Calculadora de frações projetado para cálculo rápido de operações com frações, ele ajudará você a adicionar, multiplicar, dividir ou subtrair frações facilmente.

Os alunos modernos começam a estudar frações já na 5ª série e, a cada ano, os exercícios com eles se tornam mais complicados. Termos matemáticos e quantidades que aprendemos na escola raramente são úteis para nós na idade adulta. No entanto, frações, ao contrário de logaritmos e graus, são bastante comuns na vida cotidiana (medir distâncias, pesar mercadorias, etc.). Nossa calculadora é projetada para operações rápidas com frações.

Primeiro, vamos definir o que são frações e o que são. Frações são a razão de um número para outro; este é um número que consiste em um número inteiro de frações de uma unidade.

Tipos de fração:

• Ordinário
• Decimais
• misturado

Exemplo frações ordinárias:

O valor superior é o numerador, o inferior é o denominador. O traço nos mostra que o número de cima é divisível pelo número de baixo. Em vez de um formato de escrita semelhante, quando o traço é horizontal, você pode escrever de maneira diferente. Você pode colocar uma linha inclinada, por exemplo:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Decimais são o tipo mais popular de frações. Eles consistem em uma parte inteira e uma parte fracionária, separadas por uma vírgula.

Exemplo decimal:

0,2 ou 6,71 ou 0,125

Consiste em um número inteiro e uma parte fracionária. Para descobrir o valor dessa fração, você precisa adicionar o número inteiro e a fração.

Exemplo de frações mistas:

A calculadora de frações em nosso site é capaz de realizar rapidamente qualquer operação matemática com frações online:

• Adição
• Subtração
• Multiplicação
• Divisão

Para realizar o cálculo, você precisa inserir os números nos campos e selecionar a ação. Para frações, você precisa preencher o numerador e o denominador, um número inteiro não pode ser escrito (se a fração for comum). Não se esqueça de clicar no botão "igual".

É conveniente que a calculadora forneça imediatamente um processo para resolver um exemplo com frações, e não apenas uma resposta pronta. É graças à solução detalhada que você pode usar este material na resolução de problemas escolares e para dominar melhor o material abordado.

Você precisa calcular o exemplo:

Após inserir os indicadores nos campos do formulário, obtemos:

Para fazer um cálculo independente, insira os dados no formulário.

Calculadora de frações

Digite duas frações:

		+ - * :

seções relacionadas.

Instrução

Redução a um denominador comum.

Sejam dadas as frações a/b e c/d.

O numerador e denominador da primeira fração é multiplicado por LCM/b

O numerador e denominador da segunda fração é multiplicado por LCM/d

Um exemplo é mostrado na figura.

Para comparar frações, elas precisam ter um denominador comum e, em seguida, comparar os numeradores. Por exemplo, 3/4< 4/5, см. .

Adição e subtração de frações.

Para encontrar a soma de duas frações ordinárias, elas devem ser reduzidas a um denominador comum e, em seguida, somar os numeradores, o denominador permanece inalterado. Um exemplo de adição de frações 1/2 e 1/3 é mostrado na figura.

A diferença de frações é encontrada de forma semelhante, após encontrar o denominador comum, os numeradores das frações são subtraídos, veja a figura.

Ao multiplicar frações ordinárias, os numeradores e denominadores são multiplicados juntos.

Para dividir duas frações, você precisa de uma fração da segunda fração, ou seja, mude seu numerador e denominador e, em seguida, multiplique as frações resultantes.

Vídeos relacionados

Origens:

• frações grau 5 por exemplo
• Tarefas básicas para frações

Módulo representa o valor absoluto da expressão. Os parênteses são usados ​​para designar um módulo. Os valores contidos neles são tomados módulo. A solução do módulo é abrir parênteses de acordo com certas regras e encontrar o conjunto de valores da expressão. Na maioria dos casos, um módulo é expandido de tal forma que a expressão do submódulo assume uma série de valores positivos e negativos, incluindo zero. Com base nessas propriedades do módulo, outras equações e desigualdades da expressão original são compiladas e resolvidas.

Instrução

Escreva a equação original com . Para isso, abra o módulo. Considere cada expressão de submódulo. Determine em qual valor das incógnitas incluídas nele, a expressão entre colchetes modulares se anula.

