Štandardná definícia: "Vektor je riadený úsečka." To je zvyčajne hranica vedomostí absolventa o vektoroch. Kto potrebuje nejaké „riadené segmenty“?
Ale v skutočnosti, čo sú vektory a prečo sú?
Predpoveď počasia. "Vietor severozápadný, rýchlosť 18 metrov za sekundu." Súhlas, záleží aj na smere vetra (odkiaľ fúka) a na module (teda na absolútnej hodnote) jeho rýchlosti.
Veličiny, ktoré nemajú smer, sa nazývajú skaláre. Hmota, práca, elektrický náboj nie sú nikam smerované. Sú charakterizované iba číselnou hodnotou - „koľko kilogramov“ alebo „koľko joulov“.
Fyzikálne veličiny, ktoré majú nielen absolútnu hodnotu, ale aj smer, sa nazývajú vektorové veličiny.
Rýchlosť, sila, zrýchlenie - vektory. Pre nich je dôležité „koľko“ a dôležité „kde“. Napríklad zrýchlenie voľného pádu smeruje k povrchu Zeme a jeho hodnota je 9,8 m/s 2 . Hybnosť, sila elektrického poľa, indukcia magnetického poľa sú tiež vektorové veličiny.
Pamätáte si, že fyzikálne veličiny sa označujú písmenami, latinkou alebo gréčtinou. Šípka nad písmenom označuje, že množstvo je vektor:
Tu je ďalší príklad.
Auto sa pohybuje z bodu A do bodu B. Konečným výsledkom je jeho pohyb z bodu A do bodu B, teda pohyb vektorom 
.
Teraz je jasné, prečo je vektor smerovaný segment. Venujte pozornosť, koniec vektora je tam, kde je šípka. Dĺžka vektora sa nazýva dĺžka tohto segmentu. Určené: alebo
Doteraz sme pracovali so skalárnymi veličinami podľa pravidiel aritmetiky a elementárnej algebry. Vektory sú novým pojmom. Toto je ďalšia trieda matematických objektov. Majú svoje pravidlá.
Kedysi sme ani nepoznali čísla. Zoznámenie sa s nimi začalo už v základných ročníkoch. Ukázalo sa, že čísla sa dajú navzájom porovnávať, sčítať, odčítať, násobiť a deliť. Dozvedeli sme sa, že existuje číslo jeden a číslo nula.
Teraz sa zoznámime s vektormi.
Pojmy „väčšie ako“ a „menšie ako“ pre vektory neexistujú – koniec koncov, ich smery môžu byť rôzne. Môžete porovnávať iba dĺžky vektorov.
Ale koncept rovnosti pre vektory je.
Rovnaký sú vektory, ktoré majú rovnakú dĺžku a rovnaký smer. To znamená, že vektor sa môže pohybovať rovnobežne s ktorýmkoľvek bodom v rovine.
slobodný sa nazýva vektor, ktorého dĺžka je 1 . Nula - vektor, ktorého dĺžka sa rovná nule, to znamená, že jeho začiatok sa zhoduje s koncom.
Najpohodlnejšie je pracovať s vektormi v pravouhlej súradnicovej sústave – tej, v ktorej kreslíme grafy funkcií. Každý bod v súradnicovom systéme zodpovedá dvom číslam - jeho súradniciam x a y, úsečke a ordináde.
Vektor je tiež daný dvoma súradnicami:
Tu sú súradnice vektora napísané v zátvorkách - v x a v y.
Dajú sa ľahko nájsť: súradnica konca vektora mínus súradnica jeho začiatku.
Ak sú zadané súradnice vektora, jeho dĺžka sa zistí podľa vzorca
Vektorové pridanie
Existujú dva spôsoby pridávania vektorov.
1. paralelogramové pravidlo. Ak chcete pridať vektory a , umiestnime počiatky oboch do rovnakého bodu. Doplníme rovnobežník a z toho istého bodu nakreslíme uhlopriečku rovnobežníka. Toto bude súčet vektorov a .
Pamätáte si rozprávku o labuti, rakovine a šťuke? Veľmi sa snažili, ale vozík nikdy nepohli. Veď vektorový súčet síl, ktorými pôsobili na vozík, sa rovnal nule.
2. Druhým spôsobom sčítania vektorov je pravidlo trojuholníka. Zoberme si rovnaké vektory a . Začiatok druhého pridáme na koniec prvého vektora. Teraz spojme začiatok prvého a koniec druhého. Toto je súčet vektorov a .
