Articolul dezvăluie conceptul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan, oferă o definiție a unei drepte, a unui plan, ilustrată grafic și arată denumirea dreptelor perpendiculare și a unui plan. Să formulăm un semn de perpendicularitate a unei drepte cu un plan. Luați în considerare condițiile în care o dreaptă și un plan vor fi perpendiculare cu ecuațiile date în plan și spațiu tridimensional. Totul va fi prezentat cu exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiția 1

Linia este perpendiculară pe plan când este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan.

Este adevărat că planul este perpendicular pe dreaptă, la fel ca și linia pe plan.

Perpendicularitatea este indicată prin „⊥”. Dacă condiția specifică că dreapta c este perpendiculară pe planul γ , atunci notația este c ⊥ γ .

De exemplu, dacă linia este perpendiculară pe plan, atunci este posibil să desenați o singură linie, datorită căreia doi pereți adiacenți ai camerei se vor intersecta. Linia este considerată perpendiculară pe planul tavanului. Coarda situată în sală este considerată ca un segment de linie dreaptă care este perpendicular pe plan, în acest caz semi.

Dacă există o linie perpendiculară pe plan, unghiul dintre linie și plan este considerat drept, adică egal cu 90 de grade.

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan - un semn și condiții de perpendicularitate

Pentru a găsi detectarea perpendicularității, este necesar să se folosească o condiție suficientă pentru perpendicularitatea unei linii și a unui plan. Acesta garantează că linia și planul sunt perpendiculare. Această condiție este considerată suficientă și se numește semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Teorema 1

Pentru ca o dreaptă dată să fie perpendiculară pe un plan, este suficient ca linia să fie perpendiculară pe două drepte care se intersectează care se află în acest plan.

O dovadă detaliată este dată în manualul de geometrie din clasele 10-11. Teorema este folosită pentru a rezolva probleme în care este necesar să se stabilească perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

Teorema 2

Cu condiția ca cel puțin una dintre drepte să fie paralelă cu planul, se consideră că a doua dreaptă este și ea perpendiculară pe acest plan.

Semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan a fost luat în considerare încă de la școală, când este necesar să se rezolve probleme de geometrie. Să luăm în considerare mai detaliat încă o condiție necesară și suficientă în care linia și planul vor fi perpendiculare.

Teorema 3

Pentru ca dreapta a să fie perpendiculară pe planul γ, o condiție necesară și suficientă este coliniaritatea vectorului de direcție al dreptei a și vectorul normal al planului γ.

Dovada

Pentru a → = (a x , a y , a z) fiind un vector al dreptei a , pentru n → = (n x , n y , n z) fiind un vector normal al planului γ pentru a îndeplini perpendicularitatea, este necesar ca dreapta a și planul γ aparține îndeplinirii condiției de coliniaritate a vectorilor a → = (a x , a y , a z) și n → = (n x , n y , n z) . Prin urmare, obținem că a → = t n → ⇔ a x = t n x a y = t n y a z = t n z , t este un număr real.

Această demonstrație se bazează pe condiția necesară și suficientă de perpendicularitate a dreptei și a planului, vectorul de direcție al dreptei și vectorul normal al planului.

Această condiție este aplicabilă pentru a demonstra perpendicularitatea unei linii drepte și a unui plan, deoarece este suficient să găsiți coordonatele vectorului de direcție al dreptei și coordonatele vectorului normal în spațiul tridimensional și apoi să efectuați calcule. Este folosit pentru cazurile în care o linie dreaptă este definită printr-o ecuație a unei linii drepte în spațiu, iar un plan printr-o ecuație a unui plan de vreun fel.

Exemplul 1

Demonstrați că dreapta dată x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 este perpendiculară pe planul x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

Decizie

Numitorii ecuațiilor canonice sunt coordonatele vectorului de direcție al dreptei date. Prin urmare avem că a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) este vectorul de direcție al dreptei x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 .

În ecuația generală a planului, coeficienții din fața variabilelor x, y, z sunt coordonatele vectorului normal al planului dat. Rezultă că n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) este vectorul normal al planului x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Este necesar să se verifice îndeplinirea condiției. Înțelegem asta

2 - 1 \u003d t 1 2 \u003d t 2 (2 + 1) 2 \u003d t (- (5 + 6 2)) ⇔ t \u003d 2 - 1, atunci vectorii a → și n → sunt legați de expresia a → = ( ​​2 - 1) n → .

Aceasta este coliniaritatea vectorilor. rezultă că linia x 2 - 1 \u003d y - 1 2 \u003d z + 2 2 - 7 este perpendiculară pe planul x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 \u003d 0 .

Răspuns: linia și planul sunt perpendiculare.

Exemplul 2

Determinați dacă dreapta y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 și planul x 1 2 + z - 1 2 = 1 sunt perpendiculare.

Decizie

Pentru a răspunde la întrebarea perpendicularității, este necesar ca condiția necesară și suficientă să fie îndeplinită, adică mai întâi trebuie să găsiți vectorul dreptei date și vectorul normal al planului.

Din dreapta y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0, se poate observa că vectorul de direcție a → este produsul vectorilor normali ai planului y - 1 = 0 și x + 4 z - 2 = 0 .

Prin urmare, obținem că a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 i → - k → .

Coordonatele vectorului a → = (4 , 0 , - 1) .

Ecuația planului din segmentele x 1 2 + z - 1 2 = 1 este echivalentă cu ecuația planului 2 x - 2 z - 1 = 0 , al cărui vector normal este egal cu n → = (2 , 0 , - 2).

Ar trebui să verificați coliniaritatea vectorilor a → = (4 , 0 , - 1) și n → = (2 , 0 , - 2) .

Pentru a face acest lucru, scriem:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Din aceasta concluzionăm că vectorul de direcție al dreptei nu este coliniar cu vectorul normal al planului. Deci y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 este o dreaptă neperpendiculară pe planul x 1 2 + z - 1 2 .

Răspuns: linia și planul nu sunt perpendiculare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Schița unei lecții de geometrie în clasa a 10-a pe tema „Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan”

Obiectivele lecției:

educational

introducerea unui semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan;

să formeze ideile elevilor despre perpendicularitatea unei drepte și a unui plan, proprietățile acestora;

să formeze capacitatea elevilor de a rezolva probleme tipice pe tema, capacitatea de a demonstra afirmații;

în curs de dezvoltare

dezvoltarea independenței, a activității cognitive;

dezvolta capacitatea de a analiza, de a trage concluzii, de a sistematiza informatiile primite,

dezvoltarea gândirii logice;

dezvolta imaginația spațială.

educational

educarea culturii vorbirii a elevilor, perseverență;

insufla elevilor interesul pentru subiect.

Tip de lecție: Lecție de studiu și consolidare primară a cunoștințelor.

Forme de lucru ale elevilor: sondaj frontal.

Echipament: computer, proiector, ecran.

Literatură:„Geometrie 10-11”, Manual. Atanasyan L.S. si etc.

(2009, 255 p.)

Planul lecției:

Moment organizatoric (1 minut);

Actualizarea cunoștințelor (5 minute);

Învățarea de materiale noi (15 minute);

Consolidarea primară a materialului studiat (20 minute);

Rezumat (2 minute);

Tema pentru acasă (2 minute).

În timpul orelor.

Moment organizatoric (1 minut)

Salutarea elevilor. Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție: verificarea disponibilității caietelor, manualelor. Verificarea absenteismului.

Actualizare de cunoștințe (5 minute)

Profesor. Care dreptă se numește perpendiculară pe plan?

Student. O linie perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan se numește drept perpendiculară pe acest plan.

Profesor. Cum sună lema despre două linii paralele perpendiculare pe o a treia?

Student. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe o a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe această dreaptă.

Profesor. Teoremă privind perpendicularitatea a două drepte paralele pe un plan.

Student. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acel plan.

Profesor. Care este inversul acestei teoreme?

Student. Dacă două drepte sunt perpendiculare pe același plan, atunci sunt paralele.

Verificarea temelor

Temele sunt verificate dacă elevii întâmpină dificultăți în a le rezolva.

Învățarea de materiale noi (15 minute)

Profesor. Tu și cu mine știm că, dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci va fi perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan, dar în definiție, perpendicularitatea unei drepte pe un plan este dată ca fapt. În practică, este adesea necesar să se determine dacă linia va fi perpendiculară pe plan sau nu. Astfel de exemple pot fi date din viață: în timpul construcției clădirilor, piloții sunt conduși perpendicular pe suprafața pământului, altfel structura se poate prăbuși. Definiția unei drepte perpendiculare pe plan nu poate fi utilizată în acest caz. De ce? Câte linii pot fi trase într-un plan?

Student. Există o infinitate de linii drepte care pot fi trasate într-un plan.

Profesor. Corect. Și este imposibil să verificați perpendicularitatea unei linii drepte pe fiecare plan individual, deoarece va dura un timp infinit de lung. Pentru a înțelege dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, introducem semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan. Scrie in caietul tău. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acel plan.

Intrare caiet. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acel plan.

Profesor. Astfel, nu trebuie să verificăm perpendicularitatea unei drepte pentru fiecare plan drept, este suficient să verificăm perpendicularitatea doar pentru două drepte ale acestui plan.

Profesor. Să demonstrăm acest semn.

Dat: pși q- Drept, p ∩ q = O, A⊥ p, A⊥ q, p ϵ α, q ϵ α.

Dovedi: A⊥ α.

Profesor. Și totuși, pentru demonstrație, vom folosi definiția unei drepte perpendiculare pe plan, cum sună?

Student. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acel plan.

Profesor. Corect. Desenați orice dreaptă m în planul α. Desenați o dreaptă l ║ m prin punctul O. Pe linia a marcați punctele A și B astfel încât punctul O să fie punctul de mijloc al segmentului AB. Să desenăm dreapta z în așa fel încât să intersecteze dreptele p, q, l, punctele de intersecție ale acestor drepte vor fi notate cu P, Q, L, respectiv. Conectați capetele segmentului AB cu punctele P, Q și L.

Profesor. Ce putem spune despre triunghiurile ∆APQ și ∆BPQ?

Student. Aceste triunghiuri vor fi egale (conform celui de-al 3-lea criteriu de egalitate a triunghiurilor).

Profesor. De ce?

Student. pentru că liniile p și q sunt bisectoare perpendiculare, atunci AP = BP , AQ = BQ , iar latura PQ este comună.

Profesor. Corect. Ce putem spune despre triunghiurile ∆APL și ∆BPL?

Student. Aceste triunghiuri vor fi de asemenea egale (după 1 semn de egalitate a triunghiurilor).

Profesor. De ce?

Student. AP = BP, PL- partea comună APL =  BPL(din egalitatea ∆ APQși ∆ BPQ)

Profesor. Corect. Deci AL = BL . Deci, ce va fi ∆ALB?

Student. Deci ∆ALB va fi isoscel.

Profesor. LO este mediana în ∆ALB, deci care va fi în acest triunghi?

Student. Deci LO va fi și înălțimea.

Profesor. De aici linia dreaptălva fi perpendicular pe linieA. Și din moment ce linia dreaptăleste orice dreptă aparținând planului α, apoi prin definiție dreaptaA⊥ A. Q.E.D.

Dovedit cu prezentare

Profesor. Dar dacă dreapta a nu intersectează punctul O, ci rămâne perpendiculară pe dreptele p și q? Dacă dreapta a intersectează orice alt punct al planului dat?

Student. Este posibil să construiți o linie 1 , care va fi paralelă cu dreapta a, va intersecta punctul O, iar prin lema pe două drepte paralele perpendiculare pe a treia, putem demonstra căA 1 ⊥ p, A 1 ⊥ q.

Profesor. Corect.

Consolidarea primară a materialului studiat (20 minute)

Profesor. Pentru a consolida materialul studiat, vom rezolva numărul 126. Citiți sarcina.

Student. Linia MB este perpendiculară pe laturile AB și BC ale triunghiului ABC. Determinați tipul de triunghi MBD, unde D este un punct arbitrar al dreptei AC.

Imagine.

Dat: ∆ ABC, MB⊥ BA, MB⊥ î.Hr, D ϵ AC.

Găsiți: ∆ MBD.

Decizie.

Profesor. Poți să desenezi un plan prin vârfurile unui triunghi?

Student. Da, poti. Avionul poate fi desenat în trei puncte.

Profesor. Cum vor fi situate liniile BA și CB față de acest plan?

Student. Aceste linii se vor afla în acest plan.

Profesor. Se pare că avem un plan și există două linii care se intersectează în el. Cum se raportează linia MW la aceste linii?

Student. MW direct⊥ VA, MV ⊥ BC.

Scrierea la tablă și în caiete. pentru că MV⊥ VA, MV ⊥ VS

Profesor. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci linia va fi legată de acest plan?

Student. Linia dreaptă MB va fi perpendiculară pe planul ABC.

⊥ ABC.

Profesor. Punctul D este un punct arbitrar pe segmentul AC, deci cum se va raporta linia BD cu planul ABC?

Student. Deci BD aparține planului ABC.

Scrierea la tablă și în caiete. pentru că BD ϵ ABC

Profesor. Care vor fi liniile MB și BD una față de alta?

Student. Aceste drepte vor fi perpendiculare după definiția unei drepte perpendiculare pe plan.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔ MV⊥ BD

Profesor. Dacă MB este perpendicular pe BD, atunci care va fi triunghiul MBD?

Student. Triunghiul MBD va fi în unghi drept.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔ ∆MBD – dreptunghiular.

Profesor. Corect. Să rezolvăm numărul 127. Citiți sarcina.