Para fazer isso, iguale a expressão do submódulo a zero e encontre a equação resultante. Anote os valores encontrados. Da mesma forma, determine os valores da variável desconhecida para cada módulo na equação dada.

Desenhe uma reta numérica e plote os valores resultantes nela. Os valores da variável no módulo zero servirão como restrições na resolução da equação modular.

Na equação original, você precisa abrir os modulares, alterando o sinal para que os valores da variável correspondam aos exibidos na reta numérica. Resolva a equação resultante. Verifique o valor encontrado da variável em relação à restrição especificada pelo módulo. Se a solução satisfaz a condição, ela é verdadeira. Raízes que não satisfaçam as restrições devem ser descartadas.

Da mesma forma, expanda os módulos da expressão original, levando em consideração o sinal, e calcule as raízes da equação resultante. Escreva todas as raízes obtidas que satisfazem as desigualdades das restrições.

Os números fracionários permitem que você expresse o valor exato de uma quantidade de diferentes maneiras. Com frações, você pode realizar as mesmas operações matemáticas que com números inteiros: subtração, adição, multiplicação e divisão. Para aprender a decidir frações, é necessário lembrar algumas de suas características. Eles dependem do tipo frações, a presença de uma parte inteira, um denominador comum. Algumas operações aritméticas após a execução requerem redução da parte fracionária do resultado.

Você vai precisar

• - calculadora

Instrução

Observe atentamente os números. Se houver decimais e irregulares entre as frações, às vezes é mais conveniente executar primeiro ações com decimais e depois convertê-los para a forma errada. Você pode traduzir frações desta forma inicialmente, escrevendo o valor após a vírgula no numerador e colocando 10 no denominador. Se necessário, reduza a fração dividindo os números acima e abaixo por um divisor. Frações em que a parte inteira se destaca, levam à forma errada, multiplicando-a pelo denominador e adicionando o numerador ao resultado. Este valor se tornará o novo numerador frações. Para extrair a parte inteira do inicialmente incorreto frações, divida o numerador pelo denominador. Escreva todo o resultado de frações. E o resto da divisão se torna o novo numerador, o denominador frações enquanto não muda. Para frações com parte inteira, é possível realizar ações separadamente, primeiro para o inteiro e depois para as partes fracionárias. Por exemplo, a soma de 1 2/3 e 2 ¾ pode ser calculada:
- Convertendo frações para a forma errada:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Soma separadamente de partes inteiras e fracionárias de termos:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Para com valores abaixo da linha, encontre o denominador comum. Por exemplo, para 09/05 e 12/07, o denominador comum será 36. Para isso, o numerador e denominador do primeiro frações você precisa multiplicar por 4 (será 28/36) e o segundo - por 3 (será 15/36). Agora você pode fazer os cálculos.

Se você for calcular a soma ou diferença de frações, primeiro anote o denominador comum encontrado abaixo da linha. Execute as ações necessárias entre os numeradores e escreva o resultado na nova linha frações. Assim, o novo numerador será a diferença ou a soma dos numeradores das frações originais.

Para calcular o produto de frações, multiplique os numeradores das frações e escreva o resultado no lugar do numerador da fração final. frações. Faça o mesmo para os denominadores. Ao dividir um frações escreva uma fração na outra e multiplique seu numerador pelo denominador da segunda. Ao mesmo tempo, o denominador do primeiro frações multiplicado de acordo com o numerador do segundo. Ao mesmo tempo, uma espécie de inversão do segundo frações(divisor). A fração final será a partir dos resultados da multiplicação dos numeradores e denominadores de ambas as frações. Fácil de aprender frações, escrito na condição na forma de um "quatro andares" frações. Se separar dois frações, reescreva-os com um delimitador ":" e continue com a divisão normal.

Para obter o resultado final, reduza a fração resultante dividindo o numerador e o denominador por um número inteiro, o maior possível neste caso. Nesse caso, deve haver números inteiros acima e abaixo da linha.

Nota

Não faça aritmética com frações que têm denominadores diferentes. Escolha um número tal que, quando o numerador e o denominador de cada fração forem multiplicados por ele, como resultado, os denominadores de ambas as frações sejam iguais.