Podľa rovnakého pravidla môžete pridať niekoľko vektorov. Pripojíme ich jeden po druhom a potom spojíme začiatok prvého s koncom posledného.
Predstavte si, že idete z bodu A do bodu B, z B do C, z C do D, potom do E a potom do F. Konečným výsledkom týchto akcií je presun z A do F.
Pri pridávaní vektorov dostaneme:
Vektorové odčítanie
Vektor smeruje opačne k vektoru. Dĺžky vektorov a sú rovnaké.
Teraz je jasné, čo je odčítanie vektorov. Rozdiel vektorov a je súčtom vektora a vektora.
Vynásobte vektor číslom
Vynásobením vektora číslom k vznikne vektor, ktorého dĺžka je k krát odlišná od dĺžky . Je kosmerný s vektorom, ak je k väčšie ako nula, a smeruje opačne, ak je k menšie ako nula.
Bodový súčin vektorov
Vektory sa dajú násobiť nielen číslami, ale aj navzájom.
Skalárny súčin vektorov je súčinom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.
Venujte pozornosť - vynásobili sme dva vektory a dostali sme skalár, teda číslo. Napríklad vo fyzike sa mechanická práca rovná skalárnemu súčinu dvoch vektorov - sily a posunutia:
Ak sú vektory kolmé, ich bodový súčin je nula.
A takto je skalárny súčin vyjadrený v súradniciach vektorov a:
Zo vzorca pre skalárny súčin môžete nájsť uhol medzi vektormi:
Tento vzorec je obzvlášť vhodný v stereometrii. Napríklad v úlohe 14 Profil USE v matematike musíte nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami alebo medzi čiarou a rovinou. Úloha 14 sa často rieši niekoľkonásobne rýchlejšie ako klasická.
V školských osnovách matematiky sa študuje iba skalárny súčin vektorov.
Ukazuje sa, že okrem skalárneho existuje aj vektorový súčin, keď sa vektor získa ako výsledok vynásobenia dvoch vektorov. Kto zloží skúšku z fyziky, vie, čo je Lorentzova sila a Ampérova sila. Vzorce na nájdenie týchto síl zahŕňajú presne vektorové súčiny.
Vektory sú veľmi užitočným matematickým nástrojom. Presvedčíte sa o tom v prvom kurze.
V prvom rade je potrebné rozobrať samotný koncept vektora. Aby sme zaviedli definíciu geometrického vektora, pripomeňme si, čo je segment. Uvádzame nasledujúcu definíciu.
Definícia 1
Úsek je časť priamky, ktorá má dve hranice vo forme bodov.
Segment môže mať 2 smery. Na označenie smeru nazveme jednu z hraníc segmentu jeho začiatok a druhú hranicu - jeho koniec. Smer je označený od jeho začiatku po koniec segmentu.
Definícia 2
Vektor alebo riadený segment je segment, pre ktorý je známe, ktorá z hraníc segmentu sa považuje za začiatok a ktorá je jeho koniec.
Zápis: Dve písmená: $\overline(AB)$ – (kde $A$ je jeho začiatok a $B$ je jeho koniec).
Jedným malým písmenom: $\overline(a)$ (obrázok 1).
Teraz zavedieme priamo pojem vektorových dĺžok.
Definícia 3
Dĺžka vektora $\overline(a)$ je dĺžka segmentu $a$.
Zápis: $|\overline(a)|$
Pojem dĺžky vektora je spojený napríklad s pojmom ako je rovnosť dvoch vektorov.
Definícia 4
Dva vektory sa budú nazývať rovnocenné, ak spĺňajú dve podmienky: 1. Sú kosmerné; 1. Ich dĺžky sú rovnaké (obr. 2).
Pre definovanie vektorov zadajte súradnicový systém a určte súradnice pre vektor v zadanom systéme. Ako vieme, každý vektor môže byť rozšírený ako $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, kde $m$ a $n$ sú reálne čísla a $\overline(i)$ a $\overline(j)$ sú jednotkové vektory na osiach $Ox$ a $Oy$.
Definícia 5
Koeficienty rozšírenia vektora $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ budeme v zavedenom súradnicovom systéme nazývať súradnicami tohto vektora. Matematicky:
$\overline(c)=(m,n)$
Ako zistiť dĺžku vektora?