Student. Într-un triunghiABC suma unghiurilor Ași Beste egal cu 90°. DreptBDperpendicular pe planABC. Demonstrează asta CD⊥ AC.

Elevul merge la tablă. Desenează un desen.

Scrieți pe tablă și într-un caiet.

Dat: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

Dovedi: CD⊥ AC.

Dovada:

Profesor. Care este suma unghiurilor unui triunghi?

Student. Suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180°.

Profesor. Ce este unghiul C în triunghiul ABC?

Student. Unghiul C din triunghiul ABC va fi de 90°.

Scrierea la tablă și în caiete. C = 180° - A- B= 90°

Profesor. Dacă unghiul C este de 90°, cum se află liniile AC și BC una față de alta?

Student. Înseamnă AC⊥ Soarele.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔ AC⊥ Soarele

Profesor. Linia BD este perpendiculară pe planul ABC. Ce rezultă din asta?

Student. Deci BD este perpendicular pe orice linie din ABC.

BD⊥ ABC ↔ BDperpendicular pe orice dreptăABC(a-priorie)

Profesor. În conformitate cu aceasta, cum vor fi legate direct BD și AC?

Student. Deci aceste linii sunt perpendiculare.

BD⊥ AC

Profesor. AC este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în planul DBC, dar AC nu trece prin punctul de intersecție. Cum să o repar?

Student. Desenați o dreaptă prin punctul B și paralela AC. Deoarece AC este perpendicular pe BC și BD, atunci a va fi și perpendicular pe BC și BD după lemă.

Scrierea la tablă și în caiete. Desenați o dreaptă prin punctul B a ║AC ↔ a⊥ î.Hr, și ⊥ BD

Profesor. Dacă dreapta a este perpendiculară pe BC și BD, atunci ce se poate spune despre poziția relativă a dreptei a și a planului BDC?

Student. Aceasta înseamnă că linia a va fi perpendiculară pe planul BDC și, prin urmare, linia AC va fi perpendiculară pe BDC.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔ a⊥ bdc↔ AC ⊥ bdc.

Profesor. Dacă AC este perpendicular pe BDC, atunci cum vor fi situate liniile AC și DC una față de alta?

Student. AC și DC vor fi perpendiculare prin definiția unei drepte perpendiculare pe plan.

Scrierea la tablă și în caiete. pentru că AC⊥ bdc↔ AC ⊥ DC

Profesor. Foarte bine. Să rezolvăm numărul 129. Citiți sarcina.

Student. DreptA.Mperpendicular pe planul pătratuluiABCD, ale căror diagonale se intersectează în punctul O. Demonstrați că: a) dreaptaBDperpendicular pe planAMO; b)MO⊥ BD.

Un student vine la tablă. Desenează un desen.

Scrieți pe tablă și într-un caiet.

Dat:ABCD- pătrat,A.M⊥ ABCD, AC ∩ BD = O

Dovedi:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Dovada:

Profesor. Trebuie să dovedim căBD⊥ AMO. Ce condiții trebuie îndeplinite pentru ca acest lucru să se întâmple?

Student. Este necesar ca direct BD este perpendiculară pe cel puțin două drepte care se intersectează din plan AMO.

Profesor. Condiția spune că BD perpendicular pe două drepte care se intersectează AMO?

Student. Nu.

Profesor. Dar știm asta A.M perpendicular ABCD . Ce concluzie se poate trage din asta?

Student. Înseamnă ceea ce A.M perpendicular pe orice dreptă din acest plan, adică A.M perpendicular B.D.

A.M⊥ ABCD ↔ A.M⊥ BD(a-prioriat).

Profesor. O linie este perpendiculară BD există. Acordați atenție pătratului, cum vor fi amplasate liniile unul față de celălalt AC și BD?

Student. AC vor fi perpendiculare BD prin proprietatea diagonalelor unui pătrat.

Scrieți pe tablă și într-un caiet. pentru căABCD- pătrat, atunciAC⊥ BD(prin proprietatea diagonalelor unui pătrat)

Profesor. Am găsit două linii care se intersectează situate într-un plan AMO perpendicular pe linie BD . Ce rezultă din asta?

Student. Înseamnă ceea ce BD perpendicular pe plan AMO.

Scrierea la tablă și în caiete. pentru căAC⊥ BDșiA.M⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(prin semn)

Profesor. Care dreptă se numește dreptă perpendiculară pe plan?

Student. Se spune că o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.

Profesor. Cum sunt liniile legate între ele? BD și OM?

Student. Înseamnă BD perpendicular OM . Q.E.D.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔BD⊥ MO(a-prioriat). Q.E.D.

Debriefing (2 minute)

Profesor. Astăzi am studiat semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan. Cum sună?

Student. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci această dreaptă este perpendiculară pe acel plan.

Profesor. Corect. Am învățat să aplicăm această caracteristică în rezolvarea problemelor. Care a răspuns la tablă și a ajutat de la loc, bravo.

Tema pentru acasă (2 minute)

Profesor. Paragraful 1, paragrafele 15-17, învață: lema, definiția și toate teoremele. nr. 130, 131.

Pentru ca o dreaptă în spațiu să fie  a planului, este necesar și suficient ca pe diagramă proiecția orizontală a dreptei să fie  a proiecției orizontale a orizontalei, iar proiecția frontală la proiecția frontală a partea din față a acestui avion.

Determinarea distanței de la un punct la un plan(Fig. 19)

1. Din punct, coborâți perpendiculara pe plan (pentru aceasta, în plan

țineți apăsat h, f);

2. Aflați punctul de intersecție al dreptei cu planul (vezi Fig. 18);

3.Găsiți n.v. segment perpendicular (vezi Fig. 7).

A doua secțiune Metoda de înlocuire a planurilor de proiecție

(la sarcinile 5, 6.7)

Această figură geometrică este lăsată nemișcată în sistemul planurilor de proiecție. Sunt stabilite noi planuri de proiecție astfel încât proiecțiile obținute pe ele să ofere o soluție rațională a problemei luate în considerare. Mai mult, fiecare nou sistem de planuri de proiecție trebuie să fie un sistem ortogonal. După proiectarea obiectelor pe plan, acestea sunt combinate într-unul singur prin rotirea lor în jurul liniilor drepte comune (axe de proiecție) ale fiecărei perechi de plane reciproc perpendiculare.

De exemplu, să fie stabilit punctul A în sistemul a două plane P 1 și P 2. Să suplimentăm sistemul cu încă un plan P 4 (Fig. 20), P 1 P 4. Are o linie comună X 14 cu planul P 1 . Construim proiecția A 4 pe P 4.

AA 1 \u003d A 2 A 12 \u003d A 4 A 14.

Pe fig. 21, unde planele P 1, P 2 și P 4 sunt aliniate, acest fapt este determinat de rezultatul A 1 A 4 X 14, și A 14 A 4 A 2 A 12.

Distanța noului punct de proiecție la noua axă de proiecție (A 4 A 14) este egală cu distanța de la proiecția punctului înlocuit la axa înlocuită (A 2 A 12).

Un număr mare de probleme metrice de geometrie descriptivă sunt rezolvate pe baza următoarelor patru probleme:

1. Transformarea unei linii generale de poziție într-o linie de nivel (Fig. 22):

a) P 4 || AB (axa X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14;

c) A 4 A 14 \u003d A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2 ;

A 4 B 4 - prezent

2. Transformarea unei linii drepte în poziție generală într-una proeminentă (Fig. 23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14;

A 14 A 4 \u003d A 12 A 2;

14V 4 = 12V 2 ;

A 4 B 4 - n.v.;

b) P 5 AB (X 45 A 4 V 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 \u003d B 45 B 5 \u003d A 14 A 1 \u003d B 14 B 1;

3. Transformarea unui plan de poziție generală într-o poziție proeminentă (Fig. 24):

Un avion poate fi adus într-o poziție de proiectare dacă o linie dreaptă a planului este proiectată. Să desenăm o linie orizontală (h 2 ,h 1) în planul ABC, care poate fi făcută proiectivă într-o singură transformare. Să desenăm un plan P 4 perpendicular pe orizontală; este proiectat pe acest plan printr-un punct, iar planul triunghiului este proiectat printr-o linie dreaptă.

4. Transformarea unui plan generic într-un plan de nivel (Fig. 25).

Faceți din avion un plan nivel folosind două transformări. Mai întâi, planul trebuie să fie proiectat (vezi Fig. 25), apoi P 5 || A 4 B 4 C 4, obținem A 5 B 5 C 5 - n.v.

Sarcina #5

Determinați distanța de la punctul C la o dreaptă în poziție generală (Fig. 26).

Soluția se reduce la a 2-a problemă principală. Apoi, distanța de-a lungul diagramei este definită ca distanța dintre două puncte

A 5  B 5  D 5 și C 5.

Proiecție С 4 D 4 || X 45.

Sarcina #6

Determinați distanța de la ()D la planul dat de punctele A, B, C (Fig. 27).

Problema este rezolvată folosind a doua problemă principală. Distanţa (E 4 D 4), de la () D 4 până la dreapta A 4 C 4 B 4, în care a fost proiectat planul ABC, este valoarea naturală a segmentului ED.

Proiecția D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Construiește-ți propriul D 1 E 1.

Construiește-ți propriul D 2 E 2.

Sarcina #7

Determinați dimensiunea reală a triunghiului ABC (vezi soluția celei de-a patra probleme principale) (Fig. 25)

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

umbrele. Segmentul KL determină direcția proiecțiilor dreptei de intersecție a două plane date.

2.8 Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan, două plane

Condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan și a perpendicularității a două plane se bazează pe teorema proiecției în unghi drept. Adaptând teorema pentru rezolvarea problemelor metrice pentru determinarea distanței de la un punct la un plan, determinarea distanței de la un punct la o dreaptă sau pentru construirea unui plan paralel cu unul dat la o anumită distanță, formulăm condiția perpendicularității a unei drepte și a unui plan.

Linia l (l1 ,l2 ) este perpendiculară pe plan , dacă este perpendiculară pe două linii de nivel care se intersectează (de exemplu, orizontală și frontală) aparținând planului dat.

l 1h 1

l 2f 2

Luați în considerare exemple de rezolvare a unor probleme metrice tipice privind aplicarea condiției de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Exemplul 1. Determinați distanța de la punctul N la planul Q(mIIn) (Figura 2.35).

Algoritm pentru rezolvarea problemei:

1. Analizați starea problemei. (Cea mai scurtă distanță de la un punct la o dreaptă este determinată de perpendiculara coborâtă din punctul N pe planul Q.)

2. Pentru a îndeplini condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan, este necesar să se construiască mai întâi în plan un h orizontal (h 1, h 2 ) și un frontal f (f 1 , f 2 ) și apoi construiți o dreaptă l (l 1 , l 2 ) perpendiculară pe planul Q (figura 2.35).

Figura 2.35 - Linie perpendiculară pe plan

3. Aflați baza perpendicularei, adică punctul de intersecție al dreptei construite l(l 1 , l 2 ) cu un plan dat Q. Pentru a construi punctul K, anexăm, de exemplu, proiecția frontală a dreptei l 2 în planul proiectat frontal Σ. Determinăm proiecțiile dreptei de intersecție a dreptei l cu proiecția corespunzătoare a dreptei de intersecție a două plane (Q∩∑). Determinăm poziția proiecțiilor punctului K1 și K2.

4. Determinați dimensiunea reală a segmentului NK ca ipotenuză a unui triunghi dreptunghic (Figura 2.36).

Figura 2.36 - Proiecții ale distanței de la un punct la un plan

Exemplul 2. Determinați distanța de la punctul A la dreapta n. Algoritm pentru rezolvarea problemei:

1. Analiza condițiilor problemei. După analizarea stării problemei, afirmăm că distanța cea mai scurtă de la un punct la o dreaptă se măsoară printr-o perpendiculară coborâtă din punctul A la dreapta n. Deoarece linia dată n (n 1 , n2 ) este o linie în poziție generală, atunci pentru a rezolva problema este necesar să se execute construcții suplimentare.

2. Prin proiecțiile punctului A(A 1 ,А2 ) construim un plan Σ (h ∩ f) perpendicular pe dreapta n (n1 , n2 ).

3. Determinați punctul de intersecție al dreptei date n(n 1 , n2 ) cu planul Σ (h ∩ f) și găsiți proiecțiile segmentului de dreaptă A1 B1 și A2 B2 ca proiecții ale distanței de la punctul A la dreapta n.

4. Construim valoarea naturală a distanței de la punctul A la dreapta n (Figura 2.37).

Figura 2.37 - Distanța de la punctul A la dreapta n

Exemplul 3. Construiți un plan Θ, paralel cu planul Σ (ΔABC), la o distanță de 25 mm de acesta.

Algoritm pentru rezolvarea problemei:

1. Analiza condițiilor problemei. Avionul va fi construit la o distanță de 25 mm de planul Σ (ΔABC). Prin urmare, trebuie să construiți o perpendiculară pe plan.

2. Pentru a construi o dreaptă perpendiculară pe plan, stabilim liniile de nivel în plan - orizontalul h(h 1 , h2 ) și frontal f(f1 , f2 ) și construiți o dreaptă l(l 1 , l 2 ) perpendiculară pe planul Σ (ΔАВС) (Figura 2.38).