Conselho util

Ao escrever números fracionários, o dividendo é escrito acima da linha. Essa quantidade é chamada de numerador de uma fração. Sob a linha, o divisor, ou denominador, da fração está escrito. Por exemplo, um quilo e meio de arroz na forma de fração será escrito da seguinte forma: 1 ½ kg de arroz. Se o denominador de uma fração for 10, ela é chamada de fração decimal. Nesse caso, o numerador (dividendo) é escrito à direita da parte inteira separada por vírgula: 1,5 kg de arroz. Para conveniência dos cálculos, essa fração sempre pode ser escrita na forma errada: 1 2/10 kg de batatas. Para simplificar, você pode reduzir os valores do numerador e do denominador dividindo-os por um único número inteiro. Neste exemplo, é possível dividir por 2. O resultado é 1 1/5 kg de batatas. Certifique-se de que os números com os quais você fará aritmética estão na mesma forma.

Instrução

Clique uma vez no item de menu "Inserir" e selecione o item "Símbolo". Esta é uma das maneiras mais fáceis de inserir frações para texto. Consiste no seguinte. O conjunto de caracteres prontos tem frações. Seu número geralmente é pequeno, mas se você precisar escrever ½, não 1/2 no texto, essa opção será a melhor para você. Além disso, o número de caracteres fracionários pode depender da fonte. Por exemplo, para a fonte Times New Roman, há um pouco menos frações do que para a mesma fonte Arial. Varie as fontes para encontrar a melhor melhor opção quando se trata de expressões simples.

Clique no item de menu "Inserir" e selecione o subitem "Objeto". Você verá uma janela com uma lista de objetos possíveis para inserir. Escolha entre eles o Microsoft Equation 3.0. Este aplicativo irá ajudá-lo a digitar frações. E não só frações, mas também expressões matemáticas complexas contendo várias funções trigonométricas e outros elementos. Clique duas vezes neste objeto com o botão esquerdo do mouse. Você verá uma janela contendo muitos caracteres.

Para imprimir uma fração, selecione o símbolo que representa uma fração com numerador e denominador vazios. Clique nele uma vez com o botão esquerdo do mouse. Um menu adicional aparecerá, especificando o esquema do frações. Pode haver várias opções. Escolha o mais adequado para você e clique nele uma vez com o botão esquerdo do mouse.

Fração- uma forma de representação de um número em matemática. A barra indica a operação de divisão. numerador frações é chamado de dividendo, e denominador- divisor. Por exemplo, em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 7.

Correto Uma fração é chamada se o módulo do numerador for maior que o módulo do denominador. Se a fração estiver correta, então o módulo de seu valor é sempre menor que 1. Todas as outras frações são errado.

A fração é chamada misturado, se for escrito como um inteiro e uma fração. Este é o mesmo que a soma deste número e uma fração:

Propriedade básica de uma fração

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados pelo mesmo número, o valor da fração não mudará, ou seja, por exemplo,

Trazendo frações para um denominador comum

Para trazer duas frações para um denominador comum, você precisa:

1. Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda
2. Multiplique o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira
3. Substitua os denominadores de ambas as frações pelo seu produto

Ações com frações

Adição. Para somar duas frações, você precisa

1. Adicione novos numeradores de ambas as frações e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Subtração. Para subtrair uma fração de outra,

1. Traga frações para um denominador comum
2. Subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Multiplicação. Para multiplicar uma fração por outra, multiplique seus numeradores e denominadores:

Divisão. Para dividir uma fração por outra, multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e multiplique o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda:

Este artigo trata de operações com frações. Serão formadas e justificadas regras para adição, subtração, multiplicação, divisão ou exponenciação de frações da forma A B, onde A e B podem ser números, expressões numéricas ou expressões com variáveis. Em conclusão, serão considerados exemplos de soluções com uma descrição detalhada.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regras para realizar operações com frações numéricas de forma geral

As frações numéricas de forma geral têm um numerador e um denominador, nos quais existem números naturais ou expressões numéricas. Se considerarmos frações como 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , então fica claro que o numerador e o denominador podem ter não apenas números, mas também expressões de um plano diferente.