Ak chcete odvodiť vzorec na výpočet dĺžky ľubovoľného vektora vzhľadom na jeho súradnice, zvážte nasledujúci problém:
Príklad 1
Dané: vektor $\overline(α)$ so súradnicami $(x,y)$. Nájsť: dĺžku tohto vektora.
Predstavme si kartézsky súradnicový systém $xOy$ v rovine. Odložte $\overline(OA)=\overline(a)$ z počiatkov zavedeného súradnicového systému. Zostrojme projekcie $OA_1$ a $OA_2$ zostrojeného vektora na osiach $Ox$ a $Oy$ (obr. 3).
Nami skonštruovaný vektor $\overline(OA)$ bude vektorom polomeru pre bod $A$, teda bude mať súradnice $(x,y)$, čo znamená
$=x$, $[OA_2]=y$
Teraz môžeme ľahko nájsť požadovanú dĺžku pomocou Pytagorovej vety, dostaneme
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Odpoveď: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Záver: Ak chcete zistiť dĺžku vektora, ktorého súradnice sú dané, musíte nájsť odmocninu zo súčtu týchto súradníc.
Príklad úlohy
Príklad 2
Nájdite vzdialenosť medzi bodmi $X$ a $Y$, ktoré majú nasledujúce súradnice: $(-1,5)$ a $(7,3)$.
Akékoľvek dva body môžu byť ľahko spojené s konceptom vektora. Zoberme si napríklad vektor $\overline(XY)$. Ako už vieme, súradnice takéhoto vektora sa dajú zistiť odčítaním zodpovedajúcich súradníc začiatočného bodu ($X$) od súradníc koncového bodu ($Y$). Chápeme to
1. Definícia vektora. Dĺžka vektora. Kolinearita, komplanarita vektorov.
Smerovaný segment sa nazýva vektor. Dĺžka alebo modul vektora je dĺžka zodpovedajúceho smerovaného segmentu.
Vektorový modul a je uvedené. Vektor a sa nazýva jednotné číslo ak . Vektory sa nazývajú kolineárne, ak sú rovnobežné s rovnakou čiarou. Vektory sa nazývajú koplanárne, ak sú rovnobežné s tou istou rovinou.
2. Násobenie vektora číslom. Vlastnosti prevádzky.
Vynásobením vektora číslom získame opačne orientovaný vektor, ktorý je dvakrát dlhší. Násobenie vektora číslom v súradnicovom tvare sa vykonáva vynásobením všetkých súradníc týmto číslom:
Na základe definície sa získa výraz pre modul vektora vynásobený číslom:
Rovnako ako v prípade čísel, operácie pridávania vektora k sebe samému možno zapísať ako násobenie číslom:
A odčítanie vektorov sa dá prepísať pomocou sčítania a násobenia:
Na základe skutočnosti, že násobenie nemení dĺžku vektora, ale mení iba smer, a vzhľadom na definíciu vektora dostaneme:
3. Sčítanie vektorov, odčítanie vektorov.
V reprezentácii súradníc sa súčtový vektor získa sčítaním zodpovedajúcich súradníc výrazov:
Na geometrickú konštrukciu súčtového vektora sa používajú rôzne pravidlá (metódy), ale všetky dávajú rovnaký výsledok. Použitie tohto alebo toho pravidla je odôvodnené riešeným problémom.
trojuholníkové pravidlo
Pravidlo trojuholníka vyplýva najprirodzenejšie z chápania vektora ako prekladu. Je zrejmé, že výsledok po sebe nasledujúcich dvoch premiestnení a v určitom okamihu bude rovnaký ako uplatnenie jedného prevodu naraz, čo zodpovedá tomuto pravidlu. Ak chcete pridať dva vektory a podľa pravidla trojuholník oba tieto vektory sa prenášajú rovnobežne so sebou, takže začiatok jedného z nich sa zhoduje s koncom druhého. Potom je súčtový vektor daný treťou stranou vytvoreného trojuholníka a jeho začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého vektora a koniec s koncom druhého vektora.
