

.

.

ការបង្រៀន 4. ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។

1. គំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

និយមន័យ ១. ការ៉េ ម៉ាទ្រីស A នៃលំដាប់ n ត្រូវបានគេហៅថា មិនខូច,ប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វា | ក| ≠ 0. ក្នុងករណីនៅពេលដែល | ក| = 0, ម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគេហៅថា degenerate ។

សម្រាប់តែម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈការ៉េ A គឺជាគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ដែលត្រូវបានណែនាំ។

និយមន័យ ២ . ម៉ាទ្រីស A -1 ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសមិនឯកវចនៈ A ប្រសិនបើ A -1 A = AA -1 = E ដែល E ជាម៉ាទ្រីសឯកតានៃលំដាប់ ន.

និយមន័យ ៣ . ម៉ាទ្រីស ហៅ ឧបសម្ព័ន្ធធាតុរបស់វាគឺការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត ម៉ាទ្រីស transposed
.

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់។

, កន្លែងណា
.

យើងពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា A -1 A = AA -1 = E. (E គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ)

ម៉ាទ្រីស A និង A -1 ចំរាស់។ ប្រសិនបើ | ក| = 0 បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ។

ឧទាហរណ៍ ១.ដែលបានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស A. ត្រូវប្រាកដថាវាមិនមែនជាឯកវចនៈ ហើយស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
.

ដំណោះស្រាយ៖
. ដូច្នេះម៉ាទ្រីសគឺមិនមែនឯកវចនៈទេ។

ចូរយើងស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ចូរ​យើង​សរសេរ​ការ​បំពេញ​បន្ថែម​ពិជគណិត​នៃ​ធាតុ​នៃ​ម៉ាទ្រីស A។

យើង​ទទួល​បាន

.

ការបង្ហាញទាំងទិន្នន័យដំបូងក្នុងបញ្ហា និងដំណោះស្រាយរបស់វា - ជាចំនួនឬសំណុំនៃលេខ

វាគឺជាធាតុផ្សំដ៏សំខាន់នៅក្នុងប្រព័ន្ធបណ្តុះបណ្តាលវិស្វករជំនាញបច្ចេកទេស។

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិធីសាស្ត្រគណនាគឺ៖

• ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ
• interpolation និងការគណនាមុខងារប្រហាក់ប្រហែល
• ដំណោះស្រាយលេខនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។
• ដំណោះស្រាយលេខនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក (សមីការនៃរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា)
• ការដោះស្រាយបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាព

សូម​មើល​ផង​ដែរ

កំណត់ចំណាំ

អក្សរសិល្ប៍

• Kalitkin N. N. វិធីសាស្រ្តលេខ។ M., Nauka, 1978
• Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N.V. "វិធីសាស្ត្រគណនាសម្រាប់វិស្វករ" ឆ្នាំ ១៩៩៤
• Fletcher K, វិធីសាស្ត្រគណនាក្នុងថាមវន្តលំហូរ, ed ។ ពិភពលោក, 1991, 504 ទំព័រ។
• E. Alekseev “ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការគណនាគណិតវិទ្យានៅក្នុង Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9” packages, 2006, 496 pages.
• Tikhonov A.N., Goncharsky A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G. "វិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាមិនល្អ" (1990)
• Bakushinsky A.B., Goncharsky A.V. បញ្ហាដែលបង្កឡើង។ វិធីសាស្រ្ត និងកម្មវិធីជាលេខ, ed ។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពសាកលវិទ្យាល័យម៉ូស្គូ ឆ្នាំ ១៩៨៩
• N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E. A. Alshina, V. B. Rogov ។ ការគណនាលើក្រឡាចត្រង្គឯកសណ្ឋាន។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ណៅកា, ហ្វីសម៉ាតលីត, ឆ្នាំ ២០០៥, ២២៤ ទំព័រ។
• Yu. Ryzhikov "វិធីសាស្ត្រគណនា" BHV, 2007, 400 pp., ISBN 978-5-9775-0137-8
• វិធីសាស្ត្រគណនាក្នុងគណិតវិទ្យាអនុវត្ត ទិនានុប្បវត្តិអន្តរជាតិ ISSN 1609-4840