Definição 1

Existem regras pelas quais as ações são executadas com frações ordinárias. Também é adequado para frações de forma geral:

• Ao subtrair frações com os mesmos denominadores, apenas os numeradores são adicionados e o denominador permanece o mesmo, a saber: a d ± c d \u003d a ± c d, os valores a, c e d ≠ 0 são alguns números ou expressões numéricas.
• Ao adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário reduzir a um comum e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações resultantes com os mesmos indicadores. Literalmente, fica assim a b ± c d = a p ± c r s , onde os valores a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 são números reais, e b p = d r = S. Quando p = d e r = b, então a b ± c d = a d ± c d b d.
• Ao multiplicar frações, uma ação é realizada com numeradores, após o que com denominadores, obtemos a b c d \u003d a c b d, onde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 atuam como números reais.
• Ao dividir uma fração por uma fração, multiplicamos o primeiro pelo segundo recíproco, ou seja, trocamos o numerador e o denominador: a b: c d \u003d a b d c.

Razão para as regras

Definição 2

Existem os seguintes pontos matemáticos nos quais você deve confiar ao calcular:

• uma barra fracionária significa um sinal de divisão;
• a divisão por um número é tratada como uma multiplicação pelo seu recíproco;
• aplicação da propriedade de ações com números reais;
• aplicação da propriedade básica de uma fração e desigualdades numéricas.

Com a ajuda deles, você pode fazer transformações do formulário:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Exemplos

No parágrafo anterior, foi dito sobre ações com frações. É depois disso que a fração precisa ser simplificada. Este tópico foi discutido em detalhes na seção sobre conversão de frações.

Primeiro, considere o exemplo de adição e subtração de frações com o mesmo denominador.

Exemplo 1

Dadas as frações 8 2 , 7 e 1 2 , 7 , então, de acordo com a regra, é necessário adicionar o numerador e reescrever o denominador.

Decisão

Então obtemos uma fração da forma 8 + 1 2 , 7 . Após realizar a adição, obtemos uma fração da forma 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Então 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Responda: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Existe outra maneira de resolver. Para começar, é feita uma transição para a forma de uma fração ordinária, após a qual realizamos uma simplificação. Se parece com isso:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplo 2

Vamos subtrair de 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 frações da forma 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Como denominadores iguais são dados, isso significa que estamos calculando uma fração com o mesmo denominador. Nós entendemos isso

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Existem exemplos de cálculo de frações com denominadores diferentes. Um ponto importante é a redução a um denominador comum. Sem isso, não poderemos realizar outras ações com frações.

O processo lembra remotamente a redução a um denominador comum. Ou seja, é feita uma busca pelo mínimo divisor comum no denominador, após o que os fatores ausentes são adicionados às frações.

Se as frações adicionadas não tiverem fatores comuns, seu produto pode se tornar um.

Exemplo 3

Considere o exemplo da adição de frações 2 3 5 + 1 e 1 2 .

Decisão

Nesse caso, o denominador comum é o produto dos denominadores. Então temos que 2 · 3 5 + 1 . Então, ao definir fatores adicionais, temos que para a primeira fração é igual a 2, e para a segunda 3 5 + 1. Após a multiplicação, as frações são reduzidas à forma 4 2 3 5 + 1. O elenco geral 1 2 será 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Adicionamos as expressões fracionárias resultantes e obtemos que

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Responda: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Quando estamos lidando com frações de forma geral, o menor denominador comum geralmente não é o caso. Não é lucrativo tomar o produto dos numeradores como denominador. Primeiro você precisa verificar se existe um número que é menor em valor do que o seu produto.

Exemplo 4

Considere o exemplo 1 6 2 1 5 e 1 4 2 3 5 quando seu produto é igual a 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Então tomamos 12 · 2 3 5 como denominador comum.

Considere exemplos de multiplicações de frações de forma geral.

Exemplo 5

Para fazer isso, é necessário multiplicar 2 + 1 6 e 2 · 5 3 · 2 + 1.