Toto pravidlo je priamo a prirodzene zovšeobecnené na sčítanie ľubovoľného počtu vektorov, ktoré sa menia na pravidlo prerušovanej čiary:
polygónové pravidlo
Začiatok druhého vektora sa zhoduje s koncom prvého, začiatok tretieho - s koncom druhého atď., zatiaľ čo súčet vektorov je vektor, pričom začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého a koniec sa zhoduje s koncom prvého (to znamená, že je znázornený smerovaným segmentom uzatvárajúcim prerušovanú čiaru). Nazýva sa aj pravidlo prerušovanej čiary.
paralelogramové pravidlo
Ak chcete pridať dva vektory a podľa pravidla rovnobežník oba tieto vektory sa prenášajú paralelne k sebe, takže ich počiatky sa zhodujú. Potom je súčtový vektor daný uhlopriečkou rovnobežníka, ktorý je na nich postavený a vychádza z ich spoločného pôvodu. (Pri použití pravidla trojuholníka je ľahké vidieť, že táto uhlopriečka je rovnaká ako tretia strana trojuholníka).
Pravidlo rovnobežníka je vhodné najmä vtedy, keď je potrebné znázorniť súčtový vektor bezprostredne pripojený k rovnakému bodu, ku ktorému sú pripojené obidva výrazy - to znamená znázorniť všetky tri vektory so spoločným pôvodom.
Vektorový súčtový modul
Modul súčtu dvoch vektorov možno vypočítať pomocou kosínusová veta:
Kde je kosínus uhla medzi vektormi.
Ak sú vektory nakreslené v súlade s pravidlom trojuholníka a uhol sa berie podľa obrázku - medzi stranami trojuholníka - ktorý sa nezhoduje s obvyklou definíciou uhla medzi vektormi, a teda s uhlom vo vyššie uvedenom vzorci, potom posledný člen získa znamienko mínus, ktoré v priamej formulácii zodpovedá kosínusovej vete.
Pre súčet ľubovoľného počtu vektorov platí podobný vzorec, v ktorom je viac členov s kosínusom: jeden takýto člen existuje pre každú dvojicu vektorov zo sčítateľnej množiny. Napríklad pre tri vektory vzorec vyzerá takto:
Vektorové odčítanie
Dva vektory a ich rozdielový vektor
Ak chcete získať rozdiel v súradnicovom tvare, odčítajte zodpovedajúce súradnice vektorov:
Na získanie rozdielového vektora sú začiatky vektorov spojené a začiatok vektora bude koniec a koniec bude koniec. Ak je napísané pomocou bodov vektorov, potom.
Modul vektorového rozdielu
Tri vektory navyše tvoria trojuholník a výraz pre rozdielový modul je podobný:
kde je kosínus uhla medzi vektormi
Rozdiel od vzorca pre modul súčtu je v znamienku pred kosínusom, pričom je potrebné pozorne sledovať, ktorý uhol sa berie (variant vzorca pre modul súčtu s uhlom medzi stranami trojuholníka pri sčítaní podľa pravidla trojuholníka sa vzhľadovo nelíši od tohto vzorca pre modul rozdielu, ale je potrebné mať na pamäti, že keď sa tu prevezme rozdielny uhol súčtu na vektor, prevezme sa tu rozdielny uhol vektora hľadá sa diferenčný model, berie sa uhol medzi vektormi aplikovaný na jeden bod, výraz pre modul súčtu s použitím rovnakého uhla ako v tomto výraze pre modul rozdielu sa líši znamienkom pred kosínusom).
| " |
Dĺžku vektora a → označíme a → . Tento zápis je podobný modulu čísla, takže dĺžka vektora sa nazýva aj modul vektora.
Na zistenie dĺžky vektora v rovine podľa jeho súradníc je potrebné zvážiť pravouhlý karteziánsky súradnicový systém O x y . Nech obsahuje nejaký vektor a → so súradnicami a x ; a y . Zavedieme vzorec na zistenie dĺžky (modulu) vektora a → v zmysle súradníc a x a a y .
Odložte vektor O A → = a → z počiatku. Definujme zodpovedajúce priemetne bodu A na súradnicové osi ako A x a A y . Teraz uvažujme obdĺžnik O A x A A y s uhlopriečkou O A .
Z Pytagorovej vety vyplýva rovnosť O A 2 = O A x 2 + O A y 2, odkiaľ O A = O A x 2 + O A y 2 . Z už známej definície súradníc vektora v pravouhlej karteziánskej súradnicovej sústave dostaneme, že O A x 2 = a x 2 a O A y 2 = a y 2 a konštrukciou sa dĺžka O A rovná dĺžke vektora O A → , teda O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A y 2 .
Preto sa ukazuje, že vzorec na zistenie dĺžky vektora a → = a x; a y má zodpovedajúci tvar: a → = a x 2 + a y 2 .