តំណភ្ជាប់

• ទិនានុប្បវត្តិវិទ្យាសាស្ត្រ "វិធីសាស្រ្តគណនានិងការសរសេរកម្មវិធី។ បច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រថ្មី"

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

• គណិត​វិទ្យា​និង​រូបវិទ្យា​គណិតវិទ្យា
• បំពង់គណនា

សូមមើលអ្វីដែល "វិធីសាស្ត្រគណនា" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

វិធីសាស្រ្តនៃគីមីវិទ្យាអេឡិចត្រូនិ- ខ្លឹមសារ ១ វិធីសាស្រ្តនៃគីមីវិទ្យាអេឡិចត្រូនិក ២ សេចក្តីផ្តើម ៣ ផ្នែកទ្រឹស្តី ... វិគីភីឌា

វិធីសាស្រ្តសរសេរកូដសញ្ញាឌីជីថល- អត្ថបទនេះខ្វះតំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពព័ត៌មាន។ ព័ត៌មានត្រូវតែអាចផ្ទៀងផ្ទាត់បាន បើមិនដូច្នេះទេ វាអាចត្រូវបានចោទសួរ និងលុបចេញ។ អ្នកអាច... វិគីភីឌា

វិធីសាស្រ្តលេខឌីណាមិកហ្គាស- វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាឌីណាមិកឧស្ម័នដោយផ្អែកលើក្បួនដោះស្រាយគណនា។ ចូរយើងពិចារណាពីទិដ្ឋភាពសំខាន់នៃទ្រឹស្តីនៃវិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាថាមវន្តឧស្ម័ន ការសរសេរសមីការឌីណាមិកឧស្ម័នក្នុងទម្រង់នៃច្បាប់អភិរក្សនៅក្នុងនិចលភាព ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

វិធីសាស្រ្តបំប្លែង- វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ kinetics ។ សមីការដឹកជញ្ជូននឺត្រុង (ឬភាគល្អិតផ្សេងទៀត) ដែលកែប្រែសមីការប្រហាក់ប្រហែលនៃការសាយភាយ។ ចាប់តាំងពីការប៉ាន់ប្រមាណនៃការសាយភាយផ្តល់នូវទម្រង់ត្រឹមត្រូវនៃសមីការ asymptotic ។ ការដោះស្រាយសមីការដឹកជញ្ជូន (ឆ្ងាយពីប្រភព និង ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយមុខងារ GULISH- វិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការស្វែងរកអប្បបរមានៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មួយ ដែលកំណត់ពីខាងក្រោម ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់គ្នាពីរដង ទាក់ទងនឹងអាគុយម៉ង់របស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលវាត្រូវបានគេដឹងថាសម្រាប់វ៉ិចទ័រជាក់លាក់មួយ (សញ្ញាបញ្ជូន) វាត្រូវការ ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

GOST R 53622-2009: បច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន។ ប្រព័ន្ធព័ត៌មាន និងកុំព្យូទ័រ។ ដំណាក់កាល និងដំណាក់កាលនៃវដ្តជីវិត ប្រភេទនិងភាពពេញលេញនៃឯកសារ- វាក្យស័ព្ទ GOST R 53622 2009: បច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន។ ប្រព័ន្ធព័ត៌មាន និងកុំព្យូទ័រ។ ដំណាក់កាល និងដំណាក់កាលនៃវដ្តជីវិត ប្រភេទ និងភាពពេញលេញនៃឯកសារ ឯកសារដើម៖ ៣.១ វេទិកាផ្នែកទន់ផ្នែករឹង៖ សំណុំឧបករណ៍បង្រួបបង្រួម......