Decisão

Seguindo a regra, é necessário reescrever e escrever o produto dos numeradores como denominador. Obtemos que 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Quando a fração é multiplicada, podem ser feitas reduções para simplificá-la. Então 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Usando a regra de transição da divisão para a multiplicação por um recíproco, obtemos o recíproco do dado. Para fazer isso, o numerador e o denominador são invertidos. Vejamos um exemplo:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Depois disso, eles devem realizar a multiplicação e simplificar a fração resultante. Se necessário, livre-se da irracionalidade no denominador. Nós entendemos isso

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Responda: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Este parágrafo é aplicável quando um número ou expressão numérica pode ser representado como uma fração com denominador igual a 1, então a operação com tal fração é considerada um parágrafo separado. Por exemplo, a expressão 1 6 7 4 - 1 3 mostra que a raiz de 3 pode ser substituída por outra expressão 3 1. Então este registro será parecido com uma multiplicação de duas frações da forma 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Executando uma ação com frações contendo variáveis

As regras discutidas no primeiro artigo são aplicáveis ​​a operações com frações contendo variáveis. Considere a regra de subtração quando os denominadores são os mesmos.

É necessário provar que A , C e D (D diferente de zero) podem ser quaisquer expressões, e a igualdade A D ± C D = A ± C D é equivalente ao seu intervalo de valores válidos.

É necessário tomar um conjunto de variáveis ​​ODZ. Então A, C, D devem tomar os valores correspondentes a 0 , c 0 e d0. Uma substituição da forma A D ± C D resulta em uma diferença da forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , onde, de acordo com a regra de adição, obtemos uma fórmula da forma a 0 ± c 0 d 0 . Se substituirmos a expressão A ± C D , obteremos a mesma fração da forma a 0 ± c 0 d 0 . Disso concluímos que o valor escolhido que satisfaça a ODZ, A ± C D e A D ± C D são considerados iguais.

Para qualquer valor das variáveis, essas expressões serão iguais, ou seja, são chamadas identicamente iguais. Isto significa que esta expressão é considerada uma igualdade demonstrável da forma A D ± C D = A ± C D .

Exemplos de adição e subtração de frações com variáveis

Quando há os mesmos denominadores, só é necessário somar ou subtrair os numeradores. Esta fração pode ser simplificada. Às vezes você tem que trabalhar com frações que são identicamente iguais, mas à primeira vista isso não é perceptível, pois algumas transformações devem ser realizadas. Por exemplo, x 2 3 x 1 3 + 1 e x 1 3 + 1 2 ou 1 2 sen 2 α e sen a cos a. Na maioria das vezes, é necessária uma simplificação da expressão original para ver os mesmos denominadores.

Exemplo 6

Calcular: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2), x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Decisão

1. Para fazer um cálculo, você precisa subtrair frações que têm os mesmos denominadores. Então temos que x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Depois disso, você pode abrir os colchetes com a redução de termos semelhantes. Obtemos que x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Como os denominadores são os mesmos, resta apenas somar os numeradores, deixando o denominador: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   A adição foi concluída. Pode-se ver que a fração pode ser reduzida. Seu numerador pode ser dobrado usando a fórmula da soma quadrada, então obtemos (l g x + 2) 2 das fórmulas de multiplicação abreviadas. Então obtemos isso
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Dadas frações da forma x - 1 x - 1 + x x + 1 com denominadores diferentes. Após a transformação, você pode prosseguir para a adição.

Vamos considerar uma solução de duas vias.

O primeiro método é que o denominador da primeira fração é submetido a fatoração usando quadrados, e com sua subsequente redução. Obtemos uma fração da forma

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Então x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Nesse caso, é necessário se livrar da irracionalidade no denominador.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A segunda maneira é multiplicar o numerador e denominador da segunda fração por x - 1 . Assim, nos livramos da irracionalidade e passamos a adicionar uma fração com o mesmo denominador. Então

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Responda: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

No último exemplo, descobrimos que a redução a um denominador comum é inevitável. Para fazer isso, você precisa simplificar as frações. Para somar ou subtrair, você sempre precisa procurar um denominador comum, que se parece com o produto dos denominadores com a adição de fatores adicionais aos numeradores.