Figura 2.38 - Poziția punctului L

3. Aflați baza perpendicularei, adică. punctul K (K1, K2) al intersecției dreptei l (l 1, l 2) cu planul Σ (ΔABS).

4. Alege online l(l 1 , l 2 ) punct arbitrar N(N1 ,N2 ) și se determină distanța de la punctul ales la plan (N1 Kº).

5. Găsim pe linie dreaptă l(l 1 , l 2 ) poziţia punctului L(L1 , L2 ) având o distanţă faţă de plan de 25 mm.

6. Prin punctul L(L 1 , L2 ) construim un plan Θ(m∩n) paralel cu planul dat Σ (ΔАВС) (Figura 2.39)

Figura 2.39 - Plan paralel cu cel dat la distanta ceruta

Întrebări pentru autocontrol pe tema 2:

1. Care este poziția punctului față de dreapta?

2. Când un punct aparține unei drepte?

3. Cum pot fi aranjate liniile drepte unele față de altele?

4. Ce puncte se numesc concurente?

5. Continuați propoziția: Un unghi drept este proiectat pe planul de proiecție frontală fără distorsiune dacă este format din două drepte care se intersectează, dintre care una este o dreaptă în poziție generală, iar a doua ...... ..

6. Cum se determină dimensiunea naturală a unui segment de linie în poziție generală?

7. Care este condiția ca o dreaptă și un plan să fie perpendiculare?

8. Care este condiția ca două plane să fie perpendiculare?

9. Când este o dreaptă paralelă cu un plan?

10. Când două plane sunt paralele?

11. Care este condiția ca o linie dreaptă să aparțină unui plan?

12. Când un punct aparține unui plan?

13. Care este algoritmul pentru găsirea punctului de intersecție al unei drepte cu un plan?

14. Care este esența metodei planurilor auxiliare ale intermediarilor la găsirea liniei de intersecție a două plane?

15. Ce este planul de proiecție?

3 CONVERSIUNEA PROIECȚIEI

3.1 Esența și principalele modalități de conversie a unui desen

Rezolvarea problemelor poziționale și metrice din geometria descriptivă este mult simplificată dacă figurile drepte și plate ocupă poziția de proiectare a liniilor drepte și a planurilor, sau a liniilor drepte și a planurilor de nivel.

O condiție necesară pentru simplificarea soluționării problemelor este construirea de noi proiecții suplimentare, care să permită obținerea fie de proiecții degenerate ale elementelor individuale, fie a acestor elemente la dimensiune completă. Construcția proiecțiilor suplimentare se numește transformare a desenului.

Conversia se poate face în următoarele moduri:

1. Modificarea (înlocuirea) planurilor de proiecție cu condiția ca obiectul în cauză sau elementele sale să ocupe una dintre pozițiile particulare față de noul sistem de planuri de proiecție;

2. Rotirea obiectelor geometrice în spațiu în jurul axei de proiectare astfel încât acestea să ocupe orice poziţie particulară faţă de planurile de proiecţie.

3. Mișcarea plan-paralelă a obiectului, în care, metoda de rotație în jurul axei de proiectare și mișcarea obiectului, realizează o tranziție de la un obiect de poziție generală la un obiect de poziție particulară;

4. Rotirea obiectelor geometrice în spațiu în jurul liniei de nivel, astfel încât acestea să ocupe poziția fie a unei linii de nivel, fie a unui plan de nivel.

3.2 Teorie și algoritmi pentru rezolvarea problemelor de poziție și metrice de bază

Esența metodei de schimbare a planurilor de proiecție este trecerea de la un sistem dat de planuri de proiecție la unul nou. În acest caz, segmentele de linie și figurile plate își păstrează poziția, iar noile lor proiecții sunt obținute prin introducerea unor planuri de proiecție suplimentare.

La schimbarea planurilor de proiecție se păstrează în mod necesar perpendicularitatea reciprocă a celor două planuri de proiecție - noi și neînlocuibile.

Luați în considerare mecanismul de schimbare a planurilor de proiecție folosind exemplul unei transformări cu un punct (Figura 3.1.).

Figura 3.1 - Mecanismul de schimbare a planului proiecțiilor P2 la P4

În diagramă, această transformare este prezentată în Figura 3.2. Am stabilit două proiecții ale punctului A (A1, A2) în sistemul de planuri de proiecție P1 și P2. Să introducem poziția planului P4. Din proiecția de neînlocuit a punctului A - A1

trasăm o linie de comunicare perpendiculară pe linia de urmărire a planului P4. Deoarece înălțimea punctului nu se modifică la trecerea de la sistemul de planuri de proiecție P1 - P2 la sistemul de planuri P1 - P4, această înălțime se măsoară pe câmpul P2 și se depune pe câmpul P4 de la linia de intersecție a avioane în direcţia noii linii de comunicaţie.

Figura 3.2 - Mecanismul de trecere de la sistemul P1 - P2 la P1 - P4 pe diagramă

Înlocuirea unuia dintre planurile de proiecție nu duce întotdeauna la soluția finală a problemei, prin urmare, vom lua în considerare secvențial mecanismul de tranziție de la sistemul de planuri de proiecție P1 - P2 la P1 - P4 și apoi la P4 - P5. (Figura 3. 3).

Pentru a obține proiecția punctului A pe planul proiecțiilor P5, este necesar să transferați secvenţial punctul mai întâi în planul P4, apoi în planul P5. Pentru a efectua construcția, înlocuim planul P2 cu planul P4.

Figura 3.3 - Mecanismul de trecere de la sistemul P1 - P2 la P4 - P5 pe diagramă

Proiecția punctului A4 se obține astfel: din proiecția neînlocuibilă a punctului A1 se trasează o linie de legătură perpendiculară pe linia de intersecție a planurilor P1 - P4 și se ține deoparte distanța măsurată de la proiecția înlocuită. a punctului la dreapta de intersecție a planurilor P1 - P2. În timpul trecerii la sistemul de planuri de proiecție P4 - P5, planul P1 este înlocuit cu P5. Din proiecția de neînlocuit a punctului A4, trasăm o linie de comunicație perpendiculară pe linia de intersecție a planurilor P4 - P5. De la această linie amânăm distanța măsurată de la proiecția înlocuită a punctului A1 până la dreapta de intersecție a planurilor P1 - P4. Ca rezultat, construim proiecția punctului A5.

O altă modalitate de a transforma un desen este metoda rotației. Constă în faptul că sistemul dat de planuri de proiecție rămâne neschimbat, iar figura este rotită în jurul unei axe fixe până când ia o anumită poziție față de planurile de proiecție, în special, devine paralelă sau perpendiculară pe unul dintre planurile de proiecție. .

țiuni. Rotația se realizează în jurul axelor perpendiculare sau paralele pe planurile de proiecție.

Să ne oprim asupra mecanismului de rotație a punctelor în jurul axei de proiectare. Lăsați punctul A să se rotească în jurul unei axe i care se proiectează orizontal. În acest caz, punctul va descrie un cerc cu un centru care trece prin axa de rotație i (i 1 ,i 2 ). În timpul rotației, traiectoria punctului A este un cerc, al cărui plan este paralel cu planul orizontal de proiecție (Figura 3. 4).

Figura 3. 4 - Rotația în jurul unei axe care se proiectează orizontal

Pe diagramă, procesul de rotație a punctelor este reprezentat după cum urmează. Alegeți axa de rotație i (i1 , i2 ). Pe planul orizontal al proiecțiilor, această axă este proiectată în punctul i1. Din centrul i1, proiecția punctului A1 descrie un cerc, rotindu-se în orice unghi până când ia pozițiile A1 ". Proiecția frontală a punctului A2 se deplasează apoi de-a lungul unei linii drepte orizontale până la noua poziție a punctului A2 ". .

Astfel, atunci când se rotește în jurul orizontalei

axa de proiecție, proiecția orizontală a punctului se deplasează de-a lungul unui cerc, iar proiecția frontală se deplasează de-a lungul unei linii drepte perpendiculară pe proiecția axei de rotație (Figura 3.5).

Figura 3.5 - Algoritmul de rotație în jurul unei axe care se proiectează orizontal

Când un punct se rotește în jurul unei axe care se proiectează frontal, punctul descrie o traiectorie sub forma unui cerc, al cărui plan este paralel cu planul de proiecție frontală (Figura 3. 6).

Figura 3.6 - Rotație în jurul axei de proiectare frontală

Când se rotește în jurul unei drepte care se proiectează frontal, proiecția frontală a punctului descrie un cerc, iar cea orizontală se deplasează de-a lungul unei linii drepte perpendiculare pe axa de rotație. Algoritmul pentru rotirea unui punct în jurul unei axe proiectate frontal este prezentat în Figura 3.7.

Figura 3.7 - Algoritmul de rotație în jurul axei de proiectare frontală

3.3. Metoda de schimbare a planurilor de proiecție. Rezolvarea principalelor sarcini

Indiferent de modul în care este convertit desenul, principalele sarcini ale conversiei pot fi reduse la următoarele:

1. O transformare în care o linie dreaptă generică devine o linie dreaptă de nivel.

2. O transformare în care linia de nivel devine o linie proiectată.

3. O transformare în care un plan generic devine un plan de proiecție.

4. O transformare în care planul de proiecție devine un plan de nivel.

Să luăm în considerare soluția principalelor sarcini de conversie a unui desen prin schimbarea planurilor de proiecție.

Pentru ca o linie de poziție generală să fie o linie de nivel, este necesar să se introducă un nou plan de proiecție П4 care să fie paralel cu acesta. Să înlocuim, de exemplu, planul P2 cu planul P4 (figura 3.8).

Planul P4 este situat paralel cu proiecția de neînlocuit a segmentului de dreaptă A1 B1. Proiecția rezultată a segmentului de linie A4 B4 este o linie de nivel, prin urmare, această proiecție este dimensiunea naturală a segmentului. Rezolvarea acestei probleme vă permite să determinați unghiul de înclinare al segmentului de dreaptă AB față de planul orizontal de proiecție -α.

Figura 3.8 - Transformarea unei linii generale de poziție într-o linie de nivel

Pentru ca o linie dreaptă de nivel să devină una proiectantă (adică să fie proiectată pe un anumit plan de proiecție cu un punct), noul plan de proiecție trebuie să fie perpendicular pe acesta.

Perpendicularitatea în desenul complex este păstrată numai față de linia de nivel. Prin urmare, un nou plan de proiecție P4 este ales perpendicular pe proiecția corespunzătoare a dreptei de nivel, adică. la dimensiunea naturală a segmentului AB (Figura 3.9).

Figura 3.9 - Transformarea unui nivel direct într-un nivel proiectat

Pentru ca un plan în poziție generală să fie proiectiv, este necesar ca noul sistem de planuri de proiecție să fie perpendicular pe acesta. Un plan va fi perpendicular pe un plan dat dacă este perpendicular pe orice linie de nivel a acestui plan. Prin urmare, pentru a alege poziția noului plan P4, este necesar să se decidă care dintre planurile de proiecție va fi înlocuit. De exemplu, să înlocuim planul P2 cu planul P4 (Figura 3.10). În planul de proiecție orizontal, orizontalul este proiectat fără distorsiuni.

proiecția umbrelă a orizontalei h1, așa că construim planul P4 perpendicular pe acesta.

Pe planul P4, triunghiul ABC ocupă o poziţie proeminentă

Figura 3.10 - Transformarea unui plan general de poziție într-un plan proiectant

Pentru ca planul dat să se dovedească a fi un plan de nivel, este necesar să plasați planul P4 paralel cu acesta (Figura 3.11).

Figura 3.11 - Transformarea planului de proiectare într-un plan de nivel

Pentru a transforma un plan de poziție generală într-un plan de nivel, este necesar să se efectueze două transformări: mai întâi, să transformăm planul de poziție generală într-unul proiectant, iar apoi, prin introducerea unui alt plan П5, să transformăm planul proiectat într-un plan de nivel. .

3.4 Metoda de rotație în jurul axei de proiectare. Rezolvarea principalelor sarcini

Sarcina 1. Transformați o linie de poziție generală într-o linie de nivel

Pentru a rezolva problema, este necesar să alegeți poziția axei de rotație. Să alegem, de exemplu, o linie care se proiectează orizontal ca axă de rotație. În acest caz, rotația va fi efectuată în planul orizontal de proiecție. Unghiul de rotație al liniei drepte este determinat de starea problemei: linia dreaptă trebuie rotită până la poziția liniei de nivel, în acest caz, la poziția liniei de nivel frontal (Figura 3.12).

Figura 3.12 - Transformarea unei linii generale de poziție într-o linie de nivel prin rotație

Sarcina 2. Transformați linia de nivel într-o linie proiectată.

Când efectuați o rotație, trebuie să selectați poziția axei de rotație. În acest caz, ar trebui aleasă o axă care se proiectează orizontal ca axă de rotație și ar trebui determinat unghiul de rotație al liniei drepte. Unghiul de rotație este determinat de starea problemei (Figura 3.13).

Figura 3.13 - Transformarea liniei de nivel într-o linie proeminentă prin metoda rotației

Sarcina 3. Transformați planul poziției generale într-un proiect proiectat

Rezolvarea problemei începe cu alegerea axei de rotație. Să alegem, de exemplu, o linie care se proiectează orizontal ca axă de rotație. În acest caz, rotația trebuie efectuată în planul orizontal de proiecție. Unghiul de rotație al planului triunghiului în jurul axei care se proiectează orizontal va stabili proiecția orizontală a orizontalei aflate în planul dat (Figura 3.14).

Figura 3.14 - Transformarea unui plan de poziție generală în unul proiectiv prin metoda rotației

Sarcina 4. Convertiți planul proiectat într-un plan nivel.

Să alegem poziția axei de rotație. În acest caz, ar trebui să selectați o axă de rotație care se proiectează orizontal. Unghiul de rotație al obiectului determină rotirea planului specificat la poziția planului frontal al nivelului (Figura 3.15).