ប្រព័ន្ធកុំព្យូទ័រអនុវត្ត- ប្រព័ន្ធគណនាកម្មវិធី ឬ ABC រួមបញ្ចូលប្រព័ន្ធគណនាវត្ថុដោយផ្អែកលើតក្កវិជ្ជារួមបញ្ចូលគ្នា និងការគណនា lambda ។ រឿងតែមួយគត់ដែលត្រូវបានអភិវឌ្ឍយ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងប្រព័ន្ធទាំងនេះគឺគំនិតនៃវត្ថុ។ នៅក្នុង ... ... វិគីភីឌា

GOST 24402-88: ដំណើរការទូរគមនាគមន៍ និងបណ្តាញកុំព្យូទ័រ។ លក្ខខណ្ឌ និងនិយមន័យ- វាក្យសព្ទ GOST 24402 88: ដំណើរការទូរគមនាគមន៍ និងបណ្តាញកុំព្យូទ័រ។ លក្ខខណ្ឌ និងនិយមន័យ ឯកសារដើម៖ ប្រភេទនៃប្រព័ន្ធ និងបណ្តាញ 90. ប្រព័ន្ធដំណើរការទិន្នន័យអតិថិជន ប្រព័ន្ធអតិថិជន ប្រព័ន្ធដំណើរការទិន្នន័យ ប្រព័ន្ធដំណើរការទិន្នន័យ ...... វចនានុក្រម - សៀវភៅយោងនៃលក្ខខណ្ឌនៃឯកសារបទដ្ឋាននិងបច្ចេកទេស

ST SEV 4291-83៖ ម៉ាស៊ីនកុំព្យូទ័រ និងប្រព័ន្ធដំណើរការទិន្នន័យ។ កញ្ចប់នៃថាសម៉ាញេទិកដែលមានសមត្ថភាព 100 និង 200 មេកាបៃ។ តម្រូវការបច្ចេកទេស និងវិធីសាស្ត្រសាកល្បង- វាក្យសព្ទ ST SEV 4291 83: ម៉ាស៊ីនកុំព្យូទ័រ និងប្រព័ន្ធដំណើរការទិន្នន័យ។ កញ្ចប់នៃថាសម៉ាញេទិកដែលមានសមត្ថភាព 100 និង 200 មេកាបៃ។ តម្រូវការបច្ចេកទេស និងវិធីសាស្រ្តសាកល្បង៖ 8. ទំហំនៃសញ្ញាពីផ្ទៃព័ត៌មាន VTAA ជាមធ្យមលើផ្ទៃទាំងមូល... វចនានុក្រម - សៀវភៅយោងនៃលក្ខខណ្ឌនៃឯកសារបទដ្ឋាននិងបច្ចេកទេស

វិធីសាស្រ្តរុករកភូមិសាស្ត្រ- ការសិក្សាអំពីរចនាសម្ព័ន្ធនៃសំបកផែនដីដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររូបវន្តក្នុងគោលបំណងស្វែងរក និងរុករករ៉ែ។ ភូគព្ភវិទ្យា​រុករក​គឺជា​ផ្នែក​សំខាន់​មួយ​នៃ​ភូគព្ភសាស្ត្រ (សូម​មើល​ភូមិសាស្ត្រ​) ។ G.m.r. ផ្អែកលើការសិក្សាផ្នែករូបវិទ្យា ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

សៀវភៅ

• វិធីសាស្រ្តគណនា។ សៀវភៅសិក្សា Andrey Avenirovich Amosov, Yuliy Andreevich Dubininsky, Natalya Vasilievna Kopchenova ។ សៀវភៅនេះពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្ត្រគណនាដែលប្រើញឹកញាប់បំផុតក្នុងការអនុវត្តការគណនាតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកទេស៖ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ សមីការមិនលីនេអ៊ែរ ...