Considere as simetrias axiais e centrais como propriedades de algumas figuras geométricas; Considere as simetrias axiais e centrais como propriedades de algumas figuras geométricas; Ser capaz de construir pontos simétricos e ser capaz de reconhecer figuras simétricas em torno de um ponto ou de uma linha; Ser capaz de construir pontos simétricos e ser capaz de reconhecer figuras simétricas em torno de um ponto ou de uma linha; Melhorar a capacidade de resolução de problemas; Melhorar a capacidade de resolução de problemas; Continuar a trabalhar na precisão do registro e execução de um desenho geométrico; Continuar a trabalhar na precisão do registro e execução de um desenho geométrico;

Trabalho oral "Pesquisa suave" Trabalho oral "Pesquisa suave" Que ponto é chamado de ponto médio do segmento? Qual triângulo é chamado de triângulo isósceles? Que propriedade têm as diagonais de um losango? Formule a propriedade da bissetriz de um triângulo isósceles. Quais retas são chamadas de perpendiculares? O que é um triângulo equilátero? Que propriedade têm as diagonais de um quadrado? Que figuras são chamadas iguais?

Que novos conceitos você aprendeu em sala de aula? Que novos conceitos você aprendeu em sala de aula? O que você aprendeu sobre formas geométricas? O que você aprendeu sobre formas geométricas? Dê exemplos de figuras geométricas com simetria axial. Dê exemplos de figuras geométricas com simetria axial. Dê um exemplo de figuras com simetria central. Dê um exemplo de figuras com simetria central. Dê exemplos de objetos da vida circundante que tenham um ou dois tipos de simetria. Dê exemplos de objetos da vida circundante que tenham um ou dois tipos de simetria.

"Ponto de simetria" - Simetria na arquitetura. Exemplos de simetria de figuras planas. Dois pontos A e A1 são chamados simétricos em relação a O se O for o ponto médio do segmento AA1. Exemplos de figuras com simetria central são o círculo e o paralelogramo. O ponto C é chamado de centro de simetria. Simetria em ciência e tecnologia.

"Construção de formas geométricas" - Aspecto educativo. Controle e correção de assimilação. O estudo da teoria na qual o método se baseia. Em estereometria - não construções estritas. construções estereométricas. método algébrico. Método de transformação (semelhança, simetria, tradução paralela, etc.). Por exemplo: reta; bissetriz do ângulo; perpendicular mediana.

"Figura Humana" - A forma e o movimento do corpo humano são amplamente determinados pelo esqueleto. Feira com espetáculo teatral. Você acha que há um trabalho para um artista em um circo? O esqueleto desempenha o papel de um quadro na estrutura da figura. Corpo principal (barriga, peito) Não prestou atenção Cabeça, rosto, mãos. A. Mathis. Proporções. Grécia antiga.

"Simetria sobre uma linha" - A simetria sobre uma linha é chamada de simetria axial. A reta a é o eixo de simetria. Simetria em relação a uma linha reta. Bulavin Pavel, classe 9B. Quantos eixos de simetria tem cada figura? Uma figura pode ter um ou mais eixos de simetria. simetria central. Trapézio equosceles. Retângulo.

"Quadrados de figuras geométricas" - teorema de Pitágoras. Áreas de várias figuras. Resolva o quebra-cabeça. Figuras com áreas iguais são chamadas de áreas iguais. Unidades de área. Área de um triângulo. Retângulo, triângulo, paralelogramo. centímetro quadrado. Figuras de igual área. Números iguais b). milímetro quadrado. dentro). Qual será a área da figura composta pelas figuras A e D.

"Limite de uma função em um ponto" - Então, neste caso. Ao se esforçar. Limite de uma função em um ponto. Contínuo em um ponto. Igual ao valor da função em. Mas ao calcular o limite da função em. Igual ao valor. Expressão. Aspiração. Ou você pode dizer isso: em uma vizinhança suficientemente pequena do ponto. Compilado de. Decisão. Contínuo em intervalos. Entre.

Homotetia e semelhança.Homotetia - uma transformação em que cada ponto M (plano ou espaço) é atribuído um ponto M", deitado em OM (Fig. 5.16), e a razão OM":OM= λ o mesmo para todos os pontos, exceto O. ponto fixo O é chamado de centro de homotetia. Atitude OM": OM considerado positivo se M" e M deitar de um lado Oh, negativo - em lados opostos. Número X é chamado de coeficiente de homotetia. No X< 0 homotetia é chamado inverso. Noλ = - 1 homotetia torna-se uma transformação de simetria em torno de um ponto O. Com homotetia, uma linha reta passa para uma linha reta, linhas paralelas e planos são preservados, ângulos (lineares e diedros) são preservados, cada figura passa para ela semelhantes (Fig. 5.17).