Figura 3.15 - Transformarea planului de proiectare într-un plan de nivel prin metoda rotației

3.5 Metoda deplasării plan-paralel

Metoda mișcării plan-paralel constă în aceea că planurile de proiecție rămân neschimbate, iar obiectul este rotit în jurul axei de proiecție până când ia o anumită poziție față de planurile de proiecție și este deplasat. În funcție de condițiile sarcinilor, obiectul trebuie transformat astfel încât să fie situat perpendicular sau paralel cu planurile de proiecție.

Sarcina 1. Transformați un plan generic într-un plan de nivel.

Figura 3.16 - Metoda deplasării plan-paralel

Întrebări pentru autocontrol pe tema 3:

1. Care este esența metodei de schimbare a planurilor de proiecție?

2. O linie generică poate fi transformată într-o linie de nivel folosind o singură transformare?

3. Cum se alege direcția de proiecție pentru a transforma un plan generic într-un plan de proiecție?

4. Care este diferența dintre metoda de schimbare a planurilor de proiecție și metoda mișcării plan-paralel?

5. De câte ori ar trebui să-și schimbe o linie în poziție generală poziția față de planurile de proiecție П 1, P2 să devină o linie dreaptă care se proiectează în față?

6. Care este esența metodei de rotație în jurul liniei de proiectare?

4 POLIEDE

4.1 Informații generale despre poliedre. Specificarea poliedrelor într-un desen multiplu

Poliedrele, reprezentând cele mai simple forme geometrice, sunt fundamentale în proiectarea structurilor de inginerie. Formele cu mai multe fațete sunt utilizate pe scară largă în proiectarea pieselor și mecanismelor de mașini în tehnologie, precum și în diferite structuri arhitecturale.

De cel mai mare interes practic sunt prismele, piramidele și poliedrele uniforme convexe, toate fețele fiind poligoane regulate și egale - solidele lui Platon (tetraedrul - 4, octaedrul - 8, icosaedrul - 20 triunghiuri regulate; hexaedrul (cub - 6 dreptunghiuri regulate); dodecaedru - 12 pentagoane regulate). Un poliedru se numește convex dacă este situat pe o parte a planului oricăreia dintre fețele sale.

Un poliedru este un corp delimitat de poligoane plate. Aceste poligoane se numesc marginile (Figura 4.1).

Figura 4.1 - Exemple de poliedre

Totalitatea tuturor fețelor unui poliedru se numește suprafața sa

Fețele se intersectează de-a lungul liniilor drepte numite muchii. Muchiile se intersectează în puncte numite vârfuri.

Desenele poliedrelor trebuie să fie reversibile. Acest lucru se poate realiza dacă sunt îndeplinite anumite condiții pentru amplasarea marginilor poliedrului în proiecții.

În desen, poliedrele sunt reprezentate ca proiecții ale vârfurilor și marginilor lor. În figura 4.2, sunt date o prismă tetraedrică dreaptă ABCDKLMN și o piramidă triedrică SABC. O prismă se numește dreptă dacă fețele și marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. O prismă dreaptă se numește regulată dacă baza ei este un poligon regulat.

Figura 4.2 - Specificarea poliedrelor pe diagramă

4.2 Intersecția poliedrelor printr-un plan și o dreaptă

Linia de intersecție a poliedrului cu planul este un poligon plat (Figura 4.3).

Figura 4.3 - Intersecția unui poliedru cu un plan

Linia tăiată a unui poliedru de către un plan poate fi construită în două moduri.

Prima cale. Aflați vârfurile poligonului dorit ca urmare a intersecției muchiilor poliedrului cu planul de tăiere.

A doua cale. Aflați laturile poligonului dorit ca urmare a intersecției fețelor poliedrului cu planul de tăiere.

În primul caz, trebuie rezolvată în mod repetat problema construcției unui punct de intersecție a unei drepte cu un plan, în al doilea caz, a construirii unei linii de intersecție a două plane. În cazurile în care planul sau suprafața de tăiere se află într-o anumită poziție, sarcina este mult simplificată, deoarece pe unul dintre planurile de proiecție proiecția liniei de secțiune va coincide fie cu proiecția planului de tăiere (Figura 4.4), fie cu proiecția degenerată a suprafeței poliedrului (Figura 4.5).

Pentru a construi o linie de intersecție a unei piramide triedrice cu un plan care se proiectează frontal, este necesar să se găsească punctele de intersecție ale fiecărei margini a piramidei SABC cu planul proiectat frontal ∑. Ca rezultat al construcției, obținem triunghiul DFE. Dacă o suprafață generică este intersectată de un plan care se proiectează frontal, atunci proiecția frontală a liniei de secțiune (triunghi) va coincide cu proiecția frontală a planului de tăiere ∑2. Proiecțiile frontale ale vârfurilor liniei de secțiune (D2 , F2 , E2 ) sunt definite ca rezultat al intersecției fiecărei margini a piramidei cu planul de tăiere. Prin proiectarea punctelor care definesc linia de secțiune pe planul orizontal al proiecțiilor pe proiecțiile muchiilor corespunzătoare, obținem proiecția orizontală a liniei de secțiune dorită (D1, F1, E1).

Figura 4.4 - Intersecția piramidei cu planul proeminent

Pentru a construi o secțiune a unei prisme drepte ABCD după un plan generic Q(a||b), trebuie să construiți laturile poligonului necesar.

KLMN ca urmare a intersectării fețelor poliedrului cu planul Q(a||b) (Figura 4.5). Pentru a face acest lucru, desenăm un plan de tăiere auxiliar Θ prin proiecția feței B1 C1. Acest plan va intersecta planul dat Q(a||b) de-a lungul unei drepte care trece prin punctele 11 , 21 . Construim proiecția dreptei de secțiune a două plane în planul frontal al proiecțiilor (12, 22) și găsim punctele de intersecție ale acestui segment cu muchiile B și C - L și M. În mod similar, construim linia de intersecție a fața AD cu planul Q - segmentul KN. În planul frontal al proiecțiilor, conectăm proiecțiile segmentelor poligonului K2 L2 M2 N2, ținând cont de vizibilitatea fețelor

– proiecția segmentului este vizibilă dacă fața este vizibilă în proiecția dată, nu este vizibilă – dacă proiecția feței nu este vizibilă. În plus, este necesar să se stabilească vizibilitatea reciprocă a marginilor prismei și a planului de tăiere.

Figura 4.5 - Intersecția prismei proeminente cu un plan de poziție generală

Luați în considerare construcția unei secțiuni a unei piramide în poziție generală de un plan în poziție generală (Figura 4.6).

Figura 4.6 - Intersecția piramidei cu un plan în poziție generală

Pentru a construi linia de intersecție, vom defini vârfurile secțiunii ca rezultat al intersecției fiecărei muchii a piramidei cu planul de poziție generală ∑(a||b). Pentru a găsi punctul de intersecție al muchiei SA cu planul ∑(a||b), este necesar să se încadreze muchia în planul secant Q și să se găsească linia de intersecție a celor două plane Q și ∑ - segmentul 12 22 ;11 21 . Vârful K se construiește ca urmare a intersecțiilor proiecțiilor corespunzătoare ale proiecțiilor muchiei SA și ale segmentului 1,2. Vârfurile L și N se găsesc după același algoritm ca și rezultatele intersecțiilor muchiilor SB și SC cu planul ∑(a||b).

Sarcini de definire puncte de intersecție ale unui poliedru cu o dreaptă rezolvată pe baza metodei planurilor auxiliare de tăiere. În acest caz, una dintre proiecțiile unei linii drepte date este închisă într-un plan secant proiectant. Găsiți linia de intersecție a auxiliarului

plan de tăiere cu un poliedru. Proiecțiile punctelor de intersecție ale unei drepte cu un poliedru se găsesc ca urmare a intersecției dreptei de secțiune construită și a unei alte proiecții a unei drepte date și a determinării ulterioare a poziției acestora în ambele plane de proiecție. Aflați punctele de intersecție ale piramidei cu o dreaptă în poziție generală (Figura 4.7).

Figura 4.7 - Intersecția unei linii drepte cu o piramidă

Să încheiem, de exemplu, proiecția frontală a dreptei date l 2 în planul frontal Q2 și să construim o linie de secțiune a piramidei după acest plan. Construim punctele de intersecție ale piramidei cu dreapta l ca rezultat al intersecției triunghiului secțiunii mai întâi cu proiecția orizontală a dreptei l 1 - K1 și L1, apoi obținem proiecțiile lor frontale (K2, L2).

Să determinăm vizibilitatea reciprocă a liniei l (l 1 ,l 2 ) cu piramida SABC. Sarcinile de determinare a punctelor de intersecție ale poliedrelor cu linii sunt simplificate dacă unul dintre elemente se află într-o anumită poziție.

De exemplu, la determinarea punctelor de intersecție ale unei linii în poziție generală cu o prismă proiectantă, problema se reduce la determinarea punctelor de intersecție ale unei linii cu proiecții degenerate ale fețelor prismei (Figura 4.8).

Figura 4.8 - Intersecția unei linii drepte cu o prismă dreaptă

La găsirea punctelor de intersecție ale piramidei cu linia proeminentă, proiecțiile orizontale ale punctelor de intersecție (K1, N1) sunt determinate pe proiecția degenerată a dreptei, iar apoi proiecțiile lor frontale sunt aliniate (K2, N2) și se stabileşte vizibilitatea lor reciprocă (Figura 4.9).

Figura 4.9 - Intersecția piramidei cu linia proeminentă

4.3 Construirea dezvoltărilor de poliedre

Dacă suprafețelor li se oferă proprietăți de flexibilitate și inextensibilitate, atunci unele dintre ele pot fi combinate cu planul fără formarea de pliuri și rupturi, adică pentru a obține o dezvoltare a suprafeței.

O dezvoltare a unui poliedru este o figură plată obținută prin combinarea tuturor fețelor unui poliedru cu un plan într-o anumită ordine.

Pentru a construi o dezvoltare a unei prisme sau a unei piramide, este necesar să se determine dimensiunea reală a marginilor și bazelor acestora și apoi să se construiască o dezvoltare a suprafețelor (Figurile 4.10 și 4.11).

Construcția dezvoltării piramidei se reduce la construcția repetată a mărimii naturale a triunghiurilor care îi limitează suprafața.

Să construim o dezvoltare completă a unei piramide triedrice (Figura 4.10). Pentru a face acest lucru, determinăm dimensiunea reală a fiecărei margini folosind metoda triunghiului dreptunghic. Muchia SC este linia frontală a nivelului, deci proiecția sa S2 C2 este naturală. Baza piramidei este un plan de nivel orizontal, deci proiecția orizontală a triunghiului ABC este o valoare naturală.

Figura 4.10 - Dezvoltarea piramidei

Construcția scanărilor prismelor înclinate se reduce la construcția valorilor naturale ale fețelor poliedrului. Aceste construcții pot fi realizate în următoarele moduri:

1. Metoda secțiunii normale, în care lățimea fiecărei fețe este determinată folosind un plan de tăiere perpendicular pe marginile prismei;

2. Metoda de rulare, care se bazează pe combinarea secvențială a tuturor fețelor prismei cu planul, prin rotirea în jurul liniei de nivel;

3. O metodă de triangulare bazată pe împărțirea romburilor prin diagonale în triunghiuri și determinarea valorilor naturale ale laturilor triunghiurilor.

Să ne oprim mai în detaliu asupra examinării esenței metodei secțiunilor normale. Să setăm poziția prismei în așa fel încât marginile acesteia să fie, de exemplu, în poziția fronturilor (Figura 4.11).

Figura 4.11 - Scanarea unei prisme folosind metoda secțiunii normale

Să intersectăm prisma dată cu un plan auxiliar perpendicular pe marginile prismei, adică. determinați lățimea fiecărei fețe a prismei. Să determinăm valoarea naturală a acestei secțiuni normale și să construim o dezvoltare a suprafeței prismei. Construcția dezvoltării începe cu construirea unei linii orizontale, pe care punem deoparte segmentele care determină lățimea fiecărei fețe de-a lungul secțiunii sale normale.

Prin punctele care determină lungimile segmentelor, trasăm linii perpendiculare pe acestea, pe care trasăm lungimile segmentelor nervurilor cuprinse între linia de secțiune și bazele prismei.

Dezvoltarea suprafeței laterale a prismei se obține după conectarea capetelor segmentelor construite cu linii drepte. Pentru a construi o măturare completă a prismei, este necesar să completați valorile naturale ale bazelor prismei.

4.4 Intersecția reciprocă a poliedrelor

Rezultatul intersecției a două poliedre este o linie închisă poligonală spațială care trece de-a lungul suprafeței laterale a ambelor poliedre.

Legăturile sale sunt definite ca rezultat al intersecției fețelor unui poliedru cu fețele altuia, iar vârfurile sunt definite ca punctele de intersecție a muchiilor fiecărui poliedru cu fețele altuia. Astfel, problema construcției unei linii de intersecție reciprocă a două poliedre se poate reduce la rezolvarea problemei intersecției a două plane, sau la intersecția unei drepte cu un plan.

Linia de intersecție a poliedrelor se poate despărți în două sau mai multe ramuri, care pot fi fie linii întrerupte spațiale închise, fie poligoane plate. Linia de intersecție poate fi în partea comună a proiecțiilor ambelor suprafețe care se intersectează.

Să construim o linie de intersecție a prismei KLMN cu piramida SABC.