Ak je vektor a → daný ako expanzia v súradnicových vektoroch a → = a x i → + a y j → , potom jeho dĺžku môžeme vypočítať pomocou rovnakého vzorca a → = a x 2 + a y 2, v tomto prípade koeficienty a x a a y pôsobia ako súradnice vektora a → v danom súradnicovom systéme.
Príklad 1
Vypočítajte dĺžku vektora a → = 7 ; e , daný v pravouhlom súradnicovom systéme.
Riešenie
Na zistenie dĺžky vektora použijeme vzorec na zistenie dĺžky vektora podľa súradníc a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
odpoveď: a → = 49 + e.
Vzorec na zistenie dĺžky vektora a → = a x ; a y; a z svojimi súradnicami v karteziánskom súradnicovom systéme Oxyz v priestore, je odvodený podobne ako vzorec pre prípad v rovine (pozri obrázok nižšie)
V tomto prípade O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (pretože OA je uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena), teda O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2. Z definície súradníc vektora môžeme zapísať nasledujúce rovnosti O A x = a x ; O A y = a y; O Az = az; , a dĺžka OA sa rovná dĺžke vektora, ktorý hľadáme, teda O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Z toho vyplýva, že dĺžka vektora a → = a x ; a y; a z sa rovná a → = a x 2 + a y 2 + az 2 .
Príklad 2
Vypočítajte dĺžku vektora a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , kde i → , j → , k → sú jednotkové vektory pravouhlého súradnicového systému.
Riešenie
Daný rozklad vektora a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , jeho súradnice sú a → = 4 , - 3 , 5 . Pomocou vyššie uvedeného vzorca dostaneme a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .
odpoveď: a → = 5 2 .
Dĺžka vektora vyjadrená súradnicami jeho začiatočného a koncového bodu
Vyššie boli odvodené vzorce, ktoré umožňujú nájsť dĺžku vektora podľa jeho súradníc. Uvažovali sme o prípadoch v rovine a v trojrozmernom priestore. Pomocou nich nájdeme súradnice vektora podľa súradníc jeho počiatočného a koncového bodu.
Takže dané body s danými súradnicami A (a x; a y) a B (b x; b y), teda vektor A B → má súradnice (b x - a x; b y - a y), čo znamená, že jeho dĺžku možno určiť podľa vzorca: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2
A ak sú dané body s danými súradnicami A (a x; a y; a z) a B (b x; b y; b z) v trojrozmernom priestore, potom dĺžku vektora A B → možno vypočítať podľa vzorca
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
Príklad 3
Nájdite dĺžku vektora A B → ak je v pravouhlom súradnicovom systéme A 1 , 3 , B - 3 , 1 .
Riešenie
Pomocou vzorca na zistenie dĺžky vektora podľa súradníc začiatočného a koncového bodu v rovine dostaneme A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
Druhé riešenie predpokladá použitie týchto vzorcov postupne: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3); A B -> = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 23. -
odpoveď: A B -> = 20-23.
Príklad 4
Určte, pre aké hodnoty sa dĺžka vektora A B → rovná 30, ak A (0 , 1 , 2) ; B (5, 2, X2).
Riešenie
Najprv si napíšme dĺžku vektora A B → podľa vzorca: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2)
Potom výsledný výraz prirovnáme k 30, odtiaľ nájdeme požadované λ:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 a la λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 2 = 2
odpoveď: λ 1 \u003d – 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 \u003d 0.
Nájdenie dĺžky vektora pomocou kosínusového zákona
Bohužiaľ, súradnice vektora nie sú v úlohách vždy známe, takže zvážme iné spôsoby, ako zistiť dĺžku vektora.
Nech sú dané dĺžky dvoch vektorov A B → , A C → a uhol medzi nimi (alebo kosínus uhla) a je potrebné nájsť dĺžku vektora B C → alebo C B → . V tomto prípade by ste mali použiť kosínusovú vetu v trojuholníku △ A B C , vypočítať dĺžku strany B C , ktorá sa rovná požadovanej dĺžke vektora.
Uvažujme o takomto prípade v nasledujúcom príklade.
Príklad 5
Dĺžky vektorov A B → a A C → sú rovné 3 a 7 a uhol medzi nimi je rovný π 3 . Vypočítajte dĺžku vektora B C → .
Riešenie
Dĺžka vektora B C → sa v tomto prípade rovná dĺžke strany B C trojuholníka △ A B C . Dĺžky strán A B a A C trojuholníka sú známe z podmienky (rovnajú sa dĺžkam príslušných vektorov), známy je aj uhol medzi nimi, takže môžeme použiť kosínusovú vetu: C →= 37 .
odpoveď: Bc -> = 37.