A recíproca também é verdadeira. Uma homotetia pode ser definida como uma transformação afim na qual as linhas que ligam os pontos correspondentes passam por um ponto - o centro da homotetia. Homothety é usado para ampliar imagens (lâmpada de projeção, cinema).

Simetria central e espelhada.Simetria (em sentido amplo) - uma propriedade de uma figura geométrica Ф, caracterizando uma certa correção de sua forma, sua invariância sob a ação de movimentos e reflexões. A figura Ф tem simetria (simétrica) se houver transformações ortogonais não idênticas que levem essa figura para si. O conjunto de todas as transformações ortogonais que combinam a figura Ф consigo mesma é o grupo desta figura. Assim, uma figura plana (Fig. 5.18) com um ponto M, transformando-

Xia em si mesmo com um espelho reflexão, simétrica em relação ao eixo reto AB. Aqui o grupo de simetria consiste em dois elementos - o ponto M convertido para M".

Se a figura Ф no plano for tal que as rotações em torno de algum ponto O através de um ângulo de 360°/n, onde n > 2 é um número inteiro, transforme-o em si mesmo, então a figura Ф tem simetria de n-ésima ordem em relação ao ponto O - centro de simetria. Um exemplo de tais figuras são os polígonos regulares, por exemplo, em forma de estrela (Fig. 5.19), que possuem simetria de oitava ordem em torno de seu centro. O grupo de simetria aqui é o chamado grupo cíclico de n-ésima ordem. O círculo tem simetria de ordem infinita (já que é combinado consigo mesmo girando em qualquer ângulo).

O tipo mais simples de simetria espacial é a simetria central (inversão). Neste caso, em relação ao ponto O a figura Ф é combinada consigo mesma após sucessivas reflexões de três planos mutuamente perpendiculares, ou seja, o ponto O - o meio do segmento ligando os pontos simétricos F. Assim, para o cubo (Fig. 5.20) o ponto O é o centro de simetria. pontos cubo M e M"

SIMETRIA DE FIGURAS ESPACIAIS

Segundo o famoso matemático alemão G. Weyl (1885-1955), "simetria é a idéia pela qual o homem vem tentando há séculos compreender e criar ordem, beleza e perfeição".
Belas imagens de simetria são demonstradas por obras de arte: arquitetura, pintura, escultura, etc.
O conceito de simetria de figuras no plano foi considerado no curso da planimetria. Em particular, foram definidos os conceitos de simetria central e axial. Para figuras espaciais, o conceito de simetria é definido de forma semelhante.
Considere primeiro a simetria central.
simétrico em torno de um ponto Ah, chamado centro de simetria, se O é o ponto médio do segmento AA". O ponto O é considerado simétrico a si mesmo.
Uma transformação espacial na qual cada ponto A está associado a um ponto A simétrico a ele (em relação a um dado ponto O) é chamada simetria central. O ponto O é chamado centro de simetria.
As duas figuras F e F" são chamadas centralmente simétrico, se houver uma transformação de simetria que leve um deles ao outro.
A figura F é chamada centralmente simétrico se é centralmente simétrico a si mesmo.
Por exemplo, uma caixa é centralmente simétrica em relação ao ponto de interseção de suas diagonais. A bola e a esfera são centralmente simétricas em relação aos seus centros.
Dos poliedros regulares, o cubo, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro são centralmente simétricos. O tetraedro não é uma figura centralmente simétrica.
Considere algumas propriedades da simetria central.
Propriedade 1. Se O 1, O2 são os centros de simetria da figura Ф, então o ponto O 3 simétrico ao O 1 em relação ao O 2 é também o centro de simetria desta figura.
Prova. Seja A um ponto no espaço, A 2 é um ponto simétrico a ele em relação a O 2, A1 – ponto simétrico a A 2 em relação a O 1 e A 3 – ponto simétrico A 1 em relação ao O 2 (Fig. 1).