Pentru a construi o dreaptă de intersecție, găsim mai întâi punctele de intersecție, de exemplu, muchiile unei prisme cu fețele unei piramide (Figura 4.12). Din desen se poate observa că marginile M, N, L sunt în afara zonei de suprapunere a celor două poliedre, prin urmare, nu se intersectează cu piramida. Muchia K este situată în zona de suprapunere a proiecțiilor celor două fețe ale piramidei CSA și CSB (determinată de proiecțiile orizontale ale fețelor C1 S1 A1 și C1 S1 B1 și muchia K1 ), așa că determinăm punctele de intersecţie ale muchiei K cu aceste feţe.

Figura 4.12 - Aflarea punctelor de intersecție ale muchiilor prismei cu fețele piramidei

Pentru construcție, vom folosi drepte auxiliare (S1 11 , S1 21 ), pe care le desenăm în fețele CSB și CSA prin proiecțiile punctelor de intersecție ale muchiei K cu fețele - punctele 3 și 4 (mai întâi le determinăm proeminențe orizontale 31 și 41). Să construim proiecţiile frontale ale punctelor 3 şi 4 la intersecţia proiecţiilor muchiei K2 cu proiecţiile liniilor auxiliare S2 12 , S2 22 .

Găsim punctele de intersecție ale muchiilor piramidei cu fețele prismei. Vom începe să construim aceste puncte din planul orizontal al proiecțiilor, deoarece prisma ocupă o poziție de proiectare orizontală. Proiecția muchiei S1 A1 intersectează două fețe ale prismei K1 L1 și L1 N1 în punctele 51 și 61 . Să proiectăm aceste puncte în planul frontal al proiecțiilor pe proiecția muchiei S2 B2 și să construim proiecțiile 52 și 62 .

Argumentând în mod similar, construim proiecții ale punctelor de intersecție ale muchiilor SA și SC cu fețele prismei KL, KN și KM (7,8, 9, 10) (Figura 4.13) .

Figura 4.13 - Aflarea punctelor de intersecție ale muchiilor piramidei cu fețele prismei

Conectați succesiv proiecțiile punctelor de intersecție prin segmente de drepte care aparțin simultan fețelor prismei și piramidei. De exemplu, proiecțiile punctelor 7- 5 - 4 - 9 - 3 - 7 sunt conectate în serie, conectând segmentele liniei de intersecție a două poliedre din zona de intrare și punctele 8, 6 și 10 din zona de ieșire din două poliedre.

Ultima etapă de construcție este de a determina vizibilitatea secțiunilor liniei de intersecție construite. Proiecția segmentului de linie de intersecție este considerată vizibilă dacă segmentul se află în proiecțiile vizibile ale feței piramidei și ale feței prismei. Dacă cel puțin una dintre proiecțiile fețelor nu este vizibilă, atunci proiecția secțiunii considerate a liniei de intersecție nu este vizibilă. Să conectăm secțiuni ale liniei de intersecție și să trasăm desenul, ținând cont de vizibilitatea fețelor (Figura 4.14).

Figura 4.14 - Intersecția reciprocă a poliedrelor

Întrebări pentru autocontrol pe tema 4:

1. Ce este un poliedru?

2. Ce definește suprafața unui poliedru într-un desen complex?

3. Ce metode se folosesc pentru a construi o secțiune a unui poliedru printr-un plan?

4. Cum sunt construite punctele de intrare și de ieșire atunci când un poliedru se intersectează cu o linie dreaptă?

5. Care este esența metodei secțiunii normale atunci când se construiește o matură a unei prisme?

6. Ce metodă este folosită pentru a construi o piramidă?

5 CURBURI ȘI SUPRAFEȚE

5.1 Linii curbe

Liniile curbe sunt utilizate în proiectarea diferitelor suprafețe, în teoria mașinilor și mecanismelor, în afaceri de modelare și marcare, în construcția diagramelor de stare ale sistemelor multicomponente.

O linie curbă este un set de poziții succesive ale unui punct care se mișcă în spațiu.

Liniile curbe, ale căror puncte aparțin aceluiași plan, se numesc plate, de exemplu, o linie dreaptă, un cerc, o elipsă, o parabolă, o hiperbolă, o sinusoidă, grafice ale funcțiilor unei variabile, grafice ale ecuațiilor cu două necunoscute, alte linii curbe - spațială, de exemplu, linii elicoidale.

Fiecare curbă include elemente geometrice care alcătuiesc determinantul ei, adică. un set de condiții independente care determină în mod unic această curbă.

Există următoarele moduri de a defini curbele:

1. Analitic - curba este dată de o ecuație matematică;

2. Grafic - curba este stabilită numai grafic;

3. Tabulară - curba este specificată de coordonatele unei serii succesive a punctelor sale.

Orice linie curbă poate fi obținută prin deplasarea unui punct în spațiu, ca urmare a intersecției suprafețelor curbe cu un plan și ca urmare a intersecției reciproce a suprafețelor, dintre care cel puțin una este o curbă.

Punctele unei linii curbe plate sunt împărțite în ordinare (punctul tangent A) și speciale (punctul de inflexiune B - în punctul de inflexiune, curbura își schimbă semnul - de la

pe o parte a acestui punct, curba este convexă, pe cealaltă, concavă; cuspizii C - cuspizii de primul fel (punctul F al cicloidă se referă la cuspizii de primul fel), D - cuspizii de al 2-lea fel; punctul E este un punct dublu al strofoidului, în acest punct curba are două tangente diferite m1 și m2) (Figura 5.1).

Figura 5.1 - Puncte ordinare și singulare ale curbei

Liniile curbe regulate sunt împărțite în algebrice (cerc, parabolă) și transcendentale (sinusoid).

Când studiați o linie curbă plată, devine adesea necesar să determinați ordinea acesteia. Ordinea unei linii curbe plate este determinată de cel mai mare număr de puncte de intersecție cu o linie dreaptă sau de gradul ecuației sale. Linia de ordinul întâi este o linie dreaptă. Linii curbe de ordinul doi - o elipsă (forma sa particulară este un cerc), o parabolă, o hiperbolă.

Un cerc este o curbă închisă, ale cărei toate punctele sunt la aceeași distanță de un punct O situat în acest plan, numit centru. Ecuația cercului: x 2 +y 2 =R 2 .

O elipsă este o mulțime de toate punctele dintr-un plan, suma distanțelor la două puncte date F1 și F2, numite focare, este o valoare constantă (2a). Ecuația elipsei: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 =1.

Figura 5.2 - Linii de ordinul doi: cerc și elipsă

Parabola este definită de ecuația y 2 = 2px . O parabolă are un punct impropriu, are o axă de simetrie.

Hiperbola este definită de ecuația x2 /a2 – y2 /b2 =1. O hiperbolă are un centru și două axe de simetrie și are două puncte improprii.

Figura 5.3 - Liniile de ordinul doi: parabolă și hiperbola

Dintre liniile curbe spațiale, liniile elicoidale cilindrice și conice sunt de cel mai mare interes practic.

Helix cilindric - aceasta este o linie descrisă de un punct cu mișcare uniformă de-a lungul unei drepte, cu rotație uniformă a rotației sale în jurul unei axe paralele cu aceasta.

Figura 5.4 - Helix

Se numește înălțimea până la care punctul A se ridică într-o rotație completă pas de helix.

Proiecția frontală a unei linii elicoidale cilindrice este o sinusoidă, proiecția orizontală este un cerc.

5.2 Formarea suprafețelor curbe

O suprafață curbă este un set de poziții succesive ale unei anumite linii care se deplasează în spațiu conform unei anumite legi.

Suprafețele pot fi definite într-un desen în următoarele moduri:

1. Cinematică - suprafața este considerată ca un set continuu de poziții ale unei linii care se deplasează în spațiu după o anumită lege.

Linia în mișcare se numește generatria suprafeței și linia

de-a lungul căruia se mișcă generatoarea se numește ghid (Figura 5.5).

Figura 5.5 - Modul cinematic de definire a suprafețelor

2. Wireframe - dacă este imposibil de descris matematic, suprafața este stabilită de o rețea suficient de densă de linii aparținând acestor suprafețe. Scheletul de suprafață poate consta din curbe tridimensionale sau familii de secțiuni plane (figura 5.6).

Figura 5.6 - Definirea suprafeței cu un cadru

3. Analitic - suprafața este considerată ca un set bidimensional continuu de puncte. Coordonatele punctelor acestei mulțimi satisfac o ecuație F(x,y,z) = 0.

4. Un determinant este un set de condiții necesare și suficiente pentru o atribuire unică a unei suprafețe. Calificator de suprafață

este format din părți geometrice și algoritmice D = [G] Λ [A] . De exemplu, suprafața unui cilindru de revoluție poate fi definită prin rotirea unei linii drepte a în jurul unei axe fixe i folosind determinantul: D = Λ [A]. Partea geometrică a determinantului este reprezentată de proiecții frontale ale axei și generatricei. În partea algoritmică trebuie scrisă „suprafața de revoluție” (Figura 5.7).

Figura 5.7 - Definirea suprafeței cu un determinant

5. Contur - limita părții vizibile a suprafeței pe planul de proiecție corespunzător. Această metodă este cea mai vizuală în rezolvarea problemelor de geometrie descriptivă. De exemplu, suprafața unui cilindru circular drept poate fi reprezentată prin proiecții ale contururilor sale orizontale și frontale (Figura 5.8).

Figura 5.8 - Definirea unei suprafețe cu o schiță

O mare varietate de suprafețe, diverse moduri de formare a acestora, complexitatea caracteristicilor geometrice creează dificultăți în încercările de clasificare a suprafețelor.

Toate suprafețele curbe, în funcție de tipul generatoarelor, sunt împărțite în suprafețe riglate, în care generatricea este o linie dreaptă și neriglată, în care generatria este o curbă.

Suprafețele rigle separate, dacă li se dau proprietățile fizice de flexibilitate și inextensibilitate, pot fi extinse pentru a coincide cu planul fără cute sau rupturi. Astfel de suprafețe se numesc dislocabil. Se numesc acele suprafețe riglate care nu îndeplinesc cerințele specificate, precum și suprafețele nerigilate nedislocabile.

5.3 Suprafețe: rotații, rigle, elicoidale, ciclice

5.3.1 Suprafețele de revoluție

O suprafață de revoluție este o suprafață descrisă de o generatoare de curbă (sau linie dreaptă) atunci când se rotește în jurul unei axe fixe.

Fiecare punct al generatorului descrie în timpul rotației sale un cerc centrat pe axă. Aceste cercuri se numesc paralele. Paralela celei mai mari raze se numește ecuator, cea mai mică - gâtul (Figura 5.9).

Curbele obținute în secțiunea corpului de revoluție prin planuri care trec prin axă se numesc meridiane. Meridianul paralel cu planul de proiecție frontală se numește principal.

Figura 5.9 - Suprafața de rotație

Suprafețele formate prin rotirea unei linii drepte includ următoarele suprafețe:

1. Cilindru de rotație - este format prin rotirea unei linii drepte în jurul axei i paralele cu aceasta.

2. Con de rotație - format prin rotirea unei linii drepte în jurul axei i care se intersectează cu aceasta.

3. Un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie se obține prin rotirea unei linii drepte în jurul axei i care se intersectează cu aceasta.

Un hiperboloid de revoluție poate fi obținut și prin rotirea unei hiperbole în jurul axei sale imaginare.

Suprafețele numite sunt și suprafețe riglate (Figura 5.10).

Figura 5.10 - Suprafețele de revoluție: cilindru, con, hiperboloid

Suprafețele de revoluție formate prin rotirea unui cerc includ:

1. Sferă - suprafață formată prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său;

2. Torus - o suprafață formată prin rotirea unui cerc în jurul unei axe situate în planul acestui cerc, dar care nu trece prin centrul acestuia;

3. Inel - o suprafață formată prin rotirea unui cerc în jurul unei axe situate în afara cercului.

Torul este o suprafață de ordinul al patrulea.

Orice suprafață este considerată dată dacă este posibil să se determine poziția oricărui punct de pe suprafața sa. Pentru a construi puncte pe suprafață

sfera sau torul, este necesar să se utilizeze paralelele și meridianele acestor suprafețe (Figura 5.11).

Figura 5.11 - Suprafețele de revoluție: sferă, tor, inel

Suprafețele de revoluție formate prin rotația unei elipse, parabole și hiperbole se numesc respectiv: elipsoid de revoluție, paraboloid de revoluție, hiperboloid de revoluție cu o singură foaie (Figura 5.12).

Figura 5.12 - Suprafețe de revoluție: elipsoid, paraboloid, hiperboloid

5.3.2 Suprafețe riglate

Suprafața formată prin mișcarea unei linii drepte se numește riglată.

O suprafață riglată formată prin mișcarea unei generatrice rectilinie care trece constant printr-un punct S și în toate cazurile intersectează o curbă de ghidare se numește conică.

O suprafață riglată formată prin mișcarea unei generatrice paralelă cu o anumită direcție și care intersectează un ghidaj se numește suprafață cilindrică.

Suprafețele rigle includ suprafata cu cuspid- se formează prin deplasarea unei drepte de-a lungul unei anumite curbe spaţiale, iar generatoarea dreptei rămâne în fiecare punct tangent la ghidajul curbiliniu (Figura 5.13).

Figura 5.13 - Suprafețe riglate: conice, cilindrice, suprafață cu margine de retur

5.3.3 Suprafețe elicoidale

Suprafața elicoidală este formată din mișcarea elicoidală a unei linii generatoare (Figura 5.14).

Suprafețele elicoidale cu linii drepte generatoare se numesc elicoizi.