Exemplo 7

Calcule os valores das frações: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Decisão

1. O denominador não requer cálculos complicados, então você precisa escolher o produto da forma 3 x 7 + 2 2, então para a primeira fração x 7 + 2 2 é escolhido como um fator adicional e 3 para o segundo. Ao multiplicar, obtemos uma fração da forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Pode-se observar que os denominadores são apresentados como um produto, o que significa que transformações adicionais são desnecessárias. O denominador comum será o produto da forma x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . A partir daqui x 4 é um fator adicional para a primeira fração, e ln (x + 1) ao segundo. Então subtraímos e obtemos:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sen x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sen x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Este exemplo faz sentido ao trabalhar com denominadores de frações. É necessário aplicar as fórmulas da diferença dos quadrados e do quadrado da soma, pois elas permitirão passar a uma expressão da forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Pode-se ver que as frações são reduzidas a um denominador comum. Obtemos que cos x - x cos x + x 2 .

Então obtemos isso

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Responda:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Exemplos de multiplicação de frações com variáveis

Ao multiplicar frações, o numerador é multiplicado pelo numerador e o denominador pelo denominador. Então você pode aplicar a propriedade de redução.

Exemplo 8

Multiplique as frações x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen 2 x - x.

Decisão

Você precisa fazer a multiplicação. Nós entendemos isso

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2 x - x)

O número 3 é transferido para o primeiro lugar para conveniência dos cálculos, e você pode reduzir a fração em x 2, então obtemos uma expressão da forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2 x - x)

Responda: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2x-x).

Divisão

A divisão de frações é semelhante à multiplicação, pois a primeira fração é multiplicada pelo segundo inverso. Se tomarmos, por exemplo, a fração x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e dividirmos por 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen 2 x - x, então isso pode ser escrito como

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x), então substitua por um produto da forma x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 pecado (2 x - x)

Exponenciação

Vamos passar a considerar a ação com frações de uma forma geral com exponenciação. Se houver um grau com um expoente natural, a ação é considerada como uma multiplicação de frações idênticas. Mas é recomendável usar uma abordagem geral baseada nas propriedades dos graus. Quaisquer expressões A e C, onde C não é identicamente igual a zero, e qualquer r real na ODZ para uma expressão da forma A C r, a igualdade A C r = A r C r é verdadeira. O resultado é uma fração elevada a uma potência. Por exemplo, considere:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

A ordem das operações com frações

As ações nas frações são executadas de acordo com certas regras. Na prática, notamos que uma expressão pode conter várias frações ou expressões fracionárias. Então é necessário executar todas as ações em uma ordem estrita: aumentar a uma potência, multiplicar, dividir, depois adicionar e subtrair. Se houver colchetes, a primeira ação é executada neles.

Exemplo 9

Calcule 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Decisão

Como temos o mesmo denominador, então 1 - x cos x e 1 c o s x , mas é impossível subtrair de acordo com a regra, primeiro são realizadas as ações entre parênteses, após o que a multiplicação e depois a adição. Então, calculando, obtemos que

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Ao substituir a expressão na original, obtemos que 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Ao multiplicar frações, temos: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Tendo feito todas as substituições, obtemos 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Agora você precisa trabalhar com frações que têm denominadores diferentes. Nós temos:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Responda: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter

Conteúdo da lição

Somando frações com os mesmos denominadores

A adição de frações é de dois tipos:

1. Somando frações com os mesmos denominadores
2. Adicionando frações com denominadores diferentes

Vamos começar adicionando frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para adicionar frações com os mesmos denominadores, você precisa adicionar seus numeradores e deixar o denominador inalterado. Por exemplo, vamos adicionar as frações e . Adicionamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza a pizza, você obtém pizza:

Exemplo 2 Adicione frações e .

A resposta é uma fração imprópria. Se o fim da tarefa chegar, é costume se livrar das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela. No nosso caso, a parte inteira é alocada facilmente - dois dividido por dois é igual a um:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em duas partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, obterá uma pizza inteira:

Exemplo 3. Adicione frações e .

Novamente, adicione os numeradores e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, você obterá pizzas:

Exemplo 4 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador mantido inalterado:

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza e adicionar mais pizzas, receberá 1 pizza inteira e mais pizzas.

Como você pode ver, adicionar frações com os mesmos denominadores não é difícil. Basta entender as seguintes regras:

1. Para somar frações com o mesmo denominador, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado;

Adicionando frações com denominadores diferentes

Agora vamos aprender como somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores dessas frações devem ser os mesmos. Mas nem sempre são iguais.

Por exemplo, frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.

Mas frações não podem ser somadas de uma só vez, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje consideraremos apenas um deles, pois o restante dos métodos pode parecer complicado para um iniciante.