Então os triângulos O 2 O 1 A 1 e O 2 O 3 A 3, O 2 O 1 A 2 e O 2 O 3 A são iguais. Portanto, A e A 3 são simétricas em relação a O 3 . Então a simetria em relação a O 3 é uma composição de simetrias em relação a O 2 , O 1 e O 2 . Consequentemente, com essa simetria, a figura Ф se transforma em si mesma, ou seja, O 3 é o centro de simetria de F.

Consequência.Qualquer figura ou não tem um centro de simetria, ou tem um centro de simetria, ou tem um número infinito de centros de simetria

Com efeito, se O 1, O2 são os centros de simetria da figura Ф, então o ponto O 3 simétrico ao O 1 em relação ao O 2 é também o centro de simetria desta figura. Da mesma forma, o ponto O 4 O 2 simétrico em relação ao O 3 é também o centro de simetria da figura Ф, etc. Assim, neste caso, a figura Ф tem infinitos centros de simetria.

Considere agora o conceito simetria axial.
Os pontos A e A" do espaço são chamados simétrico sobre uma linha reta uma chamado eixo de simetria se em linha reta uma passa pelo ponto médio do segmento AA "e é perpendicular a este segmento. Cada ponto da linha uma considerado simétrico a si mesmo.
Uma transformação espacial na qual cada ponto A está associado a um ponto A simétrico a ele (em relação a uma dada linha uma), é chamado simetria axial. Em linha reta umaé chamado eixo de simetria.
As duas figuras são chamadas simétrico sobre uma linha reta uma se a transformação de simetria sobre esta linha leva um deles para o outro.
A figura Ф no espaço é chamada simétrico sobre uma linha reta uma se for simétrica a si mesma.
Por exemplo, um paralelepípedo é simétrico em relação a uma linha reta que passa pelos centros das faces opostas. Um cilindro circular reto é simétrico em relação ao seu eixo, uma bola e uma esfera são simétricas em relação a quaisquer linhas retas que passem por seus centros, etc.
O cubo tem três eixos de simetria que passam pelos centros das faces opostas e seis eixos de simetria que passam pelos pontos médios das arestas opostas.
Um tetraedro tem três eixos de simetria passando pelos pontos médios de arestas opostas.
O octaedro tem três eixos de simetria passando por vértices opostos e seis eixos de simetria passando pelos pontos médios de arestas opostas.
O icosaedro e o dodecaedro têm quinze eixos de simetria cada um passando pelos pontos médios das arestas opostas.
Propriedade 3. Se umuma 1 , uma 2 - o eixo de simetria da figura Ф, depois a linha retauma 3, simétrico uma 1 relativamente uma 2 é também o eixo de simetria desta figura.

A prova é semelhante à prova da Propriedade 1.

Propriedade 4.Se duas linhas perpendiculares que se cruzam no espaço são os eixos de simetria da figura Ф, então a linha que passa pelo ponto de interseção e perpendicular ao plano dessas linhas também será o eixo de simetria da figura Ф.
Prova. Considere os eixos coordenados O x, O y, O z. Simetria em torno do eixo O x x, y, z) ao ponto da figura Ф com coordenadas ( x, -y, -z). Da mesma forma, a simetria em torno do eixo O y traduz o ponto da figura Ô com coordenadas ( x, –y, –z) para um ponto da figura Ô com coordenadas (– x, -y, z) . Assim, a composição dessas simetrias traduz o ponto da figura Ф com coordenadas ( x, y, z) para um ponto da figura Ô com coordenadas (– x, -y, z). Portanto, o eixo O zé o eixo de simetria de F.

Consequência.Qualquer figura no espaço não pode ter um número par (diferente de zero) de eixos de simetria.
De fato, fixamos algum eixo de simetria uma. Se um b- eixo de simetria, não se cruza uma ou não o intercepta em ângulo reto, então para ele há mais um eixo de simetria b', simétrico em relação a uma. Se o eixo de simetria b cruzes uma em um ângulo reto, então para ele há mais um eixo de simetria b' passando pelo ponto de interseção e perpendicular ao plano das linhas uma e b. Portanto, além do eixo de simetria umaé possível um número par ou infinito de eixos de simetria. Assim, um número total par (diferente de zero) de eixos de simetria é impossível.
Além dos eixos de simetria definidos acima, também consideramos eixos de simetria n-ésima ordem, n 2 .
Em linha reta uma chamado eixo de simetria n-ésima ordem figura Ô, se ao girar a figura Ô em torno de uma linha reta uma em um ângulo, a figura Ф é combinada consigo mesma.