Un elicoid se numește drept dacă linia dreaptă generatoare formează un unghi drept cu axa z a suprafeței. În alte cazuri, elicoidul se numește oblic sau oblic.

Figura 5.14 - Elicoizi drepti și oblici

5.3.4 Suprafețe ciclice

O suprafață se numește ciclică dacă este descrisă de un cerc cu rază constantă sau variabilă în timpul mișcării sale arbitrare.

Un exemplu de suprafață ciclică poate fi orice suprafață de revoluție. În plus, acestea includ canale și suprafețe tubulare.

Suprafața canalului este formată prin deplasarea unui cerc cu rază variabilă de-a lungul unui ghidaj curbat.

O suprafață tubulară se formează prin deplasarea unui cerc cu rază constantă de-a lungul unui ghidaj curbat (Figura 5.15).

Figura 5.15 - Suprafețe ciclice: canal și tubular

5.4 Probleme de poziție generalizate

5.4.1 Intersecția suprafețelor curbe cu un plan

Când o suprafață curbă este intersectată de un plan, în cazul general, se obține o curbă plană (elipsă, cerc). La incrucisarea suprafetelor riglate cu un plan se pot obtine si linii drepte, intr-un caz anume, daca planul secant este indreptat de-a lungul generatoarelor sau trece printr-un punct (cilindru sau con).

Pentru a construi o linie de intersecție a unei suprafețe curbe cu un plan, se utilizează metoda planurilor de tăiere auxiliare. Planul auxiliar este ales astfel încât să intersecteze planul dat de-a lungul unei linii drepte, iar suprafața de-a lungul unei linii simple din punct de vedere grafic (cerc sau linie dreaptă). Punctele de intersecție ale acestor linii vor fi punctele dorite aparținând suprafeței și planului de tăiere.

Construcția proiecțiilor liniei secțiunii suprafeței de către plan este mult simplificată dacă planul de tăiere ocupă poziția de proiectare

zhenie. În acest caz, una dintre proiecțiile liniei de secțiune este deja pe desen: coincide cu proiecția planului. Sarcina se reduce doar la construirea unei alte proiecții a acestei linii.

Luați în considerare construcția unei linii de secțiune a unui cilindru printr-un plan proeminent (Figura 5.16).

Figura 5.16 - Intersecția cilindrului cu planul proeminent

Cilindrul este intersectat de planul Σ de-a lungul unei elipse. Deoarece cilindrul ocupă o poziție de proiectare orizontală, elipsa degenerează pe planul de proiecție orizontal într-un cerc care coincide cu conturul orizontal al cilindrului. Deoarece planul de tăiere ∑ ocupă o poziție proiectată frontal, proiecția frontală a elipsei degenerează într-un segment de linie dreaptă 12 22 .

Luați în considerare construcția unei linii de secțiune a unui cilindru circular drept după un plan în poziție generală (Figura 5.17).

Algoritm de construcție:

1. Analizați starea problemei. Deoarece cilindrul ocupă o poziție de proiectare orizontală, proiecția orizontală a elipsei secțiunii degenerează într-un cerc, iar proiecția frontală este proiectată într-o elipsă.

Punctele de vedere A și B sunt puncte care împart proiecția frontală a elipsei secțiunii în părți vizibile și invizibile. Proiecțiile A2 și B2 sunt determinate folosind planul secant auxiliar Q (planul frontal de nivel) desenat prin proiecțiile A1 și B1.

Puncte apropiate și îndepărtate C și D sunt determinate folosind planuri de tăiere ale nivelului frontal trasate prin proiecțiile C1 și D1 și intersectând cilindrul de-a lungul generatoarelor apropiate și îndepărtate, iar planul dat - de-a lungul fronturilor corespunzătoare. Proiecțiile punctelor C2 și D2 se găsesc la intersecția proiecțiilor corespunzătoare ale dreptelor.

Figura 5.17 - Intersecția cilindrului cu un plan de poziție generală

Punctele cele mai înalte și de jos ale secțiunii K și L sunt pe linia pantei trasată prin axa cilindrului perpendiculară pe orizontala unui plan dat. Segmentul KL determină poziția axei majore a elipsei.

Axa mică a elipsei MN este situat perpendicular pe axa majoră, perpendicular pe aceasta și trece prin axa cilindrului.

3. Determinați poziția punctelor aleatoare. Petreceți planuri secante auxiliare ale nivelului frontal și determinați poziția proiecțiilor punctelor aleatorii pe planurile orizontale și frontale ale proiecțiilor.

4. Setați vizibilitatea elipsei în planul de proiecție frontală. Setați în proiecții vizibilitatea reciprocă a cilindrului și a planului de tăiere.

LA ca urmare a intersectarii unui con circular drept cu plane se pot obtine drepte a caror natura poate fi prevazuta in functie de amplasarea conului si a planului secant. Aceste linii pot fi: un cerc, o elipsă, o parabolă, o hiperbolă, iar dacă planul de tăiere trece prin vârful conului, o pereche de linii drepte (Figura 5.18).

Să construim o linie de secțiune a unui con circular drept printr-un plan proeminent (Figura 5.19).

Algoritm de construcție:

1. Analizați starea problemei.

Planul de tăiere este într-o poziție de proiectare frontală, prin urmare, proiecția frontală a elipsei secțiunii degenerează în proiecția frontală într-un segment de linie dreaptă AB.

2. Determinați poziția punctelor de referință: punctele superioare și inferioare ale secțiunii A și B determină poziția axei majore a elipsei. Poziția punctelor apropiate și îndepărtate (C și D) este determinată pe axa mică a elipsei, care este perpendiculară pe axa majoră și este situată în mijlocul segmentului AB.

3. Determinați poziția punctelor aleatoare: K,L și M,N. Pentru construcția lor se folosesc planuri auxiliare de tăiere ale nivelului, care

secara intersectează suprafața conului de-a lungul cercurilor razelor corespunzătoare, iar planul - de-a lungul liniilor drepte care se proiectează frontal.

Figura 5. 18 - Secțiuni conice (conice)

Figura 5.19 - Intersecția unui con cu un plan care se proiectează frontal

5.4.2 Intersecția unei suprafețe curbe cu o linie dreaptă

Rezultatul intersecției unei suprafețe curbe cu o linie dreaptă este o pereche de puncte.

O pereche de puncte de intersecție a unei linii drepte cu o suprafață curbă se numește în mod condiționat puncte de intrare și de ieșire. Pentru construirea acestor puncte se folosește metoda planurilor auxiliare de tăiere.

Algoritm de construcție:

1. Orice proiecție a unei linii drepte date este închisă într-un plan de tăiere. (De obicei, planurile proiectante sunt alese ca plan auxiliar.)

2. Construiți proiecții ale secțiunii de linie a suprafeței printr-un plan.

3. Determinați punctele de intersecție ale dreptei rezultate cu o dreaptă dată

4. Determinați vizibilitatea reciprocă a unei linii drepte și a unei suprafețe. Luați în considerare diferite cazuri de construire a punctelor de intersecție ale curbelor

suprafețe în linie dreaptă.

Rezolvarea problemelor este simplificată dacă unul dintre elemente (o linie sau o suprafață) se află într-o anumită poziție (Figura 5.20). În acest caz, într-una dintre proiecții, se determină poziția proiecțiilor punctelor de intersecție a dreptei cu suprafața curbată.

Înglobând proiecția frontală a dreptei date în planul secant de proiectare în secțiunea cilindrului, obținem o elipsă, care este proiectată pe planul de proiecție orizontal sub forma unui cerc care coincide cu conturul orizontal al suprafeței cilindrului. Punctele de intersecție ale cilindrului proeminent cu linia dreaptă se determină pe planul de proiecție orizontal la intersecția conturului orizontal al cilindrului cu proiecția dreptei. Se stabilește vizibilitatea reciprocă a unei linii drepte și a unui cilindru.

La găsirea punctelor de intersecție a unei linii de poziție particulară cu suprafața unui con în poziție generală, se poate folosi construcția generatoarelor aparținând suprafeței conului. Construiți punctele de intersecție ale lui M și N și stabiliți vizibilitatea reciprocă a dreptei și a conului.

Figura 5.20 - Cazuri particulare de intersecție a suprafețelor cu linii drepte

Luați în considerare cazul general al intersecției unei suprafețe curbe cu o linie dreaptă în poziție generală folosind exemplul intersecției unui con cu o linie dreaptă (Figura 5.21). Vom rezolva această problemă în două moduri.

În primul caz, proiecția frontală a dreptei AB este închisă într-un plan care trece prin vârful conului (planul ABS). Acest plan va intersecta conul de-a lungul liniilor S1 și S2. Pentru a construi aceste drepte se găsește linia DC a intersecției planului ABS cu planul bazei conului și punctele 1 și 2 ale intersecției acestuia cu cercul bazei conului. Punctele de intersecție K și N ale dreptei AB cu suprafața conului se găsesc ca urmare a intersecției dreptei CD cu liniile S1 și S2. Determinați vizibilitatea reciprocă a unei linii drepte și a unui con.

În al doilea caz, linia AB este închisă într-un plan proiectat frontal care intersectează conul într-o elipsă. Punctele de intersecție K și N se găsesc ca rezultat al intersecției elipsei construite cu o dreaptă

AB și determinați vizibilitatea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan de tăiere.

Prima modalitate de a rezolva problema este cea mai rațională.

Figura 5.21 - Intersecția unui con cu o dreaptă în poziție generală

Pentru a rezolva problema determinării punctelor de intersecție a unei sfere cu o dreaptă în poziție generală (Figura 5.22), este mai rațional să se folosească metoda de schimbare a planurilor de proiecție. În acest caz, de exemplu, se încheie o proiecție orizontală a unei drepte date AB într-un plan care se proiectează orizontal. În secțiunea sferei după acest plan, se obține un cerc, care este proiectat pe planul P4 fără distorsiuni sub forma unui cerc,

iar segmentul de linie A4 B4 - în dimensiunea sa naturală. Punctele de intersecție C și D sunt determinate la intersecția cercului și a dreptei în planul P4, iar apoi se determină proiecțiile lor pe planele P1 și P2. Setați vizibilitatea proiecțiilor unei linii drepte și a unei sfere în conformitate cu vizibilitatea liniei de secțiune construită.

Figura 5.22 - Intersecția unei sfere cu o linie dreaptă în poziție generală

5.4.3 Metode de construire a liniilor de intersecție a suprafețelor curbe

Două suprafețe curbe se intersectează în cazul general de-a lungul unei linii curbe spațiale (Figura 5.23).

Figura 5.23 - Intersecția reciprocă a suprafețelor curbe

Linia de intersecție a două suprafețe curbe este construită pe punctele sale individuale. Aceste puncte sunt determinate cu ajutorul suprafețelor intermediare auxiliare. Intersectând suprafețele date cu o suprafață auxiliară, se obțin linii de secțiune, la intersecția cărora se găsesc puncte care aparțin simultan ambelor suprafețe și, deci, dreptei de secțiune dorită.

Planurile sau sferele sunt cel mai adesea alese ca suprafețe intermediare. Utilizarea acestor suprafețe este determinată de tipul și locația suprafețelor specificate.

5.4.3.1 Metoda planului de tăiere auxiliar

Metoda planurilor auxiliare de tăiere este utilizată atunci când ambele suprafețe pot fi intersectate de-a lungul unor linii simple din punct de vedere grafic (cercuri sau linii drepte) de un anumit set de planuri proeminente sau plane de nivel (Figura 5.24).

Figura 5.24 - Intersecția unui con și a unui cilindru

Luați în considerare aplicarea metodei planurilor auxiliare de tăiere ale nivelului pe exemplul problemei construirii unei linii de intersecție a unui cilindru și a unui con (Figura 5.25).

Figura 5.25 - Metoda planului de tăiere: intersecția unui cilindru și a unui con

Să începem construcția prin definirea punctelor de referință (punctele sus, jos, dreapta și stânga ale secțiunii și puncte de vizibilitate). Deoarece suprafața cilindrului circular este într-o poziție proiectată frontal, aceste puncte se află pe conturul frontal al suprafeței - cercul în care este proiectat cilindrul.

Linia de secțiune în sine în planul frontal al proiecțiilor va coincide cu conturul frontal al cilindrului și este determinată de zona de suprapunere a proiecțiilor celor două suprafețe.

Construcția proiecțiilor punctelor superioare și inferioare ale secțiunii va începe cu definirea proiecțiilor lor frontale 12 și 22 . Să le construim pe munți

planul umbrelă de proiecții pe proiecțiile meridianului principal și găsiți proiecțiile orizontale ale punctelor 11 și 21 .

Pentru a construi proiecții orizontale ale punctelor din dreapta și din stânga ale secțiunii, vom folosi metoda de tăiere a planurilor de nivel. Alegem poziția planului auxiliar în așa fel încât să intersecteze simultan ambele suprafețe de-a lungul unor linii simple din punct de vedere grafic - de-a lungul cercuri sau linii drepte. Un plan de tăiere auxiliar - un plan de nivel orizontal - va fi desenat prin proiecțiile frontale ale punctelor 3 și 4. În acest caz, suprafața unui cilindru circular va fi intersectată de acesta în linii drepte, iar suprafața unui con circular - într-un cerc. Proiecțiile orizontale ale punctelor 31 și 41 se vor obține la intersecția proiecțiilor orizontale ale liniilor de secțiune.

Punctele 3 și 4 sunt în același timp punctele de vedere pentru proiecția orizontală a liniei de secțiune, adică. delimitează această proiecție în părți vizibile și invizibile.