Na zistenie dĺžky vektora v súradniciach teda existujú tieto vzorce a → = a x 2 + a y 2 alebo a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , podľa súradníc bodov začiatku a konca vektora A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b y - a y) 2 (b) 2 (a y) 2 b - A + b z - a z) 2, v niektorých prípadoch treba použiť kosínusovú vetu.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Oxy
O A OA.
, kde 
OA 
.
teda 
.
Zvážte príklad.
Príklad.
Riešenie.
:
odpoveď:
Oxyz vo vesmíre.
A OA bude uhlopriečka.
V tomto prípade (pretože OA 
OA 
.
teda vektorová dĺžka 
.
Príklad.
Vypočítajte dĺžku vektora 
Riešenie.
, teda, 
odpoveď:
Rovná čiara na rovine
Všeobecná rovnica
Ax + By + C ( > 0).
Vektor = (A; B) je normálny čiarový vektor.
Vo vektorovej forme: + C = 0, kde je vektor polomeru ľubovoľného bodu na priamke (obr. 4.11).
Špeciálne prípady:
1) Podľa + C = 0- priamka rovnobežná s osou Vôl;
2) Ax+C=0- priamka rovnobežná s osou Oj;
3) Ax + By = 0- čiara prechádza počiatkom;
4) y=0- os Vôl;
5) x=0- os Oj.
Rovnica priamky v segmentoch
Kde a, b- veľkosť segmentov odrezaných priamkou na súradnicových osiach.
Normálna rovnica priamky(Obr. 4.11)
kde je uhol vytvorený normálne k priamke a osi Vôl; p je vzdialenosť od začiatku súradníc k čiare.
Uvedenie všeobecnej rovnice priamky do normálneho tvaru:
Tu je normalizovaný faktor priamej línie; znak sa volí oproti znaku C, ak a ľubovoľne, ak C=0.
Zistenie dĺžky vektora podľa súradníc.
Dĺžka vektora bude označená . Kvôli tomuto zápisu sa dĺžka vektora často označuje ako modul vektora.
Začnime nájdením dĺžky vektora v rovine podľa súradníc.
V rovine zavedieme pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy. Nech je v ňom daný vektor a má súradnice . Zoberme si vzorec, ktorý vám umožní zistiť dĺžku vektora pomocou súradníc a .
Odložte od začiatku súradníc (od bodu O) vektor . Označte projekcie bodu A na súradnicových osiach ako a a uvažujme obdĺžnik s uhlopriečkou OA.
Na základe Pytagorovej vety je rovnosť , kde . Z definície súradníc vektora v pravouhlom súradnicovom systéme môžeme tvrdiť, že a , a konštrukciou, dĺžka OA sa rovná dĺžke vektora, preto .
teda vzorec na zistenie dĺžky vektora vo svojich súradniciach na rovine má tvar .
Ak je vektor reprezentovaný ako rozklad v súradnicových vektoroch , potom sa jeho dĺžka vypočíta podľa rovnakého vzorca , keďže v tomto prípade sú koeficienty a súradnicami vektora v danom súradnicovom systéme.
Zvážte príklad.
Príklad.
Nájdite dĺžku vektora v karteziánskych súradniciach.
Riešenie.
Okamžite použite vzorec na zistenie dĺžky vektora podľa súradníc :
odpoveď:
Teraz dostaneme vzorec na zistenie dĺžky vektora svojimi súradnicami v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz vo vesmíre.
Odložte vektor z počiatku a označte priemet bodu A na súradnicových osiach ako aj . Potom môžeme postaviť na bokoch a obdĺžnikový rovnobežnosten, v ktorom OA bude uhlopriečka.
V tomto prípade (pretože OA je uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena), odkiaľ . Určenie súradníc vektora nám umožňuje zapísať rovnosti a dĺžku OA sa rovná požadovanej dĺžke vektora, preto .
teda vektorová dĺžka v priestore sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín jeho súradníc, teda sa zistí podľa vzorca .
Príklad.
Vypočítajte dĺžku vektora , kde sú orty pravouhlého súradnicového systému.
Riešenie.
Dostávame expanziu vektora z hľadiska súradnicových vektorov tvaru , teda, . Potom podľa vzorca na zistenie dĺžky vektora podľa súradníc máme .