É claro que o eixo de simetria de 2ª ordem é simplesmente um eixo de simetria.
Por exemplo, no correto n-pirâmide angular, uma linha reta que passa pelo topo e centro da base é o eixo de simetria n-ª ordem.
Vamos descobrir quais eixos de simetria têm poliedros regulares.
O cubo tem três eixos de simetria de 4ª ordem passando pelos centros de faces opostas, quatro eixos de simetria de 3ª ordem passando por vértices opostos e seis eixos de simetria de 2ª ordem passando pelos pontos médios de arestas opostas.
O tetraedro tem três eixos de simetria de segunda ordem passando pelos pontos médios das arestas opostas.
O icosaedro tem seis eixos de simetria de 5ª ordem passando por vértices opostos; dez eixos de simetria de 3ª ordem passando pelos centros de faces opostas e quinze eixos de simetria de 2ª ordem passando pelos pontos médios de arestas opostas.
O dodecaedro tem seis eixos de simetria de 5ª ordem passando pelos centros das faces opostas; dez eixos de simetria de 3ª ordem passando por vértices opostos e quinze eixos de simetria de 2ª ordem passando pelos pontos médios de arestas opostas.
Considere o conceito simetria do espelho.
Os pontos A e A" no espaço são chamados simétrico em relação ao plano, ou, em outras palavras, espelho simétrico, se este plano passa pelo ponto médio do segmento AA "e é perpendicular a ele. Cada ponto do plano é considerado simétrico a si mesmo.
A transformação do espaço, na qual cada ponto A está associado a um ponto A simétrico a ele (em relação ao plano dado), é chamada de simetria do espelho. O avião chama-se plano de simetria.
As duas figuras são chamadas espelho simétrico em relação a um plano se uma transformação de simetria em relação a esse plano leva um deles ao outro.
A figura Ф no espaço é chamada espelho simétrico se é espelho simétrico a si mesmo.
Por exemplo, um paralelepípedo é simétrico em relação a um plano que passa pelo eixo de simetria e é paralelo a um dos pares de faces opostas. O cilindro é simétrico em relação a qualquer plano que passe por seu eixo, etc.
Entre os poliedros regulares, o cubo e o octaedro têm cada um nove planos de simetria. O tetraedro tem seis planos de simetria. O icosaedro e o dodecaedro têm quinze planos de simetria que passam por pares de arestas opostas.
Propriedade 5. A composição de duas simetrias de espelho em relação a planos paralelos é uma translação paralela por um vetor perpendicular a esses planos e igual em magnitude a duas vezes a distância entre esses planos.
Consequência. O transporte paralelo pode ser representado como uma composição de duas simetrias espelhadas.
Propriedade 6. A composição de duas simetrias de espelho em relação aos planos que se cruzam em uma linha reta é uma rotação em torno dessa linha reta por um ângulo igual a duas vezes o ângulo diedro entre esses planos. Em particular, a simetria axial é a composição de duas simetrias espelhadas sobre planos perpendiculares.
Consequência. Uma rotação pode ser pensada como uma composição de duas simetrias espelhadas.
Propriedade 7. A simetria central pode ser representada como uma composição de três simetrias espelhadas.
Vamos provar esta propriedade usando o método das coordenadas. Deixe o ponto A no espaço tem coordenadas ( x, y, z). A simetria do espelho em relação ao plano de coordenadas altera o sinal da coordenada correspondente. Por exemplo, simetria do espelho em relação ao plano O xy traduz um ponto com coordenadas ( x, y, z) para um ponto com coordenadas ( x, y, -z). A composição de três simetrias de espelho sobre os planos de coordenadas traduz o ponto com coordenadas ( x, y, z) para um ponto com coordenadas (– x, -y, -z), que é centralmente simétrico ao ponto inicial A.
Movimentos que traduzem a figura F em si mesma formam um grupo em relação à composição. É chamado grupo de simetria figuras F
Vamos encontrar a ordem do grupo de simetria do cubo.
É claro que qualquer movimento que tome o cubo em si mesmo deixa o centro do cubo no lugar, move os centros das faces para os centros das faces, os pontos médios das arestas para os pontos médios das arestas e os vértices para os centros das faces. os vértices.
Assim, para definir o movimento do cubo, basta determinar para onde vão o centro da face, o meio da aresta dessa face e o vértice da aresta.