Toate celelalte puncte aparținând liniei de secțiune vor fi auxiliare și alegerea lor este aleatorie. Numărul de puncte aleatoare este determinat de precizia construcției: cu cât sunt mai multe, cu atât soluția este mai precisă.

Să ne oprim asupra construcției unei perechi de puncte aleatoare 5 și 6. Pentru a face acest lucru, selectăm o pereche de puncte concurente în planul de proiecție frontală și folosim planul secant auxiliar al nivelului orizontal pentru a determina proiecțiile lor orizontale.

Conectând proiecțiile construite ale punctelor cu o linie curbă netedă, obținem o proiecție orizontală a liniei de secțiune a două suprafețe. In acest caz, in planul orizontal de proiectie, vom tine cont de pozitia punctelor de vizibilitate. Secțiunea liniei de secțiune de deasupra punctelor 3 și 4,

va fi vizibil, iar sub ele - invizibil. Proiecția frontală a acestei linii coincide cu conturul frontal al suprafeței cilindrice și, fiind simetrică, va fi vizibilă.

Astfel, pentru a construi o linie de intersecție a suprafețelor, este necesar:

1. Determinați ce suprafețe se intersectează și dacă există o proiecție a dreptei de intersecție în starea problemei.

2. Determinați poziția punctelor de ancorare.

3. Selectați poziția planurilor auxiliare de tăiere.

4. Găsiți poziția restului punctelor de referință și aleatorii folosind planurile de tăiere selectate.

5. Desenați proiecțiile liniei de secțiune dorite.

6. Definiți vizibilitatea.

Pentru a construi o linie de intersecție a suprafețelor care nu au un plan comun de simetrie, utilizați metoda planurilor secante (Figura 5.26). Pentru a determina poziția punctelor 1 și 2, prin axa de simetrie a conului desenăm planul de nivel frontal Σ, care intersectează conul - de-a lungul meridianului principal și sfera - de-a lungul circumferinței. Se determină proiecțiile frontale ale punctelor 12 și 22 și apoi proiecțiile 11, 21.

Poziția punctelor cel mai înalt și cel mai jos (3 și 4) se determină folosind planul secant Q, care trece prin centrele conului și sferei și fiind planul de simetrie al celor două suprafețe. Pentru determinarea proiecțiilor punctelor 32, 42 și 31, 41 s-a folosit metoda de rotație a secțiunilor obținute (meridianele ambelor suprafețe) în jurul axei care trece prin axa de simetrie a conului.

Figura 5.26 - Intersecția unui con și a unei sfere - metoda de tăiere a planurilor

Punctele de vedere pentru planul orizontal al proiecțiilor (5.6) sunt determinate folosind planul Θ desenat prin ecuatorul sferei.

Poziția punctelor aleatoare este determinată folosind planuri de tăiere ale nivelului orizontal.

Punctele de vedere pentru planul de proiecție frontală vor fi pe meridianul principal al sferei. Dacă desenăm un plan de tăiere prin meridianul principal al sferei, atunci în secțiunea sferei va exista un cerc, iar în secțiunea conului - o hiperbolă. Să stabilim poziția aproximativă a acestora

puncte după construirea unei linii de secțiune comună a suprafețelor.

Conectăm proiecțiile punctelor construite, ținând cont de vizibilitatea în planurile de proiecție corespunzătoare.

5.4.3.2 Metoda sferelor de tăiere auxiliare

Utilizarea metodei sferelor secante auxiliare se bazează pe o proprietate inerentă suprafețelor de revoluție. Constă în două

orice suprafețe coaxiale de revoluție se intersectează de-a lungul cercurilor care trec prin punctele de intersecție ale meridianelor suprafețelor.

În acest caz, planurile cercurilor secțiunii sunt perpendiculare pe axa de rotație, iar centrele cercurilor aparțin acestei axe. Prin urmare, dacă axele suprafețelor de revoluție sunt paralele cu planul proiecțiilor, atunci pe acest plan cercurile secțiunii sunt proiectate în segmente de drepte perpendiculare pe proiecțiile axelor suprafețelor de revoluție, iar pe alt plan – sub formă de cercuri.

Ca suprafață secantă auxiliară de revoluție, este convenabil să folosiți o suprafață sferică, al cărei centru ar trebui să aparțină axei suprafeței de revoluție (Figura 5.27).

Figura 5.27 - Proprietatea sferelor de tăiere

LA În funcție de poziția relativă a suprafețelor, există două opțiuni posibile pentru rezolvarea problemelor folosind metoda sferelor secante:

1. Axele ambelor suprafețe sunt paralele cu planul de proiecție.

2. Suprafețele care se intersectează au un plan simbol comun

LA în primul caz se utilizează metoda sferelor secante concentrice (Figura 5.28), în al doilea caz, sferelor secante excentrice.

Figura 5.28 - Metoda sferelor secante concentrice: intersecția conurilor

Să ne oprim mai în detaliu asupra utilizării metodei sferelor secante concentrice pentru a rezolva problema construirii unei linii de intersecție a două conuri (Figura 5.29).

Construcția liniei de intersecție începe cu determinarea poziției proiecțiilor punctelor de referință. Proiecțiile punctelor 12, 22 și 32, 42 sunt punctele cele mai înalte și cele mai joase din zona de intrare a suprafețelor conurilor și din zona de ieșire a acestora. Proiecțiile lor orizontale 11, 21, 31, 41 sunt obținute prin proiectarea pe axa de simetrie în planul orizontal de proiecție.

Pentru a obține punctele rămase ale liniei de intersecție a suprafețelor se folosește metoda sferelor secante concentrice. Centrul sferelor secante este ales în planul de proiecție frontală la intersecția axelor de simetrie ale suprafețelor. Construcția începe cu determinarea razei minime a sferei secante - valoarea celei mai mari dintre cele două perpendiculare, coborâtă de la centrul sferelor până la suprafețele generatrice ale conurilor.

Figura 5.29 - Metoda sferelor de tăiere concentrice

Să construim punctele aparținând liniei de intersecție a suprafețelor ca urmare a intersecției a două coarde (cercuri spațiale de-a lungul cărora sfera auxiliară intersectează conurile).

Să construim puncte aleatorii aparținând liniei de intersecție - punctele 5 și 6, folosind o sferă secantă, a cărei rază este aleasă din intervalul: mai mare decât minimul și mai mică decât maximul (de la centru până la proiecția punctului 22) .

Conectăm proiecțiile liniei de secțiune, ținând cont de vizibilitatea acestora în proiecțiile corespunzătoare.

Luați în considerare utilizarea metodei planurilor de tăiere excentrice pentru a rezolva problema determinării intersecției unui con și a unei sfere care au un plan de simetrie comun (Figura 5.30).

Figura 5.30 - Con și sferă coaxiale

Începem construcția liniei de intersecție prin determinarea poziției punctelor superioare și inferioare ale secțiunii (12, 22) la intersecția schițelor frontale ale suprafețelor și determinăm proiecțiile orizontale 11 și 21 ale acestora (Figura 5.31). Punctele rămase sunt determinate folosind sfere secante trase din unul sau mai multe centre situate pe axa de simetrie a conului.

Figura 5.31 - Intersecția unui con și a unei sfere - calea sferelor

Perechile de puncte 3.4 și 5.6 se determină mai întâi în planul frontal al proiecțiilor la intersecția coardelor din secțiunile corespunzătoare ale sferei auxiliare ale suprafețelor date. Apoi își construiesc proiecțiile orizontale. Vizibilitatea liniei de intersecție se determină în planul orizontal al proiecțiilor, folosind un plan de tăiere care trece prin ecuatorul sferei. În planul de proiecție frontală, linia de secțiune, fiind simetrică, este proiectată într-o curbă netedă vizibilă.

Metoda sferelor secante excentrice este utilizată la construirea liniei de intersecție a unui tor deschis și a unui trunchi de con (Figura 5.32). Punctele superioare și inferioare ale secțiunii A și B se află în planul meridianului principal al ambelor suprafețe și, prin urmare, sunt determinate de proiecțiile lor frontale la intersecția contururilor suprafețelor. Apoi sunt construite proiecțiile lor orizontale A1 și B1.

Figura 5.32 - Metoda sferelor excentrice: intersecția unui tor și a unui con

Punctele rămase sunt construite folosind sfere secante care intersectează suprafața inelului de-a lungul cercurilor sale meridionale. Pentru a găsi centrele sferelor secante, se trasează plane secante care trec prin centrul inelului. O tangentă este trasă prin punctul de intersecție al acestui plan și axa torului până când se intersectează cu axa conului - acest punct va fi centrul sferei secante comune atât torului, cât și conului. Proiecțiile punctului C2 și D2 sunt determinate la intersecția coardelor (cercurilor spațiale) de pe suprafețele torului și conului. Se determină poziția generatoarelor și se construiesc proiecțiile C1 și D1 pe proiecțiile corespunzătoare ale generatoarelor torului.

Se determină punctele de vedere pentru proiecția orizontală a liniei de secțiune pe axa de simetrie a trunchiului de con în planul frontal al proiecțiilor (se trasează un plan de nivel orizontal) și se determină proiecțiile orizontale ale punctelor de vedere (L1 și N1). . În planul de proiecție frontală, linia este proiectată ca o curbă vizibilă.

5.5 Linii tangente și plane la suprafețe

O linie dreaptă situată în același plan cu o curbă o poate intersecta în două sau mai multe puncte. O astfel de linie se numește secanta. Dacă secanta este mutată astfel încât lungimea arcului AB dintre cele două puncte de intersecție să se apropie de zero, atunci în poziția limită secanta va lua poziția t și va fi numită tangentă (Figura 5.33).

Tangenta indică direcția de mișcare de-a lungul curbei în fiecare punct tangent.

Un plan tangent la o suprafață are un punct în comun cu această suprafață, o linie dreaptă sau o linie curbă plată. Un avion poate atinge o suprafață într-un loc și o poate intersecta în altul. Linia de contact poate fi simultan linia de intersecție a suprafeței cu planul.

Figura 5.33 - Tangenta la curba

În general, planul tangent la suprafață este un set de linii drepte tangente la orice curbe aparținând

apăsând suprafaţa şi trecând printr-un punct dat al acestei suprafeţe.

Pentru a seta un plan tangent la orice suprafață, este suficient să trasezi curbe aparținând suprafeței printr-un punct dat pe suprafață și să construiești o linie tangentă la fiecare dintre ele trecând printr-un punct. Aceste drepte vor defini planul tangent. Planul tangent la suprafață este poziția limită a planului secant.

O dreaptă care trece prin punctul tangent și perpendiculară pe planul tangent se numește normală la suprafață în acel punct. Normala suprafeței într-un punct dat determină direcția tangentei planului la suprafața în acel punct (Figura 5.34).

Nu este posibil să construiți un plan tangent în fiecare punct de pe suprafață. În unele puncte, planul tangent nu poate fi definit sau nu este unic. Astfel de puncte sunt numite puncte speciale ale suprafețelor, de exemplu, punctele marginii de întoarcere a suprafeței trunchiului, vârful suprafeței conice, punctele suprafeței de revoluție, unde meridianul și axa nu se intersectează în unghi drept etc.

Figura 5.34 - Plan tangent

Sarcina de a construi plane tangente care trec printr-un punct dat de pe suprafață se reduce la următoarele:

1. Oricare două secante sunt trase printr-un punct de pe o suprafață curbă

avioane.

2. Găsiți liniile de secțiune ale suprafeței după aceste plane.

3. Construiți tangente într-un punct dat la liniile de secțiune.

Două tangente definesc planul dorit. Atunci când aleg planuri de tăiere, acestea tind să obțină cel mai simplu tip de secțiune - o linie dreaptă sau un cerc.

Luați în considerare cazul construirii unui plan tangent prin punctul A, care aparține suprafeței conului de revoluție (Figura 5.35).

Pentru a construi două secțiuni necesare, un plan de tăiere este trasat printr-un punct dat A și vârful conului. Acest plan va intersecta suprafața conului de-a lungul generatricei care servește drept linie de tangență și, prin urmare, este una dintre liniile drepte care definesc planul tangent. A doua linie dreaptă m, tangentă la circumferința secțiunii conului de către un plan orizontal de nivel trasat prin punctul A. Tangenta ar putea fi trasă și la circumferința bazei conului.

Figura 5.35 - Plan tangent la suprafața conului

5.6 Evoluții de suprafață

O dezvoltare de suprafață este o figură plată formată prin combinarea unei suprafețe cu un plan.

Din proprietățile geometrice ale elementelor de suprafață care se păstrează în timpul desfășurării, se poate observa că linia de suprafață trece în linia desfășurată și că lungimile liniilor, valorile unghiurilor plane și zonele delimitate de linii închise rămân neschimbate.

Nu toate suprafețele pot fi exact aplatizate. Prin urmare, suprafețele sunt împărțite în dezvoltabile și nedezvoltabile. Suprafețele dezvoltabile includ suprafețe rigle: cilindri, conuri și trunchi, deoarece generatoarele adiacente sunt paralele sau se intersectează, de exemplu. formează un avion.

Pentru a construi o maturare a unui cilindru circular drept, trebuie să construiți un dreptunghi cu o bază 2πR, unde R este raza cercului de bază. Înălțimea dreptunghiului este egală cu înălțimea cilindrului (Figura 5.36).

2. Ce drepte se obțin atunci când avioanele intersectează un cilindru de revoluție?

3. Ce curbe se obțin când planurile intersectează conul de revoluție?

4. Care sunt punctele extreme ale liniei de secțiune curbă?

5. În ce cazuri se recomandă utilizarea metodei planurilor auxiliare de tăiere sau metoda sferelor de tăiere auxiliare pentru a construi o linie de intersecție a două suprafețe curbe?