A essência deste método está no fato de que o primeiro (LCM) dos denominadores de ambas as frações é procurado. Então o LCM é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o LCM é dividido pelo denominador da segunda fração e o segundo fator adicional é obtido.

Em seguida, os numeradores e denominadores das frações são multiplicados por seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações.

Exemplo 1. Adicione frações e

Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6

LCM (2 e 3) = 6

Agora de volta às frações e . Primeiro, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração e obtemos o primeiro fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, temos 2.

O número 2 resultante é o primeiro fator adicional. Escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, temos 3.

O número 3 resultante é o segundo fator adicional. Escrevemos na segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da segunda fração e escrevemos o fator adicional encontrado acima dela:

Agora estamos todos prontos para adicionar. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais:

Olhe atentamente para o que chegamos. Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Assim termina o exemplo. Para adicioná-lo acontece.

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza, obterá uma pizza inteira e outro sexto de uma pizza:

A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo as frações e para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).

O primeiro desenho mostra uma fração (quatro peças de seis) e a segunda foto mostra uma fração (três peças de seis). Juntando essas peças, obtemos (sete peças de seis). Esta fração está incorreta, então destacamos a parte inteira nela. O resultado foi (uma pizza inteira e outra sexta pizza).

Observe que pintamos este exemplo com muitos detalhes. Nas instituições de ensino não é costume escrever de forma tão detalhada. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o MMC de ambos os denominadores e fatores adicionais a eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Enquanto na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte forma:

Mas há também o outro lado da moeda. Se notas detalhadas não forem feitas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então perguntas do tipo “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.

Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:

1. Encontre o MMC dos denominadores das frações;
2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração;
3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais;
4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores;
5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione sua parte inteira;

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão .

Vamos usar as instruções acima.

Etapa 1. Encontre o MMC dos denominadores das frações

Encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4

Etapa 2. Divida o LCM pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração

Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 2. Divida 12 por 2, obtemos 6. Obtemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12, e o denominador da terceira fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a terceira fração:

Etapa 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais

Multiplicamos os numeradores e denominadores pelos nossos fatores adicionais:

Etapa 4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). Resta adicionar essas frações. Adicionar:

A adição não coube em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não cabe em uma linha, ela é transportada para a próxima linha, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início de uma nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.

Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira nela

Nossa resposta é uma fração imprópria. Devemos destacar toda a parte dela. Destacamos:

Obteve uma resposta

Subtração de frações com os mesmos denominadores

Existem dois tipos de subtração de fração:

1. Subtração de frações com os mesmos denominadores
2. Subtração de frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender a subtrair frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador o mesmo.

Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão . Para resolver este exemplo, é necessário subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado. Vamos fazer isso:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 2 Encontre o valor da expressão.

Novamente, do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da segunda fração e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Do numerador da primeira fração, você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:

Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

1. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado;
2. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará selecionar a parte inteira nela.

Subtração de frações com denominadores diferentes

Por exemplo, uma fração pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm os mesmos denominadores. Mas uma fração não pode ser subtraída de uma fração, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

O denominador comum é encontrado de acordo com o mesmo princípio que usamos ao somar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Então o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido, que é escrito sobre a primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido, que é escrito sobre a segunda fração.

As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações.

Exemplo 1 Encontre o valor de uma expressão:

Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Primeiro, encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12

LCM (3 e 4) = 12

Agora de volta às frações e

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escrevemos o quatro sobre a primeira fração:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, temos 3. Escreva um triplo sobre a segunda fração:

Agora estamos todos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Obteve uma resposta

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas.

Esta é a versão detalhada da solução. Estando na escola, teríamos que resolver este exemplo de uma forma mais curta. Tal solução ficaria assim:

A redução de frações e a um denominador comum também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo essas frações para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas nas mesmas frações (reduzidas ao mesmo denominador):

O primeiro desenho mostra uma fração (oito peças de doze), e a segunda foto mostra uma fração (três peças de doze). Ao cortar três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão

Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Encontre o MMC dos denominadores dessas frações.

Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador de cada fração.

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30, e o denominador da primeira fração é o número 10. Divida 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 30, e o denominador da terceira fração é o número 5. Divida 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a terceira fração:

Agora tudo está pronto para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos terminar este exemplo.