Considere particionar um cubo em tetraedros, os vértices de cada um dos quais são o centro do cubo, o centro da face, o ponto médio da aresta dessa face e o vértice da aresta. Existem 48 desses tetraedros. Como o movimento é completamente determinado por qual dos tetraedros o tetraedro dado é transferido, a ordem do grupo de simetria do cubo será igual a 48.
Da mesma forma, as ordens dos grupos de simetria do tetraedro, octaedro, icosaedro e dodecaedro são encontradas.
Encontre o grupo de simetria do círculo unitário S 1 . Este grupo é denotado O(2). É um grupo topológico infinito. Representamos o círculo unitário como um grupo de números complexos módulo um. Existe um epimorfismo natural p:O(2) --> S 1 , que atribui a um elemento u do grupo O(2) um elemento u(1) em S 1 . O núcleo deste mapeamento é o grupo Z 2 , gerado pela simetria do círculo unitário em torno do eixo Ox. Portanto, O(2)/Z 2S1 . Além disso, se a estrutura do grupo não for levada em consideração, então existe um homeomorfismo O(2) e o produto direto S 1 e Z2.
Da mesma forma, o grupo de simetria da esfera bidimensional S 2 é denotado por O(3), e satisfaz o isomorfismo O(3)/O(2) S 2 .
Os grupos de simetria de esferas n-dimensionais desempenham um papel importante nos ramos modernos da topologia: a teoria das variedades, a teoria dos espaços das fibras, etc.
Uma das manifestações mais marcantes de simetria na natureza são os cristais. As propriedades dos cristais são determinadas pelas características de sua estrutura geométrica, em particular, pelo arranjo simétrico dos átomos na rede cristalina. As formas externas dos cristais são consequência de sua simetria interna.
As primeiras, ainda vagas suposições de que os átomos nos cristais estão dispostos em uma ordem regular, regular e simétrica foram expressas nos trabalhos de vários cientistas naturais já em uma época em que o próprio conceito de átomo não era claro e não havia evidência experimental da estrutura atômica da matéria. A forma externa simétrica dos cristais sugeria involuntariamente que a estrutura interna dos cristais deveria ser simétrica e regular. As leis de simetria da forma externa dos cristais foram plenamente estabelecidas em meados do século XIX e, no final deste século, as leis de simetria que governam as estruturas atômicas nos cristais foram deduzidas com clareza e precisão.
O fundador da teoria matemática da estrutura dos cristais é um excelente matemático e cristalógrafo russo - Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919). Matemática, química, geologia, mineralogia, petrografia, mineração - E.S. Fedorov fez uma contribuição significativa para cada uma dessas áreas. Em 1890, ele deduziu estritamente matematicamente todas as leis geométricas possíveis para a combinação de elementos de simetria em estruturas cristalinas, ou seja, a simetria do arranjo de partículas dentro de cristais. Descobriu-se que o número de tais leis é limitado. Fedorov mostrou que existem 230 grupos de simetria espacial, que mais tarde, em homenagem ao cientista, foram nomeados de Fedorov. Foi um trabalho gigantesco realizado 10 anos antes da descoberta dos raios X, 27 anos antes de provarem a existência da própria rede cristalina. A existência de 230 grupos de Fedorov é uma das leis geométricas mais importantes da cristalografia estrutural moderna. "A gigantesca façanha científica de E.S. Fedorov, que conseguiu reunir todo o "caos" natural de inúmeras formações cristalinas sob um único esquema geométrico, ainda desperta admiração. Esta descoberta é semelhante à descoberta da tabela periódica de D.I. Mendeleev." reino dos cristais "é um monumento inabalável e o auge da cristalografia clássica de Fedorov", disse o acadêmico A.V. Shubnikov.

Literatura
1. Hadamard J. Geometria elementar. Parte II. Estereometria. - 3ª edição. – M.: Uchpedgiz, 1958.
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6. Kompaneets A.S. Simetria no micro e macromundo. – M.: Nauka, 1978.
7. Paramonova I.M. Simetria em matemática. – M.: MTsNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Curso de geometria elementar. Parte II. Geometria no espaço. - M.-L.: Ed. Estadual. técnico-teórico Literatura, 1949.
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10. Tarasov L.V. Este mundo incrivelmente simétrico. – M.: Iluminismo, 1982.
11. Padrões de simetria. – M.: Mir, 1980.
12. Shafranovsky I.I. Simetria na natureza. - 2ª edição. - EU.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Simetria na ciência e na arte. – M.: Nauka, 1972.