6 GRAFICA CALCULATORULUI

6.1 Grafica pe computer și locul ei în proiectarea asistată de calculator

Grafica pe computer studiază metodele și mijloacele de creare și prelucrare a imaginilor folosind sisteme software și hardware.

Grafica pe computer include un complex de diverse instrumente software utilizate pentru a forma, converti și afișa informații sub formă vizuală pe dispozitive de afișare (afișaje, plotere grafice).

Printre hardware sunt aparate specializateși dispozitive de uz general.

Primele sunt intrări precum stilou, tablete digitaleși înseamnă ieșire - complotori(Figura 6.1).

Figura 6.1 - Dispozitive specializate

La al doilea - Dispozitive de intrare- manipulatoare „mouse” și „joystick” și dispozitive de ieșire-afișaje grafice bitmap, imprimante, tastaturi(Figura 6.2).

Software-ul se concentrează pe următoarele principalele tipuri de grafică: afaceri, ilustrative, științifice, design (pentru CAD), cartografice (CAD arhitectural și de gestionare a terenurilor), arte plastice și publicitate.

Grafică pe computer dezvoltată în conformitate cu dezvoltarea generală a tehnologiei și software-ului computerizat. Inițial, au fost create programe pentru afișarea graficelor ca parte a pachetelor de aplicații ca parte a limbajelor de nivel înalt. De exemplu, pachetul GRAFOR a fost creat ca parte a pachetelor aplicației limbajului FORTRAN.

Figura 6.2 - Dispozitive de uz general

LA în plus, crearea de programe grafice s-a remarcat ca o direcție independentă a software-ului.

LA În funcție de metoda de formare a imaginii, grafica computerizată este împărțită în:

∙ grafică raster;

∙ grafică vectorială;

∙ grafică fractală.

Elementul de imagine din editorii raster este un punct. Un punct poate avea mai mulți parametri: coordonate, culoare, ton, transparență. Imaginea se realizează prin sistematizarea punctelor. În acest caz, există un indicator al rezoluției imaginii - numărul de puncte pe unitatea de suprafață a imaginii. Instrumentele moderne de inginerie grafică vă permit să creați imagini cu o rezoluție de 2540 dpi (puncte pe inch) sau mai mult. Fiecare punct necesită adresare pentru stocare pe medii. O cantitate semnificativă de date procesate, precum și datele necesare pentru salvarea imaginilor, reprezintă un dezavantaj semnificativ al graficelor raster.

Un dezavantaj comun al editorilor raster este că atunci când imaginea este mărită, punctele cresc în mod corespunzător, astfel încât atunci când imaginea este mărită, rezoluția și, ca urmare, acuratețea se pierd; incapacitatea de a lucra cu elemente (imagini mărite) - pixelare.

Deoarece elementul imagine este un punct, linia va necesita deja sistematizarea punctelor. Din aceasta putem concluziona că crearea de obiecte bidimensionale și tridimensionale complică semnificativ descrierea imaginii, crescând cantitatea de date procesate și stocate.

Editorii raster includ Paint, Adobe Photoshop etc. Sunt proiectați pentru a crea imagini precum desene artistice, ilustrații, grafice (Figura 6.3).

Figura 6.3 - Exemple de utilizare a graficelor raster

În grafica vectorială, elementul de bază este linia. Linia este descrisă matematic ca un singur obiect și, prin urmare, cantitatea de date pentru afișarea unui obiect în grafica vectorială este semnificativ mai mică decât în ​​grafica raster.

Toți editorii grafici considerați sunt fie cei mai simpli editori, de exemplu, Paint, fie o gamă largă de editori.

Trei blocuri principale: un simulator, un bloc de calcul și un sistem expert - efectuează toate procedurile principale care pot fi necesare în timpul lucrărilor de proiectare.

Blocul de calcul poate executa orice program din pachetul aplicației, care conține toate programele necesare utilizate de dezvoltatori. Apelul unui anumit program este efectuat la cererea fie a simulatorului, fie a sistem expert, sau constructorul însuși.

Bază de date

Bloc de formare a sarcinilor

Utilizator

Figura 6.5 - Diagrama tipică a CAD B Bloc de formare a sarcinilor proiectantul introduce tehnica

brief-ul de proiectare, care precizează toate obiectivele de atins în proiectare și toate constrângerile care nu pot fi încălcate.

Unitate de pregătire a documentației tehnice permite proiectantului să pregătească documentele necesare pentru ultimele două etape ale creării de noi produse.

Sistemele specifice se pot abate de la această schemă tipică.

Luați în considerare exemple specifice de editori grafici CAD și de inginerie și sisteme CAD / CAM / CAE

6.3 Funcționalitatea modulelor de modelare 2D-3D

Sistemul grafic AutoCAD este standardul de facto în sistemele grafice de inginerie. Cele mai recente versiuni de AutoCAD sunt aplicații Windows moderne pe 32 de biți pentru ingineri și utilizatori CAD. AutoCAD oferă un mediu de lucru eficient și astfel permite designerilor să se concentreze mai mult pe proiecte și să petreacă mai puțin timp introducând parametrii de la tastatură.

Funcții precum Multiple Design Environment, AutoCAD DesignCenter, suport Intellimouse și multe altele susțin un mediu de lucru natural, intuitiv și eficient.

SOLIDCAM este un produs al CADTECH Ltd. - puternic

un instrument pentru obținerea de programe de control pentru mașinile CNC la prelucrarea pieselor care conțin complexe

geometrie de suprafață sau solidă. SOLIDCAM oferă frezare pe 2,5 și 3 axe cu garantat

absența obosită a „decupajelor”, întoarcere

corpuri de revoluție, vizualizarea procesului de tăiere cu imitație de îndepărtare a materialului.

Figura 6.6 - Utilizarea programului SOLIDCAM în producție

Sistemul bCAD a fost dezvoltat pentru o gamă largă de aplicații, astfel încât funcționalitatea sa este destul de versatilă (Figura 6.7).

Sistemul bCAD este proiectat și dezvoltat ca o stație de lucru universală a designerului, care permite efectuarea unei game largi de lucrări în modul „end-to-end” - de la un desen la un model tridimensional sau, dimpotrivă, dintr-un model tridimensional. -reprezentare dimensională la proiecţii plate. În același timp, este posibilă producerea documentației tehnice în conformitate cu cerințele standardelor, obținerea de imagini realiste și pregătirea datelor pentru sistemele de decontare.

Figura 6.7 - Fereastra sistemului bCAD

Imaginile raster pregătite în bCAD pot fi scrise în formate GIF, TGA, BMP, JPG, TIFF sau PCX și utilizate în pachete de publicare sau ilustrare.

Recent, la dezvoltarea documentației de proiectare în procesul educațional al universităților tehnice, sistemul KOMPAS-3D dezvoltat de compania rusă ASCON este utilizat pe scară largă.

Editorul de desene și design KOMPAS-3D conține suficiente instrumente de desen pentru a realiza desene de orice complexitate, cu suport deplin pentru standardele rusești. Interfața simplă și ușor de înțeles a acestui program este combinată cu succes cu flexibilitatea unui sistem profesional la construirea, selectarea, ștergerea obiectelor de desen, tastarea conform GOST, setarea dimensiunilor de toate tipurile, toleranțele de formă și locația suprafețelor, pozițiilor, bazelor etc. .

KOMPAS-3D este proiectat special pentru mediul de operare MS Windows și folosește pe deplin toate caracteristicile și beneficiile sale, oferind utilizatorului eficiență și confort maxim în muncă.

Următoarele obiecte grafice sunt acceptate în KOMPAS-3D.

Obiecte geometrice:						segment de linie dreaptă
	arc de cerc,				poligon,		linie frântă,
Curba Bezier,		curba NURBS,		clocirea,		curba echidistanta,
macronutrient.
		dimensiune liniară,			dimensiunea unghiului,		dimensiune radială
	dimensiune diametrală,			dimensiunea înălțimii.
Denumiri speciale și tehnologice:							multilinie

inscripția textului, denumirea bazei, toleranța de formă și locație,

Desenarea obiectelor de design: cerințe tehnice, inscripție principală (ștampilă), denumirea rugozității suprafețelor nespecificate.

Principalele documente din sistemul KOMPAS-3D sunt:

desen, fragment, document text, specificație, asamblare și detaliu.

Sarcina principală rezolvată cu ajutorul oricărui sistem de desen este crearea și eliberarea diverselor documentații grafice (Figura 6.10).

Figura 6.10 - Fragment din desenul de detaliu în KOMPAS-3D

Cel mai simplu și mai înțeles mod de a construi este indicarea directă către câmpul de intrare cu cursorul. De exemplu, la crearea unui segment, punctul său de început este fixat secvenţial, iar apoi punctul final.

O altă modalitate este să specificați valorile exacte ale coordonatelor pentru a vă deplasa la punctul dorit și apoi să îl remediați. Pentru a afișa și introduce coordonatele, sunt furnizate câmpuri speciale X și Y, afișate în partea dreaptă a barei de stare curentă.

Și, în sfârșit, Bara de parametri ai obiectelor vă permite să implementați cele mai largi posibilități de gestionare a obiectelor de desen.

Puteți muta obiecte de desen sau fragmentați fie cu mouse-ul, fie folosind comenzile din meniu.

Metodele de bază de lucru sunt: ​​mutarea obiectelor cu mouse-ul; copierea obiectelor cu mouse-ul; eliminarea simplă a obiectelor grafice; editarea punctelor caracteristice ale obiectelor; editarea parametrilor obiectului.

Sistemul KOMPAS-3D este capabil să genereze modele tridimensionale ale unei piese pentru a transfera geometria la diferiți parametri de proiectare sau la pachete pentru dezvoltarea programelor de control pentru echipamente CNC, precum și pentru a crea documentație de proiectare pentru piesele dezvoltate (Figura 6.11). ).

Figura 6.11 Exemplu de lucru în KOMPAS-3D

Principalele sarcini pe care le rezolvă KOMPAS-3D sunt formarea unui model tridimensional al unei piese pentru a transfera geometria în diverse pachete de calcul sau în pachete pentru dezvoltarea programelor de control pentru

Ruding CNC, precum și crearea documentației de proiectare pentru piesele dezvoltate.

Procedura general acceptată de modelare a unui corp rigid este executarea secvențială a operațiilor booleene (unire, scădere și intersecție) pe elemente solide (sfere, prisme, cilindri, conuri, piramide etc.). Un exemplu de astfel de operațiuni este prezentat în Figura 6.12.

Figura 6.12 - Un exemplu de efectuare a operațiilor booleene

Operaţii booleene asupra elementelor solide: a) cilindru; b) combinație între un cilindru și o prismă; c) scăderea prismei; d) scăderea cilindrului.

În KOMPAS-3D, pentru a seta forma elementelor tridimensionale, se efectuează o astfel de deplasare a unei figuri plate în spațiu, a cărei urmă determină forma elementului (de exemplu, rotirea unui arc circular în jurul unei axe formează o sferă sau un tor, o deplasare a unui poligon - o prismă etc.). Formarea elementelor volumetrice: a) o prismă, b) un tor, c) un element cinematic (Figura 6.12).

Figura 6.12 - Formarea elementelor volumetrice

O figură plată, pe baza căreia se formează un corp, se numește schiță, iar mișcarea de modelare a unei schițe se numește operație.

Întrebări pentru autocontrol pe tema 6:

1. Ce include termenul „grafică pe computer”?

2. Ce aparține hardware-ului grafic?

3. Enumerați principalele tipuri de grafice.

4. Conform metodei de formare a imaginii, grafica computerizată este împărțită în ……….. Care este diferența lor?

5. Care este elementul de bază al graficii fractale?

6. Care este elementul de bază al graficii vectoriale?

7. Care sunt elementele unui sistem CAD tipic?

8. Denumiți sistemele grafice de inginerie cunoscute de dvs.

9. Ce operații se folosesc pentru modelarea unui corp rigid?

Bibliografie

1. Rynin N.A. Geometrie descriptivă. Proiecții ortogonale. Petrograd, 1918.- 334 p.

2. Gordon V.O. Curs de geometrie descriptivă / V.O. Gordon, M.A. Sementsov-Ogievski. - M: „Știință”, 2002. - 382 p.

3. Vinnitsky I.G. Geometrie descriptivă. Manual pentru licee. - M .: „Școala superioară”, 1975.- 280., cu ilustrații.

4. Porsin Yu.A. Imagini axonometrice ale pieselor de construcție de mașini. Ediția a II-a, revizuită. şi add.-L .: „Inginerie”, 1976.- 232p., cu ill.

5. Vinogradov V.N. Geometrie descriptivă. Minsk, „Cel mai înalt. Scoala”, 1977.-308s., cu ill.

6. Bubennikov A.V. Geometrie descriptivă. Manual pentru universități. - M .:

Superior scoala, 1985.-288s., ill.

7. Arustamov Kh.A. Culegere de sarcini de geometrie descriptivă

/ H.A. Arustamov. - M: „Inginerie”, 1981. - 446s.

8. Inginerie Grafică: General Curs: Manual / Ed. N.G. Ivantsivskaya și V.G. Burova.- Ed. al 2-lea, revizuit. şi add.-M.: Logos, 2004.- 232p.: ill.

9. Peklich V.A. Geometrie Descriptivă / Ediție Educațională.- M .: Editura Asociației Universităților de Construcții, 2007.-272s., cu ilustrații.