A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:

A resposta acabou sendo uma fração correta, e tudo parece nos convém, mas é muito complicado e feio. Devemos facilitar. O que pode ser feito? Você pode reduzir essa fração.

Para reduzir uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador por (mdc) os números 20 e 30.

Então, encontramos o MDC dos números 20 e 30:

Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e denominador da fração pelo MDC encontrado, ou seja, por 10

Obteve uma resposta

Multiplicando uma fração por um número

Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração dada por esse número e deixar o denominador o mesmo.

Exemplo 1. Multiplique a fração pelo número 1.

Multiplique o numerador da fração pelo número 1

A entrada pode ser entendida como demorando metade 1 vez. Por exemplo, se você pegar pizza 1 vez, você ganha pizza

Pelas leis da multiplicação, sabemos que se o multiplicando e o multiplicador forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como , o produto ainda será igual a . Novamente, a regra para multiplicar um inteiro e uma fração funciona:

Esta entrada pode ser entendida como tendo metade da unidade. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e levarmos metade, teremos pizza:

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da fração por 4

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

A expressão pode ser entendida como tendo dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você comer pizzas 4 vezes, você ganha duas pizzas inteiras.

E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador em lugares, obtemos a expressão. Também será igual a 2. Esta expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela.

Exemplo 1 Encontre o valor da expressão.

Obteve uma resposta. É desejável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:

A expressão pode ser entendida como tirar uma pizza de meia pizza. Digamos que temos meia pizza:

Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir essa metade em três partes iguais:

E pegue dois desses três pedaços:

Nós vamos pegar pizza. Lembre-se de como é uma pizza dividida em três partes:

Uma fatia desta pizza e as duas fatias que tiramos terão as mesmas dimensões:

Em outras palavras, nós estamos falando aproximadamente o mesmo tamanho de pizza. Portanto, o valor da expressão é

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta acabou sendo uma fração correta, mas será boa se for reduzida. Para reduzir essa fração, você precisa dividir o numerador e o denominador dessa fração pelo máximo divisor comum (MDC) dos números 105 e 450.

Então, vamos encontrar o MDC dos números 105 e 450:

Agora dividimos o numerador e o denominador de nossa resposta ao MDC que encontramos agora, ou seja, por 15

Representando um inteiro como uma fração

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como . A partir disso, o cinco não mudará seu significado, pois a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e isso, como você sabe, é igual a cinco:

Números reversos

Agora vamos nos familiarizar com um tópico muito interessante em matemática. Chama-se "números reversos".

Definição. Reverter para númerouma é o número que, multiplicado poruma dá uma unidade.

Vamos substituir nesta definição em vez de uma variável uma número 5 e tente ler a definição:

Reverter para número 5 é o número que, multiplicado por 5 dá uma unidade.

É possível encontrar um número que, quando multiplicado por 5, dê um? Acontece que você pode. Vamos representar cinco como uma fração:

Em seguida, multiplique essa fração por ela mesma, apenas troque o numerador e o denominador. Em outras palavras, vamos multiplicar a fração por ela mesma, apenas invertida:

Qual será o resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obtemos um:

Isso significa que o inverso do número 5 é o número, pois quando 5 é multiplicado por um, obtém-se um.

O recíproco também pode ser encontrado para qualquer outro inteiro.

Você também pode encontrar o recíproco para qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virá-lo.

Divisão de uma fração por um número

Digamos que temos meia pizza:

Vamos dividi-lo igualmente entre dois. Quantas pizzas cada um receberá?

Pode-se ver que após dividir metade da pizza, foram obtidos dois pedaços iguais, cada um dos quais compõe uma pizza. Então todo mundo ganha uma pizza.

A divisão de frações é feita usando recíprocos. Os recíprocos permitem que você substitua a divisão pela multiplicação.

Para dividir uma fração por um número, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor.

Usando esta regra, vamos escrever a divisão da nossa metade da pizza em duas partes.

Então, você precisa dividir a fração pelo número 2. Aqui o dividendo é uma fração e o divisor é 2.

Para dividir uma fração pelo número 2, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor 2. O inverso do divisor 2 é uma fração. Então você precisa multiplicar por